UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PEREIRA

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

MATEMATICA I

EJEMPLOS DE FUNCIÓN COMPUESTA

FABIO VALENCIA

COMPOSICION DE FUNCIONES

Ejemplos de cómo hallar (f ₀ g)(x) y como hallar su dominio

Ejemplo 1) Sea f(x)=x2+3 y g(x)=√ x−3

(f ₀ g)(x)=f(g(x))=f(√ x−3¿=(√ x−3)2+3=x−3+3=x

De donde (f ₀ g)(x)=x

Ojo al hallar el dominio de (f ₀ g)(x)=x podríamos pensar que todos los números reales pero esto es falso porque?

Una manera de hallar el dominio

D(f ¿¿ ₀g)={x∈ R / x∈Dg¿ y g(x)∈D f}

Hallamos el D g=[3 ,+∞ ) y el Df=R

D(f ¿¿ ₀g)={x∈Dg¿/ g(x)∈D f}

Interpretemos esta definición de dominio de una función compuesta

Los valores del dominio D(f ¿¿ ₀g)¿ deben estar contenidos o ser iguales a D g=[3 ,+∞ )

Que significa g(x)∈D f? Reemplazando √ x−3 ∈R

Esto se puede dar si y solo si x-3≥0 y despejando x≥3 como debemos hacer una intersección nos da

D(f ¿¿ ₀g)=[3 ,+∞ ]¿

Ejemplo 2)

Sea f(x) = √ x−1 y g(x)=2x+3x−1

Hallar (f ₀ g¿(x ) y su dominio

Solución

(f ₀ g¿(x )=f(g(x))=f(2x+3x−1¿=√( 2 x+3x−1 )−1 =√ 2 x+3−x+1x−1

=√ x+4x−1

(f ₀ g¿ ( x )=√ x+4x−1

Recordemos que para hallar el dominio debemos primero hallar el dominio D g y luego el dominioDf

D g=R−{1 }

El valor del dominio de D(f ¿¿ ₀g)debe estarcontenidoo ser igual alD g=R−{1 }¿

Hallemos el Df=¿

Revisemos bien

D(f ¿¿ ₀g)={x∈ R / x∈Dg¿ y g(x)∈D f}

Que significa que g(x)∈D f

g(x)=2x+3x−1 y Df=¿

pensándolo un poquito 2x+3x−1≥1 esta inecuación es la que vamos a

resolver la inecuación, recordando que debemos hacerla positiva o negativa

2x+3x−1

−1≥0

2x+3−x+1x−1

≥0

x+4x−1

≥0

X+4 -------------------(-4)+++++0+++++++++++++

x-1 ------------------------------0------- (+1)+++++++++

x+4x−1 ++++++++++(-4) --------0--------(+1)++++++++

Esta solución ¿∪(1,+∞) la intersectamos D g=R− {1 }

Y nos da D(f ¿¿ ₀g)=¿∪ (1 ,+∞)¿

Ejercicio Hallar la función compuesta (f ₀ g) y (g ₀ f) lo mismo que el dominio de la compuesta respectivamente

a) f(x)=1

x2, g(x)=√ x−1

b) f(x)= √xx−2 g(x)= x+3x−1