Matrices

Una matriz real definida por la letra A es un arreglo rectangular de números reales, donde cada uno de los elementos aij que pertenece a la matriz A tiene dos subíndices. El subíndice i que representa a la fila y el subíndice j que representa la columna en la cuales se encuentran los elementos.

a11 a12 …. a1na21 a22 …. a2n

A= …. …. …. a3n…. …. aij ….am1 am2 …. amn

Matriz triangular superior: Es aquella matriz cuadrada que tiene todos los elementos bajo la diagonal principal iguales a cero. A es una matriz triangular

superior si a ij=0 para i<j y

1 5 6 7

A= 0 20 4 80 0 3 50 0 0 4

Matriz triangular inferior: Es aquella matriz cuadrada que tiene todos los elementos sobre la diagonal principal iguales a cero. A es una matriz triangular

inferior si a ij=0 para j>i

1 0 0 0

A=0 20 0 00 0 5 00 0 0 4

Matriz escalar: Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos sobre y bajo la diagonal principal iguales a cero y los elementos de diagonal principal

iguales entre sí. Esto es a ij=0 para i ≠j, a ij= k con k pertenezcan a el conjunto de los R. la matriz escalar es un caso particular del conjunto de matrices diagonales.

1 0 0 0

A=0 20 0 00 0 5 00 0 0 4

Inversa de una matriz: es aquella que a partir de una matriz cuadrada se puede cumplir con la siguiente afirmación y se denota por A-1

AA-1 = A-1 A=I

La matriz en caso de existir esta debe ser única para la matriz.

Esta cumple con las siguientes propiedades:

Involución de la doble inversa (A-1 ) -1 = A Inversa de la transposición (AT ) -1 = (A-1 ) T

Inversa de la multiplicación por un escalar (K A ) -1 =A-1 K -1

Inversa de la multiplicación entre matrices (B A ) -1 =A-1 B -1

Para poder obtener la inversa de una matriz se utiliza varios métodos.

Método de Gauss-Jordan

Para obtener la inversa se basa en las siguientes operaciones

Multiplicar una fila por una constante k diferente de cero Intercambiar dos filas Sumar un múltiplo de una fila a otra

Dada la siguiente matriz sacar su inversa

A= 2 -45 6

Podemos expresar el sistema como una matriz aumentada con una matriz identidad y resolverla de modo de que a la izquierda quedara la matriz identidad y a la derecha la inversa.

A= 2 -4 1 05 6 0 1

f1(1/2) 1 -2 1/2 0

5 6 0 1

1 -2 1/2 0

(f2)-(f1*5) 0 16 -2 1/2 1

1 -2 1/2 0(f2)/16 0 1 - 5/32 1/16

f2+(f1*2) 1 0 3/16 1/80 1 - 5/32 1/16

A= 3/16 1/8- 5/32 1/16

Método de la transpuesta

A−1= 1det ( A )

AT

Devido a esta igualdad se puede allar la inversa obteniendo una transpuesta y su determinante

5 -1 -3

AT= -9 -1 4-3 2 -1

TRANSPUESTA POR COFACTORES

A11 2 -1 5 A12

3 -11 2 3 2

A21 1 1 1 A22

1 1 -11 2 3 2

A31 1 1 -3 A32

1 1 -42 -1 3 -1

A13 3 2 -33 1

A23 1 1 -23 1

A33 1 1 -13 2

5 -1 -3AT= -9 -1 4

-3 2 -1

El valor de la determinante de A es:

Det(A)= -7

La matriz inversa es

5 -1 -3A-1 =(- 1/7)* -9 -1 4

-3 2 -1

- 5/7 1/7 3/7A-1 = 1 2/7 1/7 - 4/7

3/7 - 2/7 1/7

Transpuesta de una matriz: es aquella que al intercambiar las filas y columnas

de una matriz A=[ aij ]m,n se obtienen la denominada matriz traspuesta de A, AT.

Es decir, AT=[aij' ]n ,m donde a ij' =a ji para todo i y j. Debemos hacer notar que la

dimensión de AT es de nxm.

A= 3/16 1/8 At= 3/16 - 5/32- 5/32 1/16 1/8 1/16

Matrices simétricas y antisimétricas: Una matriz cuadrada A=[ aij ]m,m es simétrica si A= AT y asimétrica si A= -AT.

Matriz conjugada: Sea a ij el complejo conjugado de a ij , entonces la matriz

conjugada de A=[ aij ]m,nes Ā= [aij ] .

Matrices hermíticas y antihermíticas: Si una matriz cuadrada A=[ aij ]m,msatisface que A= Ā T, entonces se dice que A es hermética. Si A= -Ā T entonces se dice que A es antihermítica.

OPERACIONES ENTRE MATRICES

ADICION DE MATRICES

Para sumar y restar matrices, éstas pueden ser, las dos cuadradas o las dos rectangulares. El número de filas y columnas de una han de ser igual al número de filas y columnas de la segunda.

Sumamos los valores que ocupan la misma posición.

El valor que se halla en la posición (1  1) de A con el valor de la posición (1   1) de la matriz B.

El valor que se halla en la posición (1  2) de A con el valor de la posición (1   2) de la matriz B.

El valor que se halla en la posición (1  3) de A con el valor de la posición (1   3) de la matriz B. De este modo haremos con el resto de las filas.

Vamos a sumar las matrices A y B:

3 -5 4 -2 -1 1A= 9 8 -7 B= 5 -7 6

-6 4 2 9 3 2

1 -6 5A+B= 14 1 -1

3 7 4

Multiplicar matrices:

Vamos a considerar 2 casos:

1) Multiplicar una matriz por un escalar

3 -5 4 9 -15 12

A= 9 8 -7 A*3= 27 24 -21

-6 4 2 -18 12 6

2) Multiplicar dos matrices es preciso que la 1ª tenga tantas columnas como filas la 2ª   matriz. El resultado será una matriz que tiene el mismo número de filas como tiene la 1ª y tantas columnas como tiene la 2ª:

 

3 -5 4 1A= 9 8 -7 B= 2

-6 4 2 3

3X1+-5X2+4X3 5AXB= 9X1+8X2+-7X3 AXB= 4

-6X1+4X2+2X3 8