1Matemtica para Ingeniera (MA261)Clase Integral solucionario

Sesin 7.3Orientaciones para el alumno:

La clase integral consta de dos partes:PARTE I. Deben aparecer los procedimientos y justificaciones que se emplearon en lasresoluciones de las preguntas. La calculadora se puede usar slo para comprobar.PARTE II. Usa la calculadora para simplificar los clculos.

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PARTE I

1. Indique el valor de verdad (V o F) de las siguientes proposiciones justificando claramente sus respuestas:a. La funcin g cuya regla de correspondencia es 2)( = xexg , tiene asntota de ecuacin

2=y .

Solucin.-

Verdaderode la grfica de la funcin se observa que la asntota es 2=y

5 4 3 2 1 1 2 3

3

2

1

1

2

3

4

5

x

y

2b.Si f es inyectiva entonces f es creciente o decreciente pero no ambos a la vez.Solucin.

FalsoPodemos tener una funcin definida por partes donde sea creciente para un intervalo del dominio ydecreciente para otro intervalo del dominio y que a la vez sea inyectiva como se observa en la grfica(la grfica muestra un contraejemplo)

c. Siendo la funcin f con 1)( = xxf y ] [2;1)(Dom =f entonces f tiene inversa.Solucin.-

FalsoGraficando, observamos que para el dominio establecido no es inyectiva (uno a uno) por el criterio dela lnea horizontal (CRH), por lo tanto no tiene inversa.

d. Para cualquier valor x se cumple que ( )( ) xx =1coscos .

Falso. ( )( ) xx =1coscos solo cumple si [ ]1;1x

4 3 2 1 1 2 3 4 5

2

1

1

2

3

4

5

x

y

1 1 2

1

1

2

x

y

32. Se tienen las funciones g y h cuyas reglas de correspondencia son ( )2

11+

+=xe

xg y

( ) ( ).3ln 2 = xxh . Determine ( )( )xhg y su respectivo dominio.Solucin.-

Para ( )( )xhg ( )( ) ( )( ) ( ) 2

113ln3ln

22

++==

xexgxhg (*)

Entonces el Dom (g h) = ( ){ }2ln 32/ 3 0 2 0xx R x e > + = ] ] [ [+ ;33;Luego simplificando en (*) se tiene ( )( )

111 2

+=x

xhg

3. Dada la funcin f con regla de correspondencia ( )1

143)( 2

+=

xe

xxxf . Determine:

a. Los ceros de la funcin f.b. Los intervalos donde f es positiva y los intervalos donde f es negativa.a.

Primero: encontrar el dominio de la funcin{ }01014/)(Dom 2 += xexRxf214 xx

[ [ { }2;14)(Dom =fSegundo: determinar los ceros ( ) 0

1143)( 2 =

+=

xe

xxxf

143014)3( ===+ xxxx

Respuesta: La funcin tiene ceros en -14 y 3.

b.Determinar en qu intervalos ( )f x es positivo y en qu intervalos es negativo

( )1

143)( 2

+=

xe

xxxf

V.R. -14, 2 y 3D.S.

2ND +

3-

-14+

Entonces ( )f x es positivo en los intervalos donde se tiene + y negativo en los intervalos donde setiene en el diagrama de signos.

( )f x es positivo en: ] [2;14 y ] [+;3( )f x es negativo en: ] [3;2

44. Dada la funcin f , cuya regla de correspondencia es 21)( += xxf . Determine si existe 1f ,luego grafique la inversa, indicando los puntos de interseccin con los ejes.

Por el CRH f es inyectiva.

] ]1;)(Dom =f[ [= ;2)(Ran f

Calcular la regla de correspondencia de 1f

21 += xy21 += yx , despejando se tiene

( )221 = xy( ) ( )21 21 = xxf , [ [= ;2)(Dom 1f

Segn la grfica:El punto de interseccin con el eje x es (3,0)

5. Dada la grfica de la funcin ),(xf grafique la funcin ( ) 2)1(3 = xfxg

1 1 2 3 4

1

1

2

3

x

y

5( ) )1(2 xfxg += ( ) )1(33 xfxg +=

( ) 2)1(34 += xfxg ( ) 2)1(35 = xfxg

6. Para la funcin f con regla de correspondencia ( )2875ln)10()(

xx

xxxf

+

+= se pide:

a. Los ceros de la funcin.b. Los intervalos donde la funcin es negativa.

3 2 1 1 2 3 41

1

2

3

4

5

6

x

y

3 2 1 1 2 3 41

1

2

3

4

5

6

x

y

3 2 1 1 2 3 4

2

1

1

2

3

4

x

y

3 2 1 1 2 3 4

2

1

1

2

3

4

x

y

6a.

El dominio { }05087/)(Dom 2 >>+= xxxIRxfSe debe cumplir que: 0872

7ii) Despejamos x en funcin de y

RRanfDomfxf

x

xxy

xy

x

y

y

==

=

=

+=+=+

+=

+

+

+

1

21

2

23

3

23)(23

23)2(log22)2(log

Intercambiamos x por y

4 3 2 1 1 2 3 4

4

3

2

1

1

2

3

4

x

y

88. Resolver las siguientes ecuaciones:a. log(4 ) log( 1) log 3x x+ + =b. 13 3 2x x =

a. CVA:

] [

)dominioelenestno(23

21

0)32)(12(344

3log)]1(4log[;0

0104

2

==

=+

=+

=+

+=

>+>

xx

xx

xx

xx

CVAxx

CS =

21

b. CVA=R

)333(0130)13)(33(

033.23

2333

2

>+=

=+

=+

=

xx

xx

xx

x

x

CS = { }0

9. Dada la funcin f cuya regla de correspondencia es )-4sen(23)( xxf += . Trace su grfica.

+=

+=

22sen43

)2sen(43)(

x

xxf

Amplitud: 44 =

Periodo: ==2

2T

Desfasamiento:2 (hacia la derecha)

Traslacin vertical: -3 (hacia abajo)

2

23

43

45

pi/2 pi /2 pi 3 pi /2 2 pi

7

6

5

4

3

2

1

xy

9PARTE II

10.La masa )(tm en gramos de una sustancia radiactiva, que queda luego de t aos, se determina segn elsiguiente modelo matemtico ( ) tetm 02,0100 = . Despus de cuntos aos solo quedarn 50 gramos dela muestra?

Solucin.te 02,010050 =

Despejando obtenemos ...657,3402,0

)2/1ln(=

=t

Quedarn 50 g luego de aproximadamente 34,66 aos

11. Dada la funcin f cuya regla de correspondencia es:

a. Trace la grfica. ( )

>+

10

b. Determine analticamente los puntos de interseccin de la grfica de f con los ejes coordenados,indique adems el rango de la funcin f .

Segn la grfica:Los puntos de interseccin con el eje x son:

01

12 =

+x

usando ClassPad21

=x Luego se tiene

0;21

0)2ln(1 =+ x usando ClassPad 21 += ex Luego se tiene ( )0;21 +eEl punto de interseccin con el eje y es: ( )1;0

( ) ] [= ;Ran f

c. Indique los intervalos de monotona de f .

f crece en: ] [ ] [ ;2;2;f decrece en: ] [ ] ]2;1;1;2d. Determine si existen puntos de discontinuidad y clasifquelos.

En -2 de tipo saltoEn 1 y 2 de tipo infinita

12. Se ha determinado la funcin Utilidad U de una empresa de equipos de cmputo cuya regla decorrespondencia es 10060)( 2 += xxxU , cuando 0 x 60, donde x representa el nmero demonitores producidos.a. Grafique la funcin utilidad.b. Cul es el mximo nmero de monitores que se pueden producir para no ocasionar prdidas?c. Determine el nmero de monitores que se deben producir para obtener la mxima utilidad.d. Determine el intervalo en el cual se producen ganancias.

Solucin.-a) Graficando la funcin

b) para no ocasionar perdidas el nmero mximo de monitores es 58

x

y

V=(30;800)

(0;-100) (60;-100)

(58,28;0)(1,71;0)

11

c) el nmero de monitores que se deben producir es 30 para obtener una utilidad mxima igual a 800d) se producen ganancias cuando se producen entre 2 y 58 monitores.

13. Un pavo rostizado se saca de un horno cuando su temperatura ha alcanzado 185F y se coloca en unamesa en un cuarto donde la temperatura es de 75F.

a) Si la temperatura del pavo es 150F despus de media hora, cul es su temperatura despus de45 minutos?

Datos:

T0=185FTm=75Fk=?

F...929,13611075)45(302215ln

)75185(75150)30()()(

)45(

300

+=

=

+==

+=

k

k

kt

eT

k

eT

eTTTtT mm

Respuesta: Despus de 45 minutos alcanza la temperatura de 136,93Faproximadamente.

b) Cundo se enfriar el pavo a 100F?

...0549,116

2215ln

225ln

30

302215ln

con11025

11075100)(

=

==

+==

t

ke

etT

kt

kt

Respuesta: Luego de 116,05 minutos el pavo se enfriar a 100F

14. Un contratista recibe S/. 80 000 por realizar un trabajo y decide ahorrar el 40% del dinerorecibido a una tasa de inters del 6% anual, determine:

a) cunto dinero tendr en 2 aos si la capitalizacin es continua?

Datos: r = 0,06 ; P = 32 000 y t = 2

...899,3607900032A

PA)2(06,0

=

=

Ae

ert

Respuesta: En dos aos se tendr S/. 36 079,90 aproximadamente.

12

b) en cunto tiempo tendr S/. 38 000 si la capitalizacin es trimestral?

r = 0,06P = 32 000t = ?k = 4

...885,2)015,1ln(43238ln

)015,1(3200038000

406,013200000038

1

44

=

=

=

+=

+=

t

krPA

tt

kt

Respuesta: En aproximadamente 2,89 aos tendr S/. 38 000