clase mm3 2015 i

7/25/2019 Clase MM3 2015 I

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Ing. Eduardo Orcs

Mecnica de Maquinaria II

Clase 3

MTODO MATRICIALCINETOSTTICO

Ing. Eduardo Orcs

Junio 01/2015

7/25/2019 Clase MM3 2015 I

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Ing. Eduardo Orcs 2015-I

TEMAS

Mtodo Matricial Cinetosttico

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2015-I

Se escribe la ecuacin de lazo cerrado para la posicin

de los eslabones, y luego por derivacin las ecuaciones

para las velocidades y aceleraciones.

Anlisis Cinemtico de Mecanismos

mediante el Mtodo Matricial

1432 RRRR

+=+

Ing. Eduardo Orcs P.

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2015-I

Ecuacin del lazo cerrado para un mecanismo de 4

barras:

(1)

Tomando componentes xy:

(1)

Estas ecuaciones permiten hallar 3 y 4, dadas 2 y las

longitudes de todos los eslabones. Este es el llamado

Problema de Posicin.

1432 RRRR

+=+

443322

1443322

coscoscos

senrsenrsenr

rrrr

=+

+=+


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2015-I

Las ecuaciones de cierre del lazo para lasvelocidades

se obtienen derivando las ecuaciones (1) con respectoal tiempo:

(2)

Se resuelve estas ecuaciones para las incgnitas 3 ,4.

Se asume quer1,r2,r3,r4, 2 y 2 son datos, y que los

valores de 3 y 4 se han hallado del anlisis de posicin

del mecanismo.

(2)

444333222

444333222

coscoscos

rrr

senrsenrsenr

=+

=

=

222

222

4

3

4433

4433

coscoscos

r

senr

rr

senrsenr


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2015-I

Las ecuaciones de cierre del lazo para lasaceleraciones se

obtienen derivando las ecuaciones (2) con respecto altiempo:

Se resuelve estas ecuaciones para las incgnitas 3 ,4.

(3)

22

2

222244

2

444433

2

3333

22

2

222244

2

444433

2

3333

coscoscos

coscoscos

senrrsenrrsenrr

rsenrrsenrrsenr

+=+

+=++

++

++=

44

2

433

2

322

2

2222

44

2

433

2

322

2

2222

4

3

4433

4433

cos

coscoscos

coscos

senrsenrsenrr

rrrsenr

rr

senrsenr


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7/382015-I

Ecuaciones vectoriales para mecanismos

tpicos de eslabones articulados


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8/382015-I

Ejemplo 1: Use las ecuaciones (2) anteriores para hallar las

velocidades 3 y 4 de un mecanismo de 4 barras. Asuma

2 = 100 rad/s. UtiliceMatlab.

Datos: r1 = 12.0 cm,r2 = 4.0 cm,r3 = 10.0 cm,r4 = 7.0 cm.

1 = 0 ,2 = 45 ,3 = 24.65 , 4 = 90.68.


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9/382015-I

% Programa en Matlab

w2=100

r2=4; r3=10; r4=7;

th2=45*pi/180; th3=24.652*pi/180; th4=90.6794*pi/180; % ngulos en radianes

J=[-r3*sin(th3) r4*sin(th4); r3*cos(th3) -r4*cos(th4)]

b=[w2*r2*sin(th2); -w2*r2*cos(th2)]

omega34=inv(J)*b;

omega3=omega34(1)

omega4=omega34(2)

Entonces, en esta posicin del mecanismo, las velocidades

son: 3 = 31.32 rad/s(SH), 4 = 21.74 rad/s(SAH).


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10/382015-I

Las ecuaciones del lazo cerrado son satisfechas porvalores de 3 ,4 que cierran el lazo del mecanismo.

Estos valores son las races de las ecuaciones (1).

En general, podemos escribir para un mecanismo de 4

barras:

(4)

Para hallar las races, partimos de algn valor nominalque se lo considera cercano a la solucin y le

aadimos una correccin para hacerfi(3,4)=0. Este

es el procedimiento iterativo deNewton-Raphson.

Anlisis de Posicin del Mecanismo

443322432

1443322431

),(

coscoscos),(

senrsenrsenrf

rrrrf

+=

+=


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11/382015-I

Entonces: (5)

Substituyendo en (4) y haciendo una expansin en serie

de Taylor, se obtiene:

(6)

En forma matricial:

(7)

444

333

+=

+=

)2,1(,0),(),( 44

3

3

4343 ==

+

+= i

ffff iiii

=

+

0

0

),(

),(

4

3

4

2

3

2

4

1

3

1

432

431

ff

ff

f

f


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12/382015-I

Las derivadas parciales son conocidas, para un

mecanismo de 4 barras :

Las correcciones

3,

4 se obtienen as:

(8)

El procedimiento de solucin iterativa se muestra en el

siguiente diagrama de flujo.

.,, 444

133

3

1 etcsenrf

senrf

=

=

=

),(

),(

coscos 432

431

1

4433

4433

4

3

f

f

rr

senrsenr


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13/382015-I

Diagrama de flujo del mtodo de Newton-Raphson

para el anlisis de posicin en cinemtica.

Estimar solucin ),( 43

Usar solucin estimada para

hallar correcciones3,4

Sumar correcciones para

hallar nuevas estimaciones

iii +

Evaluar las funciones en los

nuevos valores ),( 43 if

Si fi 0, entonces terminar.

Si n, recalcular correcciones.


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14/382015-I

Ejemplo 2: Determine la posicin de las barras 3 y 4 en el

ejemplo 1 anterior. UtiliceMatlab.

Datos: r1 = 12.0 cm,r2 = 4.0 cm,r3 = 10.0 cm,r4 = 7.0 cm.2 = 0, 3 = 45, 4 = 135 (valores asumidos).

El siguiente programa calcula los valores de 3 y 4 para

la posicin del mecanismo correspondiente a 2 = 0.

Datos de entrada: rs(1)=12; rs(2)=4; rs(3)=10; rs(4)=7;

th(1)=0; th(2)=45*pi/180; th(3)=135*pi/180;

Los valores obtenidos son:

3 = 44.05

4 = 96.66


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2015-I

function [th3, th4]=posicion4(th,rs)

% Solucin de posicin para mecanismo

% de 4 barras

% Aplica mtodo de Newton-Raphson

%

% Valores de entrada de la funcin

% th(1)=theta2

% th(2)=theta3bar (suposicin inicial)

% th(3)=theta4bar (suposicin inicial)

% rs(1)=r1, rs(2)=r2, rs(3)=r3, rs(4)=r4

%

% Valores de salida:

% th3= theta3, th4= theta4

th2=th(1);

th3bar=th(2);

th4bar=th(3);

% Condicin de convergencia

epsilon=1.0e-6;

% Inicializar el vector f

% Calcular las dos componentes del vector f

f=[rs(3)*cos(th3bar)-rs(4)*cos(th4bar)+rs(2)*cos(th2)-rs(1);

rs(3)*sin(th3bar)-rs(4)*sin(th4bar)+rs(2)*sin(th2)];

% Calcular repetidamente los valores de correccin

% delta theta para el mtodo de Newton-Raphson

while norm(f)>epsilon

J=[-rs(3)*sin(th3bar) rs(4)*sin(th4bar);

rs(3)*cos(th3bar) -rs(4)*cos(th4bar)];

dth=inv(J)*(-1.0*f)

th3bar=th3bar+dth(1); th4bar=th4bar+dth(2);

f=[rs(3)*cos(th3bar)-

rs(4)*cos(th4bar)+rs(2)*cos(th2)-rs(1);

rs(3)*sin(th3bar)-

rs(4)*sin(th4bar)+rs(2)*sin(th2)];

norm(f);

end;

th3=th3bar*180/pi; th4=th4bar*180/pi;

Programa en Matlab


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2015-I

En un mecanismo de 4 barras, el anlisis de posicin se

lo puede realizar de una manera exacta usando la

ecuacin de Freudenstein (sec. 4.5 del libro de Norton).

En el libro de Norton se pueden consultar adems lassiguientes secciones:

6.7/6.9 Anlisis de velocidades

7.3/7.5 Anlisis de aceleraciones

Hay que notar que existen mltiples soluciones para el

problema de posicin. La solucin de N-R normalmente

depende de la posicin inicial asumida.


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2015-I

Normalmente se requiere que la solucin de posicin

sea obtenida para varias posiciones angulares del

eslabn de entrada hasta obtener un ciclo completo.

Esto se puede hacer resolviendo secuencialmente un

programa enMatlab. En este caso solo se necesita la

postura inicial; para las dems, la ltima posicin

obtenida puede ser usada como valor inicial. Esto semuestra en el siguiente ejemplo.


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2015-I

Ejemplo 3: Determine la posicin angular de las barras 3 y

4 en el ejemplo 2 anterior para un ciclo completo. Utilice

Matlab.Datos: r1 = 12.0 cm,r2 = 4.0 cm,r3 = 10.0 cm,r4 = 7.0 cm.

2 = 0, 3 = 45, 4 = 100 (valores asumidos).


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2015-I

El programa Ej3MM3 calcula los valores de 3 y 4 y los

grafica para 2

= 0:5:360.


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2015-I

Ejercicio 3.1: Examine las curvas de 3 y 4 en el

Ejemplo 3. Explique cmo varan las velocidades

angulares 3 y 4, a partir de estos grficos.

Ejercicio 3.2: Analice el ejemplo 3 para diferentes

valores der2. Aumente gradualmente el valor hasta que

la funcin ya no devuelve ningn valor (el algoritmo

numrico no converge). Explique lo que ocurre. Ejercicio 3.3: Utilice el programa Barras para

comprobar los resultados obtenidos en el Ejemplo 3.


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2015-I

Ejemplo 4: Grafique la posicin del eslabn 3 en el ejemplo

2 anterior para un ciclo completo. Grafique tambin las y

de las barras 3 y 4. Use la funcinfsolve deMatlab parael anlisis de posicin.

El programa Ej4MM3 llama a la funcin

Posicin4barras, la cual usa la funcinfsolve para hallar

3 y 4 en el anlisis de posicin.


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2015-I

En el mtodo cinetosttico de anlisis, se asumenconocidas la velocidad y aceleracin de entrada, y secalculan las fuerzas y torques requeridos. Esto implicaque se dispone de un motor que es capaz deproporcionar al eslabn de entrada la velocidad y

aceleracin requeridas (lo cual no siempre es posible).En las secciones siguientes usaremos este mtodo.(Consultar seccin 11.4 del libro de Norton).

En el mtodo de respuesta dinmica ( simulacindinmica), se asume que las fuerzas son las queproducen los movimientos de los mecanismos. Elenfoque requerido en este caso es ms complejo.

Mtodo Matricial de Anlisis de Fuerzas


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2015-I

Mtodo Matricial de Anlisis

Cinetosttico en Mecanismos Articulados


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2015-I

DCL de los eslabones del mecanismo. Ecuaciones

vectoriales de suma de fuerzas y momentos alrededor del

CG.


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2015-I

Se generan 9 ecuaciones escalares de suma de fuerzas y

momentos, con 9 incgnitas.


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2015-I

Estas 9 ecuaciones se pueden presentar en forma matricial

como se muestra a continuacin. Las incgnitas son las

fuerzas en las articulaciones y el par requerido en el

eslabn de entrada. Previamente se deben haber calculado las aceleraciones angulares de los eslabones y

las aceleraciones lineales de losCG.


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Ejemplo: Resolver por el Mtodo Matricial Cinetosttico


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Programa en Matlab

% Fuerzas de inercia por el mtodo matricial cinetosttico

%

% Matriz de coeficientes

A = [-1 0 1 0 0 0 0 0 0;

0 -1 0 1 0 0 0 0 0;

0 0 -1.81 2.4 0 0 0 0 1;

0 0 -1 0 1 0 0 0 0;

0 0 0 -1 0 1 0 0 0;

0 0 1.56 3.68 1.56 3.68 0 0 0,

0 0 0 0 -1 0 1 0 0;

0 0 0 0 0 -1 0 1 0;

0 0 0 0 -2.27 2.28 -5.25 0.46 0];

%% Vector de cargas

B = [0 0 0 -11.31 -1.21 17.35 -13.44 7.88 -40.25]';

%

% Vector de fuerzas

Fuerzas = A\B % Tambin se puede usar inv(A)*B, A^(-1)*B


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Resultados:


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Ejemplo: Anlisis de un mecanismo de

cuatro barras usando el programaFourbar.


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Tareas Leer las siguientes secciones del libro de Norton:

- Cap. 11,Anlisis de fuerzas dinmicas,

Secs. 11.0 a 11.9

Resolver ejercicios de la Clases MM3: 3.1, 3.2, 3.3.

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