combinatoria 231
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Permutaciones
Para su cálculo se usará la formula:
P = n!n
Donde n! = n (n - 1)(n - 2) ..... 1⋅ ⋅ ⋅
Ejemplo de aplicación:
Se desea ordenar 4 libros en un estante ¿ De cuántas formas se puede hacer ?
En este caso n = 4
= 4!4
= 4 3 2 1 24
P
⋅ ⋅ ⋅
=
Esto quiere decir que los 4 libros, se pueden ordenar de 24 formas distintas.
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Variaciones
Para su cálculo se usará la formula:
nr
n!V
(n - r)! =
Donde
n = Número total de objetos.
r = Números de objetos con la cualidad deseada.
Ejemplo de aplicación:Ejemplo de aplicación:Ejemplo de aplicación:Ejemplo de aplicación:
¿ Cuántas palabras de 4 letras se pueden formar con las letras de “colegio” , tengan o no sentido ? .
74
En este caso n = 7 y r = 4
7!V
(7 - 4)!
7!
3!
=
=
= 7 6 5 4
= 840
⋅ ⋅ ⋅
Esto quiere decir que se pueden formar 840 palabras.
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Combinaciones
Para su cálculo se usará la formula:
nr
n!C
(n - r)! r! =
Donde
n = Número total de objetos.
r = Números de objetos con la cualidad deseada.
⋅
Ejemplo de aplicación:Ejemplo de aplicación:Ejemplo de aplicación:Ejemplo de aplicación:
Cuantos grupos de 6 alumnos pueden formarse con los diez alumnos de un curso. (Un grupo es distinto de otro si se diferencia de otro por lo menos en un alumno).
.
106
En este caso n = 10 y r = 6
10!C
(10 - 6)! 6!
10!
4! 6!
10 9 8 7 6!
4! 6!
10 9 8 7
4!
=
=
=
=
= 210
⋅
⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅
⋅ ⋅ ⋅
Esto quiere decir que se pueden formar 210 grupo distintos de 6 alumnos.
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Ejercicios:Ejercicios:Ejercicios:Ejercicios:
1) ¿De cuántas formas se pueden repartir cinco juguetes diferentes entre cinco niños si cada niño debe recibir un juguete?
2) Con las letras de la palabra PISTOLA ¿cuántas ordenaciones distintas se puede hacer?
3) ¿Cuántas palabras de 7 letras distintas se pueden formar con la condición de empezar por la letra 'f'?
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4) ¿Cuántas banderas tricolores se pueden confeccionar con tres franjas de tela, una de color verde, otra blanca y otra amarilla?
5) ¿De cuántas formas pueden quedar clasificados cuatro equipos de fútbol que participan en un torneo?
6) En una carrera intervienen seis corredores. ¿De cuántas maneras pueden quedar clasificados?
7) ¿Cuántos números de cinco cifras pueden formarse con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5, usando cada cifra una sola vez?
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8)Diez amigos van al cine. ¿De cuántas maneras pueden sentarse en las diez butacas que tiene una fila?
9) En una estantería se van a colocar cinco libros de color naranja, tres de color azul y cuatro verdes. ¿De cuántas maneras pueden colocarse, si los libros del mismo color son iguales y deben ponerse juntos?
10) Seis compañeros salen en bici y van por la carretera en fila india. ¿De cuántas formas pueden ir ordenados en la fila?
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1) A un grupo de cuatro personas les han regalado dos entradas, una mejor y otra peor, para ir al teatro. ¿De cuántas formas se las pueden repartir?
2) En un torneo de fútbol participan seis equipos y sólo obtienen trofeos los tres primeros clasificados ¿De cuántas maneras pueden repartirse los trofeos? Ten en cuenta que los tres trofeos son distintos.
3) ¿Cuántas banderas tricolores se pueden confeccionar con siete colores?
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4) En un concurso de televisión hay ocho participantes y cada uno de ellos puede obtener uno sólo de los tres premios que se dan: un coche, una motocicleta y una bicicleta. ¿De cuántas formas pueden distribuirse los tres premios?
5) ¿Cuántas "palabras" de cinco letras distintas, tengan o no significado, se pueden formar con las letras {a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k} ?
6) ¿Cuántos números de cuatro cifras distintas se pueden formar con las cifras del 1 al 9?
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7) Una urna contiene siete bolas de diferentes colores. Extraemos tres bolas sin reemplazo. ¿Cuántos resultados distintos podemos obtener, teniendo en cuenta el orden en que sacamos las bolas?
8) De una baraja española de 40 cartas se extrae una carta , se anota el resultado y se guarda la carta sin devolverla a la baraja; después se extrae otra carta y se hace lo mismo. Así hasta extraer cuatro cartas. ¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener, teniendo en cuenta el orden en que sacamos las cartas?
9) En un grupo de 28 alumnos se va a elegir un delegado y un subdelegado. ¿Cuántas elecciones distintas puede haber?
10) Con las letras de la palabra CONTABLE, ¿cuántas "palabras" (con o sin sentido) de cinco letras se pueden formar, si en una misma palabra se puede utilizar cada letra una sola vez?