colegio internacional sek prof. Álvaro elizondo montoya
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COLEGIO INTERNACIONAL SEK
Prof. Álvaro Elizondo Montoya.TEMA: FACTORIZACIÓN.
Nombre: ___________________Fecha:_______Grupo: 9−
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
DESCOMPOSICIÓN DE UN POLINOMIO EN FACTORES
Para resolver muchos problemas algebraicos en muchas ocasiones es necesario expresar un po-
linomio como el producto de dos o más polinomios. No obstante, no todo polinomio permite
realizar la descomposición en factores sobre el campo de los números reales, por ejemplo los
polinomios x2+1 ;x2+x+1 no pueden ser descompuestos en factores; tales polinomios reciben
el nombre de irreducibles o no reducibles. Se considera que la descomposición de polinomios
está terminada si los polinomios obtenidos son irreducibles.
Durante la descomposición de polinomios en factores se hace uso de diversos procedimientos
tales como:
1. Factor común monomio.
2. Factor común polinomio.
3. Agrupación o agrupamiento.
4. Diferencia de cuadrados.
5. Trinomio cuadrado perfecto.
6. Inspección o tanteo.
Analizaremos detenidamente cada uno de estos métodos:
Método Factor Común Monomio: El método del factor común monomio, consiste en
extraer de cada uno de los coe�cientes del polinomio a factorar el máximo común divisor, y de
los factores literales de los términos del polinomio aquellas variables que se encuentren en cada
uno de los términos, para esto se consideran las variables de menor exponente.
Método Factor Común Polinomio: El método del factor común polinomio, consiste en
extraer de cada uno de los coe�cientes del polinomio a factorar el máximo común divisor, y de
los factores literales de los términos del polinomio aquellas expresiones algebraicas (binomios,
trinomios, etc...) que se encuentren en cada uno de los términos, para esto se consideran las
expresiones de menor exponente.
1
En este método resulta conveniente recordar que:
1. a+ b = b+ a
2. a− b = −(b− a)
3. (a− b)n = (b− a)n si nes par
4. (a− b)n = −(b− a)n si nes impar
5. (−a− b)n = (a+ b)n si nes par
6. (−a− b)n = −(a+ b)n si nes impar
EJEMPLOS: Factorice completamente los siguientes polinomios:
1. 12a3b4 − 20a2b3 − 16a5b4
a) Primero determinemos el máximo común divisor de los coe�cientes: 12, 20 y 16.
12 20 16 2
6 10 8 2
3 5 4
De lo anterior m.c.d.(12, 20, 16) = 2 · 2 = 4. Este será el coe�ciente de nuestro factor
común.
b) Veamos ahora cuáles son las variables que se hallan repetidas en cada uno de los
términos del polinomio, es fácil ver que la variable �a� se halla en cada uno de los
términos y la variable �b� también se halla en cada uno de los términos, de éstas
variables se seleccionan las de menor exponente, es decir: a2 y b3.
Así el factor común (F.C.) corresponde a: 4a2b3.
c) Una vez listo esto, se procede a obtener la factorización por medio de divisiones de
monomios, además se ordena el polinomio en forma descendente y se deja de tal forma
que el coe�ciente principal no sea negativo, así:
12a3b4 − 20a2b3 − 16a5b4 = 4a2b3 ·(12a3b4
4a2b3− 20a2b3
4a2b3− 16a5b4
4a2b3
)Divisiones indicadas.
= 4a2b3 · (3ab− 5− 4a3b) Cocientes obtenidos
= 4a2b3 · (−4a3b+ 3ab− 5) Ordeno descendentemente
= −4a2b3 · (4a3b− 3ab+ 5) Cambio de signos
R/ La factorización completa corresponde a: −4a2b3 · (4a3b− 3ab+ 5)
2
2. 8a2n − 32a3n+1 + 12an+2b2 con n > 2
a) Primero determinemos el máximo común divisor de los coe�cientes: 8, 32 y 12.
8 32 12 2
4 16 6 2
2 8 3
De lo anterior m.c.d.(8, 32, 12) = 2 · 2 = 4. Este será el coe�ciente de nuestro factor
común.
b) Veamos ahora cuáles son las variables que se hallan repetidas en cada uno de los
términos del polinomio, es fácil ver que la variable �a� se halla en cada uno de los
términos, se selecciona la �a� de menor exponente, es decir: an+2
Así el factor común (F.C.) corresponde a: 4an+2.
c) Una vez listo esto, se procede a obtener la factorización por medio de divisiones de
monomios, además se ordena el polinomio en forma descendente y se deja de tal forma
que el coe�ciente principal no sea negativo, así:
8a2n − 32a3n+1 + 12an+2b2 = 4an+2 ·(
8a2n
4an+2− 32a3n+1
4an+2+
12an+2b2
4an+2
)Divisiones indicadas.
= 4an+2 · (2an−2 − 8a2n−1 + 3b2) Cocientes obtenidos
= 4an+2 · (−8a2n−1 + 2an−2 + 3b2) Ordeno descendentemente
= −4an+2 · (8a2n−1 − 2an−2 − 3b2) Cambio de signos
R/ La factorización completa corresponde a: −4an+2 · (8a2n−1 − 2an−2 − 3b2)
3.21x3y4
5− 28x2y3
15+
14x4y2
45
a) Primero determinemos el mínimo común múltiplo de los denominadores, esto con el
objetivo de realizar la suma de las fracciones algebraicas:
5 15 45 3
5 5 15 3
5 5 5 5
1 1 1
De lo anterior m.c.m.(5, 15, 45) = 3 ·3 ·5 = 45. Este valor se toma como denominador
común.
3
b) Realicemos la suma:
189x3y4 − 84x2y3 + 14x4y2
45
c) Determinemos el máximo común divisor de los coe�cientes del polinomio numerador,
es decir de los coe�cientes: 189, 84 y 14.
189 84 14 7
27 12 2
De lo anterior m.c.d.(189, 84, 14) = 7. Este será el coe�ciente de nuestro factor común.
d) Veamos ahora cuáles son las variables que se hallan repetidas en cada uno de los
términos del polinomio numerador, es fácil ver que la variable �x� se halla en cada uno
de los términos, al igual que la variable �y�, se selecciona la �x� de menor exponente,
es decir: x2, y la variable �y� de menor exponente que es �y2�.
Así el factor común (F.C.) corresponde a:7x2y2
45.
e) Una vez listo esto, se procede a obtener la factorización por medio de divisiones de
monomios, además se ordena el polinomio en forma descendente y se deja de tal forma
que el coe�ciente principal no sea negativo, así:
189x3y4 − 84x2y3 + 14x4y2
45=
7x2y2
45·(189x3y4
7x2y2− 84x2y3
7x2y2+
14x4y2
7x2y2
)Divisiones indicadas.
=7x2y2
45· (27xy2 − 12y + 2x2) Cocientes obtenidos
=7x2y2
45· (2x2 + 27xy2 − 12y) Ordeno descendentemente
R/ La factorización completa corresponde a:7x2y2
45· (2x2 + 27xy2 − 12y)
4. −2y(x− 2y)2 + 2y − x
−2y(x− 2y)2 + 2y − x = −2y(x− 2y)2 − (x− 2y) Reacomodo.
= −2yw2 − w Sea w = x− 2y
= w(−2yw − 1) Factor común
= −w(2yw + 1) Extraigo el signo
= −(x− 2y)(2y(x− 2y) + 1) Cambio w por x− 2y
= −(x− 2y)(2xy − 4y2 + 1) Propiedad distributiva
R/ La factorización completa corresponde a: −(x− 2y)(2xy − 4y2 + 1)
4
EJERCICIOS (A): Instrucciones: Realice la factorizacion completa de los siguientes po-
linomios aplicando el método del factor común monomio o polinomio
1. x2 − 2x
2. rs+ 4st
3. x2y2 − xy3
4. 4m2 − 2mn
5. 32z4 − 16z3 + 4z
6. 3x4y5 − 12xy3 + 6x5y8
7. 5p2q − 10pq2 + 5p2q2
8. 4a6b2c4 + 8a5b3c4 + 12a6b4c3
9. 7m2n3 + 14m3n2 − 21m3n4
10. a4bx2 + 2a3b3x3 − a2b4x3
11. −6x8y12 + 48x5y2 − 12x3y4 + 108x9y12
12. 9a4 − 6a2x+ 3a3x2
13. 14ab2c+ 7a5bc4 − 49ab4c3
14. 15x4 − 18x3y3
5− 6x2
15. 6x3y3 − 20x4y4 + 14x2y6
3
16. 2x2 + 4xy + 6xz
17. x3 − 3x2 − x
18. 24x2 − 16x4 + 40x3
19. a2b− 2a3bx− 3a4b2x2
20. −8a4b3 + 8a5b3 + 32a3b3
5
21. 32z4 − 16z3 + 4z
22. 36by5 − 56b2y3z
23. 3x4y5 − 12xy3 + 6x5y8
24. 6x2y + 3xy − 9xy2
25. 2x3 − 4x2 + 4x
26. 10x5 − 10x3 − 4x6 +2x7
5
27. −18x5 +3x4y − 3x2
2
28.2x4y
3− 5x3y3
4+
5x2y
3
29. 7m2n3 + 14m3n2 − 21m3n4
30.4a5b
3− 16a5b3
6− 2a4b4
31. a2 − a4 + a6 − a8
32.40x4y5
3− (8x5y6 + 6x2y5)
33. 9a4b2 + 27a3b4 − 15a2b3 − 45ab5
34.10a5b3
3− (20a6b6 + 25a3b2)
35. 18x4y − 9x3y4 + 21x7y3
2
36. −10a6b3 + 25a5b3
6+
25a3b2
3
37. 7a7b4 + 4a2b2 − 20a6b5 − 4ab4
38.72a5b5
5+ 12a4b9 − 6a6b8
39. 3xn+1 − 12xn + 15xn+2
40. bn+1xn−1 − bnxn+1
41. 22n+1 − 10 · 2n + 2 · 6n
42. 6n+1 − 15n−1
43.5a3b3m
3− 5a3b5
4− 25a3b3n
12
44.10a4b3c
9− 45a3b4
21+
55a7b6d
12
45.9x5y12
9− 3x15y4
16− 21x6y7
14
5
46.9x3y7z2
20− 27x2y5z
16+
21x3y8z5
12
47. (1− a)2 − a− 1
48. (a+ b)x+ (a+ b)y + (a+ b)z
49. (x+ y)a+ (x+ y)b+ (x+ y)c
50. (a+ b)x+ (a+ b)y
51. (m− 2n)2 −m2 + 2mn
52. 2p(a− b)− ax+ bx
53. x(a− b)− y(b− a) + z(b− a)2
54. a4b8(x−9)3−12a2b3(9−x)8−16a5b6(9−x)5
55. xyz5(x−7)2−3xy2z(x2−49)+15x3y4z8(x2−14x+49)
56. −4x2(2x− y)3 + 12x3(y − 2x)4 + 20x6y2(2x− y)2
57.−12y4(x− 2)3
11− 48y3z(2− x)5
33+
6x3y5(2− x)8
121
58.3x10y2(x− y)3
4− 9x5y2(y − x)5
40− 21xy9(x2 − 2xy + y2)
20
59.−12x5(x− y)4
25− 16x3(y − x)3
15+
48x5y3(x− y)6
35
Método Factorización por agrupación o agrupamiento:
Este método es aplicable usualmente a un polinomio con un número par de términos, tales como
4,6 ú 8, cuando sean 4 términos la agrupación solo es posible realizarla haciendo grupos de dos
y dos (2−2) o bien de tres y uno (3−1), si el agrupamiento se realiza del tipo (2−2), entonces
se realiza el método de factor común tres veces, si es del tipo (3−1) se requiere la aplicación de
los métodos trinomio cuadrado perfecto y diferencia de cuadrados que veremos posteriormente.
EJEMPLOS: Factorice completamente los siguientes polinomios:
1. 4x5y + 2x4y3 − 4x3y − 2x2y3
a) Lo primero que debemos hacer es aplicar el método del factor común estudiado ante-
riormente. Aplicando factor común monomio obtenemos que
4x5y + 2x4y3 − 4x3y − 2x2y3 = 2x2y(2x3 + x2y2 − 2x− y2)
b) Una vez hecho esto, observamos que en el segundo factor nos ha quedado un polinomio
de 4 términos, por lo cuál procederemos con el método del agrupamiento, agruparemos
los dos primeros términos del polinomio y los dos segundos términos, formando así
dos grupos:
2x2y(2x3 + x2y2︸ ︷︷ ︸primer grupo
+ −2x− y2︸ ︷︷ ︸segundo grupo
)
Con un poco de experiencia, nos percatamos que esta agrupación funciona, o bien
podríamos seleccionar una diferente, así:
2x2y(2x3 +−2x︸ ︷︷ ︸primer grupo
+ x2y2 − y2︸ ︷︷ ︸segundo grupo
)
6
Tanto del primer grupo como del segundo aplicamos el método del factor común, así:
4x5y + 2x4y3 − 4x3y − 2x2y3 = 2x2y(2x3 − 2x+ x2y2 − y2) Factor común.
= 2x2y(2x(x2 − 1) + y2(x2 − 1)) Factor común en los grupos
= 2x2y(2xw + y2w) Sea w = x2 − 1
= 2x2y · w · (2x+ y2) Factor común.
= 2x2y · (x2 − 1) · (2x+ y2) Cambio w por x2 − 1
= 2x2y · (x− 1) · (x+ 1) · (2x+ y2) Uso: x2 − 1 = (x− 1)(x+ 1)
R/ La factorización completa corresponde a 2x2y · (x− 1) · (x+ 1) · (2x+ y2).
Nota: Hago uso de que x2 − 1 = (x− 1)(x + 1), aprovechando el conocimiento de la
III fórmula notable vista el anõ anterior.
2. A = 8x6y − 24x5y2 + 12x3y − 36x2y2 − 10x2y + 30xy2
a) En este caso el polinomio tiene 6 términos, luego resulta factible hacer una agrupación:(2−
2− 2) ó (3− 3). Pero antes, como siempre debe aplicarse el método del factor común,
así tenemos que:
A = 2xy(4x5 − 12x4y + 6x2 − 18xy − 5x+ 15y) Factor común.
= 2xy(4x5 − 12x4y︸ ︷︷ ︸primer grupo
+6x2 − 18xy︸ ︷︷ ︸segundo grupo
+−5x+ 15y︸ ︷︷ ︸tercer grupo
) Agrupo convenientemente.
= 2xy(4x4(x− 3y) + 6x(x− 3y) + 5(−x+ 3y)) Factor común en cada grupo.
= 2xy(4x4(x− 3y) + 6x(x− 3y)− 5(x− 3y)) Cambio signos.
= 2xy(4x4w + 6xw − 5w) Sea w = x− 3y.
= 2xyw(4x4 + 6x− 5) Factor común.
= 2xy · (x− 3y) · (4x4 + 6x− 5) Cambio w por x− 3y.
R/ La factorización completa corresponde a 2xy · (x− 3y) · (4x4 + 6x− 5).
Nota: En caso de que el polinomio tenga denominadores diferentes de 1, primero se
procede con la suma o resta de las fracciones algabraicas y posteriormente el método
del factor común, una vez hecho esto si en el numerador se tiene un polinomio de 4,
6 ú 8 términos se intenta el método del agrupamiento.
7
EJERCICIOS (B): Instrucciones: Factorice aplicando el método de agrupación
o agrupamiento
1. 7x− 7y + ax− ay
2. 5a2 − 15ab− 6ac+ 18bc
3. y2 − cy + dy − cd
4. ax+ 2bx− 3ay − 6by
5. mn− 3my + 2nx− 6xy
6. 3ab+ 3ax− 2b− 2x
7. ac+ 2bc− ad− 2bd
8. 3a2 − 7b2 − 9a3 + 21ab2
9. 2ax− 3by − 6ay + bx
10. 3x3 + 2x2 − 12x− 8
11. 2xy − yz + 6x2 − 3xz
12. x3 + 2x2 + 4x+ 8
13. a3 − a2b+ ab2 − b3
14. 2a2b− 3ab2 + 4am− 6bm
15. 16amx− y + 2x− 8amy
16.am
3− 5bm− ac
3+ 5bc
17. x2y2 + ay2 + ab+ bx2
18. 12ax− 9ay + 15by − 20bx
19. 10xy2 + 8my − 4mx− 5x2y
20. a− ab+ b2 − 1
Ayuda: b2 − 1 = (b+ 1)(b− 1)
21. ax+ ay + a− x− y − 1
22. abx2 + ab2c− x2cy − bc2y
23. ab− 3bm− 2am+ 6m2
24. 2x4 + 3x3 − 6x2 − 9x
25. (x− y)2 − 3x+ 3y
26. x2y + y − xy2 − x
27. mpx− 3mxk − py + 3ky
28. 3mx2 − 3mwx− 2xy + 2wy
29. a2 − 3ap
2− 2ak
3+ pk
30. 4ac+ 2bc− 2ad− bd
31. 18ck + 4dk + 9cj + 2dj
32. a3 − a2b+ ab2 − b3
33. 12x2z + 8y2z − 15x2w − 10y2w
34. x3 − 3x2 + x− 3
35. 1 + 20x4 − 4x3 − 5x
36. 2x2 − 5xy + 4ax− 10ay
37. 1 + a− a3mn− a2mn
38. x3 + 3x2 + 4x+ 12
39. a2x− a2y − b2y + b2x
40. 3a2 − 7b2 − 9a3 + 21ab2
41. x2n + xn+3 − xn+1 − x4; (n ≥ 3)
42. a2 − ab+ ac− a+ b− c
43. ax− bx+ cx+ ay2 − by2 + cy2
44. ax+ bx+ ay + by + az + bz
45. 3x− 2ab+ nx− 2bx+ an+ 3a
46. 2ax+ 2bx− ay + 5a− by + 5b
47. 3am+ 2bm−m2 − 6an− 4bn+ 2mn
48. a2 + bm− ab− ap− am+mp
8
Método Factorización por diferencia de cuadrados:
Este método lo aplicamos cuando se tengan dos expresiones algebraicas que sean cuadrados
perfectos y que se hallen separadas por un signo �-�.
Para su aplicación se recurre a la fórmula de producto abreviado conocida como III fórmula
notable.
A2 −B2 = (A+B) · (A−B)
EJEMPLOS: Factorice completamente los siguientes polinomios:
1. −9xy4 + 144x3
a) Apliquemos primero el método del factor común:
−9xy4 + 144x3 = 9x(−y4 + 16x2) Factor común
= −9x(y4 − 16x2) Ordeno los términos
b) Una vez aplicado el método del factor común, nos ha quedado un binomio en el cuál se
observa que ambas expresiones son cuadrados perfectos y se hallan separadas por un
signo �−�, calculamos la raíz cuadrada de los términos separados por el signo menos
y estos resultados se escriben en factores separados en una oportunidad por un signo
�−`� y el otro por un signo �+�.
−9x(y4 − 16x2) = −9x(y2 + 4x)(y2 − 4x)
↓√
↓√
y2 4x
R/ La factorización completa corresponde a: −9x(y2 + 4x)(y2 − 4x).
Nota: No aplicamos de nuevo el método de diferencia de cuadrados en el factor y2 − 4x
pues a pesar de ser dos expresiones separadas por un signo menos, la expresión 4x no es
un cuadrado perfecto (no tiene raíz cuadrada exacta).
9
2. 4x2(1− 4x2)2 − 9(4x2 − 1)2
a) Empecemos aplicando la igualdad (a− b)n = (b− a)n si n es par, así:
4x2(1− 4x2)2 − 9(4x2 − 1)2 = 4x2(4x2 − 1)2 − 9(4x2 − 1)2 Reordeno
= 4x2w2 − 9w2 Sea w = 4x2 − 1
= w2 · (4x2 − 9) Factor común
= (4x2 − 1)2 · (4x2 − 9) Cambio w por 4x2 − 1
= ((2x+ 1)(2x− 1))2 · (2x+ 3)(2x− 3) Diferencia de cuadrados
= (2x+ 1)2(2x− 1)2(2x+ 3)(2x− 3) Simpli�co
R/ La factorización completa corresponde a: (2x+ 3)(2x− 3)(2x+ 1)2(2x− 1)2.
b) A = (x4 − 3x2 + 3)2 − (2x4 − 7x2 + 3)2
A = (x4 − 3x2 + 3 + 2x4 − 7x2 + 3)(x4 − 3x2 + 3− 2x4 + 7x2 − 3)) Diferencia de cuadrados
= (3x4 − 10x2 + 6)(−x4 + 4x2) Reduzco términos semejantes
= −(3x4 − 10x2 + 6)(x4 − 4x2) Simpli�co
= −(3x4 − 10x2 + 6) · x2(x2 − 4) Factor común en el segundo factor
= −x2(3x4 − 10x2 + 6)(x2 − 4) Reordeno
= −x2(3x4 − 10x2 + 6)(x+ 2)(x− 2) Diferencia de cuadrados.
R/ La factorización completa corresponde a: −x2(x+ 2)(x− 2)(3x4 − 10x2 + 6).
EJERCICIOS (C): Instrucciones: Factorice aplicando el método de diferencia de
cuadrados o III fórmula notable
1. 4a2 − 9c2
2. 81m4 − 16n2
3. 1− 361x4y6
4. 121m6 − 900n12
5. 3a5 − 12a3b4
6. 64m8 − 16n4p6
7. 2z4 − 32z2
8. 75p2 − 48m4
9. 25r4s2 − 49r2p4
10.3a2b
25− 3bc4
11.a4
4− 16m2
12.n2
4−(m√2)2
13. x2 − 0, 25
14. a2 − 0, 0001b2
10
15. 25a2 − 0, 4
16. 0, 25x4y8 − 0, 36x2y6
17. x4 − b4
18. a8 − 256
19. x12 − 81
20. t4 − 16
21. 1− x8
22. (2x− y)2 − z2
23. (2x2 + y2)2 − 16x4
24. (2x+ y)2 − 4x2
25. (x+ y)4 − 1
26.9(x− y)4
25− 1
27. x2y2 − (a− z)2
28. 16a2b2 − 25(c− ab)2
29. 1− (1− x)2
30. x2 − (y + z)2
31. (x+ y)2 − (a− b)2
32. (x+ 2)2 − (2x− 3)2
33. (a− 2b)2 − (2a+ b)2
34. (2a+ 1)2 − (a+ 2)2
35. (a+ b)2 − (a− b)2
36. (2a− 3b)2 − (2a+ 3b)2
37. (2x− 1)24x2 − (1− 2x)2
38. (x− 2)2 − (a+ x− 3)2
39. (x− y + z)2 − (x+ y − z)2
40. (a2 − a+ 1)2 − (a2 + a+ 1)2
41. (2a+ 2b− c)2 − (a− b+ 3c)2
42. (x2 − 2x+ 1)2 − (x2 + 2x− 3)2
43. (x+ y − z)2 − (−x− y + z)2
44. (3m + 1)2 − (3m − 1)2
45. (2m − 3n)2 − (3m+n − 1)2
46. 4− 3a2
Método Factorización por trinomio cuadrado perfecto:
Este método lo aplicamos cuando se tengan tres expresiones algebraicas claramente distinguibles,
para aplicar este método, debemos ordenar la expresión a factorar de forma descendente, se
calculan las raíces cuadradas de las expresiones de los extremos y se veri�ca que el doble producto
de estas raíces coincida con el término central.
Para su aplicación se recurre a las fórmulas de producto abreviado conocidas como I ó II
fórmula notable.
A2 ± 2AB +B2 = (A±B)2
11
EJEMPLOS: Factorice completamente los siguientes polinomios:
1. 8a7b2 + 18a3b8 − 24a5b5
a) Primero aplicamos el método del factor común monomio, así obtenemos que:
8a7b2 + 18a3b8 − 24a5b5 = 2a3b2(4a4 + 9b6 − 12a2b3)
b) Notamos que el segundo factor corresponde a un trinomio, este factor lo ordenamos
en forma descendente respecto a la variable �a�, por ello escribimos:
8a7b2 + 18a3b8 − 24a5b5 = 2a3b2(4a4 − 12a2b3 + 9b6)
c) A partir de este momento estamos listos para aplicar el método del trinomio cuadrado
perfecto.
2a3b2 (4a4 −12a2b3 +9b6 ) = 2a3b2(2a2 − 3b3
)2↓ √ 2 ↑ ↓ √
2a2 ← × → 3b3
R/ La factorización completa corresponde a: 2a3b2(2a2 − 3b3)2.
Nota: Si en el binomio último que hemos obtenido, tuviese las condiciones para aplicar el
método de la diferencia de cuadrados, entonces deberíamos continuar factorizando.
2. 32x7y2 − 144x5y6 + 162x3y10
32x7y2 − 144x5y6 + 162x3y10 = 2x3y2(16x4 − 72x2y4 + 81y8) Factor común.
= 2x3y2(4x2 − 9y4)2 Trinomio cuadrado perfecto
= 2x3y2(2x+ 3y2)2(2x− 3y2)2 Diferencia de cuadrados
R/ La factorización completa corresponde a: 2x3y2(2x+ 3y2)2(2x− 3y2)2.
Nota: Obsérvese como hemos aplicado los métodos de factorización en este orden:
a) Primero factor común.
b) Luego como nos han quedado tres términos (trinomio ordenado), hemos aplicado el
método del trinomio cuadrado perfecto. Siempre es importante en este método no
olvidar la veri�cación de la condición del doble producto.
c) Finalmente nos ha quedado un binomio cuyos términos corresponden a la diferencia
de dos cuadrados perfectos, es así que hemos aplicado el método de la diferencia de
cuadrados.
12
EJERCICIOS (D): Instrucciones: factorice aplicando el método del trinomio cua-
drado perfecto
1. a2 + 2ab+ b2
2. x2 − 10xz + 25z2
3. 1− 12m+ 36m2
4. 25− 10t+ t2
5. 4a2 − 36a2b2 + 81b4
6. 81a2 − 90ab+ 25b2
7. x2 − 14x+ 49
8. 4a2 − 12ac+ 9c2
9. x2y2 − 4xyz + 4z2
10. 121a2 + 16x2 + 88ax
11. 28abc+ 4a2 + 49b2c2
12. 3a(3a+ 2b) + b2
13. 16y2 + x2 + 8xy
14. a4b6 − 2a2b3c+ c2
15. −72 + 24n− 2n2
16. 12x2 + 27y2 − 36xy
17.1
4+ x2 + x
18. a2 − 0, 5a+ 0, 0625
19. 0, 01− 0, 2x2 + x4
20. 4x2n + 4xn + 1
21. y2n + 9 + 6yn
22. (a+ b)2 + 2(a+ b)(c+ d) + (c+ d)2
23. 16 + (z − x)2 − 8(x− z)
EJERCICIOS (E): Instrucciones: Realice la factorización completa de los siguien-
tes polinomios, use factor común, diferencia de cuadrados y trinomio cuadrado
perfecto
1. −6x2(x+ 3) + 2x(3 + x)2
2. (2xy − 4x)− y + 2
3. 9x4y +3x5y2 + 27x3
2
4. −3x3 + 39x2 − 108x
5. −2(x2 − 4x)2 + 32
6. x2(y − 1)− y + 1
7. 5x2y4 − 180x4y4
8. 18x7y + 288x3y − 144x5y
Ayuda : (ab)n = anbn
9. 3x(x2 + 6x)2 − 243x
10. −6x7y4 +6x5y4
5− 2x3y4
5
11. 5(x2 + x)2 − 20x2
12.−125x3y
12+
5x5y3
3
13. 450x4y − 72x6y3
14.2x6y
3− 25x2y
24
13
15. −54x6y3 +32x2y3
3
16. 5x2(1− x2)− 15xy2(x2 − 1)2
17. 48x6y5 + 3x4y7 − 24x5y6
18. 3x3y4 − 768x11y4
19. 256− x2(x+ 8)2
20. −8x5y6 +4x6y9 + 2x3y5
5
21.2x11y2
27+ 486x3y2 − 12x7y2
22. 256x8(x− 1) + 1− x
23. 9(1− 2x)2 − 4(3x+ 5)2
24. 48x4y + 75x2y7 − 120x3y4
25. x4 + 16− 8x2
26. 5(x2 + 6x)2 − 405
27. 12mn+2 + 12mn+1 + 3mnn2
Ayuda : ax+y = axay
28. 5x3y(2x− y)2 − 10x4y(y − 2x)3
29. 2x2y2(3x− 4y2) +8xy6
3
30. 9x(5x− 2)2 − 4x(1− 5x)2
31.24xy2
5+ 6x3y2(5x2 − 4)
32. 27a2b5 + 12a4b− 36a3b3
33. 243x7 − 54x5 + 3x3
34. m4n3(m+ 4)2 − 16m2n3
35.2x6y
3− 12x4y + 54x2y
36. 3x4y3(x− 4)2 − 48x4y3
37. 9x2(3x− 2)2 − 1
38. (x2 − 2x+ 1)2 − x2 + 2x− 1
39. x4 + 324
Ayuda:x4 + 324 = (x4 + 36x2 + 324)− 36x2
40.81x3y
32− x7y
2
EJERCICIOS (F): Instrucciones: Factorice usando una combinación de méto-
dos:agrupamiento, trinomio cuadrado perfecto y diferencia de cuadrados
1. a2 − 2ab+ b2 − 4x2
2. x2 + 2xy + y2 − a2
3. x2 + y2 − z2 − 2xy
4. 4a2 − 4ab+ b2 − c2
5. 9a2 − 4c2 + 6ab+ b2
6. 4x2 − 12xy − 16a2 + 9y2
7. a2 − b2 − 2bc− c2
8. x2 + 2yz − z2 − y2
9. 100x2 − y2 − 14yz − 49z2
10. 48ax− 36a2 + y2 − 16x2
11. 30ab− 25a2 + 4c2 − 9b2
12. 1− a2 − 4ax− 4x2
13. 25−m2 − n2 + 2mn
14. 6xy − 9x2 − y2 + z2
15. a2 + b2 − 2ab+ 2cd− c2 − d2
16. 4a2 − 4b2 − c2 − 4ac+ 4b− 1
14
17. 9− 6a− b2 + a2 − 10bc− 25c2
18. 25a2 − 16y2 + 9x2 − 30ax− z2 − 8yz
19. 4a2 + 9m2 − 20bc− 12am− 4c2 − 25b2
20. 2a3x3 − x6 − a6 + 2b3y3 + b6 + y6
Método Factorización por inspección:
Este método lo aplicamos cuando se tengan tres expresiones algebraicas claramente distingui-
bles, para aplicar este método, debemos ordenar la expresión a factorar de forma descendente,
tal como se hace en el método del trinomio cuadrado perfecto, se determinan expresiones cuyo
producto resulte igual al de las expresiones de los extremos y se veri�ca que el doble producto
cruzado de estas expresiones coincida con el término central.
EJEMPLOS: Factorice completamente los siguientes polinomios:
1. −18x2yz2 + 57x3y2z − 30x4y3
a) Note como en el polinomio se distinguen tres términos, es decir, corresponde a un
trinomio.
b) Para iniciar la factorización, se recurre como en todos los casos a aplicar el método
de factor común como primer método de factorización, al aplicarlo nos resulta que:
−18x2yz2 + 57x3y2z − 30x4y3 = 3x2y(−6z2 + 19xyz − 10x2y2)
c) En el siguiente paso ordenamos en forma descendente el trinomio del segundo factor
y nos aseguramos que el coe�ciente del primer término de este trinomio sea de signo
positivo.
−18x2yz2 + 57x3y2z − 30x4y3 = 3x2y(−6z2 + 19xyz − 10x2y2) Factor común
= 3x2y(−10x2y2 + 19xyz − 6z2) Reordeno términos
= −3x2y(10x2y2 − 19xyz + 6z2) Cambio signos
d) Hasta este momento no hemos hecho nada que no supieramos, en este momento vamos
a factorizar el trinomio del segundo factor, lo primero que nos percatamos es que los
términos extremos de este trinomio no son cuadrados perfectos, con lo que queda
excluída la posibilidad de que corresponda a un trinomio cuadrado perfecto.
e) Así que intentaremos la factorización aplicando el método de inspección, de esta forma:
15
−3x2y (10x2y2 −19xyz +6z2 ) = −3x2y(5xy − 2z)(2xy − 3z)
5xy −2z
2xy −3z
−15xy
+−4xy
−19xyz
R/ La factorización completa corresponde a: −3x2y (5xy − 2z)(2xy − 3z)︸ ︷︷ ︸Términos escritos “horizontalmente′′.
.
2. 12x5 − 20x3y4
3− 16x4y2
a) En este polinomio se observa al menos un denominador diferente de uno, por ello
iniciamos la solución con la suma de los términos que componen el trinomio.
b)
12x5 − 20x3y4
3− 16x4y2 =
36x5 − 20x3y4 − 48x4y2
3Suma de los términos
=36x5 − 48x4y2 − 20x3y4
3Reordeno
=4x3
3(9x2 − 12xy2 − 5y4) Factor común.
c) Ahora procedemos a factorizar el trinomio que aparece en el segundo factor, nótese
que 9x2 si es un cuadrado perfecto, pero −5y4 así que no es posible aplicar el método
del trinomio cuadrado perfecto, intentemos pues el método de inspección.
4x3
3(9x2 −12xy2 −5y4 ) =
4x3
3(3x+ y2)(3x− 5y2)
3x y2
3x −5y2
−15xy2
+ 3xy2
−12xy2
R/ La factorización completa corresponde a:4x3
3(3x+ y2)(3x− 5y2).
Nota: En este punto no ya es posible continuar la factorización por ninguno de los
métodos vistos.
16
EJERCICIOS (G): Instrucciones: Factorice usando el método de inspección o
tanteo
1. x2 + 8xy − 20y2
2. a2 + 19a+ 60
3. x2 − 3x− 10
4. x2 + 9x+ 20
5. x2 − 5x+ 6
6. x2 − 7x+ 12
7. c2 − 9c+ 8
8. x2 − 5x− 84
9. x2 − 13x+ 42
10. x2 − x− 42
11. x2 − x− 6
12. y2 − 5y
6+
1
6
13. x2 + 4xy − 21y2
14. x2 + 20ax+ 51a2
15. x4 − 11x2 + 24
16. a4 + 14a2b− 120b2
17. a2n + 40an + 144
18. 4x2 − 10x− 14
19. 3x2 − 4x− 15
20. 6x2 − 7x+ 2
21. 8y2 − 37y − 15
22. 5x2 + 11x+ 6
23. 2x2 + 11x+ 15
24. 21x2 + 29x− 10
25. 4x2 − 4x− 15
26. 12m2 − 17m− 14
27. 12x2 − x− 1
28. 8x2 + 21x− 9
29. 2x2 + 9x− 18
30. 50x2 + 45xy − 18y2
31. 2a2 − 13ab+ 6b2
32. 6x2 − 7xy − 3y2
33. 9a2 + 6ab− 8b2
34. 30x2 − 7xy − 15y2
35. 2ab− 24a2 + 15b2
36. 15a2 + 8x2 − 26ax
37. 31xy − 5x2 − 6y2
38. 45x2 + 38xy + 8y2
39. 10x2 − 23xy − 5y2
40. 8x2 + 6xy − 35y2
41. 15x2 + 8xy − 16z2
42. 6x2 + 19xy − 7y2
43. 6x2 − xy − 35y2
EJERCICIOS (H): Instrucciones: Factorice combinando todos los métodos de
factorización estudiados. Ideales para ser seleccionados para la parte del examen
llamada resolución de problemas
1. 12x6 − 3x2
4
2.75x5y2
2+
35x4yz
4− 75x3z2
4
3. 32x3y3 − 192x3y2 − 50xy + 300x
4.8x6y5
9− x4y4z3 +
5x2y3z6
18
5.3x6y3
5− 375x2y3
6. 576x4 + 4y4 − 100x2y2
7. 12x3y2 − 6x2y3 +6xy3 − 12x2y2
5
8.40x7y − 74x5y
3− 12x3y
17
9. −13x2y2 + 9y4 + 4x4
10. 2a2b3 − 21a4b
4− 11a3b2
2
11.8x7y2
5− 8x6y3 + 10x5y4
12. −48x2a2 + 192x2b4 + 27a2 − 108b4
13. 50a6b5 − 4a6b4 +2a6b3
25
14.x3y
2− 3x3
2− 5x2y2
6+
5x2y
2
15. a4 − 2a2b2 + b4
16.4x4 − 16x2z2
3− 4x3y + 3x2y2
17.8x3y2 − 128x5
3+ 6x7 − 8x5y
RESPUESTAS:EJERCICIOS (A): FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS CASO: FACTOR CO-
MÚN
1. x(x− 2)
2. s(r + 4t)
3. xy2(x− y)
4. 2m(2m− n)
5. 4z(8z3 − 4z2 + 1)
6. 3xy3(2x4y5 + x3y2 − 4+)
7. 5pq(pq + p− 2q)
8. 4a5b2c3(3ab2 + ac+ 2bc)
9. −7m2n2(3mn2 − 2m− n)
10. −a2bx2(b3x− 2ab2x− a2)
11. 6x3y2(18x6y10 − x5y10 + 8x2 − 2y2)
12. 3a2(ax2 − 2x+ 3a2)
13. 7abc(a4c3 − 7b3c2 + 2b)
14.3x2
5(25x2 − 6xy3 − 10)
15.−2x2y3
3(10x2y − 9x+ 7y3)
16. 2x(x+ 2y + 3z)
17. x(x2 − 3x+ 1)
18. 8x2(2x2 + 5x+ 3)
19. −a2b(3a2bx2 − 2ax− 1)
20.8a3b3
5(a2 − 5a+ 4)
21. 4z(8z3 − 4z2 + 1)
22. 4by3(9y2 − 14bz)
23. 3xy3(2x4y5 + x3y2 − 4)
24. 3xy(2x− 3y + 1)
25. 2x(x2 − 2x+ 2)
26.2x3
5(x4 − 10x3 + 25x2 − 25)
27.−3x2
2(12x3 − x2y + 1)
28.x2y
12(8x2 − 15xy2 + 20)
29. −7m2n2(3mn2 − 2m− n)
30.−2a4b
3(4ab2 − 2a+ 3b3)
31. −a2(a6 − a4 + a2 − 1)
32.−2x2y5
3(12x3y − 20x2 + 9)
18
33. 3ab2(3a3 + 9a2b2 − 5ab− 15b3)
34.−5a3b2
3(12a3b4 − 2a2b+ 15)
35.−3x3y
2(7x4y − 12x+ 3y3)
36.−5a3b2
6(12a3b− 5a2b− 10)
37. 4ab2(a6b2 + a− 5a5b3 − b2)
38.−6a4b5
5(5a2b3 − 12a− 10b4)
39. 3xn(5x2 + x− 4)
40. −bnxn−1(x2 − b)
41. 2x+1(3x + 2x − 5)
42.3x
15(90 · 2x − 5x)
43.−5a3b3
12(3b2 − 4m+ 5n)
44.5a3b3
252(23a4b3d+ 56ac− 108b)
45.−3x5y4
16(x10 + 8xy3 − 12y8)
46.x2y5z
80(36xy2z − 135 + 140xy3z4)
47. a(a− 1)
48. (a+ b)(x+ y − z)
49. (x+ y)(a+ b+ c)
50. (a+ b)(x+ y)
51. −2n(m− 2n)
52. −(a− b)(x− 2p)
53. (a− b)(x+ y + za− zb)
54. a2b3(x− 9)3(a2b5 − 12(x− 9)5 + 16a3b3(x− 9)2)
55. xyz(x−7)(z4(x−7)−3y(x+7)+15x2y3z7(x−7))
56. −4x2(2x− y)2(2x− y − 3x(2x− y)2 − 5x4y2)
57.−2y3(x− 2)3
121(66y − 88z(x− 2)3 − 3x3y2(x− 2)5)
58.3xy2(x− y)2
40(10x9(x− y) + 3x4(x− y)3 − 14y7)
59.−4x3(x− y)3
525(63x2(x− y)− 140− 180x2y3(x− y)3)
EJERCICIOS (B): AGRUPACION O AGRUPAMIENTO
1. (a+ 7)(x− y)
2. (a− 3b)(5a− 6c)
3. (y + d)(y − c)
4. (a+ 2b)(x− 3y)
5. (2x+m)(n− 3y)
6. (3a− 2)(x+ b)
7. (a+ 2b)(c− d)
8. −(3a− 1)(3a2 − 7b2)
9. (2a+ b)(x− 3y)
10. (x− 2)(x+ 2)(3x+ 2)
11. (2x− z)(3x+ y)
12. (x+ 2)(x2 + 4)
13. (a− b)(a2 + b2)
14. (2a− 3b)(ab+ 2m)
15. (8am+ 1)(2x− y)
16.1
3(a− 15b)(m− c)
17. (x2 + a)(y2 + b)
18. (3a− 5b)(4x− 3y)
19. (2y − x)(5xy + 4m)
20. −(b− 1)(a− b− 1)
21. (a− 1)(x+ y + 1)
22. −(x2 + bc)(cy − ab)
23. (a− 3m)(b− 2m)
24. x(2x+ 3)(x2 − 3)
19
25. (x− y)(x− y − 3)
26. (x− y)(xy − 1)
27. (p− 3k)(mx− y)
28. (x− w)(3mx− 2y)
29.1
6(2a− 3p)(3a− 2k)
30. (2a+ b)(2c− d)
31. (9c+ 2d)(j + 2k)
32. (a− b)(a2 + b2)
33. (4z − 5w)(3x2 + 2y2)
34. (x− 3)(x2 + 1)
35. (5x− 1)(4x3 − 1)
36. (x+ 2a)(2x− 5y)
37. −(a+ 1)(a2mn− 1)
38. (x+ 3)(x2 + 4)
39. (x− y)(a2 + b2)
40. −(3a− 1)(3a2 − 7b2)
41. x4(xn−1 − 1)(xn−3 − 1)
42. (a− 1)(a− b+ c)
43. (x+ y2)(a− b+ c)
44. (a+ b)(x+ y + z)
45. −(x+ a)(2b− n− 3)
46. (a+ b)(2x− y + 5)
47. (m− 2n)(3a+ 2b−m)
48. (a−m)(a− b− p)
EJERCICIOS (C): DIFERENCIA DE CUADRADOS O III FÓRMULA NOTA-
BLE
1. (2a+ 3c)(2a− 3c)
2. (9m2 − 4n)(9m2 + 4n)
3. (1 + 19x2y3)(1− 19x2y3)
4. (11m3 − 30n6)(11m3 + 30n6)
5. 3a3(a+ 2b2)(a− 2b2)
6. 16(2m4 + n2p3)(2m4 − n2p3)
7. 2z2(z + 4)(z − 4)
8. 3(5p+ 4m2)(5p− 4m2)
9. r2(5rs+ 7p2)(5rs− 7p2)
10.3b
25(a+ 5c2)(a− 5c2)
11.1
4(a2 + 8m)(a2 − 8m)
12.1
4(n+ 2m
√2)(n− 2m
√2)
13.1
10000(100a+ b)(100a− b)
14.1
9(15a2 + 2)(15a2 − 2)
15.x2y6
100(5xy + 6)(5xy − 6)
16. (x2 + b2)(x+ b)(x− b)
17. (a4 + 16)(a2 + 4)(a+ 2)(a− 2)
18. (x6 + 9)(x3 + 3)(x3 − 3)
19. (t2 + 4)(t+ 2)(t− 2)
20. (9x2 + y2)(3x+ y)(3x− y)
21. −(x4 + 1)(x2 + 1)(x+ 1)(x− 1)
22. (2x− y + z)(2x− y − z)
23. −(2x2 + y)(6x2 + y)
24. y(4x+ y)
25. (x+ y + 1)(x+ y − 1)(x2 + 2xy + y2 + 1)
26.1
25(3x2 − 6xy + 3y2 + 5)(3x2 − 6xy + 3y2 − 5)
27. (xy + a− z)(xy − a+ z)
28. −(ab− 5c)(9ab− 5c)
20
29. −x(x− 2)
30. (x+ y + z)(x− y − z)
31. (x+ y − a− b)(x+ y − a+ b)
32. −(x− 5)(3x− 1)
33. −(a+ 3b)(3a− b)
34. 3(a+ 1)(a− 1)
35. 4ab
36. −24ab
37. −(2x− 1)2(2x+ 1)(2x− 1)
38. −(a− 1)(2x+ a− 5)
39. −4x(y − z)
40. −4a(a2 + 1)
41. (a+ 3b− 4c)(3a+ b+ 2c)
42. −8(x+ 1)(x− 1)2
43. 0
44. 4 · 3m
45. −3n(2m+1 − 3n + 3m+n)(3m + 1)
46. −(a√3 + 2)(a
√3− 2)
EJERCICIOS (D): TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
1. (a+ b)2
2. (x− 5z)2
3. (6m− 1)2
4. (t− 5)2
5. (2a2 − 9b2)2
6. (9a− 5b)2
7. (x− 7)2
8. (2a− 3c)2
9. (xy − 2z)2
10. (4x+ 11a)2
11. (2a+ 7bc)2
12. (3a+ b)2
13. (x+ 4y)2
14. (a2b3 − c)2
15. −2(n− 6)2
16. 3(2x− 3y)2
17.1
4(2x+ 1)2
18.1
16(4a− 1)2
19.1
100(10x2 − 1)2
20. (2xn + 1)2
21. (yn + 3)2
22. (a+ b+ c+ d)2
23. (x− z − 4)2
EJERCICIOS (E): FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
1.
−6x2(x+ 3) + 2x(3 + x)2 = −6x2(x+ 3) + 2x(x+ 3)2 Transposición
= −6x2w + 2xw2 Sea w = x+ 3
= 2xw(−3x+ w) Factor común
= 2x(x+ 3)(−3x+ x+ 3) Reemplazo w
= 2x(x+ 3)(−2x+ 3) Simpli�co
= −2x(x+ 3)(2x− 3) Ordeno
21
2.
(2xy − 4x)− y + 2 = 2x(y − 2)− (y − 2) Factor común y reacomodo
= 2xw − w Sea w = y − 2
= w(2x− 1) Factor común
= (y − 2)(2x− 1) Reemplazo w
3.
9x4y +3x5y2 + 27x3
2=
18x4y + 3x5y2 + 27x3
2Sumo
=3x3
2(6xy + x2y2 + 9) Factor común
=3x3
2(x2y2 + 6xy + 9) Reordeno
=3x3
2(xy + 3)2 Trinomio cuadrado perfecto
4.
−3x3 + 39x2 − 108x = 3x(−x2 + 13x− 36) Factor común
= −3x(x2 − 13x+ 36) Cambio signos
Este último trinomio no es un cuadrado perfecto pues no cumple la condición del doble
producto.
5.
−2(x2 − 4x)2 + 32 = −2w2 + 32 Sea w = x2 − 4x
= 2(−w2 + 16) Factor común
= −2(w2 − 16) Cambio signos
= −2(w + 4)(w − 4) Diferencia de cuadrados
= −2(x2 − 4x+ 4)(x2 − 4x− 4) Reemplazo w
= −2(x− 2)2(x2 − 4x− 4) Trinomio cuadrado perfecto
22
6.
x2(y − 1)− y + 1 = x2(y − 1)− (y − 1) Reacomodo
= x2w − w Sea w = y − 1
= w(x2 − 1) Factor común
= w(x+ 1)(x− 1) Diferencia de cuadrados
= (y − 1)(x+ 1)(x− 1) Reemplazo w
7.
5x2y4 − 180x4y4 = 5x2y4(1− 36x2) Factor común
= −5x2y4(36x2 − 1) Cambio signos
= −5x2y4(6x+ 1)(6x− 1) Diferencia de cuadrados
8.
18x7y + 288x3y − 144x5y = 18x3y(x4 + 16− 8x2) Factor común
= 18x3y(x4 − 8x2 + 16) Reordeno
= 18x3y(x2 − 4)2 Trinomio cuadrado perfecto
= 18x3y(x+ 2)2(x− 2)2 Diferencia de cuadrados
9.
3x(x2 + 6x)2 − 243x = 3xw2 − 243x Sea w = x2 + 6x
= 3x(w2 − 81) Factor común
= 3x(w + 9)(w − 9) Diferencia de cuadrados
= 3x(x2 + 6x+ 9)(x2 + 6x− 9) Reemplazo w
= 3x(x+ 3)2(x2 + 6x− 9) Trinomio cuadrado perfecto
10.
−6x7y4 +6x5y4 − 2x3y4
5=−30x7y4 + 6x5y4 − 2x3y4
5Sumo
=2x3y4
5(−15x4 + 3x2 − 1) Factor común
=−2x3y4
5(15x4 − 3x2 + 1) Cambio de signos
Este último trinomio no es un cuadrado perfecto pues no cumple la condición del doble
producto.
23
11.
5(x2 + x)2 − 20x2 = 5w2 − 20x2 Sea w = x2 + x
= 5(w2 − 4x2) Factor común
= 5(w + 2x)(w − 2x) Diferencia de cuadrados
= 5(x2 + x+ 2x)(x2 + x− 2x) Reemplazo w
= 5(x2 + 3x) · (x2 − x) Reduzco términos
= 5x(x+ 3) · x(x− 1) Factor común
= 5x2(x+ 3)(x− 1) Simpli�co
12.
−125x3y
12+
5x5y3
3=−125x3y + 20x5y3
12Sumo
=5x3y
12(−25 + 4x2y2) Factor común
=5x3y
12(4x2y2 − 25) Reordeno
=5x3y
12(2xy + 5)(2xy − 5) Diferencia de cuadrados
Nota:
5x3y
12(4x2y2 − 25) =
5x3y
12(2xy + 5)(2xy − 5)
↓√
↓√
2xy 5
13.
450x4y − 72x6y3 = 18x4y(25− 4x2y2) Factor común
= −18x4y(4x2y2 − 25) Cambio los signos
= −18x4y(2xy + 5)(2xy − 5) Diferencia de cuadrados
14.
2x6y
3− 25x2y
24=
16x6y − 25x2y
24Sumo
=x2y
24(16x4 − 25) Factor común
=x2y
24(4x2 + 5)(4x2 − 5) Diferencia de cuadrados
24
15.
−54x6y3 +32x2y3
3=−162x6y3 + 32x2y3
3Sumo
=2x2y3
3(−81x4 + 16) Factor común
=−2x2y3
3(81x4 − 16) Cambio signos
=−2x2y3
3(9x2 + 4)(9x2 − 4) Diferencia de cuadrados
=−2x2y3
3(9x2 + 4)(3x+ 2)(3x− 2) Diferencia de cuadrados
16.
5x2(1− x2)− 15xy2(x2 − 1)2 = −5x2(x2 − 1)− 15xy2(x2 − 1)2 Reordeno
= −5x2w − 15xy2w2 Sea w = x2 − 1
= 5xw(−x− 3y2w) Factor común
= −5xw(x+ 3y2w) Cambio signos
= −5x(x2 − 1)(x+ 3y2(x2 − 1)) Reemplazo w
= −5x(x+ 1)(x− 1)(x+ 3y2x2 − 3y2) Dif.de cua
= −5x(x+ 1)(x− 1)(3y2x2 + x− 3y2) Ordeno
17.
48x6y5 + 3x4y7 − 24x5y6 = 3x4y5(16x2 + y2 − 8xy) Factor común
= 3x4y5(16x2 − 8xy + y2) Ordeno
= 3x4y5(4x− y)2 Trinomio cuadrado perfecto
18.
3x3y4 − 768x11y4 = 3x3y4(1− 256x8) Factor común
= −3x3y4(256x8 − 1) Cambio signos
= −3x3y4(16x4 + 1)(16x4 − 1) Diferencia de cuadrados
= −3x3y4(16x4 + 1)(4x2 + 1)(4x2 − 1) Diferencia de cuadrados
= −3x3y4(16x4 + 1)(4x2 + 1)(2x+ 1)(2x− 1) Diferencia de cuadrados
25
19.
256− x2(x+ 8)2 = 256− x2w2 Sea w = x+ 8
= −(x2w2 − 256) Cambio signos
= −(xw + 16)(xw − 16) Diferencia de cuadrados
= −(x(x+ 8) + 16)(x(x+ 8)− 16) Reemplazo w
= −(x2 + 8x+ 16)(x2 + 8x− 16) Propiedad distributiva
= −(x+ 4)2(x2 + 8x− 16) Trinomio cuadrado perfecto
20.
−8x5y6 +4x6y9 + 2x3y5
5=−40x5y6 + 4x6y9 + 2x3y5
5Sumo
=2x3y5
5(−20x2y + 2x3y4 + 1) Factor común
=2x3y5
5(2x3y4 − 20x2y + 1) Ordeno
21.
2x11y2
27+ 486x3y2 − 12x7y2 =
2x11y2 + 13122x3y2 − 324x7y2
27Sumo
=2x3y2
27(x8 + 6561− 162x4) Factor común
=2x3y2
27(x8 − 162x4 + 6561) Ordeno
=2x3y2
27(x4 − 81)2 Trinomio cuadrado perfecto
=2x3y2
27(x2 + 9)2(x2 − 9)2 Diferencia de cuadrados
=2x3y2
27(x2 + 9)2(x+ 3)2(x− 3)2 Diferencia de cuadrados
26
22.
256x8(x− 1) + 1− x = 256x8(x− 1)− (x− 1) Reacomodo
= 256x8w − w Sea w = x− 1
= w(256x8 − 1) Factor común
= w(16x4 + 1)(16x4 − 1) Diferencia de cuadrados
= w(16x4 + 1)(4x2 + 1)(4x2 − 1) Diferencia de cuadrados
= w(16x4 + 1)(4x2 + 1)(2x+ 1)(2x− 1) Diferencia de cuadrados
= (x− 1)(16x4 + 1)(4x2 + 1)(2x+ 1)(2x− 1) Reemplazo w
23.
9(1− 2x)2 − 4(3x+ 5)2
= 9(2x− 1)2 − 4(3x+ 5)2 Ordeno
= 9w2 − 4z2 Sea w = 2x− 1 y sea z = 3x+ 5
= (3w − 2z)(3w − 2z) Diferencia de cuadrados
= (3(2x− 1)− 2(3x+ 5))(3(2x− 1) + 2(3x+ 5)) Reemplazo w y z
= (6x− 3− 6x− 10)(6x− 3 + 6x+ 10) prop. distributiva
= −13(12x+ 7) Simpli�co
24.
48x4y + 75x2y7 − 120x3y4 = 3x2y(16x2 + 26y6 − 40xy3) Factor común
= 3x2y(16x2 − 40xy3 + 25y6) Ordeno
= 3x2y(4x− 5y3)2 Trinomio cuadrado perfecto
25.
x4 + 16− 8x2 = x4 − 8x2 + 16 Reordeno
= (x2 − 4)2 Trinomio cuadrado perfecto
= (x+ 2)2(x− 2)2 Diferencia de cuadrados
27
26.
5(x2 + 6x)2 − 405 = 5w2 − 405 Sea w = x2 + 6x
= 5(w2 − 81) Factor común
= 5(w + 9)(w − 9) Diferencia de cuadrados
= 5(x2 + 6x+ 9)(x2 + 6x− 9) Reemplazo w
= 5(x+ 3)2(x2 + 6x− 9) Trinomio cuadrado perfecto
27.
12mn+2 + 12mn+1 + 3mnn2 = 3mn(4m2 + 4m+ n2) Factor común
28.
5x3y(2x− y)2 − 10x4y(y − 2x)3 = 5x3y(2x− y)2 + 10x4y(2x− y)3 Reordeno
= 5x3yw2 + 10x4yw3 Sea w = 2x− y
= 5x3yw2(1 + 2xw) Factor común
= 5x3y(2x− y)2(1 + 2x(2x− y)) Reemplazo w
= 5x3y(2x− y)2(1 + 4x2 − 2xy) Prop. distributiva
= 5x3y(2x− y)2(4x2 − 2xy + 1) Ordeno
29.
2x2y2(3x− 4y2) +8xy6
3= 2x2y2w +
8xy6
3Sea w = 3x− 4y2
=6x2y2w + 8xy6
3Sumo
=2xy2
3(3xw + 4y4) Factor común
=2xy2
3(3x(3x− 4y2) + 4y4) Reemplazo w
=2xy2
3(9x2 − 12xy2 + 4y4) Prop. distributiva
=2xy2
3(3x− 2y2)2 Trinomio cuadrado perfecto
28
30.
9x(5x− 2)2 − 4x(1− 5x)2
= 9x(5x− 2)2 − 4x(5x− 1)2 Reordeno
= 9xw2 − 4xz2 Sea w = 5x− 2 y sea z = 5x− 1
= x(9w2 − 4z2) Factor común
= x(3w + 2z)(3w − 2z) Diferencia de cuadrados
= x(3(5x− 2)− 2(5x− 1))(3(5x− 2) + 2(5x− 1)) Reemplazo w y z
= x(15x− 6− 10x+ 2)(15x− 6 + 10x− 2) prop. distributiva
= x(5x− 4)(25x− 8) Simpli�co
31.
24xy2
5+ 6x3y2(5x2 − 4) =
24xy2
5+ 6x3y2w Sea w = 5x2 − 4
=24xy2 + 30x3y2w
5Sumo
=6xy2
5(4 + 5x2w) Factor común
=6xy2
5(4 + 5x2(5x2 − 4)) Reemplazo w
=6xy2
5(4 + 25x4 − 20x2) prop. distributiva
=6xy2
5(25x4 − 20x2 + 4) Ordeno
=6xy2
5(5x2 − 2)2 Trinomio cuadrado perfecto
32.
27a2b5 + 12a4b− 36a3b3 = 3a2b(9b4 + 4a2 − 12ab2) Factor común
= 3a2b(4a2 − 12ab2 + 9b4) Ordeno
= 3a2b(2a− 3b2)2 Trinomio cuadrado perfecto
29
33.
243x7 − 54x5 + 3x3 = 3x3(81x4 − 18x2 + 1) Factor común
= 3x3(9x2 − 1)2 Trinomio cuadrado perfecto
= 3x3(3x+ 1)2(3x− 1)2 Diferencia de cuadrados
34.
m4n3(m+ 4)2 − 16m2n3 = m4n3w2 − 16m2n3 Sea w = m+ 4
= m2n3(m2w2 − 16) Factor común
= m2n3(mw + 4)(mw − 4) Diferencia de cuadrados
= m2n3(m(m+ 4) + 4)(m(m+ 4)− 4) Reemplazo w
= m2n3(m2 + 4m+ 4)(m2 + 4m− 4) Prop. distributiva
= m2n3(m+ 2)2(m2 + 4m− 4) Trinomio cuadrado perfecto
35.
2x6y
3− 12x4y + 54x2y =
2x6y − 36x4y + 162x2y
3Sumo
=2x2y
3(x4 − 18x2 + 81) Factor común
=2x2y
3(x2 − 9)2 Trinomio cuadrado perfecto
=2x2y
3(x+ 3)2(x− 3)2 Diferencia de cuadrados
36.
3x4y3(x− 4)2 − 48x4y3 = 3x4y3w2 − 48x4y3 Sea w = x− 4
= 3x4y3(w2 − 16) Factor común
= 3x4y3(w + 4)(w − 4) Diferencia de cuadrados
= 3x4y3(x− 4 + 4)(x− 4− 4) Reemplazo w
= 3x4y3(x)(x− 8) Reduzco términos
= 3x5y3(x− 8) Simpli�co
30
37.
9x2(3x− 2)2 − 1 = 9x2w2 − 1 Sea w = 3x− 2
= (3xw + 1)(3xw − 1) Diferencia de cuadrados
= (3x(3x− 2) + 1)(3x(3x− 2)− 1) Reemplazo w
= (9x2 − 6x+ 1)(9x2 − 6x− 1) Prop. distributiva
= (3x− 1)2(9x2 − 6x− 1) Trinomio cuadrado perfecto
38.
(x2 − 2x+ 1)2 − x2 + 2x− 1 = (x2 − 2x+ 1)2 − (x2 − 2x+ 1) Reordeno
= w2 − w Sea w = x2 − 2x+ 1
= w(w − 1) Factor común
= (x2 − 2x+ 1)(x2 − 2x+ 1− 1) Reemplazo w
= (x2 − 2x+ 1)(x2 − 2x) Simpli�co
= (x− 1)2x(x− 2) Factorizo cada factor
= x(x− 2)(x− 1)2 Ordeno
39.
x4 + 324 = x4 + 182 Observación
= x4 + 36x2 + 182 − 36x2 Sumo y resto 36x2
= (x4 + 36x2 + 182)− 36x2 Agrupo
= (x2 + 18)2 − 36x2 Trinomio cuadrado perfecto
= w2 − 36x2 Sea w = x2 + 18
= (w − 6x)(w + 6x) Diferencia de cuadrados
= (x2 + 18− 6x)(x2 + 18 + 6x) Reemplazo w
= (x2 − 6x+ 18)(x2 + 6x+ 18) Ordeno
31
40.
81x3y
32− x7y
2=
81x3y − 16x7y
32Sumo
=x3y
32(81− 16x4) Factor común
=−x3y
32(16x4 − 81) Cambio signos
=−x3y
32(4x2 + 9)(4x2 − 9) Diferencia de cuadrados
=−x3y
32(4x2 + 9)(2x+ 3)(2x− 3) Diferencia de cuadrados
EJERCICIOS (F): TRINOMIO CUADRADO PERFECTO-DIFERENCIA DE
CUADRADOS
1. −(2x+ a− b)(2x− a+ b)
2. (x+ y + a)(x+ y − a)
3. (x− y + z)(x− y − z)
4. (2a− b+ c)(2a− b− c)
5. (3a+ b− 2c)(3a+ b+ 2c)
6. (2x− 3y − 4a)(2x− 3y − 4a)
7. (a+ b+ c)(a− b− c)
8. (x+ y − z)(x− y + z)
9. (10x+ y + 7z)(10x− y − 7z)
10. −(4x+ y − 6a)(4x− y − 6a)
11. −(5a− 3b− 2c)(5a− 3b+ 2c)
12. −(2x+ a− 1)(2x+ a+ 1)
13. −(m− n+ 5)(m− n− 5)
14. −(3x− y + z)(3x− y − z)
15. (a− b− c+ d)(a− b+ c− d)
16. (2a+ 2b− c− 1)(2a− 2b− c+ 1)
17. (a− b+ 5c− 3)(a− b− 5c− 3)
18. (3x+ 4y + z + 5a)(3x− 4y − z + 5a)
19. (2a+ 5b− 2c− 3m)(2a− 5b− 2c− 3m)
20. −(x3 + y3 − a3 + b3)(x3 − y3 − a3 − b3)
EJERCICIOS (G): INSPECCIÓN O TANTEO
1. (x− 2y)(x+ 10y)
2. (a+ 4)(a+ 15)
3. (x− 2)(x+ 5)
4. (x+ 4)(x+ 5)
5. (x− 6)(x+ 1)
6. (x+ 3)(x+ 4)
7. (c− 8)(c− 1)
8. (x− 12)(x+ 7)
9. (x+ 3)(x+ 4)
10. (x− 7)(x+ 6)
11. (x− 3)(x+ 2)
12.1
6(2y − 1)(3y − 1)
32
13. (x+ 7y)(x− 3y)
14. (x+ 17a)(x+ 3a)
15. (x2 − 8)(x2 − 3)
16. (a2 − 6b)(a2 + 20b)
17. (an + 4)(an + 36)
18. 2(x+ 1)(2x− 7)
19. (3x− 5)(x+ 3)
20. (2x− 1)(3x− 2)
21. (y − 5)(8y + 3)
22. (x− 1)(5x+ 6)
23. (x+ 3)(2x+ 5)
24. (3x+ 5)(7x− 2)
25. (2x− 5)(2x+ 3)
26. (m− 2)(12m+ 7)
27. (3x− 1)(4x+ 1)
28. (x+ 3)(8x− 3)
29. (x+ 6)(2x− 3)
30. (5x+ 6y)(10x− 3y)
31. (a− 6b)(2a− b)
32. (2x− 3y)(3x+ y)
33. (3a− 2b)(3a+ 4b)
34. (5x+ 3y)(6x− 5y)
35. −(4a+ 3b)(6a− 5b)
36. (2x− 5a)(4x− 3a)
37. −(x− 6y)(5x− y)
38. (5x+ 2y)(9x+ 4y)
39. (2x− 5y)(5x+ y)
40. (2x+ 5y)(4x− 7y)
41. (3x+ 4z)(5x− 4z)
42. (2x+ 7y)(3x− y)
43. (2x− 5y)(3x+ 7y)
EJERCICIOS (H): MÉTODOS COMBINADOS.
1.3x2
4(2x+ 1)(2x− 1)(4x2 + 1)
2.5x3
4(5xy − 3z)(6xy + 5z)
3. 2x(y − 6)(4xy + 5)(4xy − 5)
4.x2y3
18(2x2y − z3)(8x2y − 5z3)
5.3x2y3
5(x+ 5)(x− 5)(x2 + 25)
6. 4(3x+ y)(3x− y)(4x+ y)(4x− y)
7.6xy2
5(2x− y)(5x− 1)
8.2x3y
3(2x+ 3)(2x− 3)(5x2 + 2)
9. (x− y)(x+ y)(2x+ 3y)(2x− 3y)
10.−a2b4
(3a+ 4b)(7a− 2b)
11.2x5y2
5(2x− 5y)2
12. −3(a+ 2b2)(a− 2b2)(4x+ 3)(4x− 3)
13.2a6b3
25(25b− 1)2
14.x2
6(3x− 5y)(y − 3)
15. (a+ b)2(a− b)2
16.x2
3(2x− 3y − 4z)(2x− 3y + 4z)
17.2x3
3(3x2 − 8x− 2y)(3x2 + 8x− 2y)
33