clase de continuidad

Continuidad

David J. Coronado1

1Departamento de Formacion General y Ciencias BasicasUniversidad Simon Bolıvar

Matematicas I

D. Coronado Continuidad

Contenido

1 ContinuidadDefinicionEjemplos

2 Teorema de Valor MedioEl Teorema

Contenido

ContinuidadTeorema de Valor Medio

DefinicionEjemplos

Contenido

DefinicionEjemplos

continuidad

Veamos, graficamente, que significa que un lımite no existe:

y = f (x)

x = −2

y = 1/x2

y = f (x)

DefinicionEjemplos

continuidad

Estas se llaman discontinuidades y especıficamente, la primera sellama discontinuidad de salto, la segunda discontinuidad infinita yla tercera discontinuidad evitable. Veamos la definicion formal:

DefinicionEjemplos

continuidad

Definicion

f es continua en c se c ∈⊂ Domf y

limx→c

f (x) = f (c).

Si f no es continua en c se dice que tiene una discontinuidad en c.

De esta definicion se deduce

1 f (c) existe.2 limx→c f (x) existe

1 limx→c+ f (x) = L2 limx→c− f (x) = L

3 limx→c f (x) = f (c)

DefinicionEjemplos

continuidad

Definicion

limx→c

f (x) = f (c).

DefinicionEjemplos

continuidad

Definicion

limx→c

f (x) = f (c).

DefinicionEjemplos

continuidad

Definicion

limx→c

f (x) = f (c).

DefinicionEjemplos

continuidad

Las discontinuidades se clasifican como

1 Evitable. Si limx→c f (x) = L, y f (x) 6= L.

2 De salto. Si limx→c+ f (x) = L, limx→c− f (x) = M y L 6= M.

3 Infinita. Si limx→c+ f (x) =∞, o limx→c− f (x) = −∞.

DefinicionEjemplos

continuidad

DefinicionEjemplos

continuidad

DefinicionEjemplos

Contenido

DefinicionEjemplos

Continuidad

Ejemplo

Como debe definirse la funcion

f (x) =x2 − 4

x − 2

para que sea continua en x = 2.

Solucion:

DefinicionEjemplos

Continuidad

Ejemplo

f (x) =x2 − 4

x − 2

Solucion:

DefinicionEjemplos

Continuidad

Ejemplo

f (x) =x2 − 4

x − 2

Solucion:Notemos que 2 /∈ Domf . Veamos si existe limx→2 f (x):

limx→2

x2 − 4

x − 2= lim

��(x − 2)(x + 2)

��x − 2= lim

x→2(x + 2) = 4

DefinicionEjemplos

Continuidad

Ejemplo

f (x) =x2 − 4

x − 2

Solucion:Como el lımite existe, y vale 4, debemos redefinir la funcion paraque f (2) = 4. Ası

f (x) =

{x2−4x+2 , si x 6= 2

4 six = 2

DefinicionEjemplos

Continuidad

Definicion

Una funcion f se llama continua si es continua en cada c ∈ Dom f

DefinicionEjemplos

Continuidad

Teorema

1 Una funcion polinomial es continua.

2 Una funcion racional es continua.

3 Una funcion trigonometrica es continua.

Ademas

4 La funcion valor absoluto es continua.

5 Si n es par. La funcion n√

x es continua en [0,∞).

6 Si n es impar. La funcion n√

x es continua en R.

DefinicionEjemplos

Continuidad

Teorema

Ademas

x es continua en R.

DefinicionEjemplos

Continuidad

Teorema

Ademas

x es continua en R.

DefinicionEjemplos

Continuidad

Teorema

Ademas

x es continua en R.

DefinicionEjemplos

Continuidad

Teorema

Ademas

x es continua en R.

DefinicionEjemplos

Continuidad

Teorema

Si f y g son funciones continuas en c. Entonces

1 (kf )(x) es continua en c, para toda k ∈ R.

2 (f ± g)(x) es continua en c.

3 (f · g)(x) es continua en c.

)(x) es continua en c siempre que g(x) 6= 0 y g(c) 6= 0.

5 (f )n (x) es continua en c para toda n ∈ Z+.

(x) es continua en c siempre que f (c) > 0 si n es par.

DefinicionEjemplos

Continuidad

Teorema

DefinicionEjemplos

Continuidad

Teorema

DefinicionEjemplos

Continuidad

Teorema

DefinicionEjemplos

Continuidad

Teorema

DefinicionEjemplos

Continuidad

Teorema

DefinicionEjemplos

Continuidad

Ejemplo

Para cuales valores de x la funcion

f (x) =3|x | − x2

√x − 2

es continua. Donde no sea continua indique que tipo dediscontinuidad presenta.

Solucion:

DefinicionEjemplos

Continuidad

Ejemplo

f (x) =3|x | − x2

√x − 2

Solucion:

DefinicionEjemplos

Continuidad

Ejemplo

f (x) =3|x | − x2

√x − 2

Solucion:

DefinicionEjemplos

Continuidad

Teorema

Si limx→c g(x) = L y si f es continua. Entonces

limx→c

f (g(x)) = f (L).

Si g es continua en c y f es continua en g(c). Entonces (f ◦ g) escontinua en c.

DefinicionEjemplos

Continuidad

Teorema

Si limx→c g(x) = L y si f es continua. Entonces

limx→c

f (g(x)) = f (L).

Si g es continua en c y f es continua en g(c). Entonces (f ◦ g) escontinua en c.

DefinicionEjemplos

Continuidad

Ejemplo

Estudie la continuidad de

h(x) = |x2 − 3x + 6|

Solucion:

DefinicionEjemplos

Continuidad

Ejemplo

h(x) = |x2 − 3x + 6|

Solucion:

DefinicionEjemplos

Continuidad

Ejemplo

h(x) = |x2 − 3x + 6|

Solucion:

El Teorema

Contenido

El Teorema

Teorema (TVM)

Si f es continua en [a, b] y W es un numero entre f (a) y f (b).Entonces existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = W .

clase de continuidad

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