composición de funciones y función inversa

Ejercicios resueltos de función inversa y composición de funciones IMPORTANTE: para resolver un ejercicio donde se pide calcular la función inversa a una dada, hay que seguir las siguientes acciones:

1. Demostrar que la función dada es biyectiva. Si no lo es redefinirla para que lo sea.

2. Indicar dominio e imagen de la función inversa. 3. Despejar x en función de y en la ecuación original para buscar la expresión de f-1 4. Cambiar el nombre de las variables en el paso anterior. 5. Dejar la respuesta expresada en forma completa

Ejercicio 1: dada xxfRRf 2)(/: =→ , hallar la función inversa estudiando previamente las condiciones de biyectividad. Graficar ambas en el mismo par de ejes coordenados. Solución

Sea xxfRRf 2)(/: =→ . Sabemos que es una función exponencial con base mayor que 1 y que es inyectiva, ya que trazando rectas horizontales al gráfico lo cortan una

sola vez. Para que sea sobreyectiva debemos redefinir el conjunto de llegada como +ℜ .

Entonces xxff 2)(/: =ℜ→ℜ + es biyectiva y admite función inversa. Despejemos x para hallar la ecuación de la función inversa:

yxy x2log2 =⇒=

Cambiando el nombre de las variables )(log 12 xfxy −== . Luego la función inversa

buscada es xxff 211 log)(/: =ℜ→ℜ −+− Graficamos las dos funciones en el mismo

par de ejes cartesianos para observar la simetría respecto a la recta y = x.

-3 -2 -1 1 2 3x

-6

-4

-2

2

4

6

8

y

Adriana Favieri

Typewriter

Mg B. Williner - 2013

Ejercicio 2: dada x

xxfRRf 1)(/}0{: +=→− , hallar la función inversa estudiando

previamente las condiciones de biyectividad. Graficar ambas en el mismo par de ejes coordenados Solución La función dada es homográfica con asíntota vertical en x = 0 y asíntota horizontal y = 1. Trazando en su gráfico rectas horizontales observamos que cortan al mismo una sola vez, por lo que es inyectiva:

-3 -2 -1 1 2 3x

-3

-2

-1

1

2

3y

Además, si la definimos restringiendo su conjunto de llegada como:

}1{}0{: −ℜ→−ℜf es sobreyectiva y por lo tanto biyectiva. Luego admite inversa que

será: }0{}1{:1 −ℜ→−ℜ−f Hallemos su ecuación despejando x:

1

111

11

1

−=⇒=−⇒+=⇒

+=y

xx

yx

yx

xy

Cambiando el nombre de las variables: 1

1)(1

−=−

xxf que también es una función

homográfica, con asíntota vertical en x = 1 y horizontal en y = 0 (Observemos que la que antes era asíntota vertical, ahora pasa a ser horizontal y viceversa).

Luego 1

1)(/}0{}1{: 11

−=−ℜ→−ℜ −−

xxff

Grafiquemos las dos en el mismo par de ejes para observar la simetría respecto a la recta y = x:

Adriana Favieri

Typewriter

Mg B. Williner - 2013

Adriana Favieri

Typewriter

-3 -2 -1 1 2 3x

-4

-2

2

4

6

y

Probemos ahora que xxffxff == −− )()( 11oo

[ ] x

x

x

x

x

xx

fxffxff =

−

−−+

=

−

+−=

−== −−

1

11

11

1

1

11

1

1

1)()( 11

o

[ ] x

x

xx

x

xx

xfxffxff =

−+=

−+=

+== −−−11

1111

)()( 111o

Ejemplo 3 dada )2(3)(/: xsenxfRRf =→ , hallar la función inversa estudiando previamente las condiciones de biyectividad. Graficar ambas en el mismo par de ejes coordenados Solución Sabemos que la función seno no es inyectiva. Además como está definida en el ejercicio tampoco es sobreyectiva. Para que sea inyectiva, y de acuerdo a la convención estudiada para las funciones inversas de trigonométricas, el argumento debe variar en el intervalo

−2

,2

ππ, es decir, nuestro argumento (2x) debe estar entre esos valores, por lo que:

4422

2

ππππ ≤≤−⇒≤≤− xx

Este será el dominio restringido para que la función tenga inversa. Respecto a la imagen, como tenemos un factor 3 multiplicando a sen(2x), el conjunto imagen será [ ]3,3−

Adriana Favieri

Typewriter

Mg B Williner - 2013

Así redefinimos [ ] )2(3)(/3,34

,4

: xsenxff =−→

− ππLa graficamos:

-p

4p

4

-3

-2

-1

1

2

3

Entonces [ ]

−→−−4

,4

3,3:1 ππf

Ahora despejemos x:

2

)3/()3/(2)2(3/)2(3

yarcsenxyarcsenxxsenyxseny =⇒=⇒=⇒=

Luego la respuesta completa es: [ ] )3/(2

1)(/

4,

43,3: 11 xarcsenxff =

−→− −− ππ

Composición de funciones IMPORTANTE: para resolver un ejercicio donde se pide componer dos funciones dadas, hay que seguir las siguientes acciones:

1. Si no están dados, calcular el dominio y la imagen de cada una de las funciones que intervienen, de ser posible graficarlas.

2. Si se cumple la condición: dominio de la primera función a componer incluido en la imagen de la segunda, directamente expresar la función composición, dando primero su dominio y conjunto de llegada y luego la regla de definición.

3. Si la condición expuesta anteriormente no se cumple hay que restringir el dominio de la primera función. Para esto planteamos que la variable independiente pertenezca a este dominio y que su imagen pertenezca al dominio de la segunda función. Una vez resuelta esta intersección de conjuntos, resulta el dominio buscado.

4. Indicar la composición hallada: primero su dominio y conjunto de llegada y luego la regla de definición.

Ejemplo 1 Sean 1)( += xexf y xxg −= 4)( Hallar fg o y gf o Primero calculamos dominio e imagen de cada una de las funciones que intervienen y luego las graficamos:

Adriana Favieri

Typewriter


La función f es exponencial de base mayor que uno, trasladada una unidad hacia la

izquierda. Tenemos: +ℜ=ℜ= ff ID y su gráfico es:

-3 -2 -1 1 2

5

10

15

20

La función g es una función irracional, trasladada 4 unidades hacia la izquierda y luego reflejada respecto al eje y. Entonces: ( ] [ )+∞=∞−= ,04, gg ID Su gráfico es:

-2 2 4 6

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

Hagamos primero :fg o R R+

(-∞, 4] [0, +∞) Como vemos la imagen de f no está incluida en el dominio de g, tenemos que restringir dominio de f. Planteamos la condición:

f

g

Adriana Favieri

Typewriter


4)( ≤∧ℜ∈ xfx

41 ≤∧ℜ∈ +xex 4ln1≤+∧ℜ∈ xx

14ln −≤∧ℜ∈ xx

Luego el domino de f restringido es: ( ]14ln,* −∞−=fD Escribimos la respuesta:

Rta: ( ] [ ) [ ] [ ] 11 4)()(/,014ln, ++ −===+∞→−∞−= xx eegxfgxfgfg oo Graficamos:

-3 -2 -1 1 2

0.5

1.0

1.5

2.0

Ahora hacemos :gf o (-∞, 4] [0, +∞)

R R+

Se puede componer ya que la imagen de g está incluida en el dominio de f. Luego escribimos la respuesta:

Rta: ( ] [ ] [ ] 144)()(/4,: +−+ =−==→∞− xexfxgfxgfRgf oo Con gráfico:

Adriana Favieri

Typewriter


-2 2 4

5

10

15

20

25

30

35

Observación: los gráficos de las composiciones todavía NO los podemos hacer. Acá están hechos con software Mathematica. Ejemplo 2 sean las funciones ( ) )1ln()(/1,: −−=→−∞− xxhRh y

3)(/: xxgg −=ℜ→ℜ En este caso las funciones están dadas con su dominio e imagen, vamos a graficarlas en un mismo par de ejes cartesianos:

-4 -3 -2 -1 1 2x

-4

-3

-2

-1

1

2

y

Comencemos planteando hg °

)1,( −−∞ ℜ ℜ ℜ

h

g

Adriana Favieri

Typewriter


Como observamos se cumple la condición requerida: gh Dom⊆Im , con lo que

escribimos sólo la respuesta:

( ) [ ] [ ] 3 )1ln()1ln()()(/1,: −−−=−−==→−∞−° xxgxhgxhgRhg o

Ahora planteamos gh °

ℜ ℜ )1,( −−∞ ℜ En este caso el conjunto imagen de g no está incluido en el dominio de h. Tenemos que restringir el dominio de g. Para esto planteamos:

1

1

1

)(

3

3

>∧ℜ∈>∧ℜ∈

−<−∧ℜ∈

∈∧∈

xx

xx

xx

DomxgDomx hg

Luego ( )+∞= ,1*gDom y ese es el dominio de la composición. Ya podemos armar la

respuesta:

( ) [ ] [ ] )1ln()()(/,1: 33 −=−==°ℜ→+∞° xxhxghxghgh

g

h

Adriana Favieri

Typewriter


Composición de funciones

Esta es una otra manera de combinar funciones. La composición entre la función f(x) y g(x) la vamos a designamos con gof(x) si primero

aplicamos la función f y luego g. Y fog si aplicamos primero g y luego f. La condición para que pueda realizar la composición es que la

imagen de la primera función esté incluída en el dominio de la segunda.

Ejemplo 1

Sean f(x)= x+1 g HxL = x2

Df = R If = R

Dg = R Ig = R0+

-3 -2 -1 1 2 3 4

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-3 -2 -1 1 2 3 4

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

analicemos la condición para que pueda realizarse gof(x), que en este caso es:

If Í Dg

R Í R

como en este caso son iguales podemos hacer la composición sin problemas. Y nos conviene analizar desde qué conjunto a cuál se

realiza esta composición

Df = R � If = R

Dg = R � Ig = R0+

Como los conjuntos intermedios son iguales la composición va desde el primer conjunto hasta el último, pasando a ser su dominio e

imagen respectivamente.

Dgof = R � Igof = R0+

Y analíticamente es:

gof(x) = g[f(x)]

que hace la función f? a lo que tiene le suma 1, asi que

gof(x) = g[x + 1]

que hace la función g? a lo que tiene lo eleva al cuadrado, asi que

gof(x) = (x + 1L2

Por lo tanto la composición queda:

gof(x) = (x + 1L2 / Dgof = R Igof = R0+

Ejemplo 2

Sean f(x)= x+1 g HxL = x2

Df = R If = R

Dg = R Ig = R0+

analicemos la condición para que pueda realizarse fog(x), que en este caso es:

Ig Í Df

R0+ Í R

como en este caso está incluído, así que podemos hacer la composición. Analicemos desde qué conjunto a cuál se realiza esta composi-

ción

Dg = R � Ig = R0+

Df = R � If = R

En este caso los conjuntos intermedios no son iguales, asi que hay que considerar eso. Veamos, como la función f se aplica luego de la

función g, la función f no estaría usando todos los valores de su dominio, estaría usando solamente los que obtiene de la función g, por

lo tanto la función f usa un dominio restringido Df* = R0

+. Y ahora nos preguntamos, si f usa este dominio restringido, cuál será la

imagen de f? y haciendo algunos cálculos nos damos cuenta de que If* = @-1, 0L. y el camino de los conjuntos queda

Dg = R � Ig = R0+

Df* = R0

+ � If* = @-1, 0L

ahora sí son iguales los conjuntos intermedios, por lo tanto la composición va desde el primer conjunto hasta el último, pasando a ser su

dominio e imagen respectivamente.

Dfog = R � Ifog = @-1, 0MY analíticamente es:


fog(x) = fAx2]


fog(x) = x2 + 1


fog(x) = x2 + 1 / Dfog = R Ifog = @-1, 0MPuede observase que la composición de funcion NO es comnutativa

gof(x) ¹ fog(x)

Mg Adriana Favieri - 2013 Composición de funciones y funcion inversa.nb | 1

adrimatematica.blogspot.com

Adriana Favieri

Typewriter

analicemos la condición para que pueda realizarse fog(x), que en este caso es:

Ig Í Df

R0+ Í R

como en este caso está incluído, así que podemos hacer la composición. Analicemos desde qué conjunto a cuál se realiza esta composi-

ción

Dg = R � Ig = R0+

Df = R � If = R

En este caso los conjuntos intermedios no son iguales, asi que hay que considerar eso. Veamos, como la función f se aplica luego de la

función g, la función f no estaría usando todos los valores de su dominio, estaría usando solamente los que obtiene de la función g, por

lo tanto la función f usa un dominio restringido Df* = R0

+. Y ahora nos preguntamos, si f usa este dominio restringido, cuál será la

imagen de f? y haciendo algunos cálculos nos damos cuenta de que If* = @-1, 0L. y el camino de los conjuntos queda

Dg = R � Ig = R0+

Df* = R0

+ � If* = @-1, 0L

ahora sí son iguales los conjuntos intermedios, por lo tanto la composición va desde el primer conjunto hasta el último, pasando a ser su

dominio e imagen respectivamente.

Dfog = R � Ifog = @-1, 0MY analíticamente es:


fog(x) = fAx2]


fog(x) = x2 + 1


fog(x) = x2 + 1 / Dfog = R Ifog = @-1, 0MPuede observase que la composición de funcion NO es comnutativa

gof(x) ¹ fog(x)

Ejemplo 3

f HxL = x + 1 gHxL = ln H2 - xLDf = @-1, +¥L If = R0

+

Dg = H-¥, 2L Ig = R

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5


If Í Dg

R0+ Í H-¥, 2L

en este caso no se cumple la condición. Lo que hay que hacer en estos casos es calcular la intersección entre estos conjuntos, y si no es

vacía se pueda realizar la composición.

Veamos

R0+ Ý H-¥, 2L = [0,2)

y para poder hacer la composición tanto la If como el Dg deben ser iguales a este conjunto obtenido. Así que tenemos que restringir

Queremos que If = [0,2)

y para ello nos tenemos que preguntar para que valores de x la imagen es menor que 2

x + 1 < 2 ï x + 1 r 0

x + 1 < 4 ï x r -1

x < 3 ï x r -1

así que el Df* = @-1, 3L

2 | Composición de funciones y funcion inversa.nb Mg Adriana Favieri - 2013



If Í Dg

R0+ Í H-¥, 2L

en este caso no se cumple la condición. Lo que hay que hacer en estos casos es calcular la intersección entre estos conjuntos, y si no es

vacía se pueda realizar la composición.

Veamos

R0+ Ý H-¥, 2L = [0,2)

y para poder hacer la composición tanto la If como el Dg deben ser iguales a este conjunto obtenido. Así que tenemos que restringir

Queremos que If = [0,2)

y para ello nos tenemos que preguntar para que valores de x la imagen es menor que 2

x + 1 < 2 ï x + 1 r 0

x + 1 < 4 ï x r -1

x < 3 ï x r -1

así que el Df* = @-1, 3L

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

Ahora trabajamos con la función g

queremos que su dominio sea D*g= [0,2)

para este dominio, cuál será su imagen?

si 0 £ x < 2 � ln (2) será el valor máximo que puede alcanzarIg* = H-¥, ln H2L L

1 2 3

-2

-1

1

2

Df* = @-1, 3L � I*

f = @0, 2LD*

g = @0, 2M � Ig* = H-¥, ln H2L L

Como los conjuntos intermedios son iguales la composición va desde el primer conjunto hasta el último, pasando a ser su dominio e

imagen respectivamente.

Dgof = @-1, 3M � Igof = H-¥, ln H2L LY analíticamente es:

gof(x) = g[f(x)]

que hace la función f? a lo que tiene le suma 1, y le saca raíz cuadrada, asi que

gof(x) = g[ x + 1 ]

que hace la función g? le cambia el signo, le suma 2 y le saca el ln

gof(x) = ln(2 - x + 1 )


gof(x) = ln(2 - x + 1 ) / Dgof = @-1, 3M Igof = H-¥, ln H2L L



-2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

Función biyectiva

Función inyectiva

Una función es inyectiva si a dos elementos distintos le corresponden imágenes distintas.

f(x) es inyectiva � " x Î Df se verifica que si x1 ¹ x2 � f Hx1) ¹ f(x2LFunción sobreyectiva

Una función es sobreyectiva si para todo elemento de la imagen existe un elemento del dominio, tal que su imagen es ese elemento de

la imagen.

f(x) es sobreyectiva � " y Î If $ x Î Df / y = f(xLFunción biyectiva

Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.

y

x

-1

D = R

I = H-1 . +¥LEs biyectiva

Importancia de las funciones biyectivas

La importancia de las funciones biyectivas radica en que a ellas se les puede calcular la función inversa. Sólo las funciones biyectivas

admiten función inversa.

Si f(x): Df � If es biyectiva � $ f -1(x): Df-1 = If � If

-1 = Df

Cracterísticas del gráfico de una función y el de su inversa

El gráfico de una función y el de su inversa resultan ser simétricos con respecto a la recta y = x.

y

x

y = fHxL

y = f-1HxL

Procedimiento para hallar la función inversa de una función biyectiva

è Se halla dominio e imagen de f(x)



è Se verifica que es biyectiva

è Se despeja x

è Se intercambia la x por la f -1(x) y la y por la x, obteniéndose así la función inversa

è El dominio de la función inversa es la imagen de la función

è La imagen de la función inversa es el dominio de la función

è Se grafican las dos funciones juntas y se verifica la simetría con respecto a y = x

Ejemplos

Hallar, si es posible, la función inversa de f(x) = 2 x -1


è Df = R If = R

è Se verifica que es biyectiva

è Lo hacemos gráficamente, pero como es una recta sabemos que es biyectiva

y

x-1

1�2

è Se despeja x

è y = 2 x -1

è y +1 = 2 x

è

y +1

2 = x

è Se intercambia la x por la f -1(x) y la y por la x, obteniéndose así la función inversa

è f-1(x) =

x +1

2


è Df-1 =R


è If-1 = R


y

x

fHxL = 2 x -1f

-1HxL =

x + 1

2



Hallar, si es posible, la función inversa de f(x) = x2 -1


è Df = R If = [-1,+¥)

y

x

-1

è Con este dominio e imagen la función no es biyectiva

è Restringimos el dominio para que lo sea; y tenemos dos opciones

è D*

f = R0+ If = [-1,+¥)

y

x

-1

è D*

f = R0- If = [-1,+¥)

y

x

-1

è Vamos a calcular las dos inversas

è Primer caso: D*f = R0

+ I f = [-1,+¥)

è Se despeja x

è y = x2 -1

è y + 1 = x2



è ¤ x¤ = y + 1

è Como estamos en R0+ sacamos las barras de módulo y escribimos:

è x = y + 1

è f-1(x) = y + 1


è Df-1 = [-1,+¥)


è If-1 = R0+


y

x

-1

-1

fHxL = x2

-1

f-1HxL = x + 1

è Segundocaso: D*f = R0

- I f = [-1,+¥)

è Se despeja x

è y = x2 -1

è y + 1 = x2

è ¤ x¤ = y + 1

è Como estamos en R0- sacamos las barras de módulo y escribimos:

è -x = y + 1

è f-1(x) = - y + 1


è Df-1 = [-1,+¥)


è If-1 = R0-




y

x

-1

-1

fHxL = x2

-1

f-1HxL = x + 1



Composición y función inversa

f HxL = log2 Ix2 - 1M g HxL = 3 - x

Cálculo del dominio de f

Para poder calcular los logaritmos debe cumplirse

x2 - 1 > 0

x2 > 1

¥ x¥ > 1

¶ Df = H-¥, -1L Ü H1, +¥LIf = R

Cálculo del dominio de g

Para poder calcular la raíz cuadrada debe cumplirse

3 - x ³ 0

3 ³ x

Dg = H-¥, 3EIg = R0

+

Condición para realizar g o f debe cumplirse

If Í Dg

veamos si se cumple

R � (-¥, 3] como no se cumple, calculamos la intersección entre ellos, y si no es el conjunto vacío, podremos restringir los conjuntos que

correspondan y realizar la composición.

R Ý (-¥, 3] = (-¥, 3]

este resultado nos indica que tenemos que restringir If al conjunto If* = H-¥, 3D.

Para esto debemos restringir también el Df, y nos preguntamos

log2 Ix2 - 1M £ 3

Ix2 - 1M £ 23

x2 £ 8 + 1

x2 £ 9

¥ x¥ £ 3

pero como Df = H-¥, -1L Ü H1, +¥L debemos calcular la intersección entre el resultado obtenido y Df

((-¥, -1 ) Ü (1, +¥ ) ) Ý (-3, 3) = (-3, -1) Ü (1, 3)

por lo tanto Df

* = H-3, -1L Ü H1, 3LIf* = H-¥, 3D

y podemos escribir

Df* = H-3, -1L Ü H1, 3L ® If

* = H-¥, 3DDg = H-¥, 3E ® Ig = R0

+

como ahora son iguales los conjuntos que están en el medio, sí lo podemos remarcar

Df* = H-3, -1L Ü H1, 3L ®

If* = H-¥, 3D

Dg = H-¥, 3E® Ig = R0

+

y concluir que Dgof = H-3, -1L Ü H1, 3LIgof = R0

+



y concluir que Dgof = H-3, -1L Ü H1, 3LIgof = R0

+

g o f HxL = 3 - log2 Ix2 - 1M

-4 -2 2 4

1

2

3

Cálculo de la inversa de f (x)

f HxL = log2 Ix2 - 1M ¶ Df = H-¥, -1L Ü H1, +¥LIf = R -10 -5 5 10

-4

-2

2

4

con este dominio e imagen la función no es biyectiva, ya que no se cumple inyectividad. Para que lo sea debemos restringir el dominio,

por ejemplo. (podría haberse usado la otra rama de la función)

f HxL = log2 Ix2 - 1M ¶ Df* = H1, +¥L

If = R -10 -5 5 10

-4

-2

2

4

Con este dominio e imagen es biyectiva, entonces sí podemos encontrar la función inversa.

Despejamos x

y = log2 Ix2 - 1Mx2 - 1 = 2y

x2 = 1 + 2y

¢x ¢ = 1 + 2y

como Df* = H1, +¥L podemos escribir

x = 1 + 2y

\ f-1 HxL = 1 + 2x conD

f-1* = R

If-1 = H1, +¥L -10 -5 5 10

-4

-2

2

4



composición de funciones y función inversa

Documents