COMPOSICIN DE FUNCIONES(TEXTO PARA UN OBJETO DE APRENDIZAJE)

ING. ALEJANDRA VARGAS ESPINOZA DE LOS MONTEROS ING. SERGIO CARLOS CRAIL CORZAS1

COMPOSICIN DE FUNCIONESLa composicin es una operacin entre funciones que se establece de la siguiente manera: Dadas dos funciones f y g , se define como la composicin de la funcin f con la funcin g , a la funcin denotada f g ( lase f composicin g ), cuya regla de correspondencia es

(

f g

)( x)= f [

g ( x)

]

donde su dominio est representado por el conjunto

Df

g

=

{x

x Dg ; g ( x ) Df

}

Para obtener la regla de correspondencia de la funcin f g , segn la definicin anterior, basta con sustituir la funcin g en la variable independiente de la funcin f . As por ejemplo, sean las funciones f ( x ) = 4 x 2 1 y g ( x ) = x , entonces, la regla de la funcin f g se obtiene mediante la siguiente sustitucin

(

f g

)(x)= f [

g ( x)

]

, por lo que

((

f g

)(x)=

f

x

, entonces

f g

) ( x ) = 4x 1

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Del mismo modo resolvamos el siguiente ejemplo: Escribir en el parntesis la letra de la columna de la derecha que corresponda a la regla de correspondencia de la composicin indicada, para

f ( x ) = x 2 + 1,

g(x)=

x

y

h(x) =a)

1 x 1x2 +1

1).-

(

f g

)(x)=

............ (

)

2).-

(

g h )(x)=

........... (

)

b)

x +1

3).-

(

h g

)( x)=

............ (

)

c)

1 x 1

4).-

(

g f

)(x)=

.............. (

)

d)

x2 + 2

5).-

(

f h ) ( x ) = .............. (

)

e)

1 x

f)

1 x 1x +1

g)

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Para entender mejor cmo se obtiene el dominio y el recorrido de la composicin, recurramos a la notacin funcional, pues la definicin se expresa en estos trminos. Notacin Funcional.- Es una simbologa que sirve para representar sucintamente una funcin, se expresa de la siguiente manera

y = w ( x)Donde:

w x

Representa la regla de correspondencia de la funcin. Indica el dominio de la funcin w , o bien, a la variable independiente.

w ( x ) Representa al recorrido de la funcin w , indica los valores de la variabledependiente. Entonces, en estos trminos, el significado de

f

[

g ( x)

]

Es que el dominio de la funcin resultante, es un subconjunto, propio o impropio, del dominio de la funcin g , y que su recorrido es un subconjunto propio o impropio de la funcin f .

De lo anterior, es importante tener presente que la condicin para que se pueda efectuar esta operacin es el cumplimiento de

R g Df

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A partir de la condicin anterior, indicar si es posible o no obtener la composicin entre las funciones que se indican: Si:

g ( x ) = x2 f (x)= x 1

h(x)=

1 1+ x2

i(x)=j(x)=k(x)=Entonces: a) f g b) c) d) e) f) g) h) i) j)

1 ( x 2 )21 x2x

; ;; ; ; ; ; ; ; ;

no es posible s es posible no es posible s es posible s es posible no es posible s es posible s es posible s es posible no es posible5

g f i h h i j k k j k g g k fi g

j

Para visualizar mejor cmo se obtiene el dominio y el recorrido de la funcin composicin f g , recurramos a su representacin en un diagrama de Venn.

Podemos ver que el D conjunto R g D f .

f

g

( dominio de f

g ) lo formarn aquellos elementos

del D g para los cuales, al sustituirlos en la funcin g , el resultado pertenece al

Para obtener el R

f

g

( recorrido de f

g

), analizamos los valores que

obtenemos de la funcin f , cuando la valuamos en todos los elementos del conjunto Rg D f .

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Ejemplo.- Si f ( x ) = 1 + x y trazar su grfica.

y g ( x ) = x 2 1 , obtener la funcin f

g,

Si hacemos la representacin correspondiente en un diagrama de Venn

Si adems trazamos las grficas de las funciones involucradas:

El D

f

g

lo formarn aquellos elementos del D g

tales que al valuarlos en la

funcin

g , se encuentren en el conjunto que ese conjunto es IR .7

[ 1,

) . Podemos darnos cuenta

El R

f

g

estar formado por aquellos valores que se obtienen de sustituir en la

funcin

f

, los elementos del conjunto

sustitucin es el conjunto

(

, 0

]

[ 1,

) . El resultado de esta

Al obtener la regla de correspondencia de la funcin f

g queda

f

[

g ( x)

]=

f x2 1 =

1+ ( x2 1 ) =

x2

De lo analizado antes, conclumos que la regla de correspondencia de la funcin

f

g no puede ser x , sino

x2

cuya grfica ser.

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Ejemplo.- Si f ( x ) = trazar su grfica.

x

y

g ( x ) = 1 x 2 , obtener la funcin f

g, y

Si hacemos la representacin en un diagrama de Venn.

Sea

Rg D f =

(

, 0

] , 0 ] ; vemos que esos elementos son

El dominio de f o g lo formarn aquellos elementos del dominio de g tal que al sustituirlos en ella, se obtienen

(

, 1

] [ 1 , ).

(

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f o g estar formado por todos los valores que se obtienen al sustituir cada elemento del conjunto ( , 0 ] en la funcin f ; el resultado que se obtiene es [ 0 , ) .El recorrido de La regla de correspondencia de la funcin f

g est dada porx2 1 ,cuya grfica es:

(

f

g

) ( x)

= f

[ g ( x) ] =

1 x 2 =

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Ejemplo.- Para las funciones del ejercicio anterior obtener g trazar su grfica.

f , as como

Sea

R f Dg = [ 0 , f

)

,

entonces

el

Dg

f

=

(

, 0

]

y

el

Rg

=

( , 1 ],

entonces

(

g

f

) ( x)

= g

x = 1+ x

cuya

grfica es

Como se pude observar la operacin composicin no cumple la conmutatividad

f g g fsalvo casos particulares.

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