Radian

Unidad de medida para ángulos. Un radian se define como la medida de un ángulo central cuyos lados cortan un arco igual en longitud al radio en la circunferencia del círculo. Ya que la longitud de este arco es igual a un radio del círculo, se dice que la medida de este ángulo es un radian.

1 radian=( 180 °π )=57,296 °La ventaja de los radianes sobre los grado es solamente que ayudan a simplificar muchas fórmulas trigonométricas.

Sexagesimal

El grado sexagesimal, como unidad del sistema de medida de ángulos sexagesimal, está definido partiendo de que un ángulo recto tiene 90° (90 grados sexagesimales) y sus divisores: el minuto sexagesimal y el segundo sexagesimal, están definidos del siguiente modo.

1 ángulo recto = 90° (Grados sexagesimales)

1 grado sexagesimal = 60’ (Minutos sexagesimales)

1 minuto sexagesimal = 60” (segundos sexagesimales)

Razones Trigonométricas

Circunferencia trigonométrica

La circunferencia trigonométrica es una herramienta que nos permite representar las razones trigonométricas de cualquier ángulo.

Características

Su radio es igual a la unidad. Su centro es el origen de coordenadas Sus razones trigonométricas son independientes del radio vector.

Líneas trigonométricas

Se considera un ángulo α en el cual un lado es el semieje positivo de abscisas (x) y el otro es “libre” (Se mueve por los cuadrantes)

Los lados de este ángulo al cortar a la circunferencia forman dos arcos (MN Y MPN)

Para el análisis se mira solo el arco MN (Interior al ángulo α)

1) Línea Seno: Se representa por el segmento perpendicular trazado desde el extremo del arco, hasta el diámetro horizontal.

Senα=CatetoOpuestoHipotenusa

Que por la construcción, la hipotenusa vale 1.

Senα= yr= y

2) Línea Coseno: Se representa por el segmento perpendicular trazado desde el extremo del arco, hacia el diámetro vertical.

cos α=Cateto AdyacenteHipotenusa

Que por la construcción de la hipotenusa vale 1.

cos α= xr=x

3) Línea tangente: Es una parte de la tangente geométrica trazada por el origen de arcos A(1,0). Se empieza a medir de este origen y termina en la intersección de la tangente geométrica con el radio prolongado que pasa por el extremo del arco.

tanα= Cateto opuestoCateto adyacente

tanα= yx= y 'x '

= y '

Seno

Cosenoo

Y’= tangente

X’=1

4) Línea cotangente:

Cotga= 1tan a

Cotga= xy= x 'y '

=x ' ya que y’=1

5) Línea secante:

Seca= 1cosa

Seca= 1cosa

= 1

(xr)= rx= r 'x '

=r '

6) Línea Cosecante:

Cosec a= 1sen a

Cosec a= 1sen a

= 1

(yr)= ry= r 'y '

=r ' ya que

y’=1

Relaciones trigonométricas fundamentales

1) sen2α+cos2α=12) sec2α=1+ tan2α3) Cosec2α=1+cotg2α

Considere la siguiente figura en donde senα=ac

, cos α=bc

y tanα=ab

a) Deducción de sen2α+cos2α=1

a2+b2=c2 Por teorema de Pitágoras

a2

c2+ b

2

c2= c

2

c2 Dividiendo para c2

a2

c2+ b

2

c2=1 Simplificando

Sen2α+cos2α=1 Reemplazando

b) Deducción de sec2α=1+ tan2α

1+ tan2α = 1+ sen2α

cos2α Por definición de tangente

¿ cos2α+sen2αcos2α

¿1

cos2α Por propiedad sen2α+cos2α=1

¿ sec2α Por identidad Trigonométrica

c) Deducción de Cosec2α=1+cotg2α

1+cotg2α=¿ 1+1

tan2α Por identidad trigonométrica

¿1+ 1

sen2αcos2α

Por identidad trigonométrica

¿1+ cos2α

sen2α Por propiedad de racionales

¿ sen2α+cos2αsen2α

¿1

sen2α Por propiedad sen2α+cos2α=1

¿cosec2α Por identidad trigonométrica

Resolución de Triángulos rectángulos

Resolver un triángulo rectángulo es calcular los datos desconocidos, lados o ángulos, a partir de los conocidos.

Veamos los casos que se pueden presentar:

a) Conocidos un ángulo y la hipotenusa

Para hallar los catetos de un triángulo rectángulo del que se conocen las medidas de la hipotenusa y de un ángulo agudo, pensaremos en el triángulo.

Que multiplicamos por la hipotenusa

b) Conocidos un ángulo y un cateto

Para hallar los lados de un triángulo rectángulo del que se conocen las medidas de un cateto y de un ángulo no recto, pensaremos en el triángulo.

Que multiplicamos por el cateto adyacente

c) Conocidos los dos lados

Para hallar el otro lado del triángulo de aplicará el teorema de Pitágoras, el ángulo se determinará como el arco cuya se determinará como el arco cuya tangente es Cateto opuestoCateto adyacente

o bien como el arco cuyo seno es Cateto opuestoHipotenusa

.

Dependiendo de los datos iniciales.Para calcular el otro ángulo basta restar de 90°.

Razones de cualquier ángulo

Recuerda que (cos α ,Senα ) eran las coordenadas del punto final del ángulo α en la circunferencia de radio unidad. Esto que vimos para los ángulos agudos podemos hacerlo extensible a ángulos cualesquiera.

El seno:El seno de un ángulo es la coordenada vertical del punto final del recorrido del ángulo sobre la circunferencia goniométrica.Observa que su valor está comprendido entre -1 y 1

El Coseno:De la misma manera que el seno de un ángulo es la ordenada, el coseno es la abscisa del punto final del recorrido que marca el ángulo en la circunferencia.Su valor también está comprendido entre -1 y 1

La tangente:

Con la relación fundamental Tgα=sen αcosa

se amplía la definición de tangente en

ángulos agudos a un ángulo cualquiera.La tangente se representa en la recta tangente a la circunferencia goniométrica en el punto (1,0).Para los ángulos de 90° y 270°, el coseno es 0 por lo que no está definida la tangente; cuanto más se acerca un a 90° o a 270°, más grande se hace en valor absoluto la tangente, diremos que es infinito.