compendio de problemas

COMPENDIO DE

PROBLEMAS

PARA EL CURSO DE

DIBUJO DE INGENIERA II

Autor: Ing. Esteban Ortiz Bosmans

Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniera II Captulo 1:

Ciclo 2015-1 PUNTO Y RECTA

Esteban Ortiz Bosmans 2/67

Captulo 1: PUNTO Y RECTA

Nivel de Dificultad I

(Vaco)

Nivel de Dificultad II

1) 2003-1-P01I-prob1 Un trpode OABC descansa sobre un suelo nivelado. La pata OA tiene 7 metros de longitud, forma un ngulo de 50 con el suelo y tiene una orientacin N45E. Las otras dos patas OB y OC tiene longitudes de 6.48 y 5.72 metros respectivamente. En la proyeccin horizontal las patas figuran igualmente espaciadas es decir, con una separacin de 120 entre s. Sabiendo que B est a la izquierda de C, determinar las coordenadas de los puntos B, C y O. Adems determinar las orientaciones y pendientes de las patas OB y OC.

A ( 8, 10, 0 ) Rpta: B(1.3042,7.7600,0) orOB=N750O peOB=147.39%desc C(5.3337,4.8952,0) orOC=S150E peOC=269.33%desc O(4.8184,6.8184,5.3623) OK

2) 2003-1-P01I-prob2 Se tienen los puntos A, B, C y D que en su proyeccin horizontal forman los vrtices de un cuadrado. Las pendientes de los segmentos BC y CD son el doble y el triple de la pendiente del segmento AB respectivamente. Determinar las coordenadas de los puntos B y D y las pendientes de los segmentos AB y AD, sabiendo que D est ms al oeste que C.

A ( 10, 10, 10 ) C ( 15, 17, 20 )

3) 2003-1-P01J-prob1, 2003-1-P01L-prob1 La pendiente del segmento AB es 55% descendente. Hallar la orientacin y la pendiente de BC sabiendo que B est ms al Norte que A.

A ( 10, 10, 10 ) B ( 8, ?, 3 ) C ( 30, -5, 25 )

4) 2003-1-P01K-prob1 Una paloma se encuentra en el punto A situado sobre un rbol a una altura de 5 metros del suelo nivelado. En un momento dado, la paloma alza vuelo y sigue la direccin N30E con una pendiente de 30. Cuando la paloma alcanza una altura de 20 metros recibe el impacto de un proyectil disparado por un cazador desde el punto B. El punto B est situado a 10 metros al este y 2 metros al sur de A y a una altura de 1.5 metros del suelo. Hallar las caractersticas del recorrido del proyectil (orientacin, pendiente y longitud) y las coordenadas del punto de impacto con la paloma.

A ( 10, 5, 5 ) Rpta: P(22.9904,27.5,20)

or=N658E pe=74.95%asc long=30.8455metros OK

5) 2003-1-EXPK-prob1, 2006-2-P01H-prob1 La direccin de vuelo de un jet que parte del punto A es N45E y gana altura a razn de 300m/km. Cul es la diferencia de altura entre el obstculo PQ y el avin en el instante que cruza dicho obstculo?

A ( 7.5, 2, 12 ) km P ( 9, 4.5, 10 ) km Q ( 12, 3.5, 12) km Rpta: h=2.4546km

6) 2003-2-P01H-prob1

Determinar la orientacin y pendiente del segmento BC si se sabe que el segmento AB mide 310

unidades. Se sabe tambin que el punto B est 8 unidades al oeste y 5 unidades al sur del punto A y tambin que est encima del punto C.

A ( 10, 8, 6 ) B ( ?, ?, ? ) C ( 1, 6, 4 ) Rpta: B(2,3,20.5258) or=N18266O pe=791002desc

7) 2006-1-P01H-prob1 El segmento PQ tiene una pendiente de 40% ascendente y una longitud de 100 unidades. El alejamiento de Q es el doble del apartamiento de P. Completar las coordenadas de P y Q.

P ( ?, 0, 0 ) Q (0, ?, ? )




Rpta: xP1=41.5227 yQ1=83.0455 zQ1=37.1391 xP2=-41.5227 yQ2=-83.0455 zQ2=37.1391 OK

8) 2006-1-P01H-prob2 Completar las coordenadas del punto B y determinar la orientacin y pendiente del segmento AB sabiendo que la relacin entre las pendientes de AB y BC es de 5/2.

A ( 17, 18, 45 ) B ( 28, 45, ? ) C ( 69, 12, 10 ) Rpta: zB=24.6758 or=N220959E pe=69.7113%desc

9) 2006-1-P01J-prob1 En un concurso de tiro al platillo, el mecanismo que lanza el platillo est en un punto A y el tirador en un punto B situado 10 metros al Este y 2 metros al Sur de A. El platillo es lanzado en la direccin N30E y con un ngulo de 30 respecto a la horizontal. En el momento que el platillo alcanza una altura de 20 metros recibe el impacto del disparo. Hallar las caractersticas de la trayectoria del proyectil (orientacin, pendiente y longitud recorrida). Suponer que no influye la gravedad ni la resistencia del aire y que el tirador y el aparato que lanza el platillo estn sobre el mismo plano horizontal. Rpta: or=N1253E pe=60.93%asc long=38.43metros OK

10) 2006-2-P01J-prob1 Un rbol vertical se ve desde los puntos A y D, segn las direcciones AB y DE. La visual que parte de A va a la parte ms baja del rbol con un ngulo de elevacin de 30 y la visual que parte de D va a la parte ms alta del rbol con una pendiente de 100%. Obtener las coordenadas de los extremos del rbol y encontrar su altura.

A ( 10, 30, 10 ) B ( 25, 25, ? ) D ( 50, 50, 10 ) E ( 35, 30, ? ) metros Rpta: inf=(30,23.3333,22.1716) sup=(30,23.3333,43.3333) z=21.1617m OK

11) 2006-2-P01J-prob1 (anulado) Desde un punto situado a 250 metros sobre el nivel del mar se observa un barco en direccin N45O, bajo un ngulo de depresin de 2030. Cinco horas despus el barco es observado en direccin N12E, bajo un ngulo de depresin de 1515. Determinar la direccin en que viaja el barco y la velocidad que lleva en km/h. Rpta: or=N572436E v=0.1575km/h

12) 2006-2-P01J-prob2 (anulado) Desde una torre vertical que tiene diferentes niveles se ha observado a tres puntos: A, B y C. Al punto A con pendiente descendente de 100%; a B con orientacin N40E y pendiente descendente de 25 y a C con orientacin S65E y pendiente descendente de 30%. Hallar las coordenadas de los puntos de observacin y las respectivas distancias entre stos y los puntos observados.

A ( 5, 35, 5 ) B ( 45, 60, 20 ) C ( 55, 20, 15) Rpta: A(23.6878,34.6011,23.6921) B(23.6878,34.6011,35.4608) C(23.6878,34.6011,25.3648)

13) 2007-1-P01H-prob1 RS se corta con PQ en el punto M. Completar las coordenadas que faltan de R y S sabiendo que RM mide 30 unidades y va hacia abajo. Determinar adems la orientacin y pendiente de la recta RS.

P ( 12, 11, 50 ) Q ( 34, 25, 30 ) R ( 22, 26, ? ) S ( 22, ?, 25 ) Rpta.: zR=69.6391 yS=12.5813 M(22,17.3636,40.9091)

or(RS)=Sur pe(RS)=332.66%desc

14) 2007-1-P01I-prob1 Desde un punto situado a 250 metros sobre el nivel del mar se observa un barco en direccin N45O, bajo un ngulo de depresin de 2030. Cinco horas despus el barco es observado en direccin N12E, bajo un ngulo de depresin de 1515. Determinar la direccin en que viaja el barco y la velocidad que lleva en km/h. Rpta.: or=N5725E vel=0.1575km/h

15) 2007-3-P01G-prob1 Desde una torre de control, T, se ve un avin antes de alzar vuelo con una orientacin N18O y bajo un ngulo de 20. 2 segundos ms tarde se le ve en direccin N70E y con un ngulo de elevacin (ascendente) de 15 y a una altura de 250m de la pista de aterrizaje (plano XY). Determinar la distancia recorrida por el avin (supuesta rectilnea), la orientacin y pendiente de su direccin de vuelo y la velocidad (supuesta uniforme) en m/s.

T ( ?, ?, 100 ) Rpta: dist=663.8037m or=S8329E pe=40.66%asc

vel=331.90m/s OK




16) 2008-1-P01H-prob1 Un OVNI que desciende verticalmente es observado desde P en direccin N55E y pendiente descendente de 20%, y desde Q en direccin N50O y pendiente ascendente de 25. Determinar las distancias entre los puntos de observacin y el OVNI.

P ( 5, 20, 10 ) Q ( 65, 25, 20 ) Rpta: distP=44.7624 distQ=34.6332

17) 2008-1-P01I-prob1 Cun atrs est la recta PQ de la recta RS?

P ( 61, 82, 12 ) Q ( 54, 42, 64 ) R ( 19, 75, 24 ) S ( 78, 34, 33 ) Rpta: disty=20.625

18) 2009-1-P01H-prob2 La pendiente de PQ es 55%. Hallar el alejamiento de Q y la orientacin y pendiente de QR. Presente todas las soluciones posibles.

P ( 100, 30, 40 ) Q ( 80, ?, 25 ) R ( 10, 35, 20 ) Rptas: yQ1=11.4581 or1=N7125O pe1=6.77%desc

yQ2=48.5419 or2=S793O pe2=7.01%desc

19) 2009-1-P01I-prob1 Se tiene una paloma situada en el punto A y un tirador situado en el punto B. B est 10 metros al Este, 2 metros al Sur y a la misma altura que A. La paloma alza vuelo y sigue una direccin de N30E y con un ngulo de elevacin de 30. Cuando la paloma alcanza una altura de 20 metros respecto al punto A, recibe el impacto del proyectil. Hallar las caractersticas de la trayectoria rectilnea del proyectil: orientacin, pendiente y distancia recorrida. Rpta: or=N1253E pe=60.43%asc dist=38.4394m OK

20) 2009-1-P01I-prob2 Las rectas AB, BC, CD y DE tienen igual pendiente. Determinar las coordenadas de los puntos B, C y D y la orientacin y pendiente de la recta ED.

A ( 5, 25, 45 ) B ( 25, 10, ? ) C ( 40, 15, ? ) D ( 40, 10, ? ) E ( 50, 5, 20 )

Rptas: zB=34.0335 zC=27.0977 zD=24.9044 or=N6326O pe=43.87%asc

21) 2009-2-P01H-prob1 Un OVNI (objeto volador no identificado) desciende verticalmente y es observado desde A con una visual de orientacin N50O y pendiente ascendente de 25%. Desde el punto B se le observa con una visual de orientacin N55E y una pendiente de 20% descendente. Hallar la distancia recorrida por el OVNI.

A ( 100, 85, 125 ) metros B ( 45, 65, 90 ) metros Rpta: 49.4170m

22) 2009-3-P01G-prob1 Determinar la cota de A y obtener la orientacin y pendiente de AB si las distancias AB y BC estn en la relacin de 2 a 3. Tomar A arriba de B.

A ( 15, 20, ? ) B ( 40, 15, 85 ) C ( 95, 50, 35 ) Rpta: zA=133.4768 or=S7841E pe=190.14%desc

23) 2010-1-P01H-prob1 Hallar la orientacin y pendiente de QR, sabiendo que PQ tiene 45% de pendiente. Obtener todas las soluciones posibles.

P ( 30, 70, 15 ) Q ( 60, ?, 30 ) R ( 85, 75, 50 ) Rpta: yQ1=55.4703 or1=N520E pe1=63.04%asc

yQ2=84.5297 or2=S698E pe2=74.75%asc OK

24) 2010-1-P01I-prob1 La distancia entre los puntos P y Q es 4 cm. La cota de P es de 2 cm y la cota de Q es de 3 cm. Determinar las coordenadas de P y Q y obtener la orientacin y pendiente de la recta PQ, sabiendo adems que Q se encuentra 3 cm a la derecha de P. Considerar Q delante de P.

P ( 6, 4, ? ) cm Rpta: zP=2cm Q=(9,1.5505,3)cm or=S5046E pe=25.82%asc

25) 2010-1-EXPI-prob1 Un avin vuela horizontalmente a una altura de 700 metros. Desde un punto P de observacin en la tierra, se le ubica primero en la direccin N18O y bajo un ngulo de 30; dos minutos ms tarde en la direccin N32E y bajo un ngulo de 26. Determinar la orientacin que lleva su trayectoria, la distancia recorrida (supuesta rectilnea) y la velocidad del avin (supuesta uniforme).




Rpta: or=N8646E dist=1137.0146m vel=9.4751m/s

26) 2011-1-P01I-prob2 Mostrar la visibilidad de las tuberas, cuyos ejes son los segmentos de recta JL, MN, PQ y RS, cuando son observadas desde arriba (hacia abajo) y desde adelante (hacia atrs). Las tuberas son de 3 unidades de dimetro y estn abiertas en sus extremos. No mostrar las partes de las tuberas que estn ocultas tras las otras tuberas y mostrar los extremos ms cercanos al observador como elipses completas y los ms lejanos como medias elipses, de manera similar al ejemplo contiguo.

J ( 20, 14, 22 ) K ( 67, 44, 22 ) M ( 60, 50, 8 ) N ( 60, 6, 50 ) P ( 26, 50, 10 ) Q ( 44, 8, 48 ) R ( 18, 20, 40 ) S ( 68, 20,8)

Rpta: Ver solucin al final del documento

Nivel de Dificultad III

27) 2003-1-P01J-prob2 Se tiene los puntos A, B, C, D y E que en su proyeccin horizontal forman los vrtices de un pentgono regular cuyo centro est ms al este que el punto D. Los segmentos AB, BC y CD tienen la misma pendiente. Los segmentos DE y EA tiene la misma pendiente. Determinar las coordenadas de los puntos B, C y E y las pendientes de los segmentos AB y DE.

A ( 20, 50, 8 ) D ( 10, 12, 25 ) Rpta: B(40.4260,36.8648,13.6667) C(34.2457,13.3795,19.3333) E(1.1957,34.6327,16.5000)

peAB=23.33%asc peDE=35.00%desc OK

28) 2003-1-P01K-prob2 Se tienen los puntos A, B, C, D, E y F que en su proyeccin horizontal forman los vrtices de un hexgono regular. Se sabe que las pendientes de los segmentos AB, BC, CD, DE, y EF son iguales y descendentes, y que la pendiente del segmento AF es la inversa del la pendiente del segmento AB. Adems se sabe que B est a la derecha de A. Determinar las coordenadas de los puntos B, C, D, E y F y las pendientes de los segmentos AB y AF.

A ( 30, 20, 10 ) E ( 10, 8, ? ) Rpta: B(36.9282,8.4530,3.9778) C(30.3923,-3.3205,-2.0444) D(16.9282,-3.5470,-8.0665)

zE=-14.0887 F(16.5359,19.7735,-20.1109) orAB=S3058E peAB=44.72%desc orAF=S8902O peAF=223.61%desc

29) 2003-1-EXPI-prob1 Desde un tnel vertical RS de 15 metros de longitud parten dos socavones hacia los puntos A y B. El que pasa por A tiene una orientacin N40O y una pendiente ascendente de 90%. El que pasa por B tiene una orientacin S20E y una pendiente descendente de 45%. Completar las coordenadas de los puntos A, B, R y S y hallar las longitudes de los socavones.

A ( 14, ?, 14 ) B ( 23, ?, 12) R ( 20, ?, 20 ) S ( 20, 13, ? ) Rpta: yA=20.1505 yB=4.7576

yR=13 zS=3 (falta)

30) 2003-1-EXPJ-prob1, 2007-1-P01I-prob2 Desde una torre vertical que tiene diferentes niveles se ha observado a tres puntos: A, B y C. Al punto A con pendiente descendente de 100%; a B con orientacin N40E y pendiente descendente de 25 y a C con orientacin S65E y pendiente descendente de 30%. Hallar las coordenadas de los puntos de observacin y las respectivas distancias entre stos y los puntos observados.

A ( 5, 35, 5 ) B ( 45, 60, 20 ) C ( 55, 20, 15 ) Rpta.: A(23.6878,34.6011,23.6921) distAA=26.4346u

B(23.6878,346011,35.4608) distBB=36.5835u C(23.6878,34.6011,25.3648) distCC=36.0704u

31) 2003-1-EXSL-prob1 Hallar las coordenadas del punto B, sabiendo que la pendiente del segmento BC es la inversa de la pendiente del segmento AB y que B est encima de A.

A ( 0, 10, 15 ) B ( 60, 45, ? ) C ( 110, 90, 50 ) Rpta: zB=103.0609

32) 2006-1-P01J-prob2 La proyeccin de los segmentos AB, BC, CD y AD sobre el plano Horizontal resulta en un rectngulo tal que la relacin de sus lados es de 2 a 1. Completar las coordenadas de los puntos A, B y D si se sabe que B est delante de A y que las pendientes de los segmentos AB, BC y CD son iguales entre s y equivalen a la inversa de la pendiente del segmento AD. Considerar A debajo de B.

A (40, 20, ?) C (70,70, 60)




Rpta: zA=4.6827 B(66,18,23.1218) D(44,72,78.4391)

33) 2006-2-P01H-prob2 Completar las coordenadas de los puntos Q y R y determinar la orientacin y pendiente del segmento PQ sabiendo que la pendiente de SR es dos veces la pendiente de PQ y tres veces la pendiente de QR.

P ( 17, 18, 45 ) Q ( 28, 45, ? ) R ( 69, 12, ? ) S ( 78, 50, 25 ) Rpta: zQ=87.0687 zR=137.6976

or=N2210E pe=144.29%asc OK

34) 2006-2-P01J-prob2 Completar las coordenadas del punto Q y determinar la orientacin y pendiente del segmento PQ

sabiendo que la pendiente de QR es 3 veces la pendiente de PQ, siendo PQ ascendente y QR

descendente. P ( 15, 20, 45 ) Q ( 30, 45, ? ) R ( 70, 10, -5 )

Rpta: zQ=68.1736 or=N305750E pe=79.48%asc OK

35) 2007-1-P01H-prob2 Determinar la cota del punto B sabiendo que las pendientes de las rectas AB y BC son ascendentes y tienen valores inversos y que la longitud del segmento AB es menor que la del segmento BC.

A ( 5, 35, 5 ) B ( 45, 60, ? ) C ( 50, 40, 95 ) Rpta.: zB=17.5567

36) 2007-2-P01H-prob1 El segmento PQ tiene una pendiente de 50% ascendente y una longitud de 80 unidades. El alejamiento de Q es el doble del apartamiento de P y ambos son positivos. Completar las coordenadas de P y Q.

P ( ?, 0, 0 ) Q (0, ?, ? ) Rpta: xP=32 yQ=64 zQ=35.7771 OK

37) 2007-2-P01I-prob1 Completar las coordenadas de los puntos C y D si la recta CD tiene orientacin N15O y est 20 unidades a la derecha de AB.

A ( 80, 10, 70 ) B ( 15, 50, 30 ) C ( ?, 15, 25 ) D ( ?, 65, 75 ) Rpta: xC=64.7340 xD=51.3365

38) 2007-2-P01I-prob2 Completar las coordenadas del punto Q y determinar a orientacin y pendiente del segmento PQ

sabiendo que la pendiente de QR es 7 veces la pendiente de PQ.

P ( 15, 20, 45 ) Q ( 30, 45, ? ) R ( 70, 10, 5 ) Rpta: zQ=38.1311 or=N3058E pe=23.56%desc

39) 2008-1-EXPH-prob1 El punto A est contenido en el plano horizontal principal. El punto B est contenido en el plano principal de perfil. La cota del punto B es de 30 unidades y su alejamiento es media proporcional entre el apartamiento de A y la cota de B. El alejamiento de B es como 2 y el alejamiento de A es como 3. Completar las coordenadas de A y B y determinar la orientacin y pendiente del segmento AB si se sabe adems que su proyeccin frontal mide 43 unidades y asciende hacia la izquierda. Nota: Se dice que la longitud de un segmento m es media proporcional con respecto a las longitudes a y b de otros dos segmentos cuando se verifica la siguiente expresin:

b

m

m

a

. Rpta: A(30.8058,45.6004,0) B(0,30.4003,30) or=S6344O pe=87.33%asc

40) 2009-1-P01H-prob1 En un instante dado, un avin A y un barco B se cruzan sobre una misma vertical y a una distancia de 3 km. La trayectoria del avin sigue la direccin N45E, a una velocidad de 240 km/h y con un ngulo de descenso de 30. El barco navega en la direccin N60O y a la velocidad de 120 km/h. Hallar la distancia entre el avin y el barco un minuto despus. Rpta: 4.5372km OK

41) 2009-3-P01G-prob2

La pendiente de la recta ML es 6 veces la pendiente de MN. Completar las coordenadas de M y

obtener la orientacin y pendiente de LM. L ( 15, 35, 45 ) M ( 45, 25, ? ) N ( 60, 30, 30 )

Rpta: zM=26.1528 or=S7134E pe=59.60%desc




42) 2010-1-P01H-prob2 La pendiente de BA es proporcional a 3 y la pendiente de BC es proporcional a 2. Hallar la cota de B y la orientacin y pendiente de AB.

A ( 35, 5, 45 ) B ( 65, 25, ? ) C ( 85, 15, 15 ) Rpta: zB=-6.1465 or=N5619E pe=141.85%desc

43) 2010-2-P01H-prob1 * Una gra est conformada por una torre vertical de 50 metros de altura, por un brazo recto y giratorio (vertical y horizontalmente) de 30 metros de longitud que nace del extremo superior de la torre y por un cable de longitud variable que cuelga (verticalmente) del extremo del brazo. Se desea usar la gra para llevar un objeto pesado desde una posicin inicial P a una posicin final Q. El punto P se encuentra al nivel del suelo que tiene la misma cota que la base de la torre, pero que est 10 metros al sur y 15 metros al oeste de sta. El punto Q se ubica a 20 metros al sur y 5 metros al este de la torre, pero 40 metros por encima del punto P. Determinar la orientacin y pendiente del brazo de la gra y la longitud de su cable al momento de levantar al objeto de P y al momento de depositarlo en Q, considerando la menor longitud posible del cable. Rpta: orP=S5619O peP=133.01%desc longP=26.0208m

orQ=S142E peQ=105.72%asc longQ=31.7945m

44) 2011-1-P01H-prob2, 2011-1-EXFI-prob1 Se tiene un avin que vuela con una orientacin N40E, con una pendiente ascendente de 70% y que pasa por el punto P. Hay un segundo avin que es visto desde un punto T de una torre, con una visual de orientacin S60E y pendiente ascendente de 50%. El segundo avin vuela con una orientacin N40O y hace impacto con el primer avin a 300 metros por encima de T. Determinar la pendiente con la que vuela el segundo avin.

P ( 15, 20, 20 ) metros T ( 35, 15, 10 ) metros Rpta: I(281.2977,337.3613,310) S(1037.4156,-563.7449,588.7449) pe=23.76%desc OK

Nivel de Dificultad IV

45) 2003-2-P01H-prob2 Sea el tringulo issceles PQR donde los lados PQ y QR tienen igual longitud. Completar las coordenadas de los puntos P y R si la pendiente de PQ es la inversa negativa de la pendiente de QR. R est encima de P y debajo de Q.

P ( 12, 7, ? ) Q ( 6, 7, 8 ) R ( 8, 14, ? ) Rpta: zP=0.7199 zR=2.0000

46) 2007-2-P01H-prob2, 2007-2-EXSH-prob1, 2008-1-P01H-prob2, 2008-1-P01I-prob2 Completar las coordenadas que faltan y determinar la orientacin y pendiente del segmento DE si las pendientes de los segmentos AB, BC, CD, DE y EF estn en la relacin de 1:2:3:1:-1 respectivamente.

A ( 20, 15, 10 ) B ( 40, 30, ? ) C ( 25, 75, 40 ) D ( 100, 60, ? ) E ( 65, -20, ? ) F ( -30, 80, ? )

Rpta: zB=16.2569 zD=97.4270 ZE=119.2813 zF=84.7606 or=S2338O pe=25.03%asc OK

47) 2007-3-P01G-prob2 Completar las coordenadas que faltan y determinar la orientacin y pendiente del segmento DE si las pendientes de los segmentos AB, BC, CD y DE estn en la relacin de 1:2:3:1 respectivamente y si las pendientes de BC y EF tienen valores inversos [pendiente(BC)*pendiente(EF)=1] .

A ( 20, 15, 10 ) B ( 40, 30, ? ) C ( 25, 75, 40 ) D ( 100, 60, ? ) E ( 65, -20, ? ) F ( -30, 80, ? )

Rpta: zB=16.2569 zD=97.4270 zE=119.2813 zF=394.8409 or=S2338O pe=25.03%asc OK

48) 2009-1-EXFH-prob1 Completar las coordenadas que faltan de A, B, C, D y E y la orientacin y pendiente de DE, si las rectas AB, BC, CD y DE tienen la misma pendiente. Se conoce que la recta AB tiene una orientacin S25E, que CD tiene una orientacin S70E y que M es el punto medio de BC.

A ( 20, 30, 15 ) D ( 60, 25, ? ) E ( 80, 35, ? ) M ( 40, 20, 30 ) Rpta: B(28.4244,11.9338,23.7833) C(51.5756,28.0662,36.2167) zD=40.1669

zE=50.0195 or=N6326E pe=44.06%asc

49) 2009-1-EXFH-prob2 Los alejamientos de A, B, C y D miden 10, 20, 30 y 50 unidades respectivamente. La proyeccin frontal de estos puntos forman un cuadrado de 40 unidades de lado (AFBF=BFCF=CFDF=DFAF=40). La




proyeccin de perfil de BD mide 45 unidades (BPDP=45). Determinar las coordenadas de cada punto. Tomar a A y B arriba y a la izquierda de D.

A ( 15, 10, 40 ) Rpta: B(-24.5466,20,33.9944) C(-18.5410,30,-5.5522) D(21.0056,50,0.4534) OK

50) 2010-1-P01I-prob2 La pendiente de la recta AB es inversa de la pendiente de BC. Determinar la cota de B y la orientacin y pendiente de AB. Obtener todas las soluciones posibles.

A ( 20, 25, 125 ) B ( 35, 5, ? ) C ( 45, 10, 90 ) Rpta: zB1=102.3288 zB2=112.6712 or1=or2=S3652E

pe1=90.68%desc pe2=49.32%desc OK

51) 2010-2-P01H-prob2 Completar las coordenadas de los puntos B, C y D si las pendientes de las rectas AB, BC, CD y DE estn en la relacin de 1, -2, 3 y -4 respectivamente.

A ( 15, 20, 30 ) B ( 70, 90, ? ) C ( 60, 50, ? ) D ( 30, 90, ? ) E ( 10, 80, 60 )

Rpta: zB=69.7909 zC=32.9323 zD=99.9788 OK

52) 2010-2-P01I-prob2 Completar las coordenadas de los puntos Q y R y determinar la orientacin de PQ y la pendiente de QR si se sabe que el segmento PQ tiene una longitud de 50 unidades, que la orientacin de RQ es S50O y que la pendiente de PQ es la inversa de la pendiente de QR. Tomar Q a la derecha de P.

P ( 20, 40, 25 ) Q ( ?, ?, 50 ) R ( 75, 45, ? ) Rpta: Q(63.0039,34.9341,50) zR=77.1235

or(PQ)=S8317E pe(QR)=173.21%asc OK

53) 2011-1-P01H-prob1 Trazar en el primer octante (x,y,z positivos) un segmento de recta AB que forma un ngulo de 30 con el plano Horizontal Principal (ngulo de inclinacin) y uno de 45 con el plano Frontal Principal. Presentar las coordenadas completas del punto B y la orientacin y pendiente de la recta AB.

A ( 15, 20, 20 ) B ( ?, ?, 50 ) Rpta: B(45,62.4264,50) or=N3516E pe=57.74%asc

54) 2011-1-P01I-prob1, 2011-1-EXFH prob1 Trazar por el punto A, hacia la derecha y hacia abajo, una recta que forme con el plano Horizontal Principal un ngulo de 15 (ngulo de inclinacin) y con el plano Frontal Principal, uno de 30. Determinar su orientacin, su pendiente y las coordenadas de su interseccin con el plano Horizontal Principal.

A ( 15, 20, 50 ) Rpta: or1=N5850E pe1=26.79%desc I1(174.6571,116.5926,0) OK

or2=S5850E pe2=pe1 I2(174.6571,-76.5926,0)

Nivel de Dificultad V

55) 2009-2-P01H-prob2 Determinar el alejamiento de M y la orientacin y pendiente de MN. Se sabe que la pendiente de LM es como 2 y la pendiente de MN es como 3.

L ( 45, 50, 27 ) M ( 45, ?, 20 ) N ( 25, 15, 10 ). Rptas: yM1=26.0221 or1=S618O pe1=43.79%desc

yM2=-678.9489 or2=N139O pe2=1.44%desc

56) 2009-2-P01I-prob1 Completar las coordenadas de los puntos B y C y determinar la orientacin y pendiente de BC, sabiendo que la pendiente de AC es igual a la inversa de la pendiente de AB y tambin igual al doble de la pendiente de BC. Considerar B encima de A y C encima de A.

A ( 30, 40, 40 ) B ( 20, 55, ? ) C ( 45, 65, ? ) Rpta: zB=56.8193 zC=71.2495

or=N6812E pe=53.59%asc OK

57) 2009-2-P01I-prob2, 2009-2-EXSI-prob1 PQ y PR hacen un ngulo de 50 y tienen la misma pendiente descendente. PQ mide 30 unidades y tiene orientacin N30E. PR mide 40 unidades y tiene orientacin S40E. Determinar las coordenadas de Q y R.

P ( 25, 50, 50 ) Rpta: Q(32.7388,63.4040,24.3009) R(38.2651,34.1912,15.7346) OK




58) 2010-2-P01I-prob1 * Los segmentos de recta AB y CD se cruzan de tal manera que, al proyectarse sobre el plano Horizontal, se cortan en sus puntos medios, y que, al proyectarse sobre el plano Frontal, se cortan en un punto I que divide a cada uno en dos segmentos cuya relacin es de 3 a 1. Determinar las coordenadas de C y D y la orientacin y pendiente de CD si se sabe que es frontal y que est 40 unidades a la derecha de AB. Tomar que el punto I est ms cercano a BF que a AF y ms cercano a DF que a CF.

A ( 20, 30, 80 ) B ( 50, 60, 30 ) Rpta: C(20,45,33.8462) D(50,45,45.3846)

or=Este pe=38.46%asc OK


Ciclo 2015-1 PLANOS E INTERSECCIONES


Captulo 2: PLANOS E INTERSECCIONES


59) 2003-1-P01L-prob2 Hallar las coordenadas de interseccin de la recta RW con los planos MNP y STU.

M ( 45, -15, 45 ) N ( 5, 35, 45 ) P ( 55, -15, 5 ) R ( 57, -53, 23 ) S ( 35, -15, 45 ) T ( 5, 85, 45 ) U ( 55, 65, 5 ) W ( 7, 99, 44 )

60) 2003-1-P02I-prob1 Hallar la coordenada del punto de interseccin del plano ABC con la recta PQ.

A ( 14, 6, 9 ) B ( 17, 36, 14 ) C ( 5, 36, 19 ) P ( 11, 32, 9 ) Q ( 8, 12, 21 )

Rpta: (9.6592,23.0615,14.3631)

61) 2003-1-P02I-prob2 Una paloma levanta vuelo desde el punto P en la direccin S45E y con una pendiente ascendente de 150%. Hallar la ubicacin (coordenadas) de la paloma cuando sta aparece ante los ojos de un observador que se encuentra el punto O sabiendo que entre la paloma y el observador existe un muro de 5 metros de altura (A es un punto que pertenece al borde superior del muro) y de una orientacin N30E. Asumir que el suelo es horizontal en z=0 (plano XY).

A ( 11, 3, 5 ) O ( 20, 7, 2 ) P ( 6, 10, 0) Rpta: (9.2009,6.7991,6.7902) OK

62) 2003-1-P02J-prob1 Hallar las coordenadas del punto de interseccin del plano ABC con la recta PQ.

A ( 34, 32, 18 ) B ( 28, 22, 78 ) C ( 10, 42, 18 ) P ( 25, 10, 6 ) Q ( 16, 46, 66 )

Rpta: (19.3184,32.7263,43.8771)

63) 2003-1-P02K-prob2, 2013-2-P01H-prob2 La base de una antena de frecuencia modulada transmisora de 34 metros de altura se encuentra en A y la base de la receptora en B. La mxima altura de obstruccin es CD. Cul ser la altura mnima de la antena receptora para recibir una seal en lnea recta desde la transmisora, estando B 9 metros debajo de A?

A ( 10, 80, 0 )m B ( 160, 55, ? )m C ( 40, 50, 10 )m D ( 105, 80, 45 )m Rpta: h=37.4737m

64) 2003-1-P03K-prob1 La incidencia de los rayos solares sobre un obstculo produce una sombra en el suelo horizontal (plano XY). Hallar la orientacin del lmite entre la luz y la sombra en el suelo sabiendo que el segmento MN es el borde superior del obstculo y que la orientacin y la pendiente de los rayos solares son S50E y 90% descendente respectivamente.

M ( 10, 5, 8 ) N ( 6, 10, 4 )

65) 2011-1-P02H-prob1 Trazar por el punto C la horizontal del plano dado por la recta AB y el punto C. Obtener las coordenadas del punto de interseccin de dicha horizontal con la recta AB y tambin la orientacin y pendiente del plano.

A ( 35, 25, 30 ) B ( 35, 5, 5 ) C ( 5, 10, 15 ) Rpta: I(35, 13,15) or=N8417E pe=125.62%SE


66) 2003-1-P02L-prob1, 2006-2-P02J-prob1 Sobre los puntos A, B y C se han efectuado 3 perforaciones verticales hasta llegar al nivel del agua subterrnea alcanzando profundidades de 40, 70 y 20 metros respectivamente. Con el fin de determinar la velocidad del agua del subsuelo se perfora un cuarto pozo vertical D desde el cual se inyecta una sustancia qumica. Hallar la posicin del pozo E donde debe detectarse dicha sustancia despus de que recorra 30 metros e indicar su profundidad.




A ( 20, 20, -40 ) B ( 30, 35, -70 ) C ( 45, 10, -20 ) D ( 45, 30, ? ) Rpta: zD=-60 E(45,43.4164,-86.8328) prof=86.8328m OK

67) 2003-1-P03I-prob1 Una esfera se suelta desde el punto A y resbala sobre dos planos P y Q siguiendo la trayectoria AB y BC (AB plano P y BC plano Q). Determinar las orientaciones de los planos P y Q.

A ( 5, 8, 13 ) B ( 13, 12, 10 ) C ( 19, 5, 5 ) Rpta: orP=N263354O orQ=N492355E OK

68) 2003-1-P04J-prob2 Determinar las coordenadas del punto C sabiendo que el plano ABC tiene una orientacin de N80O. Se sabe tambin que C equidista de A y B y que a su vez equidista de los planos XY y XZ.

A ( 2, 6, 4 ) B ( 7, 9, 1 ) Rpta: C(7.5,4.4491,4.4491) OK

69) 2003-1-EXPL-prob1 Determinar el menor ngulo vertical que debe hacer un ngulo de teodolito situado en B para ver una recta vertical (estada) que tiene su pie en el punto C; entre B y C, la mxima altura de obstruccin es EG.

B ( 2, 0.5, 1 ) C ( 7.5, 2, 0.5 ) E ( 3, 2, 1.5 ) G ( 7, 0.5, 1 )

70) 2006-2-P02H-prob1 Un plano tiene una orientacin N75O y una pendiente 55%NE. Su borde inferior es una recta horizontal que pasa por el punto P. En qu punto del plano se debe colocar una esfera para que, al resbalar por su superficie una longitud de 50 unidades, llegue al borde y caiga sobre el punto M?

M ( 35, 60, 0 ) P ( 25, 45, 20 ) Rpta: (19.2411,1.1868,44.0959) OK

71) 2006-2-EXFH-prob1 Un plano tiene una orientacin N70E y una pendiente 50%NO. Su borde inferior es una recta horizontal que pasa por el punto O. En qu punto del plano se debe colocar una esfera para que, al resbalar por su superficie una longitud de 40 unidades, llegue al borde y caiga sobre el punto M?

M ( 35, 60, 0 ) O ( 25, 45, 20 ) Rpta: (50.8876,16.3491,37.8885) OK

72) 2006-2-EXPJ-prob1 Determinar las coordenadas que faltan de los vrtices del tringulo LMN si se sabe que LM es la recta de mxima pendiente del plano que lo contiene cuyo valor es 50%.

L ( 43, 25, 9 ) M ( 15, ?, 27 ) N ( 10, ?, 45 ) Rpta: yM1=47.6274 yM2=2.3726

yN1=98.7159 yN2=-48.7159 OK

73) 2007-1-P02H-prob1 MN es un segmento de recta contenido en un plano ortoperfil que a su vez contiene un hexgono regular y P es uno de los vrtices de dicho hexgono cuyos lados miden 20 unidades. Determinar las coordenadas de los vrtices del hexgono sabiendo que el centro de la circunferencia en que est inscrito est contenido en el segmento MN.

M ( 20, 25, 10 ) P ( 30, 20, ? ) N ( 45, 5, 30 ) Rpta.: zP=15 Q(21.0438,7.3551,27.6449) R(32.0525,-4.4519,39.4519)

S(52.0174,-3.6139,38.6139) T(60.9736,9.0310,25.9690) U(49.9649,20.8379,14.1621) OK

74) 2007-1-P02I-prob1 Las rectas PQ y RS pertenecen a un mismo plano. La recta RS es una de las que hace el mayor ngulo con el plano frontal principal de entre todas las rectas del plano. Completar las coordenadas de P y Q.

P ( 5, 30, ? ) Q ( 65, 15, ? ) R ( 15, 50, 50 ) S ( 50, 5, 20 ) Rpta.: zp=-4.2760 (6.8519) zQ=63.1591 (53.2407) (revisar)

75) 2007-3-EXPH-prob2 La pendiente de la recta PQ es 55%. Hallar la orientacin y pendiente de la recta QR si se sabe que el alejamiento y el apartamiento del punto Q estn en la relacin de 1 a 3. Tomar Q a la izquierda de P.

P ( 105, 30, 40 ) Q ( ?, ?, 25 ) R ( 10, 35, 20 ) Rpta: Q(78.0212,26.0071,25) or=N82280 pe=7.29%desc

76) 2008-1-P02H-prob1 Completar las coordenadas del plano MNP sabiendo que tiene una orientacin N55E y una inclinacin 55NO. Adems indicar el ngulo que hace con el plano frontal y el plano de perfil.

M ( 22, 18, 20 ) N ( 13, 30, ? ) P ( 30, 34, ? )




Rpta: zN=-1.4108 zP=7.8353 angF=4751 angP=6159 OK

77) 2008-1-P02H-prob2 AB es recta de mxima pendiente del plano ABC. Determinar las coordenadas de C y la orientacin y pendiente del plano ABC sabiendo que la altura trazada de C a AB mide 20 unidades y que el ngulo ACB es 70. Tomar C atrs de B.

A ( 16, 33, 8 ) B ( 53, 57, 35 ) Rpta: C(41.7870,73.5657,34.7598) or=N3258O pe=61.22%SO OK

78) 2008-1-P02I-prob1, 2008-1-EXSI-prob1 ABCD es un plano que tiene orientacin S60E y una inclinacin de 100%SO. Completar las coordenadas de ABCD. Adems indicar el ngulo que hace con los planos principales de proyeccin.

A ( 40, 50, 75 ) B ( 65, ?, 90 ) C ( 65, ?, 65 ) D ( 40, ?, 50 ) Rpta: yB=52.8868 yC=24.0192 yD=21.1325

angH=450 angF=5214 angP=6918

79) 2009-2-P02I-prob1 Completar las coordenadas de los vrtices del tringulo issceles ABC (BA = BC = 60 unidades). Se sabe que el punto M pertenece a AB, que B est debajo de A y que C est encima de B.

A ( 23, 17, ? ) B ( 34, 50, ? ) C ( 10, 35, ? ) M ( 26, ?, 10 ) Rpta: zA=23.3330 zB=-25.5546 zC = 27.3509 79.0735 yM=26

80) 2009-2-EXPH-prob1 LM es recta de mxima pendiente de un plano R que tiene una pendiente de 40NO. PQ es recta de mxima pendiente de un plano T que tiene una pendiente de 30NE. Se sabe que el punto N pertenece a los planos R y T. Hallar la orientacin y pendiente de la interseccin de los planos R y T.

L ( 30, 30, ? ) M ( 50, 20, ? ) N ( 55, 28, 75 ) P ( 80, 25, ? ) Q ( 90, 45, ? )

Rpta: or = N758O S758E pe = 47.56%desc 47.56%asc

81) 2010-1-P02I-prob1 Los puntos X e Y pertenecen a un estrato plano que tiene un rumbo de N60O (orientacin) y un buzamiento de 45SO (pendiente). Completar las coordenadas de X.

X ( 25, ?, 10 ) Y ( 45, 20, 25 ) Rpta: yX=14.2265 OK

82) 2010-2-P02I-prob1 Dibujar una recta BX de 30 unidades de longitud, que tenga 120% de pendiente ascendente y est contenida en el plano ABC. Obtener su orientacin y las coordenadas del punto X. Dar todas las soluciones.

A ( 45, 65, 30 ) B ( 60, 75, 5 ) C ( 75, 45, 20 ) Rpta: or1=S133O X1(55.6627,56.2906,28.0466)

or2=S7657O X2(41.2906,70.6627,28.0466)

83) 2010-2-EXPH-prob1 Completar las coordenadas de los vrtices del tringulo PQR y obtener la pendiente del plano que lo contiene sabiendo que su orientacin es S60E y que PQ tiene una longitud de 75 unidades. Tomar P encima de Q.

P ( 15, 25, ? ) Q ( 50, 45, ? ) R ( 25, 50, 20 ) Rpta: zP=68.4064 zQ=5.1608 pe=181.63%NE

84) 2010-2-EXPI-prob1 Se dan las rectas PQ y RS. Hallar una recta TU que tenga una orientacin N40E y una pendiente descendente de 60% de tal manera que los extremos T y U estn sobre las rectas PQ y RS. Obtener las coordenadas de T y de U.

P ( 25, 45, 5 ) Q ( 55, 25, 25 ) R ( 15, 10, 40 ) S ( 45, 20, 25 ) Rpta: T(33.9476,16.3159,30.5262) U(46.1725,30.8850,19.1150)

85) 2011-1-P02I-prob2 Determinar las coordenadas del vrtice V de un tetraedro PQRV si se sabe que los puntos L, M y N pertenecen a los planos de las caras PQV, QRV y PRV respectivamente.

L ( 75, 45, 25 ) M ( 40, 35, 15 ) N ( 70, 10, 15 ) P ( 35, 20, 60 ) Q ( 60, 5, 80 ) R ( 80, 45, 40 )

Rpta: V(63.4821,31.7857,43.3036)





86) 2003-1-P03J-prob2 M, N y P son los puntos medios de los segmentos AB, BC y AC respectivamente. El ngulo MNP es de 60 y el plano ABC es ortoperfil. Determinar las coordenadas de los puntos A, B y C, sabiendo que el punto P est al sur de la recta MN y dista 18 unidades de ste.

M ( 5, 5, 19 ) N ( 23, 13, 5 ) Rpta: A(9.2696,-5.0921,36.6612) B(0.7304,15.0921,1.3388) C(45.2696,10.9079,8.6612) OK

87) 2003-1-P03K-prob2 Completar las coordenadas de los extremos del segmento AB de 4 unidades de longitud, cuya pendiente es 50% descendente y que est contenido en un plano de orientacin N70E y pendiente 55% SE

A ( 30, 20, 10 ) Rpta: B1(29.7118,16.4339,8.2111) B2(32.5130,17.4535,8.2111) OK

88) 2003-1-P04I-prob1 Completar las coordenadas de los vrtices del tringulo ABC. Se sabe que AB es la recta de mxima pendiente del plano que contiene a dicho tringulo, que el ngulo en B es 70 y que el ngulo en A es 30. Adems la altura trazada de C al lado AB mide 2.5 unidades (tomar B encima de A, y C al este de B)

A ( 10, 5, 8 ) B ( 12, 3, ? ) Rpta: zB=12.4111 C(13.4205,5.1151,11.6452) OK

89) 2003-1-P04I-prob2 Determinar las coordenadas del punto C sabiendo que el plano ABC tiene una orientacin de N80O. Se sabe tambin que C equidista de A y B y que a su vez equidista de los planos XZ y YZ.

A ( 2, 6, 4 ) B ( 7, 9, 1 ) Rpta: C1(5.9874,5.9874,3.4664) C2(711.8955, -711.8955,462.0970) OK

90) 2003-1-P04J-prob1 Dado el plano limitado por el tringulo ABC cuya orientacin es N60O y cuya pendiente es 100% NE. En qu punto del plano ABC se debe colocar una esfera para que al resbalar por dicho plano una longitud de 30 unidades llegue al borde del plano, y luego de caer llegue al punto M?. Adems, complete las coordenadas de los puntos B y C.

A ( 10, 40, 10 ) B ( 17, 10, ? ) C ( 45, 25, ? ) M ( 30, 35, 0 ) Rpta: zB=32.4808 zC=5.4904 (17.7404,13.7658,28.8493) OK

91) 2003-1-P06J-prob1 Determinar la orientacin de un segmento PQ de 75% de pendiente descendente que est contenido en el plano LMN.

L ( 25 , 30, 15 ) M ( 10, 35, 10 ) N ( 30, 10, 40) P ( 20, 25, ? ) Rpta: zP=21.8182 or1=N580507E or2=N495451O OK

92) 2006-1-P02H-prob1 Una esfera pequea parte de un punto M contenido en el plano limitado por el tringulo ABC, rueda sobre este y cae verticalmente al plano normal limitado por el tringulo DEF; rueda tambin sobre este y cae verticalmente al suelo (z=0). Obtener la posicin final de la esfera.

A (25, 10, 45) B (55, 50, 20) C (83, 25, 65) D (30, 45, 20) E (58, 65, ?) F (83, 17, 7) M (66, 22, ?)

Rpta: (67.7998,46.1843,0) zE=57.6070 zM=13.1321 OK

93) 2006-1-EXFJ-prob1 PQ es la recta descendente de mxima pendiente del tringulo PQR. El ngulo en P es 35, el ngulo en Q es 70 y la longitud de PQ es 50 unidades. Determinar las coordenadas del punto R si ste punto tiene igual cota y alejamiento y est delante de Q.

P ( 20, 35, ? ) Q ( 35, 15, ? ) Rpta: zP=36.8289 zQ=-6.4723 R(9.6336,2.3219,2.3219) OK

94) 2006-2-P02H-prob2 El punto I es la interseccin de las diagonales de un rectngulo ABCD cuyos lados estn en la relacin de 1 a 2. El plano del rectngulo tiene orientacin S65O y una pendiente de 45%NO. Determinar las coordenadas de sus vrtices si se sabe que el lado menor est contenido en el plano principal de perfil. El punto A est al sur del punto B y al oeste del punto D.

I ( 35, 25, 25 ) Rpta: A(0,6.2190,26.0034) B(0,39.1260,12.5826)

C(70,43.7810,23.9966) D(70,10.8740,37.4174) OK




95) 2006-2-P02J-prob2 P es un vrtice de un pentgono regular contenido en un plano ortoperfil e inscrito en una circunferencia cuyo dimetro es QR. Obtener las coordenadas de sus vrtices sabiendo que P est ms abajo que R y 15 unidades a la derecha de Q.

Q ( 15, 25, 20 ) R ( 45, 5, 40 ) Rpta.: P(30,29.5774,15.4226) (10.3935,19.5047,25.4953) (17.8825,3.2067,41.7933)

(42.1175,3.2067,41.7933) (49.6065,19.5047,25.4953) OK

96) 2007-1-P02H-prob2 El tringulo ABC tiene orientacin S40E. Completar las coordenadas de B y C y determinar la pendiente del plano si el lado BC est contenido en un plano normal que pasa por el origen de coordenadas.

A ( 15, 45, 20 ) B ( 30, 15, ? ) C ( 35, 35, ? ) Rpta.: zB=18.5556 zC=21.6482 pe(ABC)=18.53%SO OK

97) 2007-1-P02I-prob2 El tringulo ABC es recto en A e issceles. Completar las coordenadas del tringulo ABC y determinar su orientacin y pendiente considerando que su proyeccin horizontal se ve como un tringulo equiltero y que C est a la derecha y abajo de B.

A ( 23, 23, 10 ) B ( 40, 40, ? ) Rpta.: zB=27 C(46.2224,16.7776,-7)

or(ABC)=N75E pe(ABC)=141.42%SE OK

98) 2007-2-P02H-prob1 Sea el tringulo LMN, determinar las coordenadas de un hexgono regular que est inscrito en la circunferencia inscrita en el tringulo, sabiendo que dos de sus lados son frontales.

L ( 11, 27, 18 ) M ( 25, 55, 4 ) N ( 40, 13, 33 ) Rpta: (26.9572,23.9137,23.4321) (17.4158,23.9137,21.3118) (13.5858,31.1831,16.0183)

(19.2973,38.4526,12.8451) (28.8387,38.4526,14.9654) (32.6687,31.1831,20.2589) OK

99) 2007-2-P02I-prob1 Dado el plano limitado por el tringulo ABC cuya orientacin es S60E y cuya pendiente es 40NE. En qu punto del plano ABC se debe colocar una esfera para que al resbalar por dicho plano una longitud de 30 unidades llegue al borde del plano y, luego de caer verticalmente, llegue al punto M? Completar adems las coordenadas de los puntos B, C y M.

A ( 7, 41, 16 ) B ( 14, 12, ? ) C ( 43, 26, ? ) M ( 26, ?, 5 ) Rpta: zB=34.1369 zC=11.7964 yM=33.0833

I(14.5093,13.1809,33.0651)

100) 2007-2-P02I-prob2, 2007-2-EXSI-prob1 Las rectas PQ y RS pertenecen a un mismo plano. La recta PQ es de mxima pendiente en dicho plano. Completar las coordenadas de los puntos P y Q y obtener la orientacin y pendiente del plano, sabiendo que P est delante de Q.

P ( 35, ?, 45 ) Q ( 55, ?, 15 ) R ( 25, 15, 45 ) S ( 75, 35, 25 ) Rpta: yP=11.1090 yQ=62.5095

or=N6844O S6844E pe=54.39%NE OK

101) 2007-3-P02G-prob1 Completar las coordenadas de los vrtices del tringulo PQR y obtener la orientacin y pendiente del plano que lo contiene. Se sabe que PQ es recta de mxima pendiente, que el ngulo en Q es 70 y que el ngulo en P es 30. Adems, la altura trazada de R al lado PQ mide 25 unidades. Tomar Q encima de P y R a la derecha de Q.

P ( 10, 50, 5 ) Q ( 25, 30, ? ) Rpta: zQ=51.0523 R(42.3953,48.4730,43.0554)

or=N5308E pe=184.21%NO OK

102) 2009-1-P02H-prob1 Completar las coordenadas de los vrtices del tringulo rectngulo ABC, sabiendo que es recto en A e issceles y que su proyeccin horizontal es un tringulo equiltero. Determinar tambin la orientacin y pendiente del plano que lo contiene. Toma C delante y abajo de A.

A ( 33, 46, 30 ) B ( 65, 73, ? ) Rpta: zB=59.6057 C(72.3827,73,59.6057)

or=N7951E pe=100%SE

103) 2009-1-EXPH-prob2 Determinar las coordenadas de los vrtices del rectngulo ABCD. La recta LM se corta con la diagonal AC en el punto O. El punto D pertenece a la recta LM y est ms cerca a L que a M. Se sabe que AC es ascendente y mide 50 unidades y que los lados AB y BC estn en la relacin de 3 a 2, respectivamente.




A ( 25, 35, ? ) C ( 50, 50, ? ) L ( 10, 55, ? ) M ( 45, 40, ? ) O ( ?, ?, 45 )

Rpta: zA=23.5616 B(60.1563,32.0758,45.6128) zC=64.1818 D(14.8437,52.9241,42.1305) O(38.1944,42.9167,45)

104) 2009-1-EXPI-prob1 O es el centro de gravedad de un tringulo equiltero de lado igual a 40 unidades, que es la base de una pirmide regular de 50 unidades de altura. El lado izquierdo tiene una orientacin N50E. La base est contenida en un plano de orientacin S60E e inclinacin 20SO. Hallar las coordenadas de los vrtices de la pirmide y la orientacin y pendiente de su altura, sabiendo que es descendente desde O.

O ( 20, 35, 40 ) Rpta: (-2.2026,31.3398,34.8057) (26.7903,55.6678,47.7504) (35.4123,17.9924,37.4439)

(28.5505,49.8099,-6.9846) or=N30E pe=274.75%desc

105) 2009-2-P02H-prob1 Una bolita resbala en el plano PQR partiendo del punto O de dicho plano. Despus de haber recorrido 45 unidades, llega al borde y cae verticalmente 10 unidades llegando al punto M del piso. Determinar las coordenadas de los puntos O, P y Q y tambin la orientacin y pendiente del plano PQR, sabiendo que PN es una horizontal del plano PQR.

M ( 35, ?, 0 ) N ( 42, 3, ? ) O ( 22, 20, ? ) P ( 10, 15, ? ) Q ( 30, 18, ? )

Rpta: zO=35.5778 zP=41.7229 zQ=34.9309 or=N6927O pe=69.08%NE OK

106) 2009-2-EXPI-prob1 Completar las coordenadas del plano ABC sabiendo que M pertenece a dicho plano. El plano ABC tiene orientacin S70E y AB mide 40 unidades. Obtener todas las soluciones posibles.

A ( 18, ?, 15 ) B ( 37, ?, 5 ) C ( 40, 15, ? ) M ( 23, 30, 8 ) Rptas: yA1=50.6034 yB1=16.8543 zC1=4.7159

yA2=3.3547 yB2=37.1038 zC2=10.1671 OK

107) 2009-3-P02G-prob1 En el punto O, contenido en el plano ABC, se deja caer una billa metlica que, por efectos de la inclinacin del plano, resbala sobre l hasta el borde hasta P. Luego cae verticalmente, encontrando, en Q, un segundo plano de la misma pendiente, sobre el cual resbala hasta llegar finalmente al punto R. Obtener la orientacin y pendiente de ambos planos y determinar la longitud total del recorrido OPQR. Considerar que O est 15 unidades detrs y 10 unidades debajo de B.

A ( 45, 70, 25 ) B ( 60, 45, 35 ) C ( 75, 60, 15 ) R ( 70, 65, 5 ) Rpta: orABC=N528O peABC=peQR=95.01%NE orQR=N34O long=26.1705u

108) 2010-1-P02H-prob1, 2010-1-EXSH-prob1 Completar las coordenadas del tringulo PQR sabiendo que tiene pendiente 75%SO y que QR determina su orientacin.

P ( 20, 30, 5 ) Q ( 50, 40, ? ) R ( 65, 10, ? ) Rpta: zQ=zR=28.4787 ok

109) 2010-1-EXPH-prob1 Una billa recorre la trayectoria E-F-G-H-I. La billa parte del punto E de un plano Q y resbala sobre los planos Q, R y S pasando por el punto F de la interseccin de los planos Q y R, luego por el punto G de la interseccin de los planos R y S y finalmente llega al punto H ubicado en el borde del plano S, desde donde cae verticalmente hasta el punto I. Las orientaciones de los planos Q, R y S son N60E, S30E y N45E, respectivamente. La pendiente de Q es 100%SE, R se inclina hacia el NE y tiene la mitad de la pendiente de S. Sabiendo que EF mide 30 unidades y que la cada vertical HI mide 10 unidades, Obtener las coordenadas de los puntos F, G y H y hallar las pendientes de R y S.

E ( 10, 65, 40 ) I ( 55, 50, 5 ) Rpta: F(20.6066,46.6288,18.7868) G(44.5484,60.4516,16.9568) H(55,50,15)

peR=6.62%NE peS=13.24%SE

110) 2010-2-P02H-prob1 Trazar hacia la derecha el segmento de recta JK de 50 unidades de longitud que tenga 80% de pendiente descendente y que se corte con AB. Obtener su orientacin y las coordenadas del punto K.

A ( 45, 55, 10 ) B ( 75, 70, 30 ) J ( 60, 80, 40 ) Rpta: K(85.6164,50.5349,8.7652) or=S41E




111) 2010-2-P02I-prob2 PQ es recta de mxima pendiente del plano PQR. Hallar las coordenadas del punto R sabiendo que el ngulo en R mide 50 y que el punto R est 15 unidades a la derecha del punto P y que est delante de l.

P ( 35, 70, 30 ) Q ( 55, 85, 15 ) Rpta: R(50,50.3314,29.8807)

112) 2011-1-P02I-prob1 En el plano dado por las rectas que se cortan AB y CD, trazar una recta frontal KL. Completar las coordenadas de los puntos D y K y obtener la orientacin y pendiente del plano ABCD y de la recta KL, sabiendo que K es la interseccin entre AB y CD y que KL va hacia la derecha.

A ( 5, 30, 15 ) B ( 30, 20, 10 ) C ( 5, 15, 0 ) D ( 30, 30, ? ) Rpta: zD=20 orABCD=N7841O orKL=Este

K(20,24,12) peABCD=101.98%SO peKL=20%asc


113) 2006-1-P02H-prob2, 2010-1-EXSI-prob1 Dados los puntos Q y R de un plano PQR, determinar la orientacin y pendiente de dicho plano eligiendo un punto P tal que diste 40 unidades del origen de coordenadas, que el segmento PQ sea horizontal y que el plano PQR tenga la menor pendiente posible.

P ( ?, ?, ? ) Q ( 25, 45, 25 ) R ( 20, 15, 80 ) Rpta: P(-12.5027,28.6126,25) or=N662347E pe=215.79%NO OK

114) 2006-1-P02J-prob1 El segmento AB es de perfil, mide 70 unidades y tiene una pendiente de 150% descendente hacia el norte. La distancia del punto C al origen de coordenadas es de 30 unidades. Completar las coordenadas de los vrtices del tringulo ABC de tal forma que la recta de orientacin del plano que lo contiene forme el menor ngulo posible con el meridiano (Norte-Sur).

A ( 60, 0, 80 ) B ( ?, ?, ? ) C ( ?, ?, 0 ) Rpta: B(60,38.8290,21.7565) C(26.8662,-13.3495,0) OK

115) 2006-1-EXPH-prob1 * Determinar la orientacin del plano ABC si se sabe que la relacin entre las longitudes de los segmentos ascendentes AB y CA es la misma que la relacin entre sus proyecciones horizontales (|AB|/|CA|=|AHBH|/|CHAH|).

A ( 15, 25, 20 ) B ( 35, 55, ? ) C ( 65, 5, ? ) Rpta: or=N724445E OK

116) 2006-1-EXPJ-prob1 * Determinar la orientacin del plano ABC si se sabe que la relacin entre las longitudes de los segmentos ascendentes AB y AC es la misma que la relacin entre sus proyecciones horizontales (|AB|/|AC|=|AHBH|/|AHCH|).

A ( 15, 25, 20 ) B ( 35, 55, ? ) C ( 65, 5, ? ) Rpta: or=N171515O OK

117) 2006-2-EXPH-prob1 Del punto I que pertenece a la recta AB del plano ABC parte una bolita y resbala sobre dicho plano hasta cortar con la recta horizontal que pasa por A despus de haber recorrido 20 unidades. Completar las coordenadas de los vrtices del tringulo ABC sabiendo que tiene una inclinacin de 50%NO.

A ( 40, 30, 10 ) B ( 70, 5, ? ) C ( 65, 35, ? ) I ( 60, ?, ? ) Rpta: I(60,13.3333,18.9443) ZB=23.4164 ZC=8.2891 OK

118) 2007-1-EXSH-prob2 LM (ascendente) es recta de mxima pendiente del plano que contiene al tringulo LMN. El ngulo en L es 30 y el ngulo en M es 50. Se sabe que el punto N est contenido en la recta RS. Completar las coordenadas de los vrtices del tringulo y obtener la orientacin y pendiente del plano que lo contiene.

L ( 35, 20, 20 ) M ( 65, 25, ? ) R ( 30, 25, ? ) S ( 60, 40, ? ) Rpta.: zM=35.7598 N(53.0192,36.5096,30.6166)

pe=51.82%SO or = N928O S928E OK

119) 2007-2-P02H-prob2 Las rectas AB y CD pertenecen a un mismo plano. De todas las rectas contenidas en el plano ACD, la recta CD es aquella que hace el mayor ngulo con el plano frontal. Completar las coordenadas de los puntos C y D sabiendo que D est encima de C.

A ( 55, 30, 25 ) B ( 110, 15, 25 ) C ( 70, 50, ? ) D ( 100, 10, ? )




Rpta: zC=-19.7932 zD=39.3676

120) 2007-2-EXPI-prob2 LM (descendente) es recta de mxima pendiente del plano que contiene al tringulo LMN. El ngulo NLM es 30 y el ngulo en LMN es 50. Se sabe que el punto N est contenido en la recta RS. Completar las coordenadas de los vrtices del tringulo y obtener la orientacin y pendiente del plano que lo contiene.

L ( 35, 20, 20 ) M ( 65, 25, ? ) R ( 30, 25, ? ) S ( 60, 40, ? ) Rpta: zM=4.2402 N(53.0192,36.5096,9.3834)

or=N928O pe=51.82%NE OK

121) 2008-1-P02I-prob2 Completar las coordenadas de R y obtener la orientacin y pendiente del plano PQR, sabiendo que el ngulo en R es 60 y que PQ es horizontal. Tomar R debajo de P.

P ( 7, 31, 35 ) Q ( 41, 25, 35 ) R ( 36, 33, ? ) Rpta: zR=9.3154 or=N80O pe=366.43%NE

122) 2009-2-EXPH-prob2 Completar las coordenadas de los vrtices del tringulo ABC recto en C y determinar la pendiente del plano que lo contiene. El plano ABC tiene orientacin S80E. C est debajo de B.

A ( 50, 20, 40 ) B ( 65, 10, ? ) C ( 75, 15, ? ) Rpta: zB=95.1448 zC=44.4372 pe=761.32%NE ok

123) 2009-3-P02G-prob2 Completar las coordenadas del cuadriltero ABED y determinar la orientacin y pendiente del plano que lo contiene, sabiendo que los ngulos AEB y BDE son iguales. Tomar BE ascendente.

A ( 50, 30, ? ) B ( 75, 35, 45 ) D ( 40, 15, 30 ) E ( 65, 10, ? ) Rpta: zA=23.3605 zE=63.4052

or=N4654E pe=161.13%NO OK

124) 2009-3-EXFG-prob2 Completar las coordenadas de los vrtices del tringulo PQR y determinar la orientacin y pendiente del plano que lo contiene si se sabe que PR desciende y es recta de mxima pendiente y que el ngulo en P (ngulo RPQ) mide 120.

P ( 35, 40, 30 ) Q ( 20, 45, ? ) R ( 50, 55, ? ) Rpta: zQ=34.0825 zR=17.7526

or=N45O pe=57.74%NE OK

125) 2010-2-P02H-prob2 Las rectas AB y CD se cortan en el punto X. Si el ngulo AXC es de 40 y el plano formado por las dos rectas tiene orientacin S30E, completar las coordenadas que faltan y obtener la pendiente del plano. Tomar B debajo de A.

A ( 30, 40, ? ) B ( 40, 60, ? ) C ( 25, 65, 50 ) D ( 45, 55, ? ) Rpta: zA=72.5249 zB=21.0773 zD=16.0315

pe=275.71%NE OK

126) 2011-1-P02H-prob2 La recta de interseccin de los planos PQR y LMN tiene una pendiente descendente de 10 y va hacia la derecha. Completar las coordenadas de L.

L ( 15, 15, ? ) M ( 30, 30, 25 ) N ( 50, 15, 5 ) P ( 10, 25, 20 ) Q ( 30, 5, 40 ) R ( 50, 35, 10 )

Rpta: zL=16.8088 OK

127) 2011-1-EXPI-prob2 BC es recta de mxima pendiente del tringulo ABC. El ngulo en A es 50, siendo AK bisectriz del ngulo en A. K pertenece al lado BC y se cumple que CK:KB=2:3. Obtener las coordenadas de A sabiendo que est a la izquierda de B.

B ( 15, 50, 20 ) C ( 35, 70, 40 ) Rpta: K(27,62,32) A(13.1614,90.7545,39.4580) OK


128) 2006-1-P02J-prob2 Del punto P de un plano parte una bolita que resbala sobre su superficie llegando a un segundo plano por el punto Q (Q pertenece a ambos planos). En el segundo plano, la bolita pasa por los puntos R y S, siendo M un punto de este plano. Determinar la pendiente del primer plano sabiendo que tiene orientacin N30E.

M ( 42, 38, 11 ) P ( 24, 17, 30 ) R ( 50, ?, 15 ) S ( 75, 25, 5 )




Rpta: pe=52.21%SE OK

129) 2007-3-EXPH-prob1 *

La pendiente del plano ABC es 6 veces la pendiente del plano BCD. Determinar la orientacin y

pendiente de ambos planos sabiendo adems que su interseccin es una recta horizontal y que ambos descienden hacia el sureste.

A ( 32, 75, 83 ) B ( 65, 60, 37 ) D ( 76, 23, 14 ) Rpta: or(BCD)=N5739E pe(ABC)=151.67%SE pe(BCD)=61.92%SE OK


Ciclo 2015-1 PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD


Captulo 3: PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD


130) 2003-1-P02K-prob1 Dadas las coordenadas del punto A, determinar las coordenadas que resultan de la interseccin, con los ejes cartesianos principales, de un plano que contiene al punto A y que es perpendicular al segmento que resulta de unir el origen de coordenadas O con el punto A.

A ( 20, 15, 10 ) O ( 0, 0, 0 )


131) 2003-1-P02L-prob2 Ubicar un punto X que pertenezca a los planos PQR y LMN pero que equidiste de los puntos A y B.

A ( 39, 13, 19) B( 20, 3, 8) L ( 39, 17, 17) M (45, 4, 1 ) N (55, 15, 5) P ( 0, 13, 13 ) Q ( 18, 17, 17 ) R ( 8, 3, 4 )

Rpta: X(37.8638,2.4713,4.0796)

132) 2003-1-P04K-prob2 Por el punto B trazar un segmento BP de 8 unidades contenido en el plano ABC y perpendicular a la recta MN. Se pide determinar las coordenadas del punto P

A ( 2, 6, 4 ) B ( 7, 9, 1 ) C ( 10, 3, 5 ) M ( 11, 3, 2 ) N ( 15, 7, 4 )

Rpta: (10.9800,3.1519,4.7363) (3.0200,14.8481,-2.7363)

133) 2003-1-EXPK-prob2 Se hace una perforacin vertical en el punto A del terreno y se encuentra un punto B de la capa superior de un estrato y C un punto de la capa inferior del mismo estrato. Luego se efecta otra perforacin oblicua en el punto D encontrando un punto E de la capa superior y F un punto de la capa inferior del mismo estrato. Hallar la orientacin y pendiente de las capas superior e inferior del estrato considerando que las capas son paralelas. Completar las coordenadas del punto F.

A ( 6.5, 4, 7.5 ) B ( 6.5, 4, 6.5 ) C ( 6.5, 4, 4.5 ) D ( 10, 3, 7 ) E ( 9, 2.5, 6 ) F ( 8, ?, ? )

134) 2006-1-P03H-prob1 Obtener las coordenadas del punto P si la recta PQ es perpendicular a QR, tiene orientacin N45E y una longitud de 30 unidades.

Q ( 25, 50, 10 ) R ( 65, 30, 40 ) Rpta: P(84.1881,49.1881,27.2080)

135) 2006-2-P03J-prob1 La recta LN es perpendicular a las rectas AB y CD. Se sabe que el punto M equidista de L y N. Determinar las coordenadas de N.

A (13, 25, 45) B (55, 45, 15) C (70, 45, 25) D (90, 5, 50) L (85, 30, 10) M (90, 25, 30)

Rpta: N(91.8432,46.1303,30.3340)

136) 2006-2-EXRE-prob1 Ubicar un punto X que pertenezca a los planos ABC y DEF pero que equidiste de los puntos GH.

A ( 0, 13, 13 ) B ( 18, 17, 17 ) C ( 8, 3, 4) D ( 39, 17, 17 ) E ( 45, 4, 1 ) F ( 55, 15, 5 ) G ( 39, 13, 19 ) H ( 20, 3, 8 )

Rpta: X(37.8638,2.4713,4.0796) OK

137) 2007-1-P03H-prob1, 2003-1-P04K-prob1 PQR es un tringulo equiltero. El punto R tiene igual cota y alejamiento. Determinar las coordenadas de R si est debajo de P.

P ( 40, 35, 20 ) Q ( 20, 15, 5 ) Rpta.: R(51.0428,7.6184,7.6184) OK




138) 2007-1-P03I-prob1 Completar las coordenadas que faltan si el plano PQR es paralelo al plano ABCD. El plano ABCD es tal que contiene a la horizontal AB y al segmento CD que baja de C a D y mide 40 unidades de longitud.

A ( 10, 45, 35 ) B ( 50, 35, ? ) C ( 35, 30, ? ) D ( 35, 10, ? ) P ( 100, 35, 40 ) Q ( 65, 45, ? ) R ( 80, ?, 15 )

Rpta.: zB=35 zC=19.8446 zD=-14.7965 zQ=42.1651 yR=25.5662 OK

139) 2007-1-P03I-prob2 RSTU es un rectngulo y tambin la base de una pirmide regular de 50 unidades de altura y de vrtice V. Completar las coordenadas de la pirmide si su base est encima de la pirmide.

R ( 35, 50, 55 ) S ( 50, ?, 65 ) U ( 5, 25, 75 ) Rpta.: yS=40 T(20,15,85) V(30.2639,-0.6674,32.6867)

140) 2007-1-EXPI-prob1 Determinar las coordenadas de los vrtices del pentgono regular ABCDE si B est a 15 unidades encima y est delante de C.

A ( 20, 40, 45 ) C ( 60, 15, 15 ) Rpta.: B(29.2371,10.2793,30) D(69.7755,47.6383,20.7295) E(45.0541,63.0891,39.2705)

141) 2007-1-EXSH-prob1 PQ tiene 70% de pendiente, va hacia atrs y es perpendicular al plano ABC. Completar las coordenadas de los vrtices del tringulo ABC.

A ( 20, 20, 15 ) B ( 45, 25, ? ) C ( 50, 45, ? ) P ( 15, ?, 30 ) Q ( 10, ?, 20 )

Rpta.: zB=9.1911 zC=33.4553

142) 2007-2-P03I-prob1 Se hace una perforacin vertical en el punto A de la superficie del terreno y se encuentra un punto B de la capa superior de un estrato y un punto C de la capa inferior del mismo estrato. Luego se efecta otra perforacin recta en el punto D de la superficie del terreno, encontrando un punto E de la capa superior y un punto F de la capa inferior del mismo estrato. Hallar la orientacin y pendiente de las capas superior e inferior del estrato considerando que son planas y paralelas y completar las coordenadas de F.

A ( 10, 50, 50 ) B ( 10, 50, 40 ) C ( 10, 50, 20 ) D ( 45, 40, 45 ) E ( 35, 35, 35 ) F ( 25, ?, ? )

Rpta: F(25,30,25) or=N4849O pe=96.64%NE

143) 2008-1-P03H-prob1 Por el punto B, trazar un segmento de 40 unidades contenido en el plano ABC y perpendicular a la recta MN. Dar todas las soluciones posibles de las coordenadas del otro extremo de este segmento.

A ( 6, 30, 38 ) B ( 31, 45, 52 ) C ( 47, 15, 32 ) M ( 50, 13, 46 ) N ( 71, 36, 37 )

Rptas: (53.8792,17.2561,34.4838) (8.1202,72.7439,69.5162)

144) 2008-1-P03I-prob1 Las rectas AB y CD se cruzan. Si no son perpendiculares, desplazar C verticalmente hasta que lo sean. Determinar la nueva posicin del punto y la distancia recorrida.

A ( 10, 17, 30 ) B ( 23, 4, 7 ) C ( 6, 29, 35 ) D ( 25, 12, 30 ) Rpta: C(6,29,9.6522) dist=25.3478 OK

145) 2009-1-P02I-prob1 Desplazar el punto D paralelamente a una recta que tiene orientacin S30O y una pendiente de 60% ascendente hasta una posicin D, de tal manera que la nueva recta CD sea perpendicular a la recta AB. Determinar D y la orientacin y pendiente de un plano paralelo a AB y a CD.

A ( 70, 15, 40 ) B ( 100, 40, 20 ) C ( 50, 40, 20 ) D ( 70, 60, 35 ) Rpta: D(61.7781,45.7593,44.8663) or=N536E pe=1008.71%NO OK

146) 2009-1-EXPH-prob1 Los planos AQR y BQR se intersecan con el plano ABC segn dos rectas paralelas. Completar las coordenadas del punto C y hallar la orientacin y pendiente del plano ABC.

A ( 50, 30, 5 ) B ( 25, 30, 15 ) C ( 35, 25, ? ) Q ( 30, 45, 15 ) R ( 55, 20, 35 )

Rpta: zc=17 or=N7134O pe=126.49%NE

147) 2009-2-EXFH-prob1 Trazar un segmento BO descendente, de 40 unidades de longitud, contenido en el plano ABC y perpendicular a la recta MN. Determinar las coordenadas de O y la orientacin y pendiente de BO.




A ( 5, 30, 35 ) B ( 30, 45, 50 ) C ( 45, 15, 30 ) M ( 50, 15, 45 ) N ( 70, 35, 35 )

Rpta: O(49.8998,15.7595,31.3186) or=S3414E pe=52.82%desc OK

148) 2009-2-EXFI-prob1 Los segmentos de recta AB y CD se cruzan y son perpendiculares. La distancia vertical entre ambos segmentos es de 15 unidades. Determinar las coordenadas de D y la orientacin y pendiente de CD si mide 50 unidades de longitud. Tomar AB debajo de CD.

A ( 80, 35, 35 ) B ( 45, 5, 10 ) C ( 90, 10, 5 ) Rpta: D1(56.3037,19.5829,40.6753) or1=N747O pe1=101.84%asc OK

D2(123.6963,0.4171,-30.6753) or2=S747E pe2=101.84%desc

149) 2010-1-EXFH-prob1 * Determinar las coordenadas de los vrtices del tringulo issceles de base BC sobre la recta MN y cuyo vrtice A est situado sobre la recta EF. La base BC ha de ser igual a la altura AK del tringulo, con la particularidad de que K est contenido en MN. Determinar adems la orientacin y pendiente del plano que contiene al tringulo

E ( 10, 15, 15 ) F ( 30, 10, 35 ) K ( ?, 25, ? ) M ( 15, 35, 5 ) N ( 50, 15, 5 )

Rpta: A(24.6875,11.3281,29.6875) B C(19.7881,32.2639,5) C B(45.2119,17.7361,5) K(32.5,25,5) or=N6015O pe=156.78%NE

150) 2010-2-EXSH-prob1 Trazar un segmento QL de 40 unidades de longitud contenido en el plano PQR y perpendicular a la recta MN. Obtnganse todas las posibles soluciones de las coordenadas de L y de la orientacin y pendiente de QL.

M ( 50, 15, 45 ) N ( 70, 35, 35 ) P ( 5, 30, 40 ) Q ( 30, 45, 50 ) R ( 45, 15, 30 )

Rpta: L1(49.4029,15.8957,30.5971) or1=S3341E pe1=55.47%desc L2(10.5971,74.1043,69.4029) or2=N3341O pe2=55.47%asc OK

151) 2011-1-EXPH-prob1 ABCD es la base superior de un prisma recto y EFGH es la base inferior. AE es una arista. Si ambas bases son paralelogramos, encontrar las coordenadas que faltan de los vrtices del prisma y la orientacin y pendiente de sus bases.

A ( 35, 22, 25 ) D ( 22, 33, ? ) E ( 23, 10, 20 ) F ( 5, ?, 35 ) Rpta: B(17,33.75,40) C (4,44.75,44.8) zD=29.8 yF=21.75

G(-8,32.75,39.8) H(10,21,24.8) or=N45O pe=339.41%NE

152) 2011-1-EXSH-prob1 La cara superior de un hexaedro regular es ABCD y est contenida en un plano de orientacin N45O y pendiente 30%SO, siendo A el vrtice ms bajo de dicha cara. La arista AB mide 40 unidades y tiene orientacin N60E. Hallar las coordenadas de los vrtices del hexaedro.

A ( 25, 45, 30 ) Rpta: B(58.2722,64.2097,41.1331) C(37.6106,98.3408,43.9904) D(4.3383,79.1311,32.8573)

E(33.1274,53.1274,-8.3131) F(66.3996,72.3371,2.8200) G(45.7380,106.4682,5.6773) H(12.4658,87.2585,-5.4558) OK


153) 2003-1-P02J-prob2 Dado el tringulo ABC, construir la pirmide que se forma al hallar un punto V que equidiste de los vrtices ABC y que est contenido en el plano Horizontal (plano XY). Determinar las coordenadas del punto V.

A ( 14, 6, 9 ) B ( 17, 36, 14 ) C ( 5, 36, 19 ) V ( ?, ?, ? ) Rpta: V(4.1250,24.0542,0) OK

154) 2003-1-P03I-prob2, 2003-1-P03J-prob1 Los planos ABP y CDP se intersecan en una recta de orientacin N75O y pendiente 120% ascendente. Completar las coordenadas del punto P.

A ( 90, 15, 55 ) B ( 40, 75, 55 ) C ( 30, 10, 50 ) D ( 5, 115, 60 ) P ( 15, ?, ? )

Rpta: P(15,110.2339,48.0237) OK

155) 2003-1-EXPI-prob2 AB es un lado de la base pentagonal de una pirmide regular de vrtice V. Completar las coordenadas de los vrtices de la pirmide V-ABCDE. Nota: AB lado de mayor cota.




A( 10, 45, 35 ) B ( 35, 25, 35 ) V ( 50, ?, 5 ) Rpta: yV=69.3750 C(39.4737,14.7551,4.9996)

D(17,2387,28,4233,-13.5417) E(-0.9771,47.1157,4.9996) OK

156) 2003-1-EXPJ-prob2, 2007-1-P03H-prob2 Determinar las coordenadas de los vrtices de una pirmide recta V-ABCDE cuya base es un pentgono regular y la cara VAB es un plano horizontal. La cara VAB est encima de la pirmide.

A ( 90, 40, 80 ) B ( 100, 25, 80 ) V ( 65, ?, 80 ) Rpta: yV=12.5 C(98.1814,17.0922,63.9016)

D(87.0574,27.2049,53.9522) E(82.0010,41.3627,63.9016) OK

157) 2003-1-EXPL-prob2 Sea un tringulo rectngulo RST, recto en S perpendicular a la recta AB. El lado descendente RT corta a la recta AB. La perpendicular trazada desde S hasta AB es la altura relativa a la hipotenusa, que divide a esta en dos segmentos que estn en la relacin de 3 a 2. Determinar las coordenadas de los vrtices R y T.

A ( 9, 1.5, 5.5 ) B ( 11, 3.5, 10 ) S ( 11.5, 0, 6) Rpta: R1(7.5151,-0.5610,8.0204) T1(10.4914,3.3755,4.9480)

R2(8.1103,0.2263,7.4059) T2(11.0867,4.1628,4.3336) OK

158) 2006-1-P03J-prob1 Determinar las proyecciones de un punto K que equidiste de los puntos A y B. El punto K se encuentra por encima y a una distancia de 10 unidades del plano ortofrontal CDE, a 30 unidades del punto V y detrs de A.

A (7, 34, 21) B (34, 4, 53) C (63, 50, 41) D (78, 25, 50) E (94, 37, ?) V (51, 10, 26)

Rpta: zE=59.6 K(37.1622,34.1658,37.1592) OK

159) 2006-2-P03H-prob1 Completar las coordenadas de los vrtices del tringulo rectngulo ABC, recto en B si el plano que lo contiene es perpendicular a la recta MN. Se sabe que el cateto AB es frontal y mide 20 unidades y que la hipotenusa AC se corta con MN. Tomar A debajo de B.

A ( 25, 20, 10 ) M ( 10, 45, 10 ) N ( 30, 25, 30 )

160) 2006-2-P03H-prob2 PQ es una arista de un tetraedro regular y M un punto de la recta que une los puntos medios de las aristas opuestas PQ y RS. Hallar las coordenadas de los vrtices que faltan del tetraedro.

M ( 33, 55, ? ) P ( 15, 45, 55 ) Q ( 37, 65, 35 ) Rpta: zM=52.7 R S = (35.6446,69.8661,70.4751) S R = (50.4434,40.1339,57.0217) OK

161) 2006-2-P03J-prob2, 2006-2-EXFJ-prob1 V es el vrtice de una pirmide regular y PQ es una recta de mxima pendiente de su plano de base. Completar las coordenadas de sus vrtices sabiendo que su base es un tringulo equiltero de lado igual a 30 unidades y que su lado izquierdo es de perfil. Se sabe adems que la altura de la pirmide es 20 unidades y que el vrtice est debajo del plano de la base.

P ( 10, 40, 20 ) Q ( 35, 20, 60 ) V ( 45, ?, 30 ) Rpta: yV= 29.9297

(25.9424,24.6108,47.5647) (25.9424,48.2603,29.1065) (46.5368,46.1807,50.8217) OK

162) 2007-1-EXPH-prob1 Los segmentos AB y CD son perpendiculares. Si AB tiene 40% de pendiente descendente y CD es horizontal, determinar las coordenadas de D sabiendo que est delante de C.

A ( 13, ?, 27 ) B ( 35, ?, 3 ) C ( 6, 28, 13 ) D ( 29, ?, 13 ) Rpta.: yD=18.9353

163) 2007-2-P03H-prob1 Completar las coordenadas de L, M y Q sabiendo que la recta PQ es paralela al plano LMN. LM mide 60 unidades y es la recta de mxima pendiente del plano LMN. Considerar M detrs de L.

L ( 15, ?, 35 ) M ( 30, ?, 15 ) N ( 40, 25, 30 ) P ( 30, 45, 5 ) Q ( 55, ?, 15 )

Rpta: yL=17.2081 yM=71.7516 yQ=8.7904 OK

164) 2007-2-P03H-prob2 El punto V es el vrtice y AB es una arista de la base cuadrada ABCD de una pirmide recta. Si CD est a la derecha de AB, completar las coordenadas de los vrtices de la pirmide.

A ( 80, 50, 25 ) B ( 90, 30, 35 ) V ( 80, 25, ? )




Rpta: C(108.2878,31.0116,18.7355) D(98.2878,51.0116,8.7355) zV=5.0000 OK

165) 2007-2-P03I-prob2 MN es el eje de un prisma recto ABC-DEF cuyas bases son tringulos equilteros con centros en M y N y con lados que miden 30 unidades. El vrtice A de la base inferior est 10 unidades a la izquierda y detrs de N. Obtener las coordenadas de los vrtices del prisma. B delante de C.

M ( 45, 15, 50 ) N ( 20, 50, 15 ) Rpta: A(10,55.7691,27.9119) B(14.7888,36.6081,5.3304) C(35.2112,57.6228,11.7577)

D(35,20.7691,62.9119) E(39.7888,1.6081,40.3304) F(60.2112,22.6228,46.7577)

166) 2007-2-EXPI-prob1 Cortar las dos rectas que se cruzan AB y CD con una recta KM perpendicular al plano dado por el tringulo EFG. Obtener las coordenadas de los puntos K y M y determinar la orientacin y pendiente de KM sabiendo que K est en AB y que M est en CD.

A ( 85, 40, 45 ) B ( 104, 12, 15 ) C ( 107, 48, 43 ) D ( 143, 22, 55 ) E ( 44, 45, 9 ) F ( 68, 13, 9 ) G ( 33, 13, 40 )

Rpta: K(99.7694,18.2346,21.6799) M(123.5345,36.0584,48.5115) or=N538E pe=90.32%asc

167) 2007-3-P02G-prob2, 2007-3-P02H-prob2 LM es recta de mxima pendiente de un plano que contiene a un pentgono regular. El pentgono est inscrito en una circunferencia cuyo dimetro es LM. Hallar las coordenadas de los vrtices del pentgono, sabiendo que su lado delantero es frontal.

L ( 25, 40, 50 ) M ( 45, 10, 85 ) Rpta: (42.4178,8.4353,84.8734) (16.4124,8.4353,70.8705) (16.0944,31.3272,52.2097)

(41.9033,45.4751,54.6796) (58.1721,31.3272,74.8669) OK

168) 2007-3-P03G-prob1 El punto O es el centro de la base superior de una plancha hexagonal (prisma recto) de 10 unidades de espesor. La base superior tiene orientacin S60E y una pendiente de 120%NE y, adems, dos de sus lados son de perfil y miden 25 unidades. Determinar las coordenadas de los vrtices de la base inferior considerando que el hexgono es regular.

O ( 30, 40, 40 ) Rpta: (6.1691,48.0067,30.3572) (26.1589,50.6814,15.5837) (46.1486,36.0217,18.8247)

(46.1486,18.6873,36.8391) (26.1589,16.0126,51.6126) (6.1691,30.6723,48.3716) OK

169) 2007-3-EXFG-prob1, 2007-3-EXFH-prob1 Determinar las coordenadas de los vrtices del tetraedro regular V-ABC sabiendo que P pertenece a la cara VBC. La cara VBC tiene orientacin S60E y pendiente 30%SO. La distancia del punto A al plano VBC es 20 unidades. La arista VA tiene orientacin N60E. Tomar A encima de V y B a la derecha de C.

P ( 10, 30, 60 ) V ( 20, 20, ? ) Rpta: lado= 24.4949 zV= 58.9019

A(27.2003,24.1571,81.9426) B(43.5245,24.8617,63.6937) C(26.6968,42.5407,65.7627) OK

170) 2008-1-P03H-prob2 Completar las coordenadas de los puntos A y B sabiendo que en los planos LMN y PQR existe un lugar geomtrico comn de los puntos que equidistan de A y B.

A ( 55, ?, 80 ) B ( 75, ?, 65 ) L ( 20, 20, 45 ) M ( 30, 55, 105 ) N ( 50, 50, 35 ) P ( 10, 55, 55 ) Q ( 50, 40, 65 ) R ( 50, 10, 80 )

Rpta: yA=73.7227 yB=46.4823

171) 2008-1-P03I-prob2 Los planos AQR y BQR se intersecan con el plano ABC segn dos rectas paralelas. Completar las coordenadas del punto C.

A ( 50, 25, 35 ) B ( 25, 30, 25 ) C ( 35, 20, ? ) Q ( 30, 45, 25 ) R ( 55, 20, 10 )

Rpta: zC=19

172) 2008-1-EXPI-prob1 La recta LM tiene una orientacin N50E y es perpendicular a JK. La recta JK est contenida en un plano paralelo a las rectas PQ y RS. Completar las coordenadas de L y M y determinar la pendiente de LM.

J ( 25, ?, 42 ) K ( 45, ?, 38 ) L ( 85, 5, ? ) M ( 95, ?, 74 ) P ( 10, 30, 79 ) Q ( 28, 38, 68 ) R ( 20, 47, 50 ) S ( 30, 28, 62 )

Rpta: zL=27.6807 yM=13.3910 pe=354.83%asc




173) 2008-1-EXPI-prob2 AB es un segmento de recta ascendente de 50 unidades de longitud y paralela a un plano 100%N. Completar las coordenadas de A y B.

A ( 5, ?, 30 ) B ( 25, 25, ? ) Rpta: yA=57.4037 zB=62.4037

174) 2008-1-EXFI-prob2 AB es una arista de un tetraedro regular ABCD. La arista opuesta CD tiene orientacin N60E. Completar las coordenadas del tetraedro y determinar la orientacin y pendiente de la base ABC. Tomar CD detrs de AB.

A ( 30, 35, 10 ) B ( 47, 51, 25 ) Rpta: C(19.5167,54.2707,26.9923) D(32.7561,61.9145,3.8344)

or=N8748O pe=90.13%SO OK

175) 2008-1-EXSH-prob1 Completar las coordenadas de los puntos A y B sabiendo que los puntos en comn de los planos LMN y PQR son un lugar geomtrico de puntos que equidistan de A y B.

A ( 55, ?, 80 ) B ( 75, ?, 65 ) L ( 20, 25, 45 ) M ( 30, 60, 105 ) N ( 50, 55, 35 ) P ( 10, 60, 55 ) Q ( 50, 45, 65 ) R ( 50, 15, 80 )

Rpta: yA=78.7227 yB=51.4823

176) 2009-1-P02I-prob2 Completar las coordenadas de los vrtices del cuadrado PQRS, sabiendo que la recta MN est contenida en el plano del cuadrado, que el vrtice R pertenece a la recta QO y que PQ es ascendente.

M ( 50, 40, 35 ) N ( 75, 25, 35 ) O ( 115, 0, ? ) P ( 55, 50, ? ) Q ( 60, 20, ? )

Rpta: zp=14.4745 zQ=57.1044 R(106.4408,3.1124,39.7731) S(101.4408,33.1124,-2.8568)

177) 2009-1-EXPI-prob 2 La recta de interseccin de los planos PQR y STU pertenece al plano mediatriz del segmento LM. Completar las coordenadas de los puntos L y M.

L ( 55, ?, 80 ) M ( 75, ?, 65 ) P ( 10, 55, 55 ) Q ( 50, 45, 65 ) R ( 50, 10, 80 ) S ( 20, 20, 45 ) T ( 30, 55, 100) U ( 60, 50, 35 )

Rpta: yL=72.9746 yM=43.6037

178) 2009-1-EXFI-prob1 Determinar las coordenadas de los vrtices de un prisma recto y la orientacin y pendiente de sus bases cuadradas ABCD y EFGH. Se sabe que el punto C pertenece a la recta AX y que AE y BF son aristas. Tomar D debajo de A.

A ( 15, 20, 20 ) H ( 20, 35, 35 ) X ( 40, 40, 15 ) Rpta: B(29.8415,18.1691,16.8838) C(31.6667,33.3333,16.6667) D(16.8252,35.1643,19.7829)

E(18.1748,19.8357,35.2171) F(33.0163,18.0048,32.1009) G(34.8415,33.1691,31.8838) or=N258E pe=20.89%SE

179) 2009-1-EXSI-prob1 Completar las coordenadas de los vrtices del cuadrado PQRS, sabiendo que la recta horizontal MN est contenida en el plano del cuadrado, que el vrtice R pertenece a la recta QO y que PQ es ascendente.

M ( 50, 40, 40 ) N ( 75, 25, 40 ) O ( 110, 0, ? ) P ( 55, 50, ? ) Q ( 60, 20, ? )

Rpta: zP=16.9341 zQ=64.8402 R(110.0403,-0.0161,47.0829) S(105.0403,29.9839,-0.8233) OK

180) 2009-2-P02I-prob2 PQ es la recta de mxima pendiente del plano PQR. JK mide 40 unidades y es perpendicular a PQ. Completar las coordenadas de PQ y determinar la orientacin y pendiente del plano PQR. Considerar que JK va hacia delante y PQ va hacia atrs.

J ( 15, ?, 40 ) K ( 30, ?, 25 ) P ( 5, ?, 45 ) Q ( 15, ?, 25 ) R ( 30, 10, 35 )

Rpta: yp=18.4370 yQ=31.7067 or=N530O pe=120.37%NE OK

181) 2009-2-EXPI-prob2 Encontrar las coordenadas de un cubo 12345678 que tiene su cara inferior 3487 contenida en el plano RST. El punto 1 es un vrtice del cubo y est en la arista ms alta. Se sabe tambin que dicho cubo tiene cuatro aristas horizontales. Tomar 2 a la derecha de 1.




1 ( 45, 25, 65 ) R ( 50, 40, 50 ) S ( 30, 45, 70 ) T ( 10, 20, 55 ) Rptas: 2(59.6296,33.8823,65) 3(52.4647,45.6834,54.8848) 4(37.8351,36.8011,54.8848) 5(50.2496,16.3536,51.1941) 6(64.8792,25.2359,51.1941) 7(57.7142,37.0370,41,0789) 8(43.0846,28.1547,41.0789)

182) 2009-3-EXPG-prob1 Obtener la orientacin y pendiente del plano RST y las coordenadas de los vrtices del cubo 12345678 que tiene su cara inferior 3487 contenida en dicho plano. El punto 1 es un vrtice del cubo y est sobre la arista ms alta 12. Se sabe tambin que dicho cubo tiene cuatro aristas horizontales. Tomar 2 a la izquierda de 1.

R ( 60, 45, 70 ) S ( 80, 35, 45 ) T ( 40, 20, 55 ) 1 ( 75, 25, 65 ) Rpta: or=N5918E pe=132.91%SE lado=16.8554

2(60.5068,16.3946,65) 3(53.6303,27.9760,54.8663) 4(68.1236,36.5814,54.8663) 5(80.1736,16.2865,51.5310) 6(65.6804,7.6865,51.5310) 7(58.8040,19.2625,41.3973) 8(73.2972,27.8679,41.3973)

183) 2009-3-EXPG-prob2 ABCDE es un pentgono regular, base de una pirmide recta de vrtice V. Determinar las coordenadas que faltan de los vrtices de la pirmide, sabiendo que D est a la derecha de C.

A ( 25, 25, 45 ) C ( 45, 40, 20 ) V ( 35, ?, 50 ) Rpta: B(24.5610,34.3246,25.2436) D(58.0710,34.1830,36.5158) E(45.7103,24.9125,51.9666) yV=61.6667 O(39.6685,31.6840,35.7452) lado=21.8508u OK

184) 2010-1-P02H-prob1 Vienen dadas las rectas EF, MN, KL y HI. Construir el rectngulo ABCD, en el cual el lado AB es paralelo a la recta EF, el vrtice A se encuentra sobre la recta KL, el vrtice B, sobre la recta MN y el vrtice C, sobre la recta HI. Obtener las coordenadas de sus vrtices y la orientacin y pendiente del plano que lo contiene.

E ( 5, 5, 55 ) F ( 20, 15, 45 ) H ( 50, 5, 55 ) I ( 60, 10, 55 ) K ( 35, 40, 35 ) L ( 55, 15, 45 ) M ( 15, 30, 55 ) N ( 30, 20, 35 )

Rpta: A(37.3529,37.0588,36.1765) B(20.8824,26.0784,47.1569) C(42.6225,1.3113,55) D(59.0931,12.2917,44.0196) or=N6312O pe=63.74%NE OK

185) 2010-1-P02I-prob2 Vienen dados el plano del tringulo LMN y las rectas AE y FG. Construir un paralelogramo, en el cual el lado AD est situado sobre la recta AE, el lado AB es paralelo al plano del tringulo, el vrtice B pertenece a la recta FG, y la diagonal BD es perpendicular al lado AD. Obtener las coordenadas de sus vrtices y la orientacin y pendiente del plano que lo contiene.

A ( 40, 5, 25 ) E ( 50, 30, 20 ) F ( 25, 15, 20 ) G ( 45, 25, 5 ) L ( 20, 25, 15 ) M ( 0, 5, 30 ) N ( 0, 10, 25 )

Rpta: B(42.5,23.75,6.875) C(50.2917,43.2292,2.9792) D(47.7917,24.4792,21.1042) or=N259E pe=317.62%NO

186) 2010-1-EXPH-prob2 MN tiene orientacin N40E y es el eje de un prisma recto cuyas bases son cuadrados que bajan hacia el suroeste (M y N son los centros de las bases). La base que pasa por N es el cuadrado ABCD. Obtener las coordenadas que faltan de los vrtices del prisma y la orientacin y pendiente del plano ABCD, si MN mide 25 unidades. Tomar a B como el vrtice de menor cota.

A ( 50, 55, 10 ) M ( 20, 45, 15 ) Rpta: B(35.7552,46.3145,-12.8396) C(16.4260,66.4932,-8.4578) D(30.6707,75.1787,14.3819)

E(36.7870,39.2534,24.2289) F(22.5422,30.5679,1.3893) G(3.2130,50.7466,5.7711) H(17.4578,59.4321,28.6108) N(33.2130,60.7466,0.7711) or=N50O pe=144.46%SO

187) 2010-2-EXPH-prob2 Hallar las coordenadas que faltan de los vrtices del octaedro regular ABCDEF cuya cara CDF est contenida en un plano que pasa por M y que tiene orientacin N60E y pendiente 45SE. AC, BD y EF son las diagonales interiores del octaedro. La arista FD tiene orientacin S45E. Considerar a la arista BE a la derecha de A. Obtener adems la orientacin y pendiente de la cara ADF.

A ( 35, 30, 25 ) M ( 15, 40, 15 ) Rpta: B(45.5635,49.3218,36.4515) C(50.3353,59.7571,14.4425) D(39.7717,40.4352,2.9910)

E(58.1870,36.6984,19.2075) F(27.1483,53.0587,20.2350) lado=24.8205 or=N238O pe=259.31%NE

188) 2010-2-EXPI-prob2 Determinar las coordenadas de los vrtices del cubo ABCD-EFGH, sabiendo que la arista AE est contenida en la recta MN y que el vrtice G pertenece a una recta que pasa por L, que tiene orientacin




N36E y que es perpendicular a MN. Obtener adems la orientacin y pendiente de la cara ABCD. Tomar EG ascendente y B a la izquierda de A.

A ( 18, ?, ? ) L ( 15, 10, 50 ) M ( 20, 40, 30 ) N ( 30, 15, 10 ) Rpta: A(18,45,34) B(6.9886,35.7055,40.1125) C(17.0868,30.9620,51.0909)

D(28.0981,40.2565,44.9785) E(22.6667,33.3333,24.6667) F(11.6553,24.0388,30.7791) G(21.7534,19.2953,41.7576) H(32.7648,28.5898,35.6451) lado=15.6525u or=N6812E pe=134.63%NO OK

189) 2010-2-EXSI-prob1 Ubicar un punto I que pertenezca a los planos PQR y LMN, pero que equidiste de S y T. Obtener las coordenadas de I y la orientacin y pendiente del segmento SI.

L ( 85, 35, 35 ) M ( 95, 10, 70 ) N ( 120, 30, 60 ) P ( 5, 25, 45 ) Q ( 45, 35, 35 ) R ( 20, 5, 60 ) S ( 65, 25, 30 ) T ( 45, 5, 55 )

Rpta: I(67.2524,13.3116,50.9512) or=S1054E pe=176.01%asc OK

190) 2011-1-EXPI-prob1 RS mide 30 unidades, tiene una pendiente de 80% ascendente, va hacia adelante y es perpendicular a PR. Hallar las coordenadas de S y la orientacin y pendiente del plano PRS.

P ( 20, 35, 35 ) R ( 40, 20, 10 ) Rpta: S(46.5593,-2.4890,28.7409) or=N3234O pe=284.80%NE OK


191) 2006-1-P03H-prob2 Los puntos A y C son vrtices opuestos de la cara ABCD de un cubo y M es un punto contenido en la cara ABFE del mismo. Completar las coordenadas de los vrtices del cubo si se sabe que el vrtice A es el de menor cota.

A ( 10, 43, 10 ) C ( 37, 30, 28 ) M ( 15, 50, 30 ) Rpta: B(29.3243,52.7097,21.9705) D(17.6757,20.2903,16.0295) E(-3.3662,43.9965,30.7690)

F(15.9581,53.7062,42.7396) G(23.6338,30.9965,48.7690) H(4.3095,21.2869,36.7985) OK

192) 2006-1-P03J-prob2 Hallar las coordenadas de los puntos extremos P y Q de un segmento de recta frontal que se encuentran contenidos en las rectas horizontales RS y TU, respectivamente; sabiendo adems que O es el punto medio de PQ y est contenido en el plano LMN.

L (50, 20, 25) M (70, 55, 70) N (100, 35, 50) R (35, 40, 75) S (85, 75, 75) T (85, 75, 30) U (115, 40, 30)

Rpta: O(74.9802,39.9308,52.5) P(34.9012,39.9308,75) Q(115.0593,39.9308,30) OK

193) 2006-2-EXPH-prob2, 2007-1-EXFH-prob2 * Determinar las coordenadas de los vrtices del cubo ABCD-EFGH, donde ABCD es la base inferior y la arista AE es paralela a la recta MN. Se sabe que el punto P pertenece a la arista BF, que el punto Q pertenece a la diagonal AG del cubo y que el punto R pertenece a la cara ADHE.

M ( 85, 45, 35 ) N ( 90, 80, 80 ) P ( 55, 50, 35 ) Q ( 35, 60, 35) R ( 30, 35, 40 )

Rpta: A(40.5044,22.9898,35.6964) B(53.4939,39.4573,21.4451) C(31.8289,50.9166,14.9396) D(18.8394,34.4491,29.1909) E(42.7199,38.4983,55.6360) F(55.7094,54.9658,41.3846) G(34.0444,66.4251,34.8791) H(21.0549,49.9576,49.1304) OK

194) 2006-2-EXPJ-prob2 * Determinar las coordenadas de los vrtices del prisma recto ABCD-EFGH, donde ABCD es la base inferior cuadrada, la arista lateral AE es paralela a la recta MN y mide el doble del lado de la base. Se sabe tambin que el punto P pertenece a la arista BF, que el punto Q pertenece a la diagonal AG del prisma y que el punto R pertenece a la cara ADHE.

M ( 75, 40, 30 ) N ( 80, 75, 75 ) P ( 50, 50, 35 ) Q ( 30, 60, 35 ) R ( 25, 35, 40 )

Rpta: A(33.6166,9.7753,18.7064) B(46.6061,26.2428,4.4551) C(24.9516,37.7021,-2.0505) D(11.9516,21.2346,12.2009) E(38.0476,40.7924,58.5855) F(51.0371,57.2599,44.3342) G(29.3722,68.7192,37.8286) H(16.3826,52.2517,52.0800) OK




195) 2007-1-EXPH-prob2 Determinar las coordenadas de los vrtices del rectngulo ABCD y la orientacin y pendiente del plano que lo contiene si se sabe que la diagonal AC est contenida en la recta LM y sigue el mismo sentido, y que los puntos B y D estn contenidos en las rectas PQ y RS respectivamente.

L ( 20, 29, 15 ) M ( 50, 9, 15 ) P ( 8, 40, 28 ) Q ( 20, 17, 8 ) R ( 31, 17, 28 ) S ( 47, 28, 4 )

Rpta.: A(17.8646,30.4236,15) C(37.5892,17.2739,15) or=N5619O B(15.9160,24.8277,14.8067) D(39.5378,22.8697,15.1933) pe=3.37%SO OK

196) 2007-3-P03G-prob2 Determinar la longitud del mnimo recorrido L-M-N y determinar las coordenadas de M y N, estando el punto M en el plano PQR y el punto N en la recta AB.

A ( 47, 67, 86 ) B ( 74, 48, 48 ) L (24, 36, 46 ) P ( 15, 38, 70 ) Q ( 25, 63, 95 ) R ( 55, 31, 55 )

Rpta: long=52.9594u M(46.1253,39.6592,65.9654) N(60.3953,57.5737,67.1474) OK

197) 2008-1-EXPH-prob2 Completar las coordenadas de los vrtices del tringulo issceles PQR (PQ=PR) si se sabe que el plano PQR tiene orientacin S50E. Tomar Q encima de P.

P ( 104, 12, 10 ) Q ( 59, 20, ? ) R ( 50, 40, ? ) Rpta: zQ=59.3453 zR=38.7046 OK

198) 2009-1-P02H-prob2 Dado el tetraedro PQRS, determinar las coordenadas del centro de un cubo inscrito en l, tal que los cuatro vrtices de una de sus caras estn contenidos en el plano PQR, otros dos vrtices de una arista estn contenidos en el plano PQS y los dos vrtices restantes estn contenidos en las caras PRS y QRS, respectivamente.

P ( 60, 60, 35 ) Q ( 15, 55, 75 ) R ( 35, 25, 45 ) S ( 70, 40, 70 ) Rpta: O(44.9480,46.3153,53.5012) OK

199) 2010-1-EXPI-prob2 Completar las coordenadas de los vrtices de la pirmide VABCD de 24 unidades de altura cuya base ABCD es un rombo situado en un plano de orientacin S60E e inclinacin SO, sabiendo que la longitud de los lados del rombo es media proporcional entre las longitudes de la altura de la pirmide y la diagonal AC. Adems determinar la orientacin y pendiente de la cara VAB. Tomar a B como el vrtice de menor cota. Nota: Se dice que la longitud de un segmento m es media proporcional con respecto a las longitudes a y b de otros dos segmentos cuando se verifica la siguiente expresin:

b

m

m

a

. A ( 25, 65, 10 ) C ( 30, 50, ? ) V ( 10, 45, 25 )

Rpta: B(10.2274,53.5294,2.0327) zC=5.1744 D(44.7726,61.4706,13.1417) or=N4550E pe=385.42%NO ladorombo=20.3294u

200) 2011-1-EXPH-prob2 Por la recta horizontal LM, pasar un plano cuyas intersecciones con los planos verticales PQR y RST sean rectas que formen 90 entre s. Obtener las coordenadas del punto de interseccin de los tres planos, sabiendo que est debajo de L.

L ( 20, 15, 85 ) P ( 5, 5, 5 ) S ( 40, 40, 45 ) M ( 95, 35, ? ) Q ( 25, 30, 25 ) T ( 55, 30, ? )

Rpta: I(35.4348,43.0435,74.8034)


201) 2006-1-EXPJ-prob2 Se da la proyeccin horizontal de las aristas AB, AD y AE de un paraleleppedo rectngulo ABCD-EFGH. Determinar sus tres dimensiones (largo, ancho y altura) considerando que la altura es la dimensin de la arista de mayor pendiente y que el vrtice A es el de mayor cota.

A ( 55, 50, 80 ) B ( 95, 65, ? ) D ( 35, 70, ? ) E ( 60, 30, ? ) Rpta: zB=70 zD=30 zE=70

largo=43.8748 ancho=22.9129 altura=57.4456 OK

202) 2008-1-EXFH-prob2, 2010-1-EXSH-prob2 Completar las coordenadas de los vrtices de la pirmide regular truncada ABCD-ABCD. Las bases paralelas son rectngulos donde ABCD es la base inferior. Recomendacin: empiece usando la proyeccin horizontal de la pirmide.


Ciclo 2015-1 PARALELISMO Y

compendio de problemas

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