completitud de la metrica de hausdorff en...

COMPLETITUD DE LAMETRICA DE

HAUSDORFF ENESPACIOS METRICOS

COMPACTOS

Jesus Andres Romero Davila

UNIVERSIDAD FRANCISCO JOSE DE CALDASFACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACION

PROYECTO CURRICULAR DE MATEMATICASBOGOTA D.C.02 Agosto 2016

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COMPLETITUD DE LAMETRICA DE

HAUSDORFF ENESPACIOS METRICOS

COMPACTOS

Jesus Andres Romero Davila

Director:M.Sc. Carlos Orlando Ochoa Castillo.

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDASFACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACION

PROYECTO CURRICULAR DE MATEMATICASBOGOTA D.C.02 Agosto 2016

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Dedicado a:

Luz Dary Davila mi madre, mi esposa e hijo.

Contenido

Agradecimientos 70.1 Planteamiento del Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90.2 Justificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90.3 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

0.3.1 Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100.3.2 Objetivos Especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1 Preliminares 111.1 Espacios metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Convergencia en espacios metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3 Topologıa de espacios metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Metrica de Hausdorff 232.1 Definiciones de la distancia de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . 232.2 La Distancia de Hausdorff es una Metrica . . . . . . . . . . . . . 262.3 El espacio inducido de Hausdorff es totalmente acotado . . . . . 272.4 Completitud de la metrica de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . 28

Bibliografıa 33

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Agradecimientos

Agradezco en primera instancia al Profesor Carlos Orlando Ochoa por depositarsu confianza en mı y guiarme en este gran proyecto de mi vida profesional, desu parte recibı sugerencias y apoyo incondicional.A lo largo de la carrera tuve la oportunidad de compartir con grandes amigos,a todos ellos les debo el haberme permitido disfrutar momentos maravillosos.De forma especial agradezco a Miguel Rojas Raul Galeano y Cristobal Molina.A mi madre le debo todo lo que soy y este logro es un reconocimiento a todolo que me ha brindado en la vida, a mi esposa e hijo quienes a lo largo de estosanos dejaron de compartir tiempo valioso de familia todo en pro de este granproyecto.

8 CONTENIDO

Introduccion

El proposito de esta monografıa es reconstruir parte de la teorıa del artıculoCompleteness and Total Boundedness of the Hausdorff Metric de Jeff Henriksonpara lo cual se define y desarrolla la metrica de Hausdorff en el espacio de lossubconjuntos no vacıos, cerrados y acotados de un espacio metrico compacto,dando origen al espacio metrico inducido de Hausdorff. Para ello se revisanalgunos conceptos topologicos como completitud, total acotacion, compacidadentre otros. Tambien se muestra que las propiedades del espacio metrico dado,son inducidas al espacio metrico subyacente donde esta definida la metrica deHausdorff. Se exponen los argumentos que llevan a seleccionar los conjuntos novacıos, cerrados y acotados como los indicados para definir en ellos la metricade Hausdorff.Se indaga por las propiedades que hereda el espacio metrico subyacente a lametrica de Hausdorff respecto al espacio metrico inicial.El presente trabajo se divide en dos capıtulos; en el primero se presentan algunosconceptos del analisis y la topologıa que el lector debe conocer de antemano, enel segundo capıtulo se presenta la metrica de Hausdorff y se desarrollan algunasde las propiedades mas interesantes e importantes de la metrica de Hausdorff,total acotacion y completitud de dicho espacio metrico.

0.1 Planteamiento del Problema

La metrica de Hausdorff generaliza y ajusta el concepto de distancia entre dosconjuntos, en tal caso, se seleccionan por lo general los subconjuntos compactosde un espacio metrico; por el contrario (ver[1]) en el presente trabajo se seleccio-nan los subconjuntos cerrados y acotados de un espacio metrico compacto. Elprincipal interes es entender la definicion de la metrica de Hausdorff, estudiare ilustrar el concepto de total acotacion, de tal forma que lo anterior permitademostrar que el espacio inducido de Hausdorff es completo.

0.2 Justificacion

El concepto de distancia fue introducido por Maurice Rene Frechet en el ano1906, en Sur quelques points de calcul fonctionnel y posteriormene desarrollado

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10 CONTENIDO

por el gran topologo Felix Hausdorff en su trabajo Grundzuge der Mengenlehre.Este tema se estudia con profundidad en la teorıa de los espacios metricos, portanto cuando se quiere hablar de distancia entre conjuntos, se debe dar todoel rigor propio de la teorıa dada, para lo cual se presentan algunos resultadosbasicos e importantes de dicha teorıa.

0.3 Objetivos

0.3.1 Objetivo General

Reconstruir parte la teorıa del artıculo Completeness and Total Boundedness ofthe Hausdorff Metric [2]

0.3.2 Objetivos Especıficos

1.) Presentar dos versiones de la metrica de Hausdorff.

2.) Mostrar la equivalencia de las dos versiones de la metrica de Hausdorff.

3.) Mostrar la total acotacion del espacio metrico de Hausdorff donde sedefinio la metrica de Hausdorff.

4.) Demostrar que el espacio metrico inducido de Hausdorff es completo.

Capıtulo 1

Preliminares

En este capıtulo se presentan las diferentes tematicas necesarias para la com-prension del artıculo Completeness and Total Boundedness of the HausdorffMetric para obtener la debida reconstruccion parcial; se dan algunos ejemplospretendiendo ası una comprension puntual de cada una de las definiciones prop-uestas. La teorıa en general puede ser consultada en la bibliografıa relacionada.

El concepto topologico sobre el cual gira el presente artıculo es el de espaciometrico, dicha teorıa ha permitido unificar diversas teorıas de la matematicaque en principio se pensaba eran totalmente independientes. La importanciaatribuida inicialmente se debio a la generalizacion de los espacios normados ysu aplicacion al analisis funcional, uno de los principales objetivos de la teorıade los espacios metricos era encontrar condiciones necesarias y suficientes paraque un espacio topologico fuera metrizable. Para abordar un estudio rigurosodel analisis se hace necesario un estudio completo de la teorıa de los espaciosmetricos, es por tal motivo que a continuacion se define este concepto juntoa algunas definiciones y resultados que se hacen necesarios para un correcto ypleno entendimiento del presente trabajo.

1.1 Espacios metricos

Definicion 1

Un espacio metrico [3], es un par (S, d), donde S es un conjunto y d es unametrica sobre S, esto es, una funcion a valor real sobre S × S que satisface,

D1) d es a valor real, finita y no negativa.

D2) d(a, b) = 0⇔ a = b.

D3) d(a, b) = d(b, a). (Simetrıa.)

D4) d(a, b) ≤ d(a, c) + d(c, b). (Desigualdad Triangular.)

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12 CAPITULO 1. PRELIMINARES

Figura 1.1: Desigualdad triangular en el plano.

A partir de esta definicion se dan algunas apreciaciones. S comunmente sellama el conjunto subyacente de (S, d). A sus elementos se les denomina puntosdel espacio metrico. Para x, y fijos, el numero d(x, y) no negativo se llamadistancia desde x hasta y. Las propiedades (D1) a (D4) son los axiomas deuna metrica. En (D4) el nombre “desigualdad triangular” es motivado por lageometrıa elemental, como puede ilustrarse en la figura [1.1].

1.1. ESPACIOS METRICOS 13

Ejemplo 1 La recta real R, es el conjunto de todos los numeros reales, es unespacio metrico dotado de la metrica usual definida por

d(x, y) = |x− y| . (1.1)

Ejemplo 2 Sea S cualquier conjunto no vacıo, la siguiente funcion

d(x, y) =

{0 si x = y

1 si x 6= y,(1.2)

se conoce como la metrica discreta.


1.2 Convergencia en espacios metricos

El concepto de convergencia es una idea central dentro de la topologıa, sobre ellase apoya el analisis matematico, para un desarrollo riguroso se hace necesariopresentar algunas definiciones y resultados. A continuacion se define el conceptode sucesion en los espacios metricos

Definicion 2 (Sucesion)

Una sucesion en un espacio metrico (S, d) [6] es una funcion f del conjunto delos numeros N en el espacio metrico (S, d).En otras palabras, una sucesion asigna a cada elemento n ∈ N un unico ele-mento de S. Es usual denotar la sucesion por los sımbolos {xn}, {xn}n≥1 o por{x1, x2, . . . , xn, . . .}

La siguiente definicion generaliza el concepto de lımite desde el punto devista de la teorıa de los espacios metricos.

Definicion 3 (Lımite de una sucesion)

Sea d una metrica en un conjunto S y {xn} una sucesion en el conjunto S. Unelemento x ∈ S se dice el lımite de {xn} [5] si para todo ε > 0, existe un enteronatural n0 tal que

d(xn, x) < ε siempre que n ≥ n0. (1.3)

En este caso, se dice que {xn} converge a x, y en sımbolos se escribe comoxn → x.

Ejemplo 3 Sea S = R con d(x, y) = |x− y| , x, y ∈ R. {xn} una sucesion denumeros reales, se dira que ella converge a x ∈ R en el espacio metrico (R, d)si y solo si

limn→+∞

|xn − x| = 0 (1.4)

Luego la convergencia en R con la metrica usual resulta ser la convergencia desucesiones en el sentido del calculo elemental.

De gran importancia en Analisis real es el criterio de Cauchy para conver-gencia de sucesiones, a continuacion se expone dicho concepto en el ambientede los espacios metricos.

Definicion 4 (Sucesion de Cauchy)

Sea (S, d) un espacio metrico y (xn) una sucesion de puntos en S. Si para todoε > 0, existe un entero N ∈ N tal que d(xn, xm) < ε para todo n,m ≥ N ; se diceque (xn) es una sucesion de Cauchy [4] (S, d) es un espacio metrico completo sitoda sucesion de Cauchy converge en (S, d).

1.3. TOPOLOGIA DE ESPACIOS METRICOS 15

Ejemplo 4 La sucesion {xn}n≥1, donde xn = 1 + 1/2 + . . .+ 1/n, no satisfaceel criterio de la convergencia de Cauchy. En efecto

|x2n − xn| =1

n+ 1+ . . .+

1

2n(1.5)

|x2n − xn| ≥1

2n+

1

2n+ . . .+

1

2n=

1

2(1.6)

Luego no es el caso que |xn − xm| → 0 para m,n suficientemente grandes

Un resultado que se desprende de la teorıa anterior es que toda sucesionconvergente es de Cauchy.

Teorema 1 Toda sucesion convergente en un espacio metrico (S, d) es de Cauchy[4].

Demostracion. Si xn → x, entonces para todo ε > 0 existe un entero N = N(ε)

tal que

d(xn, x) <ε

2para todo n > N. (1.7)

A partir de la desigualdad triangular, para m,n > N

d(xm, xn) ≤ d(xm, x) + d(x, xn) <ε

2+ε

2= ε. (1.8)

Esto muestra que (xn) es una sucesion de Cauchy.

1.3 Topologıa de espacios metricos

Las propiedades topologicas de un espacio metrico estan ıntimamente rela-cionadas con los conceptos de conjunto abierto, conjunto cerrado, bola abierta,bola cerrada entre otros, los cuales se presentan a continuacion.

Hay dos tipos de conjuntos que juegan un papel destacado en el analisis, elde conjunto abierto y conjunto cerrado, y de gran importancia el concepto deuna vecindad en espacios metricos.

Definicion 5 (Bola abierta)

Sea (S, d) un espacio metrico. El conjunto

B(x0, r) = {x ∈ S | d(x0, x) < r}, (1.9)

donde r > 0 y x0 ∈ S, se denomina la bola abierta de radio r y centro x0. [5]Una bola abierta B(x0, ε) de radio ε a menudo se llama una ε−vecindad de

x0. Luego por una vecindad de x0 se entendera cualquier subconjunto de Sque contiene una ε−vecindad de x0.

A partir de la definicion se observa que toda vecindad de x0 contiene a x0,en otras palabras x0 es un punto de cada una de sus vecindades. Si N es unavecindad de x0 y N ⊂M, entonces M es tambien una vecindad de x0.


Figura 1.2: Bola abierta con centro en la funcion seno y radio 1 .

Ejemplo 5 Considerese la bola B(sen(x), 1) definida en el espacio metrico(C[0, 2π], d∞)donde el conjunto esta conformado por todas las funciones con-tinuas definidas en el intervalo dado, tales funciones se encuentran comprendi-das entre el eje Y, la recta x = 2π y las graficas de las funciones sen(x) − 1 ysen(x) + 1.

Definicion 6 (Bola cerrada)

Sea (S, d) un espacio metrico. El conjunto

B(x0, r) = {x ∈ S | d(x0, x) ≤ r},

donde r > 0 y x0 ∈ S, se denomina la bola cerrada de radio r y centro x0 [5].

Definicion 7 (Conjunto abierto)

Un subconjunto C de un espacio metrico (S, d) se dice abierto, si dado cualquierpunto x ∈ C, existe r > 0 tal que B(x, r) ⊂ C [5].

Proposicion 1 En todo espacio metrico (S, d), toda bola abierta es un conjuntoabierto [5].

Demostracion. Primero se debe observar que B(x, r) es no vacıo, ya que x ∈B(x, r), Sea y ∈ B(x, r), ası que d(y, x) < r, y sea r

′= r − d(y, x) > 0. Se debe

mostrar que B(y, r′) ⊆ B(x, r), como se ilustra en la figura [1.4] Considerese

cualquier z ∈ B(y, r′), entonces se tiene que

d(z, x) ≤ (x, y) + d(y, x) < r′+ d(y, x) = r (1.10)

lo que significa que z ∈ B(x, r). Esto es, para cada y ∈ B(x, r), existe una bolaabierta B(y, r

′) ⊆ B(x, r). Por lo tanto B(x, r) es un subconjunto abierto de S.


Definicion 8 (Punto lımite)

Sea (S, d) un espacio metrico y sea C un subconjunto de S. Un punto x ∈ S sedice punto lımite de C [5] si cada bola abierta con centro en x contiene por lomenos un punto de C diferente de x, es decir

{B(x, r)− {x}} ∩ C 6= ∅.

El conjunto de todos los puntos limites se llama el conjunto derivado de C y senota C

′.

Ejemplo 6 El subconjunto F = {1, 1/2, 1/3, . . .} de la recta real tiene a 0 comoun punto lımite, en efecto 0 es su unico punto lımite. Esto es el conjuntoderivado de F is {0}, es decir F

′= {0}.

Definicion 9 (Conjunto cerrado)

Un subconjunto C de un espacio metrico (S, d) se dice cerrado [5] si contienetodos sus puntos limites, es decir, C

′ ⊆ C.

Definicion 10 (Conjunto acotado)

Sea (S, d) un espacio metrico y sea C un subconjunto no vacıo de S. Se dice queC es acotado [5] si existe M > 0 tal que

d(x, y) ≤M para todo x, y ∈ C.

Definicion 11 (Distancia a un conjunto)

La distancia m(e, C) de un punto e ∈ S a un subconjunto no vacıo C de (S, d)[2] es:

m(e, C) = infx∈C

d(e, x). (1.11)


Definicion 12 (ε-expansion)

Dado A ∈ S, la union de todas las bolas abiertas de radio ε con centro en lospuntos de A se denomina una ε-expansion de A. [4]

Definicion 13 (Conjunto totalmente acotado)

Un conjunto A en un espacio metrico (S, d) es totalmente acotado [2] si paratodo numero real ε > 0, existe un conjunto finito de puntos

x1, x2, · · · , xn ∈ A (1.12)

tales que

A ⊂⋃x∈A

B(x, ε). (1.13)

Lo anterior permite ver que si (S, d) es totalmente acotado, entonces (S, d)es acotado. En algunos textos el concepto de conjunto totalmente acotado sedenomina conjunto precompacto.Es inmediato observar que todo conjunto finito A es totalmente acotado, bastaconsiderar la union de las bolas de radio ε con centro en cada uno de sus puntos.

El recıproco del resultado anterior en general no es cierto, basta considerarun conjunto infinito A con la metrica discreta, ya que toda bola de radio ε < 1solo posee un punto y ası de esta manera, A no puede cubrirse con un numerofinito de bolas.

Definicion 14 (Conjunto Secuencialmente Compacto)

Un espacio metrico (S, d) es secuencialmente compacto [5], si toda sucesion en(S, d) tiene una subsucesion convergente.

Definicion 15 (Cubrimiento Abierto)

Sea (S, d) un espacio metrico y Y ⊆ S. Sea % una coleccion de conjuntos abiertosen S con la propiedad que Y ⊆ ∪{G : G ∈ %}; equivalentemente, para cadax ∈ Y, existe un G ∈ % tal que x ∈ G. Entonces % se denomina “cubrimientoabierto” de Y [4]. Una subcoleccion finita de % que es en sı mismo un cubrimientose llama un subcubrimiento finito de Y.

Definicion 16 (Espacio Compacto)

Un espacio (S, d) se dice compacto [4] si todo cubrimiento abierto A de (S, d)contiene una subcoleccion finita que tambien cubre a (S, d) .

Es decir dado un cubrimiento para (S, d), este posee un subcubrimiento finitopara (S, d).

De las definiciones anteriores se desprende el siguiente resultado, cuya de-mostracion puede consultarse en [7], pagina 143.


Teorema 2 Un espacio metrico (S, d) es compacto si y solo si es secuencial-mente compacto.

Proposicion 2 Sea (S, d) un espacio metrico compacto. Entonces (S, d) estotalmente acotado [4].

Demostracion. Para cualquier ε > 0, la coleccion de todas las bolas B(x, ε)con x ∈ S, es un cubrimiento abierto de S. La compacidad de S implica queeste cubrimiento abierto tiene un recubrimiento finito. Por tanto, para ε > 0,S es cubierto por un numero finito de bolas abiertas de radio ε, es decir, loscentros de las bolas en el recubrimiento finito, forman una ε−expansion para S.Ası, S es totalmente acotado.

Proposicion 3 Sea (S, d) un espacio metrico compacto. Entonces (S, d) escompleto [4].

Demostracion. Supongase que (S, d) es un espacio metrico compacto que noes completo. Entonces existe una sucesion de Cauchy {xn}n≥1 en (S, d) que noconverge en S. Sea y ∈ S, donde {xn}n≥1 no converge a y, entonces existe unε0 > 0 tal que

d(xn, y) ≥ 2ε0, (1.14)

para infinitos valores de n. Ya que la sucesion {xn}n≥1 es de Cauchy, existe unentero n0 tal que si m,n ≥ n0 implica que

d(xn, xm) < ε0. (1.15)

Elijase k > n0 para que d(xk, y) ≥ 2ε0 (esto es posible ya que la desigualdad(1.14) se satisface para infinitos valores de n). Entonces

d(xk, y) ≤ d(xk, xm) + d(xm, y),

lo cual implica que

d(xm, y) ≥ d(xk, y)− d(xk, xm)

> 2ε0 − ε0 = ε0,

para todo m ≥ n0. Ası la bola abierta B(y, ε0) contiene a xn para finitos valoresde n. De esta forma, se puede asociar a cada y ∈ S una bola B(y, ε0(y)), dondeε0(y) es un numero positivo que depende de y, y la bola B(y, ε0(y)) contiene axn solo para un numero finito de valores de n. Notese que

S =⋃{B(y, ε0(y)) : y ∈ S},

que significa que {B(y, ε0(y) : y ∈ S} es un cubrimiento de S. Como S escompacto, existe un recubrimiento finito B(yi, ε0(yi)), i = 1, 2, · · · , n, de S. Ası

S =

n⋃i=1

B(yi, ε0(yi)).


Ya que cada bola contiene a xn para solo un numero finito de valores den, entonces las bolas del recubrimiento finito y por lo tanto, tambien S, debencontener a xn para solo un numero finito de valores de n. Esto, sin embargo esuna contradiccion . Por lo tanto (S, d) es completo.

Proposicion 4 Sea (S, d) un espacio metrico completo y totalmente acotado.Entonces (S, d) es compacto [4].

Demostracion. Supongamos, que (S, d) es totalmente acotado y completo,pero no es compacto. Entonces existe un cubrimiento abierto {Gλ}λ∈Λ de Sque no admite un recubrimiento finito.

Puesto que (S, d) es totalmente acotado, esta acotado; por lo tanto, paraalgun numero real r > 0 y algun x0 ∈ S, se tiene que S ⊆ B(x0, r). Observeseque S ⊆ B(x0, r) implica que S = B(x0, r).

Sea εn =r

2n.

Ya que S, es totalmente acotado, este puede ser cubierto por un numerofinito de bolas de radio ε1. Por hipotesis, al menos una de estas bolas, dıgaseB(x1, ε1), no puede ser cubierta por un numero finito de conjuntos Gλ (porquesi cada uno tiene un recubrimiento finito, lo mismo serıa cierto para S). Debidoa que B(x1, ε1) es en sı totalmente acotado (cualquier subconjunto no vacıo deun conjunto totalmente acotado esta totalmente acotado), se puede encontrarun x2 ∈ B(x1, ε1), tal que B(x2, ε2) no puede ser cubierto por un numero finitode conjuntos Gλ. De este modo, una sucesion {xn}n≥1 puede ser definida apartir de la propiedad que para cada n, B(xn, εn) no puede ser cubierta por unnumero finito de conjuntos

C = Gλ, (1.16)

y xn+1 ∈ B(xn, εn).A continuacion se muestra que la sucesion {xn}n≥1 es convergente. Como

xn+1 ∈ B(xn, εn), se deduce que d(xn, xn+1) < εn y, por tanto,

d(xn, xn+p) ≤ d(xn, xn+1) + d(xn+1, xn+2) + . . .+ d(xn+p−1, xn+p)

< εn + εn+1 + . . .+ εn+p−1

<r

2n−1.

Ası {xn}n≥1 es una sucesion de Cauchy en S, y dado que S es completo,converge a y ∈ S, por ejemplo. Puesto que y ∈ S, existe λ0 ∈ Λ tal que y ∈ Gλ0

.Debido a que Gλ0 es abierto, este contiene la bola B(y, δ) para algun δ > 0.Elijase n lo suficientemente grande tal que d(xn, y) < δ

2 y εn <δ2 . Entonces,

para cualquier x ∈ S tal que d(x, xn) < εn, se deduce que

d(x, y) ≤ d(x, xn) + d(xn, y)

<1

2δ +

1

2δ = δ,


por lo que B(xn, εn) ⊆ B(y, δ). Por lo tanto, B(xn, εn) admite un recubrimientofinito, nombrado por el conjunto Gλ0 . Dado que esto contradice (1.16), lademostracion esta completa.

Los resultados anteriormente expuestos en este capıtulo son la demostraciondel siguiente teorema, resultado de suma importancia en el presente trabajo.

Teorema 3 Un espacio metrico (S, d) es compacto si, y solo si, es completo yesta totalmente acotado.

El resultado siguiente asegura la existencia de sucesiones de Cauchy en es-pacios totalmente acotados, este se usa en la demostracion sobre la completituddel espacio inducido de Hausdorff.

Teorema 4 Si E es un espacio metrico totalmente acotado, entonces toda sucesionen E tiene una subsucesion de Cauchy [8].

Demostracion. Sea (xn) una sucesion en E. Dado que E puede ser cubiertopor un numero finito de bolas abiertas de radio 1, existe una bola abierta U1 deradio 1 tal que tal que E ∩ U1 contiene infinitos terminos de la sucesion (xn).Sea E0 := E, n0 = 1 y E1 := E0 ∩ U1. Entonces existe n1 ∈ N tal que n1 > n0

y xn1∈ E1. Como E1 es un conjunto de E, E1 es totalmente acotado. Dado

que E1 puede ser cubierto por un numero finito de bolas abiertas de radio 1/2,luego existe una bola abierta U2 de radio 1/2 tal que E1 ∩U2 contiene infinitosterminos de la sucesion (xn). Sea E2 := E1 ∩ U2. Entonces existe n2 ∈ N talque n2 > n1 y xn2 ∈ E2. continuando de esta forma, para cada k ∈ N, existeuna bola abierta Uk de radio 1/k y nk ∈ N tal que nk > nk−1 y xnk

, dondeEk := Ek−1∩Uk. Por lo tanto (xnk

) es una subsucesion de Cauchy de la sucesion

(xn) ya que d(xni, xnj

) <2

kpara todo i, j ≥ k. lo que termina la prueba

Capıtulo 2

Metrica de Hausdorff

En el desarrollo de este capıtulo, se dan las definiciones y resultados basicos delartıculo Completeness and total boundedness of the Hausdorff metric del pro-fesor Henrikson; que permiten hacer la reconstruccion del artıculo y desarrollodel presente trabajo, aca se define la metrica de Hausdorff sobre el espacio desubconjuntos no vacıos, cerrados y acotados de un espacio metrico compactodado. Se consideran dos propiedades topologicas asociadas a un conjunto: elser completo y totalmente acotado, propiedades definidas con anterioridad.

Se empieza presentando distancia de Hausdorff sobre conjuntos no vacıos apartir de dos definiciones; luego, se muestra que las definiciones son equivalentes,y se aclara la razon del porque es suficiente seleccionar los subconjuntos cerradosy acotados de tal forma que la distancia de Hausdorff satisface. (1).

2.1 Definiciones de la distancia de Hausdorff

Dado un espacio metrico compacto S, se considera la coleccion X de subcon-juntos no vacıos cerrados y acotados de S como:

X = {A ⊂ S | A es no vacıo, cerrado y acotado}.

El conjunto anterior es donde se define la distancia de Hausdorff.

Definicion 17 (Distancia de Hausdorff)

La siguiente funcion se define sobre pares de elementos en X de la siguientemanera:

dH(A,B) = max{supe∈A

m(e,B), supe∈B

m(e,A)}, (2.1)

donde m(e, C) : S ×X → R esta dado por

m(e, C) = infc∈C

d(e, c).

23

24 CAPITULO 2. METRICA DE HAUSDORFF

Figura 2.1: Descripcion de las dos definiciones: A la izquierda, la mas grandem(a,B). A la derecha, la mas pequena ε−expansion de B que cubre A.

La funcion m representa la “mınima distancia” desde un punto e ∈ S aun punto C en X. Esta definicion de distancia de Hausdorff, es en ocacionesutil por la manipulacion simbolica, aunque tiene una reformulacion que es masatractiva visualmente.

Dado A ∈ X, sea la ε−expansion de A la union de todas las bolas abiertasde radio ε alrededor de los puntos de A. Denotese esta por Eε(A), esto es,

Eε(A) =⋃x∈A

B(x, ε).

Entonces dH(A,B) se define como el mas “ pequeno” ε que permite que laexpansion de A cubra a B y viceversa, esto es,

dH(A,B) = inf{ε > 0 | B ⊂ Eε(A) y A ⊂ Eε(B)}. (2.2)

Proposicion 5 Las dos definiciones dadas anteriormente de la distancia deHausdorff son equivalentes

Como aporte personal a este trabajo, presento la demostracion de las dosdefiniciones para la distancia de Hausdorff.Demostracion. A partir de la ecuacion (2.2), se expande la expresion paradeducir la ecuacion (2.1). Primero, de la ecuacion (2.2) se tiene que la distanciade A a B es la mas grande de los ınfimos, es decir,

dH(A,B) = max{inf{ε > 0 | A ⊂ Eε(B)}, inf{ε > 0 | B ⊂ Eε(A)}}.

La condicion A ⊂ Eε(B), se refiere a

2.1. DEFINICIONES DE LA DISTANCIA DE HAUSDORFF 25

A ⊂⋃b∈B

{x; d(x, b) < ε}.

Preguntarse si un conjunto A satisface la contenencia, es cuestionarse si paratodo a ∈ A, se tenga un b ∈ B menor que la ε distancia. De la misma manera,se puede preguntar si, para todo a, el ınfimo de distancias de b ∈ B es pequeno.Sustituyendo para A ⊂ Eε(B) y su contrapartida simetrica se tiene

dH(A,B) = max{inf{ε > 0 | ∀a ∈ A, infb∈B

d(a, b) < ε}, inf{ε > 0 | ∀b ∈ B, infa∈A

d(a, b) < ε}}

= max{supa∈A

infb∈B

d(a, b), supb∈B

infa∈A

d(a, b)}

= max{supa∈A

m(a,B), supb∈B

m(b, A)},

que es justamente la parte derecha de la ecuacion (2.1).

Se ilustra la distancia de Hausdorff sobre dos conjuntos cerrados y acotadosde R2

Ejemplo 7 Dado el espacio metrico (R2, du) sean los siguientes conjuntos A =[0, 1]× [0, 1], B = [1, 7]× [0, 8], a partir de la definicion de la metrica de Haus-dorff se tiene:

dH(A,B) = ([1, 7]× [0, 8]), ([0, 1]× [0, 1]).

dH(A,B) = max{1,√

85}.

dH(A,B) =√

85

Figura 2.2: Distancia de Hausdorff.


2.2 La Distancia de Hausdorff es una Metrica

Proposicion 6

La funcion dH(A,B) de X×X → [0,+∞) es una metrica y cumple las siguientespropiedades: para ello se va a usar la definicion 2.1

• dH(A,B) = 0 si y solo si A = B

• dH(A,B) = dH(B,A)

• dH(A,B) ≤ dH(A,D) + dH(D,B)

Demostracion.

• Sean A,B ∈ X, Supongase que A = B luego A ⊂ B y defınase

d(A,B) = supa∈A{ infb∈B

d(a, b)} (2.3)

d(A,B) = { infb∈B

d(a, b) para algun a0 ∈ A ⊂ B} (2.4)

d(A,B) = { infb∈B

d(a0, b)} (2.5)

Pero a0 ∈ B, luegoinfb∈B

d(a0, b) = 0 (2.6)

por tanto se tiene que d(A,B) = 0. Ya que B ⊂ A, por el mismo razon-

amiento d(B,A) = 0. Por lo tanto dH(A,B) = 0.

Recıprocamente si dH(A,B) = 0, entonces ambos terminos dentro de laexpresion del maximo de la definicion de la metrica de Hausdorff son cero,luego

infa∈B

D(a,B) = 0 (2.7)

para todo a. Todo punto a es un punto de acumulacion de B ya que todavecindad de a debe contener un punto de B si

infb∈B

d(a, b) = 0. (2.8)

Ası a ∈ B porque B es por definicion cerrado. El punto a ∈ A y seselecciono de manera arbitraria luego A ⊂ B.Debido a la simetrıa de la definicion de la metrica de Hausdorff B ⊂ Atambien, por lo tanto A = B. La no negatividad de dH(A,B) se debe aque d(a, b) es no negativa por ser una metrica.

• La definicion de la distancia de Hausdorff es simetrica por tanto,dH(A,B) = dH(B,A).

2.3. EL ESPACIO INDUCIDO DE HAUSDORFF ES TOTALMENTE ACOTADO27

• Seaρ(A,B) = sup

x∈Adist(x,B). (2.9)

Lo cual permite reformular la distancia de Hausdorff de la siguiente man-era.

dH(A,B) = max{ρ(A,B), ρ(B,A)}. (2.10)

Si A ⊂ Eε(D) y D ⊂ Eη(B) entonces se sigue de la desigualdad triangularque:

A ⊂ Eε+η(B). Por consiguiente se obtiene.

ρ(A,B) ≤ ρ(A,D) + ρ(D,B) (2.11)

esto es

dH(A,B) = max{ρ(A,B), ρ(B,A)} (2.12)

≤ max{ρ(A,D) + ρ(D,B), ρ(B,D) + ρ(D,A)} (2.13)

= d(A,D) + d(D,B). (2.14)

Notese que la topologıa en X derivada a partir de la distancia de HausdorffdH no esta determinada por la topologıa de el espacio metrico (S, d). Dos met-ricas d y d

′que definen la misma topologıa en S no necesariamente inducen la

misma topologıa en X con la metrica de Hausdorff.

2.3 El espacio inducido de Hausdorff es total-mente acotado

Una de las propiedades que hereda el espacio inducido de Hausdorff (X, dH) esla total acotacion bajo el supuesto que el espacio (S, d) es totalmente acotado,recuerdese que lo es por el hecho de ser compacto.

Teorema 5 Si (S, d) es totalmente acotado, entonces el espacio X con la metricainducida de Hausdorff es totalmente acotado [6].

Demostracion. Ya que S es totalmente acotado se puede tomar un cubrimientofinito a partir de una ε-expansion. En efecto, dado un ε > 0, sean s1, s2, ..., sn,los centros de las bolas de radio ε en el cubrimiento para S.Sea A ∈ X e I = {i/B(si, ε) ∩ A 6= ∅}. Entonces el conjunto D = {si/i ∈ I}tiene la propiedad dH(A,D) 6 ε. Como el conjunto potencia de {s1, s2, ..., sn, }es finito, esto prueba que X es totalmente acotado.


2.4 Completitud de la metrica de Hausdorff

La condicion para que un espacio metrico sea completo es que toda sucesion deCauchy converge en dicho espacio, en este caso el espacio metrico (X, dH) estotalmente acotado, ya que (S, d), es compacto ver(3) Dado que ya se tiene quetodo espacio metrico totalmente acotado admite una sucesion de Cauchy , enparticular para el espacio (X, dH). Ya una vez verificado este hecho solo restamostrar la completitud.

El siguiente teorema es el objetivo principal del presente trabajo en el se de-muestra la completitud del espacio inducido de Hausdorff, su demostracion estainspirada por [9], y se incluyen algunos detalles omitidos en dicha demostracion.

Teorema 6 (Completitud De La Metrica De Hausdorff) Si (S, d) es unespacio metrico completo, entonces (X, dH) es completo.

Demostracion. El espacio metrico (S, d) en el presente trabajo se definio com-pacto, ası por el teorema (3),(S, d) es totalmente acotado, y el (4) garantiza laexistencia de una sucesion de Cauchy (An) en (X, dH), por tanto solo restamostrar que ella converge en (X, dH).

Sea A la siguiente coleccion de puntos.

A = {x : xk ∈ Ak, xk → x}. (2.15)

Como (An) es una sucesion de Cauchy, para todo ε > 0 existe N ∈ N tal

que si n,m ≥ N implica dH(An, Am) <ε

2.

Si x ∈ A, entonces existe una sucesion (xk) con xk ∈ Ak y xk → x. Para un k

lo suficientemente grande, se tiene que d(xk, x) <ε

2.

Como dH(Ak, An) <ε

2, si k ≥ N, entonces, existe y ∈ An tal que d(xk, y) <

ε

2,

por tanto

d(y, x) ≤ d(y, xk) + d(xk, x) < ε. (2.16)

Esto muestra que A ⊂ Bε(An).Ahora supongase que y ∈ An. Seleccionando enteros k1 < k2 < . . . de tal formaque k1 = n y dH(Akj , Am) < 2−jε para todo m ≥ kj . A continuacion se definela sucesion (yk) con yk ∈ Ak como sigue: Para k < n, seleccionar yk ∈ Ak arbi-trario. Tomese yn = n. Si ykj ha sido seleccionado, y kj < k < kj+1, seleccionaryk ∈ Ak con d(ykj , yk)2−jε. Entonces yk es una sucesion de Cauchy, y esta con-verge. Sea x su lımite, ası x ∈ A. Se tiene que d(y, x) = limkd(y, yk) < ε. Luegoy ∈ Nε(A). Esto muestra que An ⊂ Eε(A). Notese que, seleccionado ε = 1 en elanterior argumento, tambien se ha demostrado que A 6= φ.Entonces se tiene dH(A,An) ≤ ε. Esto concluye la prueba que (An) converge a

2.4. COMPLETITUD DE LA METRICA DE HAUSDORFF 29

A.

Ahora se demuestra que A es “ totalmente acotado”: esto es, para todo ε > 0

existe una ε−expansion finita en A. Se elige n de tal forma que dH(An, A) <ε

3.

Dado que S es compacto existe la (ε

3)−expansion finita para An, expresada

{y1, y2, . . . , ym}. Ahora para cada yi, existe xi ∈ A con d(xi, yi) <ε

3. El con-

junto finito {x1, x2, . . . , xm} es una ε−expansion para A.

Ahora se demuestra que A es un subconjunto cerrado de S. Sea x quepertenece a la clausura de A, notada A. Entonces existe una sucesion (yn) en Acon d(zn, yn) < dH(An, A) + 2−n. Ahora

d(zn, x) ≤ (zn, yn) + d(yn, x) < dH(An, A) + 2−n + 2−n. (2.17)

Esta converge a 0, ası zn → x. Esto es x ∈ A. Luego esto muestra que A escerrado.

Dado que un conjunto cerrado contiene todos sus puntos lımites, A ∈ Xluego (X, dH) es completo.

Conclusiones

En el presente trabajo se presento la metrica de Hausdorff sobre los subconjun-tos cerrados y acotados de un espacio metrico compacto.

Se mostro la equivalencia de las dos definiciones de la metrica de Hausdorffa partir de propiedades del ınfimo, supremo y definicion de ε−expansion.

En un futuro trabajo es de interes estudiar otras propiedades topologicastales como compacidad y separabilidad del espacio inducido de Hausdorff.

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Bibliografıa

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completitud de la metrica de hausdorff en...

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