2do. Conc. Nac. de Matemática – COREFO 2012 Solucionario Ex. 5to. Año de Secundaria 1

SOLUCIONARIO EXAMEN 5TO. AÑO DE SECUNDARIA

PREGUNTA 01 (x)34 implica que 4 < x. Análogamente x < y

e y < 7. Esto es < < <4 x y 7 que implica que x = 5

e y = 6.

+ + = + + + + += + + =

(5) (6) (7)34 55 66 3 x 5 4 5 x 6 5 6 x 7 619 35 48 102

PREGUNTA 02 La edad del padre será:

( ) ( )= − = + + − − − −

= − − − + −

3 3 2

3 2

E 2014 19aa 2 x 10 1 x 10 4 1 x 10 9 x 10 a x 10 aE 1 x 10 9 x 10 a 1 x 10 4 a

Como:

− = +

+ − − = += ⇒ =

19bb 19aa 3a 5b10b b 10a a 3a 5b6b 14a 3b 7a

Solo cumple para a = 3 y b = 7, entonces:

= − − − + −= − + = − =

3 2E 1 x 10 9 x 10 (3 1) x 10 (4 3)100 20 1 100 19 81

PREGUNTA 03

= ⇒ =

= =

⇒ = =

⇒ = = =

= = = +

⇒ = +

= = = + = +

= +

1

2

1 2

1 2 1 2

1o

o

o

MCD(a,b) 28 a 28.hMCM(a,b) 168 b 28.h

ab 28.h .h 28 x 16828.h .h 168 , h .h 6 2 x 3

h 2 implicaquea 56 55 1

a 11 1; por tanto

b 28 x 3 84 77 7 11 7

b 11 7

PREGUNTA 04 240 socios, lista A y lista B. Digamos que en

el sondeo votaron por la lista B m socios, luego lo hicieron por la lista A, 240 – m socios.

Luego:

= ⇒ =−

m 3 m 144240 m 2

En la elección votaron por la lista A n socios

y se tiene que:

= ⇒ =−

n 5 n 150240 n 3

Por la lista B lo hicieron luego 240 – 150 = 90 socios.

Cambiaron de opinión 144 – 90 = 54 socios.

PREGUNTA 05

Juan vende a + =800 x 20800 960

100 soles

Pedro vende a − =960 x 20960 768

100 soles

Luego Juan ganó + − = + =160 (800 368) 160 32 192 soles PREGUNTA 06 Mezcla 1: ( )− + =24 8 12 28 litros

4 litros de mezcla equivalen a =4 1

28 7 del

volumen. Queda en el tonel:

=6 96x 167 7

litros de alcohol.

Mezcla 2: ( )− + =28 4 6 30 litros

5 litros de mezcla equivalen a =5 1

30 6 del

volumen y queda:

= =5 96 80 3x 116 7 7 7

litros de alcohol.

PREGUNTA 07 Transformando la expresión se tiene:

− −− −

+ +− +

− −− −

+= = +

= + = + =

x y x y2y 2x 2y 2xx y x y

x y x yx y x y

x y x yy x x y

22 11 11 11 11P 2211 1111

2222 11 11 11 1311

PREGUNTA 08

( )=

=+∑

N

n 1

1Sn n 1

Pero

( )= −

+ +1 1 1

n n 1 n n 1 Entonces:

= =

= − = −+ +

=+

∑ ∑N N

n 1 n 1

1 1 1S 1n n 1 N 1

NN 1

PREGUNTA 09 Son 100 preguntas y se bonifica con 5

puntos y se castiga con -0.75. Si responde m preguntas correctas, luego (100 – m) son las incorrectas.

Luego: ( )( )− − =5m 0,75 100 m 316 Resolviendo m = 68 y opr tanto 100 – 68 =32

incorrectas. Así que 68 – 32 = 36, excede en 36.

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PREGUNTA 10 El reloj adelanta 1 minuto por hora al

transcurrir 12 x 60 = 720 minutos marcará la

hora correcta; esto es en =720 3024

días.

Luego ocurrirá el 16 de octubre. PREGUNTA 11

+ = − −

=

=

y2x y 4x2

3y 2x2

x 3luegoy 4

PREGUNTA 12

+ − =π

4S 2R C 709 5

Como:

= =

πS C R,

180 200 Reemplazando se tiene:

( )+ − = ⇒ = π

πR 580 2 40 70 R

3 PREGUNTA 13

Nueva área

( ) πα = = π

2 21 1 4A 4R 2 R .2 180 2 3

De donde se obtiene que α = °30 Así que se ha disminuido en 240 – 30 = 210°

PREGUNTA 14

Si el cuadrante es de radio R, de la figura

vemos que:

θ + β = °⇒ θ = β θ = β

90cos sen y sen cos

Luego:

θ = = θ = =

R 2R5 2 55 5cos y senR R5 5

5 5

Luego θ =1cot2

PREGUNTA 15

( )

θ = = ⇒ =

ϕ = = =+ +

= + ⇒ = +

h 3tan h 3 36 2

h 1,5 3 3 1,5tan luego3 x 3 3 x 3

39 3 x 6 3 x2

Así que = −x 6 3 PREGUNTA 16 De la figura vemos que φ <sen 0 luego

− φ >sen 0

Área = − φ = − φ

1 1(1)( sen ) sen2 2

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PREGUNTA 17

° < θ < °270 360 y =+ − θ

1 11 5 13cos

Operando vemos que:

− θ =5 13cos 0

Esto es:

θ = θ <

= θ − θ = − −

= =

5cos y tan 013

13 12n sec tan5 5

25 55

PREGUNTA 18

+ =

+=

= =

⇒ = =

=

sen 12x cos 12x A cos Bxsen 4x cos 4xsen 12x.cos 4x cos 12x.sen 4x sen 16x

sen 4x.cos 4x sen 4xcos 4x2sen 16x 4sen 8x.cos 8x 4cos 8xsen 8x sen 8x

A 4 y B 8Bluego 2A

PREGUNTA 19 La gráfica de = − ≤ ≤ πy 1 cos x, 0 x 2 es

Las áreas sombreadas son iguales; por lo

tanto el área pedida mide = π 2A 2 u . PREGUNTA 20 Como ( )α; 0, 5 pertenece al gráfico de

( )

= ⇒ = α

π π⇒ α = α = =

π π α = ⇒ = = α = π π = −

2

2

1y senx sen2

3, tan tan6 6 3

3 32 sen3 3 3 4

6 y sec 1

Luego:

( ) ( )= α + α + α

= + − =

=

2 2P sen 2 tan sec 63 3 114 9 121P

12

PREGUNTA 21

+ + + =

= − =

=2

3 1 933

21 3 333

33

log x log x log x log x 10

log x log x , log x log x

1log x log x2

Luego se tiene que:

+ = =

⇒ = ⇒ =

2 23 3 3

510 20 52

log x log x log x x 10

3 x 3 x Luego:

= =4x 3 81

PREGUNTA 22

( ) ( )= − +af x Ln e x 1

Del gráfico vemos que:

= = +⇒ =

= − +

a

4

5 f(0) Ln(e ) 1a 4. Asíque :

f(x) Ln(e x) 1

También del gráfico vemos que cuando x se

aproxima de b, f(x) tiende para −∞ ; por lo tanto b = e4.

PREGUNTA 23

La pendiente de L1 es − −= =

−1a 1 a 1m6 2 4

La pendiente de L2 es − − −= =

+ +23 2 5ma 1 a 1

Como:

−

⊥ ⇒ − =− +

⇒ − = + =

2 14 5L L

a 1 a 15a 5 4a 4 , a 9

Así que:

−= = −

+

= − = −

2

2

5 1m9 1 2

1m 0,52

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PREGUNTA 24

La pendiente del segmento es +

= =+

1 3 4 25 1 6 3

luego la ecuación de la mediatriz es.

( )+ = − − ⇒ + − =3y 1 x 2 2y 3x 4 02

PREGUNTA 25

( )( )

+ − + + =

− − + + − + =

− + + =

2 2

2 2

2 2 2

x y 26x 30y 313 0 seescribe :

x 13 169 (y 15) 225 313 0

x 13 (y 15) 9

Distancia de P(3,9) al centro C (13,15) es:

= − + − − = + =2 2d (13 3) ( 15 9) 100 576 26 Así la distancia mínima a la circunferencia es

− = − =26 R 26 9 17 PREGUNTA 26 C1 tiene como ecuación:

− + − =2 2(x a) (y b) 13 C2 tiene como ecuación:

− + + =2 2(x 2) (y 1) 52 Así, el diagrama aproximado es:

La distancia de (2,-1) al punto (a,b) es:

− + + = + =

⇒ + − + =

2 2

2 2

(a 2) (b 1) 52 13 3 3a b 4a 2b 112

También se tiene:

− + − =

⇒ + = − + +

2 2

2 2

(a 6) (b 9) 13a b 48 10b 12a

Reemplazando en la ecuación anterior se tiene:

+ = ⇒ + = = ++ = + ⇒ = =+ =

12b 8a 160 3b 2a 40 18 223b 2a 3 x 6 2 x 11 b 6 y a 11a b 17

PREGUNTA 27

= π 34v R

3 volumen de la esfera. Luego:

π → °

→ °

° π π= = = π

°

3

3 3

4 R 3603x 45

4 445 x R R3 3x 36

360 8

Pues R = 6 Volumen cuña π 336 u PREGUNTA 28 De la figura vemos que:

=

⇒ = π = π2s

R 10A 4 R 400

PREGUNTA 29 De la figura:

= − = ==

2 2d 30 24 324 18luego d 18

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PREGUNTA 30

( ) π= ° = π

°= π

5x 216 6180

6

Se requiere construir un cono, tal que:

( )

π = π⇒ =

⇒ = π

= π

2

2 r 6r 3

1V x 3 x 43

V 12

PREGUNTA 31 Si m.n = 125, hacemos algunas

transformaciones en igualdad.

( ) ( )

( ) ( ) ( )

= =

= = =

=

1 11 1 1 14 43 3 4 12

3 111 13 4 4124 12

E m x n . n x m m x n . m x n

125 125 5 5 .5

5

PREGUNTA 32 4 ; 11 ; 18 ; 25 ; … ; an tiene razón 7 9 ; 12 ; 15 ; 18 ; … ; bn tiene razón 3 Luego:

( ) ( )

( )( )

= + − = + −

= + − = + −

+ = = + −

= − ⇒ =

n 1

n 1

n n

a t r n 1 4 7(n 1)

b t r n 1 9 3(n 1)

a b 803 13 10 n 1

790 10 n 1 n 80

PREGUNTA 33

( ) ( )− = − − − = − +

⇒ = +

x y y 1 x 5 y x 4x y 2

Cuando tú tienes x yo tengo x + 2, entonces

x + (x + 2)= 2x + 2 = 110. Luego x = 54 ; y = 52

PREGUNTA 34 El reloj adelanta 3 minutos cada 2 horas,

entonces en =2 x 9 18 horas adelantará: =3 x 9 27 minutos. PREGUNTA 35

Del gráfico de =y cos x vemos que se

cumple solamente la alternativa B, esto es =f(x) cos x es una función par en el

intervalo −π < < πx PREGUNTA 36

De la figura vemos que α = °2 20 entonces

α = °10 . Por tanto ° = + α = + °80 x x 10 Así que x = 70° PREGUNTA 37 En la reunión hay + =V D T personas

= ⇒ =D 7 11T DT 11 7

También − =D V 21; luego = −V D 21 Así que − + = ⇒ − =D 21 D T 2D 21 T

Luego − = ⇒ =112D 21 D D 497

y =V 28

−= =

49 7 42 328 28 2

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PREGUNTA 38

( ) ( )( ) ( )

° − ° °=

° + ° °

° = ° + ° = ° ° + ° °

° = ° + ° = ° ° − ° °

° °⇒ = = ° =

° °

sen 40 sen 10 .cos 30Ecos 40 sen 30 .sen 10

sen 40 sen 30 10 sen 30 cos 10 cos 30 .sen 10

cos 40 cos 30 10 cos 30 cos 10 sen 30 .sen 10

sen 30 cos 10 3E tan 30cos 30 cos 10 3

PREGUNTA 39

( )( )

= =

=

=

4 3 4

24 2 2

24

432 2 x 3 , 528 2 x 3 x 11

432 x 528 2 x 3 x 3 x 11

2 x 3 x 99

Se pueden construir 99 cuadrados iguales de lado = 48m

PREGUNTA 40