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7/21/2019 COLABORATIVO 1- 2015 APORTE.docx
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Indique si son lineales o no lineales y el orden de la ED
A.dy
dx+sen (y )=0
no lineal, de primer orden
B. y' '+y '+y=0. Lineal de segundo orden
C.d
2y
d x2+
dy
dx5y=ex
lineal de segundo orden
D. (2y+1 ) dx+(y2xyx ) dy no es ecuacin diferencial
E. x y'y=x2 lineal de primer orden
F. Muestre que y = 1/x es una solucin de la ecuacin diferencial
dy
dx +y2
+y
x1
x2=0y=
1
x y1
=1
x2
Sustituyo
1
x2+( 1x )+
( 1x )x
1
x2=0
1
x2+
1
x2+ 1
x2
1
x2=0
0=0
Resuelva la siuiente ecuacin diferencial !or el "#todo de varia$les se!ara$les%
A. Solucione por separacin de variables
dy
dx=2x
y
ydy=2x dx
ydy=2x dxy
2
2=
2x2
2 +c
y2=2x2+c
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Deter"ine si la ecuacin dada es exacta. &i lo es' resu#lvala
B. Determine si es exacta, si lo es resulvala
2xydy
dx+y22x=0
2xydy=(2xy2)dx
(y22x ) dx+2xy dy=0
m
y=2y
n
x=2y como
m
y=
n
x
Por tanto Si es exacta, entonces
(y22x ) dx
x y2x2+h (y )
y[x y 2x2+h (y )]
2xy+h'(y )=2xy
h' (y )=0,h (y )=c
x y
2
x
2
=c
esolver la si!uiente ecuacin di"erencial #allando el "actor inte!rante$
%. (3xy+y2 ) dx+(x2+xy ) dy=0
m
y=3x+2y
n
x=2x+y
mymxn
=3x+2y2yy
x2+xy
= x+y
x(x+y )=
1
x
(x )=e 1
xdx
=elnx=x &
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(3x2y+x y 2 ) dx+(x3+y x2 ) dy=0
m
y=3x2+2xy
n
x=3x2+2xy
(3x2y+x y2 ) dx
x3y+
x2
2 y
2+h (y )
y=x3+x2y+h '(y )
x3+x2y+h '(y )=x3+y x2
h' (y )=0
h (y )=c
x3y+
x2
2 y
2=c
D. esuelva la ecuacindy
dx=
y
x+
x
yV=
y
x xV=y v+x
dv
dx=
dy
dx
Sustituyo
v+xdv
dx=v+v1
x
dv
dx =
1
v
vdv= 1x
dx
v2
2=ln|x|+c
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v2=2 ln|x|+c
(yx)=2Lnx+cy=2xLnx+cx
E. esuelva la ecuacin4
yx+y'=0y (1 )=1
(yx )1
4+dx
dy=0
dy
dx=y
1
4 x1
4
dy
y1
4
=x1
4 dx
y14 dy=x
1
4 dx
4
3y
3
4=45
x5
4
( c
y3
4=35
x5
4+c
o=c
y
3
4=35
(1 )5
4
y(1 ) no esta en el dominio de la solucion de laecuacion diferencial .
)na f*$rica est* situada cerca de un rio con caudal constante de 1++++" ,/s que vierte sus auas
!or la -nica entrada de un lao convolu"en de +++ "illones de ",. &u!ona que la f*$ricae"!e a funcionar el 1 de enero de 1000' y que desde entonces' dos veces !or da' de 2a de la "a3ana y de 2 a de la tarde' $o"$ea conta"inantes al ro a ran de 4 ",/s.
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&u!ona que el lao tiene una salida de 5+++",/s de aua $ien "eclada. Es$oce lar*fica de la solucin y deter"ine la concentracin de conta"inantes en el lao des!u#sde un da' un "es 6,+ das7' un a3o 6,8 das7.
'os datos conocidos de los e(ercicios son los si!uientes$
Caudalde entrada=10000m
3
s
Caudalde salida=8000m
3
s
Concentracin contaminante=2
m3
s
8000m3
s
=0.00025=0.025
Volumenlago (tanque )=6000106m
3
s
Esquema$
Este e(ercicio es un modelo de e(ercicio del caso de me)clas que tiene al!unas
consideraciones importantes para tener en cuenta$
Durante el d*a solo se va a presentar entrada del contaminante en + #oras
lue!o eso implicar*a tener ecuaciones que traba(aran por intervalos lo cual
ser*a ms complicado. Para solventar este problema vamos a considerar una
entrada promedio por d*a del contaminante as*$
Tasade entrada de contaminante=2m
3
s
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Tasade entrada de contaminante por dia=2
m3
s60 s
1min60min
1h 4h=28.800m
3
Tasade entrada de contaminante=28800m
3
dia
-. El volumen del la!o se mantiene constante ya que los caudales de
entrada y salida son i!uales.
.
caudal de salida=8000
m3
s60 s
1min 60min
1h 24h
1dia
=691200000 m
3
dia
Volumenlago (tanque )=6000106m
3
s
'ue!o de presentar las anteriores consideraciones vamos a plantear la
ecuacin que relaciona la cantidad de contaminante en el tiempo. esta se
representa por$
dQdt=QiQo
dQ
dt=ViVo
A#ora vamos a reempla)ar
dQ
dt=28800
691200000Q (t)
6000106
Simpli/cando$
dQ
dt=288000.1152Q (t)
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dQ
dt+0.1152Q (t)=28800
=e0.1152dt
=e0.1152 t
e0.1152 tdQ
dt +e0.1152 t0.1152Q (t)=e0.1152 t28800
d
dt(e0.1152 tQ ( t))=e0.1152 t28800
d(e0.1152tQ (t))= (e0.1152t28800 ) dt
e0.1152 tQ ( t)=28800 e0.1152 tdt
e0.1152tQ ( t)=
28800
0.1152e
0.1152+C
e0.1152tQ ( t)=250000 e0.1152t+C
Q (t)=250000e
0.1152 t+C
e0.1152 t
Q (t)=250000+C e0.1152t
0enemos la cantidad de contamiente en el la!o. A#ora sustituimos las
condiciones iniciales$
Q (0 )=0
0=250000+C e0.1152(0 )
0=250000+C
C=250000
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Q (t)=250000250000 e0.1152t
%on esta ecuacin se puede #allar una expresin para determinar la
concentracin de contaminante en el la!o
C( t)=Q (t)V(t)
=250000250000 e0.1152t
6000106
Entonces$
t=1da
C(1 )=250000250000e0.1152 (1)
6000106 =0.00000453=0.000453
t=30da
C(30 )=250000250000e0.1152(30 )
6000106 =0.0000403=0.00403
t=365da
C(365 )=250000250000e0.1152 (365)
6000106 =0.0000416=0.00416