comunicaciÓn cuÁntica - universidad de sevilla · 2011-03-15 · asociado a la polarización de...

COMUNICACIÓN CUÁNTICA

1. Postulados de la Teoría Cuántica2 Aspectos relevantes del comportamiento cuántico:2. Aspectos relevantes del comportamiento cuántico:a) Superposición cuántica y dualidad onda-partícula

(el experimento de la doble rendija)a) Relación de incertidumbre de Heisenberg) gb) Entrelazamientoc) La Paradoja EPR

2. Aplicaciones a la Comunicación Cuánticaa) Criptografía cuánticab) Codificación densab) Codificación densac) Teletransporte

Alberto Casado RodríguezAvances recientes de la Física Aplicada a la IngenieríaAvances recientes de la Física Aplicada a la IngenieríaLibre Configuración 2010/2011 – Universidad de SevillaDepartamento de Física Aplicada IIIEscuela Técnica Superior de Ingeniería

1

LOS POSTULADOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA Postulado 1: La descripción del estado

cuánticocuá t co Postulado 2: La descripción de las

magnitudes físicasg Postulado 3: Resultados de las medidas. Postulado 4: Probabilidades de los resultados Postulado 4: Probabilidades de los resultados Postulado 5: La medida. El colapso del vector

de estadode estado. Postulado 6: La ecuación de Schrödinger.

2

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Postulado 1: La descripción del estado cuántico

Cada sistema cuántico tiene asociado un espacio de Hilbert H.El estado del sistema se representa por un vector de H.

HSistema S Espacio de Hilbert H

E t d d S HEstado de S

Postulado 2: La descripción de las magnitudes físicasPostulado 2: La descripción de las magnitudes físicasCada magnitud física del sistema está representada por una

matriz hermítica que opera en el espacio de Hilbert quematriz hermítica que opera en el espacio de Hilbert que representa al sistema.

M it d fí i “M” d S M t i h íti ˆMagnitud física “M” de S Matriz hermítica M

3


Postulado 3: Los resultados de las medidasCuando se mide una magnitud física de un sistema cuántico, los únicos valores que se pueden obtener son los autovalores de la matriz correspondiente ason los autovalores de la matriz correspondiente a

dicha magnitud.

Postulado 4:Probabilidades de los resultados

El vector de estado proporciona las probabilidades deEl vector de estado proporciona las probabilidades de obtener los distintos autovalores al medir una magnitud física. Es decir, la información que podemos obtener del vector de estado es de tipo estadístico. Concretamente:

2|||)( Aii faP |||)( ii faP

4


Postulado 5: La medida. El colapso del vector de estado.El vector de estado inmediatamente después de la

medida es el vector propio correspondiente al valor obtenido de dicha magnitudvalor obtenido de dicha magnitud.

Postulado 6: La evolución cuando no se producen medidas. La ecuación de SchrödingerLa ecuación de Schrödinger

La evolución temporal del vector de estado del sistema, cuando no se producen medidas, está gobernada por la ecuación de Schrödinger

)(|ˆ)(| tHtdtdi

Jhh 106266 34es el observable asociado a la energía del sistemaH

5

sJh .10626.6;2

34

constante de Planck


Vector propio 2

Aestado

De la magnitud A

Vector propio 1

De la magnitud A

Se mide la magnitud A

g

SISTEMA

Estado después de la

a1

Estado después de la medida=vector propio 1

a1

Se obtiene uno de los

7

Se obtiene uno de los autovalores


El Principio de incertidumbre de Heisenbergp g

El conmutador de dos operadores se define como:

ABBABA ˆˆˆˆ]ˆ,ˆ[ Los operadores conmutan cuando satisfacen la relación:

ABBABA ˆˆˆˆ0]ˆ,ˆ[

Ó

|]ˆˆ[| BA

RELACIÓN DE INCERTIDUMBRE

Magnitudes A y B

2|],[| BA

BA Observables ABB

Estado del sistema

8


Magnitudes compatibles e incompatiblesMagnitudes A y B Operadores A

BMagnitudes Compatibles

B

Si se miden de forma consecutiva, y “simultáneamente”, primero A, B después, y en tercer lugar A, el resultado de la primera medida coincide con el de la tercera.

Magnitudes Incompatibles

Si se miden de forma consecutiva, y “simultáneamente”, primero A, B después y en tercer lugar A el resultado de la primera medida no coincidedespués, y en tercer lugar A, el resultado de la primera medida no coincide con el de la tercera.

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Teorema de compatibilidad Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. A y B son compatibles.2 L b bl i d di h it d2. Los observables asociados a dichas magnitudes

conmutan.3. Los observables asociados a dichas magnitudes g

poseen una base común de vectores propios.

P M it d I tiblPara Magnitudes Incompatibles:1. A y B son incompatibles2 Los observables asociados a dichas magnitudes2. Los observables asociados a dichas magnitudes

no conmutan. 3. Los observables asociados a dichas magnitudes

no poseen una base común de vectores propiosno poseen una base común de vectores propios.


Estados separables o no entrela adosSISTEMAS COMPUESTOS EN MECÁNICA CUÁNTICA: ENTRELAZAMIENTO

Estados separables o no entrelazados“el estado de cada parte está definido”

|1>1 24232 1|0|| cc

|0>

12111 1|0|| cc

|0>1

SISTEMA 1 SISTEMA 2 2121 |||

Entrelazamiento (entanglement)

2121 |||

“el estado de cada parte NO está definido”


LA PARADOJA E.P.R. (1935)LA PARADOJA E.P.R. (1935)Einstein, A.; Podolsky, B.; Rosen, N. (1935). «Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered C l t ? Ph i l R i 47 777 780

Si la Mecánica Cuántica es una teoría completa, entonces está en Si la Mecánica Cuántica es una teoría completa, entonces está en contradicción con el Realismo Local.contradicción con el Realismo Local.

Complete?». Physical Review 47: pp. 777-780.

PRINCIPIO DE REALIDAD: Si, sin perturbar a un sistema físico, se puede predecir con certeza el valor de una magnitud física, entonces existe un elemento de realidad g ,asociado a esta magnitud física.

PRINCIPIO DE LOCALIDAD: Si dos sistemas están causalmente desconectados, el resultado de una medida realizada sobre un sistema no puede tener influencia sobre el resultado de otra medida realizada en el otro sistema.

11 , tx 22 , tx X|||| tcx


1 21 2

11 , tx 22 , txX

|||| tcx

Fuente de qubitsentrelazados (conversorparamétrico a la baja)RESULTADO DE

RESULTADO DE LA MEDIDA

21212

1 HVVH

RESULTADO DE LA MEDIDA

Colapso del vector de estado al medir la partícula 1

21' HV


1. El resultado de la medida sobre la partícula 2 se sabe con certeza antes de medir.

2. Como las dos medidas están causalmente desconectadas (principio de localidad), entonces existe un elemento de realidad asociado a la polarización de la partícula 2 en la base rectilínea (principio de realidad). Este elemento de realidad existía antes de medir la partícula 1.

3. La invariancia rotacional del estado entrelazado implica que existe un elemento de realidad asociado a la polarización de la partícula 2 en cualquier base.

4. Pero estos elementos de realidad no tienen contrapartida en la Teoría Cuántica, porque:

• La descripción a través del estado entrelazado no permite tal asignación del elemento de realidad.

• Los operadores asociados a la polarización en la base rectilínea y diagonal no conmutan• Los operadores asociados a la polarización en la base rectilínea y diagonal no conmutan, luego la Teoría cuántica no permite la asignación de valores definidos, de forma simultánea, de la polarización en cualquier dirección.

LA MECÁNICA CUÁNTICA ES INCOMPATIBLE CON EL REALISMO LOCAL

L M á i C á ti i l t ( l ió EPR)Dos posibles conclusiones enfrentadas:

La Mecánica Cuántica es incompleta (conclusión EPR)

La Mecánica Cuántica es completa, pero el realismo local no se cumplecumple.


El bit cuántico 0

1Información clásica: el “Bit”Información cuántica: el qubit |1>

1|0|| q |1>

Base computacional

|0>

22 ||)"1(";||)"0(" PP

Base computacional

||)1(;||)0( PP

|1>|

1|'| 0|'||1>

Medida del qubit

1|'| 0|'|

|0>Medida del qubit

El conocimiento que se adquiere a partir de la medida está ligado a la El conocimiento que se adquiere a partir de la medida está ligado a la Si se obtiene el valor 1 Si se obtiene el valor 0

pérdida de la pérdida de la superposición. superposición. Avances recientes de la Física Aplicada a la IngenieríaLibre Configuración 2010/2011 – Universidad de SevillaDepartamento de Física Aplicada IIIEscuela Técnica Superior de Ingeniería 15

Qubits múltiplespInformación clásica

Sistema compuesto por dos bits clásicos

0SISTEMA 2

0SISTEMA 1

Sistema compuesto por dos bits clásicos

1

0

1

0

00, 01, 10, 11El sistema formado por los dos bits clásicos puede estar en 4 posibles estadosclásicos puede estar en 4 posibles estados

000, 001, 010, 011 100 101

El sistema formado por los tres bits lá i d t 8 ibl t d

Para un sistema de n bits clásicos, existen 2n estados posibles.

011, 100, 101, 110, 111

clásicos puede estar en 8 posibles estados

Para un sistema de n bits clásicos, existen 2 estados posibles.Avances recientes de la Física Aplicada a la IngenieríaLibre Configuración 2010/2011 – Universidad de SevillaDepartamento de Física Aplicada IIIEscuela Técnica Superior de Ingeniería

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Información cuántica

|1>1SISTEMA 1 SISTEMA 2 SISTEMA 1+2

}11|,10|,01|,00{|

|0>Base Computacional

|0>1

11|10|01|00|| Para un sistema de n qubits:

• El espacio de Hilbert del sistema tiene 2n dimensiones.p

• 2n es el número de estados de la base computacional.

• El estado del sistema se especifica con 2n amplitudes complejas.

• Ejemplo: Para n=500, 2n es mayor que el número estimado de átomos en el universo. Es inconcebible que un ordenador clásico pueda almacenar tal cantidad de datoscantidad de datos.


CRIPTOGRAFÍA CLÁSICACRIPTOLOGÍA

CRIPTOGRAFÍA CRIPTOANÁLISISCRIPTOGRAFÍA CRIPTOANÁLISIS

¿?

EVA ESPÍAEVA= ESPÍA

ALICIA= EMISOR BLAS= RECEPTOR

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ALICIA EMISORAvances recientes de la Física Aplicada a la IngenieríaLibre Configuración 2010/2011 – Universidad de SevillaDepartamento de Física Aplicada IIIEscuela Técnica Superior de Ingeniería

MÉTODOS EN CRIPTOGRAFÍA CLÁSICA

Las letras del mensaje se reorganizan mediante una permutación especial

• TRANSPOSICIÓN: mediante una permutación especial.

INGENIEROS NIEGINRESOINGENIEROS NIEGINRESO

Las letras del mensaje se reemplazan • SUSTITUCIÓN: j ppor otras letras, números o símbolos arbitrarios.

A DB EC F, etc

19INGENIEROS LQJHQLHURV


PROBLEMAS DE LA CRIPTOGRAFÍA CLÁSICA

SEGURIDAD: Los métodos de transposición y substitución NO sonnada segurosnada seguros. La frecuencia con la que aparece una determinada letra en un texto inteligible es aproximadamente constante.

75100 Número de veces

(frecuencia) que

0

5025

aparece cada letraen el abecedarioinglés (tanto por mil).

a b c d e f g h i j k l m n op q r s t u v w x z

• El desarrollo del criptoanálisis está ligado al de la computación.

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EL USO DE CLAVES EVA

CLAVE

CRIPTOGRAMA

ALICIA BLAS

MENSAJECRIPTOGRAMA CRIPTOGRAMA MENSAJE

CLAVECRIPTOGRAMA

CLAVE

MENSAJE

1 Los algoritmos de encriptación y desciframiento son de conocimiento1. Los algoritmos de encriptación y desciframiento son de conocimiento público.

2. El criptograma puede ser susceptible de ser interceptado (no problema).

3. La seguridad DEPENDE del secreto de la clave.

4. ¡¡¡¡PROBLEMA!!! “Siempre es posible, en principio, espiar el sistema de di t ib ió d l i i t t ”

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distribución de clave sin que emisor y receptor se enteren”.Avances recientes de la Física Aplicada a la IngenieríaLibre Configuración 2010/2011 – Universidad de SevillaDepartamento de Física Aplicada IIIEscuela Técnica Superior de Ingeniería

CRIPTOGRAFÍA DE CLAVE PÚBLICA (1976)

Blas, quiero mandarte l

Vale Alicia, espera que te

algo. mando la clave para encriptar

MENSAJE

ALICIA BLAS

Clave públicaMENSAJE p

Clave privada

MENSAJE

CRIPTOGRAMA

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1. No necesitan estar de acuerdo en la clave antes de enviar el mensaje.2. Dos claves: Una pública, para encriptar el mensaje, y otra privada, para2. Dos claves: Una pública, para encriptar el mensaje, y otra privada, para

descifrarlo.3. SE BASAN EN EL DIFERENTE GRADO DE DIFICULTAD DE CIERTAS

OPERACIONES MATEMÁTICAS, SEGÚN LA DIRECCIÓN EN QUE SE , QREALICEN (FACTORIZACIÓN DE GRANDES ENTEROS EN SUS FACTORES PRIMOS).

4. Es posible sacar la clave privada de la pública pero es muy difícil.5. Para factorizar un número entero de N dígitos decimales, el número

de operaciones que debe hacer un ordenador clásico crece exponencialmente con N. EL NÚMERO MÁS GRANDE QUE SE HA

ÓCONSEGUIDO FACTORIZAR TIENE APROX. 130 CIFRAS, Y SE TARDÓ VARIOS MESES.

6. ¡¡¡SON VULNERABLES A ALGORITMOS DE COMPUTACIÓN CUÁNTICA!!! E t tid l t d á ti tit i íCUÁNTICA!!! En este sentido, los computadores cuánticos constituirían un enemigo potencial de los métodos criptográficos actuales.

7. LA CRIPTOGRAFÍA CUÁNTICA RESUELVE EL PROBLEMA, AUNQUE EXISTIESEN ORDENADORES CUÁNTICOSEXISTIESEN ORDENADORES CUÁNTICOS.

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CRIPTOGRAFIA CUÁNTICAAlicia y Blas tienen que compartir una CLAVE SECRETA, pero ¿quién nos asegura que mientras se estaban comunicando dicha clave, un espía no estaba “pinchando” la comunicación?

AliciaCRIPTOGRAFÍA CUÁNTICA

(Espía) MEDIR ES PERTURBAR(Emisor)

Eva( p )

Esta perturbación puede ser detec-

Blas

tada por Alicia y Blas, percatándo-se de la existencia de un espía y cortando la comunicación.Blas

(Receptor)

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Seguridad en comunicación cuánticaSeguridad en comunicación cuántica

Teorema de no clonaciónEs imposible clonar un estado cuántico desconocidoEs imposible clonar un estado cuántico desconocido

W.K. Wootters and W.H. Zurek, A Single Quantum Cannot be Cloned, Nature 299 (1982), pp. 802–803.

Avances recientes de la Física Aplicada a la Ingeniería

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Libre Configuración 2010/2011 – Universidad de SevillaDepartamento de Física Aplicada IIIEscuela Técnica Superior de Ingeniería

PROTOCOLO BB84 de Criptografía CuánticaC. H. Bennett and G. Brassard, “Quantum Cryptography: Public key distribution and coin tossing”, in Proceedings of the IEEE International Conference on Computers, Systems, and Signal Processing, Bangalore, p. 175 (1984) [1]

}|,{| VH }'|,'{| VH(1) Alicia PREPARA, de forma aleatoria, fotones en las bases

y y los ENVÍA a Blasy , y los ENVÍA a Blas.

|V>|H’>|V’>

0

10 |

|H> 1

(2) Para cada fotón que recibe, Blas MIDE su polarización, l t i t l b l b Ali i (Bl ) taleatoriamente en la base o en la base . Alicia (Blas) anota

la secuencia de bits que envía (recibe) y las bases utilizadas.

BLASBLAS

1

1

26ALICIA

1Avances recientes de la Física Aplicada a la IngenieríaLibre Configuración 2010/2011 – Universidad de SevillaDepartamento de Física Aplicada IIIEscuela Técnica Superior de Ingeniería

0

0

0

ALICIABLAS

0

050% de probabilidad de obtener “0”50% de probabilidad de obtener 0

50% de probabilidad de obtener “1”

MEDIDAMEDIDA

(3) Blas ANUNCIA PÚBLICAMENTE la BASE que utilizó para cada medir cada fotón NO DICE EL RESULTADO OBTENIDOcada medir cada fotón. NO DICE EL RESULTADO OBTENIDO. (4) Alicia ANUNCIA PÚBLICAMENTE la BASE que utilizó para

preparar cada fotón.preparar cada fotón. LOS RESULTADOS ESTARÁN PERFECTAMENTE CORRELACIONADOS CUANDO USARON LA MISMA BASE, Y PERFECTAMENTE DESCORRELACIONADOS CUANDO USARON BASES DISTINTAS.

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(5) Ali i Bl d l t l bit(5) Alicia y Blas se quedan solamente con los bits correspondientes al uso de la misma base. (6) AUTENTIFICACIÓN Ali i Bl i úbli t(6) AUTENTIFICACIÓN: Alicia y Blas anuncian públicamente

parte (aleatoria) de los resultados guardados. SI SON TODOS IGUALES, entonces no ha habido intercepción por parte de un espía.(7) E t l ti l t ti d l t(7) En tal caso ya tienen una clave secreta, a partir del resto

de los resultados guardados.(8) Pero si los resultados que anuncian no coinciden en su(8) Pero si los resultados que anuncian no coinciden en su

totalidad, entonces ALGUIEN HA INTERCEPTADO LOS QUBITS EMITIDOS POR ALICE, ES DECIR, LOS HA MEDIDO “DESTRUIDO”.

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Qubit eviado Valor del Base usada ALICIA

Base usada Resulatado BLAS

Discusión Autenti-CLAVESECRETA

1 | V > 0

por Alicia bit por Alicia

0

por Blas obtenido por Blas

NO

pública ficaciónSECRETA

23

| H>| H’>

11

11

OKNO

1

45

|| V >| V’ >

00

00

OKOK

(0,0) SI0

67

| V| H >|V >

10

10

ONOOK (0 0) SI

7

89

|V >| V’>|H >

001

000

OK

NOOK (0,0) SI

(0,0) SI

9

10|H > 1

0| V >00

NOOK 0

29Avances recientes de la Física Aplicada a la IngenieríaLibre Configuración 2010/2011 – Universidad de SevillaDepartamento de Física Aplicada IIIEscuela Técnica Superior de Ingeniería

Qubit eviado por Alicia

Valor delbit

Base usada por Alicia

ALICIABase usada por Blas

Resultado obtenido

BLASDiscusiónpública

Autenti-ficación

12

| V >| H>

01

por Alicia bit por Alicia

00

por Blas obtenido por Blas

NOOK

pública ficación

(1 0) NO2

3| H>| H’>

11

01

OKNO

(1,0) NO

45

| V >| V’ >

00

01

OKOK

(0,0) SI

(0,1) NO

67

| H >|V >

10

10

NOOK (0,0) SI

89

| V’>|H >

01

00 NO

OK (0,0) SI

10 0| V > 0 OK Como consecuencia de la intercepción del espía, se aborta el

30

Como consecuencia de la intercepción del espía, se aborta el

proceso de distribución cuántica de clave.Avances recientes de la Física Aplicada a la IngenieríaLibre Configuración 2010/2011 – Universidad de SevillaDepartamento de Física Aplicada IIIEscuela Técnica Superior de Ingeniería

Codificación densaEs una forma de transmitir dos bits de información a través de la manipulación de sólo una de dos partículas f f p pentrelazadas, cada una de las cuales lleva individualmente un bit de información.

Clásicamente, un sistema compuesto por dos subsistemas de dos niveles sólo puede almacenar 4 elementos de información clásica: 00, 01, 10 y 11.

La codificación de dos bits de información requiere la manipulación de los dos sistemas (ej. Partículas).

La Mecánica Cuántica permite codificar dos bits de información manipulando sólo una

1

partícula, lo que se consigue gracias a la superposición de combinaciones clásicas de estados de dos o más partículas (estados entrelazados). Se usan los estados de la base de Bell:

01101

01102

1

00111

01102

00112

1

00112

2 Avances recientes de la Física Aplicada a la Ingeniería

Libre Configuración 2010/2011 – Universidad de SevillaDepartamento de Física Aplicada IIIEscuela Técnica Superior de Ingeniería 31

TeletransporteAlice tiene una partícula en un estado, y quiere transferir este estado

Alice

111 1|0||

Alice tiene una partícula en un estado, y quiere transferir este estado cuántico a Bob, pero no le puede enviar la partícula.

11 Para hacerlo, Alice y Bob usan un sistema auxiliar formado por un par de partículas entrelazadas. Alice dispone de un aparato para medir los estados de la base de Bell.

La partícula 2 se envía a Alice y la partícula 3 a Bob

BSM

La partícula 2 se envía a Alice, y la partícula 3 a Bob.

Alice mide el estado de Bell de las partículas 1 y 2, e INFORMA Bob a través de un canal clásico (le manda dos bits de información clásica), con objeto de que Bob haga una transformación unitaria sobre su partícula que le permita

||| 231123

Bob haga una transformación unitaria sobre su partícula que le permita reproducir el estado inicial de la partícula 1.

1

)1|0|(|21

)1|0|(|21

3312

3312

2 3

323223 0110

21

)0|1|(|21

)0|1|(|21

3312

3312

2

BobAvances recientes de la Física Aplicada a la IngenieríaLibre Configuración 2010/2011 – Universidad de SevillaDepartamento de Física Aplicada IIIEscuela Técnica Superior de Ingeniería 32

comunicaciÓn cuÁntica - universidad de sevilla · 2011-03-15 · asociado a la polarización de...

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