IMPORTANCIA DE LA ENSEANZA DE LA CLASIFICACIN EN EL REA DE LGICO MATEMTICO EN EL NIVEL PRE ESCOLAR

MDULO: MATEMTICA SESIN: 08 SEMESTRE: II 2010

Durante la primera infancia es importante aprender a ser lgico (Nunes y Bryant, 2005), en este sentido el nio que reconozca reglas lgicas puede entender y realizar adecuadamente tareas matemticas diversas (a su nivel). Es necesario que se propicien y construyan tres operaciones lgicas sustanciales que son la base de dicho desarrollo en los nios: La clasificacin, la seriacin y la correspondencia, las cuales se construyen simultneamente y no en forma sucesiva. Estas operaciones mentales llevan al nio a concebir el concepto de nmero.

Abordaremos las tres operaciones mentales que son la Clasificacin, seriacin y correspondencia:A. LA CLASIFICACIN: Implica agrupar objetos haciendo coincidir sus aspectos cualitativos o cuantitativos, combinando pequeos grupos para hacer grupos ms grandes y haciendo reversible el proceso y separando de nuevo las partes del todo. Para clasificar, el nio requiere del conocimiento fsico y de la habilidad para reconocer las semejanzas y diferencias entre los objetos para agruparlos de acuerdo a ellas. Surge, en forma natural de los intentos de los nios darle sentido a su mundo desde las primeras etapas de contacto con los objetos concretos.Tambin se incluye en la clasificacin la pertenencia de un objeto a una clase y la inclusin de subclases a clases ms grandes. En conclusin las relaciones que se establecen son la semejanza, diferencia, pertenencia e inclusin, las cuales el nio las logra aproximadamente a los 7 u 8 aos. La nocin de clasificacin da lugar al aspecto cardinal de un conjunto que surge de las relaciones de igualdad que se establecen entre los elementos individuales o unidades. La nocin de seriacin da lugar al aspecto ordinal que surge de las relaciones de diferencia que se establecen entre las unidades al adjudicarle, a cada una, una posicin determinada dentro de la serie ordenada.Nocin de conjunto: Es una coleccin de objetos que tienen una o varias propiedades comunes. Esta propiedad recibe el nombre de Propiedad caracterstica del conjunto, la nocin de conjunto corresponde a la idea intuitiva de encontrarnos con un montn de cosas que estn juntas por alguna razn. Si nos encontramos con objetos que estn juntos pero que no tienen ninguna propiedad en comn diremos que estamos frente a una coleccin de objetos pero no a un conjunto.

Precisemos lo que es cardinalidad: es la propiedad numrica de una cifra; es la actividad concreta de agrupar o separar por semejanzas y diferencias los objetos segn criterios cuantitativos.El concepto de nmero cardinal fue inventado por Cantor en 1874 como una herramienta para comparar conjuntos finitos. Por ejemplo, los conjuntos {1, 2, 3} y {2, 3, 4} no son iguales pero tienen la misma cardinalidad, llamada tres. Cardinalidad de un conjunto sera la clase de equivalencia a la cual ste pertenece. Tener dos conjuntos A y B con la misma cardinalidad (o sea, que pertenezcan al mismo cardinal) se denota:

Ejemplos:W = { $, %, &, /, } El conjunto W est integrado por 5 elementos, por lo tanto, su cardinalidad es 5 ( #= 5 )

Q =El conjunto Q est formado por 3 elementos

#Q = 3K =El conjunto K tiene un elemento

# K= 1

Los conjuntos equivalentes son aquellos que tienen igual cardinalidad, es decir, igual nmero de elementos.

T ={ , , }# T = 3

P ={ a, b, c }# P = 3

Los conjuntos T y P son equivalentes porque tienen la misma cardinalidad.

Propiedades fundamentales de la clasificacin:a) Comprensin: (Aspecto cualitativo) est fundamentalmente en las relaciones de semejanzas y diferencias.b) Extensin: (Aspecto cuantitativo) est fundamentalmente en las relaciones de pertenencia e inclusin, las cuales son:

Pertenencia: Se refiere a la relacin entre un elemento y las clases a la que forma parte, en funcin de que rena las caractersticas o propiedades sobre la base de las cuales se ha formado dicha clase.

Inclusin: Es la relacin existente entre una subclase y la clase de la que forma parte.

En relacin a la inclusin y pertenencia: Decimos que un objeto pertenece a un conjunto cuando cumple la propiedad caracterstica del conjunto.

Debemos de tener en claro que A es el universo o conjunto referencial o conjunto de partida sobre el que pensamos trabajar.

Por ejemplo: un gato pertenecera al conjunto de los gatos, mientras que el conjunto de los gatos (junto con el conjunto de los perros, etc.) estaran incluidos en la clase de los vertebrados.

Por eso, cuando hablamos de un elemento decimos que pertenece o no a un conjunto si posee o no determinado atributo. Y matemticamente lo simbolizamos as: a E (que significa el elemento a pertenece al conjunto E) o a E (significa que el elemento a no pertenece al conjunto E). Mientras que si hablamos de un conjunto decimos que est incluido o no en otro, pensamos en una relacin de clase y subclase. Matemticamente, lo simbolizamos como A B A est incluido en B, o B A B no est incluido en A. La relacin de pertenencia vincula un elemento con un conjunto. La relacin de inclusin vincula dos conjuntos. Si, por ejemplo, consideramos los conjuntos A = {a, b, c} y B = {a, b, c, d, e}, se cumple que todos los elementos de A pertenecen tambin a B y por tanto puede decirse que A B. Representando ambos conjuntos mediante sera:En este ejemplo se observa que: d A pero d B, adems se observa que: B AAspectos psicolgicos de la clasificacin: El proceso de la clasificacin va evolucionando a travs de las siguientes fases:1. Colecciones grficas: El nio agrupa objetos de manera arbitraria. Los objetos que agrupan no parecen tener ninguna relacin con semejanzas y diferencias. Pueden ser de una sola dimensin, continuos o discontinuos. Los elementos que escoge son heterogneos. Ejemplo: si se pide a un nio que agrupe los objetos que se parecen, harn una coleccin de objetos sin relacin aparente, pero al preguntarle Por qu van juntos? nos dir este es rojo este tiene un hueco este es largo.2. Agrupaciones sin criterio consistente: Comienza a agrupar objetos, notando las diferencias y semejanzas, pero no de una manera consistente. Por ejemplo agrupa objetos inicialmente por la forma, luego cambia por el color, luego por el tamao dejndose llevar por el atributo que llame su atencin.3. Agrupaciones exactas con criterio consistente: En esta fase, las agrupaciones las hace el nio usando un criterio perceptible, coherente y nico para el grupo que forma. Al preguntarle por qu van juntos, dir porque tiene el mismo color o tamao, entre otros. Sin embargo, por querer ser tan exacto y ajustado al atributo que ha escogido, forma mltiples grupos pequeos exactamente iguales en todas las dimensiones. Por ejemplo: Agrupa los redondos y azules, luego los redondos y rojos.4. Agrupaciones ms flexibles con ms de un criterio constante: Los criterios usados siguen siendo perceptibles, pero ahora los grupos que forma incluyen ms objetos, porque los criterios son ms amplios. Por ejemplo: Agrupar los objetos grandes y pequeos que son redondos o los botones de varios colores de dos huecos, etc.5. Agrupaciones de objetos con criterio menos perceptible: En esta fase, los objetos que el nio agrupa no son idnticos, es decir, el criterio no es tan perceptible. Por ejemplo: Agrupa el lpiz con las cuentas de madera o las tijeras con las agujas, porque son del mismo material.6. Clasificacin: En esta fase, el nio es capaz de manejar la lgica de la clasificacin. Comprende la inclusin de clase, es decir, entiende que un grupo puede ser incluido en uno ms amplio, por ejemplo, que los grupos de los botones de cuatro y dos huecos pueden variarse e incluirse bajo la clase botones; y entiende tambin la pertenencia mltiple de los objetos, es decir, que un objeto puede pertenecer a su vez a varios grupos. Por ejemplo: Que el conejo pertenece a la vez al grupo de los conejos y al grupo de los animales. Por ejemplo la clasificacin de cuadrilteros.

B. SERIACIN Es una operacin lgica que a partir de un sistema de referencia, permite establecer relaciones comparativas entre los elementos de un conjunto, y ordenarlos segn sus diferencias, ya sea en forma decreciente o creciente. Es importante que los objetos que se les presenten a los nios para facilitar la seriacin, en cualquier situacin de aprendizaje, sean de diferentes tamaos, peso, grosor, etc. Una serie es considerada como una alineacin ordenada con principio y fin.Sin interesarle ninguna cualidad (tamao, color, forma), en otros casos el orden surge frente a la imposibilidad de realizar conteos.Cada nio tiene su propia lgica o secuencia para contar los objetos y como estn distribuidos al azar en desorden el nio menor de 7 aos frecuentemente se equivoca en el conteo de ms de 5 objetos logra descubrir la nocin de orden (4-5 aos).Ocurre un avance cuando los nios descubren un mtodo para ordenar estos objetos llamado mtodo operatorio. El mtodo operatorio segn Piaget (1992): los nios hacia los 6 aos y medio 7 descubren un mtodo operatorio que consiste en buscar, en primer lugar el elemento ms pequeo de todos y, despus, el ms pequeo de los que quedan logrando de esta forma construir su serie total sin titubeos ni errores.Una vez que el nio descubre este mtodo para seriar objetos no tendr ningn problema para seriar cualquier grupo de objeto que se le de. Posteriormente, hacia los 7 aos aproximadamente luego de haber dominado la serie ascendente (inductiva) empieza a desarrollar procesos mentales deductivos que lo conllevan a formar series descendentes para que posteriormente logren combinar ambos procesos y convertirse al fin en series lgicas.

La seriacin proporciona el aspecto de orden u ordinalidad, el cual se aplica cuando se relaciona diferentes elementos, serindolos en forma ascendente o descendente.PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA SERIACIN:La Transitividad: Cuando se establece deductivamente la relacin existente entre dos elementos que no han sido comparados efectivamente a partir de otras relaciones que si han sido establecidas perceptivamente. Cuando el nio necesita comparar cada elemento que incorpora con todos los que ha seriado anteriormente, es de que an no ha conseguido la nocin de transitividad.Al establecer una relacin entre un elemento de una serie y el siguiente y de este con el posterior se puede deducir cual es la relacin entre el primero y el ltimo, dicho de otra manera: La transitividad indica la posicin de cada elemento en relacin con el que le precede y con el que le sigueEn el ejemplo se observa que el cuadrado A es ms grande que el cuadrado B, por tanto el cuadrado A es ms grande que el cuadrado C, y as sucesivamente.La Reversibilidad o reciprocidad: Posibilidad de concebir simultneamente dos relaciones inversas, es decir, considerar a cada elemento como mayor que los siguientes y menor que las anteriores. Ejemplo 1 Menor que

Mayor queLa transitividad es una operacin tpica del estadio de operaciones concretas al igual que la reversibilidad (entre 7 u 8 aos).En la operacin de seriacin, la Teora Cognitiva expone la existencia de tres estadios:C. CORRESPONDENCIA: Implica establecer una relacin que sirve de unin o nexo entre elementos, significa que a un elemento de un conjunto se lo vincula con un elemento de otro conjunto, segn una relacin realmente existente o convencionalmente establecida.En este ejemplo, podemos definir un conjunto T de tubos de pintura y otro P de pinceles y asociar a cada tubo del conjunto T, el pincel del conjunto P que tenga su mismo color, esta asociacin la representaremos con una flecha del tubo al pincel correspondiente.

Puede darse el caso que tengamos un tubo de un color pero no un pincel con el mismo color de pintura, como en el ejemplo hay un tubo de color rojo pero no hay ningn pincel con pintura de color rojo, por lo tanto del tubo rojo no sale ninguna flecha.Puede que tengamos un tubo de un color y varios pinceles con pintura de ese mismo color, as en el ejemplo hay un tubo verde y dos pinceles con pintura verde, del tubo de color verde salen dos flechas una hasta cada pincel con pintura verde.

Tambin puede ser que tengamos ms de un tubo de un mismo color y un solo pincel con esa pintura, en este caso, como en el ejemplo, de los dos tubos azules salen las dos flechas hasta el nico pincel con pintura azul, llegando dos flechas al pincel azul, una de cada uno de los tubos de color azul, como se ve en la figura.

En la figura del ejemplo se ve un pincel con pintura amarilla, pero no hay ningn tubo de pintura amarilla, por tanto a este pincel no llega ninguna flecha.

En resumen la correspondencia mismo color de la pintura entre un conjunto T de tubos de pintura, y otro conjunto P de pinceles, existe en tanto que al menos un tubo de pintura tiene el mismo color que uno de los pinceles, pudiendo ser esa relacin tan sencilla o tan compleja como se quiera.

Cuando se establece correspondencia entre dos conjuntos que tienen la misma cantidad de elementos se dice que los conjuntos tienen el mismo cardinal, De esta forma surge la idea de nmero como propiedad comn o conjuntos equivalentes en cantidad de elementos. De acuerdo con el grado o nivel, de concretizacin con que se trabaje la nocin de correspondencia, es posible determinar diversos grados de dificultad o abstraccin:

1 Correspondencia de objeto a objeto con encaje: se vinculan los elementos de dos conjuntos, mediante la relacin o introduccin de un elemento dentro de otro. Ejemplo: nio abrigo, frasco tapa; llave cerradura etc.

2 Correspondencia objeto a objeto: los objetos que se usan para establecer la relacin posee una afinidad natural. Ejemplo: taza plato, plato cuchara, nio mochila, persona asiento.

3 Correspondencia de objeto a signo: establece vnculo entre objetos concretos y signos que la representan. Ejemplo: nio su nombre, persona iniciales de su nombre.

4 Correspondencia signo a signo: se vinculan signo con signo; representan el mayor grado de abstraccin en el campo de la correspondencia. Ejemplo: cinco: 5, pe p. Este es el tipo de correspondencia que se establece entre el concepto de nmero, su nombre y su signo grfico o numeral.

CORRESPONDENCIA UNVOCA, BIUNVOCA Y MLTIPLE:

CORRESPONDENCIA UNVOCA: o trmino a trmino: es el recurso que utiliza el nio antes de la nocin de nmero o cuando no sabe contar. Postula igual cantidad de elementos entre dos conjuntos sobre la base de la percepcin, es decir, unvoca refiere a la unidimensionalidad y por tanto a la irreversibilidad o incapacidad de elaborar en su mente una relacin inversa o de vuelta al punto inicial de su razonamiento. la correspondencia trmino a trmino, por medio de la relacin unvoca, permite asegurar la cardinalidad de los dos conjuntos, sobre la base de la percepcin (*).Una correspondencia es unvoca si cada elemento del primer conjunto slo tiene un elemento que le corresponde en el otro conjunto.

CORRESPONDENCIA BIUNVOCA: Desde el tipo de correspondencia bsica se evoluciona a una superior. La correspondencia trmino a trmino se transforma en correspondencia cardinal.

Ella asegura la igualdad numrica entre dos conjuntos por equivalencia. As la correspondencia unvoca perceptiva, se sustituye por la biunvoca o recproca, que hace a cada elemento del conjunto A uno y slo uno en B, y su inversa: a cada elemento de B le corresponde uno y slo uno de A. En este caso la correspondencia no establece una relacin perceptiva entre los elementos, donde un elemento le corresponde el del frente, sino una relacin entre un elemento de un conjunto A y otro cualquiera de B, entre los que se da al mismo tiempo una relacin ya no ligada irreversiblemente a un sentido nico (correspondencia biunvoca igual correspondencia por equivalencia). Una correspondencia biunvoca es simplemente una correspondencia unvoca cuya correspondencia inversa tambin es unvoca. Es decir: cada elemento del primer conjunto se corresponde con solo un elemento del segundo conjunto, y cada elemento del segundo conjunto se corresponde con solo un elemento del primer conjunto.

CORRESPONDENCIA MLTIPLE: la correspondencia por equivalencia entre dos conjuntos. Da paso a la correspondencia mltiple, que se cumple cuando hay ms de dos conjuntos. Que se van a comparar. Aqu se establece un nuevo tipo de relacin por abstraccin: La transitividad, ella expresa que si a cada elemento de un conjunto le corresponde uno en el segundo y, a la vez, a cada elemento de este segundo, otro en el tercero, a cada elemento del primero le corresponde uno en el tercero. De ah que todos los conjuntos resultan equivalentes. La correspondencia y la clasificacin proporcionan la nocin de clase de equivalencia, esto es, sean tres conjuntos no vacos relacionados entre s. Se dice que se establece una relacin de equivalencia o clase de equivalencia si cumple las siguientespropiedades: Reflexividad: Todo elemento de un conjunto est relacionado consigo mismo. Simetra: Si un elemento de un conjunto est relacionado con otro de un segundo conjunto, entonces ese otro elemento tambin se relaciona con el primero. Transitividad: Si un elemento del primer conjunto est relacionado con otro de un segundo conjunto, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero perteneciente a un tercer conjunto, entonces el primero estar relacionado tambin con este ltimo.

TOTALCuntas clases distintas de figura segn el diseo se pueden formar?

Respuesta: 3 de y 3 de en total: 3 + 3 = 6 3 x 2 = 6

Cuntas figuras distintas puedes distinguir (sin importar el diseo).?

Respuesta: 2 , 2 , y 2 es:

2 +2 + 2 =6 2 x 3 = 6

3

3

TOTAL2226

Ejemplo de Correspondencia mltiple: Dibujar la red de divisores de 84. Dibujar redes de divisores para otros nmeros.

En la red de los divisores se les hace corresponder un divisor primo del nmero. Cada flecha tiene distinta direccin, una misma direccin corresponde a un solo divisor.

BIBLIOGRAFABOULE Francois. (1995) Manipular, Organizar, Representar. Iniciacin a las Matemticas. Ed. Narcea. COFR, Alicia (2002) Matemtica Recreativa en el aula.- Santiago, Ed. Universidad Catlica de Chile. CARDOSO CERECEDO El Desarrollo de las competencias matemticas en la primera infancia. Escuela Superior de Comercio y Administracin, Unidad Santo Toms del Instituto Politcnico Nacional, Mxico.

CHAWIECK, Mariana (1990) Juegos de Razonamiento Lgico. Ed. Chile: Andrs Bello. REY, Mara (2006) Didctica de la Matemtica. Primer ciclo. Ed. Magisterio. EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

1

4

28

12

21

42

84

(*) PERCEPCIN: se refiere a la forma personal en que el individuo organiza o interpreta la informacin que le llega a travs de los diversos sentidos.

La percepcin es la interpretacin que se da a los estmulos del mundo externo. Es susceptible de verse afectada por nuestro modo de pensar, por las actitudes, estados emocionales, apetencias o deseos en un determinado momento.

IMPORTANCIA DE LA ENSEANZA DE LA CLASIFICACIN, SERIACIN Y CORRESPONDENCIA EN EL REA DE LGICO MATEMTICA EN EL NIVEL INICIAL Y PRIMARIA.

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

A

B

C

D

E

F

rojo

verde

azul

azul

verde

verde

azul

amarillo

morado

azul

Correspondencia mltiple: para nios o nias de tercer grado

verde

rojo

forma

diseo

amarillo

azul

verde

rojo

amarillo

azul

verde

rojo

amarillo

azul

verde

rojo

Ejemplos de correspondencia biunvoca

Aura

Mapa

Tercer estadio: a partir de los 7 aos. Realiza seriacin sistemtica como por ejemplo: el nio toma de un conjunto de palitos el ms pequeo, luego coge el ms pequeo de los que quedan y as sucesivamente. Ha logrado construir la transitividad y la reversibilidad.

Segundo estadio: de 5 a 7 aos, el nio consigue la serie pero por tanteo y error, esto lo logra probando el tamao de cada uno de los objetos, as forma la seriacin pues ya empieza a distinguir diferencias entre ms grande que y ms pequeo que. Comienza a manejar la reversibilidad (relacin en sentido inverso). Se inicia la transitividad.

Primer estadio: hasta los 5 aos. el nio no establece relaciones de mayor o menor que, considera los elementos en una clase subdividida en subclases (grandes y pequeos, se centra en los extremos

Estadios

1

_1134429540.unknown

_1134430051.unknown

_1134434144.unknown

_1134434186.unknown

_1134434234.unknown

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