JHON JAIRO ESTRADA T. 1

GUÍA CONCEPTUAL

GRADO ONCE

LO MÁS IMPORTANTE….

ANTIDERIVADAS E INTEGRAL INDEFINIDA

ANTIDERIVADAS

Dada una función )( xf , decimos que la función )( xF es una primitiva de )( xf si cumple que

).()(´ xfxF

Al conjunto de todas las primitivas de una función f se le llama integral indefinida de F . Entonces:

CxFxdxf )()( C es llamada la constante de integración.

Propiedades de las primitivas:

xdxgxdxfxdxgxf )()())()((

dxxfkxdxfk )()(

.cxxd

La integral de la función potencia 1,)( nconxxf n

.1

)(1

cn

xxdxxdxf

nn

Métodos de integración

Integración por sustitución: consiste en introducir una variable u que sustituye a una expresión apropiada en

función de x . Si F es una antiderivada de f y g es una función derivable, entonces,

.))(()(´))(( cxgFxdxgxgf

Integración por partes: .)(´)()()()(´)( xdxuxvxvxuxdxvxu

JHON JAIRO ESTRADA T. 2

INTEGRAL DEFINIDA

Dada una función continua no negativa f integrable, el área de la porción de plano limitada por la gráfica de

la función f , el eje x y las rectas ax y bx , se denomina integral definida entre a y b de

),( xf y se designa: b

a

xdxf .)(

Propiedades de la integral definida:

a

b

xdxf 0)(

b

a

xdxfxfybax 0)(0)(,

b

a

xdxfxfybax 0)(0)(,

b

a

c

b

c

a

xdxfxdxfxdxf )()()(

b

a

b

a

b

a

xdxgxdxfxdxgxf )()()()(

b

a

b

a

xdxfkxdxfk )()(

Relación entre integración y derivación

Primer teorema fundamental del cálculo integral: Si f es continua en ba , , entonces la función

F definida por

x

a

tdtfxF )()( para todo bax , es continua en ba , y diferencial

en ba , y ).()(´ xfxF

Segundo teorema fundamental del cálculo integral. Regla de Barrow: Si f es una función continua en

ba , y )( xF la función integral de )( xf , entonces

)()(])()( aFbFxFxdxf

b

a

b

a

JHON JAIRO ESTRADA T. 3

Cálculo de áreas por integración

f es continua en ba , , ;,)( axxf la región limitada por

,)( xf ;0,, ybxax tiene

b

a

xdxfA .)(

Cuando la función continua es negativa en un intervalo, se toma el valor absoluto.

Área entre dos curvas:

b

a

b

a

b

axdxgdxxfxdxgxfA )()()()( con

).()( xgxf

La integración numérica proporciona una aproximación del valor del área.

Sea )( xfy una función continua en ,, ba dividimos el intervalo ba , en n subintervalos

iguales de amplitud ,h con: bxxxxa n ...210

La regla de los trapecios para aproximar el área de la región limitada por

0,, yybxaxf viene dada

por:

b

a

nn

xfxfxfxf

xfhxdxf

2

)()(...)()(

2

)()( 121

0

SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

Si una región del plano gira alrededor de una recta del mismo plano, se obtiene un sólido llamado

sólido de revolución, y se dice que el sólido ha sido generado por la región. La recta alrededor de la

cual gira la región, se llama eje de revolución.

VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN

El volumen de un sólido de revolución generado por la región plana R al girar alrededor del eje x ,

acotado por

la función )( xfy , esxejeelybxax ,,

xdxfVb

a

2)(

LONGITUD DE UN ARCO DE CURVA

Sea f una función definida en un intervalo cerrado ba , . La longitud de arco de la curva

)( xfy entre bxyax es la distancia que recorre una partícula que se mueve a

lo largo de la gráfica de )( xfy entre bxyax .

Así, Longitud de arco xdxfABb

a 2)(´1