comportamiento mecÁnico de materiales … · modelos de creep en los análisis numéricos, ......

X CONGRESO INTERNACIONAL DE INGENIERIA DE PROYECTOS

VALENCIA, 13-15 Septiembre, 2006

COMPORTAMIENTO MECÁNICO DE MATERIALES PLÁSTICOS A FLUENCIA (CREEP) EN EL DISEÑO DE PRODUCTO. CASO DE

ESTUDIO: CONSOLA CENTRAL DE UN AUTOMÓVIL

Josep M. Puigoriol Forcada(p), Noemí Enguita Albet, Guillermo Reyes Pozo

Abstract The strong evolution of automotive industry in the recent past years has accentuated the need of new methodologies in product development in order to ensure that the demand expectations from clients are fulfilled in the final product. The nowadays shorter requirements of developing periods and the increase of quality and reliability levels demanded, have encouraged engineering tools as the Finite Elements Method FEM, to lead the design quickly to intermediate well oriented to the final solution prototypes, in the different stages of the life cycle of these products.

In the assemblies of interior systems of vehicles, where a high participation of plastic products exists, it is very important to control all those phenomena related with that kind of viscoelastic materials that may affect the mechanical behaviour of the product following the requirement documentation specified from the client needs. A proper characterization is of actual interest nowadays.

Plastic materials display a low response under creep. Nowadays, in automotive inner systems industry, creep models are not used in numerical analysis, although they exist in libraries of many standards in market numerical codes. The main reason is lack of knowledge in the phenomenon and the difficulty of analyze the behaviour of large groups with assumable computational times.

In the following article a performed study about creep, using FEM, is presented, evaluating mathematical models that are now available and outlining on the feasibility in industry. The analysis has been performed using specimens, later the information obtained is used in real part and finally in a whole group of parts of the central console of a real vehicle.

Key Words: central console, vehicle, creep, FEM, industrial feasibility

Resumen La fuerte evolución de la industria del automóvil en los últimos años ha acentuado la necesidad de nuevas metodologías de desarrollo de producto para asegurar que las expectativas demandadas por el cliente estén plenamente satisfechas en el producto final. La exigencia de tiempos de desarrollo cada vez más cortos y el aumento de los niveles de calidad y fiabilidad demandados han propulsado herramientas como el Método de los Elementos Finitos MEF, a fin de conducir el diseño rápidamente hacia unos prototipos intermedios muy bien orientados hacia la solución final, en las distintas fases del ciclo de vida.

En los conjuntos de sistemas de interior para automoción, donde hay una participación elevada de componentes de plástico, resulta muy importante controlar todos aquellos fenómenos ligados a este tipo de material viscoelástico que puedan afectar al

679

comportamiento mecánico del producto frente a los distintos pliegos de requerimientos exigidos por el cliente. Una correcta caracterización resulta cada vez más necesaria.

Los materiales plásticos presentan una respuesta bajo carga conocida como fluencia (creep). Actualmente, en la industria de sistemas interiores para automoción no se usan modelos de creep en los análisis numéricos, aunque existan en las librerías de los distintos códigos numéricos estándares del mercado. La razón principal es el desconocimiento en profundidad del fenómeno y de la dificultad de analizar este comportamiento en conjuntos grandes con tiempos de computación razonables.

En la presente comunicación se expone el estudio realizado sobre este fenómeno mediante el MEF, evaluando modelos matemáticos que se disponen actualmente en el mercado y subrayando el aspecto referente a viabilidad en su uso industrial. Los análisis se han llevado a cabo sobre probetas, para posteriormente ejecutarlos en un modelo pieza y finalmente en un conjunto completo de consola central de un automóvil actual.

Palabras claves: consola central, vehículo, creep, MEF, viabilidad industrial

1. Introducción El Método de Elementos Finitos se ha impuesto como un método muy útil para ayudar a abordar con éxito los tiempos de desarrollo de producto exigidos por la industria actual, asegurando la calidad y fiabilidad demandada por el cliente.

En productos fabricados con materiales plásticos, muy utilizados en conjuntos de sistemas de automoción, una buena caracterización mecánica resulta muy importante para lograr un nivel acurado de respuesta en análisis estructurales mediante simulación numérica.

Se profundiza sobre el comportamiento viscoelástico que presentan los materiales termoplásticos bajo carga (fluencia o creep), y se establece una visión sobre los modelos disponibles en el código numérico ANSYS, así como una reflexión sobre la viabilidad de uso para la industria del modelo seleccionado.

2. Análisis de datos

2.1. Evaluación de los modelos matemáticos disponibles. Correlación ensayo sobre probeta-simulación

El código numérico ANSYS, en su versión 8.0 [7], presenta 13 modelos constitutivos para abordar el fenómeno de fluencia. Estos modelos se caracterizan por unas constantes que deben obtenerse mediante ensayo experimental a fluencia del material, datos definidos para el presente estudio en los laboratorios de la firma Basell.

Los ensayos de referencia han sido realizados con probeta inyectada en condiciones ideales según el ensayo de flexión sobre tres puntos.

Se han seleccionado dos materiales para su caracterización. El primero, un polipropileno copolímero con un 20% de refuerzo mineral PPT20, tratado a lo largo del estudio como material isótropo (hipótesis de trabajo). El segundo se trata de un material composite formado de matriz polimérica reforzado con un 30% de fibra de vidrio, PP30GF. Para este último se ha dispuesto de datos de ensayo de fluencia realizados a flexión de probeta recortada según dirección longitudinal (respecto a fibras) y según dirección transversal. En función de la disposición de estas fibras dentro de la matriz polimérica, los resultados experimentales varían significativamente, por lo que se ha tratado como dos materiales distintos.

680

Se dispone de la siguiente información experimental sobre probeta ideal, ilustrada en la tabla 1.

Material Temperatura T[ºC] Tensión σ[MPa]

23 1 4 6 10

50 1 4 6 10

80 1 4 6 10 PPT20

110 1 4 6 10

23 1 6 10

80 1 6 10 PP30GF Trans.

PP30 GF Long.

110 1 6 10

Tabla 1. Ensayos experimentales para PPT20, PPT30GF Trans. y PPT30GF Long.

Los valores obtenidos mediante ensayo de deformación ε versus tiempo contemplan tanto la deformación debida al comportamiento elástico del material εelástica (valor instantáneo de deformación estática al aplicar la carga) como la deformación debida al comportamiento de fluencia εcreep, siendo esta última componente la de interés.

Para llevar a cabo el estudio de la bondad de uso de los modelos matemáticos de los distintos modelos, se ha centrado el estudio en el material PPT20 a 23ºC. Los modelos constitutivos que presenta ANSYS se resumen en la tabla 2. En ella se distinguen dos familias de modelos: aquellos que dependen de la deformación ε versus el tiempo t (6, 11 y 13) y aquellos que dependen de la velocidad de deformación •

ε versus el tiempo (1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9,10 y 12).

En primer lugar, para los modelos con dependencia de ε, se han realizado regresiones no lineales a fin de lograr las distintas constantes que definen las ecuaciones constitutivas. Para cada temperatura y un mismo material, se han hallado distintos valores de constantes. La regresión no lineal ha sido realizada con la herramienta Solver de Microsoft Excel. Esta herramienta implementa el método Simplex de optimización multivariable [1], minimizándose el error máximo de la estimación.

Una vez hallado las constantes se determina el valor εcreep analítica para obtener, añadida a la deformación elástica εelástica, la deformación total εanalítica comparable con la obtenida mediante ensayos.

Para los modelos con dependencia de la velocidad de deformación, a priori no son aplicables de forma directa, ya que no se dispone de dicha velocidad de deformación de fluencia versus tiempo (no es usual obtener estos datos). Con el fin de no descartar directamente estos modelos, se ha procedido a realizar una derivación numérica mediante los datos de deformación ε versus el tiempo t. Posteriormente, una vez obtenido el valor de los datos incremento deformación •

ε versus tiempo, se han obtenidos las constantes, tal y como se ha expuesto anteriormente.

El método usado para derivar ha sido el de Lagrange de grado 3, siendo necesario integrar la ecuación constitutiva. Una vez integrada y con los valores de las constantes determinados se calcula la εanalítica.

681

Modelo Nombre Ecuación

1 Strain Hardening )/(1

432 TCCCcr eC −•

⋅⋅⋅= εσε

2 Time Hardening )/(1

432 TCCCcr etC −•

⋅⋅⋅= σε

3 Generalized Exponential

)/(51

432 , TCCtrCcr eCrerC −⋅−

•

⋅⋅=⋅⋅⋅= σσε

4 Generalized Graham

)/(641

87532 )( TCCCCCcr etCtCtC −•

⋅⋅+⋅+⋅⋅= σε

5 Generalized Blackburn

,)1( tgef trcr ⋅+−⋅= ⋅−

•

ε

σσ σ ⋅⋅ ⋅=

⋅⋅= = 7

5

26

431 ,, C

CC eCg

CCCf re

6 Modified Time Hardening 13

)/()1(1

432

+⋅⋅⋅

=−+

CtC TCCC

creσε

7 Modified Strain Hardening ( )( ) 1

1

31 332 )1( +•

⋅+⋅⋅= CCCcr CC εσε

8 Generalized Garofalo ( )( ) )/(

2143sinh TCC

cr eCC −•

⋅⋅⋅= σε

9 Exponential form )/()/(1

32TCC

cr eeC −•

⋅⋅= σε

10 Norton )/(1

32TCC

cr eC −•

⋅⋅= σε

11 Time Hardening )/(5

3

)/()1(1 76

432

1TCC

TCCC

cr etCCtC e −

−+

⋅⋅⋅++⋅⋅⋅

= σσε

12 Rational

polynomial

,1

,1 ttptpc

tC mc

ccr ⋅+

⋅+⋅⋅

=∂∂⋅=

••

εεεε

121198431072 ,,10 CC

mCC

mCC

m CpCcC σεσεσε σ ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=••

⋅•

13 Generalized Time Hardening

,1 )/( 6 TCrcr ef −

•

⋅⋅=εσσσσ ⋅+=⋅+⋅+⋅= 54

33

221 , CCrCCCf

100 Definido por usuario

Tabla 2. Modelos de creep, código numérico ANSYS

2.2 Elección del modelo De aquellos modelos en los cuales ha sido necesario realizar una derivación numérica, se han estudiado el 2, el 4, el 9 y el 10. Los modelos 1, 3, 5, 7, 8 y 12 son modelos más complejos analíticamente por lo que requieren un estudio más preciso. De entrada, se intuyen problemáticos para una viabilidad en uso industrial.

La derivación numérica es un método que añade un nivel significativo de error en el proceso. En este caso, además, el error se enfatiza por la ligera pendiente de las curvas. Se concluye que este método no es aceptable para abordar la anterior familia de modelos constitutivos a partir de los datos disponibles (curvas típicas de caracterización en entorno industrial).

Por lo que a los modelos 6, 11 y 13 se refiere, el que presenta mayor ajuste es el 6. El modelo 11 manifiesta una correlación pobre con los valores experimentales, manteniéndose la deformación bastante constante a lo largo del tiempo. Este modelo únicamente presenta

682

sensibilidad frente a la variación de tensión de ensayo. Por otro lado, el modelo 13 presenta mayor correlación pero más débil que la del modelo 6, visualizando los 4 ensayos a distintas tensiones. Consecuentemente, el modelo seleccionado es el 6, Modified Time Hardening. Se define según la ecuación constitutiva

,13

)/()1(1

432

+⋅⋅⋅

=−+

CtC TCCC eσε (1)

donde t [s] es el tiempo, T [ºC] la temperatura y C1, C2, C3 y C4 son constantes del material. El código numérico ANSYS requiere que se especifiquen estas constantes para cada temperatura de trabajo. Al establecerse un valor de temperatura para un estudio concreto, el término ( )TCe /4− se mantiene constante y se incluye en la constante C1, por lo que la fórmula anterior puede abordarse, para un uso más cómodo, de la siguiente forma:

.13

)1(1

32

+⋅⋅

=+

CtC CCσε (2)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

0,1 1 10 100 1000 10000

t (min)

Def

orm

ació

n (%

)

1 MPa Datosexperimentales




1 MPa Datosanalíticos




Figura 1. Correlación datos experimentales versus datos analíticos, material PPT20, T=23ºC. Modelo constitutivo Modified Time Hardening

2.3 Constantes características del modelo La definición de los dos materiales se realiza con la implementación de las constantes estimadas, según temperatura:

23ºC 50ºC 80ºC 110ºC

C1 7.01-7 4.16-5 4.16-5 8.03-5

C2 1.4710 1.5809 1.5837 1.5960 C3 -0.5 -0.8173 -0.7866 -0.8186

Tabla 3. Constantes, material PPT20

683

23ºC 80ºC 110ºC C1 2.86-8 4.93-7 5.39-7

C2 0.3571 0.3621 0.3580 C3 -0.2368 -0.2204 -0.2636

Tablas 4 y 5. Constantes material PP30GF Trans. y PP30GF Long.

3. Simulación. Casos de estudio

3.1 Ensayos sobre probeta Se han realizado dos tipos de simulaciones, correspondientes al ensayo de fluencia a flexión y al ensayo de fluencia a tracción.

Para el ensayo de fluencia a flexión sobre tres puntos [2], la probeta adquiere la deformación clásica arqueada, presentando en la fibra inferior una elongación positiva mientras que la superior se encuentra sometida a contracción. El valor de deformación de la fibra más solicitada (superior e inferior con igual deformación pero de signo contrario) puede expresarse como

,1006(%) 2 ⋅⋅⋅

=v

y lhfε (3)

siendo f [mm] la flecha, h [mm] la altura de la probeta y lv la distancia entre puntos de apoyo sobre la probeta (soportes). Este valor representa el % de elongación de las fibras más solicitadas y es seleccionado como deformación característica por ser la más desfavorable dentro de una misma sección. Este valor de deformación ε contempla tanto la deformación debida al comportamiento elástico de la probeta como la deformación debida al comportamiento de fluencia.

Las dimensiones de las probetas están en acorde con la norma DIN 53452 [3] para ensayos de flexión por tres puntos en materiales plásticos. La solicitación es la requerida para lograr, en la fibra más solicitada (y=±h/2), el valor de tensión definido para la prueba. Para el ensayo de fluencia a tracción se ha sometido las probetas a la norma DIN 53455 [4].

Figuras 2 y 3. Mapa de desplazamientos en y [mm] y en x [mm], σ =4MPa, material PPT20, T=110ºC. Ensayo de flexión y de tracción. Imágenes aumentadas 5 veces

23ºC 80ºC 110ºC

C1 2.86-8 8.56-8 2.52-7

C2 0.3571 0.3635 0.3554 C3 -0.2368 -0.2148 -0.2785

684

Para ambos análisis, el material se ha contemplado como isótropo, tratándose el PP30GF como dos materiales virtualmente distintos en función de la orientación de las fibras.

Se ha utilizado el elemento PLANE 182 de ANSYS [7] bajo condiciones de estado de tensión plana, caracterizado por cuatro nodos con dos grados de libertad asociados a cada uno de ellos. Se ha llevado a cabo una simulación implícita como no lineal debido al propio comportamiento no lineal del material (fluencia) y debido al enfoque de grandes desplazamientos. La serie de cálculos realizados coinciden con la de pruebas experimentales (tabla 1).

El método iterativo usado para la resolución de los cálculos ha sido el de Newton Raphson Modificado [5]. El control del proceso de carga sobre el camino de equilibrio se ha trazado mediante el control de la longitud del arco (arc-lenght) [6]. Ambos utilizados a lo largo de todo el proyecto.

3.2 Ensayo térmico sobre pieza real. Anillo embellecedor de consola central de un automóvil Una vez realizadas las simulaciones sobre probeta, se ha pasado a un modelo con mayor nivel de complejidad (número de elementos superior, distribución de tensiones no obvio, …). En concreto, se ha analizado el comportamiento deformacional y tensional de la pieza anillo de una consola central de un automóvil bajo ensayo térmico sostenido a lo largo del tiempo.

Figura 4 y 5. Pieza anillo, modelo CAD (CATIA v5r11). Modelo FEM (ANSYS v8.0)

El ensayo térmico a larga duración sobre componente real se efectúa dentro de cámara climática con la imposición de distintos ciclos térmicos. Al aplicar una carga térmica a la pieza, ésta presenta un comportamiento de dilatación que puede contemplarse (sin tener en cuenta otros fenómenos no tratados en el presente estudio) mediante la ecuación lineal clásica. La deformación lineal total bajo carga térmica después de un determinado tiempo de ensayo se describe en función de la componente debida a la dilatación lineal del material y la debida al comportamiento de fluencia:

,creepT εαε +∆⋅= (4)

donde α [1/ºC] es el coeficiente lineal de dilatación térmica y ∆T el incremento de temperatura.

La pieza se fabrica con el material PPT20. De la misma forma que en el caso anterior, el material se ha contemplado como isótropo y el modelo constitutivo es el Modified Time Hardening.

El coeficiente lineal de dilatación térmica para este material, a 110ºC, es de 1.04-4 /ºC.

685

Se ha utilizado el elemento SHELL 181 [7], caracterizado por cuatro nodos con seis grados de libertad asociados a cada uno de ellos. Se han implementado 310 nodos y 294 elementos; modelo de 1860 grados de libertad (DOF).

La condiciones de enlace sobre el modelo simulan las interacciones más importantes con las piezas vecinas; tornillo en rebajes laterales y clipaje en zona frontal y laterales.

De forma equivalente, se ha efectuado una simulación implícita como no lineal debido al propio comportamiento no lineal del material (fluencia) y debido al enfoque de grandes desplazamientos. La solicitación impuesta responde a una temperatura de 110ºC durante 20 horas.

Las siguientes figuras muestran un ejemplo de los mapas de deformaciones y tensiones equivalentes de Von Mises obtenidos al aplicar la carga térmica durante 10 segundos (deformaciones instantáneas debido a la dilataciones lineales sin efecto creep) y durante 20 horas (deformaciones de fluencia más las debida al efecto térmico). La resta de los valores de los dos mapas representa la deformación vinculada al fenómeno de creep.

Figuras 6 y 7. Mapa de desplazamientos UTotal [mm]. Pieza anillo

Figuras 8 y 9. Mapa de tensiones equivalentes de Von Mises σVM [MPa]. Pieza anillo

t= 10 s t=20 h

t= 10 s t=20 h

686

3.3 Ensayos térmicos sobre conjunto real. Consola central de un automóvil Finalmente se ha ejecutado una simulación con carga térmica sostenida a lo largo del tiempo (80ºC, 4h) sobre un modelo de gran volumen: consola central. Estadístico de malla: 26807 nodos y 28337 elementos. Análisis: 160842 DOF.

Figuras 10 y 11. Conjunto consola central, explosionado CAD (CATIA v5r11). Modelo FEM ensamblado (ANSYS v8.0)

La simulación se ha realizado de forma análoga a la presentada anteriormente para la pieza anillo. Las interacciones de unión entre piezas se han modelizado mediante el elemento tipo biga BEAM 4 de ANSYS [7], elemento uniaxial formado por dos nodos con seis grados de libertad asociados a cada uno de ellos.

Los coeficientes de dilatación utilizados a 80ºC para el análisis han sido 9.2-5 /ºC para el PPT20 y 8.2-5 /ºC para el PP30GF Long. Se ha pretendido evaluar la problemática asociada a las deformaciones residuales que conllevan pérdida de alineamientos en franquicias, defecto de alta importancia en el control de calidad.

Respecto al material, una de las piezas internas (armazón estructural) se inyecta con PP30GF. Se ha aceptado la hipótesis de material isótropo, con comportamiento caracterizado por la respuesta en probeta recortada longitudinalmente. Esta hipótesis se aleja de la realidad, ya que durante la inyección las fibras se orientan según el flujo del material dentro del molde. No obstante, esta hipótesis representa el caso más desfavorable por lo que a distribución de tensiones se refiere (máxima diferencia de comportamiento estructural entre materiales), potenciando el fenómeno de fluencia. Se ha asignado las propiedades del PPT20 a las piezas restantes que no son metálicas (acero).

Se grafica el mapa de desplazamientos obtenido al aplicar la carga térmica durante 10 segundos y durante 4 horas, para el conjunto ensamblado.

Figuras 12 y 13. Mapa de desplazamientos UTotal [mm]. Conjunto consola central

t= 10 s t=4 h

687

4. Discusión Puede observarse que en los ensayos de flexión por tres puntos y en los ensayos a tracción (modelo probeta) la deformación en simulación (modelo constitutivo) es inferior a la experimental. Esto ocurre de igual forma para los tres casos (PPT20, PP30GF long. y PP30GF Trans.)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

0,1 1 10 100 1000 10000

t (min)

Def

orm

ació

n (%

)

1 M Pa Datosexperimentales




1 M Pa Datosanalí t icos




1 M Pa DatosAnsys

4 M Pa DatosAnsys

6 M Pa DatosAnsys

10 M Pa DatosAnsys

Figura 14. Correlación ensayo sobre probeta. Datos experimentales, analíticos

(modelo Modified Time Hardening) y simulación. PPT20, flexión, T=23ºC

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

0,1 1 10 100 1000 10000

t (min)

Def

orm

ació

n (%

)









1 MPa DatosAnsys

4 MPa DatosAnsys

6 MPa DatosAnsys

10 MPa DatosAnsys

Figura 15. Correlación ensayo sobre probeta. Datos experimentales, analíticos (modelo Modified Time Hardening) y simulación. PPT20, tracción, T=23ºC

688

Para el modelo anillo puede notarse, en las figuras 6 y 7 anteriormente presentadas, que la deformación a 20 h es del mismo orden que la de 10 s. Debe tenerse en cuenta que la variable Utotal es suma de todos los desplazamientos en el espacio (x, y y z). La resta de los valores de los dos diagramas corresponde a la deformación bajo carga debido al fenómeno de creep: se deduce que la deformación es no significativa. Respecto a la comparativa de tensiones entre el instante 10s y 20h, se aprecia una caída de tensión debido al comportamiento de relajación. En ningún caso se supera el límite de fluencia (PPT20, 110ºC; σfl=5.7 MPa).

Finalmente, para el conjunto consola central y examinando los mapas de cada pieza, los resultados son parecidos, coherentes con sus constricciones de ensamblaje. En ningún caso se supera el límite de fluencia de ningún material.

Por lo que se refiere a tiempos de análisis, éstos se han recogido en la siguiente tabla, para un PC de prestaciones medias (Pentium IV, 2.8GHz, 512M RAM) con sistema operativo Windows XP Professional.

Tiempo [min]

Probetas 8

Anillo 3

Consola 125

Tabla 6. Tiempos de cálculo

Los tiempos totales no sólo dependen del tamaño del modelo si no también del grado de no linealidad que presenta el caso de estudio

5. Conclusiones De los 12 modelos matemáticos que presenta ANSYS (v. 8.0) para estudiar el fenómeno de creep, el que mejor describe el comportamiento real del material es el modelo Modified Time Hardening, teniendo en cuenta el tipo de datos que usualmente se dispone en la industria. Aquellos modelos que son función de la velocidad de fluencia no son de aplicación viable si no se dispone de datos experimentales de velocidad de fluencia versus tiempo. Estos modelos pueden ser objeto de estudio de posteriores trabajos.

Este tipo de simulación permite identificar la evolución deformacional debido a la carga térmica y debido al fenómeno de creep. Permite detectar las zonas del ensamblaje más débiles para poder actuar sobre ellas con control de tensiones a lo largo del tiempo. El hecho que los tiempos de computación requeridos no superen las tres horas, a día de hoy en una estación de trabajo de prestaciones medias, y la buena correlación mostrada por el modelo constitutivo, hace que pueda plantearse su uso en la industria. No obstante, cabe remarcar que el enfoque de esta simulación es cualitativo, a diferencia de otros análisis más simples y que aportan mayor información. Los cambios introducidos en el desarrollo del producto pueden evaluarse de forma comparativa estimando los % de mejoras logradas, a su vez que puede marcar el sentido de mejora de los rediseños. La escala de este tipo de simulaciones es global; no es posible extraer conclusiones sobre defectos en elementos de unión, etc.

Para el caso último de estudio (consola central de un automóvil real), se concluye que la influencia del fenómeno de fluencia frente a la historia de carga contemplada es negligible. Las deformaciones permanentes que aparecen usualmente en conjuntos de este tipo frente a ensayos de cámara climática son generadas, principalmente, por otros fenómenos.

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Referencias [1] EDGAR, T. F., HIMMELBLAU, D. M., LASDON, L. S. Optimization of chemical processes. 2nd Edition. Boston: Mc-Graw-Hill, 2001, p. 244-251. ISBN 0-07-039359-1.

[2] PERO-SANZ, J. A. Ciencia e ingeniería de materiales. Estructuras, transformaciones, propiedades y selección. 4º Edición. Madrid: CIE inversiones editoriales-Dossat 2000, 2000, p. 36-45. ISBN 84-95312-18-2.

[3] HELLERICH, W., HARSCH, G., HAENLE, S. Guía de materiales plásticos. Barcelona: Hanser Editorial, 1989, p.178-185, 197-207, 244-249. ISBN 84-87454-01-1.

[4] ORTIZ BERROCAL, L. Resistencia de materiales. Madrid: McGraw-Hill, 1997, p. 19-33. ISBN 84-7615-512-3.

[5] FORNONS, J.M. El método de los elementos finitos en la ingeniería de estructuras. Barcelona: Universitat Politècnica de Barcelona. 1982, p. 1-39, 252-257. ISBN 84-600-2647-7.

[6] UNIVERSITY OF CALIFORNIA. Solution procedure for non-linear finite element equations [en línea]. California: 2003 [consulta: 29 Septiembre 2003]. http:sokocalo.engr.ucdavis.edu/~jeremic/ECI284/TermProjects/2003/RituJain.pdf

[7] ANSYS. Structural analysis guide. 2001.

[8] O. C. Zienkiewicz and K.L. Taylor. The finite element method. Mc-Graw-Hill, 2002.

[9] GERALD, C. F., WHEATLEY, P. O. Applied numerical analysis. 4th Edition. Massachusetts: Addison-Wesley, 1989, p.15-17. ISBN 0-201-52825-8.

[10] WHITE, R. E. An introduction to finite element method with applications to nonlinear problems. New York: Wiley, 1985. ISBN 0471809098.

[11] OÑATE, E., SUÁREZ, B., CANET, J.M. Aplicaciones del método de los elementos finitos en ingeniería. Barcelona: ediciones UPC, 1986. ISBN 84-7653-010-2.

Agradecimientos Agradecimientos a la empresa Faurecia Interior Systems SALC España, SL y en especial al Sr. Reinhold Erb, responsable del departamento de diseño CAD-CAE en la plataforma Abrera, por su colaboración y por la información puesta a disposición para llevar a término con éxito el presente estudio.

Correspondencia (Para más información contacte con):

Josep Maria Puigoriol Forcada. Universidad Ramón Llull. Escuela Técnica Superior Institut Químic Sarriá IQS, Departamento de Ingeniería Industrial. Vía Augusta 390, 08017, Barcelona, Spain. Phone: +34 93 267 20 00 Fax: +34 93 205 62 65 E-mail : [email protected] URL: http://www. www.iqs.url.es

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