clement rosario - geometria de los numeros
TRANSCRIPT
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G e o m e t r a d e l o s n u m e r o s
p o r
R o s a r i o C l e m e n t F e r n a n d e z , U n i v e r s i d a d d e l P a s V a s c o - E u s k a l
H e r r i k o U n i b e r t s i t a t e a
L e h a c e p o c o u n a r t c u l o d e l g e o m e t r a i n g l e s M i c h a e l A t i y a h s o b r e l a s M a t e m a t i c a s
d e l s i g l o X X . A fi r m a b a e n e l q u e e n t e n d e r e l m u n d o q u e n o s r o d e a e s s o b r e t o d o
e n t e n d e r l o q u e v e m o s , y q u e l a i n t u i c i o n e s p a c i a l e s n u e s t r a a r m a m a s p o d e r o s a .
E n s u o p i n i o n e s t o e x p l i c a e l l u g a r c e n t r a l q u e o c u p a l a g e o m e t r a d e n t r o d e l a s
m a t e m a t i c a s : m u c h o s p r o b l e m a s q u e n o t i e n e n n a d a q u e v e r c o n l a g e o m e t r a
s e r e s u e l v e n c u a n d o u n o e s c a p a z d e t r a n s f o r m a r l o s e n p r o b l e m a s g e o m e t r i c o s .
S e g u a d i c i e n d o A t i y a h q u e d e h e c h o , e n m a t e m a t i c a s , c u a n d o u n o d e j a d e p e n s a r
g e o m e t r i c a m e n t e , d e j a u n o d e e n t e n d e r l o q u e e s t a h a c i e n d o y u n i c a m e n t e h a c e
c a l c u l o s .
D e s d e l u e g o n o e s t o y d e a c u e r d o c o n e s t a u l t i m a p a r t e d e l a o p i n i o n d e A t i y a h :
e n e l a r e a d e l a s m a t e m a t i c a s q u e c o n o z c o u n p o c o , a b u n d a n l o s p r o b l e m a s q u e n o
t i e n e n n a d a d e g e o m e t r i c o s n i e n s u p l a n t e a m i e n t o n i e n s u r e s o l u c i o n . S i n e m b a r g o
n o p r e t e n d o p o l e m i z a r a q u s o b r e e s t e t e m a . M a s b i e n a l c o n t r a r i o , l o q u e v o y a
e x p o n e r a c o n t i n u a c i o n i l u s t r a p e r f e c t a m e n t e l a p r i m e r a p a r t e d e l a t e s i s d e A t i y a h :
v e r e m o s c o m o c i e r t o s p r o b l e m a s d e t e o r a d e n u m e r o s s e p u e d e n r e s o l v e r d e u n a
f o r m a m u y s e n c i l l a g e o m e t r i c a m e n t e .
L a s p e r s o n a s q u e i n i c i a r o n l a p a r t e d e l a t e o r a d e n u m e r o s q u e h o y s e c o n o c e p o r
1 1 5
-
1 1 6 7 . G e o m e t r a d e l o s n u m e r o s
G e o m e t r a d e l o s N u m e r o s f u e r o n M i n k o w s k i y D i r i c h l e t . M i n k o w s k i , d e h e c h o ,
f u e e l q u e a c u n o e s t e t e r m i n o : p u b l i c o u n l i b r o c o n e s e t t u l o e n 1 8 9 6 . M i n k o w s k i
n a c i o e n R u s i a e n 1 8 6 4 , p e r o v i v i o c a s i t o d a s u v i d a e n t r e S u i z a y A l e m a n i a , d o n d e
m u r i o e n 1 9 0 9 .
I n t e r e s a d o p o r u n p r o b l e m a d e f o r m a s c u a d r a t i c a s , M i n k o w s k i p r o b o u n t e o r e m a
q u e v a m o s a v e r a c o n t i n u a c i o n y q u e e s e s e n c i a l m e n t e t r i v i a l ; p e r o e l m i s m o s e d i o
c u e n t a d e q u e e s t e t e o r e m a t i e n e c o n s e c u e n c i a s n a d a t r i v i a l e s .
R e c o r d e m o s b r e v e m e n t e a l g u n a s c o s a s :
U n a R E D e n R
n
e s u n Z - m o d u l o l i b r e d e r a n g o n c o n u n a b a s e f o r m a d a p o r n
v e c t o r e s d e R
n
l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s . E s d e c i r u n a r e d e s :
= {
1
u
1
+ +
n
u
n
|
i
Z } ,
s i e n d o u
1
, . . . , u
n
v e c t o r e s d e R
n
l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s . P o r t a n t o , s e t i e n e
= Z u
1
Z u
n
.
U n D o m i n i o F u n d a m e n t a l d e l a r e d e s e l p a r a l e l e p p e d o d e t e r m i n a d o p o r
l o s v e c t o r e s u
1
, . . . , u
n
, e s d e c i r
D
= {
1
u
1
+ +
n
u
n
|
i
R , 0
i
< 1 } .
S e l l a m a V o l u m e n d e l a r e d , V o l ( ) , a l v o l u m e n d e u n d o m i n i o f u n d a -
m e n t a l D
. E s t e v o l u m e n e s p o r s u p u e s t o i n d e p e n d i e n t e d e l a b a s e e l e g i d a p a r a
c o m o Z - m o d u l o : l a m a t r i z d e p a s o d e u n a b a s e a o t r a d e c o m o Z - m o d u l o t i e n e
d e t e r m i n a n t e i g u a l a 1 .
-
1 1 7
T e o r e m a d e M i n k o w s k i d e l o s C u e r p o s C o n v e x o s : S e a u n a r e d d e
R
n
y S R
n
u n c o n j u n t o m e d i b l e c o n m e d i d a ( S ) , s i m e t r i c o r e s p e c t o d e l
o r i g e n y c o n v e x o .
a ) S i ( S ) > 2
n
V o l ( ) , e n t o n c e s S c o n t i e n e a l g u n p u n t o d i s t i n t o d e l
o r i g e n .
b ) S i S e s a d e m a s c o m p a c t o , b a s t a c o n q u e ( S ) 2
n
V o l ( ) p a r a p o d e r
a s e g u r a r l o m i s m o .
E s t e t e o r e m a e s t o t a l m e n t e i n t u i t i v o y m u y s e n c i l l o d e d e m o s t r a r . P o r e j e m p l o ,
e n e l c a s o n = 2 , n o s d i c e q u e s i l a m e d i d a d e S e s m a y o r q u e c u a t r o v e c e s e l
v o l u m e n d e , e n t o n c e s S c o n t i e n e a l g u n p u n t o d e l a r e d d i s t i n t o d e l o r i g e n .
L a d e m o s t r a c i o n s e b a s a e n u n a i d e a m u y s e n c i l l a : P a r a t o d o c o n j u n t o S
R
n
t a l q u e
( S
) > V o l ( )
e x i s t e n d o s p u n t o s d i s t i n t o s x
1
, x
2
S
t a l e s q u e x
1
x
2
.
C o m o s e p r u e b a e s t o ? V e a m o s l o p r i m e r o e n u n e j e m p l o :
-
1 1 8 7 . G e o m e t r a d e l o s n u m e r o s
T e n e m o s a q u u n a r e d e n R
2
y u n c o n j u n t o S
q u e i n t e r s e c a a c u a t r o c u a d r c u l a s ;
m e d i a n t e u n a t r a s l a c i o n p o r u n e l e m e n t o d e l a r e d c a d a u n a d e e s t a s c u a d r c u l a s v a a
p a r a r a l d o m i n i o f u n d a m e n t a l d e l a r e d ; l a s i m a g e n e s , d e n t r o d e l d o m i n i o f u n d a m e n -
t a l , d e l a s c u a t r o p a r t e s q u e c o m p o n e n e l c o n j u n t o S
n o p u e d e n s e r d i s j u n t a s , p u e s ,
s i l o f u e r a n , l a m e d i d a d e S
s e r a m e n o r o i g u a l q u e l a d e l d o m i n i o f u n d a m e n t a l , e s
d e c i r ( S
) V o l ( ) , y e s t o e s c o n t r a r i o a l a h i p o t e s i s q u e t e n e m o s . P o r l o t a n t o
e x i s t e x = x
1
1
= x
2
2
. D e d u c i m o s q u e x
1
x
2
=
1
2
, c o m o
q u e r a m o s p r o b a r .
E n g e n e r a l :
S
=
( S
( + D
) ) .
D e d o n d e :
( S
) =
( S
( + D
) ) =
( ( + S
) D
) .
P o r s e r ( S ) > V o l ( ) , n e c e s a r i a m e n t e e x i s t e n
1
,
2
,
1
6 =
2
, t a l e s q u e
(
1
+ S
) (
2
+ S
) 6 = . P o r t a n t o e x i s t e n x
1
, x
2
S
t a l e s q u e
1
+ x
1
=
2
+ x
2
. D e d o n d e x
1
x
2
=
1
2
e s t a e n .
P o d e m o s a h o r a d e m o s t r a r r a p i d a m e n t e e l t e o r e m a d e M i n k o w s k i :
P o n e m o s S
=
1
2
S . S
e s u n c o n j u n t o d e m e d i d a ( S
) =
1
2
n
( S ) > V o l ( ) .
P o r t a n t o e x i s t e n x
1
, x
2
S
t a l e s q u e x
1
x
2
. P e r o x
1
x
2
=
1
2
( 2 x
1
2 x
2
) .
-
1 1 9
P o r s u p u e s t o 2 x
1
y 2 x
2
e s t a n e n e l c o n j u n t o S ; p o r s e r S s i m e t r i c o 2 x
2
S , y p o r
s e r c o n v e x o
1
2
( 2 x
1
2 x
2
) S . L u e g o x
1
x
2
S .
A n t e s d e h a b l a r d e a l g u n a d e l a s c o n s e c u e n c i a s q u e M i n k o w s k i d e d u j o d e l
t e o r e m a q u e a c a b a m o s d e p r o b a r , v a m o s a v e r c o m o e s t e p e r m i t e d e m o s t r a r d e
f o r m a s e n c i l l a a l g u n o s t e o r e m a s c l a s i c o s d e l a t e o r a d e n u m e r o s .
T e o r e m a d e l o s d o s c u a d r a d o s ( F e r m a t ) : S e a p u n n u m e r o p r i m o .
E n t o n c e s
p = x
2
+ y
2
c o n x , y Z p = 2 o p 1 m o d 4 .
E s d e c i r , l o s n u m e r o s p r i m o s q u e s o n s u m a d e d o s c u a d r a d o s s o n e l 2 y l o s
c o n g r u e n t e s c o n 1 m o d u l o 4 . L a i m p l i c a c i o n e s t r i v i a l : b a s t a c o n r e d u c i r m o d u l o
4 y o b s e r v a r q u e e n Z / 4 Z , l a s c l a s e s q u e s o n c u a d r a d o s s o n l a s c l a s e s 0 y 1 .
P a r a p r o b a r l a o t r a i m p l i c a c i o n c o n s i d e r a m o s u n p r i m o p c o n g r u e n t e c o n 1
m o d u l o 4 ( e l c a s o d e l 2 e s e v i d e n t e : 2 = 1
2
+ 1
2
) . V a m o s a b u s c a r u n a r e d
Z
2
R
2
t a l q u e p a r a t o d o s l o s p u n t o s ( x
1
, x
2
) s e v e r i fi q u e q u e x
2
1
+ x
2
2
s e a u n m u l t i p l o d e p , y t a l q u e s e p u e d a a p l i c a r e l t e o r e m a d e M i n k o w s k i a e s a r e d y
a l a b o l a a b i e r t a B ( 0 ,
2 p ) c e n t r a d a e n e l o r i g e n y c o n r a d i o
2 p . S i c o n s e g u i m o s
u n a t a l r e d , t e n e m o s e l t e o r e m a d e m o s t r a d o : p o r e l t e o r e m a d e M i n k o w s k i e x i s t e u n
p u n t o ( x
1
, x
2
) B ( 0 ,
2 p ) ; p o r t a n t o x
2
1
+ x
2
2
e s u n m u l t i p l o d e p y p o r o t r a
p a r t e e s e s t r i c t a m e n t e m e n o r q u e 2 p ; l u e g o n e c e s a r i a m e n t e x
2
1
+ x
2
2
= p .
L a c o n d i c i o n q u e i m p o n e e l t e o r e m a d e M i n k o w s k i r e s p e c t o a l v o l u m e n d e l a r e d
e s : ( B ( 0 ,
2 p ) ) > 4 V o l ( ) , e s d e c i r 2 pi p > 4 V o l ( ) ; e s t a c o n d i c i o n s e c u m p l e
s i , p o r e j e m p l o , e l v o l u m e n d e e s p . U n a f o r m a n a t u r a l d e b u s c a r s u b r e d e s d e Z
2
d e v o l u m e n p e s c o n s i d e r a r a p l i c a c i o n e s l i n e a l e s
Z Z Z / ( p )
( x
1
, x
2
) x
1
+ a x
2
+ ( p ) .
C u a l q u i e r a d e e s t a s a p l i c a c i o n e s e s s u p r a y e c t i v a y s u n u c l e o e s , p o r t a n t o , u n a s u b r e d
d e Z
2
d e v o l u m e n p . V e a m o s s i p o d e m o s e l e g i r a d e t a l f o r m a q u e l o s e l e m e n t o s
d e l n u c l e o v e r i fi q u e n l a o t r a c o n d i c i o n q u e n e c e s i t a m o s , e s d e c i r q u e x
2
1
+ x
2
2
s e a u n
m u l t i p l o d e p . S i ( x
1
, x
2
) e s t a e n e l n u c l e o , e n t o n c e s x
1
a x
2
m o d p y p o r t a n t o
x
2
1
+ x
2
2
( a
2
+ 1 ) x
2
2
m o d p . S i p u d i e s e m o s e l e g i r a d e t a l f o r m a q u e a
2
+ 1 f u e s e
m u l t i p l o d e p , t o d o e s t a r a r e s u e l t o . Y a q u e s d o n d e n e c e s i t a m o s l a h i p o t e s i s q u e
t e n e m o s s o b r e p : p 1 m o d 4 .
-
1 2 0 7 . G e o m e t r a d e l o s n u m e r o s
E s b i e n s a b i d o q u e e l g r u p o m u l t i p l i c a t i v o Z / ( p ) { 0 } e s u n g r u p o c c l i c o c o n
p 1 e l e m e n t o s , g e n e r a d o d i g a m o s p o r l a c l a s e + ( p ) ; 1 + ( p ) e s e l e l e m e n t o
d e o r d e n d o s , p o r t a n t o 1 + ( p ) = ( + ( p ) )
p 1
2
. P o r s e r p 1 m o d 4 s e t i e n e q u e
p 1
2
= 2 m p a r a a l g u n m d e Z , y p o r t a n t o r e s u l t a q u e 1 + ( p ) e s u n c u a d r a d o e n
Z / ( p ) , e s d e c i r e x i s t e a Z t a l 1 a
2
m o d p . C o n e s t e a c o n s t r u y o l a a p l i c a c i o n
d e l a q u e h a b l a m o s a r r i b a y t e n e m o s e l t e o r e m a d e l o s d o s c u a d r a d o s d e m o s t r a d o .
D e f o r m a t o t a l m e n t e a n a l o g a s e p u e d e n d e m o s t r a r o t r o s t e o r e m a s d e l m i s m o
e s t i l o c o m o p o r e j e m p l o l o s s i g u i e n t e s , e n u n c i a d o s p o r F e r m a t y p r o b a d o s , c o n g r a n
e s f u e r z o s e g u n e l m i s m o r e c o n o c i o , p o r E u l e r :
P a r a t o d o p r i m o p s e v e r i fi c a
p = x
2
+ 2 y
2
x , y Z p = 2 o p 1 , 3 m o d 8
p = x
2
+ 3 y
2
x , y Z p = 3 o p 1 m o d 3
p = x
2
+ 5 y
2
x , y Z p = 5 o p 1 , 9 m o d 2 0 .
A t t u l o d e e j e m p l o r e s u m i m o s c o m o s e d e m u e s t r a q u e s i p 1 m o d 3 e n t o n c e s
e x i s t e n x e y e n Z t a l e s q u e p = x
2
+ 3 y
2
.
S i p 1 m o d 3 e n t o n c e s 3 e s u n c u a d r a d o m o d u l o p ( e s t e e s u n c a s o p a r t i c u l a r
d e l a L e y d e R e c i p r o c i d a d C u a d r a t i c a , d e s c u b i e r t a p o r E u l e r p r e c i s a m e n t e
c u a n d o i n t e n t a b a p r o b a r l o s t e o r e m a s c i t a d o s m a s a r r i b a ) . S i 3 e s u n c u a d r a d o
m o d p , s u i n v e r s o , e s d e c i r 1 / 3 t a m b i e n l o e s , y p o r t a n t o e x i s t e a Z t a l q u e
1 + 3 a
2
e s u n m u l t i p l o d e p .
C o n s i d e r o l a a p l i c a c i o n l i n e a l s u p r a y e c t i v a
Z Z Z / ( p )
( x
1
, x
2
) x
2
a x
1
+ ( p ) .
S u n u c l e o , , e s u n a r e d d e v o l u m e n p y t a l q u e p a r a t o d o ( x
1
, x
2
) s e t i e n e
x
2
1
+ 3 x
2
2
+ ( p ) = x
2
1
+ 3 a
2
x
2
1
+ ( p ) = ( 1 + 3 a
2
) x
2
1
= 0 + ( p )
e s d e c i r , p a r a t o d o ( x
1
, x
2
) s e v e r i fi c a q u e x
2
1
+ 3 x
2
2
e s u n m u l t i p l o d e p .
S e c o n s i d e r a l a e l i p s e a b i e r t a :
B = { ( x , y ) R
2
| x
2
+ 3 y
2
< 3 p } .
-
1 2 1
L a m e d i d a d e B , pi
3 p , e s e s t r i c t a m e n t e m a y o r q u e 4 p ; e n t o n c e s e l T e o r e m a d e
M i n k o w s k i a s e g u r a q u e e x i s t e ( x
1
, x
2
) e n B d i s t i n t o d e ( 0 , 0 ) y p o r t a n t o p a r a
e s t e p u n t o , x
2
1
+ 3 x
2
2
e s e s t r i c t a m e n t e m e n o r q u e 3 p y m u l t i p l o d e p , l u e g o t i e n e
q u e s e r i g u a l a p o a 2 p . S i f u e s e x
2
1
+ 3 x
2
2
= 2 p , r e d u c i e n d o m o d u l o 3 t e n d r a m o s
x
1
2
= 2 p = 2 ( p o r s e r p 1 m o d 3 ) , l o q u e e s a b s u r d o p u e s 2 n o e s u n c u a d r a d o
m o d u l o 3 . L u e g o n e c e s a r i a m e n t e x
2
1
+ 3 x
2
2
= p c o m o q u e r a m o s p r o b a r .
H a y o t r o t e o r e m a c l a s i c o , e n u n c i a d o t a m b i e n p o r F e r m a t e n u n a d e s u s c a r t a s ,
q u e E u l e r t r a t o i n f r u c t u o s a m e n t e d e p r o b a r , c o s a q u e c o n s i g u i o h a c e r L a g r a n g e , y
q u e p u e d e d e m o s t r a r s e m u y f a c i l m e n t e a p a r t i r d e l T e o r e m a d e M i n k o w s k i d e u n a
f o r m a s i m i l a r a c o m o h e m o s h e c h o e n l o s c a s o s a n t e r i o r e s . S e t r a t a d e l
T e o r e m a d e l o s c u a t r o c u a d r a d o s : T o d o n u m e r o p o s i t i v o n e s s u m a
d e c u a t r o c u a d r a d o s . E s d e c i r p a r a t o d o n N e x i s t e n x , y , z , t Z t a l e s q u e
n = x
2
+ y
2
+ z
2
+ t
2
.
O b s e r v e m o s e n p r i m e r l u g a r q u e b a s t a p r o b a r e l t e o r e m a p a r a l o s n u m e r o s p r i -
m o s . E n e f e c t o , s i d o s n u m e r o s s o n s u m a d e d o s c u a d r a d o s s u p r o d u c t o t a m b i e n l o
e s , c o m o s e d e d u c e d e l a s i g u i e n t e i d e n t i d a d :
( a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
) ( p
2
+ q
2
+ r
2
+ s
2
) = x
2
+ y
2
+ z
2
+ t
2
,
d o n d e
x = a p + b q + c r + d s
y = a q b p + c s d r
z = a r b s c p + d q
t = a s + b r c q d p .
E s t a f o r m u l a l a e n c o n t r o E u l e r ; u n a f o r m a d e l l e g a r a e l l a r a z o n a d a m e n t e e s u t i -
l i z a n d o e l c u e r p o d e l o s c u a t e r n i o s d e H a m i l t o n .
S u p o n g a m o s e n t o n c e s q u e p e s u n n u m e r o p r i m o . S i p = 2 e l t e o r e m a s e v e r i fi c a
t r i v i a l m e n t e : b a s t a t o m a r x = 1 , y = 1 , z = 0 , t = 0 . P o d e m o s s u p o n e r p o r t a n t o p
i m p a r .
E n p r i m e r l u g a r v e a m o s q u e e x i s t e n a , b Z t a l e s q u e a
2
+ b
2
+ 1 0 m o d p .
Y a h e m o s c o m e n t a d o a n t e r i o r m e n t e q u e e l g r u p o m u l t i p l i c a t i v o Z / ( p ) { 0 } e s u n
g r u p o c c l i c o c o n p 1 e l e m e n t o s ; l o s c u a d r a d o s e n Z / ( p ) s o n e l 0 y l a s p o t e n c i a s
-
1 2 2 7 . G e o m e t r a d e l o s n u m e r o s
p a r e s d e u n g e n e r a d o r , y p o r l o t a n t o h a y
p 1
2
+ 1 =
p + 1
2
c u a d r a d o s . A s , l o s
s u b c o n j u n t o s d e Z / ( p ) , { a
2
+ ( p ) | a Z } y { b
2
1 + ( p ) | b Z } t i e n e n a m b o s
p + 1
2
e l e m e n t o s , l u e g o n e c e s a r i a m e n t e t i e n e n i n t e r s e c c i o n n o v a c a , l o q u e p r u e b a l a
a fi r m a c i o n h e c h a a l p r i n c i p i o d e e s t e p a r r a f o .
C o n l o s e l e m e n t o s a y b c u y a e x i s t e n c i a a c a b a m o s d e p r o b a r , c o n s t r u i m o s l a
a p l i c a c i o n , o b v i a m e n t e s u p r a y e c t i v a
Z
4
Z / ( p ) Z / ( p )
( x
1
, x
2
, x
3
, x
4
) ( x
3
a x
1
b x
2
+ ( p ) , x
4
b x
1
+ a x
2
+ ( p ) ) .
E l n u c l e o d e e s t a a p l i c a c i o n l i n e a l e s u n a s u b r e d d e Z
4
d e v o l u m e n p
2
y t a l q u e ,
c o m o s e c o m p r u e b a i n m e d i a t a m e n t e p o r l a e l e c c i o n d e a y b q u e h e m o s h e c h o , p a r a
t o d o ( x
1
, x
2
, x
3
, x
4
) s e t i e n e q u e x
2
1
+ x
2
2
+ x
2
3
+ x
2
4
e s u n m u l t i p l o d e p .
A h o r a c o n s i d e r o l a b o l a a b i e r t a e n R
4
, B ( 0 ,
2 p ) , d e c e n t r o e l o r i g e n y r a d i o
2 p . S u m e d i d a v e r i fi c a
( B ( 0 ,
2 p ) ) = 2 pi
2
p
2
> 2
4
V o l ( )
y p o r t a n t o e l T e o r e m a d e M i n k o w s k i a s e g u r a q u e e x i s t e u n p u n t o ( x
1
, x
2
, x
3
, x
4
)
B ( 0 ,
2 p ) d i s t i n t o d e l o r i g e n . P a r a d i c h o p u n t o , x
2
1
+ x
2
2
+ x
2
3
+ x
2
4
e s p o r u n
l a d o u n m u t i p l o d e p y p o r o t r o e s t r i c t a m e n t e m e n o r q u e 2 p , l u e g o n e c e s a r i a m e n t e
x
2
1
+ x
2
2
+ x
2
3
+ x
2
4
= p , c o m o q u e r a m o s d e m o s t r a r .
H a s t a a h o r a h e m o s v i s t o c o m o p u e d e u t i l i z a r s e e l T e o r e m a d e M i n k o w s k i p a r a
d a r d e m o s t r a c i o n e s m u y s e n c i l l a s d e c i e r t o s t e o r e m a s c l a s i c o s d e t e o r a d e n u m e r o s .
P e r o M i n k o w s k i p a r a l o q u e a p l i c o s u t e o r e m a f u e , e n t r e o t r a s c o s a s , p a r a e s t u d i a r
c i e r t a s p r o p i e d a d e s n a d a t r i v i a l e s d e l o s a n i l l o s d e e n t e r o s d e l o s c u e r p o s d e n u m e r o s .
S e l l a m a C u e r p o d e n u m e r o s a c u a l q u i e r c u e r p o K q u e s e a u n a e x t e n s i o n
fi n i t a d e Q ( e s d e c i r q u e s e a d e d i m e n s i o n fi n i t a c o m o Q - e s p a c i o v e c t o r i a l ) . E s
s a b i d o q u e t o d o e l e m e n t o d e K e s r a z d e a l g u n p o l i n o m i o n o n u l o , c o n c o e fi c i e n t e s
e n Q y m o n i c o ( e s d e c i r c o n e l c o e fi c i e n t e d e l t e r m i n o d e m a y o r g r a d o i g u a l a
u n o ) . S e p u e d e p r o b a r q u e e l c o n j u n t o d e l o s e l e m e n t o s d e K q u e s o n r a z d e a l g u n
p o l i n o m i o , n o n u l o y m o n i c o , c o n c o e fi c i e n t e s e n Z , f o r m a n u n a n i l l o , s u b a n i l l o
d e K : a e s t e a n i l l o , q u e d e s i g n a r e m o s p o r B , s e l e l l a m a A n i l l o d e e n t e r o s d e l
c u e r p o d e n u m e r o s K . P o r e j e m p l o s e p u e d e d e m o s t r a r q u e
S i K = Q e n t o n c e s B = Z .
S i K = Q ( i ) e n t o n c e s B = Z [ i ] = Z Z i .
-
1 2 3
S i K = Q (
2 ) e n t o n c e s B = Z [
2 ] = Z Z
2 .
S i K = Q (
5 ) e n t o n c e s B = Z [
1 +
5
2
] ( Z [
5 ] .
E s t o s a n i l l o s j u e g a n u n p a p e l r e s p e c t o d e K p a r e c i d o a l q u e j u e g a Z r e s p e c t o d e Q .
C o n o c e r s u s p r o p i e d a d e s e s i m p r e s c i n d i b l e p a r a r e s o l v e r c a s i c u a l q u i e r p r o b l e m a e n
t e o r a a l g e b r a i c a d e n u m e r o s . G a u s s y a f u e c o n s c i e n t e d e e l l o : e l p r o b o e l T e o r e m a
d e l o s d o s c u a d r a d o s q u e h e m o s d e m o s t r a d o a n t e s , b a s a n d o s e e n l a s p r o p i e d a d e s
d e l a n i l l o Z [ i ] . P e r o l a p e r s o n a q u e v e r d a d e r a m e n t e i n i c i o e l e s t u d i o s i s t e m a t i c o
d e e s t o s a n i l l o s f u e K u m m e r : s e v i o a b o c a d o a e l l o i n t e n t a n d o d e m o s t r a r e l u l t i m o
T e o r e m a d e F e r m a t .
S i K e s u n c u e r p o d e n u m e r o s d e g r a d o n s o b r e Q y B e s s u a n i l l o d e e n t e r o s , s e
p u e d e p r o b a r q u e B e s u n Z - m o d u l o l i b r e d e r a n g o n , c o m o v e a m o s e n l o s e j e m p l o s
c i t a d o s m a s a r r i b a ; e s d e c i r
B = Z u
1
Z u
n
.
S i p e n s a m o s e n l a i d e n t i fi c a c i o n h a b i t u a l d e C c o n R
2
, e s t a c l a r o q u e p o d e m o s v e r
e l a n i l l o Z [ i ] c o m o u n a r e d d e R
2
: e s s i m p l e m e n t e l a r e d Z
2
. M i n k o w s k i i d e o c o m o
r e p r e s e n t a r c u a l q u i e r a n i l l o d e e n t e r o s c o m o u n a r e d e n a l g u n R
n
; v e a m o s c o m o l o
h i z o .
S e s a b e q u e s i e l g r a d o d e K s o b r e Q e s n h a y n h o m o m o r fi s m o s d e a n i l l o s d e
K e n C ; s i e s u n o d e e l l o s , = ( d o n d e e s l a c o n j u g a c i o n c o m p l e j a ) e s o t r o
d e e l l o s ; e s t o q u i e r e d e c i r q u e l o s h o m o m o r fi s m o s c u y a i m a g e n n o e s t a d e n t r o d e R
v a n p o r p a r e s . O s e a e n g e n e r a l p o d e m o s d e c i r q u e h a y r
1
h o m o m o r fi s m o s r e a l e s y
2 r
2
h o m o m o r fi s m o s c o m p l e j o s :
1
, . . . ,
r
1
: K R
r
1
+ 1
,
r
1
+ 1
, . . . ,
r
1
+ r
2
,
r
1
+ r
2
: K C .
P o r s u p u e s t o s e t i e n e n = r
1
+ 2 r
2
. A l p a r ( r
1
, r
2
) s e l e l l a m a l a s i g n a t u r a d e l
c u e r p o K ; p o r e j e m p l o l a s i g n a t u r a d e Q ( i ) e s ( 0 , 1 ) , l a d e Q (
2 ) e s ( 2 , 0 ) .
M e d i a n t e e s t o s h o m o m o r fi s m o s s e c o n s t r u y e l a a p l i c a c i o n
K R
r
1
C
r
2
x (
1
( x ) , . . . ,
r
1
( x )
,
r
1
+ 1
( x ) , . . . ,
r
1
+ r
2
( x ) ) .
I d e n t i fi c a n d o C c o n R
2
s e o b t i e n e l a a p l i c a c i o n
: K R
r
1
R
2 r
2
= R
n
x (
1
( x ) , . . . ,
r
1
( x )
, R e (
r
1
+ 1
( x ) ) , I m (
r
1
+ 1
( x ) ) , . . . . . . )
-
1 2 4 7 . G e o m e t r a d e l o s n u m e r o s
e s u n a a p l i c a c i o n Z - l i n e a l e i n y e c t i v a q u e t r a n s f o r m a e l a n i l l o d e e n t e r o s B d e K
e n u n a r e d d e R
n
( B ) = Z ( u
1
) Z ( u
n
) .
P o r e j e m p l o s i K = Q (
2 )
: Q (
2 ) R
2
a + b
2 ( a + b
2 , a b
2 ) .
L a i m a g e n m e d i a n t e d e l a n i l l o d e e n t e r o s Z [
2 ] e s
( Z [
2 ] ) = Z ( 1 ) Z (
2 ) . = Z ( 1 , 1 ) Z (
2 ,
2 )
H a y u n d a t o m u y i m p o r t a n t e p a r a c o n o c e r l a a r i t m e t i c a d e u n c u e r p o K : s u
d i s c r i m i n a n t e d
K
, q u e d e fi n i m o s a c o n t i n u a c i o n :
S i B = Z u
1
Z u
n
e n t o n c e s
d
K
= ( d e t (
i
( u
j
) ) )
2
.
S e p u e d e p r o b a r f a c i l m e n t e q u e e l d i s c r i m i n a n t e d e K e s u n n u m e r o e n t e r o d i s t i n t o
d e 0 , y q u e n o d e p e n d e m a s q u e d e K , e s d e c i r n o d e p e n d e d e l a b a s e e l e g i d a p a r a
B c o m o Z - m o d u l o .
P o r e j e m p l o s i K = Q (
2 ) y p o r t a n t o B = Z [
2 ] = Z Z
2 , s e t i e n e
-
1 2 5
d
Q (
2 )
= ( d e t
(
1
2
1
2
)
)
2
= 8 .
E s t r i v i a l c o m p r o b a r q u e e l v o l u m e n d e l a r e d ( B ) e s
V o l ( ( B ) ) =
1
2
r
2
| d
K
| .
H e m o s c o n s e g u i d o a s v i s u a l i z a r l o s o b j e t o s q u e q u e r e m o s e s t u d i a r : t e n e m o s
r e p r e s e n t a d o s l o s a n i l l o s d e e n t e r o s d e l o s c u e r p o s d e n u m e r o s c o m o r e d e s e n R
n
.
U t i l i z a n d o s u t e o r e m a s o b r e l o s c u e r p o s c o n v e x o s , M i n k o w s k i p r o b o e l s i g u i e n t e
T e o r e m a : S i K e s u n c u e r p o d e n u m e r o s d i s t i n t o d e Q , s u d i s c r i m i n a n t e
d
K
t i e n e v a l o r a b s o l u t o e s t r i c t a m e n t e m a y o r q u e 1 , e s d e c i r d
K
6 = 1 .
E s t e r e s u l t a d o , q u e e s a b s o l u t a m e n t e c l a v e y t i e n e m u c h a s c o n s e c u e n c i a s e n l a
t e o r a a l g e b r a i c a d e n u m e r o s , n o s e h a d e m o s t r a d o n u n c a d e u n a m a n e r a e s e n c i a l -
m e n t e d i s t i n t a a c o m o l o h i z o M i n k o w s k i . V a m o s a d a r u n a i d e a d e l a d e m o s t r a c i o n .
P a r a c a d a t R , t 0 , c o n s i d e r o e l c o n j u n t o
B
t
= { ( x
1
, . . . , x
r
1
, y
1
, . . . , y
r
2
) R
r
1
C
r
2
| | x
i
| t , | y
j
| t } .
C a d a c o n j u n t o B
t
e s s i m e t r i c o , c o n v e x o y c o m p a c t o ; c o m o e s u n p r o d u c t o d e s e g -
m e n t o s p o r d i s c o s , s u m e d i d a s e c a l c u l a f a c i l m e n t e :
( B
t
) = ( 2 t )
r
1
( pi t
2
)
r
2
= 2
r
1
pi r
2
t
n
.
A l s e r B
t
c o m p a c t o , e l m e n o r t p a r a e l c u a l s e p u e d e a p l i c a r e l T e o r e m a d e M i n k o w s k i
a B
t
y a l a r e d ( B ) e s e l q u e v e r i fi c a l a i g u a l d a d
2
r
1
pi r
2
t
n
= 2
n
1
2
r
2
| d
K
| .
O s e a
t
n
= (
2
pi
)
r
2
| d
K
| .
E l T e o r e m a d e l o s c u e r p o s c o n v e x o s n o s a s e g u r a q u e , p a r a e s e v a l o r d e t , e x i s t e
x B , x 6 = 0 t a l q u e ( x ) B
t
; p e r o , r e c o r d a n d o l a d e fi n i c i o n d e l a a p l i c a c i o n ,
e s t o q u i e r e d e c i r q u e |
i
( x ) | t p a r a t o d o i : 1 , . . . , n .
P o r o t r o l a d o , p o r s e r x u n e l e m e n t o d e B , l a n o r m a d e x q u e s e d e fi n e c o m o
N
K / Q
( x ) : =
n
i = 1
i
( x ) ,
-
1 2 6 7 . G e o m e t r a d e l o s n u m e r o s
e s u n n u m e r o e n t e r o n o n u l o ( x e s r a z d e u n p o l i n o m i o i r r e d u c i b l e m o n i c o c o n
c o e fi c i e n t e s e n t e r o s ; p u e s b i e n , l a n o r m a d e x e s , s a l v o e l s i g n o , u n a p o t e n c i a d e l
t e r m i n o c o n s t a n t e d e d i c h o p o l i n o m i o ) . P o r t a n t o
1 | N
K / Q
( x ) | t
n
,
l u e g o
1 | N
K / Q
( x ) | (
2
pi
)
r
2
| d
K
| .
S e d e d u c e q u e
1 (
2
pi
)
r
2
| d
K
| ,
y p o r t a n t o
(
pi
2
)
r
2
| d
K
| .
S i r
2
6 = 0 ( e s d e c i r s i e x i s t e n h o m o m o r fi s m o s d e K e n C c u y a i m a g e n n o c a e d e n t r o
d e R s e d e d u c e q u e | d
K
| > 1 c o m o q u e r a m o s p r o b a r ; p e r o e n e l c a s o e n q u e
r
2
= 0 n o s e o b t i e n e n a d a . M i n k o w s k i m o d i fi c o i n g e n i o s a m e n t e e s t a d e m o s t r a c i o n
t o m a n d o o t r o s c o n j u n t o s B
t
p a r a c a d a t . N o v o y a d a r l o s d e t a l l e s d e l a d e m o s t r a c i o n ,
s o l a m e n t e d i r e q u e d e e s t a f o r m a c o n s i g u e p r o b a r q u e
| d
K
|
n
2 n
( n ! )
2
(
pi
4
)
n
d o n d e n e s e l g r a d o d e l c u e r p o K s o b r e Q . S i p o n e m o s
c
n
: =
n
2 n
( n ! )
2
(
pi
4
)
n
s e c o m p r u e b a f a c i l m e n t e q u e l a s u c e s i o n { c
n
} e s m o n o t o n a e s t r i c t a m e n t e c r e c i e n t e
y q u e 1 < c
2
< c
3
< . . . .
S e o b t i e n e a s n o s o l a m e n t e e l t e o r e m a q u e q u e r i a m o s d e m o s t r a r s i n o , a d e m a s ,
u n a c o t a i n f e r i o r p a r a e l v a l o r a b s o l u t o d e l d i s c r i m i n a n t e d e u n c u e r p o d e n u m e r o s
K q u e d e p e n d e u n i c a m e n t e d e l g r a d o d e K s o b r e Q . E n p a r t i c u l a r e l v a l o r a b s o l u t o
d e l d i s c r i m i n a n t e d e K c r e c e c o n e l g r a d o d e K s o b r e Q .
A p a r t i r d e a q u s e p u e d e p r o b a r ( a u n q u e , d e n u e v o h a y q u e r e c u r r i r a l T e o r e m a
d e l o s c u e r p o s c o n v e x o s d e M i n k o w s k i ) q u e , p a r a c a d a d Z , h a y a l o s u m o u n
n u m e r o fi n i t o d e c u e r p o s d e n u m e r o s d e d i s c r i m i n a n t e d .
A d e m a s d e l e s t u d i o d e l o s a n i l l o s d e e n t e r o s d e l o s c u e r p o s d e n u m e r o s , M i n -
k o w s k i e n c o n t r o a p l i c a c i o n e s a s u T e o r e m a d e l o s c u e r p o s c o n v e x o s e n o t r o s m u c h o s
-
1 2 7
a m b i t o s , p o r e j e m p l o e n p r o b l e m a s d e a p r o x i m a c i o n e s d i o f a n t i c a s ( e s d e c i r a p r o x -
i m a c i o n e s d e n u m e r o s r e a l e s p o r n u m e r o s r a c i o n a l e s ) o t a m b i e n e n e l p r o b l e m a d e
r e c u b r i m i e n t o s p o r e s f e r a s .
P a r a t e r m i n a r m e g u s t a r a m e n c i o n a r a D i r i c h l e t . F u e u n m a t e m a t i c o a l e m a n
q u e v i v i o d u r a n t e l a p r i m e r a m i t a d d e l s i g l o d i e c i n u e v e ; m u r i o d i e z a n o s a n t e s d e
q u e n a c i e r a M i n k o w s k i . E n t r e l a s m u c h a s a p o r t a c i o n e s q u e h i z o a l a s m a t e m a t i c a s
e n g e n e r a l y a l a t e o r a d e n u m e r o s e n p a r t i c u l a r h a y u n a e s p e c i a l m e n t e i m p o r t a n t e
p a r a e l e s t u d i o d e l o s a n i l l o s d e e n t e r o s d e l o s c u e r p o s d e n u m e r o s . E n e s t o s a n i l l o s
u n p r o b l e m a q u e s i e m p r e s e p l a n t e a e s c o m o d e s c o m p o n e u n e l e m e n t o e n p r o d u c t o
d e e l e m e n t o s i r r e d u c i b l e s ; p e r o e v i d e n t e m e n t e , p a r a o c u p a r s e d e e s t o , u n o t i e n e q u e
s a b e r a l g o s o b r e l a s u n i d a d e s d e e s t o s a n i l l o s , e s d e c i r s o b r e l o s e l e m e n t o s c u y o
i n v e r s o e s t a e n e l p r o p i o a n i l l o . V e a m o s a l g u n o s e j e m p l o s e n l o s q u e d e n o t a r e m o s
p o r B
e l c o n j u n t o d e l a s u n i d a d e s d e B . S e p u e d e p r o b a r q u e
S i K = Q , B = Z y B
= { 1 } .
S i K = Q ( i ) , B = Z [ i ] y B
= { 1 , i } .
S i K = Q (
2 ) , B = Z [
2 ] y B
= { 1 } .
S i K = Q (
2 ) , B = Z [
2 ] y B
= { ( 1 +
2 )
n
| n Z } .
D e s p u e s d e v e r l o q u e o c u r r e e n m u c h o s e j e m p l o s , D i r i c h l e t f u e c a p a z d e d e -
t e r m i n a r l a e s t r u c t u r a d e l g r u p o d e l a s u n i d a d e s d e l a n i l l o d e e n t e r o s d e c u a l q u i e r
c u e r p o d e n u m e r o s . P r o b o e l s i g u i e n t e
T e o r e m a : E l g r u p o d e l a s u n i d a d e s d e l a n i l l o d e e n t e r o s d e u n c u e r p o d e
n u m e r o s K e s u n g r u p o a b e l i a n o fi n i t a m e n t e g e n e r a d o d e r a n g o r = r
1
+ r
2
1
d o n d e ( r
1
, r
2
) e s l a s i g n a t u r a d e l c u e r p o K . P o r t a n t o
B
'
K
Z
r
d o n d e
K
e s e l c o n j u n t o d e l a s r a c e s d e l a u n i d a d c o n t e n i d a s e n K .
O e n l a f o r m a e n q u e l o e n u n c i o D i r i c h l e t :
E x i s t e n r = r
1
+ r
2
1 u n i d a d e s e n B ,
1
, . . . ,
r
t a l e s q u e t o d a u n i d a d s e
e s c r i b e d e m a n e r a u n i c a c o m o
=
r
i = 1
n
i
i
d o n d e e s u n a r a z d e l a u n i d a d y n
i
Z p a r a t o d o i .
-
1 2 8 7 . G e o m e t r a d e l o s n u m e r o s
P o r e j e m p l o , s i B = Z [
2 ] , r = 2 + 0 1 = 1 ; c o m o l a s r a c e s d e l a u n i d a d
c o n t e n i d a s e n Q (
2 ) s o n 1 , e l t e o r e m a a fi r m a q u e e x i s t e u n a u n i d a d t a l q u e
B
= {
n
| n Z } ; y e f e c t i v a m e n t e , t o m a n d o = 1 +
2 , s e p u e d e c o m p r o b a r ,
c o m o h e c o m e n t a d o a n t e s , q u e e l t e o r e m a e s c i e r t o e n e s t e c a s o . S i B = Z [ i ] ,
r = 0 + 1 1 = 0 : e n e s t e a n i l l o l a s u n i c a s u n i d a d e s q u e h a y s o n l a s r a c e s d e l a
u n i d a d c o n t e n i d a s e n e l , a s a b e r 1 y i .
P o r s u p u e s t o n o v o y a d e m o s t r a r a q u e s t e t e o r e m a q u e e s e l m a s c o m p l i c a d o d e
l o s q u e u n o e n c u e n t r a a l e m p e z a r a e s t u d i a r l o s a n i l l o s d e e n t e r o s d e l o s c u e r p o s d e
n u m e r o s . S o l o d i r e q u e , d e n u e v o , e s u n r e s u l t a d o q u e s e p r u e b a g e o m e t r i c a m e n t e :
D i r i c h l e t s e l a s a r r e g l a p a r a r e p r e s e n t a r l a s u n i d a d e s q u e q u i e r e e s t u d i a r c o m o p u n t o s
d e u n a r e d . ( U t i l i z a l a f u n c i o n l o g a r i t m o p a r a t r a n s f o r m a r e l g r u p o m u l t i p l i c a t i c o d e
l a s u n i d a d e s e n u n a r e d , q u e e s u n g r u p o a d i t i v o ) . S e g u n a fi r m a M i n k o w s k i l a i d e a
d e e s t a d e m o s t r a c i o n s e l e o c u r r i o a D i r i c h l e t m i e n t r a s a s i s t a a l a m i s a d e P a s c u a
e n l a c a p i l l a S i x t i n a d e R o m a e n 1 8 4 4 .
P o r u l t i m o q u e r r a d e c i r q u e l a g e o m e t r a d e l o s n u m e r o s q u e , c o m o h e e x p l i c a d o
e n e s t a c h a r l a , t i e n e s u o r i g e n e n l a s i d e a s d e D i r i c h l e t y M i n k o w s k i , s e d e s a r r o l l o
b a s t a n t e a p r i n c i p i o s d e l s i g l o X X , p e r o h o y p a r e c e q u e y a h a d a d o t o d o s l o s f r u t o s
q u e c a b a e s p e r a r ( a u n q u e e s t o n u n c a s e p u e d e a fi r m a r t a j a n t e m e n t e ) . L o q u e h o y
s e e n t i e n d e p o r m e t o d o s g e o m e t r i c o s e n l a t e o r a d e n u m e r o s n o t i e n e n a d a q u e v e r
c o n l o q u e h e m o s v i s t o h o y a q u . S e t r a t a d e a p l i c a r a l a t e o r a d e n u m e r o s l a p o t e n t e
m a q u i n a r i a d e l a g e o m e t r a a l g e b r a i c a d e s a r r o l l a d a f u n d a m e n t a l m e n t e e n l a s e g u n d a
m i t a d d e l s i g l o X X . Y e s t o s i q u e p a r e c e t e n e r m u c h o f u t u r o p o r d e l a n t e ; n o h a y
m a s q u e p e n s a r e n l a d e m o s t r a c i o n d e W i l e s d e l u l t i m o T e o r e m a d e F e r m a t . O s e a
q u e , e n c o n c l u s i o n , p a r e c e q u e l a s o p i n i o n e s d e A t i y a h q u e h e c i t a d o a l p r i n c i p i o
p u e d e n s e r b a s t a n t e a c e r t a d a s .
B i b l i o g r a f a
[ 1 ] M . A t i y a h , M a t h e m a t i c s i n t h e 2 0
t h
c e n t u r y , B u l l . L o n d o n M a t h . S o c . 3 4
( 2 0 0 2 ) .
[ 2 ] J . W . S . C a s s e l s , I n t r o d u c t i o n t o t h e G e o m e t r y o f N u m b e r s , S p r i n g e r ( 1 9 9 7 ) .
[ 3 ] H . K o c h , Z a h l e n t h e o r y , V i e w e g ( 1 9 9 7 ) .
[ 4 ] C . D . O l d s , A . L a x , G . D a v i d o f f , T h e G e o m e t r y o f N u m b e r s , T h e M a t h e m a t i c a l
A s s o c i a t i o n o f A m e r i c a ( 2 0 0 0 ) .
[ 5 ] P . S a m u e l , T h
e o r i e A l g e b r i q u e d e s N o m b r e s , H e r m a n n ( 1 9 6 7 ) .
[ 6 ] I . S t e w a r t , D . T a l l , A l g e b r a i c N u m b e r T h e o r y a n d F e r m a t L a s t T h e o r e m , ( 3
r d
e d i t i o n ) . A . K . P e t e r s ( 2 0 0 2 ) .