ProposiciónEn filosofía y lógica, el término proposición se usa para referirse a:1

Las entidades portadoras de los valores de verdad.1

Los objetos de las creencias y de otras actitudes proposicionales.1

El significado de las oraciones demostrativas, como «el Sol es una estrella».1

Es un producto lógico del pensamiento que se expresa mediante el lenguaje, sea éste un lenguaje común o formalizado, cuando adopta la forma de oración gramatical, o simbólico, cuando se expresa por medio de signos o símbolos de un lenguaje formal.En Lógica tradicional se distinguen la proposición y el juicio, por cuanto la primera es el producto lógico del acto por el cual se afirma o se niega algo de algo, mientras ese acto constituye el juicio.Para Aristóteles, la proposición es un discurso enunciativo perfecto, que se expresa en un juicio que significa lo verdadero y lo falso como juicio de términos. Por eso el juicio es una afirmación categórica, es decir, incondicionada porque representa adecuadamente la realidad.

Proposiciones CompuestasUna proposición compuesta es una frase que consta de uno o varios sujetos y de un predicado que afirma algo  en   torno a  dichos  sujetos.Los  sujetos  de  una  proposicon  simple  deben ser   todos terminos   singulares.   El   predicado   debe   contener   un   verbo   que   exprese   la   accion   sobre   los sujetos.En matematicas se usan ciertos simbolos para representar predicados de uso frecuente como: el  simbolo “_”, como representante del predicado “es  igual  a “,  y el  simbolo “<” como sustituto de “es menor que”.DisyuncionLa proposición disyuntiva inclusiva admite que las dos alternativas se den conjuntamente.Ejemplo:a) Roberto es profesor o es estudiante. (Puede ser los dos)

La proposición disyuntiva exclusiva no admite que las dos alternativas se den conjuntamente.Ejemplo:b) Elena está viva o está muerta. (No puede ser los dos)

tabla de verdad:

p v q (se lee: ” p o q”)

p = ” El numero 2 es par”q = ” la suma de 2 + 2 es 4″

entonces…pvq: “El numero 2 es par o la suma de 2 + 2 es 4″

p = ” La raíz cuadrada del 4 es 2”q = ” El numero 3 es par″

entonces…

pvq: “La raíz cuadrada del 4 es 2 o el numero 3 es par”ConjuncionLa conjunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad   de   dos   proposiciones,   devolviendo   el   valor   de   verdad verdadero cuando   ambas proposiciones son verdaderas, y falso en cualquier otro caso. Es decir es verdadera cuando ambas son verdaderas.

p ^ q (se lee: ” p y q”)

EJEMPLOS:

p = ” El numero 4 es par”

q = ”Siempre el residuo de los números pares es 2″

entonces…

p^q: “El numero 4 es par y Siempre el residuo de los números pares es 2″

p = ” El numero mas grande es el 34”

q = ”El triangulo tiene 3 lados″

entonces…

p^q: “El numero mas grande es el 34 y El triangulo tiene 3 lados”

Implicación

Cuando se tienen dos proposiciones p y q, se puede construir una dependencia r entre ambas usando una implicación o condicional, lo que significa que si p es verdadera, q será verdadera, pero si p es falsa, q puede tener cualquier valor.En esta forma proposicional se llamara a p la hipótesis o antecedente, y a q la tesis o consecuente.

RepresentaciónEl símbolo de implicación es y la implicación de p y q se representa como , de tal manera que podemos escribir a r como: .Cuando las proposiciones son frases verbales se representa a la implicación como:

q si p p implica q p sólo si q p es suficiente para q q es necesario para p q siempre que p

Doble implicaciónLa doble implicación de las proposiciones p y q, es la proposición Cuya tabla de verdad es:p q V V  V V  F  F F  V  FF  F V

TautologíaEn lógica, una tautología (del griego ταυτολογία, "decir lo mismo") es una fórmula bien formada de un sistema de lógica proposicional que resulta verdadera para cualquier interpretación; es decir, para cualquier asignación de valores de verdad que se haga a sus fórmulas atómicas.1 2 La construcción de una tabla de verdad es un método efectivo para determinar si una fórmula cualquiera es una tautología o no.Tablas de verdadArtículo principal: Tabla de verdadEn un sistema de lógica proposicional, una interpretación no es más que una función que asigna un único valor de verdad a todas las fórmulas atómicas bajo consideración. Diferentes interpretaciones, por lo tanto, difieren sólo en las asignaciones de valores de verdad que hacen. Una tautología es una fórmula bien formada que bajo cualquier interpretación de sus componentes atómicos, tiene valor de verdad 1 (verdadero). Por lo tanto, para determinar si una fórmula cualquiera es una tautología, basta con considerar todas las posibles interpretaciones de las fórmulas atómicas, y calcular el valor de verdad del todo. Esto se logra mediante una tabla de verdad. Por ejemplo, considérese la fórmula p ∧ q. Como a cada fórmula atómica puede asignársele uno de dos posibles valores de verdad, hay en total 22 = 4 posibles combinaciones de valores de verdad. Es decir, cuatro interpretaciones posibles: o ambas son verdaderas; o p es verdadera y q falsa; o p es falsa y q verdadera; o ambas son falsas. Esto puede presentarse mediante una simple tabla:

Para cada una de estas interpretaciones, puede calcularse el valor de verdad de la fórmula p ∧ q. Los resultados pueden presentarse nuevamente mediante una tabla:

Esta es la tabla de verdad de la fórmula p ∧ q. Como se ve, esta fórmula sólo es verdadera bajo una interpretación: aquella en la que ambas fórmulas atómicas son verdaderas. Una tautología es una fórmula cuyo valor de verdad es 1 para todas las interpretaciones posibles de las fórmulas atómicas. Por lo tanto, p ∧ q no es una tautología. En cambio, la siguiente tabla de verdad muestra una fórmula que sí lo es:

Si una fórmula tiene n fórmulas atómicas, entonces tiene 2n interpretaciones posibles. En muchos casos, por lo tanto, las tablas de verdad pueden ser muy grandes. Lo importante, sin embargo, es que dado que la lógica proposicional no admite fórmulas infinitas, el número de interpretaciones posibles siempre será un número finito, y por lo tanto siempre será posible decidir si una fórmula cualquiera es una tautología o no.

ContradicciónEn lógica, una contradicción es una incompatibilidad entre dos o más proposiciones. Por ejemplo, las oraciones «llueve y no llueve» y «ni llueve ni truena, pero llueve y truena» expresan contradicciones.En lógica proposicional, una contradicción se define como una fórmula que resulta falsa para cualquier interpretación, es decir para cualquier asignación de valores de verdad que se haga a sus fórmulas atómicas. Por ejemplo, la siguiente tabla demuestra una contradicción:

Dada esta definición, toda contradicción es la negación de una tautología, y toda tautología es la negación de una contradicción. Siguiendo el ejemplo anterior, al negar la contradicción obtenemos una tautología:

Modus ponendo ponensEn lógica, modus ponendo ponens (en latín, modo que afirmando afirma), también llamado modus ponens y generalmente abreviado MPP o MP, es una regla de inferencia que tiene la siguiente forma:

Si A, entonces BAPor lo tanto, B

Por ejemplo, un razonamiento que sigue la forma del modus ponens podría ser:Si está soleado, entonces es de día.Está soleado.Por lo tanto, es de día.

Otra manera más formal de presentar el modus ponens es:

Y aún otra manera es a través de la notación del cálculo de secuentes:

En la axiomatización de la lógica proposicional propuesta por Jan Łukasiewicz, el modus ponens es la única regla de inferencia primitiva. Esto ha motivado que mucha de la discusión en torno al problema de la justificación de la deducción se haya centrado en la justificación del modus ponens.

Modus tollendo tollensEn lógica, el modus tollendo tollens (en latín, modo que negando niega), también llamado modus tollens y generalmente abreviado MTT o MT, es una regla de inferencia que tiene la siguiente forma:

si A entonces BNo BPor lo tanto, no A

Por ejemplo, un razonamiento que sigue la forma del modus tollens podría ser:Si hay luz solar, entonces es de día.No es de día.Por lo tanto, no hay luz solar.

Es importante evitar caer en el razonamiento incorrecto de:Sólo si es mayor de edad entonces tiene permiso de conducir

No tiene permiso de conducirPor lo tanto, no es mayor de edad.

Es incorrecto puesto que podría ser mayor de edad y no tener permiso de conducir, de ahí la importancia de no confundir la implicación (si p, entonces q o p→q ) con el bicondicional (p si y solo si q o p⇔q), es decir, p es condición para que se pueda dar q, pero p no implica necesariamente q (ser mayor de edad es condición necesaria, pero no suficiente para tener permiso de conducir).Sí sería correcto de este modo:

Si tiene permiso de conducir, entonces es mayor de edadNo es mayor de edadPor lo tanto, no tiene permiso de conducir.

Siguiendo el mismo razonamiento incorrecto del ejemplo del permiso de conducir, el primer ejemplo sea inválido del siguiente modo:

Sólo si es de día, entonces hay luz solar.No hay luz solar.Por lo tanto, no es de día.

Y es incorrecto, porque podría ser de día y no haber luz solar (por tratarse de un día nuboso, por acontecer un eclipse solar, etcétera). Es decir, como se comentaba, que haya luz solar implica que sea de día, pero que sea de día no implica que haya luz solar. Para el caso del posible conductor, que disponga de permiso de conducir, implica que sea mayor de edad, pero que sea mayor de edad, no implica que tenga permiso de conducir.Una manera formal de presentar el modus tollens utilizando conectivas lógicas es:

Otra manera es a través de la notación del cálculo de secuentes:

En lógica proposicional su representación sería la siguiente :