1. TRES TEORAS SOBRE LA GRAVEDAD: GRAVITACIN UNIVERSAL, RELATIVIDAD GENERAL Y TEORA CONECTADA Xavier Terri Casta

2. SUMARIO 3. PREMBULO1. LA ECUACIN FUNDAMENTAL DE LA DINMICA NEWTONIANA(1) Primer caso: cuerpos libres ()Segundo caso: graves () Si , entonces , cuya solucin es (solucin trivial):Principio de Inercia clsico. Para explicar el movimiento de los cuerpos libres que no obedecen la solucin trivial del principio de Inercia clsico se postula la existencia de los sistemas no-inerciales. CONCLUSIN: La ecuacin fundamental de la dinmica newtoniana establece la dicotoma observador inercial-observador no inercial. Es incompatible con la igualdad de todos los observadores posibles de la naturaleza. Una vez conocida la fuerza, la ecuacin fundamental (1) permite determinar el movimiento generado por dicha fuerza. Vamos a estudiar el movimiento de los graves desde el punto de vista de 3 teoras distintas de la gravedad. 4. GRAVITACIN UNIVERSAL: ISAAC NEWTON1. LEY DE LA GRAVITACIN UNIVERSAL DE NEWTON (2) 1.Teora de la gravitacin de Newton2. Reformulacin de la teora de la gravitacin de Newton: movimiento + campo Se reduce a dos leyes: 1)2) Combinando ambas leyes se obtiene la intensidad del campo gravitatorio, o aceleracin gravitatoria: (3) Las dos anteriores leyes son matemticamente equivalentes a las siguientes dos leyes: 1) Ecuaciones de Movimiento: (o )(4)2) Ecuaciones de Campo: (5) -El signo representa al conocido operador diferencial nabla. -Las Ecuaciones de Campo relacionan el campo,, con la densidad de masa de la fuente gravitatoria. 5. 3. Solucin simtricamente esfrica4. Alternativas a la gravitacin universal de Newton La solucin esfrica de las Ecuaciones de Campo (5) es: (6) Combinando ambas leyes se obtiene la intensidad del campo gravitatorio, o aceleracin gravitatoria: (7) La aceleracin (7) coincide con la aceleracin (3):ambas formulaciones de la teora de la gravedadde Newton son equivalentes. Por varias razones las teora de la gravitacin universal de Newton qued obsoleta desde la Relatividad especial de Einstein. CONCLUSIN: Hay que buscar una alternativa tetradimensionala las Ecuaciones de Movimiento (3) y las Ecuaciones de Campo (4) de Newton. Analizaremos dos posibilidades: 1) Relatividad general de Einstein. 2) Teora conectada. 6. RELATIVIDAD GENERAL: ALBERT EINSTEIN 1. Ecuaciones de movimiento de la Relatividad General Las ecuaciones geodsicas (9) son matemticamente anlogas a las Ecuaciones de Movimiento de Newton (4) en donde la mtrica espaciotemporal,, juega el papel del viejo potencial gravitatorio newtoniano. Esto sugiri a Einstein que en una teora de la gravitacin tetradimensional la propia mtrica del espaciotiempo era la que deba representar al potencial gravitatorio.Basndose en su Principio de Equivalencia Einstein establece sus geodsicas gravitatorias como generalizacin tetradimensional de (3): (8) Las geodsicas gravitatorias de Einstein son una mera generalizacin tetradimensional del Principio de Inercia clsico correspondiente al movimiento de los cuerpos libres con respecto a un observador inercial. Como el superndice puede tomar 4 valores, la ecuacin (8) contiene 4 ecuaciones escalares. El signo D significa diferenciacin covariante. La matemtica demuestra que las ecuaciones geodsicas (8) son equivalentes a: (9) 2. Ecuaciones de campo de la Relatividad General: las ecuaciones de EinsteinEinstein considera que la generalizacin tetradimensional del potencial gravitatorio newtoniano se corresponde con la propia mtrica espaciotemporal. Por tanto, considera que la generalizacin de las Ecuaciones de Campo de Newton (5) deben ser del siguiente tipo general: (10) 7. El operador O representa una generalizacin del operador diferencial nabla, . El tensor energa-impulso,, es una generalizacin de la densidad de masa newtoniana . Comparando (10) con (5) vemos que la mtrica reemplaza al viejo potencial escalar newtoniano y el tensor energa-impulso, la densidad de masa. La ecuacin de campo (10) contiene 10 ecuaciones escalares. En total la Relatividad General contiene 2 ecuaciones que contienen 14 ecuaciones escalares: 4 ecuaciones de movimiento y 10 ecuaciones de campo.Las ecuaciones de campo de la Relatividad General, postuladas por Einstein siguiendo la idea apuntada en (10), se conocen como Ecuaciones de Einstein: (11) CONCLUSIN: La Relatividad General de Einstein es una generalizacin de la Gravitacin Universal de Newton construida sobre la hiptesis de que es la propia mtrica la que debe representar al potencial gravitatorio. 3. Solucin estacionaria simtricamente esfrica La Relatividad General representa la fuente gravitatoria mediante el tensor energa-impulso. Como a travs de (10) este tensor se relaciona con la mtrica, y esta necesita un mnimo de 4 componentes no nulas, incluso para el campo estacionario esfrico la Relatividad General se ve obligada a postular un tensor energa-impulso con cuatrocomponentes. Si la fuente gravitatoria, adems de estacionaria, es un fluido perfecto, entonces la Relatividad General postula: (12) . Sustituyendo (12) en las Ecuaciones de Einstein (11) se obtiene la solucin, conocida como Mtrica de Schwarzschild: (13) 8. El primer elemento de matriz es anlogo, salvo constantes, a la solucin newtoniana (6), cuyas derivadas producan la aceleracin gravitatoria (3) o (7). Con la Mtrica de Schwarzschild(13) y las geodsicas gravitatorias (9), la Relatividad General reproduce la famosa aceleracin newtoniana apuntada en (3): directamente proporcional a la masa e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Esta representacin geomtrica de la gravedad tiene serios inconvenientes. La aceleracin radial gravitatoria obtenida de las geodsicas gravitatorias depende de si est expresada en funcin del tiempo propio o del tiempo coordenado. Expresada en funcin del primero la aceleracin radial es exactamente igual a la aceleracin newtoniana (9), pero expresada en funcin de este ltimo da lugar a resultados absurdos. La discusin requiere tiempo pero est presentada en el artculo de viXra.org La Relatividad General es a lo sumo una teora de la gravitacin La mtrica de Schwarzschild Toda mtrica es una definicin de espaciotiempo, pero la mtrica de Schwarzschild tiene un serio problema: el radio crtico, a partir del cual el tejido espaciotemporal se rompe. -Radio crtico:(14) El primer elemento de matriz de la mtrica (13), la mtrica de Schwarzschild, es igual a cero, y el segundo, infinito. Es posible que la Relatividad General de Einstein no sea la generalizacin adecuada de la Gravitacin Universal de Newton? 9. Aunque matemticamente la Relatividad General es complicada, la idea en la que se basa es muy simple: una mtrica cuyo elemento de matriz cero-cero sea anlogo al potencial newtoniano y despus, mediante las ecuaciones geodsicas (9), derivar con respecto a r este elemento de matriz para reproducir la famosa aceleracin gravitatoria de Newton. Pero, es correcta semejante idea? Permite eliminar la dicotoma entre observadores inerciales y observadores no-inerciales? La Relatividad General, que an contina diferenciando entre observadores inerciales y observadores no-inerciales, es incompatible con la igualdad de todos los observadores posibles de la naturaleza. APUNTE Cuando los elementos de matriz de la mtrica son constantes (mtrica de Minkowski) las ecuaciones geodsicas (9) dan lugar a la solucin trivial del Principio de Inercia clsico: .La idea bsica de la Relatividad General consiste en generar mtricas curvas (mediante las Ecuaciones de Einstein) cuyos elementos de matriz no sean constantes (que sean parecidos al potencial newtoniano (6)) para que, de este modo, las ecuaciones geodsicas (9) puedan dar lugar a soluciones distintas a la solucin trivial. Entonces la Relatividad General interpreta que tales soluciones no triviales corresponden al movimiento de los graves. 10. TEORA CONECTADA1. ECUACIN FUNDAMENTAL1. Ecuacin fundamental de la Teora Conectada Supongamos, el pensamiento es libre, que la Relatividad General fuese errnea. Entonces tanto sus ecuaciones de movimiento como sus ecuaciones de campo seran tambin errneas. Imaginemos: cmo debera ser la alternativa tetradimensional de la Relatividad General? Empecemos por las ecuaciones de movimiento relativistas, las geodsicas gravitatorias (8). Si stas estuviesen equivocadas, entonces ya no sera cierto que , lo cual equivale a decir que: (15)La expresin anterior puede ser apuntada como: (16)algo representa alguna expresin matemtica distinta de 0. Arreglando (16) se obtiene la ecuacin fundamental de la teora conectada: (17) 11. Segundo caso: graves ( ) Primer caso: partculas libres ( ) Si , entonces se obtiene el nuevo Principio de Inercia: (18) Las ecuaciones geodsicas (18) son las mismas que las anteriores ecuaciones (8), pero su interpretacin fsica es ahora radicalmente distinta: segn la Relatividad General los graves obedecen ecuaciones geodsicas (geodsicas gravitatorias), pero segn la teora conectada slo son los cuerpos libres, , los que las obedecen (no existen geodsicas gravitatorias). Hay que postular una ley de fuerza gravitatoria tetradimensional que generalice la ley newtoniana (4). Por diferentes motivos esta ley es (ver Extracto de la teora conectada): (19) El potencial conectado es la generalizacin tetradimensional del potencial newtonianopunto y coma significa derivada covariante con respecto al ndice que sigue. se puede interpretar como una especie de generalizacin de . La Relatividad General interpreta que la generalizacin del viejo potencial newtoniano es la propia mtrica ( ), en cambio la teora conectada introduce un nuevo potencial () distinto a la mtrica. 12. La teora conectada debe buscar unas ecuaciones de campo en las que sea el nuevo potencial conectado, y no la mtrica, el que ejerza el papel de potencial gravitatorio:(21) Las ecuaciones de campo de la teora conectada tienen la siguiente forma general: (22) As apuntadas se parecen a las Ecuaciones de Einstein (11), pero no tienen nada que ver, pues ahora es el potencial conectado, y no la propia mtrica, el que acta como potencial gravitatorio. La ecuacin (22) contiene 10 ecuaciones. Pero tenemos 20 incgnitas: la 10 componentes de la mtrica y las 10 componentes del potencial conectado. Faltan, pues, otras 10 ecuaciones. stas son: (23)En total la teora conectada consta de 3 ecuaciones que equivalen a 24 ecuaciones escalares: 4 de movimiento, 10 de campo y 10 que relacionan la mtrica con el campo. 2. Ecuaciones de movimiento de la Teora Conectada Se obtienen combinando (17) y (19): (20) Estas ecuaciones (20) son la generalizacin de las Ecuaciones de Movimiento de Newton (4). El potencial conectado no puede coincidir con la propia mtrica (), pues en tal caso, por ser las derivadas covariantes de la mtrica nulas ( ), las ecuaciones de movimiento se reduciran otra vez a las geodsicas gravitatorias de la Relatividad General.3. Ecuaciones de campo de la Teora Conectada Antes hemos visto que Einstein buscaba una generalizacin de las Ecuaciones de Campo de Newton (5) en el que la propia mtrica jugara el papel de potencial gravitatorio:(10) 13. Slo aparecern otras componentes no nulas segn sean las componentes de la velocidad de la fuente gravitatoria con respecto al observador (que siempre tiene derecho a considerarse en reposo). La Relatividad General no puede tratar fuentes en movimiento pues incluso en el caso estacionario necesita 4 componentes no nulas. Ver (12). En el caso estacionario slo existe una componente no nula para el potencial conectado: la cero-cero. Resolviendo las ecuaciones (22) y (23) se obtienen estas soluciones: (26)y: (27) Sustituyendo estas soluciones en (20) se obtiene el movimiento del grave. CONCLUSIN La teora conectada es una generalizacin de la Gravitacin Universal de Newton construida sobre la hiptesis de que el potencial gravitatorio viene representado por un nuevo tensor que no coincide con la propia mtrica. 4. Solucin estacionaria simtricamente esfrica El tensor energa-impulso de la teora conectada es: (24) Las tetravelocidades contienen la velocidad de la fuente gravitatoria, por ejemplo, la velocidad del sol con respecto a la tierra. Si la fuente es estacionaria (en reposo con respecto al observador), entonces el tensor energa-impulso es (aproximadamente): (25) 14. Segn la Relatividad General las soluciones no triviales de las ecuaciones geodsicas () sirven para explicar el movimiento de los graves. Pero segn la teora conectada las ecuaciones geodsicas tan slo sirven para explicar el movimiento de los cuerpos libres (los graves no obedecen las ecuaciones geodsicas, sino las ecuaciones de movimiento (20)). Cul es, pues, la funcin de tales soluciones no triviales? Respuesta:Eliminar la dicotoma inercial-no inercial y, en virtud de ello, instaurar la invariancia universal de las leyes fsicas, la ausencia de observadores privilegiados. Las ecuaciones geodsicas tan slo corresponden al nuevo principio de inercia para los cuerpos libres. Las soluciones no triviales de las mismas sirven para eliminar los observadores no-inerciales de Newton. Pero al interpretar Einstein, con su Principio de Equivalencia, que estas soluciones no triviales correspondan al movimiento de los graves cerr la puerta a la invariancia universal de las leyes fsicas.RESULTADOS -Los 3 test clsicos.-El tejido espaciotemporal no se rompe. No hay ceros ni infinitos matemticos. No existen agujeros negros ni horizontes de sucesos.-Para campos intensos predicen curvas de rotacin planas (Materia Oscura): (28) Se imaginan que la teora conectada hubiese sido establecida en 1915? Aparte de los famosos 3 test clsicos, en lugar de considerar un rompecabezas el problema actual de las curvas de rotacin planas estaramos hablando ahora de otro gran xito predicho, con considerable antelacin, por la teora conectada. 15. http://www.librovirtual.org/autor.php?autor=AUT0338 http://xaterri.bubok.com/ Alicia Pardo Mateo