CLASE I y II. 5TO CIENCIAS. MATRICES.. DEFINICIN DE MATRIZ

Se puede definir una matriz, como un conjunto de elementos (nmeros) ordenados en filas y columnas.

Cada uno de los nmeros de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posicin que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece. El nmero de filas y columnas de una matriz se denomina dimensin de una matriz. As, una matriz ser de dimensin: 2x4, 3x2, 2x5,... S la matriz tiene el mismo nmero de filas que de columna, se dice que es de orden: 2, 3, ... El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por Amxn o (aij), y un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, por aij. Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensin y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales. Para designar una matriz se emplean letras maysculas. MATRIZ: Es todo arreglo rectangular de elementos dispuestos en filas y columnas.

Ejemplo de aplicacin de ordenamiento de datos en matrices.

Una fbrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminacin N, 200 unidades en la terminacin L y 50 unidades en la terminacin S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminacin N, 100 unidades en la terminacin L y 30 unidades en la terminacin S. La terminacin N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administracin. La terminacin L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administracin. La terminacin S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administracin.Representar la informacin en dos matrices. Matriz de produccin:Filas:Modelos A y B Columnas: Terminaciones N, L, S

Matriz de coste en horas: Filas: Terminaciones N, L, S Columnas: Coste en horas: T, A

TIPOS DE MATRICES Segn el aspecto de las matrices, stas pueden clasificarse en: Matriz filaUna matriz fila est constituida por una sola fila.

Matriz columnaLa matriz columna tiene una sola columna

Matriz rectangularLa matriz rectangular tiene distinto nmero de filas que de columnas, siendo su dimensin mxn.

Matrices cuadradas Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo nmero de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada. Ejemplo: Sean las matrices Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.Matrices triangulares Matriz triangular superiorEn una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferiorEn una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Matrices diagonales Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diag (d11, d22, ..., dnn ). Por ejemplo, son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por diag(3,-1,7) diag(4,-3) y diag(2,6,0,-1).Matriz escalarUna matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidadUna matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Matriz nulaEn una matriz nula todos los elementos son ceros.

TRASPUESTA DE UNA MATRIZLa traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT. As, la traspuesta de En otras palabras, si A = (ai j ) es una matriz m n, entonces AT = es la matriz n m. La trasposicin de una matriz cumple las siguientes propiedades: 1. (A + B)T = AT + BT. 2. (AT)T = A. 3. (kA)T = kAT (si k es un escalar). 4. (AB)T = BTAT.

Matrices simtricas Se dice que una matriz real es simtrica, si AT = A; y que es antisimtrica, si AT = -A. Ejemplo: Consideremos las siguientes matrices: Podemos observar que los elementos simtricos de A son iguales, o que AT = A. Siendo as, A es simtrica. Para B los elementos simtricos son opuestos entre s, de este modo B es antisimtrica. A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simtrica ni antisimtrica.

SUMA Y RESTA DE MATRICES Para poder sumar o restar matrices, stas deben tener el mismo nmero de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 2 y otra de 3 3, no se pueden sumar ni restar. Esto es as ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los trminos que ocupan el mismo lugar en las matrices. Ejemplo: Para sumar o restar ms de dos matrices se procede igual. No necesariamente para poder sumar o restar matrices, stas tienen que ser cuadradas. Ejemplo:

Propiedades de la suma de matrices Interna:La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensin m x n. Asociativa:A + (B + C) = (A + B) + C Elemento neutro:A + 0 = ADonde O es la matriz nula de la misma dimensin que la matriz A. Elemento opuesto:A + (-A) = OLa matriz opuesta es aquella en que todos los elementos estn cambiados de signo. Conmutativa:A + B = B + A PRODUCTO DE MATRICES Para poder multiplicar dos matrices, la primera debe tener el mismo nmero de columnas que filas la segunda. La matriz resultante del producto quedar con el mismo nmero de filas de la primera y con el mismo nmero de columnas de la segunda. Es decir, si tenemos una matriz 2 3 y la multiplicamos por otra de orden 3 5, la matriz resultante ser de orden 2 5. (2 3) (3 5) = (2 5) Se puede observar que el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa, ya que en el ejemplo anterior, si multiplicamos la segunda por la primera, no podramos efectuar la operacin. 3 5 por 2 3, puesto que la primera matriz no tiene el mismo nmero de columnas que filas la segunda. Supongamos que A = (ai j ) y B = (bi j ) son matrices tales que el nmero de columnas de A coincide con el nmero de filas de B; es decir, A es una matriz m p y B una matriz p n. Entonces el producto AB es la matriz m n cuya entrada ij se obtiene multiplicando la fila i de A por la columna j de B. Esto es,

Ejemplo: 1.

2.

ESQUEMA DE LA MULTIPLICACIN DE MATRICES:

Propiedades del producto de matrices Asociativa:A(BC) = (AB)C Elemento neutro:AI = ADonde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A. No es Conmutativa:AB BA Distributiva del producto respecto de la suma:A(B + C) = AB + AC

PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR El producto de un escalar k por la matriz A, escrito kA o simplemente kA, es la matriz obtenida multiplicando cada entrada de A por k:

Ejemplo: Entonces: Propiedadesa (bA) = (ab)A A Mmxn, a, b a (A + B) = aA + aB A,B Mmxn , a (a + b)A = aA + bA A Mmxn , a, b 1A = A A Mmxn