clase03-tema-2.1-2.2

Concreto Armado I • Contenido:

• Tema 2: Miembros sometidos a flexión simple

• 2.1Comportamiento de secciones sometidas a flexión

• 2.2 Resistencia de las secciones sometidas a flexión

• 2.3 Diseño de secciones por teoría de rotura

• 2.4 Cálculo de deflexiones

• 2.5 Ductilidad de secciones a flexión

Prof. Ing. José Grimán Morales 1

2.1Comportamiento de secciones sometidas a flexión

• Los principales aspectos de interés práctico en el comportamiento de una estructura son (1) la resistencia de la estructura, es decir, la magnitud de las cargas con una distribución dada que causarán la falla de la estructura y (2) las deformaciones traducidas en deflexiones y agrietamientos que van a presentarse en la estructura cuando esté cargada bajo condiciones de servicio.



• La mecánica del concreto reforzado se basa en las siguientes premisas fundamentales:

• 1. Las fuerzas internas, tales como momentos flectores, fuerzas de corte y esfuerzos normales y cortantes en una sección cualquiera de un elemento, están en equilibrio con los efectos de las cargas externas en esta sección.

• 2. La deformación unitaria en una barra de refuerzo embebida (a tensión o a compresión) es la misma que la del concreto circundante. Es decir, se supone que existe una adherencia perfecta en la interfase entre el concreto y el acero de manera que no ocurre deslizamiento entre los dos materiales.



• 3. Las secciones transversales planas antes de la aplicación de la carga siguen siendo planas para el elemento cargado.

• 4. Debido a que la resistencia a la tensión del concreto es pequeña, el concreto en aquella parte del elemento sometido a tensión estará usualmente fisurado; las fisuras obligan a que el concreto fisurado sea incapaz de resistir esfuerzos de tensión. De acuerdo con esto, se supone en general que el concreto no es capaz de resistir ningún esfuerzo de tensión.

• 5. La teoría se basa en las relaciones esfuerzo-deformación reales y en las propiedades de resistencia de los dos materiales constituyentes o en alguna simplificación razonable relacionada.



• En la figura 2.1 se presenta un ejemplo sencillo de una viga de concreto reforzado y se indica la nomenclatura usual para las dimensiones de la sección transversal.

• Cuando la carga en dicha viga se incrementa de modo gradual desde cero hasta la magnitud que producirá su falla, claramente pueden distinguirse diferentes estados en su comportamiento.



Figura 2.1. (Tomada de Nilson, Arthur H.)


• Para cargas bajas, mientras que el máximo esfuerzo de tensión en el concreto sea menor que el módulo de rotura, todo el concreto resulta efectivo para resistir los esfuerzos de compresión a un lado y de tensión al otro lado del eje neutro.

• Además, el refuerzo, que se deforma la misma cantidad que el concreto adyacente, también está sometido a esfuerzos de tensión. En esta etapa, todos los esfuerzos en el concreto son de pequeña magnitud y proporcionales a las deformaciones.



• Cuando la carga se aumenta un poco más, pronto se alcanza la resistencia a la tensión del concreto y en esta etapa se desarrollan las grietas de tensión. Éstas se propagan con rapidez hacia arriba y muy cerca del nivel del plano neutro, que a su vez se desplaza hacia arriba con agrietamiento progresivo.

• La forma general y la distribución de estas grietas de tensión aparecen en la figura 2.2.



Figura 2.2. (Tomada de Nilson, Arthur H.)


• Para cargas moderadas, si el esfuerzo en el concreto no excede aproximadamente (f’c/2), los esfuerzos y las deformaciones unitarias continúan siendo proporcionales. La distribución de deformaciones unitarias y esfuerzos en la sección fisurada o cerca de ella es, en consecuencia, la que aparece en la figura 3.2e (Ver figura 2.2).



• Cuando la carga se incrementa aún más, el esfuerzo y las deformaciones aumentan en forma correspondiente y desaparece la proporcionalidad. La relación no lineal entre esfuerzos y deformaciones unitarias que sigue es la determinada por la curva esfuerzo-deformación unitaria del concreto. La figura 3.2f (ver figura 2.2) señala la distribución de esfuerzos y deformaciones unitarias cerca de la carga última.



Figura 2.2.(Repetida) (Tomada de Nilson, Arthur H.)


• En algún momento se alcanza la capacidad de carga de la viga. La falla se puede presentar de dos maneras.

• Cuando se emplea una cantidad de refuerzo relativamente moderada, el acero alcanza su punto de fluencia con determinado valor para la carga. Para este esfuerzo, el acero de refuerzo fluye en forma súbita y se alarga de manera considerable, entonces las grietas de tensión en el concreto se ensanchan de manera visible y se propagan hacia arriba, presentándose simultáneamente una deflexión significativa de la viga. (Ver las figura 2.3 , 2.4a y 2.4b). (Vigas Subreforzadas)



• Cuando esto ocurre, las deformaciones unitarias en la zona de compresión restante del concreto se incrementan hasta tal punto que sobreviene el aplastamiento del concreto, o sea una falla por compresión secundaria con una carga sólo ligeramente superior que la carga que causó la fluencia en el acero.

• En consecuencia, la realización efectiva del punto de fluencia en el acero determina la capacidad de carga de las vigas moderadamente reforzadas. Esta falla por fluencia es gradual y está precedida por signos visibles de peligro, como el ensanchamiento y alargamiento de las grietas y el aumento notorio en la deflexión.


Prof. Ing. José Grimán Morales

Figura 2.3. (Tomada de Alonso, José L.)

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Prof. Ing. José Grimán Morales 16 Figura 2.4a. (Tomada de Alonso, José L.)

Prof. Ing. José Grimán Morales 17 Figura 2.4b. (Tomada de Alonso, José L.)


• De otra parte, si se emplean grandes cantidades de refuerzo o cantidades normales de acero de muy alta resistencia, la resistencia a la compresión del concreto puede agotarse antes de que el acero comience a fluir. El concreto falla por aplastamiento cuando las deformaciones unitarias son tan grandes (0.003 a 0.004) que destruyen su integridad.

• La falla por compresión debida al aplastamiento del concreto es repentina, de naturaleza casi explosiva y ocurre sin ningún aviso. Por esta razón, es aconsejable calcular las dimensiones de las vigas de tal manera que, si se sobrecargan, la falla se inicie por fluencia del acero en vez del aplastamiento del concreto. (Ver las figuras 2.3 y 2.5). (Vigas Sobrereforzadas)



Figura 2.3. (Repetida) (Tomada de Alonso, José L.)

Prof. Ing. José Grimán Morales 20 Figura 2.5. (Tomada de Alonso, José L.)

• NORMA 1753-2006. CAPÍTULO 10

• FLEXIÓN Y CARGAS AXIALES


Concreto Armado I • Contenido:

• Tema 2: Miembros sometidos a flexión simple

• 2.1Comportamiento de secciones sometidas a flexión

• 2.2 Resistencia de las secciones sometidas a flexión

• 2.3 Diseño de secciones por teoría de rotura

• 2.4 Cálculo de deflexiones

• 2.5 Ductilidad de secciones a flexión


2.2 Resistencia de las secciones sometidas a flexión

• En la práctica estructural es de interés calcular aquellos esfuerzos y deformaciones unitarias que ocurren en la estructura sometida a las cargas de servicio. Para las vigas de concreto reforzado esto puede hacerse mediante los métodos ya descritos, que suponen un comportamiento elástico en ambos materiales.

• De igual manera, es importante que el ingeniero estructural sea capaz de predecir con suficiente precisión la resistencia última de una estructura o de un elemento estructural. Hacer que esta resistencia sea mayor que las mayores cargas que puedan presentarse durante la vida útil de la estructura en una cantidad apropiada, garantiza un margen adecuado de seguridad.



• Se han desarrollado métodos de análisis más realistas para estimar la resistencia última basados en el comportamiento inelástico real (en vez de suponer el comportamiento elástico de los materiales) y en los resultados de una investigación experimental bastante amplia.

• Estos métodos basados en la teoría de rotura se utilizan actualmente, en forma casi exclusiva, en la práctica del diseño estructural.



• Con el objeto de desarrollar métodos sencillos de cálculo, los reglamentos de construcción recurren a hipótesis simplificadoras en las cuales se fija un valor de la deformación unitaria máxima útil del concreto, εcu y donde se definen diagramas idealizados de los esfuerzos de compresión, de tal manera que el área del diagrama de esfuerzos y la posición de la resultante de compresión sean semejantes a las que corresponderían a una distribución real.



• HIPÓTESIS ACI

• El Reglamento del Instituto Americano del Concreto (ACI 318-02) utiliza las hipótesis simplificadoras que se resumen en la figura 2.7. En lugar de la distribución real de esfuerzos, se propone una distribución rectangular, con una profundidad igual a β1 veces la profundidad del eje neutro.

• Se acepta que el elemento alcanza su resistencia máxima a una deformación unitaria máxima útil del concreto en compresión igual a 0.003, con una distribución lineal de deformaciones unitarias.



• El parámetro β1, se hace depender de la resistencia nominal f’c de acuerdo con la ecuación mostrada en la figura 2.7. El valor de β1 , es constante e igual a 0.85 para f‘c menor o igual a 280 kgf/cm2.

• Esta variación tiene por objeto tomar en cuenta el cambio en la forma de la curva esfuerzo-deformación del concreto al incrementar su resistencia, ya que el área del rectángulo equivalente debe ser aproximadamente igual al área bajo la curva esfuerzo-deformación.

• La hipótesis del bloque equivalente de esfuerzos es aplicable a secciones de cualquier forma.



Figura 2.7.(Tomado de González Cuevas y Robles Fernández)


Figura 2.8.(Tomado de Perdomo y Yépez)

Prof. Ing. José Grimán Morales 34 Figura 2.9.(Tomado de González Cuevas y Robles Fernández)

Procedimiento de análisis o revisión de SSA

Se tiene como datos: b, h, rd, d = h – rd, As, f’c y fy. Se pide determinar la resistencia nominal Mn, la resistencia de diseño 𝜙·Mn y compararla con el momento último Mu o resistencia requerida o solicitación por flexión mayorada.

1. Se establece el valor de 𝛽1:



2. Se calcula la profundidad del bloque rectangular equivalente “a”.

𝑪 = 𝑻

𝟎, 𝟖𝟓 · 𝒇′𝒄 · 𝒂 · 𝒃 = 𝑨𝒔 · 𝒇𝒚 ⟹ 𝒂 =𝑨𝒔 · 𝒇𝒚

𝟎, 𝟖𝟓 · 𝒇′𝒄 · 𝒃


3. Se verifica si el acero de refuerzo longitudinal está en cedencia, es decir si fs = fy

𝒂𝒃

𝒅= 𝜷𝟏 ·

𝟎, 𝟎𝟎𝟑 · 𝑬𝒔

𝟎, 𝟎𝟎𝟑 · 𝑬𝒔 + 𝒇𝒚



Continuación paso 3

Se calcula la relación: 𝒂

𝒅

Si a /d ≤ 𝒂𝒃

𝒅 , se continúa al paso 4, si esto no se cumple, se

determina de nuevo la profundidad del bloque rectangular “a” considerando que el acero de refuerzo longitudinal no cede. Se presenta el procedimiento luego del paso 5 y se designan como pasos 4a y 5a y además se concluye que en este caso la sección está controlada por compresión.



4. Se verifica si la sección está controlada por tracción

Se calcula la relación: 𝒂𝑪𝑻𝑳

𝒅𝒕= 𝟎, 𝟑𝟕𝟓 · 𝜷𝟏

Se calcula la relación: 𝒂

𝒅𝒕

Si 𝒂

𝒅𝒕 es ≤

𝒂𝑪𝑻𝑳

𝒅𝒕 , se continúa al paso 5.

Si no se cumple, se concluye que la

Sección es sección en transición.



5. Se determina la resistencia nominal a flexión Mn y la resistencia de diseño 𝟇·Mn . (Esto es cuando As cede)

𝑴𝒏 = 𝑨𝒔 · 𝒇𝒚 · 𝒅 −𝒂

𝟐


Procedimiento de análisis o revisión de SSA Paso 4a. Se calcula de nuevo “a” cuando el acero no cede.

Se escribe la ecuación: 𝜀s = 𝟎,𝟎𝟎𝟑∙ 𝒅−𝒄

𝒄= 𝟎, 𝟎𝟎𝟑 ∙

𝜷𝟏∙𝒅

𝒂− 𝟏 ,

luego se escribe: 𝒇𝒔 = 𝜺𝒔 ∙ 𝑬𝒔

𝒇𝒔 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟑 ∙ 𝑬𝒔 ∙𝜷𝟏 ∙ 𝒅 − 𝒂

𝒂


Continuación del Paso 4a. acero no cede.

𝑪 = 𝑻

𝟎, 𝟖𝟓 · 𝒇′𝒄 · 𝒂 · 𝒃 = 𝑨𝒔 · 𝟎, 𝟎𝟎𝟑 ∙ 𝑬𝒔 ∙𝜷𝟏 ∙ 𝒅 − 𝒂

𝒂

𝟎, 𝟖𝟓 ∙ 𝒇′𝒄 ∙ 𝒃 ∙ 𝒂𝟐 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟑 ∙ 𝑬𝒔 ∙ 𝑨𝒔 ∙ 𝒂 − 𝟎, 𝟎𝟎𝟑 ∙ 𝑬𝒔 ∙ 𝑨𝒔 ∙ 𝜷𝟏 ∙ 𝒅 = 𝟎

Se resuelve la ecuación de segundo grado para “a”, y luego se

determina: 𝒇𝒔 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟑 ∙ 𝑬𝒔 ∙𝜷𝟏∙𝒅−𝒂

𝒂



5a. Se determina la resistencia nominal a flexión Mn y la resistencia de diseño 𝟇·Mn, para el caso en que As no cede.

𝑴𝒏 = 𝑨𝒔 · 𝒇𝒔 · 𝒅 −𝒂

𝟐


Continuación del paso 5 o el paso 5a: Se determina se determina la resistencia de diseño f·Mn . Para sección controlada por tracción f = 0,90. Para las otras condiciones 𝜙 se determina según la figura siguiente:



Figura 2.10.(Tomado de Perdomo y Yépez)

REVISIÓN DE SECCIONES RECTANGULARES DOBLEMENTE

ARMADAS

Caso 1: Se asume que el acero de compresión fluye (f’s = fy)

De la figura (f) viga 2: A’s·fy = As2·fy ⇒ As2 = A’s

Entonces: 𝑨𝒔𝟏 = 𝑨𝒔 − 𝑨𝒔𝟐 = 𝑨𝒔 − 𝑨′𝒔

De la figura (d) viga 1: Se calcula la profundidad “a”:

Por equilibrio, en la figura (e): 𝑪𝒄 = 𝑻𝟏 , se obtiene: 𝟎, 𝟖𝟓 ∙ 𝒇′

𝒄∙ 𝒂 ∙ 𝒃 = 𝑨𝒔 − 𝑨′𝒔 ∙ 𝒇𝒚

𝒂 =𝑨𝒔−𝑨′𝒔 ∙𝒇𝒚

𝟎,𝟖𝟓∙𝒇′𝒄∙𝒃

(1)

Se calcula 𝜺′𝒔 =𝟎,𝟎𝟎𝟑∙ 𝒄 −𝒅′

𝒄= 𝟎, 𝟎𝟎𝟑 ∙ 𝟏 −

𝜷𝟏∙𝒅′

𝒂

Si 𝜺′𝒔 ≥ 𝒇𝒚

𝑬𝒔 , el acero a compresión cede y la solución continúa

aquí, si esto no se cumple se debe continuar la solución en el caso 2.


REVISIÓN DE SECCIONES RECTANGULARES DOBLEMENTE

ARMADAS

Continuación del Caso 1: El acero de compresión no cede

De la figura (f) viga 2:

Se calcula el momento de la viga 2: 𝑴𝟐 = 𝑻𝟐 ∙ 𝒅 − 𝒅′ = 𝑨′

𝒔 ∙ 𝒇𝒚 ∙ 𝒅 − 𝒅′

De la figura (d) viga 1:

Se calcula el momento de la viga 1:

𝑴𝟏 = 𝑻𝟏 ∙ 𝒅 −𝒂

𝟐= 𝑨𝒔𝟏 ∙ 𝒇𝒚 ∙ 𝒅 −

𝒂

𝟐

Resultando: 𝑴𝟏 = 𝑨𝒔 − 𝑨′𝒔 ∙ 𝒇𝒚 ∙ 𝒅 −𝒂

𝟐

El momento nominal total:

𝑴𝒏 = 𝑨𝒔 − 𝑨′𝒔 ∙ 𝒇𝒚 ∙ 𝒅 −𝒂

𝟐+ 𝑨′

𝒔 ∙ 𝒇𝒚 ∙ 𝒅 − 𝒅′

Resistencia de diseño: 𝝓 ∙ 𝑴𝒏 ≥ 𝑴𝒖


REVISIÓN DE SECCIONES RECTANGULARES DOBLEMENTE ARMADAS



• Determinar si la siguiente sección es subreforzada o sobrerreforzada. Calcular la resistencia a flexión de la sección. Determinar la deformación unitaria en el acero en el momento de alcanzar la resistencia.

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