Universidada Nacional Experimental "SIMÓNRODRIGUEZ"

Semestre A-2009. Matemática I. Pro. Juan EnriquePérez

ConjuntosPreguntas1) Cuáles son los elementos de:

a) El conjunto de los dias de la semanab) El conjunto de las estaciones del añoc) Los números impares menores de 11d) Los números pares mayor que 10 y menor que 20e) Los números primos menores de 15

2) Colocar V ó F según lo afirmado sean verdadero o falsoa) 6 { 2, 4, 5, 6, 9 } ( )

b) y { o, p, q, x } ( )

c) x { o, p, q, y } ( )

d) Perú { países de Europa } ( )

e) Amazonas { rios de América } ( )

3) ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son: vacios, unitarios, finitos,infinitos?

a) A = { x / x es día de la semana} . . . . .

b) B = { vocales de la palabra vals} . . . . .

c) C = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . .} . . . . .

d) D = { x / x es un habitante de la luna} . . . . .

e) E = { x N / x < 15} . . . . .

f) F = { x N y 5 < x < 5 } . . . . .

g) G = { x N y x > 15} . . . . .

h) H = { x N y x = x} . . . . .

i) I = { x / x es presidente del Oceano Pacífico} . . . . .

j) J = { x / x es número de cabellos total de los habitantes del Perú } . . . . .

Preguntas1) Cuáles son los elementos de:

a) El conjunto de los dias de la semanab) El conjunto de las estaciones del añoc) Los números impares menores de 11d) Los números pares mayor que 10 y menor que 20e) Los números primos menores de 15

2) Colocar V ó F según lo afirmado sean verdadero o falsoa) 6 { 2, 4, 5, 6, 9 } ( )

b) y { o, p, q, x } ( )

c) x { o, p, q, y } ( )

d) Perú { países de Europa } ( )

e) Amazonas { rios de América } ( )

3) ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son: vacios, unitarios, finitos,infinitos?

a) A = { x / x es día de la semana} . . . . .

b) B = { vocales de la palabra vals} . . . . .

c) C = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . .} . . . . .

d) D = { x / x es un habitante de la luna} . . . . .

e) E = { x N / x < 15} . . . . .

f) F = { x N y 5 < x < 5 } . . . . .

g) G = { x N y x > 15} . . . . .

h) H = { x N y x = x} . . . . .

i) I = { x / x es presidente del Oceano Pacífico} . . . . .

j) J = { x / x es número de cabellos total de los habitantes del Perú } . . . . .

Generales

(*): Muestre que el conjunto vacío es subconjuto de cualquier conjunto.

(*): Muestre que existen conjuntos X, Y, Z tales que X Y = X Z , y Y Z.

(*): Para A, B y C conjuntos (A no vacío), A x B = A x C implica B = C.

(*): Sean A. B conjuntos. Para cada uno de los siguientes pares de conjuntos determine si soniguales, si uno está contenido en el otro o si no son comparables:

a) P(A) ; A.b) P( A) ; A.c) P(A) ; P( A).d) P(A x B) ; P(A) x P(B).e) P(A B) ; P(A) P(B).

(*) ( f |\ C ) |\ D = f |\ ( C n D).

(*) Sean R, S relaciones de equivalencia. Entonces RoS es relación de equivalencia ssi RoS =SoR. Dé un ejemplo donde RoS no sea de equivalencia.

(*) La relación < de Q no es de la forma A x B.

(*) Halle el campo de la relación T = {(x, y) en RxR : |x| + |y| = 1}.

(*) Toda estructura bien ordenada es no densa.

(*) El conjunto de órdenes lineales de N es equipotente a R.

(*) A subconjunto de R no enumerable. < el orden usual en R. Entonces (A x A) n (<) no es unbuen orden ni un orden discreto.

(*) (a) A es transitivo si para todos x, y: ( x en y, y en A) => (x en A)(b) Defina S(x) = x u {x} (sucesor).(b) Dado A, sea (AxA) = {(x,y) en AxA | x en y }).(c) A es especial si [A es transitivo], [ (A, (AxA) ) es bien ordenado], [ (existe b tal que A =S(b)) o (A = { }) ], y [ dado a en A (a no vacío), existe x tal que a = S(x)].

Pruebe que la propiedad ser especial es equivalente a la propiedad estar en N.

(*) Def: Un conjunto X es normal ssi X X. Muestre que esta propiedad se hereda hacia arriba(todo conjunto con todos sus elementos normales es normal).

(*) Quite el símbolo = del léxico de la teoría de conjuntos, y agregue el axioma (a = b) x :x en a <--> x en b). ¿Necesitamos añadir un axioma para recuperar todas las propiedades del= ?

(*) Sea (A, <) un conjunto enumerable totalmente ordenado sin elemento máximo. Muestre queexiste una función f :N A tal que para todo n, m, si n < m entonces f(n) < f(m), y para todoa en A existe k en N tal que f(n) a.

Cardinales, biyecciones

(*): Para un conjunto A finito de cardinal N, ¿cuál es la cardinalidad de P(A) (el conjunto detodos los subconjuntos de A)?

(*) f :N A sobreyectiva, para todo a en A, f ^(-1)[a] es finito. Entonces A es equipotente alos naturales.

(*) Sea A = P(N) -- {{}, N}.

a) El conjunto de elementos maximales (resp. inclusión) de A y el conjunto de elementosminimales (resp. inclusión) de A son cada uno equipotentes a N.

b) El conjunto Ramas(A) (resp inclusión) es equipotente a R.[C es cadena o rama de la relación T ssi C es no vacío y (C x C) T es orden lineal ].

(*) [ Toda familia {An}n N enumerable de conjuntos finitos no vacíos tiene una función deelección ] ssi [ toda familia {An}n N de conjuntos finitos es a lo sumo enumerable ].

(*) Un conjunto A es Dedekind-infinito si existe una función de A en A inyectiva y nosobreyectiva. Muestre que A es Dedekind-infinito si y sólo si existe una función inyectiva de losnaturales en A.

(*) (a) Pruebe que el conjunto A = {S | S es subconjunto infinito de los naturales} es equipotentea R.

(b) Pruebe que el conjunto B = {f :N N | f es biyección} es equipotente a R.

Ordinales

(*) Sea un ordinal enumerable. Entonces existe S R tal que (S, <) es isomorfo a .

Ejercicios resueltos

1.- Sean A ={1,2,3,4}; B ={2,4,6,8}; C ={3,4,5,6}

Hallar a).- A U B; b).- A U C; c).- B U C; d).- B U B

Solución:

A U B = {1,2,3,4,6,8}

A U C = {1,2,3,4,5,6}

B U C = {2,4,6,3,5}

B U B = {2,4,6,8}

2.- Dado el conjunto A = {6,2,8,4,3} encontrar todos los subconjuntos de A que sepuedan construir con sus elementos, es decir el conjunto potencia.

2A ={ {6},{2},{8},{4},{3},{6,2},{6,8},{6,4},{6,3},{2,8},{2,4},{2,3},{8,4},{8,3},{4,3},

{6,2,8},{6,2,4},{6,2,3},{6,8,4},{6,8,3},{6,4,3},{2,8,4},{2,8,3},{8,4,3},{6,2,8,4},{6,2,8,3},

{2,8,4,3,},{6,8,4,3,},{6,2,4,3,},{6,2,8,4,3},{ }}

Ejercicios propuestos

1).- ¿Cuál es conjunto formado por la intersección de los conjuntos {e, x, i, t, o} y {t, r, i,u, n, f, o}?

2).- Representa la unión de los conjuntos {e, x, i, t, o} y {t, r, i, u, n, f, o}

3).- ¿Cuál es la intersección de los siguientes conjuntos:

A= {l, u, n, a} y B= {t, r, i, u, n, f, o}

14).- Obtener la diferencia A\B si A= {c, o, r, a, z, n} y B={h, i, p, e, r, t, n, s, o}

Nivel II

1.-Dado ¿qué afirmaciones son correctas y por qué?

(1) (2) (3)

2.- ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son: vacíos, unitarios, finitos, infinitos?

a) A = { x I x es día de la semana}

b) B = { vocales de la palabra conjunto}

c) C = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . .}

d) D = {x I x es un número par}

e) E = {x I x < 15}

f) F = {x I es la solución de y(x)=IxI }

3.- Demuestre con diagrama de Venn que

4.-Demuestre las leyes de De Morgan:

5.-Demuestra las propiedades asociativas siguientes:

6.- En el diagrama de Venn que sigue rayar,

(1) ; (2)