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CONCURSO DE MATEMÁTICAS CARL
FRIEDRICH GAUSS
Los encantos de esta ciencia sublime, las matemáticas, sólo se le
revela a aquellos que tienen el valor de profundizar en ella.
Carl Friedrich Gauss
GUÍA DE ESTUDIO
NIVEL SECUNDARIA
Y
NIVEL MEDIO SUPERIOR
2017 www.concursogauss.org
GUÍA DE ESTUDIO
SECUNDARIA
NIVEL MEDIO SUPERIOR
2017
Editado por
ENRIQUE BARRERA HERRRERA
NOÉ JONHATAN GÓMEZ HERNÁNDEZ
INTRODUCCIÓN
En 2015 Educativa C – Cúbica S.S.A. (C3) llevó a cabo el Primer Concurso de
Matemáticas Carl Friedrich GAU55 en el estado de Morelos, Con el objetivo de
generar, interés, amor y pasión por las matemáticas, en jóvenes de secundaria y
preparatoria, así como incrementar los índices de aprovechamiento a nivel: estatal,
nacional e internacional.
El Concurso tuvo tanta aceptación entre los participantes y profesores. Que
actualmente se organiza el Tercer Concurso de Matemáticas Carl Friedrich
GAU55 con la participación de 7 estados: Puebla, Estado de México, Ciudad de
México, Tlaxcala, Guerrero, Chihuahua y Morelos.
En el Concurso pueden participar:
Escuelas privadas, publicas, asociaciones o inscripciones individuales (no
hay límite de inscritos).
Alumnos de secundaria y preparatoria sin importar el grado en que se
encuentren cursando.
El Concurso se divide en dos etapas:
Etapa Estatal: Se lleva a cabo el sábado 18 de noviembre, de manera
simultánea en los 7 estados, la cual consiste de aplicar un examen de 25
reactivos de opción múltiple, de esta etapa, es responsabilidad de cada
delegado, realizar de manera libre el número necesario de filtros para obtener
a su delegación.
Etapa Nacional: Se llevará a cabo el 20 y 21 de enero del 2018 en el Estado
de Morelos.
El concurso se realiza en base a los programas vigentes de estudio de secundaria
y preparatoria.
En el caso de la fase estatal, son problemas estilo planea, tanto para secundaria y
preparatoria, para el caso de la fase nacional son estilo pisa para secundaria y para
preparatoria es de tipo planea, ceneval (exani – II para el ingreso a la universidad)
y para aquellas escuelas que aplican el examen Domina - cde (Domina las
competencias disciplinares extendidas).
BIOGRAFÍA
Carl Friedrich Gauss
Desde su infancia, en el seno de una familia humilde, Carl Friedrich demostró una
habilidad sorprendente con los números.
Fue recomendado al duque de Brunswick por sus profesores de la escuela primaria,
quien le proporcionó asistencia financiera en sus estudios secundarios y
universitarios.
Estudió en la Universidad de Gotinga (1795-1798), dando su tesis doctoral en 1799,
donde probó rigurosamente el Teorema Fundamental del Álgebra.
En 1823 publica un libro dedicado a la estadística, concretamente a la distribución
normal cuya curva característica, denominada como "Campana de Gauss", es muy
usada.
Su fama como matemático creció considerablemente en 1831, cuando fue capaz de
predecir con exactitud el comportamiento orbital del asteroide "Ceres", para lo cual
empleó el método de los mínimos cuadrados, desarrollado por él mismo en 1794.
En 1807 aceptó el puesto de profesor de astronomía en el Observatorio de Gotinga,
cargo en el que permaneció toda su vida.
Carl Friedrich Gauss contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la
teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la geodesia, el
magnetismo y la óptica.
PRESENTACIÓN
El siguiente cuadernillo se crea con la finalidad de que sirva para el profesor como
una guía en el salón de clase o como orientación para que los alumnos se preparen
para participar en el Concurso de Matemáticas Carl Friedrich GAU55.
Se anexa la respuesta correcta a cada problema, más no su procedimiento,
sabemos que cada quien es libre de elegir la solución más favorable y creativa que
lleve a cabo.
Esta publicación es anual. Por lo que invitamos a todos los lectores a enviar
problemas inéditos de nivel secundaria y preparatoria con su solución, al correo
[email protected], los cuales serán incluidos en futuras guías,
cuadernillos o libros.
Defiende tu derecho a pensar, porque incluso pensar de manera errónea es mejor que no pensar.
HYPATIA
SEDES
MORELOS Delegado: Gullit Marco Rodríguez Tijera Co-delegado: Héctor Luna Pérez ESCUELA EL PEÑÓN San Josemaría Escriva S/N, Ex Hacienda de Montefalco, 62930 Jonacatepec, Morelos. Tel: (735) 355 03 43 ext. 113 Coordinador de sede: Alberto Mazatl Domínguez Domínguez Director General: José E. Hernández Guzmán COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE MORELOS PLANTEL 02 Par vial no. 3, col. Atlacomulco, Jiutepec, Morelos. Tel: (777).315.49.59 Coordinador de sede: Ing. David Domínguez Garduño Director: Lic. Marco Polo Cisneros Paredes ESCUELA PRIMARIA BENITO JUÁREZ Calle Matamoros No 28, Barrio La Santísima Tepoztlán, Morelos. C.P 62520 Director: Jorge Villanueva Sosa Correo: [email protected] PUEBLA Delegado: Armando Hernández Hernández Co-delegado: Roberto Carlos Blanco Silva COLEGIO BENAVENTE SECUNDARIA. Av.5 de Mayo N.401 Acatzingo Puebla. Colonia Centro. Tel: 2494240175 Correo: [email protected]
ESTADO DE MÉXICO Delegado: Mario Alberto Ayala Galindo Co-Delegado: Fernando Chávez León ESCUELA PREPARATORIA OFICIAL NUM. 99 Dirección: Calle Santa Teresa S/N, Col. Villa de las Flores, C.P 55710 Coacalco de Berriozabal, Estado de México Teléfono: 01 55 5875 8833 mail: [email protected] COLEGIO EURO TEXCOCO Av. Chamizal S/N, La Trinidad, 56170 Texcoco de Mora, Estado de México Correo: [email protected] Teléfono: 01 595 955 5074 ESCUELA PREPARATORIA REGIONAL DE ZUMPANGO, A.C. Dirección: Km. 11.5 Carr. Los Reyes Acozac-Zumpango Bo. San Lorenzo. Zumpango C.P. 55660 Estado de México. Teléfono: 01 (591) 917 1844 Correo: [email protected] COLEGIO PANAMERICANO Dirección: Privada de Crisantemos 3 Fracc. La Paz, Texcoco Edo de México C.P. 56170 Tel 01 595 9551385, 01 595 9554606 [email protected] ESCUELA PREPARATORIA OFICIAL NUM. 110 "Profr. Alfredo Ramírez Sánchez” Dirección: Cda. de Rio Panuco casi esq. Av. Pino s/n Col. La Presa Tulpetlac, Ecatepec, Estado de México C.P. 55509 Teléfono (55) 51 26 29 88, (55) 51 26 61 30 mail: [email protected] CIUDAD DE MÉXICO Delegado: Miguel Díaz Valadez Co-Delegado: Juan Arturo de la Rosa PREPARATORIA JUSTO SIERRA, PLANTEL ARAGÓN Av. San Juan de Aragón No. 333 Col. Granjas Modernas
C.P. 07460 Gustavo A. Madero Ciudad de México GUERRERO Delegado: Ernestino Alemán Mejía Co-Delegado: Jorge Alberto Laurel Gómez COLEGIO MÉXICO DE CHILPANCINGO A.C de C.V. Andrés Figueroa Esq. Aurora Elizundia Chilpancingo de los Bravo Guerrero Tel: 7474715009 Correo electrónico: [email protected] Responsable directo: Profra. Judith Macías López COLEGIO ZIHUATANEJO Av. Los Hujes s/n Esq. ret-1-a Col. Hujal Zihuatanejo Guerrero Teléfono: 755 112 19 67 Correo: [email protected] Responsable: M.C. Jorge Alberto Laurel Gómez TLAXCALA Delegado: Sergio Bello Vázquez Co-delegado: Roger Ramos Ramos ESCUELA SECUNDARIA TÉCNICA NO 1 “Xicohténcatl Axayacatzin” Calle 1, La Loma Xicohtencatl, Xicohténcatl, 90000 Tlaxcala de Xicohténcatl, Tlax. (Cerca de la central camionera y lugar de entrenamientos)
FASE ESTATAL
NIVEL SECUNDARIA
1. ¿Cuál es el numerador de la fracción con denominador 3 que ocupa la misma
posición que 0. 3̅ en la recta numérica?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏
2. ¿Qué número le corresponde a “b” en la recta numérica?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏𝟑
𝟓
3. Tres personas compraron un boleto de lotería en $60 y ganaron un premio
de 1.5 millones de pesos. Si el reparto se hizo proporcionalmente y a una le
toco medio millón de pesos. ¿Cuánto aportó dicha persona?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: $𝟐𝟎
4. Complementa: La intersección de las mediatrices de un triángulo se
encuentra en el punto medio de uno de los lados cuando el triángulo es
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝑻𝒓𝒊á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 𝒓𝒆𝒄𝒕á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐
5. Una fórmula para preparar una mezcla dice lo siguiente: “En un matraz
mezcle 5
8 de L de la solución A y 0.1 L de alcohol etílico. Complete la mezcla
con agua destilada hasta 1 L”. ¿Cuántos litros se necesitan de agua destilada?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂:𝟏𝟏
𝟒𝟎 𝑳
6. Amando tiene un terrero de 255.75 𝑚2. Desea dividirlo en lotes de 51.15 𝑚2.
¿Cuántos lotes de esta dimensión tendrá?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟓
7. En un avión viajan 120 personas, de las cuales la tercera parte son mujeres,
el 60% son hombres y el resto son niños. ¿Qué porcentaje del total de
pasajeros son niños?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂 ∶ 𝟔. 𝟔𝟎%
8. Se traza la siguiente recta y se le pregunta a Enrique que diga entre qué
letras de encuentra ubicado el punto 1.65.
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝑬𝒏𝒕𝒓𝒆 𝑬𝒚𝑭
9. Sergio fue a la tiendita de la esquina a comprar medio cuarto de queso. ¿Cuántos gramos de queso le dieron a Sergio?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏𝟐𝟓 𝒈𝒓
10. Dos albañiles construyen una barda en 8 días, ¿cuántos albañiles se necesitan contratar de más para construir la barda en exactamente 2 días?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟔 𝒂𝒍𝒃𝒂ñ𝒊𝒍𝒆𝒔
11. ¿Cuál es el resultado de sumar 82 centésimos con 82 milésimos?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟗𝟎𝟐 𝒎𝒊𝒍é𝒔𝒊𝒎𝒐𝒔 𝒐 𝟎. 𝟗𝟎𝟐
12. Encuentra el área de la región sombreada. Considera que 𝜋 = 3.1416.
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟔𝟕. 𝟕𝟏 𝒄𝒎𝟐
13. Jorge tiene 203
5 litros de agua de horchata y quiere llenar vasos de una
capacidad de 4
5 de litro. ¿Cuántos vasos de agua se pueden llenar?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂 = 𝟐𝟓 𝒗𝒂𝒔𝒐𝒔
14. En relación con el ejercicio anterior. ¿Cuántos mililitros de agua de horchata
sobra?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝑺𝒐𝒃𝒓𝒂 𝟑
𝟒 𝒅𝒆𝒍 𝒗𝒂𝒔𝒐 𝒒𝒖𝒆 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆 𝒂 𝟔𝟎𝟎 𝒎𝒍
15. ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el perímetro de la siguiente
figura?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝑷 = 𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟒
16. El valor numérico de cada cuadrado es igual a la suma de los dos de abajo.
Encuentra el valor numérico que le corresponde al cuadro coloreado.
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟖
17. Se sabe que en un teatro hay 1 120 butacas dispuestas de forma tal que el
número de filas es igual al número de columnas más tres. ¿Cuántas filas y
columnas de butacas tiene el teatro?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟑𝟐 𝒄𝒐𝒍𝒖𝒎𝒏𝒂𝒔 𝒚 𝟑𝟓 𝒇𝒊𝒍𝒂𝒔
18. El largo de una pintura mide 7
5 de su ancho. Si el área que ocupa es de
3 500 𝑐𝑚2, ¿Cuáles con las dimensiones de la pintura?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟓𝟎 𝒄𝒎 𝒚 𝟕𝟎 𝒄𝒎, 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆.
19. En la siguiente figura que se muestra la vista superior de una casa con forma
cuadrada. Las áreas del estacionamiento y el jardín se muestran en color
amarillo y verde, respectivamente; cada una tiene una superficie de 13.5 𝑚2.
Si la superficie de la casa, sin contar el jardín y el estacionamiento, es de
73 𝑚2, ¿Cuáles son las dimensiones del terreno?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏𝟎 𝒎
20. En la clase de arte de Jonhatan quieren hacer una réplica de la Gioconda,
también conocida como la Mona Lisa, la famosa obra de Leonardo da Vinci.
Si las medidas de la pintura original son 77 cm x 53 cm, y en la réplica el lado
menor debe medir 70 cm, ¿cuánto tendrá que medir el lado mayor para que
la réplica no presente distorsión?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏𝟎𝟏. 𝟔𝟗 𝒄𝒎
21. El sol proyecta sobre un árbol una sombra de 4 m, si la estatura de Héctor
es de 1.7 m y su sombra proyectada en ese mismo instante es de 2 m. ¿Cuál
es la altura del árbol?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟑. 𝟒 𝒎
22. ¿Cuánto mide el ángulo que se muestra en la siguiente figura?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒙 = 𝟑𝟔°
23. La figura A muestra un vaso graduado que contiene 3 gotas de colorante azul
completamente disuelto en la cantidad de agua que se indica. El vaso de la
figura B contiene agua pura en la cantidad que se muestra. ¿Qué cantidad
de colorante azul se requiere disolver en el vaso dela figura B para que el
agua tenga la misma tonalidad que la del vaso de la figura A
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟒 𝒈𝒐𝒕𝒂𝒔
24. Completa la tabla que muestra distintos arreglos hechos con canicas de colores: ¿Cuál es la expresión algebraica que relaciona el número de canicas de cada figura con cada etapa?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏
𝟐𝒏(𝒏 + 𝟏)
25. En relación al ejercicio anterior. ¿Cuántas canicas habrá en la etapa 50?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝟐𝟕𝟓
26. Encuentra el valor del ángulo que se muestra en la siguiente figura:
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒙 = 𝟏𝟐𝟓°
27. Encuentra la altura del árbol que se muestra en la figura:
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝑯 = 𝟑. 𝟔 𝒎
28. En cierta época del año, en la ciudad de Cuernavaca se raciona el agua por
falta de lluvias. El director del sistema hidráulico municipal ha decidido
abastecer cada casa sólo tres días a la semana. Por tal motivo, la familia de
Jonathan deja abierta la llave de la cisterna, en esos días, para que se llene.
La gráfica muestra la cantidad de agua que llega por minuto, a la casa de
Jonathan: el eje horizontal corresponde al tiempo y el eje vertical a la cantidad
de agua. Si la cisterna tiene una capacidad de 1200 L. ¿Cuánto tiempo tarda
en llenarse?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟕𝟐𝟎 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔
29. Complementa: Si dos triángulos rectángulos tienen las medidas de dos de
sus lados correspondientes iguales, entonces son __________
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝑪𝒐𝒏𝒈𝒓𝒖𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔
30. El profesor Enrique observo el mes de septiembre de su calendario 2014, y
eligió cuatro números, en la forma como lo muestra la imagen (no
necesariamente esos), se dio cuenta que la suma de ellos es 80. ¿Cuál es el
menor número de entre los cuatro números que eligió?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏𝟔
31. El corazón en condiciones normales, late aproximadamente 72 veces por minuto. Expresa como una función el número de veces que late el corazón en “x” minutos.
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒚 = 𝟕𝟐𝒙
32. ¿Cuál es el resultado de (3.2 × 1012)(5.1 × 1015) expresado en notación
científica?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏. 𝟔𝟑𝟐 × 𝟏𝟎𝟐𝟖
33. Expresa el área del rectángulo con un polinomio.
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒙𝟐 + 𝟑𝟓𝒚𝟐 + 𝟏𝟐𝒙𝒚
Septiembre 14
L M M J V S D
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
29 30
34. Gullit tiene 21 años y su padre 52. ¿En cuántos años la edad de Gullit será
la mitad que la de su padre?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏𝟎 𝒂ñ𝒐𝒔
35. Dos automóviles parten al mismo tiempo de un punto en la misma dirección.
Si la velocidad de uno es de 85 km/h y la del otro es 100 km/h. ¿En cuántas
horas se encontraran a una distancia de 105 km uno de otro?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟕 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔
36. Si a un número se le suma su cuadrado, se obtiene 6. ¿De qué número se trata?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟐
37. Jonathan y Oliver poseen una colección de 40 discos entre los dos. Si Oliver
le diera 4 a Jonathan, ambos quedarían con el mismo número de discos.
¿Cuántos tiene cada uno?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝑱𝒐𝒏𝒂𝒕𝒉𝒂𝒏 𝟏𝟔 𝒅𝒊𝒔𝒄𝒐𝒔 𝒚 𝑶𝒍𝒊𝒗𝒆𝒓 𝟐𝟒
38. En la terminal de autobuses de la ciudad de México, cada 24 minutos sales
autobuses a la ciudad de Puebla, cada 40 minutos a la ciudad de Tlaxcala y
cada 30 minutos a la ciudad de Cuernavaca. Si a las 11:00 am sales
autobuses hacia los tres destinos, ¿a qué hora volverán a coincidir las
salidas?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏: 𝟎𝟎 𝒑𝒎
39. Encuentra el valor del ángulo indicado en la siguiente figura:
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒘 = 𝟓𝟎°
40. Se utilizan 6 cubitos de lado uno para formar el siguiente sólido. Encuentra
la distancia a la que se encuentra el vértice A del B.
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: √𝟏𝟒
41. Encuentra el área sombreada en el siguiente cubo de lado 1 cm.
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 +√𝟐
𝟐
42. Encuentra el valor del ángulo que se muestra en la siguiente figura:
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒙 = 𝟏𝟑𝟓°
43. ¿De cuántas maneras de pueden acomodar 5 personas en una fila de 5 silla?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏𝟐𝟎 𝒎𝒂𝒏𝒆𝒓𝒂𝒔 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒊𝒏𝒕𝒂𝒔
44. En el grupo de segundo de secundaria de Elisa tiene menos de 100 alumnos. Si los escolares forman tres filas, falta uno para igualar todas las hileras, si integran cuatro filas, también falta uno; si le alinean en cinco filas, sucede lo mismo. ¿Cuántos alumnos hay en el grupo?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟓𝟗 𝒂𝒍𝒖𝒎𝒏𝒐𝒔
45. Miguel obtuvo las siguientes calificaciones en 4 de 5 materias 9, 10, 6, 8.
¿Cuánto tiene que sacar en la quinta materia para poder alcanzar un
promedio de 8.2?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟖
46. En la siguiente tabla se muestran las calificaciones que se obtuvo de un
examen de matemáticas del grupo de 2 “A”. ¿Qué valor representa la moda
de las calificaciones?
Calificación Número de Alumnos
10 5
9 10
8 8
7 6
6 4
5 2
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝑴𝒐𝒅𝒂 = 𝟗
47. ¿Cuánto mide los ángulos del triángulo isósceles ABC?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏𝟓𝟎°, 𝟏𝟓°, 𝟏𝟓°
48. Si lanzo una moneda y un dado al mismo tiempo, ¿Cuál es la probabilidad
de obtener un número primo seguido de un sol?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂:𝟏
𝟒
49. En una urna se encuentran 5 bolas rojas, 2 negras y 3 verdes. ¿Cuál es la
probabilidad de que al sacar una bola al azar se obtenga una bola verde?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂:𝟑
𝟏𝟎= 𝟎. 𝟑
50. ¿Cuál es el número total de posibles resultados que se podrían obtener al
lanzar un dado y una moneda?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏𝟐
FASE ESTATAL
NIVEL MEDIO SUPERIOR
1. Encuentra el valor numérico de
1
2+
2
31
2÷
2
3
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂:𝟏𝟒
𝟗
2. Héctor tiene un cierto número de canicas, lo único que se sabe es que 2
3 son
rojas, 1
5 son blancas y 8 son verdes. ¿Cuántas canicas tiene Héctor?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟔𝟎 𝒄𝒂𝒏𝒊𝒄𝒂𝒔
3. Sabemos que en una fiesta infantil 1
3 de los invitados son adultos y el resto
niños. Entre los adultos, 3
5 son señores, si en la fiesta hay 40 señoras.
¿Cuántos invitados asistieron en total a la fiesta?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟑𝟎𝟎 𝒊𝒏𝒗𝒊𝒕𝒂𝒅𝒐𝒔
4. ¿Cuál es el resultado de la operación 12 ÷ 3 × 2 + 2 ÷ 2 + 1?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏𝟎
5. Resuelve la siguiente operación entre números mixtos: 31
2− 1
2
3
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏𝟓
𝟔
6. Simplifica la siguiente operación utilizando un solo radical: √3 × √33
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: √𝟑𝟓𝟔
7. Encuentra el valor numérico de √83
× √43
× √23
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟒
8. ¿Cuál es el resultado de la operación 0.00001
(0.001)2 ?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏𝟎
9. Desarrolla (2𝑥 − 3𝑦)3
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟖𝒙𝟑 − 𝟑𝟔𝒙𝟐𝒚 + 𝟓𝟒𝒙𝒚𝟐 − 𝟐𝟕𝒚𝟑
10. Simplifica 𝑚 − 3(𝑚 + 𝑛) + [−{−(−2𝑚 + 𝑛 − 2 − 3[𝑚 − 𝑛 + 1]) + 𝑚}]
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝟖𝒎 + 𝒏 − 𝟓
11. Preguntado un hombre por su edad, responde: Si al doble de mi edad se
quitan 17 años se tendrá lo que me falta para tener 100 años. ¿Qué edad
tiene el hombre?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟑𝟗𝒂ñ𝒐𝒔
12. La diferencia de dos números es 36. Si el mayor se disminuye en 12 se tiene
el cuádruplo del menor. Hallar los números
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟒𝟒 𝒚 𝟖
13. Hace 14 años la edad del Padre era el triple de la edad de su hijo y ahora es
el doble. Hallar las edades actuales.
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝑷𝒂𝒑á 𝟓𝟔 𝒂ñ𝒐𝒔 𝒆 𝒉𝒊𝒋𝒐 𝟐𝟖 𝒂ñ𝒐𝒔
14. Simplificar 1
𝑥−1−
1
𝑥+1𝑥
𝑥−1−
1
𝑥+1
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟐
𝒙𝟐 + 𝟏
15. Simplificar 𝑥−2
𝑥−1
1−2
𝑥+2
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒙
𝒙 + 𝟏
16. Resuelve 3
2𝑥+1−
2
2𝑥−1−
𝑥+3
4𝑥2−1= 0
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒙 = 𝟖
17. Resolver el sistema {
10
𝑥+
9
𝑦= 2
7
𝑥−
6
𝑦=
11
2
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒙 = 𝟐; 𝒚 = 𝟑
18. Resolver el sistema {
𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 = 62𝑥 + 5𝑦 − 7𝑧 = −9
3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒙 = 𝟏; 𝒚 = 𝟐; 𝒛 = 𝟑
19. Si a los dos términos de una fracción se añade 3, el valor de la fracción es 1
2,
y si a los dos términos se resta 1, el valor de la fracción es 1
3. Hallar la fracción.
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟓
𝟏𝟑
20. Simplifica √45 − √80 − √20
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: −𝟑√𝟓
21. Racionaliza 2+√3
2−√3
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟕 + 𝟒√𝟑
22. Encuentra el valor de log(√0.013
)
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: −𝟐
𝟑
23. Resuelva la desigualdad 𝑥+1
𝑥+3≤ 2
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: (−∞, −𝟓] ∪ (−𝟑, ∞)
24. Reduce la expresión 𝑠𝑒𝑛(𝜃)(tan(𝜃) + cot(𝜃))
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝐬𝐞𝐜 𝜽
25. Encuentra el valor de la altura del siguiente triángulo:
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒉 =𝟏𝟎√𝟑
𝟑 𝒄𝒎
26. Encuentra el área de la región sombreada en la siguiente figura:
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏𝟓𝝅 𝒄𝒎𝟐
27. Encuentre que tipo de triángulo es el formado por los puntos 𝐴(7,5),
𝐵(2,3) 𝑦 𝐶(6, −7).
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝑹𝒆𝒄𝒕á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐
28. Demostrar que los tres puntos siguientes son colineales: 𝐴(−3, −2), 𝐵(5,2),
𝐶(9,4)
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒅(𝑨, 𝑪) = 𝒅(𝑨, 𝑩) + 𝒅(𝑩, 𝑪)
𝟔√𝟓 = 𝟒√𝟓 + 𝟐√𝟓
29. Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de coordenadas
𝐴(2,3), 𝐵(5,7) 𝑦 𝐶(−3,4).
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏𝟏. 𝟓 𝒖𝟐
30. Hallar el punto de abscisa 3 que diste 10 unidades del punto 𝐴(−3,6)
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝑩𝟏(𝟑, −𝟐), 𝑩𝟐(𝟑, 𝟏𝟒)
31. Divide al segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , dado por 𝐴(3, −2) y 𝐵(−6, 7) en la razón 𝑟 = 2
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝑷(−𝟑, 𝟒)
32. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento determinado por los puntos
de coordenadas 𝐴(−3,2) y 𝐵(5, −4)
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟒𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝟕 = 𝟎
33. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro 𝐶(2,3) y que pase por el
punto 𝐴(5, −1).
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟔𝒚 − 𝟏𝟐 = 𝟎
34. Hallar el valor del parámetro K en la ecuación 2𝑥 + 3𝑦 + 𝐾 = 0 de forma que
dicha recta forme con los ejes coordenados un triángulo de área 27 unidades
de superficie.
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝑲 = ±𝟏𝟖
35. Hallar un punto de la recta 3𝑥 + 𝑦 + 4 = 0 que equidista de los puntos
𝐴(−5,6) 𝑦 𝐵(3,2).
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝑷(−𝟐, 𝟐)
36. Hallar la distancia entre la recta 3𝑥 + 4𝑦 − 2 = 0 y el punto 𝐴(5,3).
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟓
37. Encuentra las coordenadas del vértice de la parábola 𝑦2 + 8𝑦 − 6𝑥 + 4 = 0
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝑽(−𝟐, −𝟒)
38. Hallar la ecuación de la parábola de vértice 𝑉(−2,3) y foco 𝐹(1,3)
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒚𝟐 − 𝟔𝒚 − 𝟏𝟐𝒙 − 𝟏𝟓 = 𝟎
39. Encuentra los vértices de la elipse cuya ecuación
4𝑥2 + 9𝑦2 − 48𝑥 + 72𝑦 + 144 = 0
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝑽𝟏(𝟎, −𝟒) 𝒚 𝑽𝟐(𝟏𝟐, −𝟒)
40. Hallar la ecuación de la elipse de centro 𝐶(3,1), uno de los vértices en
𝑉(3, −2) y excentricidad 𝑒 =1
3.
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟗𝒙𝟐 + 𝟖𝒚𝟐 − 𝟓𝟒𝒙 − 𝟏𝟔𝒚 + 𝟏𝟕 = 𝟎
41. Hallar la ecuación de la hipérbola de centro en el origen, eje real sobre el eje
de coordenadas “y“, longitud del lado recto 36 y distancia entre los focos igual
a 24.
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟑𝒚𝟐 − 𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝟖 = 𝟎
42. Encuentra el dominio de la función 𝑓(𝑥) = √𝑥2 − 16
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: (−∞, −𝟒] ∪ [𝟒, ∞)
43. Sea 𝑓: (−1∞) → (−∞, 1) dada por 𝑓(𝑥) =𝑥
𝑥+1. Encuentra la inversa de la
función 𝑓(𝑥).
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒇−𝟏(𝒙) = 𝒙
𝟏 − 𝒙
44. Sea 𝑓(𝑥) =𝑥
𝑥−1 y 𝑔(𝑥) =
1
𝑥+1. Realiza 𝑓𝑜𝑔(𝑥)
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒇𝒐𝒈(𝒙) = −𝟏
𝒙
45. Encuentra el siguiente límite: lim𝑥→1
𝑥7−1
𝑥−1
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟕
46. Encuentra le siguiente límite: lim𝑥→5
√𝑥+4−3
𝑥−5
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂:𝟏
𝟔
47. Encuentra el siguiente límite: lim𝑥→∞
2𝑥5+6𝑥2−𝑥+2
3𝑥5−12
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂:𝟐
𝟑
48. Deriva la siguiente función: 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛4(4𝑥)
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒇´(𝒙) = 𝟏𝟔𝒔𝒆𝒏𝟑(𝟒𝒙)𝐜𝐨𝐬 (𝟒𝒙)
49. Deriva la siguiente función: 𝑦 =𝑥
𝑥+1
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒚´ =𝟏
(𝒙 + 𝟏)𝟐
50. Realiza la derivada implícita de 𝑥2 + 𝑦2 = 1
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒚´ = −𝒙
𝒚
FASE NACIONAL
NIVEL SECUNDARIA
1. El diagrama muestra un octágono regular. ¿Cuánto mide el ángulo indicado por x?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟒𝟓°
2. La figura muestra los tres primeros diagramas de una secuencia. Si no se
toma en cuenta el hueco negro central, ¿cuántos cuadrados hacen falta para construir el décimo diagrama de la secuencia?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟗𝟐 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔
3. Un triángulo equilátero tiene igual perímetro que un cuadrado. Si el área del cuadrado es 36m2, ¿cuánto mide el lado del triángulo?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟖 𝒎
4. En la figura, ABCDE es un pentágono regular que tiene adosados exteriormente un cuadrado BFGC y un triángulo equilátero CHD. Halle la
medida del ángulo ∠CHG.
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟑𝟗°
5. Al estadio asistieron 75 600 personas a un partido de Pumas contra América. Si de cada 18 hombres adultos había 2 niños y de cada 6 niños había 3 mujeres adultas. ¿Cuántos niños asistieron?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟕 𝟐𝟎𝟎 𝒏𝒊ñ𝒐𝒔
6. Calcula el área del hexágono irregular sabiendo que el lado de cada cuadrito es de 1cm.
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝑨 = 𝟏𝟏𝒄𝒎𝟐
7. Ernestino puede duplicar una llave en 1 minuto; Sergio lo hace en 3 min. Si trabajan juntos, ¿Qué tiempo les tomará duplicar 40 llaves?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂 = 𝟑𝟎 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔
8. La parte que falta para finalizar el siglo es un veinticuatroavo de lo que ha transcurrido. ¿En qué año se planteó el problema?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒂ñ𝒐 𝟗𝟔
9. Tengo la mitad de un recipiente de 3
4 de Litro de agua, si se vierte el agua
en un vaso de medio litro. ¿Qué porción del recipiente se llena?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟑
𝟒
10. El área de un cuadrado es de 125.23 𝑐𝑚2, y en cada vértice se traza una circunferencia de 3 cm de radio, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el
área de la región sombreada? (Considera 𝜋 = 3.14)
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟗𝟔. 𝟗𝟕 𝒄𝒎𝟐
11. Encuentra el valor del ángulo “x” que se muestra en la siguiente figura:
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟑𝟎°
12. Un barril está lleno de agua. Lo vacías a la mitad y después le añades un litro de agua. Después de hacer esta operación (vaciar la mitad de lo que hay y añadir un litro) cinco veces seguidas, te quedan 3 litros de agua en el barril. ¿Cuántos litros de agua había en el barril inicialmente?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟑𝟒 𝒍𝒊𝒕𝒓𝒐𝒔
13. La suma de los números de dos cuadraditos consecutivos (horizontalmente) es igual al número del cuadradito que está arriba de ellos, por ejemplo,
𝑎 + 𝑏 = 𝑐. Si la suma de los números en la fila inferior es 17, ¿cuál es el valor de 𝑎?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒂 = 𝟓
14. Encuentra la dieciseisava parte de 2100
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟐𝟗𝟔
15. ¿Cuál es el polígono regular que cumple que su número de diagonales es igual a su número de lados?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝑷𝒆𝒏𝒕á𝒈𝒐𝒏𝒐
17. Una llave de agua “A” llena un tinaco en 1
4 de hora, y otra llave “B” llena el
mismo tinaco en 1
5 de hora. ¿En cuántos minutos llenarán el tinaco las dos
llaves juntas?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟔. 𝟔𝟔 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔
18. En una reunión hay 5 personas, entre ellas se encuentra Enrique y su esposa. ¿De cuántas maneras se pueden sentar en una fila de tal forma que Enrique quede junto a su esposa?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟒𝟖 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒔 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒊𝒏𝒕𝒂𝒔
19. El día lunes Sergio presentó tres exámenes obteniendo un promedio de 8.5 y el día martes presentó dos exámenes obteniendo un promedio de 9.2. ¿Cuál es el promedio de los 5 exámenes que presentó Sergio?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟖. 𝟕𝟖
20. En una granja hay 19 animales entre borregos y gallinas, si en total se contaron 62 patas. ¿Cuántos borregos y gallinas hay en la granja?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏𝟐 𝒃𝒐𝒓𝒓𝒆𝒈𝒐𝒔 𝒚 𝟕 𝒈𝒂𝒍𝒍𝒊𝒏𝒂𝒔
21. Realiza 2
2+2
3+34
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂:𝟏𝟓
𝟏𝟗
22. Miguel tiene una pista de carreras con dos autos. El primer auto le da una
vuelta completa a la pista en 36 segundos y el segundo lo hace en 15 segundos. Juan también tiene su pista de carreras con dos autos, pero el primero da una vuelta completa en 36 segundos y el segundo en 42 segundos. Como Juan siempre pierde cuando juegan, propone a Miguel que el ganador sea quien tenga en su pista sus dos autos situados en la meta al mismo tiempo. ¿Quién ganará?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝑴𝒊𝒈𝒖𝒆𝒍
23. ¿Cuál es el resultado de 44 + 44 + 44 + 44?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟒𝟓
24. ¿Cuál es el resultado de (2−2 − 2−3)−1?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟖
25. Se tiene un kilogramo de una mezcla de cacahuate y garbanzo, del tal forma que el 20% son cacahuates. ¿Cuántos gramos de cacahuates hay que agregar para que la cantidad de cacahuates sea el 60% de la mezcla total?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒈𝒓 = 𝟏 𝒌𝒈
26. Hace dos meses el profesor Héctor recibió un aumento de 20% de su sueldo. Si ahora su sueldo es de $5 760.00. ¿Cuánto ganaba antes el profesor Héctor?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: $𝟒 𝟖𝟎𝟎. 𝟎𝟎
27. Se tiene un lazo de 1m de longitud, con la tercera parte se construye un circulo y con lo que resta un cuadrado. ¿Cuál es la razón entre el área del cuadrado y el área de círculo?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝝅
28. En un salón de clases el 70% de los alumnos son hombres. Si el 25% de las mujeres faltan, solo se cuentan 18 mujeres, ¿Cuántos alumnos tiene el salón?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟖𝟎 𝒂𝒍𝒖𝒎𝒏𝒐𝒔
29. Roberto seleccionó un número, lo dividió entre 7, al resultado le sumó 7 y a la suma la multiplicó por 7. Si así obtuvo el número 777, ¿qué número seleccionó inicialmente?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟕𝟐𝟖
30. Encuentra el valor de √9 − 6√2 + √9 + 6√2
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: √𝟐𝟒
31. En un cuadrado de lado 1, los puntos A y B se muestran sobre sobre los lados
del cuadrado, determinando así dos segmentos 𝑎 = 𝑂𝐴 𝑦 𝑏 = 𝑂𝐵. ¿Cuánto
debe valer 𝑎 + 𝑏 para que el área de la zona sombreada sea la mitad del área
del cuadrado?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒂 + 𝒃 = 𝟏
32. El triángulo equilátero de la figura está dividido por tres rectas paralelas a sus lados en siete regiones. Tres de ellas son triángulos equiláteros de lado 5 y el
triángulo central, también es equilátero, tiene lado 2. ¿Cuál es la longitud del lado del triángulo inicial?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏𝟗
33. Los tres cuadrados son iguales de lado 1 cm, A y B son puntos medios de los lados respectivos. ¿Cuánto vale el área de la región sombreada?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏𝒄𝒎𝟐
34. Realiza la siguiente operación: 1
1
2+1
1
3
12
5
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟐𝟏
𝟒𝟐
35. Luis está escalando una montaña, si ya subió tres quintas partes de lo que le
falta por llegar. ¿Qué parte de la montaña ha escalado Luis?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂:𝟑
𝟖
36. Encuentra el valor del ángulo 𝛽 que se muestra en la siguiente figura.
Considera el punto C como el centro de la circunferencia.
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝜷 = 𝟏𝟏𝟓°
37. En un bosque mágico existe un conejo que da tres saltos en un segundo y en
cada salto avanza 3
5 de metro. También existe un zorro que cuando corre da
dos saltos en 1 segundo, y en cada salto avanza 5
6 de metro:
¿Quién recorre más distancia en un segundo?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝑬𝒍 𝒄𝒐𝒏𝒆𝒋𝒐
38. ¿Cuál es la diferencia de distancia que recorren los dos animales en un
segundo?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏𝟑. 𝟑 𝒄𝒎
39. ¿En qué tiempo recorrerá el conejo 135 m?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟕𝟓 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒐𝒔
40. Si se hiciera una carrera entre el conejo y el zorro, cuando el conejo haya
recorrido 135 metros. ¿A qué distancia del conejo se encontrará el zorro?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝑨 𝟏𝟎 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔
41. En una carrera entre el conejo y el zorro se lleva a cabo en una pista de 2700 m, con la condición de que el zorro reciba una pequeña ventaja de 200 m. ¿Quién gana la carrera?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝑬𝒔 𝒖𝒏 𝒆𝒎𝒑𝒂𝒕𝒆
42. En un ciber café la renta de la computadora está en una tarifa inicial de $5.00
y por cada 30 minutos o fracción que transcurra se le cobra al usuario la
cantidad de $3.00. Armando llega al ciber y toma una computadora a la 5:30
pm y sale a los 8:00 pm. ¿Cuánto pagará por la renta de la computadora?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: $𝟐𝟎. 𝟎𝟎
43. Encuentra una expresión que represente el costo de la renta de la computadora con relación al tiempo de una persona.
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝑪 = 𝟔𝒕 + 𝟓 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒕 𝒆𝒔𝒕á 𝒅𝒂𝒅𝒐 𝒆𝒏 𝒉𝒓𝒔.
44. Ahora expresa el tiempo en relación con el costo.
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒕 =𝑪 − 𝟓
𝟔
45. Si una persona pagó $25.00, ¿Cuánto tiempo estuvo trabajando en la
computadora?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟑. 𝟓 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔
46. En cierto día una computadora fue utilizada por tres personas, obteniendo
$27.00 pesos por la renta. ¿Cuál es el tiempo máximo en la que una de las
tres personas utilizó la computadora?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝒉𝒐𝒓𝒂
47. Oscar y Armando son pintores profesionales, sólo que Oscar es más rápido
que Armando. En un cierto día tenían planeado pintar una barda de 5 metros
de largo por 3 metros de alto: Si sabemos que Armando pintó 3
5 de lo que pintó
Oscar. ¿Qué parte de la barda pintó cada uno?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝑶𝒔𝒄𝒂𝒓𝟓
𝟖 𝒚 𝑨𝒓𝒎𝒂𝒏𝒅𝒐
𝟑
𝟖
48. Si Armando cobró $600.00 por su trabajo. ¿Cuánto cobró Oscar sabiendo que
el reparto fue proporcional?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: $ 𝟏 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎
49. Si por cada 𝑚2 se gasta 0.600 L de pintura. ¿Cuánta pintura más que
Armando gastó Oscar?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟐. 𝟐𝟓 𝑳 𝒎á𝒔
50. Si la barda fuera medio metro más alta y un metro más larga, entonces el tiempo estimado para pintarla es de 7 horas, ¿En qué tiempo se pintó la barda original?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟓 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔
FASE NACIONAL
NIVEL MEDIO SUPERIOR
1. Gullit tiene 2 L de agua azucarada al 20 % de azúcar. ¿Cuánta agua tendrá que agregar para reducir su concentración de azúcar al 12 %?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏. 𝟑 𝑳 𝒅𝒆 𝒂𝒈𝒖𝒂
2. ¿Cuál es la fracción que equivalente al número decimal periódico 0.123̅̅̅̅ ?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟔𝟏
𝟒𝟗𝟓
3. Encuentra el valor de la siguiente suma 1
1×2+
1
2×3+
1
3×4+ ⋯ +
1
9×10
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟗
𝟏𝟎
4. ¿Cuántos cifras tiene el desarrollo de 1616 × 2530?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟔𝟐 𝒄𝒊𝒇𝒓𝒂𝒔
5. Un rectángulo tiene una altura 3 veces la longitud de su base. Si se
incrementa la base en 3 cm y la altura en 5 cm entonces el área es de
319 𝑐𝑚2. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝑩𝒂𝒔𝒆 = 𝟖 𝒄𝒎, 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 = 𝟐𝟒 𝒄𝒎
6. En la casa de Enrique hay un tanque de almacenamiento de agua potable de
2 400 L. El tanque tiene dos tuberías que lo llenan en 10 y 12 horas
respectivamente. La tubería de desagüe lo puede vaciar en 20 horas. Si las
tres tuberías se abren simultáneamente y luego se cierran cuando el tanque
se llena. ¿Cuántos litros salieron por la tubería de desagüe?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟗𝟎𝟎 𝒍𝒊𝒕𝒓𝒐𝒔
7. La edad de Jonhatan es la mitad de la edad de su Papá, hace 18 años la edad de Jonhatan era una cuarta parte de la de su Papá. ¿Cuál es la edad actual de Jonhatan?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟐𝟕 𝒂ñ𝒐𝒔
8. En una circunferencia de radio 𝑟 se encuentra inscrito un trapecio isósceles
como se muestra en la siguiente figura. Encuentra el área del trapecio.
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝑨 =𝟑√𝟑
𝟒𝒓𝟐
9. Una circunferencia 𝐶1 se encuentra inscrita en un cuadrado cuyo lado mide
2√2 . Otra circunferencia 𝐶2 es tangente a 𝐶1 y al cuadrado, como se muestra
la siguiente figura. Encuentra cuánto mide el radio de 𝐶2.
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟑√𝟐 − 𝟒
10. Consideremos el polinomio cuadrático 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 con la condición de que
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = −6 . Sabemos que las raíces del polinomio son 𝑥1 = 1 − 𝑟 y 𝑥2 =
𝑟 para algún número real positivo 𝑟. Encuentra el valor de 𝑟.
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒓 = 𝟑
11. Encuentra el valor de la siguiente fracción continua 𝐹 =1
1+1
1+1
1+⋯
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: √𝟓 − 𝟏
𝟐
12. En una reunión el 60% de las personas son hombres de los cuales el 20%
son menores de edad. Entre las mujeres el 25% son menores de edad. Si
sabemos que en total hay 44 personas menores de edad. ¿Cuántas personas
hay en la reunión?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟐𝟎𝟎 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏𝒂𝒔
13. Una manguera de tipo A llena un estanque en 30 minutos, otra de tipo B lo
hace en 15 minutos y una última de tipo C lo hace en 10 minutos. Suponga
que las tres mangueras se utilizan al mismo tiempo para llenar el estanque.
¿En qué tiempo lo harán?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟓 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔
14. En un cierto instante dos automóviles se encuentran separados por 1 000 m
en un pista recta como se muestra en la figura, el auto 1 viaja a 110 km/h y
el auto 2 a 100 km/h. ¿A qué distancia desde el punto de referencia se
produce el encuentro de los dos autos?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟓𝟐𝟑 𝒎
15. Un recipiente de forma de cono invertido como se muestra en la figura, se le
invierte agua hasta un cierto nivel. Oliver como es muy curioso, mide el
diámetro de la circunferencia que forma el nivel del agua. Observa que ese
diámetro es de 8 cm. Encuentra la profundidad ℎ que tiene el agua.
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: √𝟏𝟓 𝒄𝒎
16. Si 𝑥 + 𝑦 = 2 y 𝑥2 + 𝑦2 = 1. Encuentra el valor de 𝑥4 + 𝑦4
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: −𝟕
𝟐
17. Encuentra la factorización del siguiente trinomio: 𝑥4 − 6𝑥2𝑦2 + 𝑦4
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 − 𝒚𝟐)(𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝒚 − 𝒚𝟐)
18. Dos circunferencias de radio 𝑟 se intersectan de forma que una pasa por el
centro de la otra. Encuentra el área de la región sombreada.
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: (𝟐
𝟑𝝅 −
√𝟑
𝟐) 𝒓𝟐
19. ¿Qué polígono cumple con la condición de que el número de diagonales
sea el doble que el número de lados?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝑯𝒆𝒑𝒕á𝒈𝒐𝒏𝒐
20. Dos circunferencias de radio 𝑟 se intersectan de forma que una pasa por el
centro de la otra. Se traza un triángulo como se muestra en la siguiente figura.
¿Cuál es el área del triángulo?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝑨 = √𝟑 𝒓𝟐
21. La rueda de mi bicicleta se encuentra tocando la parte superior de un block
que tiene una altura de 10 cm. La distancia entre la base del block y el punto
donde la rueda toca el suelo es de 20 cm (Ver figura). Encuentra el radio de
la rueda de mi bicicleta.
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒓 = 𝟐𝟓 𝒄𝒎
22. Encuentra una expresión para la siguiente suma ∑ (2𝑛 − 1)𝑛𝑖=1
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: ∑(𝟐𝒏 − 𝟏)
𝒏
𝒊=𝟏
= 𝒏𝟐
23. Encuentra el valor exacto de 𝑠𝑒𝑛(15°)
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: √𝟔 − √𝟐
𝟒
24. Si 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + cos(𝑥) =1
2. Encuentra el valor de 𝑠𝑒𝑛3(𝑥) + 𝑐𝑜𝑠3(𝑥)
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏𝟏
𝟏𝟔
25. Héctor se encuentra a 200 m de la base se una torre, ve la cima de la torre
con un ángulo de elevación 𝜃. Después se acerca a solo 50 m de la base de
la torre y ve la cima con un ángulo de elevación de 2𝜃 (Ver figura). Encuentra
la altura de la torre.
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏𝟎𝟎√𝟐 𝒎 ≈ 𝟏𝟒𝟏. 𝟒𝟐𝒎
26. Encuentra todas las soluciones en [0,2𝜋) a la siguiente ecuación trigonométrica 2 cos(𝑥) − 1 = 0
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂:𝝅
𝟑= 𝟔𝟎° 𝒚
𝟓
𝟑𝝅 = 𝟑𝟎𝟎°
27. Encuentra el valor de tan(1°). tan(2°) . tan(3°) … tan (89°)
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏
28. Encuentra el valor de “x” en la siguiente figura:
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒙 = 𝟏𝟎 𝒄𝒎
29. Si 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 no tiene raíces reales, ¿cuántas raíces reales tiene
𝑓(𝑓(𝑥))?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟎
30. ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación 𝑒𝑥 + 𝑥 − 2 = 0?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏
31. ¿Cuál es el valor de 𝑙𝑜𝑔1
𝑛
(√𝑛)?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: −𝟏
𝟐
32. Resolver ln(𝑥2 − 9𝑥 − 18) = ln(2𝑥 − 9) + ln(2)
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏𝟑
33. ¿Para qué valores de x es verdadero (ln(𝑥))3 = 3 ln(𝑥) ?
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒙 = 𝒆√𝟑
34. Encuentra las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola
9𝑥2 − 16𝑦2 − 18𝑥 − 64𝑦 − 199 = 0.
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒚 + 𝟐 = ±𝟑
𝟒(𝒙 − 𝟏)
35. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos
𝐴(2,3) 𝑦 𝐵(−1,1) y cuyo centro está situado en la recta 𝑥 − 3𝑦 − 11 = 0
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟕𝒙 + 𝟓𝒚 − 𝟏𝟒 = 𝟎
36. Desde la cima de un edificio de 50 metros de altura se patea un balón que
alcanza una altura máxima de 70 metros medido desde el suelo y esto ocurre
a 20 metros de la base del edificio. ¿Cuál es el alcance del balón? (Ver la
figura)
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝑨𝒍𝒄𝒂𝒏𝒄𝒆: 𝟐𝟎 + 𝟏𝟎√𝟏𝟒 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔 ≈ 𝟓𝟕. 𝟒𝟏 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔
37. La Tierra describe una trayectoria elíptica alrededor del Sol que se encuentra
en uno de los focos. Sabiendo que el semieje mayor de la elipse vale 1 485 ×
108 𝑘𝑚 y que la excentricidad es, aproximadamente 1
62, hallar la máxima y la
mínima distancia de la Tierra al Sol.
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝑳𝒂 𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒂 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒆𝒔 𝒂 + 𝒄 = 𝟏 𝟓𝟎𝟗 × 𝟏𝟎𝟖𝒌𝒎
𝑳𝒂 𝒎í𝒏𝒊𝒎𝒂 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒆𝒔 𝒂 − 𝒄 = 𝟏 𝟒𝟔𝟏 × 𝟏𝟎𝟖𝒌𝒎
38. Hallar la altura de un punto de un arco parabólico de 18 metros de altura y
24 metros de base, situado a una distancia de 8 metros del centro del arco.
(Ver la figura)
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏𝟎 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔
39. Hallar la longitud de la altura trazada desde 𝐴 al lado 𝐵𝐶 del triángulo cuyos
vértices son: 𝐴(−3, −3), 𝐵(5,5) 𝑦 𝐶(2, −4).
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝑨𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 = 𝟏𝟏√𝟏𝟎
𝟓
40. Encuentra la ecuación de la recta tangente y normal a la curva 𝑓(𝑥) =
(𝑥 − 2)2 + 1 en el punto 𝐴(3,2).
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝑹𝒆𝒄𝒕𝒂 𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆: 𝟐𝒙 − 𝒚 − 𝟒 = 𝟎
𝑹𝒆𝒄𝒕𝒂 𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍: 𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟕 = 𝟎
41. Dada la función 𝑦 =1
3𝑥3 +
1
2𝑥2 − 6𝑥 + 8, 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟:
a. Puntos críticos
b. Intervalos donde la función es decreciente y decreciente.
c. Máximos y mínimos
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒄𝒓𝒊𝒕𝒊𝒄𝒐𝒔: 𝑨 (−𝟑,𝟒𝟑
𝟐) 𝒚 𝑩 (𝟐,
𝟐
𝟑)
𝑪𝒓𝒆𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆: (−∞, −𝟑) ∪ (𝟐, ∞); 𝑫𝒆𝒄𝒓𝒆𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆: (−𝟑, 𝟐)
𝑴á𝒙𝒊𝒎𝒐: 𝑨 (−𝟑,𝟒𝟑
𝟐) ; 𝑴í𝒏𝒊𝒎𝒐: 𝑩 (𝟐,
𝟐
𝟑)
42. Determinar la concavidad y convexidad de la función
𝑦 = 3𝑥4 − 10𝑥3 − 12𝑥2 + 10𝑥 − 7
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝑪ó𝒏𝒄𝒂𝒗𝒐: (−∞, −𝟏
𝟑) ∪ (𝟐, ∞) 𝑪𝒐𝒏𝒗𝒆𝒙𝒐: (−
𝟏
𝟑, 𝟐)
43. Se quiere construir un recipiente cilíndrico metálico de base circular y de 64
centímetros cúbicos de volumen. Hallar las dimensiones que debe tener para que la cantidad de metal (área total) sea mínima, en el caso en que (a) el recipiente sea abierto y (b) sea cerrado.
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒂) 𝒓 = 𝒉 =𝟒
√𝝅𝟑
𝒃) 𝒓 = 𝟐 √𝟒
𝝅
𝟑
𝒄𝒎 𝒚 𝒉 = 𝟐𝒓 = 𝟒 √𝟒
𝝅
𝟑
𝒄𝒎
44. Hallar las dimensiones del rectángulo del área máxima que se puede inscribir
en la porción de parábola 𝑦2 = 8𝑥 limitada por la recta 𝑥 = 6.
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝑳𝒂𝒓𝒈𝒐: 𝟖 𝑨𝒏𝒄𝒉𝒐: 𝟒
45. Un objeto de 5 metros de altura se encuentra justamente debajo de un foco
de luz de la calle situado a 20 metros de altura. Suponiendo que el objeto se
mueve a una velocidad de 4 𝑚𝑠⁄ , calcular la variación de la longitud de la
sombra en la unidad de tiempo.
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂:𝟒
𝟑 𝒎 𝒔⁄
46. De un recipiente cónico de 3 metros de radio y 10 de profundidad sale agua
a razón de 4 metros cúbicos por minuto. Hallar la variación, con respecto al
tiempo, de la altura de la superficie libre y del radio de ésta cuando la
profundidad del agua es de 6 metros.
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂:𝒅𝒉
𝒅𝒕=
𝟏𝟎𝟎
𝟖𝟏𝝅 𝒎/ 𝐦𝐢𝐧
𝒅𝒓
𝒅𝒕=
𝟏𝟎
𝟐𝟕𝝅 𝒎/𝒎𝒊𝒏
47. Realiza la integral ∫𝑑𝑥
√𝑥2−1
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝐥𝐧 (𝒙 + √𝒙𝟐 − 𝟏) + 𝒄
48. Realiza la integral ∫𝑑𝑥
𝑥2+6𝑥+8
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏
𝟐𝐥𝐧 (
𝒙 + 𝟐
𝒙 + 𝟒) + 𝒄
49. Realiza la integral ∫𝑑𝑥
√𝑥(1−√𝑥)
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝐥𝐧 (𝟏
(𝟏 − √𝒙)𝟐) + 𝒄
50. Realiza la integral por el método de integración por partes: ∫ 𝑒2𝑥 cos(3𝑥) 𝑑𝑥
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏
𝟏𝟑𝒆𝟐𝒙(𝟑𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙) + 𝟐 𝐜𝐨𝐬(𝟑𝒙)) + 𝒄
AGRADECIMIENTOS
Agradecemos a todos nuestros:
Patrocinadores
Dependencias Gubernamentales
Delegados
Co-delegados
Entrenadores
Ex olímpicos
Sedes
Coordinadores Regionales
Coordinadores de sede
Directivos
Participantes Muchas gracias, sin ustedes, nada de esto hubiera sido posible.
COMITÉ ORGANIZADOR DEL CONCURSO DE MATEMÁTICAS CARL FRIEDRICH GAUSS
NOÉ JONHATAN GÓMEZ HERNÁNDEZ Presidente
ENRIQUE BARRERA HERRERA Coordinador Nacional
OLIVER CAMARENA LÓPEZ Director de Enlace y Vinculación
ERNESTINO ALEMÁN MEJÍA Delegado Estado de Guerrero
JORGE ALBERTO LAUREL GÓMEZ Co-Delegado Estado de Guerrero
GULLIT MARCO RODRÍGUEZ TIJERA Delegado Estado de Morelos
HÉCTOR LUNA PÉREZ Co-Delegado Estado de Morelos
MIGUEL DÍAZ VALADEZ Delegado Ciudad de México
JUAN ARTURO DE LA ROSA Co-Delegado Ciudad de México
MARIO ALBERTO AYALA GALINDO Delegado Estado de México
FERNANDO CHÁVEZ LEÓN Co-Delegado Estado de México
SERGIO BELLO VÁZQUEZ Delegado Estado de Tlaxcala.
ROGER RAMOS RAMOS Co-Delegado Estado de Tlaxcala
AMANDO HERNÁNDEZ HERNÁNDEZ Delegado Estado de Puebla
ROBERTO CARLOS CAMPO SILVA Co-Delegado Estado de Puebla