11 press conceptos basicos matematicas basicas

UNIDAD 1

CONCEPTOS BÁSICOS

“Números naturales, Números enteros, Números racionales, números irracionales y números reales”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

1.1 Números Naturales (N)1.1.1 Consecutividad numérica

1.1.2 Paridad e imparidad

1.1.3 Múltiplos y divisores

1.1.4 Números primos1.1.5 Mínimo Común Múltiplo

1.2 Números Enteros

1.2.2 Operaciones con números enteros

1.2.3 Potenciación

1.2.4 Prioridad de las operaciones

1.3.1 Amplificación y simplificación de fracciones

1.3.3 Suma y resta

1.4 Números irracionales (Q*)

1.5 Números reales (R)

1.3 Números racionales (Q)

1.1.6 Máximo Común Divisor

1.3.4 Multiplicación y división

1.2.1 Valor absoluto

Para empezar …sabías que…

Los números naturales tienen suorigen en una necesidad tanantigua como lo son las primerascivilizaciones:

la necesidad de contar.

El hombre primitivo identificaba objetos con características iguales ypodía distinguir entre uno y otro; pero no le era posible captar lacantidad a simple vista.

Por ello empezó a representar las cantidadesmediante marcas de huesos, trozos demadera o piedra; cada marca representabaun objeto observado. Así concibió la idea delnúmero.

Y así comenzamos nuestro estudio

del útil y maravilloso mundo de

los números y las matemáticas:

Son un conjunto de números de la forma:

= {1, 2, 3, 4, 5,…}

1.1 Los Números Naturales ( )

Dicho de otra forma, cualquier número mayor que cero y

sin decimales, es un número natural. Como por ejemplo:

A continuación aprenderemos algunas

propiedades de los números naturales:

1.1.1 Consecutividad numérica

Todo número natural tiene un sucesor, y se

obtiene sumando 1 al número, es decir:

Sucesor:

Si n pertenece a , su sucesor será n + 1.

Por ejemplo:

Número natural

n

Sucesor (natural)

n+1

35 36

1238 1239

237485 237486

1000000000 1000000001

999999 1000000

Es decir, si n es un número

natural.

n - 1 n + 1n

Naturales Consecutivos

Antecesor:

antecesor sucesor

0

Si n pertenece a , su antecesor será n – 1.

Todo número natural (exceptuando el 1),

tiene un antecesor, y se obtiene al

restar 1 al número, es decir:

Número natural

n

Sucesor (natural)

n-1

35 34

1238 1237

237485 237484

1000000000 999999999

999999 999998

Por ejemplo:

En resumen, podemos visualizar los números naturales como

todos los números sin decimales a la derecha del cero en la

recta numérica:

1.1.2 Paridad e imparidad de los números naturales

Los Números Pares {2, 4, 6, 8, 10……, 2n}

Son de la forma 2n, siendo n cualquier número natural.

Sucesor par: Se obtiene sumando 2 al número.

Si el número es 2n, entonces su

sucesor es 2n+2.

Antecesor par: Se obtiene restando 2 al número.

Si el número es 2n, entonces su

antecesor es 2n-2.

2n - 2 2n + 22n

Antecesor par Sucesor par

Este tema en realidad es muy fácil de

comprender. Sin embargo, el hecho de

incluirlo como tema de estudio en esta unidad

es para mostrarte lo fácil que pueden ser las

matemáticas si comienzas por el principio.

Este tema en realidad es muy fácil de

comprender. Sin embargo, el hecho de

incluirlo como tema de estudio en esta unidad

es para mostrarte lo fácil que pueden ser las

matemáticas si comienzas por el principio.

Son de la forma 2n-1, siendo n un número natural

Números Impares {1, 3, 5, 7, 9…… ,2n-1}

Se obtiene sumando 2 al número. Si el

número es 2n-1, entonces su

sucesor es 2n +1.

Sucesor impar:

Antecesor impar:

2n - 3 2n2n -1

Antecesor impar Sucesor impar

Se obtiene restando 2 al número.

Si el número es 2n-1, entonces

su antecesor es 2n -3.

Haz la prueba con cualquier número par o

impar y comprobarás que las fórmulas son

exactas. También puedes comprobar que

la suma de dos números pares o dos

números impares, da siempre como

resultado un número par.

2n - 2 2n + 1

Divisores:

Por ejemplo: Los divisores de 24 son los números que lo

dividen exactamente:

{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24}

Por ejemplo: Los divisores de 24 son los números que lo

dividen exactamente:

{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24}

Nota: El 5, el 7 y todos los que faltan en la lista, no

son divisores de 24, ya que, por ejemplo, al dividir

24 por 5 resulta 4.8 (La división no es exacta)

Múltiplos:

Por ejemplo: 5, 10, 15, 20 son múltiplos de 5, los

cuales se obtienen de multiplicar 5x1, 5x2, 5x3 y 5x4,

respectivamente.

Por ejemplo: 5, 10, 15, 20 son múltiplos de 5, los

cuales se obtienen de multiplicar 5x1, 5x2, 5x3 y 5x4,

respectivamente.

Se llama “múltiplo” de un número, a aquel que

se obtiene al multiplicar dicho número por otro

cualquiera.

Se llama “divisor” de un número a aquel que lo

divide exactamente.

(Es decir, cabe en él una cantidad exacta de veces)(Es decir, cabe en él una cantidad exacta de veces)

Te gustaría resolver divisiones entre números

muy grandes sin la necesidad de usar la calculadora????

En el siguiente tema descubrirás la forma de hacerlo.

Por ejemplo:

20, 12, 114, 336 y 468 son divisibles entre 2, ya

que terminan en 0,2,4, y 8, respectivamente

Un número entero es divisible entre 2 si termina en 0,2,4, u 8.

Los números divisibles entre 2 se llaman pares.

Nos permiten visualizar cuándo

un número es divisible entre

otro sin efectuar la división.

A continuación se enuncian

algunos de ellos:

Divisibilidad entre 2.

Por ejemplo:

51 es divisible entre 3, ya que 5+1=6 y 6 es

múltiplo de 3

486 es divisible entre 3, ya que 4+8+6=18 y 18 es

múltiplo de 3

Un número entero es

divisible entre 3 si la

suma de sus dígitos es un

múltiplo de 3.

Por ejemplo:

900 es divisible entre 4, porque termina en doble 0

628 es divisible entre 4, porque 28 es múltiplo de 4


divisible entre 4 si sus

últimos dos dígitos son 0 o

un múltiplo de 4.

Por ejemplo:

5215 y 340 son divisibles entre 5, ya que terminan

en 5 y 0, respectivamente.


divisible entre 5 si su

último dígito es 0 o 5.

Por ejemplo:

216 es divisible entre 2, ya que termina en 6, y es

divisible entre 3, porque la suma de sus dígitos es

múltiplo de 3. Por lo tanto, 216 es divisible entre

6.

9000 es divisible entre 6, ya que es divisible entre 2

y 3.


divisible entre 6 si a su

vez es divisible entre 2 y

3.

Por ejemplo:

315 es divisible entre 7, ya que 5x2=10 y 31-10=21 y 21

es múltiplo de 7.

147 es divisible entre 7, porque 7x2=14 y 14-14=0.


divisible entre 7, cuando

al multiplicar el último

dígito entre 2 y restar el

producto al número que se

forma con los dígitos

restantes, la diferencia es

0 o múltiplo de 7.

Por ejemplo:

6000 es divisible entre 8, ya que sus últimos 3

dígitos son 0

3160 es divisible entre 8, porque sus últimos 3

dígitos, 160, forman un múltiplo de 8.


divisible entre 8, cuando

sus 3 últimos dígitos de la

derecha son 0 o forman un

múltiplo de 8.

Por ejemplo:

1233 es divisible entre 9, ya que 1+2+3+3=9 y 9 es

múltiplo de 9.

6786 es divisible entre 9, ya que 6+7+8+6 = 27 y 27 es

múltiplo de 9


divisible entre 9 si la

suma de sus dígitos es un

múltiplo de 9.

Por ejemplo:

360 es divisible entre 10, porque su último dígito es 0

2500 es divisible entre 10, ya que su último dígito es 0


divisible entre 10 si su

último dígito es 0.

Entre ellos se encuentran:

{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29…}

Nota: El 1 no es considerado número primo

144

144 / 2 = 72

72 / 2 = 36

36 / 2 = 18

18 / 2 = 2

9 / 3 = 3

3 / 3 = 1

72

36

18

9

3

1

2

2

2

2

3

3

Por lo tanto, 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 144

Ejemplo: Expresar 144 como el

producto de sus factores primos.

La descomposición de un

número en sus factores

primos se realiza

expresándolo como el

producto de sus factores

primos.

Para obtenerlo, se divide el

número entre el menor divisor

primo posible, el cociente

que se obtiene se vuelve a

dividir entre el menor

divisor primo posible, y así

sucesivamente hasta que el

último cociente sea 1.

1.1.4 Los Números Primos

Descomposición en Factores Primos

Ejemplo:

� Algunos múltiplos de 3 son:

{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36,…, 60}


{6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48…, 60}


{15, 30, 45, 60, 75,…}

El m.c.m. entre 3, 6 y 15 es 30.

(Dentro de los múltiplos que tienen en común, 30 es

el menor)

Ejemplo:

-Los divisores de 36 son:

{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}


{1, 2, 3, 6, 9, 18}


{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

El M.C.D. entre 36,

18 y 24 es 6.

(Dentro de los

divisores que

tienen en común, 6

es el mayor)

Ejemplos sobre el

cálculo del mcm y MCD

Determinar el mcm de 4 y 6

�Múltiplos de 4: 4,8,12,16,20,24,28,32,36,…

�Múltiplos de 6: 6,12,18,24,30,36,42,48,54,…

�Los múltiplos comunes son: 12,24,38,48,…

�El menor de todos los múltiplos en común es 12

�Por lo tanto, el mcm es 12

m.c.m. = 3 ∙ 2 ∙ 5 =30

3 6 15 3

1 2 5 2

1 5 5

1

Se descomponen simultáneamente en factores primoshasta que los cocientes sean 1. Si alguno de los númerosno es divisible entre el factor dado, se baja y se continúahasta encontrar el factor primo que lo divida. El productode los factores primos corresponde al m.c.m.

El m.c.m. entre 3, 6 y 15 se puede obtener también a través del siguiente método:

Determinar el mcm de 28 y 42

28 42 2

14 21 2

7 21 3

7 7 7

1 1

28/2 = 14 42/2=21

14/2= 7 21/2=No es divisible y solo se baja

7/3=No es divisible y solo se baja 21/3= 7

7/7 = 1 7/7=1

2 * 2* 3* 7 = 84

El mcm de 28 y 42 es 84

Obtener el MCD de 18 y 24

�Los divisores de 18 son: 1,2,3,6,9 y 18

�Los divisores de 24 son: 1,2,3,4,6,8,12 y 24

�Los divisores comunes son 1,2,3 y 6

�El mayor de los divisores es 6

�Por lo tanto, el MCD de 18 y 24 es 6

El M.C.D. entre 36, 18 y 24 se puede obtener a través del siguiente método:

36 18 24 2

18 9 12 3

6 3 4

Se divide por números primos que sean divisores de cada número, hasta que ya no se pueda dividir a todos en forma simultánea. Cada factor debe dividir a todos los números a la vez.

M.C.D. = 2 ∙ 3 = 6

Obtener el MCD de 48,36 y 60

48 36 60 2

24 18 30 2

12 9 15 3

4 3 5

Se hace lo mismo que para el MCD.

Recuerda que estos números deben

ser siempre números primos.

En este caso, 4,3 y 5 no tienen divisores

primos en común. Así que

2 * 2 * 3 = 12

Por lo tanto, el MCD de 48, 36 y 60 es 12.

Son todos los números positivos y negativos sin decimales.

Es decir, un conjunto de la forma:

Z = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

Se puede utilizar la recta numérica para representarlos:

Z- Z+

0-3 -2 -1 1 2 3

1.2.1 Valor absoluto:

El valor absoluto de un número representa la

distancia entre el punto sobre la recta numérica al

que corresponde y el origen (cero de la recta

numérica

-5 505 unidades 5 unidades

Luego,

|-20| = 20 |34| = 34 |-12| = 12…

Por ejemplo, la distancia del 5 al origen es cinco

unidades, igual que la distancia del -5 al origen.

La notación es: |5| = 5 y |-5| = 5

1.2.2 Operaciones con números enteros (1/3)

Al realizar sumas, restas,

multiplicaciones y divisiones con números

enteros, debemos considerar algunas

reglas con respecto a los signos:

Si a y b son números enteros entonces, se cumple que:

a) a + -b = a – b Ejemplo:

5 + - 9 = 5 – 9 = -4

Ejemplo:b) a – (-b) = a + b

12 – (-8) = 12 + 8 = 20


c) Al sumar enteros de igual signo, éste se mantiene.

Ejemplo:

25 + 8 = +33

d) Al sumar enteros de distinto signo, se calcula

la diferencia entre sus valores absolutos,

conservando el signo del mayor de los números.

Ejemplo:

-10 + 7 = -3

75 + -9 = +66

-5 + - 9 = -14


-42 * -8 = +336

e) Si a y b son dos números enteros de igual signo, entonces:

- El producto y el cociente entre ellos es positivo.

f) Si a y b son dos números enteros de distinto signo, entonces:

- El producto y el cociente entre ellos es negativo.

Ejemplo:

Ejemplo:

-28 / -7 = +4

125 / -5 = -25

37 * -5 = -185

1.2.4.1 Definición

Corresponde a una multiplicación reiterada de

términos o números iguales. El término o número que

se va multiplicando, se llama “base” y la cantidad

de veces que se multiplica dicha base se llama

“exponente”.

an = a · a · a · a · …a · · a

n veces

Ejemplo:

73 = 7·7·7 =

(-6)2 = (-6)·(-6)= 36

343

-32 = (-3)2 ya que: -32 = - 3 · 3 = -9 y

(-3)2 = (-3)·(-3) = 9

=2

3

3 23

3ya que:

y =23

3= 2·2·2

3

8

3

2

3

3= = 8

27

2

3

2

3

2

3· ·

• Multiplicación de Potencias:

De igual base

Se conserva la base y se suman los exponentes.

an+man ·am =

Ejemplo:

5x+3x5x ·53x = = 54x

De igual exponente:

Se multiplican las bases, conservando el exponente.

(a · b)nan ·bn =

Ejemplo:

85 ·42 ·22 = 85 · (4 · 2)2 = 85 ·82 = 87

• División de Potencias:

De igual

base:Se conserva la base y se restan los exponentes.

an-man :am =

Ejemplo:

923

96= = 917923-6

De igual exponente:

Se dividen las bases y se conserva el exponente.

(a : b)nan :bn =

Ejemplo:

75 :

42

282 = 75 : (28:4)2 = 75 :72 = 73

• Potencia de Potencia:

Se multiplican los exponentes.

(an )m = am · n

Ejemplo:

(210)4 = 210 ·4

= 2 40

• Potencia de Exponente Negativo:

Se invierte la base y se eleva al exponente positivo.

Potencia de exponente negativo y base entera:

1a-n =

a

n

(Con a, distinto de cero)

Ejemplo:

5-2 · 153

2

= · (5)25

2

1=

251

· 25 = 1

33 =43

Potencia de exponente negativo y base fraccionaria:

ab

-n

=ba

n

(Con a, distinto de cero

y b distinto de cero)

Ejemplo:

34

-3

=

3

4

3=

64

27

• Potencias de exponente cero:

a0 = 1(para todo a, distinto de cero)

00 : indefinido

Ejemplo:

x3

- 4y

7 – (15-8)

=x3

-

4y

0

= 1

• Con exponente positivo:

101 = 10

102 = 100

103 = 1000…

Ejemplo:

54.000.000 = 54 · 1.000.000

= 54 · 106

100 = 1

4 · 10 -5

• Con exponente negativo:

Ejemplo:

10

=1 0,1

100

=1 0,01

10-3 =1

1.000

= 0,001…

10-1 =

10-2 =

0,00004 =4

100.000

=

• Potencias con exponente par:

Las potencias con exponente par, son siempre

positivas.

Ejemplo:

(-11) · (-11) = 121

2) -3

5

4

= 81

6255

(-3)

4

4

=

1) (-11)2 =

• Potencias con exponente impar:

En las potencias con exponente impar, la

potencia conserva el signo de la base.

Ejemplo:

1) (-12)3= (-12) · (-12) · (-12) = -1.728

2) -2

3

-5

=3

-2

5

=(3)

5

(-2)=

5243

-32= 243

32-

1.2.4.5 Prioridad en las operaciones

Tanto en los números naturales como en los enteros, hay

operaciones que tienen prioridad sobre otras.

Existe un orden para resolver ejercicios como:

-5 + 15 : 3 - 3 = ?

¿Qué se resuelve primero?

El orden para ejecutar las operaciones que involucran

paréntesis y operaciones combinadas es:

1° Paréntesis

2° Potencias

4° Adiciones y sustracciones

3° Multiplicación y/o división (de izquierda a derecha)

1.3 Números Racionales (Q)

2; 17; 0; -6; -45; -1;

50.489; 2.18; -0.647-1;

8

14;4

1.3.1 Amplificación y simplificación de fracciones

Ejemplo:

2 ·

3 ·

Amplificar una fracción, significa multiplicar,

tanto el numerador como denominador por un mismo

número.

6

6

Al amplificar la fracción por 6 resulta:2

3

=12

18

Ejemplo:

Simplificar una fracción, significa dividir, tanto

el numerador como denominador por un mismo número.

3

3=

9

15

Al simplificar la fracción por 3 resulta:27

45

27 :

45 :

1.3.2 Inverso multiplicativo o recíproco

de una fracción

El inverso multiplicativo, o recíproco de es:2

9

9

2

Ejemplo:

1.3.2 Suma y resta:

Ejemplos:

1. Si los denominadores son iguales:

4

15+

7

15=

11

15

2. Si uno de los denominadores es múltiplo del otro:

2

15+

7

45=

2·3 + 7·1

45=

6 + 7

45=

13

45

4

15-

7

15=

-3

15y

3. Si los denominadores son primos entre sí:

5

12 +

7

18=

5·3 + 7·2

36

15 + 14

36= =

29

36

4. Aplicando mínimo común múltiplo (m.c.m.):

4

5 +

7

8=

4·8 + 5·7

40

32 + 35

40= =

67

40

-4

5 ·

8

7=

-32

35=

Multiplicación:

Ejemplo:-4

5

7

8= ·

-28

40=

28

40-

División:

Ejemplo:-4

5 :

7

8=

32

35-

• Número Mixto:

Ejemplo:

83

5=

8·5 + 3

5=

43

5

1.3.3 Multiplicación y División

Q

U

Q*=

,....π,π±,2±,3..... ±

Es el conjunto formado por la unión entre los números

racionales y los números irracionales. Es decir, es el

conjunto completo de números: naturales, enteros,

racionales e irracionales.

R = Q U Q*

Ejemplos:

Diagrama representativo:

3, -89, -2;

7

2,18; ;2± 23,491002

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