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CAPITULO 4

Conducción en 2D en Estado Estable

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Conducción 2D en Estado Estable• En muchos problemas necesitamos considerar la transferencia de calor en dos

dimensiones• La solución de este tipo de problemas requiere la solución de una ecuación diferencial

parcial

• Esta ecuación se puede resolver analítica (solución exacta), gráfica o numéricamente (soluciones aproximadas)

• Los métodos analíticos requieren series y funciones matemáticamente complicadas.– Solución exacta– Solamente pueden resolverse cierto tipo de problemas

• Métodos numéricos proporcionan resultados aproximados en puntos discretos del volumen de control.

– A menudo son el único medio para resolver un problema pues se adaptan a geometrías complejas y a todo tipo de Condiciones de Frontera (CF)

– Ampliamente utilizados– Gran cantidad de software disponible en el mercado: Fluent, Algor, CFX, StarCD,

flexPDE, etcEn este capitulo nos vamos a concentrar en el método numérico conocido comoDiferencias Finitas (Finite Difference Method)

02

2

2

2

=+∂∂

+∂∂

kq

yT

xT &

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El Método de Diferencias FinitasEs un método aproximado (que puede ser muy exacto) para encontrar la distribución discreta de temperatura del sistema de estudio. Una vez encontrada la distribución de temperatura discreta se puede calcular los flujos de calor aplicando Fourier.

Procedimiento:• Representar el sistema físico por

una red de nodos.• Utilizar el balance de energía

para obtener la ecuación en diferencias finitas para cada nodo

• Resolver el sistema de ecuaciones algebraicas resultante para las temperaturas desconocidas de cada nodo.

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Red NodalLa red nodal consiste en crear puntos discretos donde la temperatura es desconocida y utilizar las letras m,n para designas su localización.

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Aproximación por Diferencias Finitas

La aproximación por diferencias

finitas es utilizada para

representar los gradientes de

temperatura al interior del

dominio de cálculo

x

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Forma de la Ecuación del Calor en Diferencias Finitas

Considerando una profundidad unitaria, estado estable y que todos los flujos se dirigen hacia el nodo de interés

0=+ gin EE &&

∑=

→→−→+

→+→−

=++

+=4

1),()(),()1,(),()1,(

),(),1(),(),1(

inminmnmnmnm

nmnmnmnmin

qqq

qqE&

)1( ⋅∆⋅∆= yxqEg &&

i hace referencia a los nodos vecinos

Transformamos el sistema de ecuaciones diferenciales parciales en un sistema algebraico de ecuaciones

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Forma de la Ecuación del Calor en Diferencias Finitas

Consideremos una superficie plana con convección

0222)2( ,,11,1, =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∆−∆+++ ∞−+− nmnmnmnm Tx

khxT

khTTT

Ver Tabla 4.2 Resumen de las ecuaciones nodales en diferencias finitas para diferentes configuraciones

T∞ , h

m,n-1

m,n+1

m-1,nm,n

∆x

∆y

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 012,1,,1,,,1 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅∆⋅∆

++++ →−→+→− yxqqqqq genconvnmnmnmnmnmnm &0

( ) ( ) ( ) ( )x

TTykq nmnm

nmnm ∆

−⋅∆= −

→−,,1

,,1 1

( ) ( )( )

yTTxkq nmnm

nmnm ∆

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅∆

= −→−

,1,,1, 1

2

( ) ( )( )

yTTxkq nmnm

nmnm ∆

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅∆

= +→+

,1,,1, 1

2

1era ley de la termodinámica en E.E: 0=−∑∑ Wq0

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• Método Iterativo de Gauss-Seidel : Cada ecuación en diferencias finitas se debe escribir de forma explicita, tal que las temperaturas nodales desconocidas aparezcan solas en el lado izquierdo de la ecuación :

• Inversión de Matrices : Sistema de N ecuaciones en diferencias finitas paraN temperaturas nodales desconocidas:

CoeficientesMatriz (NxN)

Vector Solución (T1,T2, …TN)

Vector de Constantes (C1,C2…CN)

Solución

(4.55)

donde i =1, 2,…, N y k es el número de la iteración.

• Que medidas deben tomarse para asegurar que una solución en diferenciasfinitas arroje predicciones correctas del campo de temperatura?

La Inversa de la Matriz de Coeficientes

Solución de las Ecuaciones en Diferencias Finitas

[ ][ ] [ ]CTA =

[ ] [ ] [ ]CAT 1−=

( ) ( ) ( )∑∑+=

−−

=

−−=N

ij

kj

ii

iji

j

kj

ii

ij

ii

iki T

aa

Taa

aCT

1

11

1

Se debe iterar hasta que se satisfaga el criterio de convergencia escogidopara todos los nodos: ( ) ( ) ε≤− −1k

ik

i TT

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Verificación

q1(1) q2

q1(2)

q5

q3

q7(1)

Ts=500K

q7(2) q8

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Ecuaciones en DF Tabla 4.2