Estabilidad de sistemas

dinmicos

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Definicin Formal (matemtica) de Estabilidad

Se establecer la estabilidad en el sentido de Lyapunov. Considrese un

sistema representado por la ecuacin diferencial

)(xfx (1)

suponga que es un punto de equilibrio de (1). el punto de equilibrio

puede ser cero o ser llevado a un valor cero (como punto de referencia).

)(eqx

El punto de equilibrio es )(eqx

Estable si, para cada existe un , tal que 0 0)(

0,)()0( ttxx

Es Inestable si no es estable

Es Asintticamente Estable si es estable y puede ser elegida tal que

0)(lim)0(

txxt

.0))(( eqxf

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m

ksen

l

g

dt

d

dt

d

0

0

Por ejemplo en las ecuaciones del pndulo simple:

0,0

0,

Dos puntos de equilibrio:

1

2

dt

d

Pndulo simple 2

Pndulo simple 1

Estable

Inestable

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La estabilidad, desde el punto de vista de control es quiz la caracterstica

ms importante de los sistemas dinmicos.

La estabilidad de un sistema generalmente es analizada en puntos de

equilibrio, aunque puede no ser as.

El concepto de estabilidad que ms se usa es el de estabilidad absoluta,

dice si el sistema es estable o no.

Tambin se usan los conceptos de estabilidad relativa y error en estado

estacionario.

La Estabilidad relativa nos indica que tan estable es un sistema en relacin

a otro o en relacin a algn cambio dentro del mismo.

El error en estado estacionario es la diferencia entre el valor deseado y el

valor obtenido una vez que el sistema tenga un estado estable. Cabe

destacar que un sistema estable puede tener error en estado estable.

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Los sistemas tienen puntos de equilibrio estables e inestables. Para

encontrar los puntos de equilibrio en un modelo de un sistema, se

igualan las dinmicas a cero y se despejan las variables de inters.

Estabilidad Absoluta

Es la caracterstica ms importante de los sistemas de control, se refiere a

que si el sistema es estable o inestable.

Definicion.Un sistema de control es estable si ante cualquier entrada

acotada, el sistema posee una salida acotada (BIBO).

La condicin de estabilidad se analiza sobre puntos de equilibrio, un

sistema de control se encuentra en un punto de equilibrio si la salida

permanece en el mismo estado en ausencia de cualquier perturbacin o

entrada.

La estabilidad es una caracterstica propia de cada sistema y no

depende de las entradas

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Plano s

Regin

estable

Regin

inestable

Regin

estable

Regin

inestable

Anlisis de Estabilidad en Laplace

La estabilidad de un sistema se puede determinar por la ubicacin de los

polos de lazo cerrado en el plano s. Si alguno de los polos de lazo cerrado

de un sistema se encuentra en el semiplano derecho el sistema es

inestable.

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Plano s

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Comentarios:

1) Un sistema de lazo abierto tambin tiene caractersticas de estabilidad.

2) Un sistema de lazo abierto no puede cambiar sus caractersticas de

estabilidad a menos que se cambien sus parmetros, se agregue otro

elemento dinmico o usando realimentacin

3) Un sistema inestable puede estabilizarse usando realimentacin.

4) Un sistema estable puede hacerse inestable con una cierta

realimentacin.

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Criterio de Estabilidad de Routh

Un sistema realimentado es estable si todos los polos de lazo cerrado se

ubican en el semiplano izquierdo del plano s. Esto es lo mismo a decir que

todas las races de la ecuacin caracterstica ( ) tienen parte real negativa

)(

)(

)(

)(

11

10

11

10

sq

sp

asasasa

bsbsbsb

sR

sC

nnnn

mmmm

)(sq

cuando no se tiene forma a encontrar las races de la ecuacin

caracterstica

El criterio de estabilidad de Routh permite determinar si hay races con

parte real positiva (inestable) sin necesidad de resolver el polinomio.

El criterio de estabilidad de Routh se basa en el ordenamiento de los

coeficientes de la ecuacin caracterstica

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en el siguiente arreglo

ns

1ns

2ns

3ns

0s

1a

4a

5a

2a

3a

0a 6a

7a

1c

3b

5a

2b

3a

1b 4b

7a

1h

0)( 12

21

10

nnnnn asasasasasq

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donde

1

30211

a

aaaab

1

50412

a

aaaab

1

70611

a

aaaab

1

21311

b

baabc

1

31512

b

baabc

1

31713

b

baabc

1

21211

c

cbbcd

1

31312

c

cbbcd

El criterio de Routh establece que el nmero de races de con partes

reales positivas es igual al nmero de cambios de signo de la primera

columna del arreglo.

)(sq

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Ejemplo 1

Sea el siguiente polinomio

0322

13

0 asasasa

3s

2s

s

0s

0a

1a

2a

3a

1

3021

a

aaaa

3a

el arreglo es

La condiciones para que todas las races tengan parte reales negativas son:

3021 aaaa 0,,, 3210 aaaa

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Ejemplo 2

Sea el siguiente polinomio

05432 234 ssss

3s

2s

s

0s

1

el arreglo es

4s

2

3

4

5

1 5

0

0

6 0

5

Hay un dos cambios de signo en la primera columna por lo tanto existen dos

races con partes reales positivas.

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Casos especiales

Si un trmino es cualquier columna es cero y los dems trminos no son

cero. El elemento cero puede reemplazarse por un nmero positivo y

continuar con el arreglo.

Ejemplo 2

Sea el siguiente polinomio 01011422 2345 sssss

3s2s

s0s

1

el arreglo es

4s 2

11

4 10

6 0

0

0

10

5s 2

1c

121241

c

1d

106

106 11

cd

Hay un dos cambios de signo en la primera columna por lo tanto existen dos

races con partes reales positivas.