confiabilidad en el diseÑo estructural de pavimentos
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UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL
CONFIABILIDAD EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL DE PAVIMENTOS
PROYECTO DE GRADO
RICARDO SÁNCHEZ GONZÁLEZ
BOGOTÁ D.C, 2003
ICIV 2003 II 33
1
TABLA DE CONTENIDO INTRODUCCION..................................................................................................................3
OBJETIVOS..........................................................................................................................5
METODOLOGÍA............................................................................................... ...................6
1. DISEÑO DE PAVIMENTOS......................................................... ..............................7
1.1 HISTORIA DEL DISEÑO DE PAVIMENTO..................................................................7
1.2 DISEÑO RACIONAL DE PAVMENTOS PARA BOGOTÁ D.C.....................................8
1.3 PARÁMETROS DEL MANUAL DE DISEÑO DE PAVIMENTOS PARA BOGOTÁ .....9
1.3.1 Tráfico...................................................................................................................9
1.3.2 Clima...................................................................................................................10
1.3.3 Materiales............................................................................................................10
1.3.4 Resistencia de la Subrasante..............................................................................11
1.3.5 Carácter Probabilístico........................................................................................11
1.4 PARAMETROS DE CONTROL EN PAVIMENTOS FLEXIBLES................................12
1.4.1 Deformación en las Capas Asfálticas.................................................................13
1.4.2 Deformación en la Subrasante............................................................................14
1.5 DESVENTAJAS DEL MANUAL DE DISEÑO DE PAVIMENTOS PARA BOGOTÁ ...14
1.6 CONCLUSIONES.......................................................................................................15
2. ANALISIS DE INCERTIDUMBRE DE PARAMETROS DE DISEÑO............................17
2.1 FUENTES DE INCERTIDUMBRE..............................................................................17
2.1.1 Tráfico.................................................................................................................17
2.1.2 Materiales............................................................................................................18
2.1.3 Subrasante..................................................... ....................................................18
2.1.4 Modelo Mecánico................................................... ............................................19
2.2 ANALISIS ESTADISTICO DE LA INCERTIDUMBRE.................................................19
2.2.1 Módulo Dinámico.................................................................................................19
2.2.2 Ley de Fatiga................................................... ...................................................21
2.2.3 Modulo Resiliente................................................... .......................................... 23
2.2.4 Tráfico................................................... .............................................................27
2.2.5 Espesor de las Capas................................................... .....................................28
2.3 CONCLUSIONES.........................................................................................................29
3. CONFIABILIDAD ESTRUCTURAL...............................................................................30
3.1 TEORÍA BÁSICA DE LA CONFIABIIDAD ESTRUCTURAL.......................................30
3.2 CONCLUSIONES.......................................................................................................32
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3.3 SIMULACIÓN DE MONTE CARLO............................................................................33
4. MODELACIÓN DEL PROBLEMA DE CONFIABILIDAD PARA PAVIMENTOS...........35
4.1 CONFIABILIDAD EN PAVIMENTOS..........................................................................35
4.2 DETERMINACIÓN DE LA PROBABILIAD DE FALLA EN PAVIMENTOS FLEXIBLES
....................................................................................................................................36
5. RESULTADOS DEL CÁLCULO DE PROBABILIDAD DE FALLA EN ESTRUCTURAS
DE PAVIMENTO FLEXIBLE.........................................................................................38
5.1 PARÁMETROS CONSIDERADOS EN EL CÁLCULO DE PROBABILIDAD DE FALLA
DEL PAVIMENTO FLEXIBLE.....................................................................................38
5.2 PROBABILIDAD DE FALLA EN PAVIMENTOS FLEXIBLES.....................................39
5.3 DETERIORO DEL PAVIMENTO A TRAVÉS DEL TIEMPO.......................................41
5.4 DETERIORO DE LAS CAPAS DE PAVIMENTO A TRAVÉS DEL TIEMPO..............43
5.5 VARIABILIDAD DEL DISEÑO RACIONAL VS PROBABILIDAD DE FALLA..............44
5.6 CONFIABILIDAD DEL DISEÑO PARA DIFERENTES TRAFICOS............................46
5.7 PROBABILIDAD DE FALLA VS PRESIÓN DE INFLADO..........................................47
5.8 SENSIBILIDAD DEL ESPESOR DE LA RODADURA EN LA CONFIABILIDAD DE
PAVIMENTOS............... .............................................................................................48
5.9 CONCLUSIONES.......................................................................................................50
6. CONCLUSIONES.........................................................................................................52
7. ANEXOS.......................................................................................................................54
8. BIBLIORAFÍA................................................................................................................56
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INTRODUCCIÓN
Gracias al último inventario y diagnóstico realizado por el Instituto de Desarrollo Urbano
(IDU;2003), fue posible determinar por medio del Indice de Condición del Pavimento
(ICP,2003) el estado actual de la malla vial existente en la ciudad de Bogotá D.C (15.346
km), el cuál trajo como resultado que el 32% de la red vial se encuentra en condiciones
regulares y el 40% se encuentra en estado malo. Este deterioro temprano se explica
principalmente por deficiencias en las actividades de mantenimiento, repavimentación,
construcción y fallas en el diseño de la estructura de pavimento (Montejo;1998).
Debido a lo anterior, resulta de carácter fundamental implementar medidas eficientes y
prácticas, que puedan mejorar el nivel de serviciabilidad y de durabilidad de las vías
bogotanas.
Históricamente el diseño de las capas de la estructura de pavimento estuvo basado en
resultados empíricos (Bush; 2001), lo que implicaba grandes dificultades para los
diseñadores en los casos para los cuales las condiciones fueran diferentes a las
experimentadas. Por tal razón, fue necesario generar métodos semiempíricos (p.e.
Hveem, Texas), y racionales (p.e. Shell, Navy, Instituto del Asfalto). Los primeros,
basados en correlaciones de ensayos de laboratorio y teorías; mientras que los segundos
soportan su metodología en consideraciones teóricas sobre la distribución de esfuerzos y
deformaciones al interior de la estructura.
Resultados de investigaciones actuales (Bush, 2001; Yang; 1993; Kenis and Wuang;
2002; Caro y Sánchez; 2003) han demostrado la importancia del efecto de la
incertidumbre de los parámetros de diseño (p.e. materiales, tráfico, clima, método
constructivo, modelo mecánico) en la durabilidad de las vías, ya que el hecho de suponer
estos parámetros como variables determinísticas en el proceso de diseño (ya sea racional
o semiempírico), puede generar estructuras sobrestimadas o subestimadas, lo que implica
inversiones innecesarias o daños prematuros en las estructuras de pavimento.
Por tal razón, el principal objetivo de este proyecto es el de analizar el impacto de la
incertidumbre de los parámetros de diseño en la confiabilidad de las estructuras de
pavimentos flexibles.
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Para desarrollar este objetivo, el proyecto contempla un análisis de incertidumbre de los
parámetros de diseño con base en resultados de laboratorio del CITEC (Centro de
Innovación Tecnológica de la Universidad de Los Andes). Estos resultados se aplican a
un programa (Caro, García; 2001) que cuenta con un modelo mecánico que cuantifica las
deformaciones producidas por la aplicación de las cargas generadas por el tráfico y las
compara por medio de simulaciones de Monte Carlo con las deformaciones admisibles
estipuladas por el Manual de Diseño de Pavimentos para Bogotá D.C.
El proyecto de grado deja un análisis integral de la variabilidad de los parámetros de
diseño para pavimentos flexibles y una aplicación práctica de la confiabilidad de
estructuras.
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OBJETIVOS
Definir las fuentes de incertidumbre de los parámetros de diseño para pavimentos
flexibles, con el fin de entender cuáles pueden ser evitadas, controladas o aceptadas.
Proponer medidas en los procesos de diseño, construcción y mantenimiento que
disminuyan el riesgo de tener un daño prematuro en las estructuras de pavimento
flexible.
Determinar la confiabilidad con la que se diseña actualmente las estructuras de
pavimento flexible y plantear la relación que existe entre inversión, probabilidad de
falla y satisfacción de los usuarios.
Analizar el comportamiento de los pavimentos a través del tiempo y definir el momento
oportuno para mantener las vías.
Revisar los conceptos probabilísticos del Manual de Diseño de Pavimentos para
Bogotá D.C.
Demostrar el beneficio de implementar análisis probabilísticos en el diseño de
pavimentos para mejorar la confiabilidad de las vías bogotanas.
Entender el comportamiento de las estructuras de pavimento flexible frente a las
cargas del tráfico y definir cuál es la capa que mayor compromiso tiene con la falla del
pavimento.
Conocer las limitaciones de los modelos mecánicos por interpretar el efecto de los
esfuerzos producidos por las cargas dinámicas de los vehículos en las deformaciones
de las capas internas de los pavimentos.
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METODOLOGÍA
Para entender el efecto de la incertidumbre de los parámetros de diseño en la
confiabilidad de las estructuras de pavimento flexible dimensionadas por el Manual de
Diseño de Pavimentos para Bogotá D.C, el proyecto presenta la siguiente metodología:
Diseño de Pavimentos: Se hace un recuento histórico del diseño estructural de
pavimentos flexibles y se revisa el proceso de diseño recomendado por el Manual de
Diseño de Pavimentos para Bogotá D.C. Con base en esto, se determinan las
desventajas del manual y se hace énfasis en la forma como se maneja el carácter
probabilístico de los parámetros de diseño.
Análisis de Incertidumbre de Parámetros de Diseño: En esta parte se realiza un
análisis integral de la variabilidad de los parámetros de diseño del manual, donde se
determinan las principales fuentes de incertidumbre de los parámetros de diseño y las
distribuciones de probabilidad que mejor describen estas variables.
Confiabilidad Estructural: Se explica la forma y el método de cuantificar la posibilidad
que las estructuras fallen por medio de la teoría básica de confiabilidad y las simulaciones
de Monte Carlo.
Modelación del Problema de Confiabilidad para Pavimentos: Se modela el problema
de confiabilidad para pavimentos y se describe el proceso utilizado para calcular la
posibilidad que las estructuras de pavimento tengan un deterioro temprano (fallen).
Resultados del Cálculo de Probabilidad de Falla en Estructuras de Pavimento Flexible: Se hace un análisis del impacto de diferentes parámetros en la confiabilidad del
pavimento.
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CONFIABILIDAD EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL DE PAVIMENTOS
1. DISEÑO DE PAVIMENTOS
1.1 HISTORIA DEL DISEÑO DE PAVIMENTOS
Desde la época de los Romanos (pioneros en la ingeniería de caminos), el diseño de
pavimentos se caracterizaba por fundamentos empíricos basados en el comportamiento
histórico de las estructuras realizadas con anterioridad, lo cuál generaba grandes
dificultades para los diseñadores en adaptarse a condiciones diferentes a las encontradas
en el pasado (IDU, Uniandes, 2000). Por tal razón, a comienzos de la década de los 20
surgieron varios métodos semiempíricos, fundamentados principalmente en correlaciones
del tráfico, el espesor de las capas de pavimento y las características del suelo (p.e.
método CBR). A su vez, el aumento de las cargas de tráfico trajo como resultado la
necesidad de utilizar materiales ligados (p.e. cemento, asfalto), lo cuál llevó a la
investigación de principios mecánicos basados en la distribución de esfuerzos y
deformaciones (Burmister; 1943) que pudieran entender el comportamiento de las
diferentes capas presentes en el pavimento bajo la solicitación de las cargas repetidas del
tráfico.
Después de la segunda guerra mundial, algunos países Europeos (p.e. Francia)
comenzaron a implementar teorías mecanicistas en el diseño de sus pavimentos (De
L´Horte; 1948), dando inicio al desarrollo de la metodología racional, que acompañado de
las innovaciones tecnológicas dieron como resultado programas de computación (LCPC
de Francia; 1964). Estos programas permitieron superar la barrera del análisis para una
estructura con más de tres capas, cuyo análisis estaba limitado hasta entonces por la
utilización del ábaco. A finales de la década de los 80, el Instituto de Vías de la
Universidad del Cauca implementó para el uso en Colombia un programa llamado
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DEPAV, capaz de analizar las propiedades mecánicas de la estructura bajo el efecto de
cargas repetidas, gracias al empleo del código fuente Alize III.
Finalmente la implementación de modelos probabilísticos en los métodos de diseño de
estructuras de pavimento surgió a comienzos de la década de los 70 (Lemer y
Moavenzadeh, 1971), dando por sentado el comienzo de diferentes investigaciones sobre
el tema (Bush, 1999; Yang; 1993; Kenis y Wuang; 2002; Caro y Sánchez, 2003), que
mostraron la importancia del efecto de la incertidumbre de los parámetros de diseño (p.e.
materiales, tráfico, clima, método constructivo, modelo mecánico) en la confiabilidad de
las vías. A su vez demostraron que suponer los parámetros de diseño como variables
determinísticas puede conllevar a diseños de estructuras sobrestimadas o subestimadas,
lo que implica inversiones innecesarias o daños prematuros en las estructuras de
pavimento.
1.2.DISEÑO RACIONAL DE PAVIMENTOS PARA BOGOTÁ D.C
El diseño racional de pavimentos es un método para dimensionar la estructura con base
en consideraciones teóricas sobre la distribución de esfuerzos y deformaciones en las
diferentes capas que conforman el pavimento (Montejo; 1998)
Para el caso de la capital Colombiana, existe el Manual de Diseño de Pavimentos para
Bogotá D.C. (IDU, Uniandes, 2000), el cuál involucra los factores del tráfico, clima, calidad
de la construcción, propiedades de la subrasante y capas de pavimento. Para pavimentos
flexibles, el método consiste en generar valores admisibles de las deformaciones
unitarias producidas por los esfuerzos de tensión en las capas asfálticas y las producidas
por los esfuerzos de compresión en la subrasante (Figura 1). A su vez, estas
deformaciones son modificadas por unos factores que involucran un análisis probabilístico
de la variabilidad de los resultados de los ensayos de la ley de fatiga y de la variabilidad
de los espesores construidos.
Para lograr conseguir el dimensionamiento de la estructura deseada, el método requiere
un modelo mecánico que tenga la capacidad de analizar el comportamiento de la
estructura (según las propiedades de los materiales de las capas a utilizar), frente a los
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esfuerzos producidos por las cargas del tráfico. De esta forma es posible comparar las
deformaciones obtenidas por el modelo con las admisibles.
Figura 1. Deformaciones críticas en las estructuras de pavimento flexible
1.3 PARÁMETROS DEL MANUAL DE DISEÑO DE PAVIMENTOS PARA BOGOTÁ D.C
Como se mencionó anteriormente, los parámetros de diseño del Manual de Diseño de
Pavimentos para Bogotá D.C son el tráfico, el clima, la subrasante, las capas de
pavimento y la calidad de la construcción. A continuación se resume la manera como el
método trata cada uno de estos parámetros.
1.3.1 Tráfico
El método utiliza el modelo exponencial para predecir el número de vehículos pesados
acumulados para el año y el carril de diseño:
)1(1)(365
rLnriBATPDN
n
+−+
××××= (1)
donde:
r: tasa anual de crecimiento del tráfico
n: período de diseño (años)
TPD: tráfico promedio diario en el año de la construcción
A: % de vehículos pesados
B: % de vehículos que utilizan el carril de diseño
N: tráfico pesado acumulado en el carril de diseño para el período de diseño
rodadura
Base tratada con ligante asfáltico
subbase
SUBRASANTE
εt
εz
εt
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La tabla 1 presenta la clasificación del tráfico del Manual de Diseño de Pavimentos para
Bogotá D.C:
Clase de Tráfico Número Acumulado de Vehículos Pesados
T1 N < 5*105
T2 5*105 < N < 1,5*106
T3 1,5*106 < N < 4*106
T4 4*106 < N < 1*107
T5 1*107 < N < 2*107
Tabla 1. Definición de clases de tráfico (IDU, Uniandes; 2000)
A su vez, el método se caracteriza por convertir el tráfico pesado acumulado (cargas
mayores de 3,5 toneladas) de diferente configuración y carga en un tráfico equivalente de
ejes estándar. Estos ejes estándar se caracterizan por tener dos ruedas gemelas y una
carga de 13 toneladas. La relación de conversión para cada tipo de vehículo pesado se
hace a través de un factor denominado coeficiente de agresividad media (CAM), el cuál
relaciona la degradación unitaria que produce cada tipo de eje con el eje estándar.
1.3.2 Clima
Para efectos del diseño, los módulos de las capas deben calcularse bajo condiciones
extremas de temperatura y abundancia de precipitaciones.
1.3.3 Materiales
El método requiere el conocimiento de las características mecánicas de los materiales
utilizados, tales como el módulo dinámico, relación de Poisson y la ley de fatiga.
Los materiales granulares no tratados deben cumplir las especificaciones del INVIAS y se
clasifican según su módulo resiliente en tres categorías para tráfico alto y bajo. A su vez,
el módulo de una capa se calcula en función de los módulos de las capas que la confinan
por medio de la siguiente relación (cada capa debe tener como máximo 25cm):
E(i) = K *E (i-1) (2)
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Donde:
E(i): módulo de la capa de material granular.
E(i-1): módulo de la capa que subyace la capa granular i
K: factor que depende del tipo de material y se encuentra en el rango [2,3]
.
Para los materiales asfálticos se requiere conocer la deformación a tracción producida por
106 ciclos de carga, la pendiente que relaciona el esfuerzo con la deformación (ley de
fatiga), el módulo dinámico y relación de Poisson.
1.3.4 Resistencia de la Subrasante
El método cuenta con una clasificación de la subrasante basada en los siguientes
parámetros:
Granulometría y contenido de arcilla
Estado hídrico en el momento de la construcción
Parámetros del comportamiento mecánico (p.e. módulo dinámico) bajo las condiciones
hídricas más desfavorables.
Finalmente se hace énfasis en mejorar las propiedades mecánicas de la subrasante
en caso que el CBR sea menor a 5, a través de la construcción de una plataforma de
soporte.
1.3.5 Carácter Probabilístico
El manual incluye un análisis probabilístico que tiene en cuenta la variabilidad del espesor
final de las capas de pavimento y la variabilidad de los resultados de laboratorio de ley de
fatiga. Asume que el conjunto de dispersiones de estas dos variables obedece a una ley
normal centrada y calcula la dispersión total como:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛×+=
bC
HN22 σσδ (3)
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donde:
Nσ : desviación estándar de la ley de fatiga.
Hσ : desviación estándar de los espesores finales de las capas en comparación con los
espesores de diseño.
C : coeficiente dimensional que depende del material que se utilice (recomiendan utilizar
C = 0,02).
b : pendiente de la ley de fatiga del material considerado
Para Nσ y Hσ , el manual utiliza valores bastante generales y sin ninguna sustentación
teórica tales como:
Material σN
Granular-Ligante Asfáltico 0,3
Granular-Ligante Hidráulico 1
Arena-Ligante Hidráulico 0,8
Suelo-Cemento 0,8
Tabla 2. Valores de la desviación estándar de la ley de fatiga (IDU, Uniandes; 2000)
Material Rango de Espesores (cm) Σ σH
Granular-Ligante Asfáltico 12 a 20 2,5 a 3
Granular-Ligante Hidráulico 15 a 25 3
Concreto Asfáltico 6 a 8 1
Arena-Ligante Hidráulico 15 a 25 2,5
Tabla 3. Valores de la desviación estándar de los espesores finales (IDU, Uniandes; 2000)
1.4 PARÁMETROS DE CONTROL EN PAVIMENTOS FLEXIBLES
Los parámetros de control para el diseño de pavimentos descritos en el Manual de Diseño
de Pavimentos para Bogotá D.C, son la deformación por el efecto del esfuerzo de tensión
(εt ) en las bases asfálticas y la deformación por compresión en la base superior de la
subrasante (εz) (figura 1).
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1.4.1 Deformación en las Capas Asfálticas La deformación a tensión para las capas asfálticas se calcula de la siguiente manera
εt = ε6 * (NE / 10 6) b *Kr * Kc *Ks *Kt (4)
donde:
ε6: deformación obtenida por la ley de fatiga para un millón de ejes equivalentes.
b: pendiente de la recta de la ley de fatiga
Ks: factor de reducción que tiene en cuenta la heterogeneidad del suelo de la subrasante
y depende directamente de su módulo dinámico [toma valores de (1/1.2) (1/1.1), y (1)]
Kc: coeficiente de calibración entre las medidas del laboratorio y los resultados in-situ (1,1
para rodadura y 1,3 para base asfáltica)
Kt: parámetro de corrección de temperatura y se calcula de la siguiente manera:
)()15( 0
eEquivalentT ttE
tEK==
= (5)
Kr : es un coeficiente que ajusta la deformación admisible a la probabilidad de falla
adoptada para el diseño. Se calcula de la siguiente manera: buKr δ−=10 (6)
donde
δ : la desviación total de la estructura (Eq. 3).
b: pendiente de la ley de fatiga.
u: valor de la distribución normal estándar para la probabilidad de falla adoptada por el
diseño. Para calcular este parámetro el manual supone que la dispersión total de los
parámetros obedece a una distribución normal centrada. Este hecho lo toma de base para
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relacionar un concepto que el manual define cono “probabilidad de falla” con el fractil de la
distribución normal (u).
El manual propone los siguientes valores de u para las diferentes “probabilidades de
falla”:
Pf % 50 30 25 20 12 10 5 2 u 0 -0,52 -0,67 -0,84 -1,17 -1,28 -1,65 -2,05
Tabla 4. Valores del fractil (u) de la distribución normal centrada según “probabilidad de falla del
diseño” (IDU, Uniandes; 2000)
En pocas palabras, para definir u se requiere que el diseñador decida una “probabilidad
de falla”, cuyo significado y naturaleza no son claros.
1.4.2 Deformación en la Subrasante
La deformación vertical admisible en la subrasante se calcula de la siguiente manera:
εz = 0,012 (NE)-0, 222 (tráfico bajo) (7)
εz = 0,016 (NE)-0, 222 (tráfico alto) (8)
donde NE = Número de ejes equivalentes de 13 ton
1.5 DESVENTAJAS DEL MANUAL DE DISEÑO DE PAVIMENTOS PARA BOGOTA D.C
Después de analizar el procedimiento para diseñar estructuras de pavimento flexible
descrito por el Manual, es posible identificar algunas desventajas del método:
Requiere de un modelo mecánico confiable que contemple las características
mecánicas y físicas de las capas de pavimento y que calcule las deformaciones en la
estructura interna producidas por el efecto de las cargas. El modelo debe contar con
leyes constitutivas que se ajusten al comportamiento de la estructura.
Utiliza un modelo probabilístico que incluye únicamente las funciones de distribución
de probabilidad de las variables aleatorias de la pendiente de la ley de fatiga y del
espesor de las capas. Además, se emplea como variable de entrada un parámetro
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denominado “probabilidad de falla” que no corresponde a un análisis cuidadoso de la
confiabilidad estructural del pavimento.
Ajusta el parámetro de control de la deformación en las capas asfálticas (εt) por medio
de unos factores que aparecen sin algún soporte de su obtención.
Propone calcular los módulos para condiciones extremas.
Finalmente se resalta la necesidad de implementar en el Manual de Diseño de
Pavimentos para Bogotá D.C un análisis de incertidumbre confiable de los parámetros de
diseño. Con este análisis sería posible determinar factores de seguridad característicos
que tengan en cuenta el comportamiento de las funciones de distribución de la las
deformaciones admisibles y las reales, ya que los factores recomendados por el manual
se caracterizan por tener un falso sentido de la realidad debido a la omisión de
variabilidades de parámetros cuyo impacto pueden repercutir en la funcionalidad y vida
útil de las vías (p.e tráfico, módulos dinámicos, presión de inflado, radio de carga, etc...).
Esto a su vez repercute directamente en la subestimación o sobrestimación de los
espesores de los pavimentos.
1.6 CONCLUSIONES El Manual de Diseño de Pavimentos para Bogotá D.C recomienda diseñar las estructuras
de pavimento con base en comparaciones entre las deformaciones internas causadas por
las cargas dinámicas del tráfico (determinadas por un modelo mecánico) y unas
deformaciones máximas admisibles para cada una de las capas presentes en la
estructura. Estas deformaciones admisibles son obtenidas mediante los factores de
tráfico, propiedades mecánicas de los materiales (ley de fatiga, módulos dinámicos y
resilientes), características de la subrasante (p.e. capacidad de soporte) y temperatura. A
su vez, el manual utiliza un concepto de “probabilidad de falla”, cuyo objetivo es el de
contemplar mediante un factor (Kr) la variabilidad de los resultados de la ley de fatiga y la
variabilidad entre los espesores finales y los diseñados. El problema de este factor es que
se soporta en el concepto de “probabilidad de falla”, cuya naturaleza y significado son
poco claros. Otro problema del factor, es que solo incluye las variabilidades de dos
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parámetros, lo cuál hace parecer que son los únicos que repercuten en la confiabilidad del
pavimento.
A continuación se revisa la importancia de incluir las variabilidades de otros parámetros
(p.e. tráfico, módulos dinámicos, espesores) en el diseño de pavimentos y se analiza la
relación entre el concepto de “probabilidad de falla” con la confiabilidad de la estructura de
pavimento. Para lograr estos objetivos se debe partir de un análisis sobre la naturaleza
variable de los factores de diseño.
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2. ANÁLISIS DE INCERTIDUMBRE DE PARÁMETROS DE DISEÑO
2.1 FUENTES DE INCERTIDUMBRE
Un análisis integral de las variabilidades de los parámetros de diseño y de su efecto en la
durabilidad y serviciabilidad de los pavimentos carece de sentido para el caso en que no
se conozca las posibles fuentes de su aleatoriedad, pues imposibilitaría el establecimiento
de planes para reducir su impacto en la confiabilidad de las vías. Debido a esto, se
mostrarán las principales causas de incertidumbre para las principales variables de
diseño.
2.1.1 Tráfico
Las principales fuentes de incertidumbre para la estimación del número de vehículos
pesados acumulados son:
Cálculo del tráfico promedio diario (TPD).
Cálculo del porcentaje de vehículos con capacidad de transportar cargas mayores a
35 KN (vehículos pesados).
Cálculo del porcentaje de vehículos pesados que transitan por el carril de diseño.
Estimación de la función de crecimiento del tráfico y tasa anual de crecimiento.
Cálculo del coeficiente para convertir el número de vehículos acumulados en ejes
estándar equivalentes (Para el caso del Manual de Diseño para Bogotá el eje es de 13
toneladas). Lo cuál se encuentra asociado con el análisis que relaciona el daño
producido por los esfuerzos transmitidos por los distintos ejes con el daño ocasionado
por el eje estándar de 13 toneladas.
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Cálculo del tráfico atraído y generado.
2.1.2 Materiales
La estimación de las propiedades mecánicas y físicas de los materiales presentes en las
capas de pavimento cuentan con las siguientes fuentes de incertidumbre:
Variabilidad de los ensayos de granulometría y densidad de los agregados presentes
en las capas granulares tratadas con ligante asfáltico.
Las propiedades mecánicas de los materiales pueden verse afectados por las
condiciones climáticas en el momento de la pavimentación de la vía.
Los módulos dinámicos de las capas asfálticas son alterados por la variabilidad de las
condiciones climáticas, ya que a mayores temperaturas los materiales son
susceptibles a disminuir su resistencia.
Existe una importante variabilidad en los resultados de ensayos de fatiga para
probetas tomadas de la misma mezcla asfáltica.
Variabilidad de los espesores diseñados con los realizados en el terreno por falta de
controles de calidad en obra, precisión de la maquinaria, condiciones ambientales,
compactación, etc..
Variabilidad en las condiciones de liga supuestas en el diseño y las desarrolladas en
obra. 2.1.3 Subrasante
Variabilidad de la capacidad portante de la subrasante por la presencia de agua.
Variabilidad del módulo resiliente de la subrasante por el efecto de la Variabilidad de
las características mecánicas de la capa superior de confinamiento.
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Variabilidad de los ensayos de laboratorio de módulos resilientes.
Variabilidad espacial de los suelos de subrasante en el terreno.
2.1.4 Modelo Mecánico
Variabilidad entre el análisis elástico realizado por los modelos mecánicos con las
respuestas de los materiales asfálticos, ya que por el hecho de ser viscosos
responden de una manera más acertada a modelos viscoelásticos, hipoplásticos
(Caro; 2000), etc..
Variabilidad en el nivel de precisión.
Variabilidad en la interpretación de resultados por el operador, ya que personas
distintas pueden suponer o modelar las condiciones de una manera diferente.
2.2 ANALISIS ESTADÍSTICO DE LA INCERTIDUMBRE 2.2.1 Módulo Dinámico
El módulo dinámico (E) se define como el valor absoluto de la relación entre esfuerzo y
deformación para un material viscoelástico lineal bajo la aplicación de una carga
sinusoidal.
El análisis del comportamiento aleatorio del módulo dinámico en las mezclas asfálticas,
se obtuvo mediante resultados obtenidos en el año 2003 en el Centro de Innovación y
Desarrollo Tecnológico de la Universidad de los Andes (CITEC) para la mezcla MDC-2
tomada del tramo 2 de la vía Unión Temporal Américas (UTA).
Los ensayos de laboratorio se realizaron bajo la aplicación de un esfuerzo de compresión
axial sinusoidal (medio seno inverso) para frecuencias de 1,4, 8 y 16 Hertz para
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temperaturas de 21 y 40 Co, ya que para temperaturas de 5 Co los resultados no eran
válidos para la muestra.
El resumen de los resultados obtenidos se muestra en la tabla 5, donde se puede
observar que la variabilidad del módulo crece para mayores temperaturas y decrece para
mayores frecuencias.
Tabla 5. Análisis estadístico para 80 resultados de valores de módulo dinámico para la mezcla
MDC-2
Para determinar la función de densidad de probabilidad que mejor de adapta al
comportamiento aleatorio del módulo dinámico se debe recurrir a pruebas estadísticas
(p.e Kolmogorov-Smirnov, Chi Square Test, etc..). Para este caso se utilizó el programa
Arena, cuyo resultado basado en la función del error cuadrado (Anexo 1) indica que las
funciones que mejor se adaptan son Beta y Gamma.
Temperatura (C) Frecuencia (Hertz) Media (Kg/cm2) Desviación Estándar Coef. Variación
1 23260,9 15105,5 65%
21 4 30341,8 14816,4 49%
8 34222,1 14394,6 42%
16 41125,9 15136,1 37%
1 6604,8 4067,8 62%
40 4 8643,6 5746,2 66%
8 10093,4 6407 63%
16 12293,9 7547,1 61%
ICIV 2003 II 33
21
La Figura 2 muestra el comportamiento aleatorio del módulo dinámico:
Figura 2. Histograma de 80 resultados del módulo dinámico para una frecuencia de 16 Hertz y una
temperatura de 21Co 2.2.2 Ley de Fatiga
Básicamente la ley de fatiga determina la deformación a tracción de la muestra asfáltica
para diferentes números de carga. El resultado de este ensayo es una gráfica de esfuerzo
o deformación a tensión vs el número de ciclos de carga. Esta curva se caracteriza a
través de su pendiente (b) y del esfuerzo (σ6) o deformación (ε6) que corresponde a un
millón de ciclos de carga.
El análisis del comportamiento aleatorio de la pendiente de la ley de fatiga y la
deformación para un millón de ciclos se obtuvo mediante resultados obtenidos en el 2003
por el Centro de Innovación y Desarrollo Tecnológico de la Universidad de los Andes
(CITEC).
2500
0
3000
0
3500
0
4000
0
4500
0
5000
0
5500
0
6000
0
6500
0
7000
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
# E
nsay
os
Módulo Dinámico (Kg/cm2)
ICIV 2003 II 33
22
Los ensayos de laboratorio se realizaron par la mezcla MDC-2, para una temperatura de
20 Co y bajo una frecuencia de 10 Hertz.
El resumen de los resultados obtenidos para la deformación ε6 y la pendiente b, se resume
en la Tabla 6
Frecuencia 10 Hertz
Temperatura 20 Co
Media Desviación Estándar Coeficiente de Variación
ε6 1,520E-04 4,262E-05 28%
b -2,819E-01 9,777E-02 -35%
Tabla 6. Análisis estadístico para 48 resultados de ensayos de Ley de fatiga para la mezcla MDC-2
La Figura 3 nos muestra el comportamiento de la variable aleatoria ε6,. Los resultaos de la
prueba estadística (Anexo 1) muestran que la función de densidad de probabilidad que
mejor describe la situación es la normal.
Figura 3. Histograma de 48 resultados de ley de fatiga para ε6
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
# E
nsay
os
1,1E
-04
1,3E
-04
1,5E
-04
1,7E
-04
1,9E
-04
2,1E
-04
Deformación para un millón de ciclos
ICIV 2003 II 33
23
Por otro lado, la Figura 4 muestra el comportamiento de la pendiente de la ley de fatiga
(b). Los resultados de la prueba estadística (Anexo 1) muestran que la función de
densidad de probabilidad que mejor describe la situación es la triangular y la normal.
Figura 4. Histograma de 48 resultados de la pendiente de la ley de fatiga.
2.2.3 Módulo Resiliente
Las propiedades mecánicas de los materiales granulares se caracterizan por tener un
comportamiento no lineal, lo cual implica que estas características se encuentran
correlacionadas con el espesor y rigidez de las capas de confinamiento (IDU, Uniandes;
2000).
Debido a esto, el análisis del comportamiento del material bajo la aplicación de cargas
repetidas debe contar con una modelación de su estado de confinamiento (p.e. máquinas
triaxales), lo cuál trae implícito que la variabilidad de los resultados obtenidos depende en
gran medida de la variabilidad de las características físicas y mecánicas de las capas
aledañas.
En la práctica, se han determinado los siguientes rangos probables de la relación entre los
módulos de las capas granulares (Manual de Microzonificación Sísmica; 1996):
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
# de ensayos
-0,1
6
-0,2
0
-0,2
4
-0,2
8
-0,3
2
-0,3
6
-0,4
0
-0,4
4
-0,4
8
Pendiente de la Ley de fatiga
ICIV 2003 II 33
24
Ei / E i+1 = Ki (9)
Donde 1 < Ki < 6 (10)
Figura 5. Módulos de las capas de la estructura de pavimento flexible
Resultados de Shell (Manual de Microzonificación Sísmica; 1996) proponen para
estructuras tricapa la siguiente relación de módulos:
E2 = 0,2 h0,45 *E3. (11)
Donde:
h = Altura de la capa granular (mm).
E = Módulos resilientes ( 2 < E2/E3 < 4)
Figura 6. Módulos de las capas de la estructura de pavimento flexible
Para analizar el comportamiento variable del módulo resiliente de la subrasante, se
utilizaron los resultados de ensayos de frecuencia del módulo realizados por Darter (1973)
Capa Tratada
Subrasante
Subbase Granular h
∞ E3
E2
Capa Granular i
Subrasante
Subbase Granular i +1
E i+1
Ei
ICIV 2003 II 33
25
y los resultados de ensayos elaborados en el Centro de Innovación tecnológica de la
Universidad de los Andes para presiones de confinamiento de 1.4 Kg/cm2, 1.05 Kg/cm2,
0.7 Kg/cm2, 0.35 Kg/cm2 y 0.07 Kg/cm2 y esfuerzos desviadores de 0.074 Kg/cm2, 0.141
Kg/cm2, 0,362 Kg/cm2, 1.092 Kg/cm2 y 1.454 Kg/cm2.
La Figura 7 muestra los resultados obtenidos del módulo resiliente de la subrasante. Los
resultados de la prueba estadística del error cuadrado (Anexo 1) muestran que la función
de densidad de probabilidad que mejor se adapta es la normal.
Figura 7. Frecuencia de módulo resiliente de la subrasante
La Tabla 7 muestra los parámetros de la distribución normal del módulo resiliente de la
subrasante
Media (kg/cm2) Desviación Estándar Coeficiente de Variación
790,93 123,38 15,6%
Tabla 7. Parámetros de la distribución normal del módulo resiliente
Para realizar el análisis estadístico del módulo resiliente de la subbase se utiliza la
ecuación (11):
345,0
2 2,0 EE h µµ ×= (12)
05
101520253035
# Ensayos
591,
30
660,
87
730,
43
800,
00
869,
57
939,
13
1008
,70
Módulo Resiliente
ICIV 2003 II 33
26
345,0
2 2,0 EE h σσ ××= (13)
Para h = 25 cm se tiene,
75,189793,7902502,0 45,02 =×=Eµ (14)
03,29638,1232502,0 45,02 =××=Eσ (15)
Coeficiente de Variación = %6,152
2 =E
E
µσ
(16)
La Tabla 8 muestra los parámetros de la distribución de la subbase para una capa de 25
cm:
Media (kg/cm2) Desviación Estándar Coeficiente de Variación
1897,75 290,03 15,6%
Tabla 8. Parámetros de la distribución de la capa de subbase (25cm)
Resultados de ensayos (AASHTO;1985), han demostrado que el módulo resiliente de la
subbase puede afectarse hasta un 10% por la presencia de agua en la estructura. Este
hecho implica que se debe modificar el coeficiente de variación obtenido anteriormente
para la subbase. Por lo tanto, el coeficiente de variación total se calcula de la siguiente
forma:
( ) ( )[ ]22 %%% VariaciónAVariaciónIotalVariaciónT += (17)
donde:
% VariaciónI: es el coeficiente de variación obtenido anteriormente (Eq 16).
% VariaciónA: es el coeficiente de variación del módulo por presencia de agua en la
estructura.
Por lo tanto ( ) ( )[ ] %5,18106,15% 22 =+=otalVariaciónT (18)
La tabla 9 muestra los parámetros finales de la distribución de la subbase para una capa
de 25 cm::
ICIV 2003 II 33
27
Media (kg/cm2) Desviación Estándar Coeficiente de Variación
1897,75 351,66 18,5%
Tabla 9. Parámetros de la distribución de la capa de subbase 25cm)
2.2.4 Tráfico
El comportamiento del tráfico es una variable con la cuál nunca se tiene completa certeza.
A manera de ejemplo, en los últimos 10 años el aumento vehicular en Colombia ha
aumentado más del doble, pasando de 1,13 millones en 1991 a 2,01 millones en el 2002.
A su vez, la dinámica de crecimiento mantuvo una tasa promedio del 7,6% interanaual
entre los años 1991-1998, pasando al 2,4% para los siguientes años (debido a
desaceleración económica). Por esta razón, no es de extrañarse la magnitud de
variabilidad que este parámetro pueda llegar a tener.
Existen diferentes funciones para el cálculo del número acumulado de vehículos que
transitarán en el carril y período de diseño. Para el caso bogotano, el Manual de Diseño
de Pavimentos para Bogotá D.C propone la siguiente función, la cuál utiliza un modelo
exponencial para proyectar el tránsito:
( )( ) CAM
rLnrYXTPDNE
n
×⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−+
×××=1
11*365 (19)
Donde:
TPD: Tráfico Promedio Diario.
X: Porcentaje de vehículos pesados.
Y: Porcentaje de vehículos pesados que utilizan el carril de diseño
n: Tasa de crecimiento anual del tráfico (incluye tráfico atraído y generado)
CAM: Coeficiente de agresividad (factor para convertir a ejes estándar de 13 toneladas)
Resultados de estudios (AASHTO; 1985) han demostrado que las variabilidades de los
parámetros utilizados para el cálculo del número de vehículos proyectado (utilizando el
modelo exponencial) es el siguiente:
ICIV 2003 II 33
28
Parámetro Coeficiente de Variación
TPD 15%
% Vehículos Pesados 10%
Modelo de Crecimiento 10%
Factor de Conversión (CAM) 35%
Promedio de ejes por Camión 10%
Tabla 10. Coeficientes de Variación para Tráfico (AASHTO,1985)
El coeficiente de variación total se calcula de la siguiente forma:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 418,010,001515,010,010,035,0 222222 =+++++=TOTALCOV (20)
2.2.5 Espesor de las Capas
La variabilidad entre los espesores de diseño y los realizados en el terreno depende del
espesor total de cada capa, ya que desde el punto de vista constructivo es más factible
obtener coeficientes de variación mayores para capas delgadas.
El hecho anterior se soporta por resultados empíricos (Darter; 1973) que muestran que la
variable aleatoria del espesor de la rodadura se distribuye normalmente con un coeficiente
de variación del 15%. Por otro lado, la variable aleatoria del espesor de la base y la
subbase se distribuye normalmente con un coeficiente de variación del 10% (Sherman;
1971).
ICIV 2003 II 33
29
Figura 8 (Darter; 1973). Frecuencia de distribución del espesor de la rodadura para 1100 ensayos
para un espesor de diseño de 8 cm.
2.3 CONCLUSIONES
El análisis anterior demuestra que los parámetros de diseño cuentan con fuentes de
incertidumbre que hacen imposible designar un valor fijo a cada parámetro. Este hecho
implica que los parámetros para determinar las deformaciones admisibles del Manual de
Diseño de Pavimentos para Bogotá D.C tienen un carácter aleatorio.
Para entender el efecto de la variabilidad de las deformaciones admisibles en la
probabilidad de que los pavimentos tengan un deterioro temprano (falla), es necesario
diseñar un modelo matemático que describa la situación de falla y que contemple la
aleatoriedad de las deformaciones admisibles y solicitadas. A continuación se describe la
teoría básica de confiabilidad estructural.
0
20
40
60
80
100
# de Ensayos
5,1
5,6
6,1
6,6
7,1
7,6
8,1
8,6
9,1
9,7
10,2
10,7
11,2
Espesor de Rodadura
ICIV 2003 II 33
30
3. CONFIABILIDAD ESTRUCTURAL
3.1 TEORÍA BÁSICA DE LA CONFIABILIDAD ESTRUCTURAL
A pesar de que todos los diseños en ingeniería se realizan para satisfacer diferentes
necesidades para un tiempo y recursos limitados, siempre existe la posibilidad de que las
estructuras fallen. Este hecho se debe en gran medida a las limitaciones de los diseños
en su intento por acercarse a la realidad, ya que existen numerosas fuentes de
incertidumbre asociadas a los parámetros y condiciones de diseño para las estructuras
(ver Análisis de Incertidumbre).
La posibilidad de que las estructuras fallen se cuantifica de la siguiente forma
(Sánchez ;2003):
)0( ≤−= SRpp f (21)
]0),([ ≤= SRGpp f (22)
donde,
R : variable aleatoria de resistencia.
S: variable aleatoria de la solicitación.
G: función de estado límite.
Lo anterior indica que la probabilidad de falla es igual a la a la probabilidad de violación de
la función estado límite con función de densidad de probabilidad conjunta:
∫∫=≤−=D
RSf drdssrfSRpp ),()0( (23)
Donde la zona de integración D está definida por la región en la cuál ocurre la falla.
Para el caso en que R y S sean variables independientes la ecuación queda de la
siguiente forma:
ICIV 2003 II 33
31
∫∫=≤−=D
SRf drdssfrfSRpp )()()0( (24)
A su vez, si la función de densidad de probabilidad acumulada de una variable X está
definida por:
∫∞−
=≤=x
XX dttfxXpxF )()()( (25)
Entonces,
dxxfxFSRpp SRf )()()0( ∫∞
∞−
=≤−= (26)
La ecuación (26), se conoce como la ecuación de convolución y su significado se describe
en la Figura 9.
Figura 9. (Sánchez, 2002). Problema básico de la confiabilidad.
FR(x) es la probabilidad de que R < x, lo cuál es la probabilidad de que la resistencia de la
estructura tome un valor menor o igual a x. Por otro lado, fS(x) es la probabilidad de que la
solicitación tome un valor entre x y (x+∆x) cuando ∆x se aproxima a 0. Con lo cuál el
término )()( xfxF SR describe la situación para la cuál la solicitación supera la
resistencia.
En la mayoría de las aplicaciones prácticas las funciones de resistencia y solicitación
dependen de un conjunto de variables descritas mediante el vector
),...,( 3,21 nXXXXX =v
. (27)
FR(x)fS(x)
x = a
P(x<a<x+ ∆ x) ≈ fS(a); ∆ x→ 0
P(x < a) = FR(a)
X
FR(x),fS(x)
1.0
0.0
FR(x)fS(x)
x = a
P(x<a<x+ ∆ x) ≈ fS(a); ∆ x→ 0
P(x < a) = FR(a)
X
FR(x),fS(x)
1.0
0.0
ICIV 2003 II 33
32
Por ejemplo ),...,()( 3,21 kXXXXXR =v
y ),...,()( 3,21 nkkk XXXXXS +++=v
.
Por lo tanto, si el conjunto de variables básicas del sistema está definido por el vector
),...,( 3,21 nXXXXX =v
la función de estado límite puede expresarse como:
0),...,( 3,21 == nXXXXG (28)
La función conjunta de distribución de probabilidad acumulada debe obtenerse mediante
un proceso de integración múltiple sobre las variables básicas. Como ejemplo, para la
resistencia:
dxxfrF rRXD
R )(....)( ∫ ∫= r (29)
donde, D es el rango de integración y RXr
es el conjunto de variables que definen la
resistencia. Finamente La función de estado límite de todo el sistema se puede definir
como 0)( =XGr
y la probabilidad de falla del sistema se calcula como:
xdxfXGpp XXG
fvrr
r
r)(....]0)([
0)(∫ ∫
≤
=≤= (30)
donde, )(xfX
rr es la función de densidad de probabilidad conjunta para el vector de
variables básicas en el espacio n- dimensional Xr
.
Rara vez la solución de la ecuación (30) es analítica, por lo que es necesario recurrir a
análisis por métodos aproximados como FOSM/SORM o por métodos de simulación (p.e.
Monte Carlo).
3.2 CONCLUSIONES La teoría de la confiabilidad puede ser aplicada a cualquier tipo de estructura, ya que el
único requisito es definir la función de estado límite de la resistencia y la solicitación. Para
el caso de pavimentos, la resistencia de la estructura puede representarse mediante la
deformación admisible en cada capa, mientras la solicitación de la estructura se puede
representar mediante la deformación producida por las cargas dinámicas del tráfico.
ICIV 2003 II 33
33
Antes de profundizar en la definición de las funciones de resistencia y solicitación, es
fundamental entender el proceso para resolver la función de densidad de probabilidad
conjunta. A continuación se describe la teoría de las simulaciones de Monte Carlo.
3.3 SIMULACIÓN DE MONTE CARLO
La historia de la simulación se remonta 5000 años atrás con un juego de guerra Chino
llamado weich´i , que a su vez fue utilizado por los Prusianos (1780) para entrenar a su
ejercito. Más adelante, en la segunda guerra mundial, el matemático Von Neuman
desarrolló un nuevo concepto, Simulaciones de Monte Carlo, que utilizó en su laboratorio
ubicado en Alamos (Nuevo México; USA), para resolver problemas físicos asociados con
los neutrones. La naturaleza aleatoria del comportamiento de los neutrones lo llevó a
utilizar la rueda de la ruleta, lo que lo llevó a darle el nombre de Monte Carlo, mostrando
la relación entre los juegos de azar y el carácter aleatorio y estadístico de la simulación.
Gracias a los estudios realizados por Neuman y a los avances tecnológicos, el método se
desarrolló hasta convertirse en una herramienta fundamental para todo tipo de áreas
donde exista carácter aleatorio.
Básicamente la simulación de Monte Carlo se puede resumir en los siguientes pasos:
Definir el problema en términos de todas las variables aleatorias.
Determinar los parámetros de las funciones de distribución de probabilidad para cada
variable aleatoria.
Generar valores aleatorios para cada variable.
Aplicar la función de distribución inversa a cada variable por medio de los valores
aleatorios y los parámetros de la función de distribución de probabilidad (para el caso
de la distribución normal estándar, la media y la desviación estándar).
Resolver el problema determinísticamente para cada conjunto de variables que
representen el escenario.
Extraer información probabilística y estadística de los resultados.
Determinar la eficiencia y la precisión de la simulación.
En el caso de no contar con programas de computación que tengan funciones
generadoras de números aleatorios, se puede utilizar el procedimiento de la transformada
ICIV 2003 II 33
34
inversa, ya que la función de distribución de una variable aleatoria X está definida en el
rango [0,1] (p.e. ])1,0[;)( ∈= iiix uuxF ) lo cuál lleva a resolver para ix :
)(1iXi ufx −= (31)
El análisis estadístico de los resultados obtenidos de la simulación se lleva a cabo por
medio de los resultados obtenidos para cada conjunto de datos que representan el
problema y que fueron analizados determinísticamente. Por lo tanto para N simulaciones
la probabilidad de falla se calcula de la siguiente manera:
NxGnp f
0))(( ≤=
r
(32)
donde ))(( xGn res el número de simulaciones para las cuales es resultado es una falla en
el sistema.
ICIV 2003 II 33
35
4. MODELACION DEL PROBLEMA DE CONFIABILIDAD PARA PAVIMENTOS 4.1 CONFIABILIDAD EN PAVIMENTOS
Debido a que los pavimentos cuentan con una estructura mullticapa, la falla de toda la
estructura sucederá en el momento que cualquiera de sus capas falle. Este hecho se
puede modelar mediante un sistema en serie, para el cuál se tiene la siguiente ecuación
para n componentes (capas):
)1(11
∏=
−−=n
ifif pp (33)
donde:
ip es la probabilidad de falla de la capa i del pavimento
fp es la probabilidad de falla de toda la estructura
Para evaluar la probabilidad de falla de cada capa ( ip ) se utilizara la ecuación (32)
NxGnp f
)0)(( ≤=
r
(32)
donde
)(xG v : es la función de estado límite
))(( xGn v : es el número de simulaciones para las cuales la capa falla
N: es el número total de simulaciones
Para propósitos de este proyecto la función de estado límite para cada capa se define de
la siguiente forma:
)()()( zSzRSRG ii −=− (34)
donde:
Ri (Z) es el parámetro de la resistencia y Si (Z) el de la solicitación para la capa i a una
profundidad z.
ICIV 2003 II 33
36
La resistencia de las capas asfálticas estará determinada por las deformaciones máximas
admisibles a tensión en la base (Figura 1) y la resistencia de la subrasante estará
determinada por la deformación máxima admisible por compresión.
La deformación admisible se calculará de misma forma como lo evalúa el Manual de
Diseño de Pavimentos para Bogotá D.C (Eq. 4) bajo la modificación de cambiar los
parámetros de corrección de incertidumbre por ξ [variable aleatoria con media 1 y
desviación estándar 0,22 cuyo objetivo es el de tener en cuenta la incertidumbre por
temperatura (Caro, Sánchez; 2003)] ya que alterarían la confiabilidad del pavimento.
Por lo tanto, la ecuación de resistencia queda de la siguiente forma:
ξεb
iNzR ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= 66 10
)( (35)
Por otro lado, la solicitación depende únicamente de la deformación máxima producida
por la carga de un eje estándar (esta carga es aleatoria), así que es posible definir la
solicitación como una variable aleatoria Ki (donde i es la capa).
Finalmente la función de estado límite puede reescribirse como:
i
b
KNSRG −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=− ξε 66 10
)( (36)
4.2 DETERMINACIÓN DE LA PROBABILIDAD DE FALLA EN PAVIMENTOS FLEXIBLES
Con base en la modelación anterior y en los resultados del análisis estadístico, el
procedimiento para determinar la probabilidad de falla de los pavimentos flexibles se
resume en la tabla 11. Este procedimiento se llevó a cabo bajo el programa “Prediseño
de Estructuras de Pavimento (Caro, García; 2001).
ICIV 2003 II 33
37
Tabla 11. Procedimiento para determinar la probabilidad de falla de la estructura
Determinar los parámetros de distribución para cada variable aleatoria del diseño
Solucionar la función de estado límite (Eq. 36) para el número de iteraciones requeridas
Generar números aleatorios para cada variable (Eq. 31)
Aplicar la función de distribución inversa a los números aleatorios con los parámetros de distribución de cada variable.
Encontrar las deformaciones máximas solicitadas (modelo mecánico DEPAV) para cada capa utilizando los parámetros determinados en el punto anterior
Determinar el punto anterior para cada capa
Determinar la probabilidad de falla de toda la estructura (Eq.33)
ICIV 2003 II 33
38
5. RESULTADOS DEL CÁLCULO DE PROBABILIDADES DE FALLA EN ESTRUCTURAS DE PAVIMETO FLEXIBLE
5.1 PARAMETROS CONSIDERADOS EN EL CÁLCULO DE PROBABILIDAD DE
FALLA DEL PAVIMENTO FLEXIBLE Los parámetros de las distribuciones (σ y µ) y las funciones de densidad de probabilidad
de los distintos factores de diseño se determinaron en el Capítulo 2, e cuál demostró que
la gran mayoría de las variables de diseño se distribuyen normalmente.
Para efectos del cálculo de confiabilidad de los pavimentos, la distribución de las variables
del tráfico y el espesor de materiales se supone lognormal, ya que las atas variabilidades
generaban valores negativos para estos factores.
Las Tablas 12, 13 y 14 resumen los parámetros y las funciones de densidad de
probabilidad para cada variable de diseño:
Parámetro Distribución de Probabilidad
Tráfico Lognormal
Módulos de los Materiales Normal
ε6, deformación para un millón de ciclos de carga
Normal
Espesor de las capas Lognormal
Radio de Carga Normal
Presión de inflado Normal
Tabla 12. Parámetros considerados en el cálculo de la probabilidad de falla del pavimento
ICIV 2003 II 33
39
Modulo Espesor Fatiga
Material E
(kg/cm2)
%
Variación
σ
(kg/cm2)
Esp.Aprox
(cm)
%
Variación
σ
(cm)
e6
(kg/cm2)
%
Variación
σ
(kg/cm2)
Rodadura 41100 37 15216 7 15 1.05 1,52*10-4 28 4,27*10-5
Base Asfáltica
90000 38 34200 25 10 2,5 8*10-5 28 2,24*10-5
Base Granular
3000 18,5 555 30 10 3 ------------- -------------- -------------
Subrasante 800 15,6 124,8 ------------ ------------ ------- ------------ ------------- -----------
Tabla 13. Parámetros de los materiales considerados en el cálculo de la probabilidad de falla del
pavimento
Parámetro Media % Variación σ
Tráfico (número de vehículos pesados )
15 años
6*106 41,8 2,5*106
Presión de Inflado (kg/cm2)
6,492 10 0,649
Radio de Carga (cm) 12,5 10 1,25
Pendiente de la Ley de Fatiga -0,28 ----------------- -----------------
Relación de Poisson 0,35 ------------------- -------------------
Tabla 14. Parámetros considerado en el cálculo de la probabilidad de falla del pavimento
5.2 PROBABILIDAD DE FALLA EN PAVIMENTOS FLEXIBLES
El diseño determinístico propuesto por el Manual de Diseño de Pavimento para Bogotá
D.C para un tráfico de 6 millones (proyectado a 15 años) de vehículos pesados, una
“probabilidad de falla” del 20% (Capítulo 2) y características mecánicas de los materiales
y subrasante igual a la media de las Tablas anteriores, tiene como resultado la siguiente
estructura:
ICIV 2003 II 33
40
Figura 10. Estructura de pavimento obtenida por el Manual de Diseño de Pavimentos para Bogotá
La probabilidad de falla de esta estructura utilizando los parámetros y distribuciones de las
variables de diseño mostradas en las Tablas anteriores se muestra en la Figura 11.
Esta Figura muestra que la probabilidad de falla de la estructura de pavimento flexible
(para 15 años) es de 62,3%.
Figura 11. Probabilidad de falla de la estructura de pavimento flexible (15 años)
Rodadura
Base tratada con ligante asfáltico
Subbase SUBRASANTE
25 cm
30 cm
7 cm
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
Probabilidad de falla
Estructura Rodadura Baseasfáltica
Subbase Subrasante
Capas
ICIV 2003 II 33
41
Este hecho muestra que lo más probable, es que la estructura tenga un deterioro
temprano a lo largo de sus 15 años de vida.
En este punto es fundamental determinar cuál es la relación entre probabilidad de falla e
inversión con la cuál se debe diseñar, o en pocas palabras cuál es el riego de falla de
pavimentos que se está dispuesto a asumir. La respuesta a esta pregunta depende de la
aversión al riesgo y las posibilidades económicas de las partes comprometidas a la vía.
En términos generales, una estructura debe tener al menos una confiabilidad del 75% a lo
largo de su vida de diseño, lo cuál indica que la probabilidad de falla del 62,5% sobrepasa
cualquier límite aceptable.
Otra conclusión que puede obtenerse del análisis anterior, es que la falla de la estructura
se encuentra comprometida por la base asfáltica (probabilidad de falla de 58%), puesto
que la probabilidad de falla de la subrasante y la capa de rodadura no supera el 7%.
La probabilidad de falla de la capa granular subbase es 0%, ya que para estas capas no
se tiene parámetros mecánicos de control.
5.3 DETERIORO DEL PAVIMENTO A TRAVÉS DEL TIEMPO
Conocer el proceso de deterioramiento de un pavimento a lo largo de su vida de diseño,
es fundamental para implementar planes de mantenimiento oportunos, los cuáles puedan
prevenir el daño completo de la estructura y de esa forma garantizar el nivel de
serviciabilidad de la vía. Para conocer el proceso de deterioramiento, se calculó la
probabilidad de falla de la estructura para 1,5,10,15,20 y 30 años, lo cuál trajo el siguiente
resultado:
Años Prob falla 1 11% 5 35% 10 52% 15 62% 20 72% 30 85%
Tabla15. Probabilidad de falla a través del tiempo
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42
Figura 12. deterioro del pavimento a través del tiempo
El análisis anterior muestra que la probabilidad de deterioramiento temprano (falla) del
pavimento para los primeros 5 años es del 35%, lo cuál alcanza el límite máximo
planteado anteriormente. Para solucionar este problema se pueden desarrollar dos
alternativas:
1. Aumentar el espesor de diseño de las capas del pavimento para reducir la
probabilidad de falla.
2. Mantener la estructura de pavimento cada 5 años, lo cuál implica mantener la vía 3
veces a lo largo de su vida de diseño.
A su vez, el análisis anterior es determinante para determinar, desde el punto de vista
financiero, el momento oportuno para mantener el pavimento, ya que el costo de
mantenimiento depende del nivel de daño de la estructura.
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0 5 10 15 20 25 30Años
Prob
abili
dad
de F
alla
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43
Para determinar este momento oportuno, debe calcularse el valor esperado de inversión
en mantenimiento para cada año, el cuál se define de la siguiente forma:
iFii InversiónPVE ×= (37)
donde:
i: año para el cuál se evalúa el valor esperado
VE: valor esperado
Pf: probabilidad de falla
Inversión: costo del mantenimiento
Por lo tanto, el valor esperado de inversión para el año i que tenga menor valor, es el que
determina el momento oportuno de inversión. Para el caso en que se quiera realizar
varios mantenimientos a través del tiempo, se puede utilizar el concepto anterior aplicado
en árboles de decisión, los cuáles deben describir todas las opciones posibles de
mantenimiento (p.e. mantengo en el año 5 y 10 ó en el 2 y 14, etc..).
5.4. DETERIORO DE LAS CAPAS DE PAVIMENTO A TRAVÉS DEL TIEMPO La Figura 13 muestra el deterioro de las capas más afectadas de la estructura de
pavimento con el transcurso del tiempo. La probabilidad de falla de la base asfáltica para
30 años es 8 veces mayor que la probabilidad de falla de la subrasante. A su vez, la capa
de la subrasante tiene un excelente comportamiento los primeros 10 años, representado
en una probabilidad de falla menor al 1%.
Este análisis indica que las actividades de mantenimiento para los 15 años después de
construir el pavimento pueden enfocarse en la base asfáltica. Lo que implica que el
cálculo del valor esperado (Eq. 37) de mantenimiento depende de la inversión que deba
hacerse para mejorar las propiedades mecánicas de la capa asfáltica de la base
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44
Figura 13. Deterioro de la base y la subrasante a través del tiempo
.5.5 VARIABILIDAD DEL DISEÑO RACIONAL VS PROBABILIDAD DE FALLA
Como se mencionó anteriormente, el Manual de Diseño de Pavimentos para Bogotá D.C
utiliza un factor de variabilidad denominado “probabilidad de falla”, el cuál es realmente un
factor de variabilidad (Capítulo 2) que afecta la deformación máxima admisible a tensión
de las capas asfálticas.
Para analizar el impacto de este valor en la confiabilidad de la estructura, se calculó la
probabilidad de falla real para factores de variabilidad de 1%, 10%, 20%, 30%, 40% y
50%.
La Figura 14 muestra que el factor de variación tiene un altísimo impacto en la
probabilidad de falla de la estructura para valores de variación del 1% y el 10%, ya que la
probabilidad de falla aumenta del 10% al 40% respectivamente. Esto indica que se debe
tener precaución en definir el factor de variación para el rango del [1%, 10%].
Por el contrario el factor de variación para valores entre el 10% al 30% no ocasiona
ninguna respuesta en la probabilidad de falla. Este hecho puede deberse a que el factor
de variación del Manual no tiene ningún efecto en el dimensionamiento de las capas de la
estructura para valores entre 10% y 30%.
0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%
0 5 10 15 20 25 30
Años
Prob
abili
dad
de F
alla
Base AsfálticaSubrasante
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Figura 14. Relación entre el factor de variación del manual de diseño y la probabilidad de falla de
la estructura.
La figura 15 muestra la relación entre el factor de variación del Manual de Diseño de
Pavimentos para Bogotá D.C y la probabilidad de falla de las capas.
Los resultados mostrados comprueban que la única capa que se encuentra afectada por
este factor es la base asfáltica, ya que la subrasante sólo se afecta para valores mayores
al 40% y la rodadura tiene un comportamiento indiferente para todos los valores.
Figura 15. Relación entre el factor de variación del diseño y la probabilidad de falla para las capas
0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60%
Factor de Variación
Prob
abili
dad
de F
alla
R
eal
0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60%
Variabilidad del Diseño
Prob
abili
dad
de F
alla
RodaduraBase asfálticaSubrasante
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5.6 CONFIABILIDAD DEL DISEÑO PARA DIFERENTES TRÁFICOS Para entender la relación entre la confiabilidad del pavimento y el diseño para diferentes
tráficos se calculó la probabilidad de falla para tráficos bajos, medios y altos.
La Tabla 16 muestra los espesores diseñados para cada tipo de tráfico y la Figura 16
muestra la relación de probabilidad de falla vs tráfico, donde se observan dos puntos
críticos para los tráficos de 5*106 y 1,25*107 vehículos acumulados en el carril y período
de diseño.
El resultado muestra una relación indirecta entre la confiabilidad del diseño y el aumento
del tráfico hasta 5*106 vehículos. Por el contrario, a partir de este punto el diseño se
vuelve mucho más confiable para tráficos hasta de 8,66*106.
Lo anterior muestra que la confiabilidad de los diseños realizados bajo las
recomendaciones del Manual de Diseño de Pavimentos para Bogotá D.C varía
ampliamente para diferentes tráficos (más de un 50%), lo cuál implica que las
deformaciones admisibles recomendadas son más rigurosas para tráficos T4 que para
tráficos T2 y T1.
Tráfico # Vehículos Acumulados Espesor Total
T1 2,62,E+05 47
T2 1,45,E+06 55
T4 5,65,E+06 62
T4 8,66,E+06 76
T5 1,25,E+07 81
Tabla 16. Espesores determinados por el Manual de Diseño de Pavimentos para Bogotá D.C para
diferentes tráficos
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47
Figura 16. Probabilidad de falla vs Diseño para diferentes tráficos
5.7 PROBABILIDAD DE FALLA VS PRESIÓN DE INFLADO La Figura 17 muestra que la confiabilidad del pavimento es indiferente a la variabilidad de
la presión de inflado. A su vez, es importante recalcar el hecho que la mayoría de los
operadores de vehículos pesados conocen muy bien el desgaste de la llanta por mantener
una presión de inflado diferente a la indicada. Resultados empíricos demuestran que
mantener una presión de inflado con un coeficiente de variación del 30% ocasiona una
pérdida de vida útil hasta del 40%, por tal razón la variabilidad de la presión de inflado no
tiene consecuencias importantes para la vida útil del diseño.
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
0,00,E+00 5,00,E+06 1,00,E+07 1,50,E+07 2,00,E+07 Vehículos Acumulados en el carril de Diseño
Prob
abili
dad
de F
alla
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Figura 17. Análisis de sensibilidad para la presión de Inflado
5.8 SENSIBILIDAD DEL ESPESOR DE LA RODADURA EN LA CONFIABILIDAD DE
PAVIMENTOS
Para conocer el efecto de la variabilidad del espesor de la rodadura en la confiabilidad del
pavimento flexible, se calculó la probabilidad de falla de la estructura para los porcentajes
de variación del espesor de 1%, 5%, 10%, 15%, 20% y 30%. Los resultados presentados
por la Figura 18 muestran una aparente indiferencia entre la falla de la estructura con
respecto al espesor de la rodadura, lo cuál resulta poco normal. Una causa de este
comportamiento puede ser la alta variabilidad de todos los otros parámetros, que en
conjunto, impiden analizar el impacto de la variación del espesor en la confiabilidad del
pavimento.
Para probar lo anterior, se determinó la probabilidad de falla de la estructura para los
mismos coeficientes de variación anteriores, bajo la modificación de reducir todas las
variabilidades de los otros parámetros a 1%. Los resultados obtenidos se muestran en la
Figura 19, donde se concluye que el problema no radicaba en la variabilidad de los otros
parámetros.
0,10,20,30,40,50,60,70,80,9
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60%
Variabilidad de Presión de Inflado
Prob
abili
dad
de F
alla
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Figura 18. Sensibilidad del espesor de la rodadura
Figura 19. Impacto de la variabilidad del espesor de la rodadura en la probabilidad de falla de la
estructura modificando las variabilidades de los otros parámetros a 1%
1 0 %
2 0 %
3 0 %
4 0 %
5 0 %
6 0 %
7 0 %
8 0 %
9 0 %
0 % 5 % 1 0 % 1 5 % 2 0 % 2 5 % 3 0 % 3 5 %
V a ria b ilid a d d e l E s p e s o r d e R o d a d u ra
Prob
abili
dad
de F
alla
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60%
Variabilidad de espesor de Rodadura
Prob
abili
dad
de F
alla
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El problema puede deberse a los parámetros de la distribución de la variable del espesor
de la rodadura, ya que al calcular el diseño determinísticamente, se toma el espesor
obtenido (que cumple con la deformación admisible) por el modelo mecánico como media,
lo cuál implica que se parte cumpliendo los límites. Este hecho puede generar que al
aplicar variabilidades a la resistencia (deformación por tracción en la base) y a la
solicitación no se genere una respuesta importante de la función de estado límite. Para
probar lo anterior, se podría calcular las diferentes probabilidades de fallas para
estructuras con diferente espesor de rodadura pero con los mismos espesores de las
otras capas y para los mismos parámetros de diseño. Esto a diferencia de lo que se
realizó anteriormente, implicaría partir por encima o por debajo de la zona límite de falla.
5.9 CONCLUSIONES
Los resultados de este capítulo muestran que la probabilidad de obtener un deterioro
temprano en la estructura de pavimento diseñado bajo las recomendaciones del Manual
de Diseño de Pavimentos para Bogotá D.C para un tráfico de 6 millones de vehículos y
con un factor de variación del 20%, es de aproximadamente de un 60%. Para determinar
si esta posibilidad de falla es aceptable, de deben definir límites de aceptabilidad de
riesgo, con los cuales se determine la necesidad de aumentar las dimensiones de las
capas o simplemente aceptar el diseño original.
Para tener actividades de mantenimiento oportunas, eficientes y rentables, se debe
realizar un análisis de valor esperado, el cuál se determina con la probabilidad de falla de
la estructura y el costo de mantenimiento para cada año.
El término de “probabilidad de falla” utilizado por el manual, se representa mejor como un
factor de variabilidad, cuyo impacto en la confiabilidad de la estructura depende del valor
que le asigne el diseñador, ya que para el rango de [0%, 15%] este término afecta la
confiabilidad de la estructura hasta un 60%.
Existen algunos parámetros de diseño como la presión de inflado, cuya variabilidad no
repercute en la probabilidad de falla del pavimento, lo cuál indica que puede tratarse como
una variable determinística.
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La confiabilidad de la estructura de pavimento depende principalmente de la capa
asfáltica de la base, lo cuál indica que las actividades de mantenimiento deben enfocarse
en mejorar las propiedades mecánicas de esta capa.
Los análisis de sensibilidad para la confiabilidad estructural de pavimentos tiene
complicaciones para algunos factores (p.e. espesor de la rodadura), ya que éstos parten
cumpliendo la función de estado límite. Este hecho hace que la variabilidad de sus
valores no afecte de una manera representativa la probabilidad de deterioro de los
pavimentos.
.
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6. CONCLUSIONES
La teoría de la confiabilidad puede ser aplicada a cualquier tipo de estructura, ya que el
único requisito es definir la función de estado límite de la resistencia y la solicitación. Para
el caso de pavimentos, la resistencia de la estructura puede representarse mediante la
deformación admisible en cada capa, mientras la solicitación de la estructura se puede
representar mediante la deformación producida por las cargas dinámicas del tráfico.
La importancia de implementar modelos probabilísticos en los diseños racionales de
pavimentos radica fundamentalmente en el logro de acercarse a la realidad, lo cuál trae
como consecuencia estructuras eficientes y económicas. Estos modelos deben realizarse
para cada proyecto, ya que las fuentes de incertidumbre son diferentes para proyectos
distintos.
La omisión del carácter aleatorio de parámetros de diseño (p.e. tráfico) trae como
consecuencia el aumento de la posibilidad de deterioro temprano de los pavimentos.
Las actividades de mantenimiento deben tener la capacidad de prever el momento para el
cuál un pavimento pierde su funcionalidad. A su vez, desde el punto de vista financiero,
existe un momento preciso para mantener la vía, puesto que de lo contrario la inversión
en rehabilitación perjudicaría la rentabilidad del proyecto.
Resulta fundamental en el proceso de diseño, fijar límites de aceptabilidad del riego, ya
que estos límites obligan a aumentar o aceptar la estructura obtenida con base en las
especificaciones del “Manual de Diseño de Pavimentos para Bogotá D.C
El término de “probabilidad de falla” utilizado por el manual, se representa mejor como un
factor de variabilidad, cuyo impacto en la confiabilidad de la estructura depende del valor
que le asigne el diseñador, ya que para el rango de [0%,15%] este término afecta la
confiabilidad de la estructura hasta un 60%.
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La gran cantidad de fuentes de incertidumbre para el tráfico llevan a considerar
variabilidades hasta el 42% para la estimación del número de ejes acumulados en el
carril y período de diseño.
Para el caso de pavimentos flexibles se recomienda mantener el pavimento 5 años
después de construido, pues de esta forma se controlará una probabilidad de falla
máxima de 30%.
El Manual de Diseño para Bogotá D.C tiende a ser más confiable para tráficos altos, ya
que la probabilidad de falla para un tráfico T4 (5,65*106) es del 80%, mientras que para el
tráfico T5 (1,25*107) es del 30%, lo cuál es más del doble.
La capa crítica en una estructura de pavimento flexible es la base asfáltica, ya que para
un tráfico proyectado a 15 años de 6´000.000 de vehículos, la probabilidad de que la capa
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ANEXO 1. PRUEBAS PARA DETREMINAR LAS FUNCIONES DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD A continuación se muestra los resultados de las funciones de densidad de probabilidad que mejor se ajustan al comportamiento aleatorio de las variables del módulo dinámico y ley de fatiga.
A.1.1 Distribución del Módulo Dinámico
Función Sq. Error Beta 0,0239
Gamma 0,0483 Exponencial 0,0496
Erlang 0,0496 Weibull 0,054
Uniforme 0,0628 Lognormal 0,0705 Triangular 0,0851
Tabla 17. Error cuadrado de las funciones de densidad de probabilidad para el módulo dinámico A.1.2 Distribución de la Deformación para un Millón de Ciclos de Carga
Función Sq. Error Normal 0,00868
Beta 0,0191 Triángular 0,0205 Uniforme 0,0885 Weibull 0,0912 Erlang 0,152
Exponencial 0,152 Gamma 0,157
Tabla 18. Error cuadrado de las funciones de densidad de probabilidad para la deformación correspondiente a un millón de ciclos de carga.
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A.1.3 Distribución de la Pendiente de la Ley de Fatiga
Función Sq. Error Triangular 0,04
Normal 0,0866 Uniforme 0,885
Beta 0,091 Exponencial 0,165
Erlang 0,165 Weibull 0,172 Gamma 0,191
Tabla 19. Error cuadrado de las funciones de densidad de probabilidad para la pendiente de la ley de fatiga.
A.1.4 Distribución del Módulo Resiliente de la Subrasante
Función Sq. Error Beta 0,088
Normal 0,0886 Weibull 0,975
Triangular 0,999 Gamma 0,125 Erlang 0,126
Uniforme 0,143 Exponencial 0,171
Tabla 20. Error cuadrado de las funciones de densidad de probabilidad para la pendiente de la ley de fatiga.
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56
9. BIBLIOGRAFÍA AASHTO (1985). Proposed AASHTO Guide for Design of Pavement Structures, NCHRP
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