COMO RESOLVER ECUACIONES EN UNA VARIABLE

NOMBRE DEL CURSO:MATEMÁTICAS EN SECUNDARIA: LAS UNIDADES DIDÁCTICAS EN INTERNET

Codigo: 0302134PROFESOR: Luis TejeroESTUDIANTE: Carmen Benavides

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INDICE

Introducción

Nociones Preliminares

Ecuaciones Polinómicas

Lineales

Cuadráticas

Cubicas

De grado cuatro, de grado cinco, etc

Ecuaciones con Valor Absoluto

Ecuaciones con Radicales

Ecuaciones RacionalesCONTINUAR

INTRODUCCION.

En matemáticas un tema básico, muy importante y con muchas aplicaciones en la vida real es la solución de ecuaciones. Cuando este tema es estudiado en el aula, se va estudiando por separado cada tipo de ecuación pero algunos estudiantes, cuando se enfrentan a un grupo de varios tipos de ecuaciones, por lo general presentan dificultades.Mi objetivo en este trabajo es presentar la forma como se resuelven algunos tipos de ecuaciones.

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1.NOCIONES PRELIMINARES

1.1. Definición de ecuación.Una ecuación es la igualdad de dos expresiones algebráicas.

1.2. Clasificación de las ecuaciones.Para este trabajo hablaré solamente de las • polinómicas• con valor absoluto• radicales • racionales.

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2. ECUACIONES POLINOMICAS

2.1. DefiniciónUna ecuación polinómica es una ecuación formada por polinomios.

2.2. ClasificaciónSe clasifican en:

• lineales

• cuadráticas

• Cúbicas

• de grado cuatro, de grado cinco, etc.

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2.1.1 Ecuaciones Lineales

El mayor exponente que se encuentra en estas ecuaciones es uno. Su gráfica es una línea recta que intersecta al eje x en un punto. Tiene una solución.Para resolverla:•Simplifique la ecuación, combinando los términos semejantes.•Aplique en órden invertido el órden de las operaciones.

EJEMPLOS

1) 5x + 2 = 3x – 8 2) 3x - 7 = 4 5 5x – 3x = - 8 – 2 3x – 7 = 20 2x = - 10 3x = 27 x = - 5 x = 9

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2.1.2. Ecuaciones Cuadráticas.Son ecuaciones polinómicas cuyo mayor exponente es dos. Su gráfica es una

parábola. Tiene dos soluciones que pueden ser reales o imaginarias. Estas ecuaciones pueden ser de dos tipos:

• Factorizables• No factorizables.

a) Factorizables.• Simplifique y escriba en forma general ( igualar a cero). • factorice, recuerde que sacar factor común es también unl caso de

factorización.• iguale a cero cada factor y resuelva como ecuación lineal que es cada uno.

EJEMPLOS

1) 7x2 – 10x = x2 + 4 2) 8x3 = 2x 6x2 – 10x – 4 = 0 8x3 – 2x = 0 (3x + 1) (2x – 4) = 0 2x (4x2 – 1) = 0 3x + 1 = 0 , 2x – 4 = 0 2x (2x + 1) (2x – 1) x = - 1 , x = 2 2x = 0, 2x + 1 = 0, 2x – 1 = 0 3 x = 0, x = - 1 , x = 1 2 2CONTINUARVOLVER

b) No factorizables.En este caso se puede aplicar uno de dos métodos: completar el cuadrado o utilizar fórmula cuadrática. Estos dos métodos también pueden ser aplicados en el caso de las ecuaciones cuadráticas factorizables.

Completando el cuadrado• Simplifique y organice la ecuación en la forma x2 + bx = c• En cada lado de la ecuación sume (b/2)2

• Escriba ahora la ecuación en la forma (x + b/2)2 = s, donde s = c + (b/2)2

• En ambos lados de la ecuación aplique raiz cuadrada, recuerde que al sacar raiz cuadrada de un real, se obtienen dos respuestas con igual valor absoluto pero con diferente signo.• Resuelva cada ecuación lineal obtenida.

EJEMPLO

1) 2x2 + 16x + 14 = 0 2) x2 – 6 x +10 = 0 x2 + 8x = - 7 x2 – 6 x + 9 = - 10 + 9 x2 + 8x + 16 = - 7 + 16 (x – 3)2 = - 1 (x + 4)2 = 9 x – 3 = i ó x – 3 = - i x + 4 = 3 ó x + 4 = - 3 x = 3 + i x = 3 – i x = - 1 x = - 7

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UsandoFórmula Cuadrática

Para la ecuación ax2 + bx + c = 0

x =

• Escriba la ecuación en la forma ax2 + bx + c = 0• Aplique la Fórmula Cuadrática• Simplifique para obtener las dos respuestas.

EJEMPLO

x2 + 4x + 5 = 0 ______ x = - 4 ± √16 - 20 2 ___ x = - 4 ± √- 4 2

x = - 4 ± 2i 2

x = - 2 + i , x = - 2 – i

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2.1.3. Ecuaciones cúbicas

Su mayor exponente es de grado 3.

Para resolverla los pasos a seguir son;

a. Escriba la ecuación en forma general.

b. Observe si hay un factor común, si lo hay y contiene variable pueden presentarse dos casos.

• El factor común tiene variable con exponente dos, en este caso después de sacar el factor común, iguale a cero cada factor y resuelva.

• El factor común tiene variable con exponente uno, en este caso después de sacar el factor común, queda una expresión de grado dos que debe ser resuelta con cualquiera de los casos para ecuaciones cuadráticas.

EJEMPLOS

1) 3x3 = 6x2 2) 3x 3 + 6x = - 9x2

3x3 – 6x2 =0 3x 3 + 9x2 + 6x = 0 3x2 ( x – 2) = 0 3x (x 2 + 3x + 2) = 0 3x = 0 , x – 2 = 0 3x (x + 2) (x + 1) = 0 x = 0, x= 2 3x = 0, x + 2 = 0, x + 1 = 0 x = 0, x = - 2 , x = - 1

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c. Observe si la ecuación corresponde a una suma o diferencia de cubos, en ese caso• Aplique la fórmula de factorización a3 + b3 = (a+ b) (a2 – ab + b2) a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)• Iguale cada factor a cero y resuelva con el método apropiado. En este caso hallará una solución real y dos imaginarias.

EJEMPLO

8x3 = 27 8x3 – 27 = 0(2x)3 – 33 = 0(2x – 3) ((2x)2 + (2x)3 + 32) = 0(2x – 3) (4x2 + 6x + 9) = 0 2x – 3 = 0 ó 4x2 + 6x + 9 = 0 ________ x = - 6 ± √36 - 144 8 ____ x = - 6 ± √- 108 8 __ x = - 6 ± 6i√3 8 _ x = 3/2 x = - 3 ± 3i√3 4

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d. Si no se puede aplicar ninguno de los casos anteriores, trate de aplicar división sintética (se recordará más adelante).

e. Si dispone de una calculadora gráfica, realice la gráfica de la función contenida en la ecuación y localice los interceptos en x, éstas son las soluciones de la ecuación.

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2.1.4. Ecuaciones de grado tres o más.

a. Escríbala en forma general. b. Trate de factorizar agrupando. c. En caso de no poder factorizar, trate de aplicar división sintética. Para ésto• Escriba la ecuación en forma general. • busque los factores del término de grado cero y del primer coeficiente para formar cocientes con el primer grupo de factores.• evalúe en la ecuación cada uno hasta encontrar uno que la haga igual a cero. • Proceda a realizar la división sintética.• Exprese la ecuación como un producto de factores.• Proceda igual que en los otros casos.A continuación se muestra un ejemplo.

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EJEMPLO

- 4x3 + 7x + 3 = 0Los factores de 3 son 1, - 1, 3 y – 3. También ½, - ½, 3/2, -3/2, ¼, - ¼, ¾, -3/4 Al reemplazar por 1 obtenemos 6. Al reemplazar por – 1 obtenemos 0.División sintética: disponemos en fila los coeficientes del polinomio y en el ladoizquierdo colocamos el factor que al sustituir dió cero.

- 4 0 7 3 - 1 _________________________

• A continuación el primer coeficiente se coloca justo debajo de la línea, luego se multiplica por el factor y se coloca debajo del segundo coeficiente, sobre la línea y se procede a sumar los dos números, el resultado se coloca debajo de la línea y se sigue igual hasta terminar

- 4 0 7 3 - 1 4 - 4 -3 - 4 4 3 0 (x + 1) es un factor y los números debajo de la línea representan los coeficientes del segundo factor

• Exprese la ecuación como un producto y resuelva:

- 4x3 + 7x + 3 = 0(x + 1) (- 4x2 + 4x + 3) = 0(x + 1) ( - 2x + 3) (2x + 1) = 0X = - 1, x = 3/2, x = - 1/2

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3. ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

a│f(x)│+ b = c

• Aísle el valor absoluto, de forma que quede │f(x)│= d, donde d = (c – b) / a

• Tome la expresión contenida dentro del valor absoluto y escriba dos ecuaciones, una igual a d y la otra a – d.• Resuelva cada ecuación.

EJEMPLO

5│2x + 3│ - 7 = 85│2x + 3│= 15│2x + 3│ = 3

2x + 3 = 3 , 2x + 3 = - 3x = 0 x = - 3

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4. ECUACIONES RADICALES.

Son ecuaciones que contienen variables dentro de un radical.

• Aísle la expresión radical.

• Eleve ambos lados de la ecuación a una potencia igual al índice del radical.

• Resuelva la ecuación

EJEMPLO

______ - 4 + 2√ 2x + 5 = 8 ______ 2√ 2x + 5 = 12 ______ √ 2x + 5 = 6

2x + 5 = 36 x = 31/2

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5. ECUACIONES RACIONALES

Son ecuaciones que tienen forma de fraccionario con variable en el denominador.

Se pueden resolver de varias formas, la más f ácil es la siguiente:

• Busque el común denominador de toda la ecuación.• Multiplique cada término de la ecuación por ese común denominador .• Resuelva la ecuación polinómica resultante. • Asegúrese que la solución pertenezca al dominio.

EJEMPLO

2 + 4x = __2__ x x – 1 x2 – 1

Común denominador: x (x2 – 1)

Al multiplicar cada término de la ecuación por x (x2 – 1), obtenemos

2x2 – 2 + 4x2 = 2x6x2 – 2x – 2 = 0Al aplicar Fórmula Cuadrática obtenemos ___ x = 1 ± √ 13 Dominio: x ≠ o, x ≠ 1 , x ≠ - 1

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