complejidad y ciencias sociales

7/24/2019 Complejidad y Ciencias Sociales

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Maldonado, C. 2008. Complejidad y Ciencias Sociales desde el aporte de las Matemticas Cualitativas

Cinta Moebio 33: 153-170

www.moebio.uchile.cl/33/maldonado.html

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COMPLEJIDAD Y CIENCIAS SOCIALES

DESDE EL APORTE DE LASMATEMTICAS CUALITATIVAS

COMPLEXITY AND SOCIAL SCIENCES FROM THE CONTRIBUTION OF QUALITATIVEMATHEMATICS

Dr. Carlos E. Maldonado ([email protected]) Facultad de Administracin, Universidad

del Rosario (Bogot, Colombia)

Abstract

This paper depicts a subject that has been obliterated both in philosophy, philosophy of science and the

sciences of complexity, namely: the importance of social sciences and the way they can be enriched by the

mathematics of complex systems. As a consequence, the article presents and discusses both the

mathematics of dynamic systems and the philosophy of mathematics of complex systems. Hence, its broad

and descriptive character. Throughout this paper the main concepts, categories, tools, approaches and

authors of the philosophy of mathematics of complexity are outlined and introduced. It is, therefore, an

exploratory article in which, nonetheless, a general thesis is claimed, thus: over against the traditional

problem I the philosophy of mathematics, which is about the foundations of mathematics, when dealing

with complexity the question about foundation becomes secondary if not irrelevant. The mathematics of

complexity is the junction of mathematics and time. In any case, the very core of all concerns is, after all, thecare for human life and life in general on earth.

Key words: sciences of complexity, non-linearity, philosophy of science, social systems, time, evolution

Resumen

Este artculo hace una presentacin de un tema que ha sido pasado por alto en la filosofa, la filosofa de la

ciencia y las ciencias de la complejidad, a saber: la importancia de las ciencias sociales y el modo como

pueden beneficiarse con las matemticas de los sistemas dinmicos. Por tanto, el artculo presenta y discute

al mismo tiempo las matemticas de los sistemas dinmicos y la filosofa de las matemticas de los sistema

complejos. De aqu el carcter amplio y descriptivo del texto. A lo largo de este artculo se delinean e

introducen los principales conceptos, categoras, herramientas, aproximaciones y autores de la filosofa delas matemticas de la complejidad. Por lo tanto, se trata aqu de un artculo exploratorio en el que, sin

embargo, se presenta una tesis general: en contraste con el problema tradicional de la filosofa de la

matemtica, que era el de la fundamentacin de la matemtica, este problema se vuelve secundario si no

irrelevante. Las matemticas de la complejidad es la unin de matemticas y tiempo. Despus de todo, en

cualquier caso, el autntico ncleo de todas las preocupaciones aqu es el cuidado por la vida humana y por

la vida en general sobre el planeta.


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Sin embargo, en el curso del siglo XX surgieron otro tipo de matemticas en plural, en contraste con la

matemtica tradicional. Estas nuevas matemticas se conocen como matemtica moderna, nuevas

matemticas o matemticas cualititativas. La cuna en la que se incuban estas matemticas es la

topologa, entreabierta originariamente por H. Poincar, pero posible efectivamente gracias a S. Smale, su

verdadero padre. En cualquier caso, los desarrollos ms importantes de la topologa giran acreedor de la

obra y nombre de W. Thurston. En consecuencia, en lo sucesivo se trat cada vez menos de estructuras y

espacios fijos, y s mucho ms, cada vez, de topologas, cambios de espacios, formas, redes y relaciones. El

punto arquimdico puede, as ser identificado como el acceso a, y la preferencia por el trabajo por, las

funciones (notablemente, a partir de las funciones continuas sin tangentes, y lo que se deriva de las

mismas); en realidad, el tema es y ser en lo sucesivo el trabajo con funciones, sistemas y conjuntos.

El rasgo caracterstico de la nueva matemtica es que, con ella, los matemticos se dan a la tarea de crear

nuevos entes, con los cuales trabajan a fin de explicar los nuevos problemas y realidades que los ocupan, en

contraste con la matemtica y la cultura! tradicionales. Los ejemplos ms conspicuos de estas nuevas

entidades son: los conjuntos (Cantor), las clases (Cantor, Dedekind, Weiertrass), los conjuntos de Julia,

Serpienski y Mandelbrot, el copo de Koch, la botella de Klein, la cinta de Mbius, los toros y los atractores(caos) (de Henin, de Lorenz, y otros), la transformacin del panadero, problemas como el del vendedor

viajero, las estructuras disipativas (I. Prigogine), las redes y las conexiones (P. Erds), los fractales (B.

Mandelbrot), en fin, incluso la cohomologa y los teselados (R. Penrose).

En correspondencia, se producen nuevos desarrollos conceptuales que dan lugar a nuevas teoras y

disciplinas, tales, entre otras, como la topologa, el anlisis de variable real, el anlisis funcional, la teora

axiomtica y formal de conjuntos, la teora de la medida, el lgebra que, al cabo, termina denominndose

moderna, y dems (De Lorenzo 1998, Penrose 2005).

Naciendo de la topologa a cual a su vez tiene un ancestro directo en campos como las geometras no

euclidianas, las matemticas contemporneas se ordenan alrededor de tres grandes reas: la teora degrafos, que nacen con Euler, pero cuyo verdadero padre es P. Erds, el anlisis combinatorio (o complejidad

combinatoria), y las matemticas de los sistemas dinmicos. No con indiferencia ante las dos primeras, es

propiamente en el marco de estas ltimas como emergen las matemticas propias del estudio de los

sistemas dinmicos no-lineales, o tambin, de las ciencias de la complejidad. Como quiera que sea, un

elemento comn a las tres es el de encontrar algoritmos para los problemas que conciben o con los que se

encuentran.

En matemticas, un problema se designa como Psi se pueden resolver con un algoritmo que funcione en un

tiempo polinomial. Esta clase de problemas se designan como problemas fcilesy son, sencillamente,

susceptibles de abordarse y resolverse en trminos polinomiales; esto es, dividiendo el problema en

trminos de los componentes del mismo. Una forma adecuada de traducir esto consiste en el uso de

mecanismos como organigramas, cronogramas, histogramas, y dems. Bsicamente se trata de algoritmos

que permiten y hasta exigen el anlisis.

Frente a los primeros, existen igualmente los problemas N-P, que son aquellos que no pueden resolverse en

un tiempo polinomial no determinista. Por derivacin, se trata de aquella clase de problemas que no se

definen, se abordan ni se comprenden en los trminos en los que lo hacen los problemas P. Ahora bien,

consiguientemente, todos los problemas que forman parte de la clase Ptambin se encuentran en la clase

N-P. Pero lo contrario no es cierto. Que sea posible comprobaruna solucin a un problema en un tiempo


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polinomial no implica necesariamente que tambin se lo pueda encontrar en un tiempo polinomial. Por

tanto, no es, en manera alguna, evidente que P N-P.

En este punto se encuentra exactamente la frontera entre los problemas combinatorios de optimizacin y

aquellos que interesan y conciernen propiamente a las ciencias de la complejidad. Inmediatamente volversobre esta idea. Mientras tanto, lo central estriba en el reconocimiento de que es altamente difcil

demostrar que un problema nose puede resolver en un tiempo polinomial. Nos enfrentamos aqu con el

problema de las demostraciones de no existencia o de imposibilidad. La razn para esta dificultad consiste

en que en matemticas, como en ciencia, en filosofa, y en la vida en general, se abordan siempre primero

los problemas fciles y se postergan los problemas difciles.

Asimismo, de otra parte, se habla de problemas N-P completos si pertenecen a N-P. As, en otras palabras,

todo problema de la clase N-P, que no est ya en P, se designa como un problema N-P completo. Lo

verdaderamente interesante estriba en el reconocimiento de que los problemas N-Pque, por definicin, no

son fciles, se conocen como problemas relevantes.

Pues bien, quiero aqu argumentar a favor de la idea de acuerdo con la cual, las matemticas de la

complejidad se ocupan con problemas relevantes, en el sentido mencionado y que, en por lo tanto, en

trminos filosficos y ms amplios, las ciencias de la complejidad se caracterizan como el conjunto de los

problemas filosficos de la ciencia contempornea. De la adecuada comprensin de esta idea se siguen

claras implicaciones con respecto al concepto/problema relativo a verdad.

II

Hacia finales del siglo XIX y comienzos del siglo XX nadie inteligente terico, acadmico o investigador

podra sustraerse a la discusin acerca de la naturaleza y los fundamentos de la matemtica. Algunos de los

nombres ms ilustres del cambio del siglo se ocuparon de este dplice tema en su obra: Wittgenstein,

Russell y Whitehead, Peano, Freud mismo, Frege, Hardy y Husserl, para mencionar tan slo algunos de loscasos ms conspicuos. El debate tena que ver con la naturaleza misma de las matemticas, as: son ciencia

o son un lenguaje? Este problema defini el problema mismo de la fundamentacin de las matemticas y,

consiguientemente, el de su funcin y sentido. Como seala con acierto De Lorenzo (1998), el problema de

la fundamentacin hace referencia esencialmente a dos mbitos: de un lado, la fundamentacin ontolgica

de la matemtica en la cual se incluye la fundamentacin lgica, la conjuntista y la categrica y la

fundamentacin metodolgica. O para decirlo en otras palabras, ms sucintamente: el problema de la

fundamentacin hace referencia al tema, sensible, de las definiciones, en un debate que oscilaba entre el

formalismo y el intuicionismo, o el externalismo y el internalismo. La reaparicin frecuente de fenmenos

complejos obliga al matemtico a nuevas definiciones. Como se aprecia fcilmente, ste es el lugar en el que

confluyen y divergen, a la vez, matemtica y lgica.

Ahora bien, el papel ms destacado en el giro del siglo XIX al XX en torno al tema mencionado lo

desempe, sin lugar a dudas, D. Hilbert cuando en el Congreso Mundial de Matemticas realizado en Pars

en Agosto de 1900 formul los conocidos 23 problemas. El hecho significativo radica en que con ellos, por

primera vez, de manera programtica, Hilbert inspir a la comunidad de matemticos a pensar en trminos

ms conceptuales que operativos y funcionales. Con seguridad, esta actitud le debe mucho a B. Riemann,

quien unos cincuenta aos antes haba producido un giro significativo al pensar las matemticas no ya como

un tema de frmulas y ecuaciones, sino de ideas y de teora abstracta (2).


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Frege era, a la sazn en el giro del siglo, el ms destacado matemtico de una plyade de matemticos

fundamentalmente de dos naciones, Francia y Alemania, que inclua los nombres de Dirichlet, Sieltjes,

Hadamard, Weierstrass, Landau, Riemann mismo, Dedekind, Hermite, el belga de la Valle-Poussin,

Minkowski, en fin, Poincar (3).

La preocupacin tena que ver en general con la historia de la ciencia en la modernidad y, ms

particularmente, con la historia de la lgica. El surgimiento de la ciencia moderna tiene lugar como una

verdadera eclosin de ciencias, disciplinas, prcticas y saberes que se independizan de la filosofa (=

metafsica) y que afirman tener, cada cual, un objeto propio, un lenguaje autntico, un mtodo incluso, que

no dependen ya para nada de la metafsica. Tal es la historia de la transicin de la alquimia a la qumica, de

la emergencia de la fsicacon todo y que Newton an se empecina en concebirla como filosofa natural,

la historia de la economa, y posteriormente de la inmensa mayora de ciencias y disciplinas que nacen en el

curso del siglo XIX: entre ellas, la antropologa, la psicologa, la sociologa, y varias ms.

Por su parte, en cuanto a la historia de la lgica, asistimos a una situacin verdaderamente apasionante. La

lgica asiste al mismo proceso que las dems ciencias, prcticas y disciplinas que se independizan de lametafsica. La lgica se independiza de la filosofa y con lo cual, al mismo tiempo, nace como ciencia propia

que nada tiene que ver con la metafsica. En este sentido, en rigor, la lgica nace entre 1847 y 1936. El

primer paso en esta historia fue el de Boole y Morgan; posteriormente G. Frege quien publica el

Begrifschrift(Escrito conceptual), hasta arribar, finalmente, a la obra de Tarski, sin excluir antes, claro est,

el proyecto de Russell de fundar la matemtica sobre la base de la lgica en los Principia.

Pues bien, la lgica que se independiza de la filosofa (Lgica sin metafsica, al decir de Nagel), ciencia por s

misma sin necesidad de la metafsica, es la lgica simblica o tambin la lgica matemtica. Se marca, as,

una ruptura radical e irreversible de aquella vieja creencia segn la cual la lgica y la matemtica tuvieron

una slida implicacin recproca, en toda la historia de la cultura occidental desde la Grecia antigua. Si la

lgica de haba independizado de la filosofa, qu quedaba de las matemticas? El debate se dio entrminos generales as: es la matemtica una ciencia o un lenguaje, a saber, el lenguaje de la ciencia e

incluso, como lo sostuviera en los orgenes de la ciencia moderna Galileo, el lenguaje en el cual est escrita

la naturaleza? Al albur de este debate Einstein formula la conocida respuesta: en la medida en que las

matemticas se refieren a la realidad, no son verdaderas, pero en la medida en que no se refieren a la

naturaleza, son verdaderas. No en ltima instancia, R. Penrose habr de escribir, hacia el final del siglo XX el

libro The Shadows of the Mind, que es la defensa ms fuerte y reciente acerca del carcter platnico, esto

es, no subjetivo, de las matemticas, y que terminar de desarrollar, ilustrar y aplicar en Penrose (2005).

Ms all de la discusin entre el formalismo y el intuicionismo que marc el comienzo del siglo y buena

parte de su historia hasta la obra de Bourbaki, de cara al desarrollo de las matemticas, el hecho

determinante se origina a partir de los problemas formulados por D. Hilbert en el Congreso Mundial de

Matemticas realizado en Pars en el ao 1900. Especficamente, se trata de la historia que se deriva de los

problemas 2 y 23 formulado por Hilbert (Gray 2005).

Como resultado de ese problema, el desenlace central tiene como protagonistas, en primer lugar, a K.

Gdel, quien acusa de tautolgica a toda la lgica y matemtica tradicionales y con cuyo trabajo desarrolla la

idea de lo incompleto de los sistemas coherentes, con sus consecuencias sobre el problema de verdad. De

otra parte, en segundo lugar, A. Turing escribe el famoso paper: Can Machines Think?, con el cual habr de

desarrollar la famosa Mquina de Turing cuyo ncleo es el tema de la indecibilidad de determinados


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problemas y la consiguiente incompresibilidad de los programas verdaderamente significativos. En trminos

ms generales, como ha sido ampliamente reconocido por parte de la historia de la ciencia, asistimos a una

crisis de la ciencia cuya expresin fsica es Heisenberg, y cuya expresin lgica es Gdel.

En cualquier caso, de cara a Hilbert, quizs su ms grande contribucin relativamente al problema de lanaturaleza y la fundamentacin de la matemtica estriba en el desarrollo de la metamatemtica, un sub-

campo que habr de adquirir a la postre un derecho de existencia y un estatuto propio tanto en

matemticas como en filosofa de la matemtica.

Pues bien, a partir del problema, fundamental, acerca de la naturaleza y la funcin o sentido de la

matemtica abordado en el giro del siglo XIX-XX que atraviesa por el problema delicado de las

contradicciones, las paradojas y los celos alrededor del principio (o ley) de la no-contradiccin, habr de

producirse un cisma con una triple consecuencia. El cisma ser el surgimiento de las matemticas

cualititativas, relegando a un lugar secundario a la matemtica cuantitativa (obsrvese el uso del plural y el

singular). Y la triple consecuencia ser el desarrollo de tres clases de matemticas: la matemtica pura, la

matemtica aplicada y la matemtica que se desarrolla con la ayuda del computador (Odifreddi 2006). Enrigor, se trata de tres estrategias diferentes tendientes a resolver lo que sea verdadero y lo que no.

Ahora bien, creo que el problema de la fundamentacin de la matemtica fue durante mucho tiempoel

problema central de la filosofa de las matemticas y respondi a una historia cuyo vrtice central era el

debate acerca de la naturaleza misma de la matemtica supuesto, justamente, que slo haba una o la

matemtica. Sin embargo, el tema de una filosofa de las matemticas de la complejidad no encuentra,

perentoriamente, al problema de la fundamentacin como piso y ni siquiera como hilo conductor.

En efecto, es posible considerar la filosofa de las matemticas de la complejidad desde dos perspectivas

bsicas, as: de un lado, segn si atiende a la complejidad misma de varios temas determinantes de la

matemtica, algunos de cuyos ms conspicuos ejemplos sera la relacin entre el infinito y los nmeros

transfinitos, el carcter catico mismo de nmeros como Pi (), o al carcter de la indeterminacin misma

de la conjetura de Riemann, por ejemplo. No es en esta lnea que quisiera situarme aqu. Por el contrario,

quisiera considerar el carcter complejo mismo que las matemticas referidas a sistemas y fenmenos

caracterizados por no-linealidad, autoorganizacin, sinergia y emergencia, por ejemplo. Ms exactamente,

quiero situar en el centro de la mirada el tema mismo de las matemticas de la complejidad. A fin de

precisar mejor sta idea, se impone una observacin.

Las ciencias de la complejidad no son simplemente ciencias de sistemas dinmicos pues la dinmica, de

hecho forma parte de la mecnica clsica y que es un caso particular de la teora de la relatividad y de la

mecnica cuntica (4). Por el contrario, el tipo de fenmenos, sistemas y comportamientos que interesan y

que son constitutivos de las ciencias de la complejidad son aquellos que se caracterizan por ser de

complejidad creciente. A fortiori, este es exactamente el caso tambin para las matemticas de la

complejidad. En una palabra, la complejidad es un fenmeno emergente, y no ya causal.

Los ejemplos caractersticos de fenmenos de complejidad creciente son la geometra de campos o

geometra fractal, desarrollada por B. Mandelbrot, el caos y, en general, el trabajo con y el desarrollo de

sistemas en perspectiva evolutiva. De esta suerte, puntualmente dicho, la filosofa de las matemticas de la

complejidad responden en realidad una ecuacin simple, as:


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Matemticas + Tiempo = Complejidad

Precisamente, en este sentido, el tipo de ecuaciones con que se trabaja, en muchas ocasiones, en

complejidad, tienen que ver con iteracin, evolucin, aprendizaje generalmente a travs de

procedimientos computacionales.

En esto exactamente estriba el tema de la filosofa de las matemticas de la complejidad, en contraste con la

filosofa de la matemtica tradicional: en el modo como el tiempo puede y debe ser integrado en los

estudios matemticos. Es en esto en lo que consiste la incorporacin de la perspectiva evolucionista.

III

Una especificidad de la forma como se trabaja en ciencia es en relacin con los medios tcnicos a la mano,

de un lado, y con la tecnologa disponible, de otra parte. Lo mismo sucede en el caso de las matemticas

referidas a los sistemas de complejidad creciente. Esta idea se ilustra mucho mejor con relacin al problema

de la no-linealidad.

Desde el punto de vista histrico, la relacin entre tcnica/tecnologa e investigacin puede ilustrarse de la

siguiente manera (5). En la Grecia antigua, nadie poda llamarse investigador si no manejaba dos

herramientas bsicas de investigacin: la regla y el comps (o tambin, la escuadra y el comps). De hecho la

matemtica griega se apoya en mucho en el trabajo con regla y con comps, aunque, evidentemente, no se

reduce a ellos. En la Edad Media era imposible hacer ciencia (= teologa como scientia magna) sin el

empleo de la mejor tecnologa de la poca: libro, cuaderno y lpiz. No en vano, buena parte de la ciencia

medieval (= teologa) se lleva a cabo como el trabajo de los copistas. No es casual que la matemtica

medieval permanezca hipertrofiada durante mucho tiempo debido al predominio del sistema romano de

numeracin. Ser tan slo con el descubrimiento por parte de Occidente y la incorporacin del sistema

numeral arbigo, y con ello, el nmero cero, en el siglo XII, por lo que se sientan las bases para la ciencia

moderna. Posteriormente, en la Modernidad, los cientficos se dan a la bsqueda de lo infinitamente grandey lo infinitamente pequeo mediante dos instrumentos distintos pero, al cabo, complementarios: el

microscopio y el telescopio. La matemtica es herramienta de medicin y la ciencia moderna es ciencia

eminentemente cuantitativa. Pues bien, correspondientemente, en el mundo contemporneo,

especficamente a partir de 1944, es imposible hacer investigacin de cualquier tipo sin el uso pleno de un

instrumento conceptual: el computador. Puntualmente dicho, el trabajo efectivo con sistemas no-lineales es

posible gracias especficamente al computador. As, en rigor, las ciencias de la complejidad son al mismo

tiempo posibles gracias al desarrollo de la computacin y contribuyen, a su vez, para el desarrollo de

lenguajes de programacin, de cara a la heurstica y metaheurstica de los sistemas complejos no-lineales.

El trabajo esencial con el computador es, desde luego, supuesta la base material del mismo hardware, el

trabajo de/con software(o logiciels). As, se trata del trabajo con lenguajes de programacin que permitenla simulacin. Como es sabido, se trata del trabajo con dos grupos de simulacin: simulacin de objetos y

simulacin de procesos o series, para lo cual existen dos grandes posibilidades: trabajar con alguno(s) de los

lenguajes ya existentes, o bien programar. Esto a su vez se inscribe en el marco ms amplio an de la opcin

por lenguajes cerrados (= patentados), o bien mediante el recurso al open source(por ejemplo, Unix, Linux, y

otros).


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Desde el punto de vista metodolgico, lgico, matemtico y heurstico, asistimos, as, al trnsito de la

descripcin a la explicacin, y del modelamiento a la simulacin en el desarrollo de la investigacin

cientfica, una transformacin de muy largo alcance que termina de ratificar el hecho de que las ciencias de

la complejidad constituyen una autntica revolucin cientfica en el sentido de T. Kuhn. En este orden, el

conocimiento y el trabajo con la obra de S. Wolfram es determinante, especialmente A New Kind of Science

(2002), sin desconocer Complexity and Cellular Automata. Ahora bien, en este panorama, es fundamental al

hecho de que las matemticas que subyacen a la lgica computacional son el lgebra Booleana, que se

encuentra en la base del mejor trabajo explicativo de los procesos de autoorganizacin, tal y como lo llev a

cabo S. Kauffman (1995). En este mismo sentido, el desarrollo de los algoritmos genticos (J. Holland)

condensa e ilustra a la vez el trabajo con sistemas evolutivos. Con los algoritmos genticos, el tema es, por

tanto, la inteligencia artificial y la vida artificial.

Como quiera que sea, el desarrollo de los sistemas computacionales permite, por primera vez en la historia,

ver, literalmente, y trabajar con fenmenos y comportamientos no-lineales. Es cierto que la no-linealidad ya

fue entrevista por Leibniz notoriamente, pero es tan slo gracias al desarrollo del computador como

herramienta conceptual que la ciencia pudo acceder al mundo de la no-linealidad; y con l, igualmente al delas emergencias. Esta idea ancla en el trabajo pionero de H. Pagels, con seguridad, unos de los padres de la

complejidad, y uno de los primeros en ver la importancia de la computacin para la complejidad. En un

desarrollo ulterior de esta idea, se trata de temas tales como la computacin grfica, la computacin

cuntica, y otras.

Ahora bien, este panorama podra dar la impresin de que el trabajo con complejidad se inclina hacia las

matemticas aplicadas, antes que hacia las matemticas puras y la lgica (una visin semejante se sigue, sin

dificultad, de Odifreddi 2006). Una impresin semejante es, sin embargo, errnea por simple y

reduccionista. Lo que s es manifiestamente cierto es el hecho de que tambin en el caso de la complejidad,

las matemticas contemporneas son una creacin continua e incesante. Son numerosos los autores que

coinciden en precisar que esta creacin continua es tan variada, amplia e impredecible como la vida misma(Mankiewicz 2000, Holland 1995, Bar-Yam 1997).

Sin embargo, a propsito de las relaciones entre computador y matemticas, hay un tema bastante ms

delicado que surge inmediatamente ante la mirada reflexiva. Se trata del reconocimiento de que el uso

computador esto es, notablemente, de lenguajes de simulacin no aporta ninguna demostracin. A lo

sumo, tan slo una ilustracin. Ms all de la discusin acerca de los tres tipos de matemticas puras,

aplicadas y computacionales, la demostracin sigue siendo el aporte fundamental de las matemticas al

cuerpo del conocimiento humano. Y la demostracin es la obra de la inteleccin de los matemticos.

Al respecto, sin embargo, es importante atender al descubrimiento alcanzado por Gdel en el sentido de

que hay cosas que sabemos o que son verdaderas y que sin embargo, no podemos demostrar. En otras

palabras, existen fallas en la demostracin. Estas fallas cierran el camino de la ciencia, pero abren el camino

de las matemticas por cuanto una demostracin matemtica es muchas, muchas veces ms exigente que

una cientfica experimental (Cfr. De Sautoy 2003). Una demostracin matemtica es un argumento

impecable que slo usa los mtodos del razonamiento lgico que nos permiten inferir la validez de una

afirmacin matemtica. Es clave entonces: mostrar las relaciones entre matemtica y lgica, y que la lgica

se ocupa de las inferenciasentailment.


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IV

Es la complejidad relativa al observador? En rigor, en el contexto de las ciencias y de las matemticasde

la complejidad esta es una pregunta equivocada que tan slo cabe en el marco del pensamiento sistmico.

Por el contrario, lo propio de la mirada matemticade la complejidad consiste en el reconocimiento de, yel trabajo con, la multiescalaridad. Los enfoques multiescalares establecen que la complejidad de un

fenmeno descansa en la naturaleza misma del fenmeno y no en el observador, pero que un fenmeno

cualquiera puede y debe ser visto de distintas maneras por ejemplo, por distintos observadores.

Sera un truismo sostener que la matemtica trabaja con smbolos, definiciones y ecuaciones con

propiedades y reglas de transformacin bien precisas. Lo verdaderamente relevante estriba en el

reconocimiento de que en la matemtica contempornea no existe un objeto de trabajo determinado y

preciso, de la misma manera que el sujeto tampoco crea la matemtica y la pone como explicacin del

mundo sin ms. El lenguaje de las funciones hace insostenible la divisin sujeto-objeto; las matemticas de

la complejidad plantean filosficamente el tema del anlisis funcional en el que, para decirlo en lenguaje

clsico, la estructura es una consecuencia de la funcin.

El problema fundamental de la complejidad consiste en comprender el orden. Un orden que, hemos llegado

a saberlo, no es precisamente esttico o regular, sino, ms exactamente, aperidico, marcado por

inestabilidades, turbulencias, fluctuaciones y bifurcaciones. La expresin de S. Strogatz es, al respecto

afortunada: entender la sincrona, la armona y el equilibrio el orden en trminos espaciales es

relativamente fcil. Mucho ms difcil es entenderlo en trminos temporales (Strogatz 2003). Hace apenas

muy poco tiempo que hemos comenzado a estudiar y a comprender esta clase de fenmenos temporales,

evolutivos, irreversibles: en fin, de complejidad creciente. Si, como es efectivamente el caso, para

entenderlos hay que inventar nuevas matemticas, pues se asume el reto. Este es exactamente el punto de

encuentro entre complejlogos y matemticos, por ejemplo. (Hay que decir que la posibilidad y la necesidad

de inventar nuevas matemticas no es una prerrogativa de las matemticas, sino, mejor an, delconocimiento mismo. De cara a nuevos enigmas, retos, realidades, posibilidades y desafos, el conocimiento

en general se da a la tarea de crear nuevos lenguajes, nuevos conceptos y categoras, en fin, nuevas

metforas).

G. Chaitin (1999) tuvo toda la razn al advertir que el sueo de Hilbert fracasa en matemticas y en lgica

pero triunfa en la computacin; ms exactamente, en el desarrollo de los lenguajes computacionales, pues

la primera exigencia de esta clase de lenguajes incluso independientemente de que se trabaje con

lenguajes cerrados o con open source, es el rigor sintctico del lenguaje, sin el cual es imposible que se

alcance un slido desarrollo semntico y otros de esta clase de lenguajes artificiales. Sobre la base de esta

idea, Chaitin lleva a cabo una labor importante en complemento del trabajo que, por otra parte, adelantara

Kolmogorov. En efecto, un problema al mismo tiempo filosfico y cientfico que no poda resolverse sin la

contribucin de las matemticas, y que permaneci sin resolver durante siglos, es el de la aleatoriedad.

Dicho puntualmente, se trata de las relaciones entre necesidad, o causalidad, y aleatoriedad.

El trabajo con aleatroriedad tiene dos prembulos: de una parte, el clculo diferencial e integral que es

inocuo para el estudio de la complejidad, y de otra parte el lgebra no-linealmucho ms idnea, pero con

restricciones sobre el mbito o dominio en el que opera. Sobre estas bases, el paso siguiente es la

apropiacin de herramientas de probabilidad as como el trabajo con sistemas estocsticos (6).


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G. Chaitin y Kolmogorov son dos fuentes independientes pero complementarias en el estudio y definicin de

la aleatoriedad. Chaitin, notablemente gracias al lenguaje que desarroll denominado LISP, y Kolmogorov,

gracias a los procedimientos de axiomatizacin de la probabilidad. Este constituye, exactamente, el eslabn

que al mismo tiempo unifica y diferencia a las matemticas de los sistemas dinmicos y el estudio de los

fenmenos de complejidad y optimizacincombinatoria. En efecto, dicho en trminos al mismo tiempo

filosficos y matemticos, la complejidad del mundo es el resultado de que vivimos justamente en un

universo probabilstico, en el que, consiguientemente, de un lado, los temas de decisin, juego y tipos y

modos racionalidad son determinantes, y en el que, al mismo tiempo, de otra parte, la incertidumbre

constituye un rasgo ontolgico y no simplemente epistemolgico, en el conocimiento, explicacin y

comprensin de lo que es real y posible, en general.

En ciencia, como en la vida, se trabajan tradicionalmente primero, siempre, los problemas fciles, y se

postergan y relegan, los problemas difciles. Pues bien, algo semejante sucedi con el estudio de la

aleatoridad, hasta el desarrollo de los trabajos de Kolmogorov-Chaitin que permitieron herramientas al

mismo tiempo lingsticas, lgicas y matemticas que permitieron ver que los sistemas deterministas,

lineales y predecibles son, en realidad, sistemas irrelevantes. I. Prigogine representa una buena contribucinal respecto, especficamente cuando, en contraste con las ideas defendidas por J. Monod, precisa que la

complejidad es el resultado de una relacin dinmica entre azar y necesidad. En este sentido, Prigogine

entiende el trabajo cientfico, matemtico y filosfico como la elaboracin de una formulacin unitaria de la

complejidad (Nicholis y Prigogine 1994).

Como quiera que sea, es necesario observar que las ciencias de la complejidad permiten poner al

descubierto, en marcado contraste con toda la historia de la ciencia y la filosofa desde la Grecia antigua,

una no centralidad de las matemticas, en contraste con la ciencia clsica, aunque s adquiere un papel

necesario al lado de otros instrumentos, como el computador (7). En otras palabras, las matemticas de la

complejidad ya no tienen un papel hegemnico en la comprensin de la complejidad lo que sera a todas

luces una contradiccin, cuando se habla de ciencias de frontera fundadas en problemas de frontera, y conun carcter cruzado, integral o interdisciplinario. Incluso autores como Holland (1995) y Chaitin (2001 y

2002) coinciden en esto.

Las matemticas de la complejidad son matemticas cualitativas. La comprensin matemtica de la

complejidad es aquella que establece que se trata de sistemas, comportamientos o fenmenos

caracterizados por un amplio nmero de grados de libertad, de tal suerte que a mayores grados de libertad

en el sentido fsico y matemtico de la palabra, mayor complejidad. Ahora, desde luego que esto no

excluye, en manera alguna, la idea de que tambin haya lugar para una comprensin cuantitativa de la

realidad, del mundo, de la complejidad. Por lo dems, es cierto que las matemticas de la complejidad se

encuentran fuertemente centradas o marcadaspor la fsica, la qumica y la biologa. Pero ello se debe,

ms que a las propias ciencias de la complejidad, a la historia de la ciencia moderna y contempornea. Eneste sentido, recientemente se vienen incorporando matemticas tambin a las ciencias sociales y humanas,

en el sentido ms amplio de la palabra. Al respecto hay que decir que la contribucin especfica de las

matemticas en general mediante su empleo de frmulas, smbolos y lgica consiste, en rigor, en su

capacidad de compresin de lo que, de otro modo, requerira muchas palabras para ser expresado. Este

carcter es igualmente vlido para las matemticas cualititativas.


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Finalmente, un elemento adicional en el trabajo matemtico y no solamente matemtico con la

complejidad es la existencia de patrones replicativos e iterativos, algo que fue puesto de manifiesto

originalmente por el libro clsico de D. Hofstaedter en torno a la replicacin y reiteracin: Gdel, Escher y

Bach. No en ltima instancia, es necesario incluir aqu las contribuciones de H. Haken para el estudio de los

fenmenos caracterizados por sinergia.

V

El estudio de la complejidad consiste en la descripcin, comprensin y explicacin de sistemas dinmicos

en rigor, termodinmicos! (Maldonado 2005b), caracterizados por no-linealidad, sinergias, bucles de

retroalimentacin positiva y negativa, transiciones de fase, bifurcaciones, autorganizacin y emergencias, en

los que lo importante no son los elementos que componen un sistema determinado, sino las relaciones

entre los componentes del sistema de que se trate, as como el hecho, fundamental, de que se trata de un

sistema abierto, o sensible al entorno o medio ambiente. Fundamentalmente, por consiguiente, se trata de

sistemas abiertos, incompletos, inacabados y en evolucin (Maldonado 2007a y 2007b).

Quisiera insistir en esta idea: El problema de la fundamentacin de las matemticas hace esencialmente

referencia la naturaleza y, por derivacin, a la funcin o al sentido de las matemticas. Como tal, es un tema

propio de la matemtica clsica. Quiero sostener la idea segn la cual, de cara a las nuevas matemticas, el

problema de la fundamentacin vara sustancialmente. Las matemticas de la complejidad son matemticas

de sistemas termodinmicos y no ya simplemente dinmicos. En rigor, la matemtica de los sistemas

dinmicos es la matemtica clsica; las nuevas matemticas ya no se interesan tanto por los fenmenos

dinmicos mecnicos, lineales, por consiguiente, sino, mejor an, por aquello caracterizados por no-

linealidad, emergencia, autoorganizacin e irreversibilidad. Ahora, dado que la fundamentacin hace

referencia a estructuras y estabilidades, a principios y a leyes, stas tienen en el contexto de las ciencias de

la complejidad otro carcter radicalmente distinto, pues se trata de la fundamentacin de aquello que es

variable, o que se ocupa de lo variable.

El estudio matemtico de la complejidad se lleva a cabo de dos modos, alternos. De un lado, encontramos

mtodos analticos de estudio y simulacin de la complejidad. De otra parte, se trabaja con conceptos que,

ocasionalmente, son ilustrados mediante simulaciones, grficos u otras herramientas.

Entre los mtodos analticos, se ha privilegiado usualmente los siguientes: las redes booleanas integradas,

notablemente, por S. Kauffman en el estudio de las redes autocatalticas, los exponentes de Lyapunov

tiles en general en los estudios que integran perspectivas ecolgicas, los mapas iterativos lineales y no-

lineales y cuadrticos, la constante de Lotka-Volterratil en el estudio de los sistemas de la ecologa, los

fractalesnotablemente las mediciones fractales sobre determinados fenmenos, los toros y atractores

De Henin y otros, siendo, sin embargo los ms relevantes los atractores extraos que constituyen el

paradigma en el estudio del caos, y que son bastante utilizados en el estudio de fenmenos como los

solitones, la identificacin de puntos crticos, estados crticos y transiciones de fase todos los cuales

encontraron en los trabajos sobre criticalidad autoorganizada de P. Bak una base slida, y en general la

identificacin de los grados de libertad de los fenmenos de que se trata en cada caso (8). La lista puede en

realidad hacerse tan larga como se quiera, pero a fin de tener un mapa general slido basta con ver Bar-Yam

(1997) y Nicholis y Prigogine (1994). A estos mtodos es preciso agregar, de manera puntual, la

identificacin de leyes de potencia (power law) y, con ellas, la Ley de Zipf. Ambas, sin embargo, han llegado


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a ser reconocidas recientemente como casos particulares en el estudio de conexiones y osciladores (Strogatz

2003).

Los sistemas complejos en rigor, alejados del equilibrio o en el filo del caos, dos metforas equivalentes,

son el resultado de aprovechamiento y negacin, al mismo tiempo, de la entropa. En este orden, el trabajopionero de Shannon y Weaver es imprescindible, pues sienta las bases para la teora matemtica de la

informacin. Sin embargo, los trabajos de W. H. Zurek (1989a y 1989b) son absolutamente obligatorios en

este plano, y todos los investigadores coinciden en la centralidad de los trabajos de Zurek para la apropiada

comprensin de la entropaya no solamente informacional.

La teora de grafos ha venido a convertirse en una ciencia obligatoria en el estudio de la complejidad, desde

el punto de vista cientfico, especficamente a partir de la configuracin de la ciencia de redes ( connections)

y ya no simplemente de la teora de redes (networks), gracias a las contribuciones fundamentales de

Barabasi (2003), Strogatz (2003) y Watts (2004). De esta suerte, la ciencia de conexiones permite un avance

significativo con respecto a los enfoques simplemente matriciales.

Finalmente, faltara por hablar de la lgica lgicas, en rigorde los sistemas de complejidad creciente. Se

trata de las lgicas filosficas anteriormente llamadas lgicas no-clsicas, pero ese es otro tema que

debe quedar aqu aparte (9). Y, asimismo, de ciertas herramientas computacionales tales como los

autmatas celulares, los algoritmos genticos y la vida artificial, pero ese es, igualmente, otro tema para

otro momento.

VI

El problema ms importante de todos acerca de la naturaleza y la funcin de las matemticas en la

economa de la naturaleza y del conocimiento en general, tiene que ver con la relacin entre matemticas y

realidad y, consiguiente e inevitablemente, con la comprensin y definicin misma de lo que sea la realidad

y lo que sea real.

Este problema se origina, en el marco de las matemticas a partir del tema, fundamental, de la geometra. Si

son efectivamente posibles varias geometras la geometra Euclidiana, las de Lobachevsky, Bolyai y

Riemann, la de Mandelbrot, en fin, incluso la de Witten, cul de ellas describe mejor el mundo fsico, y con

el mundo fsico, el mundo de los asuntos humanos en el sentido normal y natural de la palabra?

El problema de las contradicciones aparece aqu como inescapable y fundamental. En efecto, el mrito de

Hilbert consisti en que sent las bases para demostrar que/si las matemticas poseen contradicciones. La

primera forma como ello se llev a cabo en la historia de la matemtica fue, como es sabido, con respecto a

la geometra de Euclides, y luego tambin con relacin a la teora de nmeros. Una vez descubiertas las

contradicciones, el problema consiste en decidir qu hacer con ellas. Es exactamente en este punto endonde nacen o anclan, por as decirlo, las matemticas de la complejidad de cara al problema de lo que sea

verdad.

Como tal, el concepto/problema de verdad hace referencia a condiciones del mundo de la realidad, en

fin, de la sociedad o de la naturaleza, segn los intereses de investigacin, antes que a la estructuracin

misma del pensamiento. Tarki ya fue claro al respecto hace tiempo. Verdad, as, es el ttulo que designa la

adecuacin del juicio o la demostracin al mundo, slo que, en el contexto de los sistemas de complejidad


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creciente, se trata de un mundo que, por definicin, est marcado por turbulencias, fluctuaciones,

inestabilidades y rupturas de simetra. As la cosas, se impone una comprensin de verdad que se

corresponda con una perspectiva evolutiva.

Dicho en el lenguaje genrico de los sistemas evolutivos, el problema se condensa en los siguientestrminos: es el mundo en evolucin verdadero, o bien hay verdad en la evolucin del mundo y de los

fenmenos? Hay que decir que, en rigor, el concepto/problema de verdad no ha sido un objeto directo de

preocupacin por parte la comunidad de complejlogos y de matemticos y filsofos de la complejidad.

Como ya se dijo, queda dicho que es suficientemente conocido el juicio de Einstein segn el cual en la

medida en que las matemticas se refieren a la realidad no son verdaderas, pero en la medida en que no se

refieren a la realidad son ciertas. Como quiera que sea, esta tensin entre matemticas y realidad ha dado

lugar a la articulacin de las matemticas en tres grandes reas: matemtica pura, matemtica aplicada y

matemtica computacional. La primera se abstrae claramente de la realidad y no sabe de conexiones

directas o inmediatas con la realidad fsica o emprica en cualquier sentido de la palabra. Una tensin

semejante tan slo es conocida, en el cuerpo del conocimiento, por la filosofa un tema sobre el cualhabremos de volver en otro momento y lugar. Las matemticas puras son, grosso modo, aquellas que se

ocupan de Rsuperior a 4; es decir a espacios, mundos y realidades superiores a 4 dimensiones; por ejemplo

un R5, un R8, o un R20. Como se aprecia, se trata de dimensiones que son (casi) imposibles de

representrnoslas intuitiva, grfica o imaginativamente.

Por su parte, las matemticas aplicada y computacional representan, en contraste, aproximaciones muy

vinculantes con la realidad, en el sentido emprico o fsico de la palabra. Existe, incluso, el debate entre una

buena parte de los matemticos acerca del carcter bastante apcrifo, si no irrelevante, de la matemtica

que trabaja con y resuelve mtodos numricos y otros sobre la base, o con la ayuda de, los lenguajes

informacionales y computacionales.

Desde el punto de vista filosfico, el problema es bastante bsico, a saber: se trata del problema a todas

luces fundamentalde por qu hay algo y no nada que es, por lo dems, el modo como R. Penrose (2005)

formula el tema mismo de las relaciones entre matemticas y realidad (10). El simple hecho de que ya exista

una realidad y no la nada, siente slidas bases para un captulo amplio las matemticas y, por derivacin, de

la filosofa y de la cultura cientfica y humanista en general. Desde el punto de vista fsico, el debate puede

ser traducido en trminos del famoso debate de Copenhaguen entre Bohr y Einstein. El ltimo crea en el

carcter entitativo o sustancial de la realidad; el primero defenda la tesis bastante popular, por lo dems

entre el pensamiento sistmico, el constructivismo y una corriente importante de las neurocienciassegn

la cual la realidad no existe por s misma sino que es relativa al observador. La realidad es as ilusin y, en

rigor, no puede hablarse de una realidad nica, sino de mltiples realidades universos, por ejemplo; de

universos paralelos, por ejemplo. Dicho en trminos de filosofa de la ciencia, el debate consiste en las

relaciones entre el internalismo y el externalismo (cfr. Comesaa, 2005, para una aproximacin al problema

en general, y del externalismo en particular). No en ltima instancia, el problema incumbe tambin a la

naturaleza misma de la realidad o de lo real, segn si es sustancial o resultado de nuestra biologa.

Como quiera que sea, el debate consiste en el dilema de acuerdo con el cual o bien pensamos en/con

imgenes, o bien pensamos con frmulas y ecuaciones. Exactamente en este sentido, Zellini (2007) precisa

que, desde el punto de vista matemtico, el problema de las relaciones con la realidad interpela, en rigor, a


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la fsica, puesto que para los matemticos el tema se formula como el de las relaciones entre pensamiento y

frmulas. Esta es exactamente la perspectiva adoptada por R. Penrose.

Existen, en la historia de las matemticas y de la fsica, notablemente, posiciones cruzadas; esto es, no hay

una posicin nica de corte fundamentalista o principal al respecto cuando se va de un matemtico a otro ode un fsico a otro, por ejemplo. La tendencia, en trminos generales, es que destacar las imgenes sobre las

ecuaciones tiende a una postura ms favorable al realismo, en tanto que la opcin de las frmulas sobre las

imgenes opta por preferencias ms abstractas y menos ligadas a la intuicin y, por extensin, al sentido

comn.

Las relaciones entre matemtica y realidad pasan, por consiguiente, por la comprensin o definicin misma

de lo que son las matemticas. Si se trata de una ciencia, entonces ellas contienen la clave de la realidad. Es

en esta direccin que Pitgoras lleg incluso a afirmar que el universo entero est controlado por la msica,

a partir, justamente, de los nexos fuertes, si no identidad, que Pitgoras y los pitagricos entrevieron entre

matemtica y msica. Tal fue exactamente la creencia que los pitagricos legaron a la posteridad. Si, por el

contrario, se afirma que las matemticas son un lenguaje, entonces ellas expresan el lenguaje mismo de larealidad. Una idea semejante es la que se encuentra en la base de la creencia de Galileo, segn la cual la

naturaleza est escrita en caracteres matemticos, y lo que hace la ciencia es sencillamente leer o descifrar

dicho lenguaje.

Ahora bien, desde el punto de vista filosfico, la realidad ha sido tradicionalmente comprendida, en la

historia de Occidente, en trminos de Seresto es, estabilidad, fijeza, rigidez, o regularidad y orden, o bien

de Devenir es decir, de cambio, movimiento, transformaciones, bifurcaciones, irrepetibilidad e

irreversibilidad. La dificultad grande estriba en que ambas concepciones acerca de realidad han sido

inconmensurables entre s en la historia de Occidente. Tradicionalmente por distintos factores y fuerzas,

la idea predominante ha sido la de ser a la cual la ciencia y la filosofa tradicionales contribuyeron

activamente, en desmedro de la de devenir, que nunca ocup un papel verdaderamente destacado ypermaneci clandestina en la mayor parte de la historia de Occidente.

Desde luego que en este punto entra tambin, de manera inevitable, el problema de la existencia co-

existencia?de mltiples realidades, haciendo del trmino realidad, un problema de mayor complejidad

combinatoria, por decir lo menos. La primera vez que en la ciencia contempornea tiene lugar la posibilidad

razonable de hablar de varias realidades sucede con la formulacin del principio de superposicin de

estados, en el marco de la mecnica cuntica. Ms recientemente, el descubrimiento de que las leyes de la

fsica se aplican en realidad para este universo en el que vivimos, y no necesariamente para todos los

universos posibles, ha llegado a fortalecer la idea de una pluralidad de universos o realidades. Asistimos, en

realidad, al reconocimiento de la relatividad del concepto de realidad, y por extensin, de ser, universo y

dems. (La lgica de los mundos posibles fue originalmente abierta por parte de Lewis, y constituye uno de

los vrtices de trabajo en las lgicas no-clsicas).

Por consiguiente, en correspondencia, cabe elaborar una tipologa de verdad con referencia a estabilidad,

regularidad y simetra, y una tambin con respecto a verdad con referencia a evolucin, cambio,

transiciones de fase e irreversibilidad. Pero si ello es as, la consecuencia no deja de ser sorpresiva:

asistimos, as, al descubrimiento de un pluralismo con respecto a verdad anlogamente, por lo dems al

la idea de pluralismo lgico y de multidimensionalidad del mundo.


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No es exagerado incluso sostener que las matemticas son una disciplina esttica en la que se habla

principalmente de la belleza de las demostraciones y de la elegancia de las soluciones. La matemtica nos

ense hace ya bastante tiempo, desde la Grecia antigua e incluso desde el antiguo Egipto, que uno de los

criterios fundamentales para definir una teora es la belleza. Una teora es tanto ms slida cuanto ms

hermosa sea ms all de criterios mucho ms populares como la falseabilidad (Popper) y otros,

introducidos en su mayora a partir de la Escuela de Viena y la filosofa de la ciencia que se deriva de sus

miembros y representantes. La belleza hace referencia a una experiencia esttica fundante, a saber: la

belleza del conocimiento. Al respecto los matemticos, al igual que algunos filsofos, la reconocen cuando la

ven, pues es una sola con el acto mismo del conocimiento. Lo dems, es por ejemplo, la discusin acerca del

papel de la intuicin o bien de la deduccin, como agentes constitutivos de la belleza.

Pues bien, las matemticas de la complejidad son, en los trminos que se acaban de exponer, matemticas

del devenir y no del ser. De all al mismo tiempo su novedad, su impacto y su tambin su alcance. Desde

esta perspectiva, se trata, en verdad, de un terreno esencialmente inacabado y en incesante construccin.

Como la vida misma.

Conclusin

Las matemticas de la complejidad, acompaadas, siempre, de la filosofa de las matemticas de la

complejidadconstituyen un captulo notable en la revolucin cientfica, filosfica y cultural para emplear

libremente la expresin de Kuhn a la que asistimos y de la cual, de diverso modo y grado somos

protagonistas (incluso, a veces, sin saberlo, como es efectivamente el caso). Con toda seguridad, el rasgo

ms novedoso consiste en el aporte hecho al estudio tanto de los sistemas complejos mismos, como de las

ciencias sociales.

Las ciencias sociales se benefician enormemente tanto como la propia filosofa de las ciencias sociales, en

consonancia, asimismo, con la sociologa y la historia de las ciencias sociales, sin dejar de lado, por ejemplo,

a la psicologa del descubrimiento de los sistemas sociales humanosde los desarrollos de las matemticas

cualitativas. La forma primera como tiene lugar este beneficio sucede a travs de la incorporacin de

heursticas y metaheursticas que coinciden en el reconocimiento explcito de si las matemticas habituales

(normales) no arrojan luces nuevas sobre los problemas, entonces, sencillamente, hay que crearnuevas

matemticas.

No hay duda: la complejidad de las ciencias sociales consiste en su carcter abierto, esencialmente

inacabado, en fin, en la incompletud intrnseca de las dinmicas sociales. Pero si ello es as, los cientficos

socialesen el sentido amplio de la palabrapueden volver su mirada hacia las herramientas y experiencias

que les ofrecen las matemticas cualitativas. No simplemente para matematizar las ciencias sociales (ese

sueo ya se so, como es sabido), sino para destacar, sin ambages, la dignidad de los temas, retos,

problemas y asuntos propios de las ciencias sociales y humanas.

En este artculo se han presentado los ms destacados autores, temas y reas de trabajo de las matemticas

cualitativas con la intencin de trazar puentes entre las ciencias sociales, la filosofa de las ciencias sociales y

las ciencias de la complejidad. El hilo conductor ha sido, sencillamente, la comprensin cualitativa de las

matemticas de los sistemas dinmicos. El panorama se ofrece amplio y generoso a la vez. Con seguridad,

las comunidades de trabajo en complejidad y en ciencias sociales es un fenmeno creciente y cada vez ms

robusto. El horizonte de trabajo se ofrece amplio y rico: pero con l, a travs suyo, en fin, operando como


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lmitees decir, ulteriormente, se encuentra el cuidado, el posibilitamiento, la exaltacin y la gratificacin

de la vida mismas: de la vida humana tanto como de la vida en general sobre el planeta. Y quizs,

eventualmente, de la vida por fuera del planeta.

Notas

(1) Este artculo es un avance de un proyecto de investigacin que adelanto actualmente en la Universidad

del Rosario, gracias al apoyo del FIUR, sobre sistemas complejos.

(2) Un profesor de matemticas refiere en los siguientes trminos la situacin de Hilbert en la presentacin

de los 23 problemas en Paris: Already recognised as one of the greatest mathematicians of the age, Hilbert

had prepared a daring lecture. He was going to talk about what was unknown rather than what had already

been proved. This went against all the accepted conventions, and the audience could hear the nervousness

in Hilbert`s voice as he began to lay out his vision for the future of the mathematics (Du Sautoy 2003:1).

Posteriormente volver sobre Riemann.

(3) La razn por la que los matemticos ms importantes de la poca pivotaban alrededor de Francia y de

Alemaniacon la excepcin clara de Euler, trabajando en San Petersburgo, tiene que ver con el contraste

entre los dos modelos de enseanza e investigacin como eran, respectivamente, el Politcnico de Paris, y la

Universidad de Humboldt en Berln y Alemania en general. (Gttingen habr de destacarse en el medio

universitario alemn, como una autntica fortaleza para el trabajo en matemticas, en contraste con Berln

en ciencias, y Friburgo en filosofa, por ejemplo). El Politcnico estaba dedicado fundamentalmente a la

matemtica aplicada, con claros intereses industriales y militares, mientras que la Universidad de Humboldt

era reconocedora de la importancia de la investigacin libre, desinteresada, en fin, bsica y promova y

destacaba este tipo de investigacin sobre la aplicada. Dicho en otras palabras, se trata de la distincin entre

la investigacin orientada a fines y la investigacin basada en fortalezas.

(4) En Maldonado (2005b) se encuentra una precisin y ampliacin de esta idea y que sostiene que antesque hablar, en ese caso, de sistemas dinmicos, en el marco amplio de la complejidad mejor vale hablar de

fenmenos y sistemas termodinmicos, con lo cual, justamente, se abre la puerta necesaria a la

termodinmica del no-equilibrio.

(5) El siguiente desarrollo est ampliamente trabajado en Maldonado (2005a).

(6) La discusin con sistemas hamiltonianos es siempre necesaria y provechosa, pues permite allanar el

camino hacia la identificacin de sistemas ergdicos y no-ergdicos. (Un lugar obligado de trnsito es la

identificacin de comportamientos lagrangianos).

(7) Para una ampliacin de esta idea, cfr. Maldonado 2007a y 2007b.

(8) Entre nosotros, una buena presentacin de algunos de los mtodos analticos en el tratamiento de la

complejidad es el libro de Campos e Isaza (2002).

(9) He trabajado estas lgicas en varios artculos dedicados al pluralismo lgico, las lgicas paraconsistentes,

la lgica del tiempo, la lgica de la relevancia y la lgica cuntica. Est en preparacin un artculo sobre

lgica difusa.


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(10) En la historia de la filosofa, el llamado ms reciente a la formulacin y comprensin del problema: por

qu hay algo y no nada, fue el que llev a cabo M. Heidegger con otro lenguaje: por qu el ser y no la

nada? Es claro que el tema tiene un eco metafsico u ontolgico. Como quiera que sea, el problema tiene

que ver, aqu, con el problema, filosfico, del carcter epistemolgico u ontolgico de la complejidad.

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Recibido el 28 Nov 2008

Aceptado el 16 Dic 2008

complejidad y ciencias sociales

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