7/26/2019 Conceptos bsicosEuler

1/4

Mtodo de Euler

El mtodo de Euler rara vez se utiliza en la prctica para obtener la solucin aproximada de un problema de valoinicial, pero se estudia por su simplicidad en la derivacin de la frmula y de la determinacin del error. Lomtodos de orden superior utilizan las mismas tcnicas, pero el lgebra que requieren es mucho ms complicada.

Con el mtodo de Euler se obtiene una solucin aproximada de un problema de valor inicial como el que se muestren la ecuacin (1), en un conjunto finito de puntos.

(1

Para empezar, se determina la malla {t0, t1, ... , tN} de paso h, donde t0 = a y tN = b. En estos puntos es donde va a obtener la aproximacin de la solucin.

Para determinar la frmula del mtodo, se parte de un desarrollo de Taylor de la funcin solucin y(t), alrededor dun punto de la malla, ti, suponiendo que la funcin y(t) posee derivadas primera y segunda continuas en (a, b):

(2

Evaluando esta expresin en t = ti+1, para cualquier i, se tiene:

(3

Pero como ti+1- ti= h, resulta:

(4

Como y(t) satisface la ecuacin diferencial, en particular es y'(ti) = f(ti, yi), entonces reemplazando en la frmula (4resulta:

(5

Si se elimina de la frmula anterior el trmino del error, se puede escribir:

(6

Resultando as la frmula del mtodo de Euler para aproximar la solucin en un punto de la malla, teniendo unaproximacin en el punto inmediato anterior. Como la condicin en el punto a del problema de valor inicial da valor inicial y(t0)=, se tiene entonces la solucin aproximada en todos los puntos de la malla. Si se llaman y i

y(ti), se tiene entonces la frmula de Euler dada en la frmula (7):

(7

Implementacin del mtodo

A continuacin se presenta el algoritmo del mtodo de Euler en pseudocdigo, para resolver un problema de valoinicial del tipo (1). ste es un algoritmo para una ecuacin particular, si se quiere generalizar para una ecuacicualquiera, con f(t, y) arbitraria, se debe ingresar tambin como argumento la ley de f. Esto se puede implementaen cualquier lenguaje de programacin, o en particular, en programas simblicos o numricos que permitaprogramar, como Maple, Mathematica, Scilab o Matlab.

7/26/2019 Conceptos bsicosEuler

2/4

Con los valores obtenidos mediante este algoritmo se puede lograr un grfico discreto de la solucin aproximada, tambin se puede aplicar un mtodo de interpolacin para obtener una grfica continua en el intervalo. La lista dvalores obtenida con el algoritmo se puede utilizar para comparar resultados, o calcular errores relativos y absolutorespecto de la solucin exacta, si se conoce.

Ejemplo

Consideremos el siguiente problema de valor inicial.

La frmula de Euler para este problema, tomando N puntos en el intervalo [1, 2] (sin contar el punto de partida a 1), resulta:

(8

Aplicamos el mtodo de Euler para un paso h = 0,2.

Teniendo en cuenta que h = 0,2, la cantidad de puntos en el intervalo resulta ser N = 5, y entonces la tabla d

valores obtenida con la frmula dada en (8) resulta:

i t y

0 1,00 2,0000

1 1,20 2,4000

2 1,40 2,9760

3 1,60 3,8093

4 1,80 5,0282

5 2,00 6,8384

Ahora, aplicamos la frmula el mtodo de Euler con N = 20 y N = 50. Representamos grficamente los puntoobtenidos, comparndolos con la solucin exacta, dada por la funcin

7/26/2019 Conceptos bsicosEuler

3/4

Se ve en los grficos obtenidos, que a medida que nos alejamos del valor inicial, la solucin aproximada pierdprecisin (se aleja de la solucin exacta), para el paso h = 1/20. Cuando se achica el paso, la solucin mejora (h 1/50).

Anlisis del error

Al deducir la frmula de Euler para aproximar la solucin de un PVI tipo (1), al pasar de la expresin (5) a la (6), sdescart en la expresin el error, dado por

(9

De esta frmula surge que el error local de truncamiento en el mtodo es O(h2).

Teniendo en cuenta que, por ser y'' continua,

(10

y tambin que h = (tN t0)/N, se tiene que despus de N pasos, el error global acumulado es:

(11

Por lo tanto, el error global en el mtodo de Euler es O(h).

El procedimiento anterior puede aplicarse a todos los mtodos estudiados. El orden del error global resulta siempruno menos que el orden del error local de truncamiento (el error del clculo de y i+1 para un solo paso).

En el siguiente teorema se deriva una cota de error para el mtodo de Euler. Ciertas condiciones necesitaverificarse para la funcin que interviene en la ecuacin diferencial. Algunas son condiciones para que el PVI tengsolucin nica, otras son especficas para obtener la cota.

Teorema:Sea el conjunto D = {(t, y) | a t b,- y } y f(t, y) continua en D, tal que satisface una condicinde Lipschitz en D en la variable y.Sea y(t) la solucin nica del PVI y' = f(t, y), a t b, y(a) = , y supongamos que existe una constanteM tal que |y'' (t)| M t [a,b].Sean w0, w1, , wN las aproximaciones generadas con el mtodo de Euler para N entero positivo. Entonces,para cada i = 0, 1, , N, se cumple:

(12

7/26/2019 Conceptos bsicosEuler

4/4

Observacin: Este teorema tiene como punto dbil el requisito de conocer una cota de la derivada segunda de solucin, ya que en general, la solucin exacta no se conoce. Algunas veces, es posible obtener una cota del error dla derivada segunda sin conocer explcitamente la funcin solucin. Por ejemplo, si existen las derivadas parciales dla funcin f(t, y), aplicando la regla de la cadena, se tiene que:

(13

Por lo tanto, si se conocen cotas de f y las derivadas parciales de f, se puede tener una cota de y''.

La importancia principal de la frmula de cota de error del mtodo de Euler dada en (12) consiste en que dicha cotdepende linealmente del tamao del paso h. Esto implica que, al disminuir el tamao del paso, las aproximacionedebern ser ms precisas.Pero en el resultado del teorema anterior, no se tiene en cuenta el efecto que el error de redondeo ejerce sobre tamao del paso. A medida que h se hace ms pequeo, aumenta la cantidad de clculos, y se puede predecir umayor error de redondeo. Entonces, para determinar una cota del error, se debe tener en cuenta el error dredondeo, y se puede establecer el siguiente teorema:

Teorema:Considere el PVI y' = f(t, y), a t b, y(a) = , con f continua y tal que satisface una condicin deLipschitz en la variable y con constante L, en el conjunto D = {(t, y) | a t b,- y }.Sea y(t) la solucin nica del PVI, y supongamos que existe una constante M tal que |y'' (t)| M t [a,b].Sean w0, w1, , wN las aproximaciones generadas con el mtodo de Euler para N entero positivo, donde

cada una tiene un error de redondeo asociado i.Si |i| para cada i de 0 a N, entonces, para cada i = 0, 1, , N, se cumple:

(14

Se ve claramente en la frmula dada en (14) que cuando el valor de h se hace muy pequeo, la cota del error puedaumentar, ya que h aparece en el denominador de un cociente. La cota de error aqu obtenida, ya no es lineal en h.

Si se considera la expresin E(h) = h M/2 +/h, tenemos que tiende a infinito cuando h tiende a cero. Con esto, sve que cuando h tiende a cero, el error aumenta. Podemos establecer una cota inferior para h, de manera de evitaeste problema. Si calculamos la derivada de E(h), tenemos que E'(h) = M/2 - /h2, por lo tanto, se anula en el valo

. En este valor de h, E'(h) pasa de ser negativa a positiva, con lo que se puede concluir que en dich

valor E(h) presenta un mnimo.Esto indica que ste es el valor mnimo que se puede tomar para h. En general, el valor de es lo bastante pequecomo para que esta cota ms baja no influya en la aplicacin del mtodo de Euler.