colaborativo 2
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VARIABLES ALEATORIAS, FUNCIÓN DE PROBABILIDAD Y VALOR ESPERADO
1. Determine el valor de a de manera que cada una de las siguientes funciones pueda servir
como distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X
a. f (x) = a(x2 + 4) x = 0, 1, 2, 3
Para encontrar el valor de a, primero reemplazamos los valores en la expresión y
hallamos la sumatoria:
02 + 4 = 4
12 + 4 = 1 + 4 = 5
22 + 4 = 4 + 4 = 8
32 + 4 = 9 + 4 = 13
La suma de los valores es:
4 + 5 + 8 + 13 = 30
Por lo tanto el valor de a es:
𝒂 =𝟏
𝟑𝟎
b. f(x) = a( 2C x) (3C3 - x) para x = 0,1,2
De igual manera, reemplazamos por los valores numéricos en la expresión inicial:
∑ 𝑎20 ( 2C x) (3C3-x) = 𝑎 ∑ (20 2C x) (3C3-x) = 𝑎((2C 0) (3C3-0))+(( 2C 1) (3C3-1))+(( 2C 2) (3C3-2))
= 𝑎((2C 0) (3C3))+(( 2C 1) (3C2))+(( 2C 2) (3C1))
= 𝑎[1 ∙ 1 + 2 ∙ 3 + 1 ∙ 3]
= 𝑎[1 + 6 + 3]
= 10𝑎
Por lo tanto, como 10𝑎 = 1
𝒂 =𝟏
𝟏𝟎
2. Encuentre la distribución de probabilidad para el número de discos de salsa cuando se
eligen al azar cuatro discos de una colección que consta de cuatro discos de salsa y cuatro
discos de música clásica. Exprese los resultados a través de una formula.
𝑃(𝑋 = 𝑥) =(4𝑥)( 44−𝑥
)
(84)
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 1, 2, 3, 4
𝑃(𝑋 = 1) =(41)( 44−1)
(84)
= 0.23
𝑃(𝑋 = 2) =(42)( 44−2)
(84)
= 0.51
𝑃(𝑋 = 3) =(43)( 44−3)
(84)
= 0.23
𝑃(𝑋 = 4) =(44)( 44−4)
(84)
= 0.01
X 1 2 3 4
P(X=x) 0.23 0.51 0.23 0.014
3. Se seleccionan al azar dos calcetines y de manera sucesiva, se sacan de un cajón que
contiene seis calcetines cafés y cuatro verdes, Defina la variable aleatoria X que represente
el número de calcetines cafés que se selecciona. Encuentre la función de probabilidad f(X),
F(X), E(X), Varianza y desviación estándar de la variable aleatoria.
Supongamos que el resultado en el cual se saca un calcetín café es C y si es verde entonces
es V. Los posibles resultados son:
CC, CV, VC, VV.
Las diferentes probabilidades son:
𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝐶𝐶 = 6
10∙5
9=1
3
𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝐶𝑉 = 6
10∙4
9=4
15
𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑉𝐶 = 4
10∙6
9=4
15
𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑉𝑉 = 4
10∙3
9=2
15
Elemento del
Espacio muestral
Probabilidad W (Número de
calcetines cafés)
CC 1/3 2
CV 4/15 1
VC 4/15 1
VV 2/15 0
Por lo tanto la función de probabilidad sería:
X 0 1 2
f(x) 2/15 8/15 1/3
𝑃(𝑊 = 2) =1
3
La función de probabilidad para dos calcetines cafés es:
𝑓(𝑥) =
{
2
15, 𝑠𝑖 𝑥 = 0
8
15, 𝑠𝑖 𝑥 = 1
1
3, 𝑠𝑖 𝑥 = 2
La función de probabilidad acumulada para dos calcetines cafés es:
𝐹(𝑥) =
{
2
15, 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 < 1
2
3, 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑥 < 2
1, 𝑠𝑖 𝑥 = 2
𝐸(𝑥) = ∑𝑥𝑖 ∙ 𝑓(𝑥)
2
0
= 0 ∙2
15+ 1 ∙
8
15+ 2 ∙
1
3
=8
15+2
3=6
5= 1.2
La varianza está dada por:
𝜎𝑥2 = [(02 −
2
15) + (12 −
8
15) + (22 −
1
3)] ∙ 1.22
𝜎𝑥2 = [(−
2
15) + (
7
15) + (
11
3)] ∙ 1.22
𝜎𝑥2 = [4] ∙ 1.22
𝜎𝑥2 = 5.76
La desviación estándar es:
𝜎𝑥 = √5.76 = 2.4
4. Un jugador lanza un dado corriente. Si sale número primo, gana tantos cientos de dólares
como marca el dado, pero si no sale número primo, pierde tantos cientos de dólares como
marca el dado. Determinar la función de probabilidad y la esperanza matemática del
juego.
Como el jugador puede ganar o perder de acuerdo al marcador del dado, escribimos como
NEGATIVAS aquellas expresiones DESFAVORABLES y POSITIVAS las que son FAVORABLES,
además de la probabilidad de obtener cada resultado (1/6).
La función de probabilidad es:
x -1 2 3 -4 5 -6
f(x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
La esperanza E(x) para el juego es:
𝐸(𝑋) = 1
6(−1 + 2 + 3 − 4 + 5 − 6)
𝐸(𝑋) = 1
6∙ (−1) = −
1
6= −0.167
Como el resultado es negativo, se concluye que el juego no es favorable.
5. El experimento aleatorio consiste en lanzar una moneda 3 veces, Defina X la variable
aleatoria que representa el número de caras observadas. Encuentre f(X), E(X), V(X) y
desviación estándar.
Para el lanzamiento de las monedas tenemos:
Primer
Lanzamiento
Segundo
Lanzamiento
Tercer
Lanzamiento
Número de Caras
Observadas
Probabilidad de
los resultados
Cara Cara Cara 3 0.125
Cara Cara Sello 2 0.125
Cara Sello Cara 2 0.125
Cara Sello Sello 1 0.125
Sello Cara Cara 2 0.125
Sello Cara Sello 1 0.125
Sello Sello Cara 1 0.125
Sello Sello Sello 0 0.125
La función de probabilidad está dada por:
x 0 1 2 3
f(x) 0.125 0.375 0.375 0.125
Por lo tanto,
𝐹(𝑥) = {
0.125, 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 < 10.5 , 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑥 < 20.875, 𝑠𝑖 2 ≤ 𝑥 < 31 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3
𝐸(𝑋) = (0 ∙ 0.125) + (1 ∙ 0.375) + (2 ∙ 0.375) + (3 ∙ 0.125) = 1.5
𝑉(𝑥) = 𝜎𝑥2 = [(02 − 0.125) + (12 − 0.375) + (22 − 0.375) + (32 − 0.125)] ∙ 1.52
𝑉(𝑥) = 𝜎𝑥2 = 29.25
𝜎𝑥 = √29.25 = 5.4
6. Una urna contiene 4 bolas con los números 1, 2, 3 y 4 respectivamente. Si se toman dos
bolas de la urna sin sustitución y X representa la suma de los números de las dos bolas
extraídas. Determine la función de probabilidad f(X), el valor esperado E(X) y la varianza de
la variable aleatoria.
El total de posibles resultados es:
𝑁 = 4 × 3 = 12 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠
A continuación presentamos los posibles resultados después de la primera extracción:
Primera
extracción
Segunda
Extracción
Valor de
la suma
Probabilidad
1 2 3 1/12
1 3 4 1/12
1 4 5 1/12
2 1 3 1/12
2 3 5 1/12
2 4 6 1/12
3 1 4 1/12
3 2 5 1/12
3 4 7 1/12
4 1 5 1/12
4 2 6 1/12
4 3 7 1/12
La función de probabilidad de la suma de los dos valores es:
Para 𝑥 = 3, 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑠 1
12+
1
12=
1
6
Para 𝑥 = 4, 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑠 1
12+
1
12=
1
6
Para 𝑥 = 5, 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑠 1
12+
1
12+
1
12+
1
12=
1
3
Para 𝑥 = 6, 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑠 1
12+
1
12=
1
6
Para 𝑥 = 7, 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑠 1
12+
1
12=
1
6
x 3 4 5 6 7
f(x) 1/6 1/6 1/3 1/6 1/6
La esperanza matemática es:
𝐸(𝑋) = (3 ∙1
6) + (4 ∙
1
6) + (5 ∙
1
3) + (6 ∙
1
6) + (7 ∙
1
6)
𝐸(𝑋) = (1
2) + (
2
3) + (
5
3) + (1) + (
7
6)
𝐸(𝑋) = 5
La varianza de la variable aleatoria es:
𝑉(𝑥) = 𝜎𝑥2 = [(32 − 1/6) + (42 − 1/6) + (52 − 1/3) + (62 − 1/6) + (72 − 1/6)] ∙ 52
𝑉(𝑥) = 𝜎𝑥2 = 3350
7. A un dependiente de un auto lavado se le paga de acuerdo con el número de automóviles
que lava. Suponga que las probabilidades son 1/12, 1/12, 1/4, 1/4, 1/6 y 1/6
respectivamente de que el dependiente reciba $5, $7, $9, $ 11, $ 13 o $ 17 entre las 4 y 5
de la tarde en un día soleado. Encuentre las ganancias que espera el dependiente para
este periodo específico.
Lo que se puede esperar de ganancia se representa por medio de la esperanza:
𝐸(𝑋) = (5 ∙ 1/12) + (7 ∙ 1/12) + (9 ∙ 1/4) + (11 ∙ 1/4) + (13 ∙ 1/6) + (17 ∙ 1/6)
𝐸(𝑋) = (5
12) + (
7
12) + (
9
4) + (
11
4) + (
13
6) + (
17
6)
𝐸(𝑋) = 11
Se espera una ganancia de $11.
8. Una persona pide prestado un llavero con cinco llaves, y no sabe cuál es la que abre un
candado. Por tanto, intenta con cada llave hasta que consigue abrirlo. Sea la variable
aleatoria X que representa el número de intentos necesarios para abrir el candado.
a. Determine la función de probabilidad de X.
b. Cuál es el valor de P (X ≤ 1)
Como cada intento tiene la misma probabilidad, la función de probabilidad es:
𝑓(𝑥) =1
5, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 1, 2, 3, 4, 5.
El valor de P (X ≤ 1) es:
𝑝(𝑥 ≤ 1) =1
5
9. Se sacan 3 balotas sucesivamente de una caja que contiene 4 balotas negras y 2 balotas
verdes; cada balota se regresa a la caja antes de sacar la siguiente, Encuentre la
distribución de probabilidad para la variable X que representa el número de balotas
verdes.
La probabilidad de éxito que consiste en sacar una balota verde es:
𝑃(𝑋) =2
6=1
3= 0.33
La distribución de probabilidad es:
𝑃(𝑋 = 𝑥) = (3
𝑥) (1
3)𝑥
(2
3)3−𝑥
Al desarrollarla para cada número de balotas se obtiene:
𝑃(𝑋 = 0) = (3
0) (1
3)0
(2
3)3
=8
27
𝑃(𝑋 = 1) = (3
1) (1
3)1
(2
3)2
=4
9
𝑃(𝑋 = 2) = (3
2) (1
3)2
(2
3)1
=2
9
𝑃(𝑋 = 3) = (3
3) (1
3)3
(2
3)0
=1
27
Podemos observar que:
∑𝑃(𝑋 = 𝑥) = 1
3
𝑥=0
10. Al invertir en acciones financieras, una persona puede lograr una ganancia de 4000 dólares
en un ano con probabilidad de 0.3 o bien tener una pérdida de 1.000 dólares con
probabilidad de 0.7. Cuál sería la ganancia esperada de esa persona.
La ganancia esperada teniendo en cuenta el valor positivo (ganancia) y el negativo
(pérdida) es:
𝐸(𝑋) = (4000 ∙ 0.3) + (−1000 ∙ 0.7)
𝐸(𝑋) = (1200) − (700)
𝐸(𝑋) = 500
Se espera una ganancia de 500 dólares.
11. Suponga que un comerciante de joyería antigua está interesado en comprar una
gargantilla de oro para la cual las probabilidades de poder venderla con una ganancia de $
250, $ 100, al costo, o bien con una pérdida de $150 son: respectivamente: 0.22, 0.36,
0.28, 0.14. ¿cuál es la ganancia esperada del comerciante?
La ganancia esperada por el comerciante debe ser:
𝐸(𝑋) = (250 ∙ 0.22) + (100 ∙ 0.36) + (0 ∙ 0.28) − (150 ∙ 0.14)
𝐸(𝑋) = (55) + (36) + (0) − (21)
𝐸(𝑋) = 70
El comerciante espera una ganancia de $70.
12. Un piloto privado desea asegurar su avión por 50.000 dólares. La compañía de seguros
estima que puede ocurrir una pérdida total con probabilidad de 0.002, una pérdida de 50%
con una probabilidad de 0.01 y una de 25% con una probabilidad de 0.1. Si se ignoran
todas las otras pérdidas parciales, ¿que prima debe cargar cada año la compañía de
seguros para obtener una utilidad media de US $500?
La probabilidad de que no exista pérdida es:
1 − (0.002 + 0.01 + 0.1) = 0.888
Ahora, la utilidad media es:
𝜇𝑥 = 𝐸(𝑋) = (𝑃 ∙ 0.888) − (50000 ∙ 0.002) − (25000 ∙ 0.01) − (12500 ∙ 0.1) = 500
𝑃 ∙ 0.238 − 100 − 250 − 1250 = 500
𝑃 ∙ 0.888 − 1600 = 500
𝑃 =500 + 1600
0.888
𝑃 = 2364.86
La compañía debe cargar una prima de 2364.86 dólares.
13. Sea X una variable aleatoria con función de densidad:
𝑓(𝑥) = {𝑎(3𝑥 − 𝑥2) 0 ≤ 𝑥 ≤ 3
0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
a. Determine el valor de a para que la función sea efectivamente una función de densidad de
probabilidad
Para que sea una función de densidad debe cumplirse que:
∫𝑎(3𝑥 − 𝑥2)𝑑𝑥
3
0
= 1
𝑎∫(3𝑥 − 𝑥2)𝑑𝑥
3
0
= 𝑎 [3𝑥2
2−𝑥3
3]3
0= 1
𝑎 [(3(3)2
2−33
3) − (
3(0)2
2−03
3)] = 1
9
2𝑎 = 1
𝑎 =2
9
b. Calcule P ( 1 < X < 2)
Conociendo el valor de a, tenemos:
∫2
9(3𝑥 − 𝑥2)𝑑𝑥
2
1
=2
9∫(3𝑥 − 𝑥2)𝑑𝑥
2
1
=2
9[3𝑥2
2−𝑥3
3]2
1
=2
9[(3(2)2
2−(2)3
3) − (
3(1)2
2−(1)3
3)]
=2
9[(6 −
8
3) − (
3
2−1
3)]
=2
9[10
3−7
6]
=2
9[13
6]
=13
27≈ 0.481
14. Sea X una variable aleatoria con función de densidad:
𝑓(𝑥) = {
𝑥
2 0 ≤ 𝑥 ≤ 2
0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
Obtenga el valor esperado de la variable, la varianza y la desviación estándar.
El valor esperado es:
𝐸(𝑥) = ∫𝑥 ∙ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
2
0
= ∫𝑥 ∙𝑥
2𝑑𝑥
2
0
= ∫𝑥2
2𝑑𝑥
2
0
= (𝑥3
6)2
0= (
23
6) − (
03
6) =
4
3
𝜎𝑥2 = ∫𝑥2 ∙
𝑥
2𝑑𝑥
2
0
− (4
3)2
= ∫𝑥3
2𝑑𝑥
2
0
−16
9= (
𝑥4
8)2
0−4
3= 2 −
16
9=2
9
𝜎𝑥 = √0.22 = 0.471
15. Sea X una variable aleatoria con función de densidad
𝑓(𝑥) = {𝑎(4𝑥 − 𝑥3) 0 ≤ 𝑥 ≤ 2
0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
a. Determine el valor de a para que la función sea efectivamente una función de
densidad de probabilidad
Como 𝑓(𝑥) representa una función de densidad debe suceder que:
∫𝑎(4𝑥 − 𝑥3)
2
0
𝑑𝑥 = 1
𝑎∫(4𝑥 − 𝑥3)
2
0
𝑑𝑥 = 1
𝑎 (4𝑥2
2−𝑥4
4)2
0= 1
𝑎 [(4(2)2
2−(2)4
4) − (
4(0)2
2−(0)4
4)] = 1
𝑎[(8 − 4) − (0 − 0)] = 1
𝑎[(4) − (0)] = 1
4𝑎 = 1
𝒂 =𝟏
𝟒
b. Calcule P ( 1 < X < 1,5)
Esto es:
∫1
4(4𝑥 − 𝑥3)
1,5
0
𝑑𝑥
=1
4∫ (4𝑥 − 𝑥3)
1,5
0
𝑑𝑥
=1
4(4𝑥2
2−𝑥4
4)1,5
0
=1
4[(4(1,5)2
2−(1,5)4
4) − (
4(0)2
2−(0)4
4)]
=1
4[(9
2−81
64) − (0 − 0)]
=1
4[(207
64)]
=207
256≈ 0.81
c. Obtenga el valor esperado de la variable
𝐸(𝑥) =1
4∫𝑥 ∙ (4𝑥 − 𝑥3)𝑑𝑥
2
0
=16
15
=1
4∫(4𝑥2 − 𝑥4)𝑑𝑥
2
0
=1
4∫(
4𝑥3
3−𝑥5
5)𝑑𝑥
2
0
=1
4(4𝑥3
3−𝑥5
5)2
0
=1
4[(4(2)3
3−(2)5
5) − (
4(0)3
3−(0)5
5)]
=1
4[(32
3−32
5) − (0)]
=1
4[64
15]
=16
15≈ 1.067
16. Un ama de casa permite a sus hijos pequeños mirar la televisión un máximo de 200 horas
por mes y solo después de terminar sus tareas escolares. Ella lleva un control riguroso del
tiempo que sus hijos mantienen la televisión encendida cada mes, de modo que se trata
de una variable continua, que medida en unidades de 100 horas, tiene la siguiente función
de densidad:
𝑓(𝑥) = {𝑥 0 ≤ 𝑥 ≤ 12 − 𝑥 1 ≤ 𝑥 ≤ 20 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
Determine la probabilidad de que, durante un mes cualquiera, los niños vean la televisión:
a. entre 50 y 100 horas
Como se mide en unidades de 100 horas, la probabilidad es:
𝑝(50 < 𝑥 < 100) = ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥
1
0.5
= ∫𝑥𝑑𝑥
1
0.5
= (𝑥2
2)1
0.5
= ((1)2
2−(0.5)2
2)
= (1
2−1
8)
=3
8≈ 0.375
b. entre 120 y 150 horas
𝑝(120 < 𝑥 < 150) = ∫ (𝑓(𝑥))𝑑𝑥
1.5
1.2
= ∫ (2 − 𝑥)𝑑𝑥
1.5
1.2
= (2𝑥 −𝑥2
2)1.5
1.2
= (2(1.5) −(1.5)2
2) − (2(1.2) −
(1.2)2
2)
= (15
8−42
25)
=39
200≈ 0.195
c. Calcule el promedio de horas de televisión que espera la mama vean sus hijos.
El promedio se calcula por medio de las integrales:
𝐸(𝑥) = ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
2
0
∫𝑥 ∙ 𝑥𝑑𝑥
1
0
+ ∫𝑥 ∙ (2 − 𝑥)𝑑𝑥
2
1
= ∫𝑥2𝑑𝑥
1
0
+ ∫(2𝑥 − 𝑥2)𝑑𝑥
2
1
= (𝑥3
3)1
0+ (𝑥2 −
𝑥3
3)2
1
= ((1)3
3−(0)3
3) + ([(2)2 −
(2)3
3] − [(1)2 −
(1)3
3])
=1
3+2
3
= 1
Los niños ven en promedio 100 horas
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS Y CONTINUAS
17. En una clase de ciencias naturales de 12 alumnos se elegirá un representante de grupo,
para lo cual se usara el número de lista de cada alumno. Se anotan 12 papeles con
números del 1 al 12 respectivamente se doblan y se meten en un frasco. Luego se extrae al
azar un papel para designar al representante. Determine la probabilidad de que el número
que salga sea menor que 5; determine la probabilidad de que el número sea mayor que 3
pero menor que 7.
𝑝(𝑥) =1
12= 0.083
𝑞(𝑥) = 0.917
𝑃(𝑋 < 5) = 𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2) + 𝑃(𝑋 = 3) + 𝑃(𝑋 = 4)
𝑃(𝑋 = 0) = (12
0) (0.083)0(0.917)12 = 0.3535
𝑃(𝑋 = 1) = (12
1) (0.083)1(0.917)11 = 0.3840
𝑃(𝑋 = 2) = (12
2) (0.083)2(0.917)10 = 0.1911
𝑃(𝑋 = 3) = (12
3) (0.083)3(0.917)9 = 0.0577
𝑃(𝑋 = 4) = (12
4) (0.083)4(0.917)8 = 0.0117
𝑃(𝑋 < 5) = 0.3535 + 0.3840 + 0.1911 + 0.0577 + 0.0117
𝑃(𝑋 < 5) = 0.998
Ahora la probabilidad de que el número sea mayor que 3 pero menor que 7 es:
𝑃(3 < 𝑋 < 7) = 𝑃(𝑋 = 4) + 𝑃(𝑋 = 5) + 𝑃(𝑋 = 6)
𝑃(𝑋 = 4) = (12
4) (0.083)4(0.917)8 = 0.0117
𝑃(𝑋 = 5) = (12
5) (0.083)5(0.917)7 = 0.0017
𝑃(𝑋 = 6) = (12
6) (0.083)6(0.917)6 = 0.000180
𝑃(3 < 𝑋 < 7) = 0.0117 + 0.0017 + 0.000180
𝑃(3 < 𝑋 < 7) = 0.01358
18. Como participante de una encuesta de contaminación del aire, un inspector decide
examinar las emisiones de seis de los 24 camiones de una compañía. Si cuatro de los
camiones emiten cantidades excesivas de contaminantes cual es la probabilidad de que
ninguno de ellos sea parte de la muestra del inspector.
𝑃(𝑋 = 0) =(40)(20
6)
(246)
= 0.2880
19. Un ingeniero de control de calidad inspecciona una muestra, tomada al azar, de dos
calculadoras manuales, de cada lote que llega de 18, y acepta el lote si ambas están en
buenas condiciones de trabajo; de otra manera, se inspecciona todo el lote y el costo se
carga al vendedor, determine la probabilidad de que un lote se acepta sin inspección
adicional, si contiene:
a. Cuatro calculadoras que no están en buenas condiciones de trabajo
b. Ocho calculadoras que no están en buenas condiciones de trabajo
20. Una florería tiene 15 vehículos de reparto, que se utilizan principalmente para llevar flores
y arreglos florales en una ciudad, suponga que seis de los 15 camiones tienen problemas
con los frenos. Se seleccionaron cinco vehículos al azar para probarlos, cual es la
probabilidad de que dos de los camiones probados tengan frenos defectuosos?
𝑝(𝑥) =6
15= 0.4
𝑞(𝑥) = 0.6
𝑃(𝑋 = 2) = (5
2) ∙ (0.4)2 ∙ (0.6)3 = 0.3456
21. En una fábrica de circuitos electrónicos, se afirma que la proporción de unidades
defectuosas de cierto componente que esta produce es del 5%. ¿Cuál es la probabilidad de
que un comprador al revisar 15 unidades al azar encuentre cuatro defectuosas?
𝑃(𝑋 = 4) = (15
4) ∙ (0.05)4 ∙ (0.95)11 = 0.00485
22. Un investigador inyecta un germen patógeno a varios ratones a la vez, hasta que haya 2
que han contraído la enfermedad. Si la probabilidad de contraer el padecimiento es de 1/6
¿cuál es la probabilidad de que sean necesarios 8 ratones?
𝑃(𝑋 = 2) = (8
2) ∙ (
1
6)2
∙ (5
6)
6
= 0.2605
23. Según los registros universitarios fracasa el 5% de los alumnos de cierto curso. ¿cuál es la
probabilidad de que de 6 estudiantes seleccionados al azar, menos de 3 hayan fracasado?
𝑃(𝑋 < 3) = 𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2)
𝑃(𝑋 = 0) = (6
0) ∙ (0.05)0 ∙ (0.95)6 = 0.7350
𝑃(𝑋 = 1) = (6
1) ∙ (0.05)1 ∙ (0.95)5 = 0.2321
𝑃(𝑋 = 2) = (6
2) ∙ (0.05)2 ∙ (0.95)4 = 0.031
𝑃(𝑋 < 3) = 0.9981
24. Según un estudio publicado por un grupo de sociólogos de la Universidad de
Massachusetts, aproximadamente el 60% de los consumidores del tranquilizante Valium
en dicho estado, tomaron el fármaco por problemas psicológicos, Determine la
probabilidad de que entre los siguientes 8 consumidores entrevistados en este estado, por
lo menos 5 hayan comenzado a tomarlo por problemas psicológicos.
𝑃(𝑋 ≥ 5) = 𝑃(𝑋 = 5) + 𝑃(𝑋 = 6) + 𝑃(𝑋 = 7) + 𝑃(𝑋 = 8)
𝑃(𝑋 = 5) = (8
5) ∙ (0.6)5 ∙ (0.4)3 = 0.2787
𝑃(𝑋 = 6) = (8
6) ∙ (0.6)6 ∙ (0.4)2 = 0.2090
𝑃(𝑋 = 7) = (8
7) ∙ (0.6)7 ∙ (0.4)1 = 0.0896
𝑃(𝑋 = 5) = (8
8) ∙ (0.6)8 ∙ (0.4)0 = 0.0168
𝑃(𝑋 ≥ 5) = 0.5941
25. La probabilidad de que una persona que vive en cierta ciudad tenga un perro se estima en
0.3. Determine la probabilidad de que la décima persona entrevistada al azar en dicha
ciudad sea la quinta en poseer un perro.
𝑃(𝑋 = 5) = (10
5) ∙ (0.3)5 ∙ (0.7)5 = 0.1030
26. Suponga que cierto estudiante tiene una probabilidad de 0,75 de aprobar el examen de
inglés en cualquier intento que haga. ¿Cuál es la probabilidad de que lo logre aprobar en el
cuarto intento?
Debido al enunciado, podemos deducir que el estudiante tiene la misma probabilidad en
cualquier intento; es decir 75%
27. De acuerdo con un reporte de la secretaria de movilidad, en Bogotá se registran en
promedio 7,5 peatones atropellados a la semana (7 días). Determine la probabilidad de
que en tres días de una semana cualquiera ocurran entre 6 y 8 casos de personas
atropelladas en la ciudad.
𝜆 = 7.5 𝑝𝑒𝑎𝑡𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑐𝑎𝑑𝑎 7 𝑑í𝑎𝑠 = 1.07𝑝𝑒𝑎𝑡𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑑í𝑎
En tres días tenemos:
𝜆 = 3.21
Ahora,
𝑃(6 ≤ 𝑋 ≤ 8) = 𝑃(𝑋 = 6) + 𝑃(𝑋 = 7) + 𝑃(𝑋 = 8)
𝑃(𝑋 = 6) =𝑒−3.21 ∙ (3.21)6
6!= 0.06132
𝑃(𝑋 = 7) =𝑒−3.21 ∙ (3.21)7
7!= 0.02812
𝑃(𝑋 = 8) =𝑒−3.21 ∙ (3.21)8
8!= 0.01128
𝑃(6 ≤ 𝑋 ≤ 8) = 0.10072
28. El número de camiones en promedio que llegan a una central de abastos en cierta ciudad,
es de 12 por día. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día cualquiera lleguen menos de
nueve camiones a esa central de abastos?
𝜆 = 12 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑑í𝑎
𝑃(𝑋 < 9) = 𝑒−12∑(12)𝑥
𝑥!
8
𝑥=0
𝑃(𝑋 < 9) = 𝑒−12(25231.51) = 0.1550
29. Si Z es la distribución normal tipificada, encuentre el área bajo la curva que cae:
a. A la izquierda de z = - 1,13
Observando la Tabla de valores negativos tenemos:
Para 𝑧 = −1,13 el área es 0,12924
b. Entre z = - 2,06 y z = - 0,15
Para 𝑧 = −2,06 el área es 0.01970
Para 𝑧 = −0.15 el área es 0,44038
El área buscada es: 0,44038 − 0,01970 = 0,42068
c. A la derecha de z = 1,44
Para 𝑧 = 1,44 el área es: 0,92507
Por lo tanto a la derecha de éste valor su área es: 1 − 0,92507 = 0.07493
30. Si la variable aleatoria Z tiene una distribución normal tipificada, encuentre la mejor
aproximación de las tablas para el valor de k, tal que:
a. P ( Z > K ) = 0,3500
P (Z > K) = 1 – P(Z<K) = 0.3500
1 –0.3500 = P (Z<K)
P (Z<K) = 0.65, por lo que se concluye que k es aproximadamente 0.39
b. P ( Z < K ) = 0,5500
Aquí, K es aproximadamente 0.13
c. (Ko < Z < k1) = 0,9500
Esto quiere decir que se busca P(X<k1) – P(X<k0) = 0.9500
Si k0 = -2.8 entonces P (k1) = 0.9500 + 0.00256 = 0.95256
Por lo tanto, podemos tomar k0 = -2.8 y k1 = 1.67
31. Las notas de un examen hecho a una clase de 36 alumnos siguen una distribución Normal
con media 4.2 y desviación estándar 1.3.
a. Calcular el número de alumnos con nota entre 5 y 7.
𝑍5 =5 − 4.2
1.3= 0.62
𝑍7 =7 − 4.2
1.3= 2.15
𝑃(0.62 < 𝑍 < 2.15) = 𝑃(𝑍 < 2.15) − 𝑃(𝑍 < 0.62)
𝑃(0.62 < 𝑍 < 2.15) = 0.98422 − 0.7324 = 0.251852
Es decir, el 25.19% de los estudiantes (Aprox. 9 estudiantes) tienen notas entre 5 y
7
b. Número de alumnos con nota entre 4 y 6.
𝑍4 =4 − 4.2
1.3= −0.15
𝑍6 =6 − 4.2
1.3= 1.38
𝑃(−0.15 < 𝑍 < 1.38) = 𝑃(𝑍 < 0.38) − 𝑃(𝑍 < −0.15)
𝑃(−0.15 < 𝑍 < 1.38) = 𝑃(𝑍 < 0.38) − (1 − 𝑃(𝑍 > 0.15))
𝑃(−0.15 < 𝑍 < 1.38) = 0.91621 − 0.44038 = 0.47583
Es decir, el 47.58% de los estudiantes (Aprox. 17 estudiantes) tienen notas entre 4
y 6
32. El peso de las naranjas sigue una distribución normal de media 180 g y desviación típica 20
g. Un almacenista ha comprado 10.000 kg. Calcular:
a. Kilos de naranjas que se espera pesen menos de 150 g.
𝑍150 =150 − 180
20= −1.5
𝑃(𝑍 < −1.5) = 1 − 𝑃(𝑍 < 1.5)
𝑃(𝑍 < −1.5) = 1 − 0.9332 = 0.0668
Es decir, el 6.68% de las naranjas (Aprox. 668 kilos) pesan menos de 150 g.
b. Kilos de naranjas cuyo peso se espera que este entre 160 y 200 g.
𝑍160 =160 − 180
20= −1
𝑍200 =200 − 180
20= 1
𝑃(−1 < 𝑍 < 1) = 𝑃(𝑍 < 1) − (1 − 𝑃(𝑍 < 1))
𝑃(−1 < 𝑍 < 1) = 0.8416 − 0.1584
𝑃(−1 < 𝑍 < 1) = 0.6832
Es decir, el 68.32% de las naranjas (Aprox. 6832 kilos) pesan entre de 160 y 200 g.
33. El Departamento de Talento Humano de una universidad ha hecho un estudio sobre la
distribución de las edades del profesorado y ha observado que se distribuyen
normalmente con una media de 34 años y una desviación típica de 6 años. De un total de
400 profesores hallar:
a. Cuantos profesores hay con edad menor o igual a 35 años?
𝑍35 =35 − 34
6= 0.167
𝑃(𝑍 ≤ 0.167) = 0.5656
Es decir, el 56.56% de los profesores (Aprox. 226 maestros) tienen una edad
menor o igual a 35 años.
b. Cuantos de 55 años o más?
𝑍55 =55 − 34
6= 3.5
𝑃(𝑍 ≥ 3.5) = 1 − 𝑃(𝑍 < 3.5) = 1 − 0.999767 = 0.000233
Es decir, el 0.0233% de los profesores (Aprox. 1 maestro) tiene una edad mayor o igual a 55
años.
34. En una panadería se cortan panecillos con un peso que se ajusta a una distribución normal
de media 100 g y desviación típica 9. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un panecillo cuyo
peso oscile entre 80 g y la media?
𝑍80 =80 − 100
9= −2.22
𝑍100 =100 − 100
9= 0
𝑃(−2.22 < 𝑍 < 0) = 𝑃(𝑍 < 0) − (1 − 𝑃(𝑍 < 2.22))
𝑃(−2.22 < 𝑍 < 0) = 0.5 − 0.013209 = 0.486791
Es decir, el 48.68% de los panecillos tiene un peso entre 80 g y la media.
35. La duración media de un lavavajillas es de 15 años, con una desviación típica igual a 0.5
años. Si la vida útil de electrodomésticos se distribuye normalmente, halla la probabilidad
de que al comprar un lavavajillas este dure más de 16 años.
𝑍16 =16 − 15
0.5= 2
𝑃(𝑍 > 2) = 1 − 𝑃(𝑍 ≤ 2)
= 1 − 0.977250
= 0.02275
36. Se ha determinado que para varones normales en una cierta población normalmente
distribuida, la temperatura media es de 37ºC y desviación estándar de 0,5ºC. Si se
consideran 1000 de estas personas ¿Cuantas se puede esperar que tengan una
temperatura comprendida entre 37ºC y 37,6ºC?
𝑍16 =37 − 37
0.5= 0
𝑍16 =37.6 − 37
0.5= 1.2
𝑃(0 < 𝑍 < 1.2) = 𝑃(𝑍 < 1.2) − 𝑃(𝑍 < 0)
𝑃(0 < 𝑍 < 1.2) = 0.884930 − 0.5 = 0.38493
Es decir, se puede esperar que el 38.49% de las personas (Aprox. 385 personas) tiene una
temperatura entre 37ºC y 37.6ºC.
37. Un calentador de agua requiere por término medio 30 minutos para calentar 40 galones
de agua hasta una temperatura determinada. Si los tiempos de calentamiento se
distribuyen normalmente con una desviación estándar de 0,5 minutos ¿Qué porcentaje de
los tiempos de calentamiento son superiores a 31 minutos?
𝑍31 =31 − 30
0.5= 2
𝑃(𝑍 > 2) = 1 − 𝑃(𝑍 ≤ 2)
= 1 − 0.977250
= 0.02275
= 2.275%
Es decir, 0.91 galones están por encima del calentamiento a 31 minutos, lo que
corresponde al 2.275% de los tiempos de calentamiento son superiores a 31 minutos.
38. Los resultados de una prueba objetiva de selección hecha a 200 personas indicaron que la
distribución de puntuaciones era normal, con media 60 puntos y desviación típica de 6
puntos. Calcular cuántos examinados han obtenido una puntuación entre 30 y 40 puntos, y
¿cuál es la mínima puntuación por debajo de la cual están el 75 % de los examinados?
𝑍30 =30 − 60
6= −5
𝑍40 =40 − 60
6= −3.33
𝑃(−5 < 𝑍 < −3.33) = (1 − 𝑃(𝑍 < 3.33)) − (1 − 𝑃(𝑍 < 5))
𝑃(−5 < 𝑍 < −3.33) = 0.000434 − 0
𝑃(−5 < 𝑍 < −3.33) = 0.000434 ≈ 0.0434
200 ∙ 0.000434 = 0.0868 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠
Ha obtenido una puntuación entre 30 y 40 puntos 1 persona aproximadamente
Ahora, buscamos en la tabla el valor de la variable tipificada de tal manera que sea inferior al
75%, es decir 0.75; éste valor es Z = 0.675:
0.675 =𝑋 − 60
6
𝑋 = 0.675 ∙ 6 + 60 = 64.05
Es decir, la mínima puntuación por debajo de la cual están el 75% de los examinados es 64.05
39. Suponiendo que las tallas de los adultos de un país A siguen una distribución normal con
media 180 cm. y desviación típica 5 cm. y que las tallas de los adultos en un país B siguen
una distribución también normal, pero con media 180 cm. y desviación típica 15 cm.,
contestar de manera justificada en cuál de los dos países es más probable encontrar
adultos con talla superior a 195 cm. y donde es más probable encontrar adultos con talla
comprendida entre 175 y 185 cm.
País A:
𝑍195 =195 − 180
5= 3
𝑃(𝑍 > 3) = 1 − 𝑃(𝑍 < 3) = 1 − 0.998650 = 0.00135
País B:
𝑍195 =195 − 180
15= 1
𝑃(𝑍 > 1) = 1 − 𝑃(𝑍 < 1) = 1 − 0.841345 = 0.158655
Es más probable encontrar adultos con una estatura superior a 195 cm en el país B.
País A:
𝑍175 =175 − 180
5= −1
𝑍185 =185 − 180
5= 1
𝑃(−1 < 𝑍 < 1) = 𝑃(𝑍 < 1) − 𝑃(𝑍 < −1)
𝑃(−1 < 𝑍 < 1) = 𝑃(𝑍 < 1) − (1 − 𝑃(𝑍 < 1)) = 0.841345 − 0.158655 = 0.68269
País B:
𝑍175 =175 − 180
15= −0.33
𝑍185 =185 − 180
15= 0.33
𝑃(−0.33 < 𝑍 < 0.33) = 𝑃(𝑍 < 0.33) − 𝑃(𝑍 < −0.33)
𝑃(−0.33 < 𝑍 < 0.33) = 𝑃(𝑍 < 0.33) − (1 − 𝑃(𝑍 < 0.33)) = 0.625516 − 0.374481
= 0.251035
Es más probable encontrar una persona que mida entre 175 y 185cm el país A.