clase n°4 problemas resueltos de componentes de vectores en 3 dimensiones

8/18/2019 CLASE N°4 Problemas resueltos de componentes de vectores en 3 dimensiones

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CLASE N°4

TÍTULO: Componentes en tres dimensiones

SUMARIO: Problemas del libro Engineering Mechanics, Statics, Fifth Edition, Bedford

& Fowler.

1. Solci!n del Problema ".#$

". Solci!n del Problema ".##

%. Solci!n del Problema ".%

'. Solci!n del Problema ".'

(. Solci!n del Problema ".)

*. Solci!n del Problema ".)*

#. Conclsiones.

OBJETIVO DE LA CLASE :

1. Familiari+arse con el lgebra -ectorial como herramienta primordial para

la solci!n correcta de problemas prcticos e operan de forma

tridimensional.

". /esarrollar la intici!n del estdiante para dar la solci!n de la forma ms

sencilla a estos problemas.

%. Mane0o adecado de la trigonometra necesaria para dar solci!n a los

problemas.

'. Mane0o adecado del -ector Fer+a F 2 del -ector de posici!n r respectoa s inclinaci!n respecto a los e0es de coordenadas del sistema cartesiano

2 el -ector nitario e paralelo a F 2 a r .

CONTENIDO

1. Problema .!"3n -ector nitario tiene los cosenos directores cosθ x=−0.5 2 cosθ y=0.2 . S

componente z es positi-a. E4pr5selo en t5rmino de ss componentes.

Da#o$

cos θ x=−0.5

cos θ y 6 $."

E4prese e en t5rmino de ss componentes.


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cos θ x 7 cos θ y 7 cos θ z 6 1

cos θ z=1− (−0.5 )2−(0.2 )2

cos θ z 6 ± $.'

Por tanto e 6 −0.5i+0.2 j+0.84 k

8os cosenos directores constit2en -ectores nitarios en el mismo sentido de la

aplicaci!n de la fer+a.

. Problema .!!

Da#o$

|r A|=2kms |r B|=4kms

cosθ Ax=0.768 cosθBx=0.743

cosθ Ay=0.384 cosθBy=0.557

cosθ Az=0.512 cosθBz=−0.371

9Cl es la distancia entre los dos sat5lites

/eterminamos r A 2 rB , los restamos o hacemos na sma rB+(−r A ) . El -ector r A es de igal magnitd pero en sentido contrario.

r A=r Ax+r Ay+r Az

r A=|r A|cosθ Ax i+|r A|cos θ Ay j+|r A|cosθ Az k

rB

r A;

B


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Sustituyendo los valores del vector de posición y los cosenosdirectores obtenemos

r A=1.536 i+0.768 j+1.024 k

rB=rBx+r By+r Bz

rB=|r B|cosθBx i+|rB|cosθBy j+|rB|cos θBz k

Sstit2endo los -alores del -ector de posici!n 2 los cosenos directores obtenemos

rB=2.972i+2.228 j−1.484k

rB+(−r A )=rB−r A= (2.972−1.536) i + (2.228−0.768) j+ (−1.484−1.024 )k

rB−r A 6 1.436 i+1.460 j−2.508 k

|r B−r A|=√ (1.436 )2

+(1.460 )2

+(2.508 )2

|r B−r A|=3.24 kms

8a distancia desde n sat5lite a otro es de 3.24kms.

Sat5lite B

Sat5lite B

rB−r A

−r A

rB


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%. Problema .&%

Da#o$

|rOA|=20 ft 8a lnea ;B es paralela al e0e y.

El pnto B est en el plano x-z.

E4prese rOA en t5rmino de ss componentes.

rOA=rOB+rBA


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-"°

4"°

y

x

z

O

9

0

°

%"°

"°

rOA ya !ue las componentes de rOBx y rOBz son iguales a rOAx

y rOBz .

4. Problema .&4

Da#o$

| F A|=140 lb| F B|=100lb

| F A+ F B|=?

F A+ F B= F Ax+ F Ay+ F Az− F Bx+ F By+ F Bz

Sstit2endo las componentes de F Ax , F Az , F Bx 2 F Bz por ss

pro2ecciones en el plano 4>+ seg?n la figra mostrada, obtenemos

F A+ F B= F h1 x+ F Ay+ F h1 z− F h2 x+ F By+ F h2 z

Sstit2endo las componentes anteriores seg?n s inclinaci!n respecto a los e0es

de coordenadas obtenemos

F A+ F B=| F h1|sen50° i " | F A|sen40 ° j+| F h1|cos50° k −| F h2|cos60° i+¿| F B|sen60° j+| F h2|cos30° k (1)

/ebemos hallar | F h1| y| F h2| para poder sstitirlos en la e4presi!n anterior.

| F h1|=| F A|cos40°=¿ ( 140 lb¿(0.766) 61$#."' lb

| F

h2|=

| F

B|cos60°=¿

(1##) (0.5

)=¿ ($ lb

F

F Ax= F h1 x

F h1

F h2 F

Az

F B

F A

F Bx= F

h2 x F Ax= F h1 x ,

cos %$@= ! sen %$@


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Sstit2endo todas las componentes en


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eCE

;

E T

2

"$ @ B C

/

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180250

300

350

400

Theta ,Alpha (degrees)

V e c t o r s u m a d e F u e r z a ,

F A B

( p o u n d s )

FAB1

FAB22

-. Problema .&3

+

4


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Aector de posici!n paralelo al e0e 4

Y


9/10

. Problema .3

4


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