COMBINACIÓN LINEAL

Sea B= {u1 , u2 ,u3 ,…,un }, un conjunto de vectores de un e.v. V, un vector u de V es una combinación lineal de los vectores de B, sí se puede escribir lo siguiente:

u=α1u1+α 2u2+α 3u3+…+α nun

Ejemplo1:

¿T={2 ,−1 } Es combinación lineal de u={3 ,3 }?

(3 ,3 )=α (2 ,−1 )

S .E {2α=3−α=3

( 2−1|33) f 1↔f 1+ f 2( 1−1|93) f 2↔f 2+f 1(10| 912)∴ ∃ solucion∴no esCL

Ejemplo2:

¿s= {(1 ,0 ,−2 ) ; (3 ,0 ,5 ) } Es combinación lineal de u={0 ,3 ,−1 }?

(0 ,3 ,−1 )=α (1 ,0 ,−2 )+β (3 ,0 ,5 )

S .E { α+3 β=00α+0 β=3

−2α+5 β=−1

( 1 30 0

−2 5|03

−1)∴ ∃ solucion∴no esCL

Ejemplo3:

¿s= {1+x2; x+x2;1+x } Es combinación lineal de u={2+4 x−4 x2 }?

2+4 x−4 x2=α (1+x2 )+β (x+x2 )+γ (1+ x )

S .E { α+0 β+γ=20α+1β+γ=41α+1β+0 γ=−4

(1 0 10 1 11 1 0|

24

−4) f 3←f 3−f 1(1 0 10 1 10 1 −1|

24

−6) f 3←f 3−f 2(1 0 10 1 10 0 −2|

24

−10) f 3←(−12 ) f 3(1 0 10 1 10 0 1|

245) f 1←f 1−f 3f 2←f 2−f 3

(1 0 00 1 00 0 1|

−3−15 )

∴α=−3β=−1γ=5 }∃CL

CAPSULA LINEAL (⟨S ⟩)

Gráficamente se lo representa así:

Sea S= {u1 ,u2 , u3 ,…,un }, un conjunto de vectores de un e.v. V. El conjunto S genera a V, o V es generado por S, si todo vector u es de V una combinación lineal de los vectores de S, es decir:

⟨S ⟩= {v∈V /v=α s1+ βs2+γ s3+…+δ sn }

PASOS PARA OBTENER UNA CAPSULA LINEAL ALGÚN CONJUNTO S

Ejemplo:Encontrar la capsula de S= {(1 ,−1 ,0 ); (−2,3 ,−1 ); (2 ,1,−3 ) }

1. Escribimos la definición:

⟨S ⟩= {v∈V /v=α s1+ βs2+γ s3+…+δ sn }

2. Escribimos la formula genéricamente

⟨S ⟩= {( x , y , z ) /( x , y , z )=α (1 ,−1 ,0 )+β (−2 ,3 ,−1 )+γ (2 ,1 ,−3 ) }3. Obtenemos un sistema de ecuaciones

( x , y , z )=α (1 ,−1,0 )+β (−2 ,3 ,−1 )+γ (2,1 ,−3 )

S .E .{α−2 β+2 γ=x−α+3 β+γ= y−β−3 γ=z

4. Expresamos matricialmente la expresión anterior

( 1 −2 2−1 3 10 −1 −3|

xyz )

5. Aplicamos Gauss-Jordán para encontrar la restricción en este caso

( 1 −2 2−1 3 10 −1 −3|

xyz ) f 2←f 2+ f 1(

1 −2 20 1 30 −1 −3|

xx+ yz ) f 1←f 1+2 f 2

f 3←f 3+f 2

(1 0 80 1 30 0 0|

3 x+2 yx+ yz+x+ y )

6. Como tenemos que no existe solución obtenemos la siguiente capsula

⟨S ⟩= {v∈R3 /x+ y+z=0 }

⟨S ⟩= {( x , y , z ) /x+ y+z=0 }