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Ctedra de Mecnica del Continuo FI-UNER

Cursado: Primer cuatrimestre de 2009

Material de Estudio

Tema I: Conceptos fundamentales y esttica de fluidos

Postulado del Continuo y la Mecnica del Continuo como disciplina Sabemos que la materia tiene una estructura particulada, puesto que en muchos casos forma compuestos en los que estn presentes diferentes fases. An cuando se tratara de un material de una nica fase, existe una estructura molecular, atmica o subatmica subyacente. Por ello, la materia no es continua sino discreta. Sin embargo, desde un punto de vista prctico y para muchas aplicaciones, la materia puede ser vista y tratada como un continuo. Es decir, en determinadas condiciones se puede ignorar su naturaleza discreta o discontinua.

Esto es lo que se denomina Teora o Hiptesis del Continuo. En ella, una partcula material se reduce a un punto matemtico que ocupa un volumen infinitesimalmente pequeo, y toda vecindad de una partcula posee tambin partculas. As, la materia continua puede ser dividida en forma indefinida, o en otras palabras, la materia llena todo el espacio de forma distribuida.

En qu condiciones es aplicable la Hiptesis del Continuo? Eso depende de la aplicacin o problema particular bajo estudio. En trminos generales, se puede decir que la materia puede asumirse continua si la menor escala de longitud del problema fsico que interesa estudiar abarca muchas partculas o en forma equivalente, es mucho mayor que el camino libre medio (CLM). Se define como CLM a la distancia promedio que se desplazan las molculas entre colisiones, es decir antes de chocar con otra molcula. Si por el contrario, el fenmeno de inters de desarrolla en una escala cada vez ms pequea, llegar un punto en que la naturaleza discreta de la materia surgir.

Dentro de la hiptesis del continuo, se pueden considerar elementos o diferenciales de volumen infinitamente pequeos en un sentido fsico: es decir son tan pequeos comparados con el tamao del cuerpo que se pueden considerar como puntos, pero son mucho ms grandes que las distancias entre molculas. Cada uno de estos puntos del continuo, se considera ocupado por una partcula material en un instante de tiempo dado, pero estas partculas no son tomos ni molculas. De esta forma, el concepto de partcula material en el continuo aparece definido en forma intrnseca por su relacin con los puntos en el medio continuo:

Los puntos del espacio y las partculas materiales estn relacionados a travs de un mapeo o funcin uno a uno e invertible, tal que para un instante de tiempo dado, cada punto del medio continuo est ocupado por una y solamente una partcula y viceversa. Para remarcar, cuando hablamos de desplazamiento o velocidad de una partcula material no nos referimos al desplazamiento de una molcula, sino al de un volumen infinitesimal que contiene muchas de ellas, pero que puede considerarse como un punto del medio continuo.

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De esta forma, el enfoque de la materia como medio continuo permite definir propiedades y cantidades como la densidad, viscosidad y temperatura como variables de campo, es decir, definidas en todo punto del espacio e instante de tiempo.

La mecnica del continuo es la disciplina o rea de la Fsica, ms especficamente de la Fsica Mecnica, que estudia el comportamiento y respuesta de los materiales tratados como medios continuos- ante diferentes condiciones de carga o fuerzas aplicadas. Ms especficamente, se estudia como los cuerpos se mueven y deforman.

La mecnica del continuo comprende tres partes bsicas:

Los principios fsicos fundamentales que rigen para todos los medios continuos. Los mismos constituyen axiomas, esto es, no se demuestran y se toman como vlidos a partir de la observacin del mundo fsico. Como ejemplo pueden citarse los principios de conservacin de la masa, del momento lineal y angular, de la energa, y la desigualdad entrpica.

Ecuaciones de estado que relacionan las variables termodinmicas, tpicamente la presin, la densidad y la temperatura.

Los modelos constitutivos o reolgicos que describen el comportamiento de los materiales ante la aplicacin de fuerzas. Pueden citarse los modelos de materiales elsticos lineales, y de los denominados fluidos Newtonianos, entre muchos otros.

Definicin de fluido y slido El ltimo tem de la seccin previa est relacionado con la clasificacin de materiales en slidos y fluidos La observacin diaria nos indica que los fluidos se adaptan a la forma del recipiente, mientras que los slidos mantienen la suya propia. Tanto los lquidos como los gases son fluidos. Si bien intuitivamente sabemos cul es la diferencia entre fluidos y slidos, resulta interesante intentar expresarlo en palabras. En un slido prototipo, la aplicacin de un esfuerzo1 cortante finito y constante produce una deformacin esttica finita. En un fluido prototipo la accin de un esfuerzo de corte finito y constante produce una deformacin que se incrementa de forma continua y a una tasa constante. En los slidos elsticos, la deformacin desaparece si el esfuerzo cortante se elimina, mientras que en un fluido Newtoniano el material detiene su deformacin.

Debe tenerse presente que existen muchos materiales cuyo comportamiento reolgico es dual, es decir, se comportan tanto como fluidos y como slidos. Algunos ejemplos lo constituyen la jalea, la pintura, la brea, y tambin muchos materiales y tejidos biolgicos.

Respecto de los lquidos y gases, su principal diferencia radica en la intensidad de las fuerzas y las distancias intermoleculares, y la movilidad de las partculas. De esta manera, la consecuencia ms notoria -desde un punto de vista macroscpico- es que los lquidos en general ofrecen una gran resistencia a cambios de volumen, mientras que los gases se comprimen o expanden con relativa facilidad.

1 Los trminos esfuerzo y tensin, en general, indican fuerza por unidad de rea.

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Cantidades fsicas empleadas usualmente en la descripcin y caracterizacin de los medios continuos Como dijimos previamente, el enfoque continuo nos permite describir propiedades, cantidades y variables fsicas como funciones continuas de la posicin y el tiempo. A continuacin enunciamos y describimos brevemente algunas de ellas.

Densidad ( [kg m3]): es la masa por unidad de volumen. Como se mencion, mientras que la densidad de los gases es sumamente variable con la presin y la temperatura, la densidad de los lquidos es relativamente insensible ante cambios de estas variables. En general, la densidad de los gases es unos tres rdenes de magnitud inferior a la de los lquidos (la del agua y del aire a 20oC y 1 atm son ~1000 kg/m3 y ~1.2 kg/m3, respectivamente), aunque existen casos extremos como el del mercurio y el hidrgeno, cuya relacin de densidades a 20oC y 1 atm es de ~162000! Para el caso de los lquidos, la densidad es una propiedad que tiene un rango bastante acotado de variacin y normalmente se encuentra entre los 900 y los 1200 kg/m3. Adems, tanto el coeficiente de expansin ( ( )Tp= //1 ) como el de compresibilidad ( ( )pT= //1 ) son muy pequeos para los lquidos; por ello, normalmente no hace falta considerar el efecto de la temperatura y presin sobre la densidad. En el caso de los gases, por el contrario, la temperatura y presin son claves para la determinacin de la densidad y el estado del gas.

Presin (p [Pa = N m2 = kg s2 m1]): es otra variable de estado, que representa el estado de tensin normal (compresin) en un punto, que existe ms all de las tensiones normales originadas por el movimiento del fluido. Por lo tanto, en un fluido en reposo (sin movimientos) la presin representa de forma completa el estado de tensin. Junto a la velocidad, constituye una de las variables principales en el anlisis de problemas de flujo de fluidos.

Temperatura (T [oC, oK]): otra de las variables de estado ms importantes, constituye una medida del nivel de energa interna de un material, de tal forma que si dos masas de material a la misma temperatura y en equilibrio cada una son puestas en contacto trmico, deben permanecer en equilibrio. Si bien en el uso diario es frecuente la escala Celsius (o Fahrenheit), desde el punto de vista fsico tiene ms sentido el empleo de las escalas absolutas, como la Kelvin (o la Rankine).

Velocidad (v [m s1]): es la cantidad dinmica ms importante en mecnica de fluidos, midiendo la tasa temporal de cambio de la posicin espacial del material.

Desplazamiento (u [m]): es la variable equivalente a la velocidad, en mecnica de slidos, midiendo justamente el desplazamiento de los puntos de un material luego de producida una cierta deformacin.

Viscosidad ( [Pa s = kg s1 m1]): En trminos simples, la viscosidad es un coeficiente que mide la resistencia a la deformacin en los fluidos. Como se mencion, un fluido es un material que se deforma de manera continua ante la aplicacin de un esfuerzo cortante (). As, dos puntos inicialmente adyacentes comenzarn a separarse (ver Fig. 1). Se denomina como tasa o velocidad de deformacin () al cociente entre la velocidad de cambio de la distancia de separacin de los puntos y la distancia misma. Posee unidades de [m s1 m1 = s1]. En los denominados fluidos Newtonianos, existe una relacin lineal entre la tensin aplicada y la velocidad de deformacin que genera. La constante de proporcionalidad entre ambos es el coeficiente de viscosidad, o simplemente viscosidad, = . La viscosidad de los lquidos vara en un rango que va del orden de 103 Pa s a 100 Pa s y disminuye fuertemente con la temperatura, mientras

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que en los gases las viscosidades van desde unos 8106 Pa s a unos 8105 Pa s, incrementndose a medida que aumenta la temperatura. En los fluidos no-Newtonianos, existen relaciones ms complejas entre y . Tambin es frecuente la utilizacin de la llamada viscocidad cinemtica, que se define como =/ = [m2/s]. Otras unidades frecuentes para medir la viscosidad en el sistema cgs son el poise =1 gr/(cm s). De esta forma, podemos ver que 10-3 Pa s = 10-2 poise = 1 centipoise, siendo estos los valores aproximados de viscosidad para el agua a temperatura y presin ambientes En el caso de la viscocidad cinemtica tambin en el sistema cgs- corresponde el Stokes: 1 St = 100 centiSt = 1 cm/s = 0.0001 m/s.

l l l

ldtdl /=

Figura 1.

Mdulo de elasticidad (E [Pa]): En los slidos elsticos, como el acero, se observa que la aplicacin de una tensin normal (traccin o compresin) produce una deformacin, medida como el cambio en la separacin entre dos puntos, dividido su distancia inicial. La relacin entre la tensin aplicada y la deformacin producida es lo que se denomina mdulo de elasticidad o de Young.

l l + l

E

ll

=

=

Figura 2.

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Tensin Superficial ( [N/m]): Esta es una propiedad que solo tiene sentido cuando se trabaja con flujos donde existen interfases fluido-fluido (lquido-lquido o lquido-gas), como usualmente ocurre en los denominados flujos multifsicos. Imaginemos por simplicidad una gota de agua pequea que cae solo por accin de la gravedad en aire. Si la gota es lo suficientemente pequea, la misma adoptar una forma perfectamente esfrica, gracias al efecto de la tensin superficial actuando en la interfase lquido-agua. Esto ocurre porque al ser la gota pequea, el efecto de su peso es despreciable frente al efecto de la fuerza originada por la tensin superficial. Dicha tensin es un fenmeno asociado con el hecho que las molculas de agua que yacen en la interfase tienen un estado energtico diferente de aquellas que se encuentran dentro de la gota; una molcula en el interior del lquido est rodeada en todas direcciones por otras molculas e interacciona con ellas, mientras que en la interfase no tiene molculas de agua lquida en su parte superior y por ello su configuracin energtica es diferente. Esto provoca que la interfase slo pueda existir bajo un estado de tensin, que equivale a la fuerza por unidad de longitud que se requiere para mantener el estado energtico ms elevado de las molculas en la interfase. Como todo proceso sin aporte de energa externa evoluciona de manera que el estado final sea uno de menor energa que el inicial, al crearse la gota la misma evoluciona hacia una forma esfrica, que es la configuracin que minimiza el rea (y por lo tanto la energa superficial) para un volumen de lquido dado.

La tensin superficial se puede representar como un vector que acta en direccin tangente a la interfase. Por ello, si se corta a la gota a la mitad y se dibuja el diagrama de cuerpo libre en equilibrio, el mismo lucira como en la Fig. 3. En este sistema en equilibrio esttico la sumatoria de fuerzas participantes, originadas por la presin interna pi uniforme en la gota, presin externa o ambiente p0 y por la tensin interfacial, debe ser nula. Es fcil ver que dada la simetra de la gota las fuerzas en sentido horizontal se cancelan mutuamente y solo es importante el balance en sentido vertical. De esta forma, se puede escribir

00

02

002

0

202

rpp

rrprpF

i

iz

+===

(1-1)

Es decir que la presin interna en la gota es mayor que la presin ambiente. En otras palabras, en la interfase existe un salto de presin dado por dos veces la tensin interfacial sobre el radio de la gota.

Si en lugar de una gota trabajsemos con una burbuja, existen dos interfases, la interior y exterior, separadas por una delgada pelcula de lquido de espesor h. Despreciando el espesor de la interfase con respecto al radio, un anlisis similar al anterior nos permite calcular la presin interna como

0

04r

ppi+= (1-2)

Para una superficie de forma arbitraria, se puede mostrar que el salto o discontinuidad de presin en la interfase es

+==

210

11rr

ppp i (1-3)

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Donde r1 y r2 representan los radios de curvatura principales de la superficie. En el caso de la gota esfrica, r1 = r2 = r0 y se recupera la ec. (1-1). La ec. (1-3) se conoce como ecuacin de Young-Laplace.

Figura 3.

Tipos de flujos De toda la gama de flujos posibles, existen muchos que se pueden agrupar o clasificar de acuerdo a diferentes criterios. Algunas de las formas ms comunes de clasificarlos se describen a continuacin.

Estacionario transiente Esta clasificacin es prcticamente obvia, y est relacionada a las variaciones en el tiempo que puedan haber o no en las variables de flujo (velocidad y presin). Se dice que un flujo es estacionario si estas variables son localmente independientes del tiempo. Con localmente nos referimos a que la independencia temporal se verifica en cada punto del dominio o espacio de flujo. Si por el contrario, existen variaciones temporales de las variables, el flujo se denomina transiente o no-estacionario.

Laminar turbulento Muchas veces habremos visto que al abrir una canilla, si el caudal de agua que sale es pequeo, se observa que cae formando un chorro con una superficie perfectamente suave, visualmente semejante a un tubo de vidrio. Por el contrario, si el caudal que sale es mayor, suele observarse que el agua cae a borbotones, con un chorro cuya superficie es muy irregular. Estas dos situaciones corresponden a dos regmenes de flujo denominados flujo laminar y flujo turbulento, respectivamente. En el primero de ellos, que se da slo a bajas velocidades relativas, el fluido se desplaza por capas que deslizan una respecto de la otra de manera suave, en lminas que no se mezclan una con otra. Sin embargo, esta es una situacin que no es estable, y la prdida de estabilidad surge cuando los efectos inerciales (proporcionales al cuadrado de la velocidad) adquieren

pi

p0

r0

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importancia relativa, de tal forma que el fluido comienza a moverse de manera catica y desordenada, fenmenos cuya intensidad se incrementa a medida que el flujo posee mayor velocidad. As, el campo de flujo, que posee una descripcin continua en rgimen laminar, pasa a ser fluctuante, con movimientos al azar del fluido, superpuestos con un desplazamiento promedio. Aqu, las lminas de fluido se mezclan.

Si bien el flujo turbulento es tambin no-estacionario por naturaleza, en diversos anlisis suele adoptarse la hiptesis de flujo turbulento estacionario. Esto significa que se asume que el movimiento promedio del fluido es estacionario, ignorndose las fluctuaciones espacio-temporales de las variables.

Compresible incompresible Esta distincin hace referencia a la densidad de un fluido. Si las variaciones de la misma son despreciables, se dice que el flujo es incompresible, mientras que si existen variaciones apreciables de la densidad se dice que el flujo es compresible. En la mayor parte de los casos, el flujo de lquidos puede tratarse como incompresible, excepto en situaciones particulares como en el golpe de ariete y en problemas donde existe cavitacin. De modo ms general, cualquier problema de mecnica de fluidos donde se produzcan las llamadas ondas de choque se tratar de un flujo compresible. En el caso de los gases, si no existe transferencia de calor y las velocidades de movimiento del fluido son pequeas respecto a la del sonido en el mismo medio, puede considerarse que el flujo es incompresible. La velocidad del sonido en gases es cercana a 300 m/s, mientras que en el agua es de 1400 m/s. Una distincin importante que se debe realizar, es que la caracterstica de compresible o incompresible corresponde al flujo y no al fluido, ya que un flujo de aire a baja velocidad se puede considerar como incompresible mientras que a muy alta velocidad no.

Flujo uni-dimensional (1D) bi (2D) o tridimensionales (3D) Se dice que un flujo es uni-dimensional si el vector la velocidad es funcin solo de una coordenada espacial. Si esto no ocurre, el flujo ser bi o tridimensional dependiendo del caso. En este curso se tratarn casi con exclusividad este tipo de flujos, dado que para ellos el campo de velocidad se puede determinar con mayor facilidad mediante mtodos analticos.

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Volumen material. Principio de conservacin de la masa

Figura 4.

Hemos dicho que en un medio continuo todo el espacio est lleno de materia. En este medio continuo pueden identificarse puntos o partculas materiales, las que se mueven con una velocidad v, que debe interpretarse como la velocidad promedio de un volumen (pequeo) del material real. Sin embargo, desde el punto de vista de la mecnica del continuo, las partculas materiales son estrictamente puntos.

En la formulacin matemtica de los principios fsicos fundamentales, se vuelve necesario considerar partes discretas del universo. Usualmente estas partes discretas reciben el nombre de sistemas. Estas partes discretas del universo ocupan una regin del espacio y por lo tanto un volumen, que puede o no contener materia. Los sistemas se pueden definir de diferentes formas y un caso particular lo constituye el cuerpo, el cual se definir a continuacin.

Un cuerpo o volumen material es un conjunto de partculas materiales adyacentes entre s, las cuales ocupan una regin del espacio (volumen) en un instante de tiempo t. A medida que las partculas de este volumen material se desplazan a velocidad v, el cuerpo se deforma y pasa a ocupar otra regin del espacio luego de un intervalo de tiempo t. A pesar de ello, un volumen material siempre posee el mismo conjunto de partculas, y como consecuencia, la masa que engloba un volumen material es constante. Un elemento diferencial de este medio continuo, tomado de alguna regin de nuestro volumen material, posee una masa dV. Por lo tanto, la masa total de un volumen material est dada por:

= )( )(tVm dVtm (1-4)

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donde debe notarse que la integral se computa sobre todo el volumen material, el cual constituye un dominio deformable en el tiempo. Puesto que la masa de este volumen material permanece constante, puede escribirse

0)(

0

)(=

=

tVm dVtdtddtdm

(1-5)

el cual constituye el denominado Principio de Conservacin de la Masa.

Fuerzas de volumen y de superficie Fuerza es un concepto primitivo (no se define) y posee un carcter vectorial. Existen dos tipos de fuerza que actan sobre la materia, las Fuerzas de Cuerpo o Volumen y las Fuerzas de Contacto o Superficie. Para analizar ambos tipos imaginemos un cuerpo o volumen material arbitrario. Asociado al mismo se encuentra el mundo exterior, denominado como el medio ambiente, los alrededores o la vecindad.

Figura 5.

Las fuerzas de cuerpo actan a distancia y sobre todos los elementos de volumen del material, sin necesidad de tener un contacto directo con la fuente, que se encuentra fuera del cuerpo. El ejemplo ms claro es la gravedad, pero tambin estn las fuerzas electromagnticas y las fuerzas ficticias que aparecen cuando el sistema coordenado de referencia posee aceleracin. Tpicamente, las fuerzas de cuerpo se describen mediante un campo vectorial f que representa la fuerza por masa unitaria en un punto dado. Luego f es la fuerza de cuerpo por volumen unitario en el mismo punto y f dV es la fuerza de cuerpo que soporta un elemento material diferencial. La fuerza de volumen total que se ejerce sobre nuestro volumen material se calcula entonces como la siguiente integral

= )(tVV m dVfF (1-6)

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Figura 6.

El segundo grupo de fuerzas acta en la superficie que limita o envuelve al cuerpo arbitrario adoptado. Se ejerce por el contacto superficial entre el cuerpo y su vecindad asociada. Una superficie tiene una orientacin en el espacio y por lo tanto se requiere de una magnitud vectorial para describirla. Sea n un vector unitario normal a la superficie de inters, dirigido desde el cuerpo hacia el medio ambiente. Por convencin y definicin t(n) es el vector tensin o simplemente tensin (fuerza por rea unitaria) que el medio ambiente ejerce sobre el cuerpo en el elemento de superficie que los separa. Ntese que en la representacin del vector tensin se establece en forma explcita la dependencia del mismo con el normal n a la superficie, ya que si cambia la orientacin tambin cambiar, en general, el valor de la tensin. Por otro lado, cuando se calculan las fuerzas que una fase realiza sobre otra a travs de una superficie de separacin (interfases), es conveniente tener una forma fcil de identificar a cada una de las fases. Por convencin establecemos que t(n) representa la fuerza por unidad de rea (tensin) que ejerce la fase hacia la cual apunta n (medio ambiente) sobre la fase desde la cual n est dirigido hacia fuera (cuerpo). De esta forma, la fuerza de contacto total que los alrededores ejercen sobre el cuerpo est dada por

= )( )(tAS m dAntF (1-7)

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Principio de conservacin del momento lineal

Figura 7.

En el contexto de la mecnica de cuerpos puntuales, la cantidad de movimiento o momento lineal est dada por el producto de la masa por la velocidad del cuerpo. En nuestro contexto de medios continuos, donde la masa est distribuida de manera continua en el material, resulta ms apropiado hablar de la cantidad de movimiento que posee cada elemento diferencial de materia, cuya masa es dV. Por lo tanto, el momento lineal de nuestro elemento de material est dado por v dV, y la cantidad de movimiento total de un volumen material dado es la siguiente

= )()( tVm dVt vp (1-8) Volviendo nuevamente a la mecnica de cuerpos puntuales, recordaremos la segunda ley de Newton que establece que la sumatoria de las fuerzas que actan sobre un cuerpo produce en l una aceleracin tal que, multiplicada por su masa, es igual a la suma de las fuerzas actuantes. Puesto que la masa de este cuerpo puntual es constante, el producto de la misma por la aceleracin representa la tasa de cambio temporal de su cantidad de movimiento lineal. En el campo de la mecnica del continuo, esta ley de Newton tiene un equivalente, el denominado Principio de Conservacin del Momento Lineal, y que en ecuaciones se escribe como

+=+=

)( )()()( tAtVtV

SV

mmmdAdVdV

dtd

dtd

ntgv

FFp

(1-9)

el cual expresa que la tasa temporal de cambio del momento lineal de un volumen material es igual a la suma de las fuerzas de contacto y de volumen que actan sobre el mismo.

Esttica de fluidos La palabra esttica nos sugiere la nocin de algo que est quieto. Esttica de fluidos refiere justamente al campo de estudio de los fluidos en reposo, en particular de las fuerzas actuantes. Puesto que el fluido se encuentra en reposo, su velocidad y cantidad

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de movimiento son ambas nulas. Por otra parte, si la nica fuerza de cuerpo a considerar es la gravedad, se tiene que f = g, siendo g el vector de aceleracin gravitatoria. En condiciones hidrostticas, la nica contribucin al vector tensin (t(n)) la provee la presin del fluido (ver demostracin en el Apndice A):

t(n) = p n (1-10) Por lo tanto, partiendo de la expresin del principio de conservacin del momento lineal (ec. (1-9)), se llega a que

=mm AV

dApdV ng0 (1-11) ecuacin que dice bsicamente que la suma de las fuerzas actuantes es cero, como resulta lgico en cualquier situacin fsicamente esttica.

Ecuacin general de la hidrosttica La ec. integral (1-11) puede manipularse algebraicamente para obtener una expresin diferencial. Para ello, utilizamos un resultado del clculo vectorial, derivado del Teorema de la Divergencia:

= VA dVdA unu (1-12) siendo u un capo vectorial genrico y n la normal externa unitaria. A partir de esta expresin, es muy sencillo (ver demostracin en el Apndice B) demostrar que

= VA udVdAun (1-13) siendo ahora u una cantidad escalar genrica. Por lo tanto, la ec. (1-11) puede reescribirse como

( ) =mV

dVpg0 (1-14) Puesto que el volumen material es tan arbitrario como uno desee, el integrando debe ser necesariamente cero:

g = p (1-15) Esta expresin se denomina Ecuacin General de la Hidrosttica.

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Apndice A: Demostracin de que t(n) = p n en un fluido en reposo Un fluido es un material que se deforma de manera continua ante la accin de un esfuerzo cortante. Por lo tanto, si un fluido est en reposo los nicos esfuerzos actuantes son normales y el vector tensin (t(n)) debe ser un vector dirigido en la direccin de n. Imaginemos un volumen material como el que ilustra la Fig. 8, de dimensiones pequeas y en estado de reposo. Las tensiones que actan en cada una de las caras son normales a las mismas, y se les asigna un smbolo distinto a cada una, bajo la suposicin de que en principio poseen magnitudes distintas. En lo que sigue, intentaremos demostrar que en realidad son iguales.

Aplicamos ahora el Principio del Momento Lineal para un volumen material en reposo (ec. (1-9))

( ) ( ) ( ) =nzyxm A

nA zA yA xVdApdApdApdApdV nkjig0 (A-1)

donde notamos que la integral sobre la superficie material se ha calcula por zonas, y en cada una de ellas se ha reemplazado el vector normal a la misma por los versores apropiados.

Sea ip el valor medio de pi en su superficie correspondiente. Luego, puesto que g es constante y aplicando el teorema del valor medio a cada una de las integrales de superficie, puede escribirse

nkjig nnzzyyxxm ApApApApV +++= 0 (A-2) Si proyectamos la ecuacin anterior en las direcciones x, y y z (multiplicando por los versores i, j y k) obtenemos tres expresiones independientes:

( ) ( )inig += nnxxm ApApV0 (A-3) ( ) ( )jnjg += nnyym ApApV0 (A-4) ( ) ( )knkg += nnzzm ApApV0 (A-5) De un sencillo anlisis geomtrico de la Fig. 8 se desprende que Ax/An = ni, Ay/An = nj y Az/An = nk, y por lo tanto las expresiones anteriores pueden reescribirse como ( ) [ ] ( )inig += nnxm AppV0 (A-6) ( ) [ ] ( )jnjg += nnym AppV0 (A-7) ( ) [ ] ( )knkg += nnzm AppV0 (A-8)

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h Ax

Ay

Az

x

y

z

n

i

j

k

px

py

pz

An pn

Vm

Figura 8.

Adems, una simple observacin de la Fig. 8 nos indica que Vm es proporcional a An h, por lo cual podemos escribir Vm = c h An y dividir todo por An. Pasando al lmite cuando el volumen material se reduce a cero, y por lo tanto Vm 0 (h 0), se obtiene ( ) [ ]( ){ } ( )( )ininig =+= nxnxh ppppch0lim0 (A-9) ( ) [ ]( ){ } ( )( )jnjnjg =+= nynyh ppppch0lim0 (A-10) ( ) [ ]( ){ } ( )( )knknkg =+= nznzh ppppch0lim0 (A-11) Puesto que ni, nj, y nk, son en general distintos de cero, se sigue que px = pn (A-12) py = pn (A-13) pz = pn (A-14) y por lo tanto

px = py = pz = pn = p (A-15) con lo cual demostramos que en un fluido en reposo no slo .las tensiones son normales, sino que adems tienen un carcter isotrpico, esto es, su magnitud es independiente de la orientacin, y es denominada presin.

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Apndice B: El Teorema de la Divergencia para un campo escalar Hemos visto que el Teorema de la Divergencia relaciona la integral de volumen de la divergencia de un campo vectorial u con la integral del flujo de dicho campo a travs de la frontera del volumen:

= VA dVdA unu (B-1) siendo u un campo vectorial genrico y n la normal externa unitaria. Supongamos el caso particular en que u = ui, siendo u un campo escalar. Es decir, el campo vectorial u tiene componente nicamente en la direccin x. La aplicacin del Teorema de la Divergencia a este caso conduce a

( ) ( )

( )

==

VA x

VA

dVxudAun

dVudAu

/

ini (B-2)

siendo nx la componente x del vector normal. Supongamos ahora que u = uj. En este caso obtenemos

( ) = VA y dVyudAun / (B-3) donde ny es la componente y de n. Finalmente, construyamos un campo vectorial u tal que u = uk, para el cual se obtiene que

( ) = VA z dVzudAun / (B-4) Por ltimo, de las ecs. (B-2), (B-3) y (B-4) se sigue inmediatamente que

= VA udVdAun (B-5)