UNIVERSIDAD DE COLIMA

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

Teoría de Control

Respuesta transitoria de un circuito RLC con

un control PID

Alumnos

Sergio Jesús Santillán Parra

Jesús Raziel Coria Galaviz

Salvador Alejandro Ávila Comparan

Profesor: Jaime Arroyo Ledesma

Coquimatlán, Colima, 26 de noviembre de 2014

1. OBJETIVO

Analizar la respuesta transitoria y reducir el error en estado estable de un circuito RLC

conectado a un integrador con y sin retroalimentación, analizando cada parámetro que

caracterizan a un oscilador y eliminar el offset de la salida.

2. INTRODUCCIÓN [1]

Un control PID es un mecanismo de control por realimentación que calcula la desviación o

error entre un valor medido y el valor que se quiere obtener, para aplicar una acción

correctora que ajuste el proceso. El algoritmo de cálculo del control PID se da en tres

parámetros distintos: el proporcional, el integral, y el derivativo. El valor Proporcional

determina la reacción del error actual. El Integral genera una corrección proporcional a la

integral del error, esto nos asegura que aplicando un esfuerzo de control suficiente, el error

de seguimiento se reduce a cero. El Derivativo determina la reacción del tiempo en el que

el error se produce. La suma de estas tres acciones es usada para ajustar al proceso vía un

elemento de control Resistencia. Un controlador PID puede ser llamado también PI, PD, P

o I en la ausencia de las acciones de control respectivas. Los controladores PI son

particularmente comunes, ya que la acción derivativa es muy sensible al ruido, y la

ausencia del proceso integral puede evitar que se alcance al valor deseado debido a la

acción de control. En la figura 1 podemos observar el diagrama correspondiente a un

control PID.

Figura 1. Diagrama de un control PID

3. DESARROLLO [1]

3.1 análisis teórico

Brevemente explicare cada una de los tipos de controles que vamos a utilizar en esta

práctica; empezando con el control proporcional

1. CONTROL PROPORCIONAL

La acción de control proporcional, da una salida del controlador que es proporcional al

error. Un controlador proporcional puede controlar cualquier sistema estable, pero posee

desempeño limitado y error en régimen permanente (off-set).

𝑢(𝑡) = 𝐾𝑝 ∗ 𝑒(𝑡) (1)

Donde u (t) es la señal de control y kp es una ganancia proporcional ajustable La respuesta

característica ante una señal escalón está dada por la gráfica 1:

Grafica 1. Salida de un control proporcional

2. CONTROL INTEGRATIVO

La acción de control integral tiene como propósito disminuir y eliminar el error en estado

estacionario. Si se duplica el valor de e(t), el valor de m(t) varía dos veces más rápido pero

para un error actuante igual a cero, el valor de m(t) se mantiene estacionario en muchas

ocasiones esta acción de control recibe el nombre de control de reposición.

𝑢(𝑡) = 𝐾𝑖 ∫ 𝑒(𝑡)𝑑𝑡𝑡

0 (2)

Donde Ki es la constante de tiempo real. La respuesta característica ante una señal escalón

está dada por la gráfica 2:

3. CONTROL DERIVATIVO

La acción de control derivativa a veces se denomina control de velocidad, Cuando el

tiempo de acción derivada es grande, hay inestabilidad en el proceso ahora cuando el

tiempo de acción derivada es pequeño la variable oscila demasiado con relación al valor

deseado. Este control por sí solo. La acción derivada es adecuada cuando hay retraso entre

el movimiento de la válvula de control y su repercusión a la variable controlada. En la

ecuación (3) se muestra la ecuación sobre un control derivativo.

𝑚(𝑡) = 𝑇𝑑𝑑𝑒(𝑡)

𝑑𝑡 (3)

Donde Td es el intervalo de tiempo en el que la acción de velocidad se adelanta al efecto de

acción proporcional. La respuesta característica ante una señal escalón está dada por la

gráfica 3:

Grafica 3. Salida de un control proporcional

3.1.1 Circuito RLC con control PID sin retroalimentación

El objetivo de agregar este control es eliminar el offset (error en estado estable) y reducir el

tiempo de asentamiento un 30% ya que son los objetivos de esta práctica, cabe rescatar que

se utilizó el programa Simulink para poder facilitar el cálculo y poder observar el

comportamiento de nuestro sistema. En la figura 2 se muestra el diagrama del circuito.

Figura 2. Diagrama de un control PID

Para poder obtener el valor del numerador es necesario saber los valores del capacitor y la

bobina del circuito RLC, como ya en prácticas pasadas había obtenidos sus valores nomas

sustituiremos en la fórmula de nuestra planta, cual podemos calcular de la siguiente forma

(4). 𝐿 = 3.6𝑥10−3𝐻 y 𝐶 = 10𝑥10−9𝐹

𝐹. 𝑇. =1

𝐿∗𝐶=

1

(3.6𝑥10−3 𝐻)(10𝑥10−9𝐹)= 2.778𝑥1010 (4)

En la gráfica (4) podemos observar la salida de nuestra planta sin retroalimentación.

Grafica 4. Salida de la planta

Podemos observar que la planta por si sola nos está dando una salida más o menos la que

estamos esperando. A continuación continuaremos con el circuito RLC con un control PID

pero ahora con retroalimentación, la cual nos servirá para poder cumplir con los requisitos

que antes se han dicho.

3.1.2 Circuito RLC con control PID con retroalimentación

Figura 2. Diagrama de un control PID

Posteriormente obtenemos todos los parámetros de nuestra planta las cuales podemos

determinar por las ecuaciones (5), (6), (7) y (8) la cuales sucesivamente son la

sobrelongacion, ꙍ𝑑 , ꙍ𝑛, y zeta.

𝑀𝑝 = 0.18 = 18% (5)

ꙍ𝑑 =−𝜋∗𝜎

𝑙𝑛(𝑀𝑝)= 1,465,638.224 (6)

ꙍ𝑛 = √ꙍ𝑑2 − 𝜎2 = 1,228,045.359 (7)

𝜁 =𝜎

ꙍ𝑛= 800,000 (8)

El siguiente paso calcular los polos del sistema para eso necesitaremos la forma estándar de

2do orden y se calcula de la siguiente manera

(𝑆 + 5𝑃𝑖)(𝑆2 + 2𝜁ꙍ𝑛𝑆 + ꙍ𝑛2) (9)

Sustituimos con nuestros valores y nos queda de la siguiente manera:

(𝑆 + 5𝑃𝑖)(𝑆2 + 1,600,000𝑆 + 1.50𝑥1012) (10)

Ya con esto podemos calcular nuestros polos los cuales se encuentran en la ecuación

(11).

𝑆1,2 = −800,000 ± 927361.8495𝑖 (11)

Desarrollamos:

(𝑆 + 4,000,000)(𝑆2 + 1,600,000 + 1.50𝑥1012) (12)

(𝑆3 + 1,600,000𝑆 + 1.50𝑥1012𝑆 + 6.4𝑥1012 + 6𝑥1018) (13)

(𝑆3 + 4,000,000𝑆2 + 1.5000016𝑥1012𝑆 + 6.0000064𝑥1018) (14)

Con todo esto que hemos hecho procederemos a calcular las ganancias de cada control para

poder así continuar con la parte práctica.

Comenzaremos con la ganancia KD

[(𝑅𝐶)+𝐾𝐷

𝐿𝐶] 𝑆2 = 4,000,000𝑆2 (15)

Desarrollando nos queda:

𝐾𝐷 = 1.3895𝑥10−4 (16)

Seguimos con Kg

[𝐾𝑔+1

𝐿𝐶] 𝑆 = 1.50000016𝑥1017𝑆 (17)

Desarrollando nos queda:

𝐾𝑔 = 53.00 (18)

Y terminamos con Ki

[𝐾𝑖

𝐿𝐶] = 6.0000064𝑥1018 (19)

Desarrollando nos queda:

𝐾𝑖 = 216,000,230.4 (20)

Con las ganancias ya calculadas procedemos a meter los valores a sus respectivos controles

para poder asi obtener la gráfica (5) que a continuación se presenta:

Grafica 5. Salida de la planta con retroalimentación

CONCLUSIÓN

La estructura PID ha mostrado empíricamente ofrecer suficiente flexibilidad para dar

excelentes resultados en muchas aplicaciones. El término integral I brinda una corrección

proporcional a la integral del error, mientras que El término derivativo D da propiedades

predictivas a la actuación, generando una acción de control proporcional a la velocidad de

cambio del error. Tiende dar más estabilidad al sistema pero suele generar grandes valores

en la señal de control.

5. BIBLIOGRAFÍA

1. William Hayt. Análisis de circuitos en ingeniería. 7a Edición. Mc Graw Hill