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Condensacion de Bose Einstein en

trampas de iones

Efectos de la forma del potencial confinante y de las

interacciones entre las partıculas

Autor: Juan Mauricio Matera

Director: Dr Osvaldo Civitarese

Codirector: Dra Marta Reboiro.

Trabajo de Diploma

Licenciatura en Fısica

Universidad Nacional de La Plata

Facultad de Ciencias Exactas

Departamento de Fısica.

Octubre de 2006

Capıtulo 1

Introduccion

1.1. Motivacion del trabajo

La condensacion de Bose Einstein(BEC) fue observada por primera vez en el labora-

torio en 1995, en una serie de experimentos realizados sobre vapores de rubidio y sodio

confinados mediante trampas magneticas y enfriados a temperaturas extremadamente

bajas, del orden de fracciones del milikelvin. Este fenomeno habıa sido predicho 70 anos

antes en los trabajos del matematico indio Satyendra Nath Bose y del fısico aleman Albert

Einstein. Ellos dedujeron que en un gas ideal cuantico, al bajar la temperatura los ato-

mos del sistema no detienen su movimiento gradualmente, hasta detenerse por completo

a temperatura cero, como es de esperar en un gas ideal clasico, sino que a partir de una

cierta temperatura finita, todos los atomos se acomodan en el estado de menor energıa

del sistema siempre y cuando las partıculas no cumplan el principio de exclusion de Pauli.

En este trabajo estudiaremos sistemas formados por bosones, esto es, por partıculas que

no cumplen este principio. La pertenencia a una de estas dos familias es una propiedad

intrınseca de las partıculas a la que llamamos estadıstica.

En la practica, la mayorıa de los gases reales no se comportan de ninguna de estas

maneras. Al bajar suficientemente la temperatura, las interacciones entre las partıculas

que forman un gas real tienden a detener su movimiento relativo cuando alcanzan alguna

temperatura finita, de manera que el gas comienza a formar gotas o cristales, de acuerdo

a cuanto y en que manera se lo enfrıe. A esto es lo que podemos llamar condensacion. La

condensacion localiza de esa manera al gas en las posiciones donde se forman las gotas.

Este proceso de condensacion constituye una transicion de fase en el sentido que la define

la teorıa de Yang y Lee.

La Condensacion de Bose Einstein, por otro lado, se trata de un fenomeno puramente

1

Capıtulo 1 Introduccion

estadıstico: un gas sin interacciones puede formar un condensado de Bose Einstein siempre

que la estadıstica de las partıculas que lo formen y la geometrıa del sistema lo permitan.

Otra diferencia importante consiste en que esta condensacion deslocaliza en vez de loca-

lizar las partıculas, por lo que no ocurre algo como la formacion de gotas en el espacio

de coordenadas. Mas adelante daremos mas precision al concepto de estadıstica de un

sistema de partıculas.

A principios del siglo veinte se conocıan dos fenomenos a los que la condensacion de

Bose Einstein podıa dar explicacion; uno de ellos era la superconductividad y el otro, la

superfluidez.

La superconductividad es un fenomeno que se observa en algunos materiales al enfriar-

los por debajo de cierta temperatura, que consiste en perdida abrupta de su resistencia

electrica. Un superconductor puede sostener una corriente sin sufrir perdidas de energıa

por efecto Joule, como en un conductor convencional.

La superfluidez, por otro lado, es un fenomeno que se observa en el helio lıquido. A una

temperatura suficientemente baja, el helio lıquido pierde en gran medida su viscocidad.

La explicacion de estos fenomenos se basa en parte en la idea de que las partıculas que

forman estos sistemas se comportan a baja temperatura como si formacen un condensado

de Bose Einstein.

La teorıa de condensados tambien es aplicable a fenomenos astrofısicos como ser la

termodinamica de estrellas de neutrones, donde las densidades en juego son compatibles

con la existencia de efectos cuanticos macroscopicos.

La posibilidad de generar un condensado de Bose Einstein en el laboratorio nos abre

la puerta para estudiar efectos de correlaciones cuanticas macroscopicas en forma experi-

mental, lo que nos permite corroborar hipotesis sobre sistemas mas complicados como los

que mencionabamos antes.

Las tecnicas experimentales, por otro lado, requieren de calculos teoricos precisos, de

manera de ser capaces de seleccionar experimentos adecuados, desarrollar mecanismos de

calibracion y preveer cuales deben ser las condiciones para que un BEC sea posible.

Los parametros que entran en juego a la hora de estudiar este fenomeno son diversos.

Entre ellos, debemos contar las simetrıas del sistema en cuestion, la estadıstica de las

partıculas con las que trabajamos, las propiedades inerciales de las mismas (masa de las

2

1.1 Motivacion del trabajo

Figura 1.1: Distribucion de velocidades en una trampa de Rubidio en el experimento de

Anderson et. al. (1995) tomadas por el metodo de expansion para temperaturas de 400nK

(izquierda), 200nK(centro) y 50nK (derecha). El campo de vision es de 200µm × 270µm

que corresponden al desplazamiento de los atomos en un intervalo de 1/20seg

partıculas, relaciones de dispersion), el mecanismo por el cual las confinamos (trampas

magneticas, opticas, etc ), las interacciones entre las partıculas (signo y magnitud de la

seccion eficaz de scattering, posibilidad de formacion de moleculas o clusters) entre otros.

Tambien son varias las cantidades observables que podemos considerar. En sistemas

macroscopicos, la BEC se puede observar en el comportamiento del calor especıfico en

funcion de la temperatura, la presion y la densidad. En sistemas mesoscopicos, como

son las trampas de iones como las que vamos a estudiar en este trabajo, podemos medir

entre otras cantidades, la energıa del sistema, la distribucion de la densidad, la velocidad

media, el espectro de absorcion de radiacion electromagnetica, los modos de excitaciones

colectivas, etc.

La idea de este trabajo es estudiar una trampa de iones para una geometrıa par-

ticular, donde los atomos pueden distribuirse en un area plana grande relativa al resto

de las longitudes caracterısticas del sistema, mientras que el movimiento en la direccion

3


perpendicular (en adelante, la direccion z) se encuentra confinado por un potencial. Esta

geometrıa se corresponde con la adoptada en un reciente experimento del equipo de la

Universidad de Inssbruck [13]. En ese trabajo, se estudio la formacion de un condensado

de atomos de Cesio por medio de una trampa de superficie gravito-optica (GOST)( ver

figura 1.1). Los detalles del experimento se pueden leer en la referencia, pero el punto

importante es que el potencial de confinamiento es de la forma

U(z) = U0 exp(−z/Λ) +mg z

mientras que el confinamiento horizontal se consigue mediante otro haz laser. Los parame-

tros del experimento son:

Λ ≈ 1, 4µm

U0 ≈ 50nK × kB

que resulta en

ωz ≈ 2 π600Hz

Siendo el radio de confinamiento transversal

rxy = 0, 8mm

En este trabajo vamos a plantear un grado de simetrıa un poco mayor, pensando

que se trata de un potencial cuadratico. En la practica, al acercarnos al lımite en que

esta trampa funciona, los efectos sobre el espectro de energıa debido a la forma real del

potencial no deberıan modificar mucho nuestros resultados.

Vamos a estudiar entonces los efectos de tres parametros que estan en juego en un

experimento como este: el potencial confinante, la temperatura del sistema y el efecto de

las interacciones entre las partıculas atrapadas.

1.2. Organizacion del trabajo

En el capıtulo dos, vamos a intentar dar mas precision al concepto de BEC, analizando

las circunstancias y los lımites en que este fenomeno puede ocurrir. Concluiremos calcu-

lando las relaciones funcionales respecto a la temperatura de varios de los parametros

4

1.2 Organizacion del trabajo

Figura 1.2: Esquema de la trampa de superficie gravitooptica (GOST)

fısicos para el problema de un gas de bosones no interactuantes en una caja tridimensio-

nal. Consideraremos tambien el efecto de la masa de las partıculas sobre la formacion del

condensado.

En el capıtulo tres, estudiaremos el efecto de fijar una de las longitudes de la caja

estudiada en la seccion 2, y como afecta esto a las cantidades que estudiamos. Tratare-

mos entonces el problema de un gas de bosones no interactuantes en dos dimensiones, y

compararemos los resultados.

En el capıtulo cuatro desarrollaremos el formalismo para tratar un sistema general de

bosones interactuantes. Se hara entonces una revision del concepto de excitacion elemental

de un sistema de partıculas.

En el capıtulo cinco aplicaremos ese formalismo, en primer lugar, al problema ho-

mogeneo con interacciones. Luego, analizaremos cualitativamente el efecto de introducir

condiciones de borde en el problema. Finalmente, presentaremos los resultados obtenidos

de aplicar el formalismo a sistemas confinados por medio de metodos numericos. Compa-

raremos luego estos resultados con los calculos analıticos en los sistemas homogeneos.

Finalmente, el capıtulo seis enumeraremos las conclusiones de este trabajo y sus posi-

5


bles extensiones.

6

Capıtulo 2

BEC en sistemas homogeneos sininteracciones

2.1.

En este capıtulo vamos a analizar una version muy simplificada del sistema para

tratar de ganar una mejor comprension del fenomeno. Vamos a empezar planteando el

hamiltoniano de un sistema general para partıculas no interactuantes.

H =∑

i

ǫini (2.1)

donde ni es un operador que actuando sobre un estado del sistema nos da el ”numero de

partıculas”que ”pueblan” un cierto estado de partıcula simple. Cada estado de partıcula

simple tendra asociada una ”funcion de onda”que nos permitira calcular valores de ob-

servables relacionados con el movimiento de las partıculas en el sistema. La informacion

termodinamica, por otro lado, estara completamente codificada en el espectro ǫi y en las

ocupaciones medias de cada estado. El espectro, por otro lado, contiene toda la infor-

macion relativa al sistema en particular, como ser los grados de libertad internos de las

partıculas, la forma en que interactuan con el contenedor, las ecuaciones de movimiento

que satisfacen, etc. En un sistema no cerrado, el valor medio de un operador se define

como

⟨

A⟩

= tr(ρA) (2.2)

donde el operador densidad ρ define el estado de un sistema abierto. En el equilibrio

termodinamico, el operador densidad debe ser constante, y por lo tanto, su conmutador

con el hamiltoniano debe ser nulo.

[

ρ, H]

= 0 (2.3)

7

Capıtulo 2 BEC en sistemas homogeneos sin interacciones

De evaluar el valor medio del operador identidad, encontramos que ρ debe tener traza 1.

En el equilibrio termodinamico, si el numero de partıculas es estrictamente constante, el

operador densidad toma la forma

ρ =e−H/k T

Tr(e−H/k T )(2.4)

al denominador de esta expresion, lo llamamos funcion de particion canonica del sistema.

A veces conviene, en lugar de fijar el numero de partıculas, considerar que solo esta fijo

en media. En tal caso, introducimos la matriz densidad del conjunto gran-canonico como

ρµ =e−(H−µN)/k T

Tr(e−(H−µN)/k T )(2.5)

Al producto del logaritmo del denominador de esta expresion con −k T lo llamamos

potencial gran canonico del sistema, que en terminos del hamiltoniano 2.1 se escribe

Ξ = −k T log(

Tr(

e−(H−µN)/k T))

= −∑

i

log

(

∑

n

(

e−(ǫi−µ)n/k T)

)

(2.6)

El valor de µ se obtiene de la condicion

〈N〉 = Tr(

ρµN)

(2.7)

Para continuar, es necesario incluir el efecto de la estadıstica en la expresion anterior. Si

las partıculas obedecen el principio de exclusion, la suma dentro del logaritmo se deben

hacer sobre los dos posibles valores de n, cero o uno. Por otra parte, en el caso que nos

ocupa, la suma debe hacerse sobre todos los valores enteros no negativos. De esta manera

obtenemos

Ξ = k T∑

i

log(

1 − e−(ǫi−µ)/k T)

(2.8)

De esto, es posible obtener una forma explıcita para los 〈ni〉 en terminos del espectro:

〈ni〉 =∂

∂ǫiΞ

=1

e(ǫi−µ)/k T − 1(2.9)

8

2.1

De esta ultima expresion vemos que µ < ǫ0 si no queremos que ninguno de los terminos

diverja. Por otra parte, la dispersion cuadratica media para 〈ni〉, viene dada por(

∆ni

〈ni〉

)2

=k T

〈ni〉2∂2

∂ǫ2iΞ

= ee−µkT = 1 +

1

〈ni〉(2.10)

para un estado poco poblado, la incerteza en la ocupacion va como√ni. Para un estado

macroscopicamente poblado, por otra parte, la incerteza en la ocupacion va como ni,

que es un numero grande. Esto ocurre particularmente a baja temperatura, cuando el

estado fundamental adquiere una poblacion macroscopica. Si este comportamiento tiene

una raız fısica, el condensado de Bose Einstein sera una fase altamente inestable del

sistema. Ciertamente, esto ocurre si el sistema se encuentra conectado con un reservorio

infinito de partıculas. Sin embargo, en los experimentos reales, el numero de partıculas es

siempre finito. Para tener en cuenta esto, la suma de la ec 2.6 debera tomarse, en lugar de

entre 0 e ∞ solo hasta el numero de partıculas del sistema. Si bien esto sigue siendo una

aproximacion, elimina el caracter singular de la suma hasta infinito y da una aproximacion

mas precisa. El resto de los resultados no cambian sensiblemente, pero obtenemos ahora

para el estado fundamental(

∆n0

n0

)2

=

(

N

〈n0〉− 1

)2

(2.11)

que es una cantidad que se anula cuando la fraccion de partıculas en el fundamental se

acerca a 1. El desarrollo de este resultado podemos encontrarlo en el capıtulo 4 del texto

de ter Haar[15].

Veamos ahora que puede pasar para diferentes formas del espectro ǫi. Podemos asumir

para empezar que el espectro es discreto y que el nivel fundamental es no degenerado. En

tal caso, si la diferencia entre el primer nivel excitado y el fundamental es ∆ = ǫ1 − ǫ0,

para temperaturas menores que ∆/k las poblaciones de cualquiera de los estados excitados

sera pequena relativa a la poblacion del fundamental.

Observemos por otro lado el caso en que el espectro se puede considerar casi-continuo.

Para esto conviene introducir la densidad de estados ρ(ǫ) de manera que el numero de

estados Ω(ǫ) por debajo de la energıa ǫ venga dada por

Ω(ǫ) =∫ ǫi

0ρ(x)dx (2.12)

9


Con esta definicion, podemos aproximar la suma en 2.9 como la integral

N =∫ ∞

0

ρ(ǫ)dǫ

exp(

ǫ−µk T

)

− 1(2.13)

Sin embargo, no siempre es posible construir ρ(ǫ) de manera que resulte una funcion

regular y que reproduzca correctamente el espectro de niveles. Esto ocurre evidentemente

si el espectro es discreto, pero puede ocurrir en el caso de un espectro continuo si la

densidad de estados va como una potencia positiva cerca de ǫ = ǫ0. Entonces la integral

por la que remplazamos la suma es una funcion acotada de µ, con lo que predecirıa una

cota al numero de partıculas al sistema. Sin embargo, esta no era una propiedad de la

suma original, que se podıa hacer tan grande como se quisiera si µ se acercaba lo suficiente

a −ǫ0. Esto significa que ρ(ǫ) no puede ser una funcion regular, sino que debe dar una

contribucion especial a un valor de la energıa. Si ahora separamos de la suma el termino

correspondiente al estado fundamental, vemos que N pasa a escribirse como

N =1

exp((ǫ− µ)/(k T )) − 1+∫ ∞

0

ρ(ǫ)dǫ

exp(

ǫ−µk T

)

− 1(2.14)

El primer termino es importante solo cuando (ǫ−µ)/(k T ) << 1, si la integral esta acotada.

Este termino se vuelve importante cuando N supera la cota maxima para el valor de la

integral. En ese punto (ǫ−µ)/(k T ) << 1 y por lo tanto puede considerarse que la integral

vale su lımite en µ = 0. El valor de µ = 0 se puede recuperar ahora del primer termino,

despejando su valor en funcion deN−N (max)ex . Lo interesante del fenomeno es que en el caso

del espectro discreto, la separacion entre niveles fijaba una escala de energıas del sistema

para la que el estado fundamental se poblaba. En cambio, en el ultimo caso, el espectro no

fija de antemano ninguna escala de energıas, y por lo tanto no es obvio que para alguna

temperatura el estado fundamental resulte poblado. Como N (max)ex es dependiente de T ,

podemos invertir la relacion para definir la temperatura a la que ocurre la transicion. La

condensacion de Bose Einstein consiste en este ultimo fenomeno.

Una condicion necesaria para que valga lo antes discutido es la conservacion del numero

de partıculas. Sin ese vınculo, el valor de µ es siempre cero, y el valor de N sera funcion solo

de la energıa disponible en el sistema, vıa la temperatura. Este es el caso de los sistemas

de partıculas sin masa, como la luz. La luz en una cavidad no puede formar un condensado

de Bose Einstein porque al no tener masa, no dispone de un estado de menor energıa: la

10

2.2 Caja tridimensional

menor energıa que puede tener un foton es cero, y al tener energıa cero desaparece el foton.

Cuando las partıculas tienen masa, por otro lado, si tiene sentido hablar de partıculas en

su estado fundamental y el fenomeno de condensacion puede ocurrir.

2.2. Caja tridimensional

El caso mas sencillo a tratar es el de un gas de bosones masivos no interactuantes

confinados en una caja cubica. Conviene para esto introducir el formalismo de segunda

cuantificacion por dos motivos: porque simplifica mucho la notacion y porque es la forma

mas directa de escribir un hamiltoniano con la forma de la ecuacion 2.1. En el apendice A

damos una explicacion sucinta de este formalismo. Una explicacion mas extensa se puede

hallar en el primer capıtulo del texto de Fetter y Walecka[8].

El hamiltoniano es de la forma

H =∫

Ψ†(x)

(

− h2

2m∇2

)

Ψ(x)d3x (2.15)

donde los operadores Ψ(x) y Ψ†(x) son operadores de campo que satisfacen relaciones de

conmutacion bosonicas

[

Ψ(x), Ψ(y)]

= 0 (2.16)[

Ψ†(x), Ψ(y)]

= δ(x− y) (2.17)

Estos operadores se pondran expandir en la base de partıcula independiente

Ψ(x) =∑

~n

φ~n(x)a~n (2.18)

donde ~n representa el conjunto de tres enteros positivos ~n = (nx, ny, nz) que etiquetan las

funciones solucion del problema de autovalores

ǫ~nφ~n(x) = − h2

2m∇2φ~n(x) (2.19)

normalizadas a 1, que se anulan en las caras de la caja. Explicitamente, son de la forma

φ~n(x) =1√V

3∏

i=1

sin(niπ/V1/3) (2.20)

ǫ~n =h2

2mV 2/3

∑

i

n2i (2.21)

11


donde V es el volumen de la caja. De esta manera, el hamiltoniano adquiere precisamente

la forma 2.1, cambiando el ındice i por ~n. Cabe ahora observar que el espectro dentro de

la caja es discreto. Sin embargo, cuando la escala de temperaturas es grande comparada

con la energıa caracterıstica h2

2mV 2/3 , podemos suponer que es valido aproximar la suma

por una integral sobre una densidad de estados de forma que

ρ(ǫ) =∂

∂ǫ

∫

h2

2 m|~n|2<ǫ

d3n =π

2

(2m)3/2V

h3ǫ1/2 (2.22)

Esta integral presenta precisamente un comportamiento compatible con nuestra discusion

previa. Calculando las integrales correspondientes, obtenemos para la poblacion de los

estados excitados

nex =V

(h/√

2 πmk T )3Li3/2(e

µk T ) (2.23)

donde Liq(z) es la funcion conocida como polilogaritmo, funcion de Bose o Zeta de Rie-

mann incompleta de ındice q y argumento z, definida como

Liq(z) =1

Γ(q)

∫

xq−1dx

exp(x)/z − 1(2.24)

Γq(z) =∫

xq−1exp(−x)dx (2.25)

La funcion Γ(q) es conocida como funcion gamma de Euler. Las propiedades de estas

funciones son enunciadas en el apendice C. Cuando el argumento de Liq(z) tiende a 1, su

valor tiende a un valor finito si q es mayor que 1. Este lımite en funcion de q es conocido

como funcion Zeta de Riemann ζ(q), que a su vez es el valor maximo que puede asumir

Liq(z). De esto se deduce que a temperatura y volumen fijos, el segundo miembro de

2.23 esta acotado. Para una densidad dada, habra una temperatura a la que se alcance

este lımite. Conviene definir la temperatura crıtica para la condensacion de Bose Einstein

como

Tc(N/V ) =h2

2 πmk

(

N

V ζ(3/2)

)2/3

(2.26)

Esta temperatura sera mas grande cuanto mayor sea la densidad y menor sea la masa

del sistema de las partıculas en el sistema. Vamos ahora a invertir para recuperar µ en

funcion de la temperatura crıtica. Obtenemos la ecuacion:

ζ(3/2) =(

T

Tc

)3/2

Li3/2(eµ

k T ) (2.27)

12

2.2 Caja tridimensional

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

0 1 2 3 4 5 6 7

µ/k

Tc

a-Tc

T

Dependencia de µ con la temperatura

Gas de Bose-EinsteinGas de Maxwell-Bolzmann

su solucion no es expresable en terminos de funciones elementales, pero vemos que si

tomamos como escala de energıas k Tc encontramos que µ es funcion solo de T y de Tc.

Su comportamiento puede verse en la figura 2.2 Esto muestra que por debajo de Tc µ es

constante y practicamente igual a cero. Esto nos permite escribir la siguiente expresion

para n0/N :

n0

N=

1 − (T/Tc)3/2 T < Tc

0 T > Tc

(2.28)

Entendiendo n0 como el parametro de orden en esta transicion, vemos que cae como una

ley de potencias al acercarse a la temperatura crıtica. Enumeremos ahora algunas otras

funciones termodinamicas del sistema. La energıa del sistema viene dada por

U(N, V, T ) =3

2nexkT

Li5/2(eµ(T/Tc)/kT )

Li3/2(eµ(T/Tc)/kT )(2.29)

La ultima expresion tiene dos lımites. Para temperaturas por encima de la temperatura

crıtica, tiende al valor de un gas ideal clasico, ya que como vimos, a altas temperaturas

la cantidad µ/kT tiende a hacerse grande y negativa:

U(N, V, T ≫ Tc) =3

2nexkT (2.30)

13


A temperaturas por debajo de Tc, por otra parte, este cociente toma nuevamente un valor

constante, igual a

U(N, V, T < Tc) =3

2nexkT

ζ(5/2)

ζ(3/2)(2.31)

Para obtener CV debemos derivar a Tc constante. nex/N es una cantidad que se hace 1

justo por encima de Tc, mientas que por debajo se comporta como una ley de potencias.

El cociente de Li5/2(z)/Li3/2(z) por su lado, es una cantidad constante por debajo de Tc y

variable por encima de Tc. Por esto, conviene estudiar los dos regimenes por separado. Por

debajo de Tc la unica funcion que depende de la temperatura es nex. Obtenemos entonces

CV (T < Tc)

N k=

15

4

(

T

Tc

)3/2 ζ(5/2)

ζ(3/2)(2.32)

Por encima de Tc, nex/N = 1 y tenemos

CV (T < Tc)

N k=

3

2

(

5

2

Li5/2(z)

Li3/2(z)− 3

2

Li3/2(z)

Li1/2(z)

)

(2.33)

0

5

10

15

20

0 2 4 6 8 10

U/(

N k

Tc)

T/Tc

Dependencia de U con la temperatura

gas de Maxwell-Bolzmanngas de Bose-Einstein

0 1 2 3 4 5

0 1 2

0.77*x5/2

0

0.5

1

1.5

2

0 1 2 3 4 5

CV/(

N k

)

T/Tc

Dependencia de CV con la temperatura

gas de Maxwell-Bolzmanngas de Bose-Einstein

Figura 2.1: Energıa y calor especıfico en funcion de T.

El segundo termino se anula en Tc ya que Li1/2(z) presenta una divergencia en z = 1. A

altas temperaturas, los cocientes de polilogaritmos tienden a 1, con lo que CV /nK = 3/2

como en un gas clasico. En Tc CV es continua, aunque no ası su derivada, que presenta

un salto finito

lımδ→0

∂CV

∂T

∣

∣

∣

∣

∣

T=Tc−δ

− ∂CV

∂T

∣

∣

∣

∣

∣

T=Tc+δ

=27Nk

16πTcζ(3/2)2 = 3,665

Nk

Tc(2.34)

14

2.3 Caja bidimensional

La continuidad del calor especıfico es una propiedad de los sistemas homogeneos, tridi-

mensionales, no interactuantes. El ındice de las funciones polilogaritmo y zeta dependen

del cociente entre la dimensionalidad del espacio y la relacion de dispersion de las excita-

ciones del sistema. Si este cociente resulta ser mayor que 2, el denominador del segundo

termino en la expresion 2.33 no diverge y por lo tanto el lımite de ese termino en la

temperatura crıtica da la magnitud de la discontinuidad.

2.3. Caja bidimensional

Consideremos ahora el efecto de congelar uno de los grados de libertad espaciales en el

problema anterior. Esto se obtiene, por ejemplo, al reducir la distancia entre un par de las

paredes de la caja tridimensional. Cuando esto ocurre, la escala de energıas en esa direccion

se hace cada vez mas grande hasta que comienza a hacerse notorio el caracter discreto del

espectro. Si esta escala de energıas se hace mas grande que la escala de energıa termica en

el problema, el sistema se comporta como si el grado de libertad extra desapareciera por

completo, y la dinamica queda confinada en las dos dimensiones restantes. En la trampa

descripta en la introduccion, el sistema no esta confinado en una caja. Sin embargo, como

la escala de temperaturas a la que se trabaja es lo bastante baja como para notar el

espectro discreto del potencial en la direccion z, podemos considerar como caso lımite,

que el sistema es bidimensional. El procedimiento de analisis es homologo al caso en 3

dimensiones: la densidad de estados es ahora

ρ(ǫ) =2πmS

h(2.35)

con lo que obtenemos

nex =2πmk T S

h2

∫ ∞

0

dx

ex− µkT − 1

=2πmk T S

h2log

(

1

1 − eµ

kT

)

=2πmk T S

hLi1(e

x− µkT ) (2.36)

que es una funcion no acotada superiormente. Como consecuencia de esto ya no existe

una escala de energıas distinta de la separacion entre niveles. El caracter divergente de

2.36 en parte desaparece si modificamos la densidad de estados de manera que se anule

15


por debajo de la energıa asociada al primer estado excitado del sistema. Haciendo esto,

obtenemos

nex =2πmk T S

h2log

(

1

1 − eµ−∆ǫ

kT

)

=2πmk T S

hLi1(e

x−µ−∆ǫkT ) (2.37)

donde ∆ǫ es la mencionada energıa. Como µ debe ser siempre negativo, nex queda ahora

acotado por

nex ≤ 2πmk T S

h2log

(

1

1 − e−∆ǫkT

)

(2.38)

Podemos despejar µ algebraicamente obteniendo

µ(T,N, S) = ∆ǫ+ kT log

(

1 − exp(− h2N/S

2mk T)

)

(2.39)

en la figura 2.3la grafica de esta funcion respecto a T . Observamos que cuando S es muy

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

0 2 4 6 8 10

µ/(

∆ ε

)

2 π m k/(h2 N/S) T

µ(T) a N cte

Figura 2.2: Potencial quımico a densidad constante para un gas en 2D. La unidad de

temperatura corresponde al espaciamiento entre el nivel fundamental y el primer excitado.

Podemos observar que la region plana se extiende ligeramente mas alla de 1.

grande, ∆ǫ se anula. El numerador de la exponencial en el regimen que nos interesa es

una cantidad lo bastante grande y negativa como para desarrollar el logaritmo a primer

orden. Igualando a cero esta expresion obtenemos el valor de Tc, que ya no es mas una

ley de potencias como antes, sino que viene dado por

h2N

2 πmk S= Tc log

(

1

1 − e−∆ǫk Tc

)

≈ Tc log

(

k Tc

∆ǫ

)

(2.40)

16

2.3 Caja bidimensional

o, en forma adimensional,

h2N

2 πm∆ǫ S= x log(x) (2.41)

x =kT

∆ǫ(2.42)

En la figura 2.3 vemos una grafica de Tc en funcion de la densidad. Se puede ver que la

pendiente dentro de seis ordenes de magnitud apenas si cambia dentro de un orden de

magnitud. Como la temperatura crıtica esta escaleada con ∆ǫ, cuando esta cantidad tienda

105

8X104

6X104

4X104

2X104

01,2X106 1068X1056X1054X1052X1050

k T

c/∆

ε

(h2 N)/(2π m∆ ε S)

Tcy=0,08*(x-1,15 106) + 105

0

5

10

15

0 5 10 15 20

0,33*t-16

Figura 2.3: Temperatura crıtica para un gas en 2D. La temperatura crıtica presenta un

comportamiento practicamente lineal

a cero, la temperatura crıtica ira al mismo lımite. Para ∆ǫ finito, por otro lado, dentro

de una cierta escala, la relacion entre densidad y temperatura crıtica es practicamente

lineal, con lo que puede eliminarse ∆ǫ a ambos lados de la ecuacion. Por ejemplo, en

el rango mostrado en la segunda figura, Tc ≈ 0,1 h2

2πmkNS

. Debemos recordar que aunque

ζ(3/2) ≈ 2,6 > 0, 1, h2

2πmkes una cantidad pequena en general, que en tres dimensiones

figuraba con un exponente 2/3 en lugar de 1, lo que acentua la disminucion de Tc. Si por

otro lado, remplazamos ∆ǫ por su valor en funcion de S, vemos que en realidad el eje

horizontal indica directamente el numero de partıculas, mientras que el eje vertical debe

ser escaleado con 1/S.

Calculemos ahora la energıa del sistema. Evaluando la integral correspondiente obte-

nemos

U(T ) = 2πmk2T 2Li2(1 − e−h2N/S2πmkT ) (2.43)

17


en la que remplazamos µ por su expresion en funcion de N , S y T . Esta expresion es valida

por encima de la temperatura crıtica y nos da un comportamiento practicamente lineal

por encima de la temperatura caracterıstica −h2N/S2πmk

. Por debajo de Tc, debemos fijar µ = 0

con lo que obtenemos un comportamiento cuadratico. Como µ es una funcion continua,

tambien lo sera U. El comportamiento cualitativo podemos observarlo en la figura 2.3

cuando la temperatura crıtica es igual a 3,0h2N/S2πmk

,0,5h2N/S2πmk

y 0,1h2N/S2πmk

Observemos que la

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5

U(T

)(h

2/S

)/(2

π

m k

2)

T (2 π m k )/(h2 N/S)

Tc=3,0ε

U(T)

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5

U(T

)(h

2/S

)/(2

π

m k

2)

T (2 π m k )/(h2 N/S)

Tc=0,5ε

U(T)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

U(T

)(h

2/S

)/(2

π

m k

2)

T (2 π m k )/(h2 N/S)

Tc=0,1ε

U(T)

Figura 2.4: Energıa para un gas de bosones en 2D.

pendiente de la curva cambia de manera mas abrupta cuanto mas alta sea la temperatura

crıtica del sistema.

Hasta aquı hemos supuesto que el sistema vive legıtimamente en 2D. En el capıtulo

siguiente estudiaremos el problema de un sistema en 3D confinado por diferentes poten-

ciales. Veremos entonces cuales son las condiciones para la validez de esta aproximacion.

18

Capıtulo 3

Dimensionalidad y potencialconfinante

3.1. Motivacion

En el capıtulo anterior encontramos una expresion para la temperatura de conden-

sacion para un gas de Bose no relativista, no interactuante, confinado en una caja tri-

dimensional. Una caracterıstica notable de este resultado es que la dependencia de la

temperatura de condensacion, se da exclusivamente respecto de variables intensivas del

sistema. Luego, hicimos otro tanto para el mismo problema, pero en dos dimensiones.

Vimos que en el pasaje de tres a dos dimensiones perdimos esta buena propiedad, siendo

ahora la temperatura de condensacion dependiente de las variables extensivas del sistema.

Observamos que a pesar de esto, en el caso bidimensional, la dependencia es tan debil que

experimentalmente seguira observandose condensacion, a condicion de que la superficie

en la que se extiende el condensado no sea demasiado grande.

Nos interesa ahora generalizar este resultado en dos sentidos: por un lado, nos gustarıa

conocer como juega la dimensionalidad espacial del sistema en el valor de la temperatura

crıtica en casos mas generales. Otro parametro que quisieramos introducir son las ca-

racterısticas del potencial confinante. Cuando el potencial confinante es menos singular

que el planteado hasta ahora, notaremos que en general la temperatura de condensa-

cion dejara de ser una funcion de las variables intensivas usuales (densidad, temperatura,

presion) y dependera del producto entre N y una potencia de la frecuencia propia de la

trampa. Manteniendo fijo este producto, obtenemos un lımite finito para nex aun en dos

dimensiones.

Ya mencionamos la justificacion de introducir la dimensionalidad espacial como parame-

tro del sistema en el capıtulo anterior. La necesidad de estudiar los efectos del potencial

19

Capıtulo 3 Dimensionalidad y potencial confinante

confinante surge de que en general, la condensacion de Bose Eistein se observa en sistemas

confinados mediante campos electromagneticos externos. En una trampa de iones no hay

paredes bien definidas, sino que dependen de la energıa de las partıculas encerradas en

ellas. Este efecto potencialmente debe ser tenido en cuenta en la trampa discutida en la

introduccion.

3.2. El lımite termodinamico

Para el calculo de la temperatura crıtica de la seccion anterior, argumentamos que

el lımite termodinamico consiste en hacer tender el numero de partıculas a infinito man-

teniendo la densidad constante. Esto es bastante razonable en la mayorıa de los siste-

mas homogeneos, ya que las cantidades relevantes para la termodinamica (energıa, volu-

men, entropıa) asociadas a cualquier porcion del sistema son proporcionales al numero

de partıculas asociado a esa porcion. Veremos luego que cuando los sistemas dejan de ser

homogeneos, el tratamiento de este lımite se vuelve mas sutil.

Para empezar, supongamos que el sistema ya no es completamente isotropo, sino que

posee alguna direccion que nos convenga mantener fija. Podemos sin embargo hacer crecer

indefinidamente el volumen de la caja cambiando el area de la base de la caja donde con-

finamos el sistema. Pasamos ası de tener un sistema invariante ante el grupo de Poncaire

en 3 dimensiones (ISO(3)) a uno invariante ante transformaciones de Poncaire en 2D,

(ISO(2)). Esto puede o no implicar que se congelen los grados de libertad asociados al

movimiento en la direccion fija. Si eso ocurre, obtuvimos un sistema con una dimensio-

nalidad efectiva igual a 2. Algo semejante se puede obtener fijando el area y variando la

altura de la caja, con lo que obtenemos un sistema invariante ante translaciones en 1D.

Vamos ahora a analizar entonces el caso particular de simetrıa ISO(2), o como decıamos

antes, aquel en el que dejamos fija la altura. Si luego tomamos el lımite haciendo la altura

infinita (manteniendo la densidad constante) deberıamos recuperar el caso con simetrıa

ISO(3).

Al hacer la caja finita en el eje z, el numero cuantico pz que nos servıa para etiquetar

los estados, se vuelve ahora discreto, lo que se refleja en la aparicion de una diferencia

finita entre las energıas de los niveles con distinto pz e igual px,y. Por ello, dejara de ser

20

3.2 El lımite termodinamico

posible escribir la suma como una integral con una densidad que sea una funcion regular

de la energıa; por esto vamos a acotar la suma como

Nex =∑

pxyz

1

exp(β (ǫxy(pxy) + ǫz(pz) − µ)) − 1(3.1)

=∑

pz

∑

pxy

1


Nex =∑

pz

Npz (3.3)

Npz =∑

pxy

1


Consideremos el caso especıfico de una relacion de dispersion cuadratica (E = p2

2 m). Es-

cribimos entonces

ǫxy(pxy) =p2

xy

2m(3.5)

ǫz(pz) =p2

z

2m(3.6)

entonces, usando el argumento del capıtulo anterior, podemos aproximar la suma sobre

los estados excitados por la integral correspondiente:

Npz =4S

h2

(

∫ ∞

|p2xy|>h2/S

d2pxy

expβ(ǫxy(pxy)+ǫz(pz)−µ) −1+ O

(

β−1)

)

(3.7)

si h2

m Sβ < 1

∫ ∞

|p2xy|>h2/S

d2pxy

eβ(ǫxy(pxy)+ǫz(pz)−µ) − 1=

2πm

β

∫ ∞

x0(pz)

dx

exp(x) − 1(3.8)

= − ln(

ex0(pz) − 1)

x0(pz) = βh2

2mS+ βǫz(pz) − βµ (3.9)

Vemos entonces que cada Npz tiene la misma forma que la de una distribucion de Bose-

Einstein en 2D, salvo que el potencial quımico se encuentra corrido en cada una de ellas en

la cantidad ǫz correspondiente. Como ǫz es un conjunto discreto, salvo paraNpz=h/L, deben

ser cantidades finitas ya que el potencial quımico efectivo es siempre finito y negativo. Si

ahora tomaramos el lımite S → ∞ la suma 3.3 puede separarse en un termino divergente

(Npz=h/L) y una serie convergente, que acotaremos nuevamente por una integral

Nex =∑

pz

Npz (3.10)

21


=2 πmS

h2 βln

1

1 − exp(

β(

µ− h2

2 m S

))

+ (3.11)

+2 πmLS

h3 β

∫ ∞

h/L− ln

(

exp−β

(

µ−ǫz(pz)− h2

2 m S

)

−1

)

dpz

=LS

λ3β

λβ

Lln

1

1 − exp(

βµ− λ2β

S

)

+ (3.12)

+∫ ∞

λ2β

L2 +λ2

βS

−β µln

(

1

exp (x) − 1

)

x−1/2dx

)

En el lımite termodinamico podemos simplificar un poco estas expresiones y escribir

Nex =LS

λ3β

(

λβ

Lln

(

S

λ2β

− βµ

)

+ g3/2

(

λ2β

L2− β µ

))

(3.13)

donde g3/2(µ) es la funcion de Bose. Vemos que si tomamos el lımite termodinamico tanto

en L como en S recuperamos el caso tridimensional, (el termino logaritmico se va a cero).

Por otro lado, si L permanece finito, el termino logarıtmico presenta una divergencia y el

condensado desaparece. Como discutimos antes, en la practica esta divergencia en realidad

no es tal: en cualquier experimento real, aunque enorme frente a las escalas caracterısticas

del sistema, el volumen siempre se mantiene finito. La dependencia logarıtmica con S crece

tan lento que aun variando diez ordenes de magnitud en volumen, el numero maximo de

partıculas en estados excitados variara a lo sumo en un factor 10. Esto nos indica que,

aunque bajo la definicion de lımite termodinamico que dimos al principio el sistema no

admite una temperatura crıtica finita, no es algo que se pueda ver en un experimento. La

diferencia respecto a lo que ocurrıa en tres dimensiones consiste en que el resultado ya no

es mas invariante de escala. Veremos que esto tambien ocurre al variar la flexibilidad del

potencial.

3.3. Confinamiento armonico en una direccion

Remplazemos ahora en el sistema del apartado anterior las paredes que confinan la

dinamica en la direccion z por un potencial armonico. Vamos a suponer que el potencial es

lo bastante debil como para que en las temperaturas a las que estamos trabajando tenga

22

3.3 Del potencial confinante

validez una aproximacion semiclasica 1. La densidad de estados para este sistema resulta

ser

ρ(ǫ) =2 πmS

h2

ǫ

hω(3.14)

z = exp(

µ

kT

)

(3.15)

Con esta densidad de estados, el numero de partıculas en estados excitados viene dado

por una integral analoga a la que estudiamos en el capıtulo anterior:

nex =16mS

h2

(kT )2

hωLi2(z) (3.16)

De manera analoga, obtenemos una temperatura crıtica,

Tc =

√

√

√

√

h2N/Shω

32 πmζ(2)(3.17)

Sin embargo, debemos observar que en este caso ω es proporcional al cuadrado de la altura

efectiva de la caja. Esto tiene como consecuencia que la temperatura crıtica depende ahora

no solo de la densidad sino tambien del volumen y la forma del contenedor. Con esta

temperatura crıtica, reescribimos la poblacion de los estados excitados como

nex = N(

T

Tc

)2 Li2(z)

ζ(2)(3.18)

Podemos tambien calcular la energıa media del sistema como

U = 2(

T

Tc

)2

NkTLi3(z)

ζ(2)(3.19)

El calor especıfico puede calcularse analogamente:

Cv =

4(

TTc

)

Nk ζ(3)ζ(2)

T < Tc

2 kζ(2)

(

TTc

)2 (2Li2(z)2

log(1−z)+ 3 Li3(z)

)

T > Tc

(3.20)

Notemos que Li1(z) es una funcion que varıa lentamente con su argumento. Segun la dis-

cusion de la seccion anterior, como esta funcion nunca puede hacerse legıtimamente cero

en un sistema finito, el calor especıfico presentara una discontinuidad finita en la tempe-

ratura crıtica, del orden de la inversa de Li1(zmax). En ese sentido, la trampa se vuelve

1En el apendice B daremos algun detalle extra respecto a la forma de construir la densidad de estados

en la aproximacion semiclasica.

23


mas sensible a la region de baja energıa del espectro respecto a una caja. En una trampa

armonica en tres dimensiones, por otro lado, esta informacion se desdibuja nuevamente: el

calor especıfico presenta una discontinuidad finita, pero esta es independiente de la forma

de la trampa.

3.4. Del potencial confinante

Hasta ahora, estuvimos considerando la formacion de condensados de Bose Einstein en

sistemas confinados dentro de paredes rıgidas, esto es, las paredes confinan completamente

al sistema en un volumen dado. Sabemos que esta idealizacion funciona bien cuando

estudiamos cantidades macroscopicas de gases confinados en botellas rıgidas y no porosas.

Sin embargo, muchos de los experimentos en los que se forman condensados de Bose

Einstein se realizan a escalas en las que no es practico este tipo de confinamiento. Como

mencionamos en la introduccion, en su lugar se utilizan trampas de iones, que pueden

modelarse por potenciales finitos y en general, no absolutamente rıgidas.

3.4.1. Existencia de estados libres

Alterar el potencial confinante implica modificar el espectro de partıcula simple y

por lo tanto, tambien cambiaran en alguna medida las propiedades termodinamicas del

sistema. Para comenzar con este analisis, consideremos en primer lugar el confinamiento

en un pozo de potencial finito en vez de uno infinito.

Al hacer finita la altura del potencial introducimos una nueva escala de energıas: por

debajo de esta escala encontraremos un espectro discreto semejante al espectro original.

Por encima, encontramos un espectro continuo, cuyos estados asociados no se encuentran

confinados en la caja. Esto implica que a temperatura no estrictamente cero, siempre

existira la posibilidad de que las partıculas escapen de la caja, y por lo tanto, no es

posible alcanzar un estado de equilibrio en sentido estricto. En la practica, si la escala

de energıa asociada a la temperatura es mucho menor que la profundidad del pozo, la

probabilidad por unidad de tiempo de que alguna partıcula escape de la caja es muy

baja y es posible descartar del sistema los estados del continuo.2 Respecto al espectro,

2El mismo resultado se obtiene introduciendo una presion de vapor en el sistema, que garantice un

24


encontramos que la relacion de dispersion no cambio, pero que ahora, los autovalores del

impulso vienen dados por las soluciones de

k = arctan(

√

2mV

k2− 1)

y de

k = arctan(1/

√

2mV

k2− 1)

En la figura 3.4.1 vemos las soluciones graficas a estas ecuaciones, de las que podemos

inferir las caracterısticas del espectro. Las caracterısticas fundamentales son que el espec-

tro de estados ligados tiene un numero finito de niveles, que no existe cruzamiento de

niveles (para ningun valor de V aparece degeneracion accidental), que cuanto mas bajo

sea el numero cuantico menor es la diferencia de su valor con el caso de la caja infinita y

finalmente, que la relacion de dispersion no cambia.

Concluimos entonces que la finitud del pozo no afectara mayormente a las magnitu-

des termodinamicas del gas dentro de la caja, sino que introducira una temperatura de

evaporacion por encima de la cual, el ritmo al que las partıculas escapan del sistema nos

impide seguir considerandolo un sistema en equilibrio.

Si bien este efecto parece ser indeseable, nos da la vıa para alcanzar las temperaturas

necesarias en los experimentos que estamos tratando: al producirse la evaporacion, buena

parte de la energıa del sistema se escapa con las partıculas evaporadas, consiguiendose

finalmente un sistema cuasiestacionario, con temperaturas muy por debajo de la tempe-

ratura de evaporacion. Con este mecanismo es posible alcanzar escalas de temperatura

del orden del nanoKelvin

3.4.2. ”Rigidez” del confinamiento

Un segundo cambio que podemos hacerle al hamiltoniano es considerar un sistema

ya no confinado por una caja, sino dentro de un potencial menos singular. Consideremos

en general la familia de potenciales V (x) = h2

2m x20

|x/x0|λ. Tomando el lımite λ → ∞recuperamos la caja infinita, mientras que si hacemos λ = 2 encontramos una solucion

bien conocida: el oscilador armonico. Para resolver esto, conviene llevar la ecuacion de

valor medio del volumen del sistema bien definido.

25


0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

V=50

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

V=100

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 1 2 3 4 5 6 7

V=500

Figura 3.1: Espectro discreto del operador impulso lineal en un pozo de potencial para

diferentes valores de 2mV . La linea de cruces marca el impulso√

2mV y las lineas de

puntos marcan los autovalores de k para el pozo infinito. las curvas en colores corresponden

a las diferentes ramas de arctan(√

(2mV/k2 − 1)) y arctan(1/√

(2mV/k2 − 1)). Vemos que

para k >√

2mV las curvas ya no cortan a la diagonal, lo que significa que ya no existen

otros estados ligados por encima de ese impulso. Cuanto mas alejado esta ki de√

2mV ,

se acerca mas a su valor correspondiente a la caja infinita.

Schrodinger del problema

En1,...,ndψn1,...,nd

(x1, ..., xd) = − h2

2m∇2ψn1,...,nd

(x1, ..., xd) + (3.21)

d∑

i=1

∣

∣

∣

∣

xi

L

∣

∣

∣

∣

λ

ψn1,...,nd(x1, ..., xd)

26


a una forma adimensional. El alto grado de simetrıa del problema nos permite conseguir

una ecuacion adimensionalizada completamente: introduciendo las variables ξi y f(n),

ξi =xi

L(3.22)

ǫn1,...,nd=

En1,...,nd

hω(3.23)

ω =h

mL2(3.24)

el hamiltoniano se reduce a

ǫn1,...,ndψn1,...,nd

(ξ1, ...ξd) = −∇2ψn1,...,nd(ξ1, ..., ξd) + (3.25)

d∑

i=1

|ξi|λ ψn1,...,nd(ξ1, ...ξd)

Este ultimo a su vez es factorizable como:

ψn1,...,nd(ξ1, ...ξd) = ψn1

(ξ1)...ψnd(ξd) (3.26)

ǫn1,...,nd= ǫn1

+ ...+ ǫnd(3.27)

ǫniψni

(ξi) = −∇2ψni(ξi) + |ξi|λ ψni

(ξi) (3.28)

que son todos problemas unidimensionales iguales. Para construir la densidad de estados

a partir de estas ecuaciones intentamos dos caminos: una aproximacion semiclasica y

mediante calculo numerico. En el apendice B estan los detalles de estos metodos. Ambos

resultados pueden sumarizarse en que la densidad de estados obedece una ley de potencias:

n(ǫ) = 4(

ǫ

h ω

)sλ

F (λ) (3.29)

sλ ≈ 2λ

2 + λ(3.30)

F (λ) < 1 lımλ→∞

F (λ) = 1 (3.31)

donde la expresion para s es exacta en los casos λ = 2 y λ→ ∞. Los resultados numericos

difieren en esto solo para los primeros numeros cuanticos, donde encontramos para λ ≈ 2

una region donde la dependencia es lineal. Con la densidad de estados, construimos la

integral que acota el numero de ocupacion total de los estados excitados:

Nex →∫ ∞

1

d3n

eβ(E(n1,...nn)−µ) − 1(3.32)

= (βhω)−d/s∫ ∞

(βhω)−1...∫ ∞

(βhω)−1

zs−11 ...zs−1

d

ez1+...+zd−µ − 1dz1...dzd

27


Se puede probar usando las propiedades de las funciones polilogarıtmo (Liq) y Gamma Γ

que la ultima integral da∫ ∞

kThω

...

∫ ∞

kThω

z1/s−11 ...z

1/s−1d

ez1+...+zd−µ − 1dz1...dzd = Lid/s(e

−µ+dhωk T )Γ(d/s)Q(d, s) (3.33)

Q(d, s) representa una integral angular que para d y s finitos es finita, por lo que la integral

completa estara acotada siempre y cuando la relacion d/s sea estrictamente mayor que 1.

Si este es el caso, la temperatura crıtica toma la forma

Tc =1

k

(

hωd/sN

ζ(s/d)Γ(d/s)Q(d, s)

)s/d

(3.34)

En este punto, observamos que la temperatura crıtica depende de ω ası como del numero

de partıculas, pero no explicitamente del volumen; sin embargo, el volumen si aparece,

vıa el parametro ω. Este ultimo es inversamente proporcional al cuadrado de la longitud

caracterıstica del sistema. Si s vale exactamente 2, (lımite de la caja rıgida) ωd/sN es

proporcional a la densidad del sistema y, segun la prescripcion usual para el lımite termo-

dinamico, esta debe ser un parametro intensivo del sistema. Por otro lado, cuando s 6= 2,

si mantenemos la densidad constante ωd/sN debe caer como una potencia del volumen

caracterıstico.

En el trabajo de Bagnato [1], este problema queda enmascarado al plantear que el

potencial de la forma

V (x) = ex

∣

∣

∣

∣

x

L

∣

∣

∣

∣

λ

y tomando como volumen del sistema a Ld. Sin embargo, L no representa en la ultima

expresion ninguna magnitud fısica: el verdadero volumen del sistema es el correspondiente

a la escala de longitud proveniente de adimensionalizar la ecuacion de Schrodinger, que

sera proporcional a alguna potencia de L. A pesar de esto, en los condensados realizados

en laboratorios, los volumenes que encierran condensados estan en realidad lejos del lımite

de ”volumen infinito”, siendo del orden de algunos cientos de veces la longitud de onda

termica, por lo que los condensados son perfectamente factibles. En el caso de la trampa

discutida en la introduccion, obtenemos para el volumen

S = 1,210−7m2

mientras que el area asociada a la longitud de onda termica

λ2T ≈ 2,810−16m3

28


con lo que λ2T es apenas 4 ordenes de magnitud mas pequena que el area del sistema.

La situacion cambia en contextos realmente macroscopicos en los que Nex se vuelve efec-

tivamente divergente. En el capıtulo siguiente, analizaremos el efecto de un parametro

que aun no hemos tenido en cuenta: la presencia de interacciones entre los constituyentes

del sistema. Compararemos entonces los efectos de tamano finito con los debidos a las

interacciones.

29


30

Capıtulo 4

Sistemas de Bosones en interaccion

En el capıtulo anterior estudiamos un sistema de bosones no interactuantes en diferen-

tes contextos y calculamos sus temperaturas crıticas. En este capıtulo nos dedicaremos a

tratar el problema de incorporar los efectos de las interacciones entre las partıculas dentro

de nuestro modelo. Al incluirlas, una nueva serie de fenomenos fısicos salen a la luz, a la

vez que se corren los lımites que calculamos antes para la formaciıon de condensados. Una

primera seccion estara dedicada a una descripcion microscopica mas o menos detallada de

las interacciones entre las especies atomicas que forman condensados. Luego, plantearemos

las ecuaciones y trataremos de simplificar el modelo lo suficiente para que la matematica

sea tratable, intentando no degradar demasiado su conexion con una situacion fısica real.

Finalmente, daremos una aproximacion a la solucion del problema de bosones confinados

en tres geometrıas diferentes: un gas confinado en una caja d dimensional libre, un gas

en una caja d-dimensional, confinado luego en una direccion con una trampa armonica,

y un gas tridimensional confinado en una trampa esferica.

4.1. De las interacciones

Una interaccion puede entenderse como el mecanismo por el cual dos partes del sistema

tienen una dinamica correlacionada. Las interacciones pueden distinguirse en interaccio-

nes de corto y de largo alcance. Las primeras establecen correlaciones solo entre partes

del sistema separadas por distancias menores a una distancia caracterıstica, las segundas

son capaces de establecerlas a distancias arbitrariamente grandes. Las interacciones de

corto alcance, sin embargo, pueden ser capaces de establecer correlaciones de largo alcan-

ce en determinadas circunstancias: por ejemplo, si bien las interacciones entre los atomos

que forman un cristal pueden no ser interacciones de largo alcance, son responsables de

que si empujamos un extremo del cristal, el otro extremo se mueva casi instantaneamen-

31

Capıtulo 4 Sistemas de Bosones en interaccion

te. Otra magnitud que caracteriza una interaccion es su intensidad: cuanto mas intensa

sea la interaccion, mas correlacionadas estaran las magnitudes fısicas de los subsistemas

interactuantes.

En mecanica cuantica, el mecanismo para introducir una interaccion en un modelo es

incorporar un termino en el hamiltoniano -el potencial de interaccion -que dependa de

las variables que esta interaccion acopla. La intensidad de la interaccion queda enton-

ces dimensionada por el valor numerico del termino de interaccion. La forma funcional

de ese termino determina la fısica de la interaccion. Su eleccion puede estar basada en

consideraciones unicamente de simetrıa o en base a parametros empıricos.

El sistema que queremos estudiar consiste de atomos de elementos alcalinos. Si des-

preciamos el efecto del potencial confinante y nos concentramos en la dinamica de baja

energıa, estos atomos son esfericamente simetricos. Como su carga es nula, a grandes

distancias

El potencial de interaccion entre dos atomos o moleculas en general obedece la forma

empırica de un potencial de Lenard-Jones:

V (r) = V0

(

1

(r/r0)12± 1

(r/r1)6

)

donde V0 es una cantidad de orden 1 respecto a alguna energıa caracterıstica del sistema

y r0 < r1. En la figura 4.1 podemos ver una grafica de este potencial. A distancias mayores

que r1 el potencial es practicamente nulo. A distancias entre r0 y r1 el potencial puede

resultar atractivo o repulsivo de acuerdo al signo y presenta una zona impenetrable dentro

del radio para radios menores que r0.

Si bien esta forma del potencial ajusta perfectamente la interaccion entre moleculas,

es exacta en particular para las interacciones entre dos atomos de hidrogeno (este ultimo

calculo esta hecho en el libro de mecanica cuantica de Cohen-Tanudji[5]) y es facilmente

tratable para el problema de dos cuerpos por medio de calculo numerico, no es tan facil

de tratar en contextos como el que estamos estudiando aquı. Vemos que de todos modos

no se pierde demasiada informacion si, en los calculos de secciones eficaces o en mecanica

de muchos cuerpos, lo replazamos por un potencial cuadrado:

Vrep(r) = V0θ(1 − r/a)θ(r/b− 1) − Vextθ(1 − r/b)

32

4.1 De las interacciones

-2

-1

0

1

2

3

4

5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

atractivorepulsivo

Figura 4.1: Potencial de Lenard Jones.

donde θ(x) es la funcion escalon de Heavyside

θ(x) =

0 x < 0

1 x ≤ 0(4.1)

La determinacion de los parametros del potencial suelen venir fundamentalmente de dos

fuentes: el analisis de relaciones termodinamicas empıricas y el de experimentos de dis-

persion. La primera de estas fuentes nos brinda esta informacion analizando en que punto

el sistema presenta transiciones de fase, o como son las isotermas respecto de un gas sin

interacciones. Un analisis cualitativo nos permite ver que a es la distancia mınima entre

moleculas a energıas relativamente bajas, ya que acercarse mas implica un enorme salto

en energıa. El termino atractivo, por otro lado, tiene como consecuencia la reduccion de la

presion del gas, relativa al gas ideal a temperatura y volumen dados. Vext sera proporcio-

nal a esta reduccion. A cierta escala de densidades, caracterizada por el parametro b este

efecto tendera a desaparecer. Si el potencial es solo repulsivo, la fısica a bajas energıas

estara completamente dominada por el termino exterior. Si por el contrario en el caso

atractivo, es necesario tener en cuenta ambos terminos.

Los parametros del potencial podemos fijarlos vıa los resultados de un experimento de

33


dispersion. La cantidad a medir sera la seccion eficaz total en funcion de la energıa de las

partıculas incidentes. A primer orden en teorıa de perturbaciones, esta cantidad puede

relacionarse con el potencial de interaccion como

σ =4m2

h4

∣

∣

∣

∣

∫

V (r)ei(k−k′).rd3x

∣

∣

∣

∣

2

(4.2)

esta integral presenta dos regimenes determinados por el alcance a del potencial: Si

a|k| << 1 estamos en el lımite lento, y σ ≈ 4m2

h4

∫

V (r)d3x que es constante para mien-

tras a|k| << 1. Cuando a|k| >> 1, la integral se hace practicamente cero. Como regla

general, los detalles de la estructura interna de un potencial solo se hacen evidentes a

energıas del orden de la energıa del potencial. Para el caso de un potencial tipo Lenard

Jones repulsivo, cuando el sistema se encuentra a baja temperatura, es perfectamente

lıcito considerarlo como un potencial que actue puntualmente y que de una seccion eficaz

compatible con la obtenida con el potencial real a bajas energıas. Sin embargo, a energıas

suficientemente grandes, la seccion eficaz se vuelve despreciable. En el capıtulo siguiente

no tomaremos en cuenta este efecto en los calculos, lo que tendra como consecuencia la

aparicion de divergencias ultravioletas en algunas integrales. Si el potencial es atractivo,

por otro lado, puede ocurrir que a bajas energıas forme estados ligados. Si este es el ca-

so, la aproximacion por una delta deja nuevamente de ser valida y debemos tratar con

una descripcion mas precisa del potencial. Por ultimo, es necesario aclarar que cuando el

sistema no se encuentra libre sino que esta bajo los efectos de un potencial externo, las

secciones eficaces pueden presentar fenomenos de resonancias para algunas energıas. En

adelante, descartaremos este efecto, aunque se haya observado que en algunos casos su

presencia puede ser importante[7].

4.2. Hamiltoniano simplificado para interacciones de

contacto.

Luego de las consideraciones anteriores el hamiltoniano queda escrito como

H =∫

Ψ†(x)(

−∇2 + V (x) + g Ψ†(x)Ψ(x))

Ψ(x) (4.3)

Para diagonalizar el hamiltoniano seguire el trabajo de Castin y Dum [4], de forma tal que

trabajaremos con el hamiltoniano como esta, sin romper la simetrıa de Gauge, esto es,

34

4.2 Hamiltoniano simplificado para interacciones de contacto.

verificando que H conmute con el operador numero de partıculas N orden a orden. Esto

es importante ya que lo que nos interesa es explorar los lımites de la region del espacio

de parametros (g,T y ω) para los que el sistema es capaz de formar un condensado. En

estas regiones, por estar cerca de una transicion de fase, potencialmente podrıa fallar el

intento de considerar iguales las funciones de particion y su aproximacion por metodo

de ensilladura. Escribiremos entonces el hamiltoniano como un desarrollo en potencias

de√N . Primero, nos interesara separar el operador de nuestro campo bosonico en dos

terminos: uno asociado a la funcion de onda del condensado, mientras que el otro sera su

complemento ortogonal.

Ψ(x) = φ(x)a0 + Ψ⊥(x) (4.4)

donde

a0 =∫

φ∗(x)Ψ(x)d3x (4.5)

Para ser consistentes con nuestro desarrollo, buscaremos que la funcion φ(x) sea la auto-

funcion de autovalor mas grande del operador densidad de un cuerpo.

ρ(y, x) =∫

|y〉⟨

Ψ†(y)Ψ(x)⟩

〈x| d3xd3y (4.6)

ρ(y, x)φ(x) = λφ(y) (4.7)

Este operador densidad, a temperatura cero, consiste en tomar el valor esperado sobre

el estado fundamental del sistema, que aun no conocemos. Esto nos permitira, mas ade-

lante intentar un esquema variacional para encontrarlo. Por ahora, mantengamos a φ(x)

indefinido. Introducimos ahora los operadores1

nex =∫

Ψ⊥(x)†Ψ⊥(x)d3x = N − a†0a0 (4.8)

Λ(x) =a†0√N

Ψ⊥(x) (4.9)

Ψ⊥(x) =Λ(x)a0√

N

1

1 − nex

N

(4.10)

Ψ⊥(x)†OΨ⊥(x) =Λ(x)†OΛ(x)

1 − nex+1N

(4.11)

35


Una propiedad importante del operador Λ(x) es que su valor esperado debe ser cero, lo

que se deduce a partir de la definicion de φ(x). Desarrollemos entonces el algebra asociada

a los operadores que introducimos:

[

a0, Λ(x)]

=Λ(x)a0

N

1

1 − nex

N

(4.12)

[

a†0, Λ(x)]

= 0 (4.13)

[

Λ(x), Λ†(y)]

=

(

1 − nex

N

)

δ⊥(x− y) − (4.14)

Λ(x)Λ†(y)

N2 (1 − nex/N)

P⊥ξ(x) =∫

(δ(x− x′) − φ(x)φ(x′))ξ(x)d3x (4.15)

Vemos que el operador Λ(x) en primera aproximacion, satisface relaciones de conmutacion

bosonicas, lo que nos da la pauta de que si el sistema forma un condensado, la dinamica

de este operador sera semejante a la de un nuevo campo bosonico.

Si bien introducimos Λ(x) para tratar el problema con interacciones, nos permite obte-

ner una interpretacion interesante de lo que ocurre en un sistema que es capaz de formar

un condensado: A temperatura cero, el estado del sistema sin interacciones es el estado

fundamental. Las reglas de conmutacion de Λ(x) son entonces las mismas que las aso-

ciadas con un campo de partıculas, por lo que formular la termodinamica del sistema en

terminos de Λ(x) o en terminos de Ψ(x) es indistinto. Sin embargo,∫

Λ†(x)Λ(x)d3x que

coincide con el operador numero no conmuta con el hamiltoniano; mas aun, el hamiltonia-

no para Λ(x) corresponde a un hamiltoniano con un complicado termino de interaccion.

Sin embargo, si el sistema forma un condensado, los terminos de interaccion se hacen des-

preciables. La no conservacion de Λ†(x)Λ(x)d3x, por otro lado, tiene como consecuencia

que el potencial quımico sea estrictamente cero. A temperaturas por debajo de la tem-

peratura crıtica del sistema, el espectro de Λ(x) sera muy semejante al espectro de las

partıculas originales, por lo que la funcion gran particion del sistema original tiene que ser

muy parecida a la funcion particion del sistema de cuasipartıculas. Esto es compatible con

1el operador en el denominador conmuta con el operador en el numerador y O es un operador arbitrario

sobre el espacio de funciones. El operador Λ(x) actua sobre un estado eliminando una partıcula de un

estado excitado llevandola al estado fundamental, lo que nos indica que este operador conmutara con el

operador numero total partıculas.

36


considerar que el potencial quımico para el sistema de partıculas debe ser cero por debajo

de Tc. Al aumentar la temperatura, la poblacion de cuasipartıculas comienza a crecer, lo

que implica un aumento del numero de partıculas en estados excitados. La consecuencia

de esto es que, a Tc el numero de excitaciones se corresponde exactamente con el numero

medio de partıculas en estados excitados.

Cuando proyectamos el hamiltoniano sobre el subespacio de N partıculas y escribimos

n0 en terminos de N y nex, apareceran una serie de terminos que depederan solamente de

la funcion φ(x), mientras que el resto de los terminos seran funcion tanto de φ(x) como

de los operadores de excitaciones Λ(x). El primero de estos terminos sera asociado a la

energıa del condensado µN , mientra que el segundo correspondera al hamiltoniano de

las excitaciones N K. La estrategia para diagonalizar los terminos de excitaciones sera la

siguiente:vamos a proponer que es posible desarrollar µ, φ(x), Λ(x) y K en una serie

de potencias de N−1/2, donde cada orden conmute con los operadores correspondientes

a ordenes diferentes del desarrollo. Aquı vamos a hacer esto hasta orden dos, pero en

principio es un procedimiento facilmente extendible a ordenes mas altos. Presentamos los

primeros ordenes de los desarrollos de µ y K:

µ0 =∫

φ∗0(x)(H + g(N − 1)φ∗

0(x)φ0(x))φ0(x)d3x (4.16)

µ1 = 2∫

φ∗1/2(x)(H + 2 g Nφ∗

0(x)φ0(x))φ0(x))d3x (4.17)

µ2 = 2∫

φ∗1/2(x)(H + g Nφ∗

0(x)φ0(x))φ1/2(x)d3x+ (4.18)

+2∫

φ∗1(x)(H + 2 g Nφ∗

0(x)φ0(x))φ0(x)d3x

K0 = 0 (4.19)

K1 =∫

φ∗0(x)(H + 2 g Nφ∗

0(x)φ0(x))Λ0(x)d3x+ h.c. (4.20)

K2 =∫

Λ†0(x)(H + 4 g Nφ∗

0(x)φ0(x))Λ0(x)d3x− (4.21)

−∫

φ∗0(x)(H + 2 g Nφ∗

0(x)φ0(x))φ0(x)d3x∫

Λ†0(x)Λ0(x)d

3x+

+g N∫

(φ∗0(x)φ0(x))(Λ0(x)Λ0(x) + Λ†

0(x)Λ†0(x))d

3x+

+∫

φ∗1(x)(H + 2 g Nφ∗

0(x)φ0(x))Λ0(x)d3x+ h.c.

Debemos imponer dos condiciones para que el sistema se mantenga en equilibrio: en

primer lugar, que orden a orden la norma de φ(x) sea 1. En segundo lugar, la energıa

37


asociada a las excitaciones debe ser siempre positiva: caso contrario, la energıa del sistema

completamente excitado serıa menor o igual que la energıa del sistema sin excitaciones y

esta descripcion del sistema fracasarıa. Analizaremos ahora la solucion orden a orden.

4.2.1. Orden 0

A este orden, el hamiltoniano consiste en la constante µ0 que corresponde a la mınima

energıa por partıcula. Esta energıa corresponde a la diferencia de energıa entre el nivel

fundamental de los subespacios con N + 1 y N , y podemos interpretarla como menos

el potencial quımico. La determinacion de este valor surgira al tratar el orden siguiente,

donde encontraremos una ecuacion para φ0(x)

4.2.2. Orden 1

Observemos ahora el termino de orden 1. La dinamica de⟨

Λ0(x)⟩

queda determinada

por el conmutador el valor medio con el hamiltoniano a este orden:

i hd⟨

Λ(x)⟩

dt=⟨[

Λ(x), K1

]⟩

= P⊥(H + 2 g Nφ∗0(x)φ0(x))φ0(x)

pero por hipotesis,⟨

Λ0(x)⟩

= 0 a todo t. Para que esto se mantenga, necesariamente se

tiene que cumplir

(H + 2 g Nφ∗0(x)φ0(x))φ0(x) = ǫ0φ0(x) (4.22)

la solucion de esta ecuacion bien puede no ser unica; sin embargo, veremos al estudiar

el orden siguiente que debemos elegir λ de manera que sea el menor valor posible. Esto

nos sugiere intentar un enfoque variacional para la solucion. Al hacerlo, vemos que la

funcional a minimizar coincide con µ0.

Si g es positivo, µ0. es una cantidad definida positiva y por lo tanto, admitira un

mınimo absoluto; por otro lado, si g no es positiva, µ0 podra hacerse tan negativa como

se quiera haciendo que φ(x) se concentre lo suficiente en torno al origen. Este efecto se

debe en realidad a la forma en que aproximamos la interaccion en nuestro hamiltoniano.

Cuando φ(x) se concentre lo suficiente entorno al origen, comenzara sentir los efectos de la

estructura del potencial de interaccion. Dos cosas pueden ocurrir entonces. Si el potencial

admite estados ligados, el mınimo de energıa correspondera una organizacion del estado

38


fundamental en la que cada partıcula se encuentre a a distancias respecto de las otras tales

que la energıa sea mınima; en otras palabras, el sistema forma un solido. Si por otro lado

el potencial no admite estados ligados, las partıculas seguiran en movimiento, autoconfi-

nadas por la parte atractiva del potencial, pero sufriendo los choques debidos a la region

interna del potencial, que nuevamente es repulsivo. Tal sistema se volverıa independiente

de la trampa, y toda la fısica estarıa autocontenida en el potencial de interaccion. Sin em-

bargo, probablemente se podrıa reducir al problema original remplazando el potencial de

autoconfinamiento por un potencial externo. Al margen de que esto ocurra, sin embargo,

puede ocurrir que µ0 tenga un mınimo local. La existencia de este mınimo local depen-

de principalmente del valor de |g N | y desaparece cuando ese valor es lo suficientemente

grande. En tal caso, podremos tomar como funcion del condensado a la funcion φ0(x)

que nos de este mınimo, siempre y cuando consideremos escalas de tiempo lo bastante

pequenas para que el sistema colapse al mınimo absoluto. La estimacion de estas escalas

de tiempo se han calculado con diversas tecnicas en [12] y [11]

Una vez encontrado φ0, vemos que µ1 se reduce a la proyeccion de φ1(x) sobre φ0(x).

Por la condicion de normalizacion, al elegir que la fase global de φ(x) sea constante,

esta proyeccion debe anularse. De esta manera, ninguna de las cantidades a este dan

contribuciones al hamiltoniano.

4.2.3. Orden 2

Lo primero que observamos es que, a este orden, encontramos dos terminos identicos

a los que encontramos a orden 1, salvo porque en vez de φ0(x) aparece φ1(x) en su lugar.

Para anularlos, sera necesario que la proyeccion de φ1(x) ortogonal a φ0(x) tambien se

anule. Como la proyeccion paralela a φ0(x) ya la habiamos elegido nula, φ1(x) debe ser

nulo para todo x. De esta manera, las expresiones a este orden se simplifican bastante:

µ2 = 2∫

φ∗1(x)HGPφ0(x)d

3x (4.23)

K2 =∫

Λ†0(x)(HGP + Γ)Λ0(x)d

3x+ (4.24)

+∫

Γ

2(Λ0(x)Λ0(x) + Λ†

0(x)Λ†0(x))d

3x

donde introducimos los operadores

HGP = (H + 2 g Nφ∗0(x)φ0(x) − ǫ0) (4.25)

39


Γ = 2 g Nφ∗0(x)φ0(x) − ǫ0 (4.26)

Si bien no sabemos cual sera la forma de φ2(x), nuevamente tiene que ser ortogonal a φ0(x)

para mantener la normalizacion y la fase. Luego, µ2 debe ser tambien nula. Calculemos

ahora el conmutador de Λ(x) con el hamiltoniano a este orden:

[

Λ0(x), H]

= (HGP + Γ)Λ0(x) + ΓΛ†0(x) (4.27)

lo que muestra esto es que las ecuaciones de Λ(x) y Λ†(x) estan acopladas. Para desaco-

plarlas, conviene primero expandir Λ(x) en una serie de funciones:

Λ0(x) =∑

σ

uσ(x)ασ + vσ(x)α†σ (4.28)

donde ασ y α†σ formen algebras de conmutacion bosonicas. Remplazando en la ecuacion

4.27 la condicion de que cada ασ evolucione en forma independiente se puede escribir

como el siguiente problema de autovalores para los pares (uσ(x), vσ(x)):

ǫσ

uσ(x)

vσ(x)

=

(HGP + Γ)P⊥ ΓP⊥

−ΓP⊥ −(HGP − Γ)P⊥

uσ(x)

vσ(x)

(4.29)

donde los proyectores se incorporaron con el fin de garantizar que uσ y vσ sean todos orto-

gonales con φ0(x). Si esto no fuera cierto, potencialmente Λ(x) adquirirıa una componente

sobre esa funcion, en contra de nuestras hipotesis. De todas formas, hay que observar que

el subespacio que sustraemos al introducir el proyector es un subespacio propio del pro-

blema sin los proyectores, por lo que podemos trabajar con o sin ellos, siempre y cuando

descartemos ese subespacio. En el apendice C analizamos las propiedades de este opera-

dor; las mas notables son que los autovalores se dan siempre de a pares (ǫσ,−ǫσ), y que

si Γ es definido positivo, el espectro es real y los pares (uσ(x), vσ(x)) satisfacen relaciones

de ortogonalidad compatibles con la propuesta de que ασ y α†σ correspondan a operadores

bosonicos.

Luego del remplazo, nuestro hamiltoniano toma la forma, a este orden :

H = µN + 2∑

σ

ǫσ

(∫

v∗σ(x)vσ(x)d3x)

+∑

σ

ǫσα†σασ (4.30)

el estado fundamental se correspondera a la ausencia de excitaciones asociadas a los ασ.

Sin embargo, recordemos que estos operadores en realidad se corresponden con una com-

binacion lineal de dos operadores: uno que remueve una partıcula del estado fundamental

40

4.3 Efectos termicos

y la coloca en un estado excitado, y otro que hace el proceso inverso. Esto significa que el

valor de espectacion de nex sobre el estado fundamental es siempre no nulo en presencia

de interacciones. La evaluacion es directa:

〈nex〉 =∫

⟨

Λ†(x)Λ(x)⟩

d3x (4.31)

=∑

σ

∫

v∗σ(x)vσ(x)d3x

donde usamos el hecho de que sobre el estado fundamental, α |0〉 = 0 y las reglas de

conmutacion para los operadores de excitacion. Encontramos entonces una nueva cota a

la aplicacion del formalismo: Si∑

σ

∫

v∗σ(x)vσ(x)d3x es comparable con N , el formalismo

deja de funcionar.

De la ecuacion C.10 vemos que cuando Γ es definido negativo pueden aparecer ex-

citaciones para las que su energıa asociada es cero. Si el espectro de HGP es continuo,

esto necesariamente ocurrira si g < 0. Si por otro lado su espectro se puede considerar

discreto, si el operador Γ esta acotado por debajo de la separacion entre el nivel funda-

mental y el primero excitado de HGP , podemos argumentar vıa teorıa de perturbaciones

que C.10 seguira siendo definido positivo. Sin embargo, como la separacion entre niveles

se reduce conforme aumentamos el volumen, en el lımite termodinamico la interaccion

debe ser definida positiva. La existencia de modos inestables esta intimamente relaciona-

da con el caracter metaestable de la fase BEC cuando las interacciones son atractivas.

Cabe observar ademas que la produccion de estas excitaciones, si el sistema se puede

considerar aislado, se debe solamente a terminos orden 1/sqrtN en el hamiltoniano efec-

tivo, lo que significa que el tiempo de vida de la fase condensada puede hacerse muy

grande, siempre y cuando el numero de modos nulos se mantenga finito. Esto es lo que

probablemente ocurra en los condensados de Li en trampas de iones. En esos sistemas,

aunque la interaccion es atractiva, se lleva a cabo tanto a N (N ≈ 1400) como a volumen

finito (V ≈ (h/mω)3/2 ≈ 2,310−4mm3), lo que nos da una escala de tiempo del orden del

segundo.

4.3. Efectos termicos

Para tener en cuenta los efectos termicos para temperaturas cercanas a cero (y lejos de

la temperatura crıtica) construimos la matriz densidad de un cuerpo a partir de la matriz

41


densidad completa, obtenida de exponenciar el hamiltoniano. En la base de excitaciones

que introducimos en la seccion anterior, la matriz densidad toma la forma sencilla

ρ = exp(− H

k T) =

∏

σ

exp(−α†σασǫσ/kT ) (4.32)

vale observar que como α†σασ no necesariamente es una cantidad conservada, el potencial

quımico asociado a ellas es en principio nulo. Por otro lado, como el numero de partıculas

sı es una cantidad conservada, si posee un potencial quımico asociado, no nulo. Sin em-

bargo, este ultimo habra de compensarse con la energıa por partıcula dando un resultado

neto cero. Por eso, en nuestra matriz densidad solo aparece el producto de operadores

dependientes de los operadores de excitacion. Claro esta, por otro lado, que el numero de

partıculas entra en juego tanto en el espectro como en las cantidades dependientes de las

partıculas originales.

Calculemos por ejemplo la matriz densidad de un cuerpo

ρ(x, y) = TrρΨ†(y)Ψ(x)/Trρ (4.33)

A temperatura cero, solo el estado fundamental representa una contribucion a la traza,

por lo que la matriz densidad de un cuerpo se reducira a

ρ(x, y) = (N −∫

∑

σ

v∗σ(x)v∗σ(x)d3x)φ(y)∗φ(x) +∑

σσ′

v∗σ(y)v∗σ′(x) (4.34)

A temperatura pequena pero finita, contribuiran tambien estados con excitacion no nula.

Sin embargo, de nuestra construccion se puede obtener que

ρk T (x, y) = (N − 〈nex〉k T )φ(y)∗φ(x) + (4.35)

+∑

σσ′

1

eǫσ/k T − 1u∗σ(y)u

∗σ′(x) +

∑

σσ′

1

1 − e−ǫσ/k Tv∗σ(y)v∗σ′(x)

donde naturalmente 〈nex〉 es traza sobre el segundo y el tercer termino. Vale notar que por

la condicion de ortogonalidad que impusimos desde el principio, los subespacios propios

de la matriz densidad de un cuerpo siempre se mantienen sin cambio, al menos aparen-

temente. Al aumentar la temperatura o la interaccion, comenzara a tomar importancia

la correccion a orden 2 en la expresion de φ(x), ası como nuevos terminos de interaccion

para las cuasipartıculas. A nosotros, por otro lado, solo nos interesa de momento saber

si es posible la existencia de condensacion a temperatura finita. En el capıtulo siguiente

estudiaremos algunas soluciones para estas ecuaciones y veremos en que condiciones la

aproximacion es autoconsistente.

42

Capıtulo 5

Aplicacion del formalismo adiferentes sistemas

En el capıtulo anterior desarrollamos un formalismo para tratar un sistema de boso-

nes interactuantes por debajo de la temperatura de condensacion, si es que esta es no

nula. Vamos ahora a aplicarlo a obtener soluciones que se aproximen a los sistemas fısi-

cos planteados en la introduccion. Primeramente estudiaremos el problema homogeneo,

obtendremos sus soluciones para sistemas en dos y tres dimensiones y calcularemos algu-

nas de las cantidades observables relevantes. Luego consideraremos los efectos de encerrar

ese sistema entre dos semiplanos. Esto introduce una longitud caracterıstica dentro del

problema, que determinara bajo que condiciones es valido suponer este sistema como

homogeneo. Finalmente, por medio de calculo numerico, estudiaremos como cambia el

problema al introducir un potencial confinante menos singular. Estudiaremos como casos

testigo los potenciales x2 y x8 y la caja rıgida (x∞).

5.1. Solucion del problema para el caso homogeneo

Vamos a comenzar ahora por resolver las ecuaciones anteriores para el problema ho-

mogeneo, esto es, una caja d dimensional en el lımite de volumen grande. Las ecuacion

4.22 toma la forma

− h2

2m∇2φ(x) + 2 g Nφ(x)3 = ǫ0φ(x) (5.1)

que admite como solucion de menor energıa

φ(x) = 1/√V (5.2)

ǫ0 = 2 g N/V (5.3)

43

Capıtulo 5 Aplicacion del formalismo a diferentes sistemas

con lo que 4.29 se reducen a diagonalizar

− h2

2 m∇2φ(x) + 2 g N/V 2 g N/V

−2 g N/V − h2

2 m∇2φ(x) − 2 g N/V

(5.4)

donde sobreentendemos el proyector ortogonal a los espacios con (u, v) constantes. Que-

dan entonces acopladas solamente pares de soluciones del problema sin interaccion corres-

pondientes a impulso cero. Esto lleva a que el problema de autovalores de desacopla en

subespacios de dimension 2, reduciendose a un problema de autovalores ordinario:

u~k(x) = u(~k)ei~k~x

√V

(5.5)

v~k(x) = v(~k)e−i~k~x

√V

(5.6)

(5.7)

Remplazando en 5.8 tenemos

ǫ~k

u(~k)

v(~k)

= ∆k

E0(~k) + 1 1

−1 −E0(~k) − 1

u(~k)

v(~k)

(5.8)

donde definimos

∆~k = 2 g N/V

E0(~k) =h2

2m∆k

k2

la solucion para energıa positiva, normalizadas, toman la forma

ǫ~k = ∆~k

√

(E0(~k) + 1)2 − 1 (5.9)

u(~k) =(

1 − (E0(k) + 1 + ǫ(k)/∆~k)−2)−1/2

(5.10)

v(~k) = −(

(E0(k) + 1 + ǫ(k)/∆~k)2 − 1

)−1/2(5.11)

(5.12)

de las que se recuperan las soluciones del problema sin interacciones si ∆~k → 0. Nex toma

la forma general

Nex =

(

∫

δǫ/kT

ρn(x)dx

ex − 1+∫

δǫ/kT

ρa(x)dx

1 − e−x

)

(5.13)

donde δǫ representa el espaciamiento entre el nivel fundamental y el primer nivel excitado.

Introducimos dos densidades de estados, una correspondiente a la contribucion de la

44

5.1 Solucion del problema para el caso homogeneo

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

ε/∆

ε(p)ε=(∆/(2m))1/2

ε=p2/(2m)+∆

Figura 5.1: Relacion de dispersion en un sistema homogeneo con interacciones. ∆ da la

escala del cambio del regimen lineal al cuadratico.

componente de ”partıcula”ρn(x) y otra a la de la componente de cuasipartıcula ρa(x).

Nex estara acotado siempre y cuando tiendan a cero mas rapidamente que su argumento.

Consideremos lo que ocurre en sistemas en 3 y dos dimensiones. Para empezar, vemos

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5

((k T

)2)/

(∆2)

ρu(ε

)

ε/∆

ρn(ε/∆)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5

((k T

)2)/

(∆2)

ρu(ε

)

ε∆

ρa(ε/∆)

Figura 5.2: Densidad de estados asociadas a los terminos de creacion y destruccion de

cuasipartıculas para el sistema en tres dimensiones. La densidad de estados se comporta

linealmente en el lımite de bajas energıas.

que la relacion entre la energıa de partıcula no interactuante y la energıa de excitacion

45


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

((k T

)2)/

(∆2)

ρu(ε

)

ε/∆

ρn(ε/∆)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

((k T

)2)/

(∆2)

ρu(ε

)

ε∆

ρa(ε/∆)

Figura 5.3: Densidad de estados asociadas a los terminos de creacion y destruccion de

cuasipartıculas en el sistema en 2D. Que la segunda de estas cantidades de un valor finito,

no nulo en cero se corresponde con la divergencia logarıtmica del caso sin interacciones.

correspondiente al mismo estado de impulso es independiente de la dimensionalidad y

toma la forma (en unidades ∆k)

E0(ǫ) =√ǫ2 + 1 − 1

De la misma manera, |u|2 y |v|2 se escriben como

|u(ǫ)|2 =(

1 − (√ǫ2 + 1 + ǫ)−2

)−1

|v(ǫ)|2 =(

(√ǫ2 + 1 + ǫ)2 − 1

)−1

La dependencia con la dimensionalidad viene de la forma del elemento de volumen en el

espacio de las fasesV

hηdηk =

V

hη⊗dk

η−1dk

debemos ser capaces de expresar kd−1dk en funcion de ǫ:

kη−1dk = d(kη)/η

= d((2m∆E0(ǫ))η/2)/η

=1

2(2m∆)η/2(

√ǫ2 + 1 − 1)1−η/2 ǫ√

ǫ2 + 1dǫ

Poniendo todo esto junto, en el lımite en que ǫ≪ 1 tenemos, para η = 3

ρn(x) ≈ V

h3(kT )2πm

3/2

4√

∆x (5.14)

46

5.1 Solucion del problema para el caso homogeneo

ρa(x) ≈ V

h3(kT )2πm

3/2

4√

∆x (5.15)

mientras que para η = 2

ρn(x) ≈ S

h2

πmkT

4

(

1 +kT

∆x

)

(5.16)

ρa(x) ≈ S

h2

πmkT

4

(

1 − kT

∆x

)

(5.17)

Para η = 3 vemos un cambio cualitativo en el comportamiento en la region de baja

energıa: A diferencia del caso sin interacciones, donde ρn(x) ∝ x1/2, ahora el comporta-

miento es lineal. Esto tiene como consecuencia un aumento en la poblacion relativa del

condensado cuando la energıa termica es menor que ∆. Para η = 2, sin embargo, sumando

las contribuciones de ρn(0) y ρa(0) obtenemos exactamente el mismo resultado que para

el sistema no interactuante, lo que implica que la condensacion no ocurrira en el lımite

termodinamico.

A temperatura cero, por otro lado, observamos que en ambos casos Nex/N es una

cantidad no nula. Para η = 3,

Nex

N

∣

∣

∣

∣

T=0=π((gm)3N/V )1/2

2h3

1

3

y para η = 2Nex

N

∣

∣

∣

∣

T=0=πmg

4h2

es interesante notar que en dos dimensiones este cociente es independiente de la densidad,

a diferencia de lo que ocurre en tres dimensiones. Si expresamos ahora g en funcion de la

seccion eficaz a obtenemos en forma mas compacta

Nex

N

∣

∣

∣

∣

T=0=

8

3

(

a3N

V/π

)1/2

y para η = 2Nex

N

∣

∣

∣

∣

T=0= π2a

De manera analoga, podemos calcular la energıa del sistema. Sin embargo, debemos obser-

var que aun a temperatura cero la energıa interna presenta una divergencia ultravioleta.

Esto se debe a que el potencial de interaccion propuesto es una delta de Dirac, lo que

tiene como consecuencia que ∆ pese lo mismo para cualquier valor de k. Un potencial

47


real, por otro lado,presentarıa una escala de corte, asociada con los impulsos del orden de

la inversa del rango de la interaccion, segun discutimos en la seccion anterior. Por encima

de esa escala de energıa, las partıculas practicamente no interactuan y podemos tomar

∆ = 0. Para η = 2, la divergencia es logarıtmica, por lo que la dependencia con la escala

de cut-off es en principio debil. En dimension η = 3, por otro lado, la dependencia va

como una raz cuadrada de la escala, y se requiere un proceso de renormalizacion. Como

se muestra en el libro de Fetter y Walecka [8], la cantidad a renormalizar es la constan-

te de acoplamiento g, que al reexpresarla en terminos de la longitud de dispersion (que

presenta una divergencia en los calculos a segundo orden en teorıa de perturbaciones) nos

cancela la divergencia en la energıa. El resultado da para la energıa por partıcula en tres

dimensiones

E/N =2πah2N/V

m

(

1 +128

15(na3

π)1/2

)

En dos dimensiones, esta regularizacion no es posible, ya que la longitud de scattering

en η = 2 presenta divergencias logarıtmicas tanto infrarrojas como ultravioletas. Que la

teorıa en dos dimensiones no sea regularizable nos da la pauta de que en dos dimensiones

la energıa de correlacion depende mas detalladamente de la forma del potencial a baja

energıa.

5.2. Problema homogeneo en volumen finito

Nos interesa ahora estudiar el efecto sobre el condensado de considerar un contenedor

finito en lugar de uno infinito. La diferencia entre uno y otro caso consiste en que ahora

el sistema presenta paredes, lo que impide que la funcion de onda del condensado sea una

constante. Vamos a discutir brevemente las consecuencias de esto siguiendo el analisis que

hacen A. Fetter y J Walecka [8] en su capıtulo dedicado a superfluidez.

Se propone entonces considerar un gas de Bose confinado de un lado del plano z = 0.

El problema sigue siendo homogeneo en el plano xy, pero la funcion del condensado debe

anularse sobre z = 0. Vamos a pedir ademas que para z ≫ 1 el sistema se comporte

nuevamente como un condensado homogeneo. Necesitamos resolver entonces la ecuacion

4.22 con dicha condicion de frontera. Como a grandes distancias de la frontera el sistema

se comporta como si fuera homogeneo, podemos estimar ǫ0 por su valor en el problema

48

5.2 Problema homogeneo en volumen finito

homogeneo:

ǫ0 = 2 gN

V

luego, cerca de la pared, el problema se reduce a una ecuacion diferencial ordinaria en z:

∂2φ(z)

∂z2=

4mgN

V h2

(

φ(z)3 − φ(z))

(5.18)

la solucion φ(z) con las condiciones de borde dadas es

φ(z) = atanh(z/z0) (5.19)

z0 =

√

√

√

√

h2

mN g/V(5.20)

lo primero a observar en esta expresion es que aparece una region finita en la que

el sistema se presenta como inhomogeneo y luego la funcion del condensado vuelve a

comportarse como si se tratara de un sistema homogeneo. A medida que la densidad

media aumenta, esta escala tiende cada vez a hacerse mas pequena, mientras que si la

densidad baja, los efectos de la frontera se propagan a regiones mas extensas. Otra cuestion

a observar es que si ahora el sistema se encuentra confinado entre dos planos, esta forma

de la solucion se mantiene siempre y cuando z0 sea pequena relativa a la separacion entre

las paredes.

fısicamente podemos entenderlo de la siguiente manera: cuando la longitud carac-

terıstica del condensado es mucho menor que la distancia entre las paredes, el sistema se

comporta como si se tratara de un condensado uniforme. El efecto de acercar las paredes

es equivalente a tratar con un condensado menos denso, con lo que la forma del con-

densado comienza a semejar a la solucion sin interacciones. Sin embargo, la presencia de

interacciones se hace notar en la energıa, que crece cuadraticamente con la inversa de la

distancia porque es proporcional al cuadrado de la densidad, que crecera como la inversa

de la separacion.

La inhomogeneidad tendra consecuencias en el espectro de excitaciones. Cuando la

separacion entre las paredes es grande respecto a la distancia caracterıstica, el opera-

dor Γ en la ecuacion 4.29 es practicamente una constante, y el espectro de excitaciones

sera practicamente igual que en el caso homogeneo. Sin embargo, cuando la separacion

entre las placas se vuelve comparable con la distancia caracterıstica, Γ deja de comportar-

se como una constante. En este caso particular podemos tratarlo analıticamente ya que

49


z0=1/4z0=1/2

z0=1/1.2z0 → ∞

Figura 5.4: Perfil de la funcion de onda del condensado. A medida que aumenta la inte-

raccion entre las partıculas el condensado se hace cada vez mas homogeneo.

0

5

10

15

20

25

30

35

0 5 10 15 20 25

E 2

m L

2/h

2

2 m g N/(h2 L2)

φ(x) ∝ tanh(a x)φ(x)= sin(π L x)

Figura 5.5: Energıa asociada al condensado.

50

5.3 Soluciones para el problema no homogeneo confinado

como vimos, la distribucion del estado fundamental es muy semejante a la distribucion

en el caso sin interacciones. Podemos escribir entonces

φ(z) =1√V

cos(πz

d2) (5.21)

Γ = 2gNφ(z)2 = 2gN

Vcos(

πz

d2)2 (5.22)

= 2gN

V

(

1 + cos(πzd

)

2

)

las autofunciones del problema sin interacciones pueden separarse en pares e impares. La

simetrıa del problema nos permite mantener esta separacion aun en el caso con interac-

ciones. Resolvamos entonces el problema para el caso par. Las autofunciones pares del

problema no interactuante son:

φ2n(x) =1√V

cos((2n+ 1)πz

2 d) (5.23)

Los elementos de matriz entre estos estados son en general de la forma

G2n,2n′ = gN(

δ2n′,2n +∫

cos(πz

d) cos((2n′ + 1)

πz

2 d) cos((2n+ 1)

πz

2 d))

(5.24)

= gN(

δ2n′,2n + (sin((n+ n′)π

2)/(2π(n+ n′ + 2))−

− sin((n+ n′)π

2)/(2π(n+ n′))+

+ sin((n + n′ − 1)π

2)/(2π(n+ n′ + 1))−

− sin((n+ n′ − 1)π

2)/(2π(n+ n′ − 1)))

)

los terminos en sin(mπ/2)/(2mπ) se reducen a deltas de Kroneker pesadas por 1/m. Esto

nos da la pauta de que ahora una cuasipartıcula consiste en algo mas complicado que en

el caso homogeneo, donde se podıa entender como una partıcula que sale del condensado

correlacionada con una que entra con impulso opuesto. A pesar de esto, se observa una cosa

directamente: 2 g N/V sigue fijando la escala de energıas del problema de autovalores. La

dependencia funcional de vn(k) con k podra ser ligeramente distinta del caso homogeneo,

pero sin embargo, tanto nex como ∆E seguiran escaleando con (g N/V )d/2 como en el

caso homogeneo.

Vamos ahora a resolver el problema numericamente, para tener una descripcion mas

precisa del comportamiento de nex

51


5.3. Soluciones para el problema no homogeneo con-

finado

De la misma manera, podemos resolver el problema remplazando las paredes rıgidas

por potenciales menos confinantes. En este trabajo calculamos la energıa del estado fun-

damental, el espectro de excitaciones y el numero de partıculas en estados excitados para

el estado fundamental del sistema en tres casos:

Paredes rıgidas separadas por una distancia 1

el potencial armonico

potencial x8.

El parametro relevante aquı vendra dado por g N/Shω

, donde ω es la energıa caracterıstica

de la trampa tal como lo establecıamos en 3: cuanto menor sea ω, mayor sera el volumen

disponible para las partıculas y la densidad se reducira en consecuencia. La capacidad de

la interaccion para correlacionar estados entre diferentes niveles de la trampa sera mayor

cuanto mas grande sea este parametro, y menor a medida que se reduzca. El lımite ”bidi-

mensional”del problema se alcanza cuando esta cantidad es muy pequena. En ese caso, el

sistema responde como un sistema en 2D con una interaccion tanto mas pequena cuanto

mas grande sea ω. Mas aun, es de esperarse que el formalismo para sistemas homogeneos

se pueda aplicar directamente sin mayores discrepancias. Hemos visto que la condensa-

cion en 2D sin interacciones presenta una divergencia logarıtmica, por lo que aun si esta

interaccion residual es varios ordenes de magnitud mas pequena que la temperatura del

sistema, se podra observar condensacion de bose Einstein.

Por otro lado, cuando g N/Shω

sea lo bastante grande, es de esperarse que una gran

cantidad de niveles de oscilador se encuentren correlacionados, con lo que recuperamos

un sistema tridimensional, semejante al que discutimos el problema del recinto delgado,

que de hecho, corresponde a un caso lımite.

Atacaremos este problema con la siguiente estrategia:

52


Seleccionamos una base finita de funciones ortonormales. En particular, usamos

funciones armonicas como en 3. A estas funciones les dejamos como parametro libre

la escala de distancias.

Con esta base y este parametro libre, construimos el estado fundamental del sis-

tema, minimizando la energıa del condensado variando a la vez el parametro y los

coeficientes del desarrollo de la funcion de prueba. El valor de la energıa lo tomamos

como el potencial quımico.

Con la funcion construida, y fija la escala, construimos la matriz de excitaciones

para diferentes valores de k, que luego diagonalizamos.

Seleccionamos los autovalores de energıa positiva y normalizamos los autovectores

correspondientes para obtener v(k). Calculamos despues la norma de v(k) sumando

los cuadrados de sus componentes.

Se intentaron otros esquemas, entre ellos

Tomar como parametro variacional solo a la escala de longitud y como funcion de

merito el menor autovalor de la matriz de Gross-Pietaevsky

Plantear el problema variacionalmente primero, con un conjunto pequeno de auto-

funciones y luego intentar mejorar la funcion de prueba diagonalizando la matriz de

Gross Pietaevsky

Plantear el problema variacionalmente primero, con un conjunto pequeno de auto-

funciones y luego construir la matriz de excitaciones; elevar esta ultima al cuadrado,

diagonalizarla, y buscar el potencial qımico de forma tal que la matriz de excitacio-

nes tenga un espectro real y con un autovalor de menor valor absoluto tan cerca de

cero como fuera posible

Estos tres esquemas fallaron de diferentes formas. En particular, el primero adolescia de

que la funcion de merito se volvıa demasiado imprecisa como para converger adecuada-

mente; el segundo, si bien alcanzaba la convergencia, daba para la funcion del condensado

53


funciones con mınimos relativos pronunciados, lo que es inconsistente con el modelo. El

tercer esquema tampoco dio resultados razonables. Siguiendo entonces el esquema origi-

nal, calculamos el potencial quımico, la funcion del condensado, la relacion de dispersion

asociada a los diferentes niveles de oscilador y las poblaciones de los diferentes estados

excitados.

Comenzemos analizando el comportamiento de la funcion del condensado. En la figura

5.3 vemos su comportamiento en los diferentes potenciales a medida que se modifica la

interaccion. En la caja, vemos que el aspecto es compatible con lo discutido en la seccion

anterior: a medida que pasamos del regimen de baja a alta densidad el sistema pasa de una

distribucion no homogenea a una homogenea con una region de transicion que se va ha-

ciendo cada vez mas estrecha. El potencial armonico, por otro lado, tiende a ensancharse

mas que a aplanarse: al no tener paredes bien definidas, aun para interacciones relativa-

mente grandes mantiene su forma de campana. Recien cuando la interaccion es del orden

de cuarenta veces la escala de energıa de punto cero el sistema comienza a comportarse

como si no existiera contribucion del termino cinetico: la distribucion pasa a parecerse a

una semicircunferenfia. El potencial x8 presenta un comportamiento intermedio. La pre-

sencia de oscilaciones en la region central se debe a haber desarrollado esta autofuncion

con una base finita (se usaron las primeras diez funciones pares). Podemos entender en-

tonces que la region central es en realidad chata cuando gN/(Shω) es del orden de 5,

presentando una forma acampanada para densidades menores. La distancia caracterıstica

del sistema tambien se comporta de manera semejante, variando mas rapidamente cuando

el exponente del potencial es mas pequeno (ver figura 5.3) Observemos ahora el compor-

tamiento del potencial quımico (figura 5.3). Vemos que en general se comporta como una

ley de potencias mas lenta cuanto mas pequeno es el exponente que caracteriza al poten-

cial confinante, y que tiende a una dependencia lineal en el lımite de la caja. Analizemos

ahora el espectro de excitaciones (figura 5.3). En primer lugar vamos a comparar el es-

pectro de excitaciones asociado al numero cuantico mas bajo en la direccion z para los

diferentes esquemas de confinamiento a diferentes densidades. Observamos entonces que

para densidades lo suficientemente bajas (∆ ≤ 1) el sistema se comporta como un sis-

tema bidimensional homogeneo. A medida que la densidad aumenta, el sistema presenta

cualitativamente la misma forma. Sin embargo, para los potenciales menos confinantes los

54


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-6 -4 -2 0 2 4 6

g=0,1g=0,5

g=1g=5

g=10g=40

g=100

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-3 -2 -1 0 1 2 3

g=0,1g=0,5

g=1g=5

g=10g=40

g=100

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

g=0,1g=0,5

g=1g=5

g=10g=40

g=100

Figura 5.6: Funcion de onda del condensado para los diferentes esquemas de confinamiento.

Arriba, potencial armonico. En el centro, potencial x8. Abajo, la caja de potencial

parametros de las curvas difieren de los esperados para un sistema en dos dimensiones.

Esto se puede entender teniendo en cuenta que en estos sistemas la densidad media en

realidad decrece ya que el volumen accesible es mayor cuanto mas interaccion sienten las

partıculas. Esto parecerıa indicar que podıa existir, para los potenciales poco confinantes,

un lımite a la densidad, hipotesis a la que aporta la figura 5.3, en la que aparentemen-

te el volumen crece mas rapidamente que la densidad. Si esto fuera ası, la constante de

acoplamiento podrıa imponer un lımite mas restringente que el debido a la reduccion de

poblacion en el fundamental. Sin embargo, en este trabajo no llegamos a estudiar esa

region del espacio de parametros. En la figura 5.3 observamos como para los diferentes

potenciales la densidad juega sobre el espectro en los estados excitados en z. Vemos que en

55


1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

0 5 10 15 20

x0(m

ω/h

)1/2

g N/( hω S

Cajaλ=2λ=8

Figura 5.7: Soporte de la funcion del condensado en funcion de la densidad

0

2

4

6

8

10

12

14

0 5 10 15 20

m µ

/h

2

g N/( hω S

Cajaλ=2λ=8

Figura 5.8: Potencial quımico en funcion de la densidad para los diferentes potenciales de

confinamiento.

general por sobre una cierta densidad los niveles empiezan a acercarse hasta alcanzar un

cierto lımite(ver figura 5.3). Por ultimo, analicemos la poblacion de los estados excitados

56


0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

ε/h

ω

p/(mωh)1/2

∆=0,1

∆2=0.076282∆8=0.099941

cajaλ=2λ=8

0

0.25

0.5

0 0.25 0.5

0

1

2

3

4

5

6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

ε/h

ω

p/(mωh)1/2

∆=1,0

∆2=0.55502∆8=0.79149

cajaλ=2λ=8

0

1

2

0 0.25 0.5 0.75 1

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 1 2 3 4 5 6 7

ε/h

ω

p/(mωh)1/2

∆=10

∆2=1.807∆8=5.6245

cajaλ=2λ=8

0

2

4

6

0 0.25 0.5 0.75 1

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

ε/h

ω

p/(mωh)1/2

∆=100

∆2=4.7681∆8=26.749

cajaλ=2λ=8

0 10 20 30 40 50 60 70 80

0 1 2 3 4 5 6

Figura 5.9: Espectro de excitaciones para los diferentes potenciales confinantes

a temperatura cero, comparandolo con nuestro analisis del sistema bidimensional. En la

figura 5.3 se muestra el comportamiento de |v|2k para el nivel fundamental de la trampa

en funcion de k. En el lımite de k ≪√

2m∆ esta cantidad coincide con la contribucion

al numero de partıculas asociada a los estados de impulso |k|. Segun nuestro analisis del

sistema bidimensional, esta cantidad deberıa diverger como 1/|k|. Sin embargo, en la in-

tegral que da el numero de partıculas esta cantidad esta multiplicada por un jacobiano

lineal en k, por lo que el integrando es finito cuando |k| → 0. En la grafica, por otro

lado, observamos que aparece un comportamiento divergente mas rapido que una ley de

potencias. Este es un efecto de haber construido la matriz de excitaciones con una base

finita de funciones, y de la imposibilidad de calcular exactamente el potencial quımico.

Esto tiene como consecuencia que aparezcan pares de autovalores complejos en la matriz

57


0

2

4

6

8

10

12

0 0.5 1 1.5 2 2.5

ε/(h

ω )

p/(2 m hω)1/2

λ=2

∆=1∆=10∆=20

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 0.5 1 1.5 2 2.5

ε/(h

ω )

p/(2 m hω)1/2

λ=8

∆=1∆=10∆=20

Figura 5.10: Espectro de excitaciones para los primeros tres niveles para el potencial

armonico y para x8

de excitaciones y por lo tanto, sus autovectores asociados seran de norma nula. Este pro-

blema se vuelve importante cuando ∆ es lo bastante grande como para que los estados

de mayor energıa del potencial confinante se mezclen con los estados de menor autovalor.

En la figura 5.3 vemos la manera en que esto ocurre para los diferentes potenciales. Se

58


0

5

10

15

20

25

0 0.5 1 1.5 2 2.5

ε/(h

ω )

p/(2 m hω)1/2

Caja

∆=1∆=10∆=20

Figura 5.11: Espectro de excitaciones para los primeros tres niveles para la caja

puede ver que cuanto mas confinante es el potencial, al hacerse ∆ > 1 mas rapidamente

empiezan a tomar importancia los estados de mayor energıa, esto es, el sistema deja de

comportarse como bidimensional. En el lımite ultravioleta, tanto el estado fundamental

como los excitados presentan el comportamiento esperado: |v|2k cae como |k|−4. Esto tiene

como consecuencia que la energıa de correlacion de las cuasipartıculas presente una di-

vergencia ultravioleta. Esta divergencia podra renormalizarse como se discutio antes para

los casos en 2D y 3D.

59


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.5 1 1.5 2

ε/(h

ω )

p/(2 m hω)1/2

λ=2

∆=1∆=10∆=20

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 0.5 1 1.5 2

ε/(h

ω )

p/(2 m hω)1/2

λ=8

∆=1∆=10∆=20

2

4

6

8

10

12

14

0 0.5 1 1.5 2

ε/(h

ω )

p/(2 m hω)1/2

Caja

∆=1∆=10∆=20

Figura 5.12: Separacion entre el nivel fundamental y el primero excitado en funcion del

impulso para el potencial armonico, x8 y la caja

60


1e-07

1e-06

1e-05

1e-04

0.001

0.01

0.1

1

10

100

0.01 0.1 1 10

|v2|p

/(h m

ω )

p/(mωh)1/2

∆=0,1

cajaλ=2λ=8

1e-05

1e-04

0.001

0.01

0.1

1

10

0.1 1 10

|v2|p

/(h m

ω )

p/(mωh)1/2

∆=1,0

cajaλ=2λ=8

1e-04

0.001

0.01

0.1

1

10

100

0.1 1 10

|v2|p

/(h m

ω )

p/(mωh)1/2

∆=10

cajaλ=2λ=8

1e-04

0.001

0.01

0.1

1

10

100

0.1 1 10

|v2|p

/(h m

ω )

p/(mωh)1/2

∆=40

cajaλ=2λ=8

Figura 5.13: |v|2 para los diferentes potenciales confinantes en funcion de k transversal.

61


0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5 6 7

ε/(h

ω )

p/(2 m hω)1/2

∆=1 caja

nz=0nz=1nz=2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 1 2 3 4 5 6 7

ε/(h

ω )

p/(2 m hω)1/2

∆=20 caja

nz=0nz=1nz=2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 1 2 3 4 5 6 7

ε/(h

ω )

p/(2 m hω)1/2

∆=1 λ=8

nz=0nz=1nz=2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 1 2 3 4 5 6 7

ε/(h

ω )

p/(2 m hω)1/2

∆=10 λ=8

nz=0nz=1nz=2

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 1 2 3 4 5 6 7

ε/(h

ω )

p/(2 m hω)1/2

∆=1 λ=2

nz=0nz=1nz=2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5 6 7

ε/(h

ω )

p/(2 m hω)1/2

∆=20 λ=2

nz=0nz=1nz=2

Figura 5.14: |v|2 para los diferentes potenciales confinantes en funcion de k transversal.

62

Capıtulo 6

Conclusiones

En este trabajo estudiamos varios de los factores en juego al realizar experimental-

mente condensados de Bose Einstein. Si bien dejamos de lado muchos efectos interesantes,

fue posible analizar como juega el confinamiento y las interacciones entre partıculas en

este fenomeno. Establecimos que el factor determinante para la condensacion es la dimen-

sionalidad efectiva del sistema. Encontramos que esta depende tanto de la intensidad del

potencial confinante como de su forma y de las interacciones entre las partıculas.

Vimos ademas que a baja dimensionalidad (η ≤ 2) la condensacion de Bose Einstein

es mas bien un efecto de tamano finito, esto es, existe una temperatura crıtica por debajo

de la cual el parametro de orden es no nulo; sin embargo esta temperatura es ahora

dependiente no solo de la densidad sino que tambien depende del volumen del sistema.

Esto tiene como consecuencia que a densidad constante la temperatura crıtica tiende a

cero en el lımite termodinamico. Si η = 2 la dependencia con el volumen es logarıtmica;

la temperatura crıtica es entonces practicamente independiente del volumen dentro de la

escala en la que se llevan a cabo los experimentos en trampas de iones.

De manera semejante, establecimos que si las interacciones entre las partıculas son

atractivas, la condensacion de Bose Einstein solo es posible como un estado metaestable

siempre y cuando la separacion entre el nivel fundamental y los estados excitados sea

mayor o del orden de ∆. Esto es compatible con la observacion de que Li en una trampa

de iones forme condensados metaestables ya que en esos casos ∆/hω es una cantidad no

demasiado grande. En el lımite del continuo, por otro lado, el numero de modos inestables

diverge, con lo que la fase condensada desaparece.

Como continuacion del trabajo, proponemos seguir con el desarrollo a un orden mas

alto en el Hamiltoniano, de manera de poder estimar en mejor la escala de tiempos en que

colapsa la fase condensada a la fase normal en el caso de interacciones atractivas. Otra

63

mejora al modelo serıa considerar potenciales mas realistas que den cuenta del rango finito

de la interaccion; esto nos permitirıa no solamente resolver el problema de la divergencia

en la energıa de correlacion sino que ademas noa darıa una idea mas clara sobre otros

fenomenos asociados a la condensacion como el fenomeno de superfluidez.

64

Apendice A

Formalismo de segundacuantificacion

En mecanica cuantica los problemas de muchas partıculas indistinguibles no interac-

tuantes son representados mas eficientemente en terminos de ocupaciones de estados que

en los de estados multipartıcula. Esto se debe a que la indistinguibilidad vuelve, en mu-

chos casos, en variables mudas a la mayorıa de las coordenadas del problema. Por ejemplo,

si nos interesa medir la posicion de una partıcula, la indistinguibilidad nos lleva a tener

que calcular un promedio sobre todas las partıculas. Estos promedios se expresan en for-

ma simple en el formalismo de segunda cuantizacion. Por otro lado, este formalismo nos

permite extender la teorıa a sistemas donde el numero de partıculas no es constante y

ademas de simplificar el tratamiento de sistemas con iteracciones entre sus partes.

Si el sistema esta formado por bosones, introducimos los operadores de campo Ψ(x)

y y su adjunto, tales que cumplan las relaciones de conmutacion

[

Ψ(x), Ψ(y)]

= 0 (A.1)[

Ψ(x), Ψ(y)†]

= δ(x− y) (A.2)

Para descubrir como se relacionan los estados asociados a este operador con los estados

de una base producto simetrizado de estados de partıcula simple, construimos en primer

lugar el operador numero:

N =∫

ψ†(y)ψ(y)d3y (A.3)

cuyo conmutador con Ψ(x) nos da

65

Capıtulo A Formalismo de segunda cuantificacion

[

N, ψ(x)]

= −Ψ(x) (A.4)

Si |N〉 es un autoestado del operador numero con autovalor N , consideremos el estado

de la forma Ψ(x)√N

|N〉. Veamos primero que es autoestado de N de autovalor N − 1:

NΨ(x) |N〉 = Ψ(x)N |N〉 +[

N, Ψ(x)]

|N〉 (A.5)

= NΨ(x) |N〉 − Ψ(x) |N〉

= (N − 1)Ψ(x) |N〉

por otro lado, N debe ser semidefinido positivo ya que

0 <∣

∣

∣Ψ(x) |N〉∣

∣

∣ =∫

〈N | Ψ†(x)Ψ(x) |N〉 d3x (A.6)

= 〈N | N |N〉 = N

estas dos condiciones nos indican que los autovalores de N deben ser enteros no nega-

tivos. En particular, habra un estado |0〉 cuyo autovalor sea cero. Llamamos a este estado

vacıo de partıculas. Como ψ†(x)ψ(x) es un operador definido positivo para cada valor de

x, vemos que el operador ψ(x) aniquila el vacıo para cualquier valor de x

Ψ(x) |0〉 = 0 (A.7)

Por otro lado, por las relaciones de conmutacion, el operador

aφ =∫

φ(x)Ψ†(x)d3x

actuando sobre el vacıo nos da el estado de una partıcula en el estado φ(x):

φ(x) = 〈x| |φ〉 = 〈0| Ψ(x)∫

φ(y)Ψ†(y)d3y |0〉 (A.8)

de manera semejante, podemos construir estados con un numero arbitrario de partıcu-

las poblando cada estado particular. Por otro lado, este mecanismo garantiza directamente

la simetrıa del estado ante permutaciones de partıculas.

66

A.0 Soluciones para el problema no homogeneo confinado

En este formalismo, un operador arbitrario de un cuerpo O se expresa como

O =∫ ∫

Ψ†(y)OΨ(x)d3xd3y (A.9)

mientras que un operador de dos cuerpos V se escribira

V =∫ ∫

Ψ†(y1)Ψ†(y2)VΨ(x1)Ψ(x2)d

3x1d3x2d

3y1d3y2 (A.10)

Conociendo como construir los operadores de uno y dos cuerpos en este formalismo,

vemos que podemos escribir las ecuaciones de movimiento para el campo como1

d

dtΨ(x) =

[

H, Ψ(x)]

(A.11)

H =∫

Ψ†(x)HΨ(x)d3x+∫

Ψ†(x)Ψ†(y)VΨ(y)Ψ(x)d3yd3x (A.12)

(A.13)

La forma en la que escribimos el operador de un cuerpo nos permite observar otra

propiedad importante de este formalismo: supongamos que queremos tomar el valor medio

del operador O. En base a A.9 podemos escribir

⟨

O⟩

=∫ ∫

⟨

Ψ†(y)OΨ(x)⟩

d3xd3y (A.14)

=∫ ∫

O⟨

Ψ†(y)Ψ(x)⟩

d3xd3y

1En la referencia [6] vemos una manera alternativa de ver esta construccion: Supongamos que queremos

conseguir qued

dtΨ(x) = HΨ(x) + VΨ(x)Ψ(y)

esto es, que el operador de campo satisfaga la ecuacion de Schroedinger. Pero Ψ(x) es un operador,

por lo que su evolucion vendra dada por la ecuacion A.11. Necesitamos entonces que ambas ecuaciones

representen una igualdad. La forma de conseguir esto es jugar con las relaciones de conmutacion entre los

operadores de campo. Dependiendo de la forma del hamiltoniano de primera cuantizacion, las relaciones

de conmutacion aceptables seran distintas. Sin embargo, si el hamiltoniano es de la forma del operador de

Schroedinger, existen dos elecciones posibles: la que dimos en A.1 y las que corresponden a remplazar el

conmutador por un anticonmutador en esa expresion. Si bien ambas elecciones son posibles, los sistemas

que reproducimos son no equivalentes. En nuestro caso, queremos estudiar el caso bosonico por lo que la

eleccion natural del algebra es la que dimos en A.1.

67

Capıtulo A Formalismo de segunda cuantificacion

= Tr [Oρ(x, y)]

ρ(x, y) =⟨

Ψ†(y)Ψ(x)⟩

(A.15)

esta ultima cantidad es de utilidad ya que nos permite escribir de forma simple el valor

esperado de cualquier operador de un cuerpo. De manera analoga, podremos escribir tam-

bien el operador densidad de dos cuerpos, de gran utilidad en el formalismo de funciones

de Green termicas.

68

Apendice B

Calculo de la densidad de estadospara potenciales xλ

Para construir los numeros de ocupacion medios necesitamos encontrar la forma del

espectro. Sigiendo a Bagnato et al. [1] podemos estudiar el comportamiento del espectro

para numeros cuanticos altos partiendo de la regla de Bohr-Sommerfeld. En una dimension

esto consiste en calcular n como el valor de la accion en un perıodo medido en unidades

h:

n1D(e) =

√2m

h

∮

√

e− V (x)dx (B.1)

En tres dimensiones, esto se puede generalizar como

n(e) =

√2m

h

∮ ∮

√

e− V (x)dx (B.2)

Para potenciales en forma de ley de potencias esta integral toma la forma, en nuestras

variables adimensionales

n(ǫ) = 4(ǫ)d/2+d/λ∫

|u|<1

√

1 −∑

i

uλi d

du (B.3)

La relacion de dispersion ası obtenida es valida para todo ǫ tanto en el caso de λ = 2

como cuando λ→ ∞.

69

Capıtulo B Calculo de la densidad de estados para potenciales xλ

70

Apendice C

Descomposicion espectral de lasecuaciones de Bogoliubov De Genes

En este apendice voy a demostrar una serie de propiedades acerca de las ecuaciones

de Bogoliubov-De Genes que nos permitiran desarrollar el operador de excitaciones en

una descomposicoo espectral. En primer lugar, vemos que las ecuaciones 4.29 se pueden

escribir como un problema de autovalores

M U = E U (C.1)

M =

L + µ −2 g |ψ(x)|2

2 g |ψ(x)|2 −L − µ

= Lσz + 2 g |ψ(x)|2 ı σy (C.2)

U =

ui(x)

vi(x)

(C.3)

Para encontrar el espectro de este operador vamos a observar una serie de propiedades

del operador M. Para empezar, vemos que se satisfacen las identidades

M∗ = −σxMσx (C.4)

M† = σzMσz (C.5)

(C.6)

de la propiedad C.5 vemos que los autovalores se dan de a pares: si U(x) = (u(x), v∗(x)) es

un autovector E, V (x) = σxU = (v(x), u∗(x)) es un autovector de autovalor −E. Por otro

lado, la propiedad C.5 nos indica que M es una matriz autoadjunta en el pseudo-producto

escalar definido por

(V, U)σz =∫

V †(x)σzU(x)d3x (C.7)

En un producto definido positivo, esto nos garantiza que los autovectores correspondientes

a subespacios propios distintos sean ortogonales (en ese producto) entre sı, y que todos

71

Capıtulo C Descomposicion espectral de las ecuaciones de Bogoliubov De Genes

los autovalores sean reales:

(V,MU)σz = (V, σz MU) (C.8)

= (U, σz M†V )∗

= (U, σz MV )∗

= (U,MV )∗σz

EU(V, U)σz = E∗V (U, V )∗σz

= E∗V (V, U)σz

Por otro lado, si el producto no es definido positivo, existiran vectores cuya norma, en

este producto, sea nula. Entonces fallara la ultima linea de la ecuacion anterior para

aquellos autovectores de norma nula. Luego, los autovalores en ese subespacio dejan de

ser necesariamente reales. Veremos ahora que la condicion de ortogonalidad con el estado

del condensado nos fija la constante µ a cero, y que en tal caso, podemos mostrar que

ninguno de los pares (ui, v∗i (x)) tiene norma nula. Para esto, construyamos en general la

cantidad (U,MU)σz :

(U,MU)σz =∫

u∗L(x)u(x)d3x+∫

v∗(x)Lv(x)d3x+ (C.9)

+g∫

|ψ(x)|2 (|u(x)|2 + |v(x)|2)d3x− µ∫

(|u(x)|2 + |v(x)|2)d3x

si esta cantidad tiene signo definido en general, lo tendra en particular cuando U sea

autovector. Pero eso significa que la ultima linea de C.8 no se anulara y por lo tanto, los

autovectores tendran norma definida. Escribamos ahora la ecuacion anterior en terminos

del operador hamiltoniano no interactuante:

(U,MU)σz =∫

u∗(x)(H + 2 g |ψ(x)|2 − µ)u(x)d3x+ (C.10)∫

v(x)(H + 2 g |ψ(x)|2 − µ)v∗(x)d3x

donde vemos que si g ≥ 0 y µ ≤ 0 las dos integrales son definidas positivas. Agreguemos

entonces la condicion de que el operador Λ(x) sea ortogonal (en la norma usual) a la

funcion de onda del condensado ψ(x).

∫

ψ∗(x)Λ(x)d3x = 0 (C.11)∫

Λ†(x)ψ(x)d3x = 0 (C.12)

72

C.0 Soluciones para el problema no homogeneo confinado

remplazando Λ(x) por su expansion y luego sumando y restando ambas obtenemos

∫

ψ(x)∗ui(x) ± v∗i (x)ψ(x)ai + h.c. = 0 (C.13)

lo que nos indica que U0±(ψ(x),±ψ∗(x)) tiene que subtender un subespacio propio de M.

Vemos que en particular, lo son si fijamos µ = 0. Con esta eleccion, vemos ademas que

ese subespacio es ademas subespacio propio de C.10. Ademas, C.10 por el teorema de

los nodos, debe ser mınimo en este subespacio. Como el problema de autovalores de este

operador se descompone en dos problemas unidimensionales desacoplados, vemos que no

existe mas degeneracion en el subespacio cero. Esto nos garantiza que cada uno de los

pares (ui(x), vi(x)) son todos de norma ((, )σz) no nula y por lo tanto, todos sus autovalores

son reales.1 Si ahora considerasemos que la constante de acoplamiento es negativa, todaıa

C.10 puede seguir siendo definida positiva si la separacion entre niveles del hamiltoniano

sin interacciones es lo bastante mas grande que g N/V . Por otro lado, la condicion de

positividad falla, pero para un numero finito de estados, el sistema admitira un conjunto

de excitaciones de energıa del orden de N−1/2 (el siguiente orden de aproximacion). La

existencia de estos modos esta relacionada con que la funcion de onda del condensado no da

un mınimo a la energıa. Esto significa que el condensado representa una fase metaestable

del sistema que se destruye vıa la produccion de estas excitaciones de energıa infinitesimal.

En un condensado finito el numero de estos modos sera necesariamente finito, y por lo

tanto el tiempo de vida del condensado no sera cero. Cuando el tamano del condensado

crece, aumenta el numero de estos modos nulos y el tiempo de vida se reduce.

1A nivel numerico, por otro lado, como en principio trabajamos siempre con representaciones matricia-

les finitas y el estado fundamental del sistema no se conoce con exactitud, una diagonalizacion numerica

puede llevar a que el autovalor cero adquiera una pequena componente imaginaria.

73

Capıtulo C Descomposicion espectral de las ecuaciones de Bogoliubov De Genes

74

Apendice D

Funciones especiales

En este trabajo usamos reiteradamente una serie de funciones que, si bien sus pro-

piedades pueden encontrarse en tablas de integrales nos parecio conveniente dar aquı un

resumen.

D.1. Funcion Gamma de Euler Γ(n)

Esta funcion se define por medio de su representacion integral

Γ(n) =∫ ∞

0tn−1e−tdt (D.1)

Su valor para n=1 se obtiene por integracion directa obteniendose Γ(1) = 1. Por medio

de una integracion por partes, encontramos la relacion de recurrencia

Γ(n+ 1) =∫ ∞

0tne−tdt

= n∫ ∞

0tn−1e−tdt

nΓ(n) (D.2)

Esto muestra que para n entero,

Γ(n+ 1) = n! (D.3)

Si consideramos n como variable compleja, Γ(n) es una funcion analıtica con polos simples

en los enteros negativos. Podemos entonces dar una definicion equivalente para la Gamma

de Euler como la continuacion analıtica de la funcion factorial de un numero.

Las funciones Γ(x) estan ademas vinculadas con los momentos de la funcion de Gauss:

∫ ∞

−∞|x|n e−x2/2dx =

∫ ∞

0|u|

n−1

2 e−u = Γ(n+ 1

2) (D.4)

75

Capıtulo D Funciones especiales

Esto nos permite obtener una expresion para Γ(z) para valores reales semienteros de z:

Partiendo de la identidad

∫

ex2/2ddx =(∫ ∞

−∞ex2/2dx

)d

(D.5)

aplicada para d = 2 se obtiene el resultado

∫ ∞

−∞e−x2/2dx =

√π (D.6)

pudiendo obtenerse cualquier otro valor por medio de la formula de recurrencia D.2.

Las funciones Gamma aparecen tambien en la expresion del area de la esfera de radio 1

en d-dimensinal: partiendo nuevamente de D.7 y remplazando ddx por su expresion en

coordenadas esfericas, usando D.4 encontramos

Sd =(π)d/2

Γ(d−12

)(D.7)

D.2. Polilogaritmos (Liq(z)) y funcion Zeta de Rie-

mann (ζ(q))

Los polilogaritmos son una familia de funciones de variable compleja, cuyos miembros

son etiquetados por medio de un ındice, en principio tambien complejo, y estan definidos

por la expresion en serie de potencias

Liq(z) =∞∑

k=1

zk

kq(D.8)

Cuando q = 1, este desarrollo coincide con el de log(1 − z). entorno a cero. Sobre el

eje real, esta funcion presenta un corte ramal para los valores mayores que 1., el cual

estara presente en toda la familia de funciones. Derivando la serie, ver ademas, que se

cumple la siguiente relacion de recurrencia:

Liq(z) = z∂

∂zLiq+1(z) (D.9)

Su lımite cuando z → 1 es una funcion de q conocida como Zeta de Riemann (ζ(q)):

ζ(q) = lımz→1

Liq(z) (D.10)

76

D.2 Polilogaritmos (Liq(z)) y funcion Zeta de Riemann (ζ(q))

Si q es real y q > 1 este lımite es finito. Estas funciones estan relacionadas con las integrales

de Bose-Einstein, definidas como

gq(z) =1

Γ(n)

∫ ∞

0

tn−1dt

et/z − 1(D.11)

Desarrollando estas integrales en serie de potencias en z, tenemos

gq(z) =1

Γ(q)

∞∑

k=1

z∫ ∞

0e−kttq−1dt

=1

Γ(q)

∞∑

k=1

z∫ ∞

0e−ttq−1dt/kq

= Liq(z) (D.12)

esto es, D.12 es simplemente la forma integral de D.8. Cuando q > 1 estas integrales

convergen para z = 0 a ζ(q).

77


78

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condensaci´on de bose einstein en trampas de iones€¦ · temperatura ﬁnita, de manera que el...

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