COLECCIÓN DE PROBLEMAS VOLUMEN ITEORÍA DE LA DECISIÓN Y DE LOS JUEGOS

LICENCIATURA EN ECONOMÍA

1. En el siguiente juego en forma normal, ¿qué estrategias sobreviven a una eliminacióniterativa de las estrategias estrictamente dominadas?. ¿Cuáles son los equilibrios de Nashcon estrategias puras?. ¿Cuáles son los equilibrios de Nash en estrategias mixtas?.

Jugador 2

I C D

Jugador1

A (2,0) (1,1) (4,2)

M (3,4) (1,2) (2,3)

B (1,3) (0,2) (3,0)

2. Demuéstrese que no existen equilibrios de Nash con estrategias mixtas en el dilema delprisionero y en los juegos siguientes:

Jugador 2

I C D

Jugador1

A (0,4) (4,0) (5,3)

M (4,0) (0,4) (5,3)

B (3,5) (3,5) (6,6)

Jugador 2

Izquierda

Centro Derecha

Jugador1

Alta (1,0) (1,2) (0,1)

Baja (0,3) (0,1) (2,0)

3. Hállese el equilibrio de Nash en estrategias mixtas del juego siguiente:

Jugador 2

I D

Jugador1

A (2,1) (0,2)

B (1,2) (3,0)

4. Los jugadores 1 y 2 están negociando cómo repartirse mil pesetas. Ambos jugadoresindican simultáneamente la parte de las mil pesetas que querrían conseguir, S1 Y S2,donde 0 < S1 ,S2 < l. Si S1+S2 < 1, los jugadores ven cumplidos sus deseos; si S1+S2 >1,ambos jugadores reciben cero pesetas. ¿Cuáles son los equilibrios de Nash conestrategias puras de este juego?

5. Supongamos que existen n empresas en el modelo de oligopolio de Cournot. Sea qi lacantidad producida por una empresa i, y sea Q = ql + ... + q n la cantidad agregada en elmercado. Sea P el precio de equilibrio de mercado y supongamos que la demandainversa viene dada por P(Q) = a - Q (suponiendo que Q < a; en el caso contrario P = 0).Supongamos que para la empresa i el coste total de producir la cantidad qi es Ci (qi) = cqi.Es decir, no hay costes fijos y el coste marginal es constante e igual a c, dondesuponemos que c < a. Supongamos que las empresas eligen sus volúmenes de producciónsimultáneamente. ¿Cuál es el equilibrio de Nash? ¿Qué ocurre cuando n tiende a infinito?

6. Consideremos las dos versiones finitas siguientes del modelo de duopolio de Cournot.En primer lugar, supongamos que cada empresa debe elegir o la mitad de la cantidad demonopolio, qm /2 = (a - c)/4, o la cantidad de equilibrio de Cournot, qc = (a - c)/3. Nopueden darse otras cantidades. Demuéstrese que este juego con dos alternativas esequivalente al dilema de los presos: cada empresa tiene una estrategia estrictamentedominada, y ambas están peor en equilibrio que si cooperasen. En segundo lugar,supongamos que cada empresa puede elegir o qm/2 o qc o una tercera cantidad q'. Hálleseun valor de q' tal que el juego sea equivalente al modelo de Cournot en el sentido de que(qc,qc) sea un equilibrio de Nash único.

7. Considérese el modelo de duopolio de Cournot en el que la demanda inversa es P(Q) =a - Q pero las empresas tienen costes marginales asimétricos, c1 para la empresa 1 y c2para la empresa 2. ¿Cuál es el equilibrio de Nash si 0<ci<a/2?. ¿Que ocurre si c1<c2<apero 2c2>a+c1?.

8. En un duopolio de Bertrand con productos homogéneos, supongamos que la cantidadque demandan los consumidores a la empresa i es a-pi, cuando pi < pj, 0 cuando pi > pj,y (a-pi)/2 cuando pi = pj. Supongamos también que no hay costes fijos y que los costesmarginales son constantes e iguales a c, donde c < a. Demuéstrese que si las empresaseligen precios simultáneamente, el único equilibrio de Nash consiste en que ambasempresas fijen un precio igual a c.

9. Dos empresas ofrecen un puesto de trabajo cada una. Supongamos que las empresasofrecen salarios diferentes: la empresa i ofrece el salario wi, donde (½)wl < w2 < 2w1.Imaginemos que hay dos trabajadores, cada uno de los cuales sólo puede solicitar trabajoen una de las empresas. Los trabajadores deciden simultáneamente si solicitar el trabajode la empresa 1 o de la empresa 2. Si sólo un trabajador solicita trabajo en una de lasempresas, dicho trabajador obtiene el trabajo. Si ambos trabajadores solicitan trabajo enla misma empresa, la empresa contrata a uno de ellos aleatoriamente, y el otro quedadesempleado (lo que significa una ganancia cero). Hállense los equilibrios de Nash deljuego en forma normal.

10. El árbol de la figura corresponde a un juego finito en forma extensiva. Determinar cuálesson las estrategias de los jugadores. Determinar las estrategias del jugador 2 si el juegofuese de información perfecta.Prescindir de las estrategias equivalentes.

11. Considérese el juego de información perfecta en forma extensiva de la figura siguiente.

a) ¿De cuántas estrategias dispone cada jugador?. Prescindir de las estrategiasequivalentes.b) Identificar los equilibrios que se obtienen utilizando la inducción hacia atrás.c) Hallar un equilibrio de Nash que no se obtenga a partir de la inducción hacia atrás.

12. Un comité de un club con tres miembros {1,2,3}, tiene que escoger a un nuevo miembroentre un conjunto de cuatro candidatos, {a,b,c,d}. Cada miembro del comité tiene poderde veto y este se efectúa de forma sucesiva empezando por el 1 y terminando por el 3.Cada uno de los miembros del comité debe vetar a uno y sólo uno de los candidatos queaún no han sido vetados.

a) Representar gráficamente el juego en forma extensiva , poniendo en los nodos finalesel candidato elegido en cada caso.b) ¿Cuantas estrategias tiene cada jugador? (No escribirlas todas)c) Si los miembros prefieren a los candidatos por el siguiente orden:

miembro 1: b™c™d™amiembro 2: b™a™d™cmiembro 3: d™a™b™c

obtener los equilibrios derivados de aplicar la inducción hacia atrás. ¿Serían estosdistintos si los miembros del comité no vetasen estratégicamente (es decir , vetar el peorde los no vetados)?. ¿Sería distinto el resultado del juego?.

13. Considérese el juego en forma extensiva de la figura:

a) Hallar los equilibrios de Nash que se obtienen a partir de la inducción hacia atrás.b) Representar el juego en forma normalc) Hallar todos los equilibrios de Nash en estrategias puras y en estrategias mixtas ycomprobar que los equilibrios del apartado a) están incluídos en este conjunto.

14. Considerese el caso discreto de duopolio de Stackelberg donde la demanda inversa vienedada por P(Q)=12-Q, donde Q=q1+q2 y sólo hay tres niveles de output factibles: 3, 4, ySupongamos que la producción se realiza sin coste alguno.

a) Representar la forma extensiva del juego y hallar el equilibrio que se obtienea partir de la inducción hacia atrás.b) Representar el juego en forma normal. Hallar todos los equilibrios de Nash enestrategias puras.c) Si las empresas eligen el output simultáneamente, tenemos el modelo deCournot. Representar en este caso el juego en forma normal y en forma extensiva.Hallar los equilibrios de Nash en estrategias puras.

15. Tres oligopolistas operan en un mercado con demanda inversa dada por P(Q)=a-Q,donde Q=q1+q2+q3 y qj es la cantidad producida por la empresa j. Cada empresa tiene uncoste marginal igual a c, y no hay costes fijos. Las empresas escogen sus cantidades dela manera siguiente: (1) la empresa 1 escoge q1$0; (2) las empresas 2 y 3 observan q1 yescogen simultáneamente q2 y q3. ¿Cuál es el resultado perfecto en los subjuegos?

16. Considérese una empresa monopolista y una empresa competidora que decide si entraro no en el mercado. Si lo hace, el monopolista decide si desencadena una guerra deprecios o acepta la entrada compartiendo el mercado. Las ganancias de las empresasaparecen reflejadas en el diagrama de árbol de la figura siguiente donde πm>πa>0>πg.

a) ¿Cuáles son los equilibrios de Nash en este juego?b) ¿Cuáles son los equilibrios perfectos en los subjuegos de este juego?c) Supongamos que el monopolista, antes de la decisión del entrante potencial,puede decidir efectuar o no un gasto que disminuirá sus propios beneficios en unacantidad positiva igual a K, excepto en el caso de que el responda con una luchaa la entrada del rival. Supongamos que el entrante potencial puede observar, antesde tomar su decisión si el monopolista efectuó o no dicho gasto. ¿Cuáles son losequilibrios perfectos en los subjuegos de este nuevo juego en tres etapas?

17. Hallar los equilibrios perfectos en los subjuegos en el juego en forma extensivarepresentado en la figura siguiente:

18. Hallar los equilibrios bayesianos de Nash en estrategias puras en el siguiente juegobayesiano estático:1- El azar determina si las ganancias son como en el juego 1 o como en el juego 2 demanera equiprobable2- El jugador 1 se entera si el azar ha elegido el juego 1 o el juego 2, pero el jugador 2no.

Jugador 2

I D

Jugador1

A (1,1) (0,0)

B (0,0) (0,0)Juego 1

Jugador 2

I D

Jugador1

A (0,0) (0,0)

B (0,0) (2,2)Juego 2

19. Considerese un duopolio de Cournot que opera en un mercado con demanda inversaP(Q)=a-Q, donde Q=q1+q2 es la cantidad agregada del mercado. Ambas empresas tienencoste marginal constante igual a c, pero la demanda es incierta: es alta (a=aA) conprobabilidad θ y baja (a=aB ) con probabilidad 1-θ. Además la empresa 1 sabe si lademanda es alta o baja, pero la empresa 2 no. Si las empresas eligen su outputsimultáneamente, determinar el equilibrio bayesiano de Nash en este juego.

20. Hallar los equilibrios de Nash en estrategias puras, los equilibrios perfectos en lossubjuegos y los bayesianos perfectos en los siguientes juegos.

21. Demostrar que no existe ningún equilibrio bayesiano perfecto con estrategias puras en elsiguiente juego. Hallar un equilibrio bayesiano perfecto en estrategias mixtas.

22. Dado el juego de señalización de la figura, hallar un equilibrio bayesiano perfecto deagrupación en el que los dos tipos del emisor eligen la acción D.

23. Dado el juego de señalización de la figura, hallar un equilibrio bayesiano perfecto deagrupación en el que los tres tipos del emisor eligen la acción I.

24. En el siguiente juego hallar los equilibrios bayesianos de Nash con estrategias puras y losequilibrios bayesianos perfectos.

25. Un tratante de arte esta considerando la posibilidad de poner a la venta un cotizado cuadrode Rembrant. La opinión de los expertos en arte esta dividida al 50% entre si el cuadro esauténtico (en cuyo caso tendría un valor de 20 millones de dólares) o si es la obra de unode sus discípulos ( en cuyo caso tendía un valor de 1 millón de dólares). Hay un crítico dearte que está dispuesto a emitir un certificado de autenticidad del cuadro por un coste de100.000 dólares. Si el tratante decide poner a la venta el cuadro, el precio será de 5millones de dólares. Suponiendo que los compradores son neutrales ante el riesgo,demostrar que existe un equilibrio bayesiano perfecto de éxito parcial del mercado. ¿Cuáldebería ser el precio del certificado de autenticidad para que el equilibrio bayesianoperfecto supusiese un éxito total del mercado?.

26. Dos empresas deciden simultáneamente si entran o no en un mercado. Si una empresaentra y la otra se queda fuera, los beneficios son 100 y 0 respectivamente, si las dos entranambas pierden 50 y si ninguna entra, no obtienen beneficios.

a)- Plantear la forma normal del juego y hallar los equilibrios de Nash enestrategias puras y mixtas.

b)- Determinar los beneficios de las empresas en cada uno de los equilibriosobtenidos en la sección anterior. ¿Se puede seleccionar o eliminar algunoempleando el criterio de eficiencia de Pareto?.

c)- Si rompemos el supuesto de que el juego es estático y permitimos que unaempresa elija entre entrar o no entrar en primer ligar y la otra en segundo lugar,después de observar lo que ha elegido la primera ¿Cual seria la solución del juegoen este caso?. (Ind: plantear la forma extensiva).¿Existe algún equilibrio de Nashque constituya una amenaza no creíble de la empresa que elige en segundo lugar?.Describir esta situación.

27. Considerese el juego entre una empresa que puede decidir secuencialmente entrar o no endos mercados que tienen la misma empresa establecida o monopolista, cuya formaextensiva se representa en la figura siguiente.

a) Determinar las estrategias de la empresa entrante (emplear una notación clara)b) Hallar el equilibrio perfecto en los subjuegos que se obtiene tras aplicar lainducción hacia atrás y describir cual es el comportamiento estratégico de lasempresas en equilibrio.

U1 (x1 , x2 )'1000 x1& x 21 & x 2

2

U2 (x1 , x2 )'1000 x2& x1x2 & x 22

28. Supongamos que x1 y x2 representan los presupuestos en publicidad para las empresas 1y 2 respectivamente, donde cada xi ha de ser inferior a 1.000 dólares. Los beneficios delas empresas vienen representados por las funciones:

Si las empresas eligen simultáneamente el presupuesto dedicado a publicidad:

a) Determinar el equilibrio de Nash en estrategias puras del juego. ¿Es único?.Justificar la respuesta.

b) ¿Cuál es el beneficio obtenido por las empresas en equilibrio?

c) Representar gráficamente la función que representa la mejor respuesta de ambasempresas. Si las empresas dedicasen un presupuesto de x1=400 y x2 =200 ¿quepuede decirse del beneficio de ambas?. ¿Es estable esta situación? justifique larespuesta.

29. Una agencia inmobiliaria está considerando poner o no a la venta un piso de segunda manoa un precio de 10 millones de pesetas. Diversos estudios de mercado realizados en el sectorrevelan que el 50% de los pisos de segunda mano son de mala calidad y suelen presentarproblemas a posteriori (rotura de cañerías, fallos en el sistema eléctrico, etcétera). Si el pisopuesto a la venta es de buena calidad, tendría un valor subjetivo de 15 millones para elcomprador, mientras que si es malo, este tendría un valor de sólo 6 millones. El vendedorconoce perfectamente la calidad del piso que está vendiendo, y en caso de que este sea demala calidad, si decide ponerlo a la venta, tendría que asumir un coste C en realizar unareforma, para que el comprador no pudiera diferenciarlo a simple vista de un piso de buenacalidad.

a) Analizar la situación descrita a través de un juego con información incompletarepresentando su forma extensiva.

b) Determinar que valores de C hacen que exista un equilibrio bayesiano perfectodonde la estrategia del vendedor sea poner a la venta el piso, tanto si este es malocomo si es bueno y la del comprador comprar el piso.

c) Si C es igual a 11 millones de pesetas ¿Cuántos equilibrios bayesiano perfectostendría el juego?. ¿Cuál de ellos seleccionaría usted? tendría el juego?. ¿Cuál deellos seleccionaría usted?

30. Un padre y su hijo universitario se ven involucrados en el siguiente conflicto. El hijo puededecidir entre tomarse en serio los estudios y como consecuencia aprobar el curso o, por elcontrario, ser irresponsable y obtener unos cuantos suspensos al final del curso. Si el hijoopta por la segunda opción, el padre puede decidir entre castigarle sin vacaciones o no.Supongamos que la escala de preferencias del padre es la siguiente (entre paréntesis figuranlas ganancias que representan esa escala de preferencias):

1º: Tener un hijo buen estudiante (2) 2º: No castigar a un hijo mal estudiante (1)3º: Castigar a un hijo mal estudiante (0)

La escala de preferencias del hijo es la siguiente:1º: Ser mal estudiante y no ser castigado (2)2º: Ser buen estudiante (1)3º: Ser mal estudiante y ser castigado (0)

Al comienzo del curso el padre lanza la siguiente amenaza: “Si no apruebas no te vas devacaciones”.

a) Representar esta situación a través de in juego indicando su forma normal y su formaextensiva. ¿Cuantos equilibrios en estrategias puras tiene este juego y de que tipo son?.b) ¿Es creíble la amenaza del padre? Justificar la respuesta indicando cual es el equilibrioque sustenta esta amenaza. ¿Como se resolvería el juego? c) Si el padre cambia su escala de preferencias a la siguiente:

1º: Tener un hijo buen estudiante (2) 2º: Castigar a un hijo mal estudiante (1)3º: No castigar a un hijo mal estudiante (0)

¿Es creíble la amenaza del padre? ¿Cuantos equilibrios hay ahora en el juego y de quetipo son?. Justificar la respuesta.

31. Considerese un duopolio de Bertrand (las empresas compiten en precios) con informaciónasimétrica y productos diferenciados. La demanda de la empresa i es igual a qi (pi,pj)=1-pi+bpj. La constante b representa la sensibilidad de la demanda de la empresa i al precio dela empresa j. b puede tomar dos valores b=bA=1 y b=bB=1/2. La empresa 1 conoce el valorde b pero la empresa 2 cree que b=bA=1 con probabilidad 1/2 y que b=bB=1/2 conprobabilidad 1/2. Si los costes para ambas empresas son iguales a 0, determinar los preciosque elegirán las empresas en el equilibrio Bayesiano de Nash.

32. Una universidad ofrece estudios de doctorado en economía a todos los licenciados de unadeterminada zona que es considerada como el área de influencia de la universidad. Unestudio previo revela que sólo al 10% de estos licenciados les gusta la economía, con lo queel programa de doctorado sería llevado a cabo con éxito para este grupo.

Un estudiante (con el título de licenciado), que por supuesto sabe si le gusta o no laeconomía, ha de decidir si entrega o no una solicitud a dicho programa de doctorado. Launiversidad que no conoce el tipo de estudiante que entrega la solicitud, ha de decidir si loacepta o por el contrario rechaza su entrada al programa.

La forma extensiva del juego viene representada en la figura siguiente:

a) Hallar un equilibro bayesiano perfecto de separación indicando las estrategias deequilibrio de los jugadores y el sistema de creencias. Comentar el resultado de esteequilibrio. ¿Existen más equilibrios de separación aparte del que se ha hallado?.Justificar la respuesta.

b) ¿Que creencias en I soportan el equilibrio bayesiano perfecto de agrupación en el queel estudiante decide no entregar la solicitud, sea cual sea su tipo?.

33. ¿Que conceptos de solución de los que Ud. conoce aplicaría en los casos siguientes?:

a) Juego Estático con información completab) Juego dinámico con información completa pero imperfectac) Juego dinámico con información incompleta.

34. Dado el juego en forma extensiva de la figura. ¿Representa la combinación de estrategiasde equilibrio (B, DAFB) una amenaza no creíble del jugador 2 hacia el jugador 1?. Justifiquela respuesta.

35. Supongamos que en el juego en forma extensiva de la figura hay un equilibrio perfecto enlos subjuegos en el que el jugador 1 juega la estrategia de comportamiento siguiente: “JugarA con probabilidad 1/2, jugar B con probabilidad 1/4 y jugar C con probabilidad 1/4". Segúnesto, si Ud. quisiera comprobar si este equilibrio es Bayesiano Perfecto ¿qué creencias seforma el jugador 2 cuando el juego entra en su conjunto de información?

36. Dado el juego estático en forma normal de la figura. Determinar cuales son las gananciasde los jugadores si ambos juegan la estrategia mixta siguiente: “Jugar A con probabilidad1/3 y jugar B con probabilidad 2/3".

Jugador 2

A B

Jugador 1 A (9,15) (12,6)

B (-6,0) (3,3)

37. Dos compañías aéreas A y B compiten en la misma ruta decidiendo cada día el número deasientos que ofrecen. Estos se representan por SA y SB. El mercado determina el precio delasiento que dependerá del número total de asientos ofrecidos por las dos compañías deacuerdo a la expresión P=200-0,1(SA+SB). El coste marginal de la empresa A es 100 u.m.y el de la empresa B 50 u.m. y se supone que no hay costes fijos. Determinar:

a) La función de beneficio de ambas compañías.b) La función que representa la mejor respuesta de cada compañía.c) El equilibrio de Nash.

38. En una industria existen n+1 empresas idénticas numeradas 0,1,....,n. Cada una de ellas tiene

un coste marginal constante igual a 1 y no hay costes fijos. La función inversa de demandaes igual a P(Q)=2-Q, donde Q=q0+q1+.....+qn, representa la cantidad total vendida en elmercado, siendo qi la cantidad producida por la empresa i. Las empresas deciden la cantidada producir de la siguiente forma: en primer lugar elige la empresa 0. Las demás empresasobservan q0, y a continuación eligen simultáneamente su output.

a) Indicar cuantos subjuegos hay en este juego. Hallar el equilibrio de Nash en cada unode los subjuegos, indicando la cantidad que producirían las empresas que intervienen en

el subjuego..

b) Demostrar que en el equilibrio perfecto en los subjuegos la cantidad producida por laempresa 0 no depende del número de empresas que hay en la industria. ¿Cuanto producecada empresa en ese equilibrio?. ¿Cuales son sus beneficios? (5 puntos).

Si lo desea, emplee la notación Q-i para representar q0+q1+....+qi-1+qi+1+.....+qn

39. Supongamos que hay dos lugares donde dos pescadores pueden pescar, uno bueno y otromalo. El lugar bueno tiene 20 peces y el lugar malo 12 peces. Los pescadores eligensimultáneamente el lugar donde van a pescar. Si los dos pescadores coinciden pescando enel mismo sitio se reparten la pesca equitativamente. En caso contrario, cada pescador puedebeneficiarse de toda la pesca correspondiente al sitio donde elige para pescar.

a) Plantear un juego que permita modelizar esta situación.

b) Hallar todos los equilibrios de Nash del juego planteado, determinando las gananciasde los pescadores en cada equilibrio.

c) Si la situación fuese dinámica, es decir, primero elige un pescador el lugar para pescary el otro observa la elección y a continuación elige su lugar para pescar, indicar cualesson ahora las estrategias de los jugadores y en virtud del equilibrio de este nuevo juegocomentar que pescador sale beneficiado.

40. Dado el juego de la figura:

a) Indicar cuales son las estrategias de los jugadoresb) ¿Cuales son los subjuegos propios del juego?c) Hallar la combinación de estrategias que representa el equilibrio perfecto en los subjuegos.

41. D a d o e ljuego de señalización de la figura, determinar si hay equilibrio Bayesiano perfecto, y (encaso afirmativo indique cual es), en los siguientes casos:

a) Los dos tipos del emisor juegan I..b) El emisor tipo t1 juega I y el tipo t2 juega D.

42. Indique cuáles son los elementos que se requieren para representar un juego estático coninformación completa en forma normal. Explique brevemente y de forma concisa lo quesignifica cada uno de ellos.

43. Dos compañías productoras de cigarrillos rubios se enfrentan a una competencia en preciosen un mercado determinado. La demanda de la empresa i es:

15.000 1.000 2.000( )i i iq p p p= − − −

donde: es el precio que fija la empresa i y el precio medio.ip pEl coste medio es igual a 1$ por paquete patra ambas empresas.

a) Determinar las funciones de reacción de ambas empresas.b) Obtener los precios que deben fijar las empresas en el equilibrio de Bertrand..c) Obtener los beneficios de las empresas en equilibrio. (2 puntos).

44. Considere el juego que consiste en repetir dos veces el juego de etapa G representado en lafigura, obteniendo como ganancias la suma de las ganancias en cada una de las etapas.

Jugador 2

A B C

Jugador1

A 1,1 9,0 4,0

B 0,9 8,7 3,0

C 0,2 0,5 6,6

Determine si son equilibrios perfectos en los subjuegos las siguientes situaciones:

a) Jugar AA en la primera etapa y jugar AA en todos los subjuegos de la segunda etapa

.b) Jugar CA en la primera etapa y jugar CC en todos los subjuegos de la segunda etapa.c) Jugar BB en la primera etapa y jugar CC en la segunda etapa si el resultado de laprimera fue BB y jugar AA en la segunda etapa si el resultado de la primera fue distintode BB.d)¿Representa la combinación de estrategias dada por:

“Jugar en la primera etapa (B,E) y en la segunda etapa, jugar (C,F) si el resultadode la primera etapa fue (B,E), y jugar (A,D) si el resultado de la primera etapa fuecualquier otro distinto de (B,E)”

un equilibrio perfecto en los subjuegos para el juego repetido? Justifique la respuesta?.

45. Dado el juego de señalización del la figura, hallar un euilibrio bayesiano perfecto donde lostres tipos del emisor jueguen A.

46. En una industria existen 3 empresas idénticas. Cada una de ellas tiene un coste marginalconstante igual a 1 y no hay costes fijos. La función inversa de demanda es igual a P(Q)=2-Q,donde Q=q0+q1+q2, representa la cantidad total vendida en el mercado, siendo qi la cantidadproducida por la empresa i. Las empresas deciden la cantidad a producir de la siguienteforma: en primer lugar elige la empresa 0. Las demás empresas observan q0, y a continuacióneligen simultáneamente su output.

a)- Indicar cuantos subjuegos hay en este juego. Hallar el equilibrio de Nash en cada unode los subjuegos, indicando la cantidad que producirían las empresas que intervienen enel subjuego.b)- Encontrar el equilibrio perfecto en los subjuegos.. ¿Cuanto produce cada empresa enese equilibrio?. ¿Cuales son sus beneficios?.

47. En el juego de la figura encontrar una estrategia mixta para el jugador 1 que domine acualquier estrategia mixta que asigne a a3 probabilidad mayor que cero sea cual sea laestrategia mixta jugada por el jugador 2.

Jugador 2

b1 b2 b3

Jugador1

a1 (2,0) (2,2) (5,2)

a2 (4,1) (1,3) (1,3)

a3 (1,3) (1,3) (2,0)

48. En el juego de la figura hallar los equilibrios de Nash en estrategias puras y los equilibriosBayesiano perfectos.(10 puntos).

49. Indique cuáles son los elementos que se requieren para representar un juego dinámico coninformación completa en forma extensiva. Explique brevemente y de forma concisa lo quesignifica cada uno de ellos.

50. Dado el juego cuyo diagrama de árbol aparece representado en la figura:

¿Cuáles son las creencias del jugador 2 si el jugador 1 en equilibrio juega A con probabilidad1/3, B con probabilidad 1/2 y C con probabilidad 1/6?.

51. Hallar todos losequilibrios de Nash en el juego siguiente:

Jugador 2

D D

Jugador1

A 2,3 1,4

B 2,3 2,1

52. Indique y explique brevemente cuáles son los 4 requisitos que se deben cumplir en elequilibrio bayesiano perfecto.

53. Obtener todos los equilibrios de Nash (en estrategias puras y mixtas) del juego siguiente.

Jugador 2

C D

Jugador1

A 4,3 2,4

B 4,3 3,1

54. Considere un juego de negociación secuencial donde dos jugadores tratan de repartirse unpresupuesto de 1.500 €. El juego consta de tres períodos. En el primer período, el jugador 1 indica que parte delpresupuesto desea obtener, siendo el resto para el jugador 2. Si el jugador 2 acepta la oferta,el juego termina con el reparto indicado. Si rechaza, el juego pasa al período siguiente.En el período dos, el jugador 2 propone un reparto indicando la parte que obtendría el jugador1, siendo el resto para él. Si el jugador 1 acepta el juego termina con el reparto indicado. Si

rechaza, un árbitro repartirá el presupuesto al 50% en un tercer período.Si el factor de descuento aplicado al obtener el valor actual de una ganancia en el períodosiguiente es igual a 0,9, obtener el resultado por inducción hacia atrás del juego indicandocuáles son las ganancias de los jugadores en ese resultado.

55. Dado el juego de señalización del la figura:a) Indicar cuáles son las estrategias del emisor y del receptor.b) Hallar, si existe, el equilibrio bayesiano perfecto donde el t1 y el t2 juegan A y el t3 juegaB.c) Hallar, si existe, el equilibrio bayesiano perfecto donde los tres tipos del receptorjuegan B.

56. El juego de etapa de la figura se repite 2 veces. Hallar todos los equilibrios perfectos en lossubjuegos en estrategias puras que cumplan la siguiente condición:

“En tres de los cuatro subjuegos de la segunda etapa se juega (A,A) y en el otro se juega(B,B)”

Jugador 2

A B

Jugador1

A (2,1) (0,0)

B (0,0) (1,2)

57. El director de una empresa y el representante sindical deben elegir un árbitro para mediar enun conflicto laboral de un conjunto de tres candidatos (A,B,C). El mecanismo de selecciónes el siguiente:En primer lugar la empresa decide eliminar a uno de los tres. A continuación, el representantesindical, tras observar el resultado de la empresa, decide eliminar a uno de los dos restantes.El arbitro elegido será aquel que no haya sido eliminado por ninguno de los dos.Las preferencias de la empresa son: A™B™CLas preferencias del sindicato son: C™B™A

a) Representar el juego en forma extensiva y en forma normal (En lugar de gananciasindicar el candidato elegido tras cada combinación de estrategias).b) Hallar los equilibrios de Nash en estrategias puras y el equilibrio perfecto en lossubjuegos.

58. Hallar los equilibrios bayesianos de Nash en el juego siguiente:El azar determina con probabilidad ½ si ganacias son como en el juego 1 o como en el juego2. El jugador 2 sabe que juego ha elegido el azar pero el jugador 1 no.

Juego 1

Jugador 2

A B

Jugador 1 A (2,2) (0,0)

B (0,0) (1,1)

Juego 2

Jugador 2

A B

Jugador 1 A (0,0) (0,0)

B (1,1) (2,2)

59. Hallar el equilibrio perfecto en los subjuegos del juego de la figura. Indicar cuáles son lasestrategias de las empresas en equilibrio.

60. Considere el juego del dilema del prisionero cuya forma normal viene representada en lafigura siguiente:

Jugador 2

b1 b2

Jugador1

a1 (2,2) (0,3)

a2 (3,0) (1,1)

Considere ahora una nueva versión de este juego donde se supone que los jugadores no sonegoístas y se alegran de las ganacias del otro (es dedir, obtienen un beneficio adicional quees proporcional a las ganancias del otro). De esta manera, las ganancias de un jugador i parala combinación de estrategias s=(ai,bj) vienen dadas por:

mi (s)=Πi (s) + α Πj (s)

donde Πi y Πj son las ganancias representadas en la figura y α es un número positivo.

a) Representar la forma normal de este nuevo juego.

b) Indicar para que valores de α, este juego es análogo al dilema del prisionero, es

decir, el único equilibrio de Nash es (a2,b2), y si un jugador elige su primera estrategia,el otro tiene incentivos a jugar la segunda y además Πi (a1,b1)>Πi (a2,b2) para todo i.

c) Comentar que ocurre cuando α=1/2 y cuando α >½.