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¿Cómo osamos hablar de leyes del azar? ¿No es, acaso, el azar la antítesis de cualquier ley?Bertrand Rusell

2. Probabilidad Dominar la fortuna

La probabilidad de tener un accidente de tráfico aumenta con el tiempo que pasas en la calle. Por tanto, cuanto mas rápido circules, menor es la probabilidad de que tengas un accidente.

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EJEMPLOS:

S={A, E, I, O}

S={L, T, R}

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EJEMPLOS:

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Experimento aleatorio

Por ejemplo:

* Lanzar un dado.

* Extraer una carta de una baraja.

* Se lanza una moneda. Si sale cara se extrae de una urna U1, con una determinada composición de bolas de colores, una bola y si sale cruz de extrae de una urna U2, con otra determinada composición de bolas de colores, una bola.

Entenderemos por experimento aleatorio cualquier situación que, realizada en las mismas condiciones, proporcione un resultado imposible de predecir a priori.

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Sucesos o eventos• Cuando se realiza un experimento aleatorio, diversos

resultados son posibles. El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio muestral (E).

• Experimento aleatorio: lanzar un dado.• Espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

• Se llama suceso o evento a un subconjunto de dichos resultados.

• Por ejemplo: el suceso A = “que el resultado sea par”: A = {2, 4, 6} es un suceso compuesto.

• Se llama suceso complementario de un suceso A, Ac al formado por los elementos que no están en A.

• Ac será: “que el resultado sea impar”, Ac = {1, 3, 5}.

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Se considera el experimento aleatorio consistente en lanzar una moneda. Si sale cara, se extrae de una urna que contiene bolas azules y rojas una bola, y si sale cruz, se extrae una bola de otra urna que contiene bolas rojas y verdes. ¿Cuál es el espacio muestral E de dicho experimento aleatorio?

E = {(C,R), (C,A), (+,R), (+,V)}

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Laplace define la probabilidad de un suceso A como el cociente:

Dado: ¿Cuál es la probabilidad P(A) de A = un número mayor o igual a 5?¿Y la probabilidad de B = número impar?

posibles casos de Número

favorables casos de Número)( AP

Solución: Los seis casos posibles son igualmente probables, cada uno tiene probabilidad 1/6.P(A) = 2/6 = 1/3 pues A ={5,6} tiene dos casos favorables.

P(B) = 3/6 = 1/2 pues B = {1, 3, 5} tiene tres casos favorables

Probabilidad clásica

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Diagramas de Venn

AABB

Unión A B

EE

AABB

Intersección A B

EE

A={1,3,5}, B={5,6} E={1,2,3,4,5,6}

EEBB

AA

33

11

5566

22

44

Veamos un ejemplo de dados:

Sucesos A= Un número impar, B= Un número mayor que 4. A={1,3,5} Ac ={2, 4, 6} B={5,6} Bc ={1, 2, 3, 4} A B ={1, 3, 5, 6} A B = {5} (A B)c ={2, 4} (A B)c = {1, 2, 3, 4, 6}

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Se llama suceso unión de A y B, A B, al formado por los

resultados experimentales que están en A o en B (incluyendo

los que están en ambos).

Se llama suceso intersección de A y B, A B, al formado por

los resultados experimentales que están simultáneamente en A

y B. Dos sucesos son mutuamente excluyentes si A B = Ø, donde Ø es el conjunto vacío.

Observemos que un suceso y su complementario son siempre mutuamente excluyentes y su unión es todo el espacio E.

A Ac = Ø, A Ac = E

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¿Cuál será la probabilidad de dos sucesos mutuamente excluyentes?

X 1 2, Y 3 4 5 6, , ,

YX

0)( YXP

ØX Y

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Definición axiomática de probabilidad

Se llama probabilidad a cualquier función P que asigna a cada suceso A del espacio muestral E un valor numérico P(A), verificando los siguientes axiomas:

(1) No negatividad: 0 ≤ P(A)

(2) Normalización: P(E) = 1

(3) Aditividad: P(A B) = P(A) + P(B)

si A ∩ B = Ø (donde Ø es el conjunto vacío).

Kolmogorov, 1933

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Si la probabilidad de que el parking de la escuela tenga 100-209, 210-309, 310-400 y > 400 coches es 0.20, 0.35, 0.25, 0.12 respectivamente. ¿Qué probabilidad hay de que el parking tenga al menos 100 coches, pero menos de 401?

Solución Puesto que los sucesos favorables 100-209, 210-309 y 310-400 son mutuamente excluyentes:

0,20 + 0,35 + 0,25 = 0,80

Veamos un ejemplo de aplicación del axioma (3) Aditividad: P(A B) = P(A) + P(B) si A B = Ø (donde Ø es el conjunto vacío).

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¿Sabiendo la probabilidad P(A) de un suceso A, cuál será la de su complementario Ac?

AcA

Teorema de la probabilidad complementariaPara un suceso A y su complementario Ac en el espacio muestral E:

P(Ac) = 1 - P(A)

Demostración: Por definición de complementario E = A Ac y A Ac = Ø. A partir de los axiomas 2 y 3

1 = P(E) = P(A Ac)= P(A) + P(Ac) de modo que P(Ac) = 1 - P(A)

1)( EP

)(1)( APAP c

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El suceso Ac (ninguna cara) tiene solo una posibilidad. Entonces P(Ac) = 1/32 y la respuesta es:

P(A) = 1 - P(Ac) = 31/32.

Lanzamiento de monedasCinco monedas se lanzan simultáneamente. Encuentra la probabilidad del suceso A: Al menos sale una cara. Asumimos que las monedas no está cargadas.

Solución: Puesto que cada moneda puede aparecer como cara o cruz, el espacio muestral consiste en 25 = 32 posibilidades. Como las monedas no están cargadas cada posibilidad tiene la misma probabilidad de 1/32.

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Solución más elegante: La probabilidad de que una moneda salga cara es 1/2 y de que salga cruz 1/2. Puesto que cada lanzamiento es independiente, la probabilidad de que salgan 5 cruces (ninguna cara) será:

32

31)(1)(

32

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1)(

5

c

c

APAP

AP

Probabilidad de que salga cruz

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Spotck, la gata de Data en Start Treck, ha tenido un camada de 4 cachorros. El capitán Piccard le pregunta cuántos son macho y cuántos hembra. Data le responde que, basándose en el cálculo de probabilidades, lo más probable es que sean dos gatitos y dos gatitas. Piccard llama inmediatamente a seguridad para que detengan a Data. ¿Qué ocurre?

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Si un gato puede ser macho o hembra y hay cuatro gatos, tenemos 24 = 16 posibilidades:

HHHH MMMM•Probabilidad de que todos sean del mismo sexo = 2/16 = 1/8

HHHM HHMH HMHH MHHHMMMH MMHM MHMM HMMM•Probabilidad descomposición (3-1) = 8/16 = 1/2

HHMM HMHM HMMH MHHM MHMH MMHH•Descomposición (2-2) = 6/16 = 3/8

Hemos contado los 16 casos posibles y 1/8 + 1/2 + 3/8 = 1.

A casi todo el mundo le sorprende que en familias de cuatro hijos haya tres del mismo sexo.

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Regla de la suma:Dados dos sucesos A y B en el espacio muestral:

P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

Demostración: En la imagen podemos ver que A = C D y B = D E. Así que C, D, E son disjuntos. Por el axioma 3P(A) = P(C) + P(D) y P(B) = P(D) + P(E)

CC

EEDD

AA

BB

Sumando:P(A) + P(B) = P(C) + P(D) + P(D) + P(E)Restando P(D) a ambos lados:P(A) + P(B) - P(D) = P(C) + P(D) + P(E), es decir:P(A) + P(B) - P(A B) = P(A B)

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EJEMPLO

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EJEMPLO