Para una cuerda la energía total media es entonces

¿ΔE>¿<ΔEk >+< ΔEp>¿ 1

2 μ Δx ω2 y

m2

(11)ya que el promedio en un periodo de

< sen2 (kx - t + ) > = < cos2 (kx - t + ) > = 1/2

La Potencia media es

P=¿ΔE> ¿

Δt=1

2μ

ΔxΔt

ω2 ym

2=12

μ v ω2 ym

2 ¿ (12)

Consideremos una onda de sonido esférica, es decir aquella que es producida por una fuente puntual. A la distancia r del centro de la fuente la función de la onda de desplazamiento es:

ψ=ψm sen (kr - ω t +ϕ ) , (13)

la cual nos indica que todas las partículas de la capa esférica de aire, mostrada en la figura 4 , oscilan en fase.

La energía media para cada partícula de masa m, es como en el caso de la onda en una cuerda , ver la ecuación (11):

¿ΔE> =1

2 Δm ω2 ψ

m2 (14)

donde m = V = A r La intensidad de la onda, es la energía por unidad de área y por unidad de tiempo que pasa por cada punto de la superficie esférica:

I =¿ ΔE> ¿

A Δt=1

2ρ

ΔrΔt

ω2ψm

2=12

ρ v ω2ψm

2 ¿ (15)

siendo la densidad del aire = 1,3 kg/m3 y la velocidad del sonido en el aire v = 340 m/s.

La intensidad que esta cruzando por cada punto de la superficie esférica, es proporcionado por la potencia de la fuente Pf :

I =

P f

4 π r2 (16)

Notar que la intensidad se puede calcular con las ecuaciones (15) o (16).

3.5.1 Nivel sonoro

Es una escala logarítmica que relaciona la intensidad I con un valor de referencia I0 = 1,0 x 10 –12 W/m2

β=10 log10(

II 0

) (17)

El nivel se expresa en decibeles (db). Ejemplo

Una fuente de sonido emite ondas esféricas armónicas con una potencia de 1000W y con una frecuencia de 100 Hz. Obtenga el valor del nivel sonoro a 5 m de la fuente.

Solución

Pf = 1000 W , r = 5m I =

P f

4 π r2=1000

4 π (5 )2= 3,18 w/m2

Rpta : = 10 log10 (3,18/1,0 x 10-12) = 125 db.

Ejemplo Un parlante emite ondas sonoras esféricas de 1100Hz de frecuencia. Se observa que el nivel sonoro a 18 m es de 82db.La velocidad del sonido es

de 340m/s. ρaire=1,3 kg /m3Hallar:

a. La potencia del parlante.b. La amplitud de oscilación de las partículas de aire a 18m del parlante.c. El nivel sonoro a 10m del parlante.

Solucion

Datos:f =1100 Hz ,β=82 db , en r=18m , v=340 m /s

a. p f=I ( 4 πr2 ) , β=82db=10 log( I

10−12)

I=1 ,585 x 10−4 w /m2

p f=1, 585 x10−4 (4 π 182 )=0 , 645 w

b. I=1

2ρVω2 ψ

m2=1 ,585 x10−4

y se obtiene

ψm=1 , 23 x10−7 m

c. β=10 log( I !

10−12 )

I !

I= r2

r!2

I !=5 ,135 x 10−4 w /m2

3.6 Principio de superposición.

Experimentalmente se observa que dos o mas ondas pueden cruzar el mismo espacio sin

que se alteren sus efectos entre si. Este hecho significa que el desplazamiento de cualquier

partícula es igual a la suma o superposición vectorial de los desplazamientos que le

producirían por separado cada una de las ondas.

ψ=ψ1+ψ2

Ejemplo:

Cuando se escucha a una orquesta, se pueden diferenciar los diferentes sonidos de los instrumentos musicales.

3.6.1 Interferencia de ondas armónicas

La interferencia se refiere al efecto físico que resulta de superponer dos ondas de igual

frecuencia y diferentes fases.

Consideremos dos ondas de igual amplitud, e igual intensidad I0 , cuyas ecuaciones son :

ψ1=ψm sen ( kx - ω t +φ ) (18)

ψ2=ψm sen ( kx - ω t) (19)

El desfasaje entre ambas ondas es .

La superposición de estas ondas da como resultado:

ψ=ψ1+ψ2=(2 ψ m cos

φ2

) sen (kx - ω t + φ2) (20)

Amplitud de la onda resultante

ψmr= 2 ψm cos

φ2 (21)

a) Interferencia constructiva:

Notar que si el desfasaje es = 0, 2, 4, 6, ....= 2 n

entonces ocurre : cos (/2) = 1 , mr = 2 m y la intensidad resultante es ahora

I r=

12

ρ v ω2ψmr

2= 4 I0 (22)

En este caso se dice que la superposición de las dos ondas, ha dado como resultado una interferencia constructiva.

b) Interferencia destructiva

Si el desfasaje es = , 3, 5,.... = (2n +1) , se deduce que mr = 0 e Ir = 0 (23)

Decimos entonces que ha ocurrido una interferencia destructiva.

Ejemplo. Dos movimientos ondulatorios coherentes de frecuencia 640 hertz, se propagan por un medio con la velocidad de 30 ms-1. Hallar la diferencia de fase con que interfieren en un punto que dista de los orígenes de aquellos respectivamente 25,2 y 27,3 m.

La función de onda de cada movimiento viene dada por:

La diferencia de fase entre estos dos movimientos será entonces:

Ejemplo. La longitud de onda del sonido emitido por ambos focos es

     Para que el aparato no registrara sonido sería preciso que en el punto donde está situado se produzca un mínimo de interferencia. De otra manera, R deberá estar situado en un punto cuya diferencia de distancias a S1 y S2 sea igual a un múltiplo impar de semilongitudes de onda:

Según los valores dados:

   

y                                          

luego             

y, por tanto, el aparato no registrará el sonido.  

Ondas Estacionarias longitudinales

Vibraciones de columnas de aire.

    Si uno de los extremos de un tubo está abierto y se dirige una corriente de aire contra su borde (como hacemos cuando soplamos para hacer silbar un tubo), se originan remolinos y las oscilaciones de presión que éstos provocan se propagan por el interior del tubo y se reflejan en el otro extremo del mismo. Se originan así ondas estacionarias longitudinales y la columna de aire resuena en sus frecuencias naturales. Como en el caso de la cuerda tensa, existen simultáneamente la vibración fundamental y sus armónicos.

    a) Tubos abiertos.

    En el caso de un tubo abierto en ambos extremos, en cada uno de ellos tendremos un vientre (antinodo) de desplazamiento, con ninguno o algunos vientres intermedios, como se indica esquemáticamente en la figura de abajo. La existencia de vientres de desplazamiento en los extremos se comprende porque, los puntos donde la presión no varía (nodos de presión) son vientres de desplazamiento. En los extremos abiertos del tubo tenemos vientres de desplazamiento porque en dichos extremos reina la presión atmosférica (constante). Abriendo un tubo sonoro a la altura de un vientre de desplazamiento, el sonido emitido no varía.

    Es fácil deducir la relación existente entre la longitud L del tubo con la longitud de onda estacionaria l:

con n = 1, 2, 3, ..., o bien, para expresarlo de otra manera, si L es la longitud del tubo, pueden establecerse en él ondas estacionarias cuyas longitudes de onda sean

y, puesto que v = c/l y la velocidad de propagación de las ondas longitudinales es la misma para todas las frecuencias (medio no dispersivo), el tubo resuena para las frecuencias

siendo K el módulo de compresibilidad del aire.

    La frecuencia más baja, v1=c/2L, es la frecuencia fundamental y está acompañada de la serie completa de armónicos (v2, v3, ...), con vn=nv1. Por tanto:

En un tubo abierto, la frecuencia fundamental es c/2L y están presentes todos los armónicos.

    b) Tubos cerrados.

    Si el tubo está cerrado por uno de sus extremos (tubo acústico cerrado), en dicho extremo habrá un nodo de desplazamiento, en tanto que en el extremo abierto habrá un vientre de desplazamiento; entre ambos, podrá haber un número cualquiera de parejas nodo-vientre, como se ilustra en la figura.

    Es fácil comprender que, puesto que la distancia nodo-vientre es l/4, la relación entre la longitud L del tubo y la longitud de onda estacionaria es

con n = 1, 2, 3, ..., lo que significa que las longitudes de onda estacionarias que pueden residir en el tubo son

de modo que el tubo resonará con las frecuencias

Así, la frecuencia más baja es v1 = c/4L y los armónicos superiores o sobretonos presentes son:

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

    Por tanto:

En un tubo cerrado, la frecuencia fundamental es c/4L y sólo están presentes los armónicos impares.

    El timbre de los sonidos emitidos por un tubo abierto es, pues, muy diferente del de un tubo cerrado y, además, un tubo abierto da el mismo tono que otro cerrado de longitud mitad. Lo que equivale a decir que:

El tono fundamental de un tubo abierto es una octava más alta que el de un tubo cerrado de la misma longitud.

    La suposición de que en el extremo abierto de un tubo exista un nodo de presión (vientre de desplazamiento) se fundamenta en la hipótesis de que la onda sonora dentro del tubo sea monodimensional, lo cual sólo es aproximadamente cierto si el diámetro del tubo es muy pequeño en comparación con la longitud de onda. En la práctica, el nodo de presión se encuentra situado fuera del tubo, a una pequeña distancia DL del extremo abierto. Por tanto, la longitud efectiva del tubo Lef es algo mayor que la longitud real L del mismo; esto es, Lef = L+DL. 

    La corrección del extremo, DL, es del orden de magnitud del radio del tubo. A pesar de ello, la distancia entre nodos (o entre vientres) sigue siendo igual a l/2, aunque la distancia desde el extremo abierto al primer vientre de presión es algo menor que l/4 debido a la corrección del extremo.

Ejemplo. Un tubo de órgano abierto en los dos extremos tiene dos armónicos sucesivos con frecuencias de 240 y 280 Hz ¿Cuál es la longitud del tubo?.

La longitud de onda correspondiente a los distintos armónicos, en un tubo con los extremos abiertos, es:.

ln = 2L/n siendo n = 0,1,2,3.0….

La frecuencia de dos armónicos sucesivos es: fn = v·n/2L; fn +1 = v·(n+1)/2L, siendo v la velocidad de propagación

La relación entre las frecuencias 280/240 = n+1/n de donde se deduce que:

28n = 24n + 24 Þ 4n = 24 Þ n = 6

suponiendo que la velocidad del sonido es v = 340 ms-1 la longitud de onda del sexto armónico es: 340/240 = 2L/6 de donde la longitud del tubo es:

L = 4,25 m