cinemÁtica - universidad de zaragoza · a) la posición de la partícula cuando su velocidad es...
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CINEMÁTICA
Qué vamos a ver
Posición, velocidad, aceleración.
Modelo. Magnitud. Problemas. Soluciones.
Coordenadas cartesianas vs. polares
Movimiento uniformemente acelerado.
Ecuaciones que describen el MUA.
Algunos casos en los que la aceleración es variable.
Movimiento en 2 y 3 dimensiones
Caída libre. Tiro oblicuo.
Casos de aplicación.
Problemas numéricos
Unidad §1 - Cinemática
Física I – IQ – Prof. G.F. Goya
Vector posicion y vector desplazamiento
• Posición instantánea
𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 𝚤̂ + 𝑦 𝑡 𝚥̂ + 𝑧 𝑡 𝑘�
• Ecuación de la trayectoria
𝑥 = 𝑥 𝑡 , 𝑦 = 𝑦 𝑡 , 𝑧 = 𝑧 𝑡
Física I – IQ – Curso 2015-2016 – Prof. G.F. Goya
Movimento em una Dimensión ( Cinemática )
• Trabajamos con Particulas
1x 2x
Posición
Cuál es el valor de x1 (y de x2 ) ?? Precisamos un Sistema de Referencia
0
Un ORIGEN …
1x 2x
…y una ESCALA
Física I – IQ – Curso 2015-2016 – Prof. G.F. Goya
12 xxx −=∆
Desplazamiento:
El desplazamiento es independiente del sistema de referencia
Y el tiempo... ???
1x 2x0
Movimento em una Dimensión ( Cinemática )
Física I – IQ – Curso 2015-2016 – Prof. G.F. Goya
Otras formas
t0 = 0 s
x0 = -5 m 0
t1 = 3 s t2 = 4 s
x1 = 0 m x2 = 2 m
t (s) x (m)
0 -5 3 0 4 +2
Física I – IQ – Curso 2015-2016 – Prof. G.F. Goya
0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2x (m)
t (s)
t (s) x (m)
0 -5.00159 1 -3.97778 2 -2.07301 3 0.10162 4 1.93501 5 2.81606
0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3 x (m)
t (s)
0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3 x (m)
t (s)
t (s) x (m)
0 -5.00159 0.5 -4.638 1 -3.97778 1.5 -3.09732 2 -2.07301 2.5 -0.98123 3 0.10162 3.5 1.09916 4 1.93501 4.5 2.53277 5 2.81606
t (s) x (m)
0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3 x (m)
t (s)
0 -5.00159 0.1 -4.95627 0.2 -4.89664 0.3 -4.82331 0.4 -4.73689 0.5 -4.638 0.6 -4.52724 0.7 -4.40523 0.8 -4.27257 0.9 -4.12989 1 -3.97778 1.1 -3.81686 1.2 -3.64775 1.3 -3.47104 1.4 -3.28737 1.5 -3.09732 1.6 -2.90152 1.7 -2.70058 1.8 -2.49511 1.9 -2.28571 2 -2.07301 2.1 -1.85761 2.2 -1.64012 2.3 -1.42115 2.4 -1.20132 2.5 -0.98123 2.6 -0.7615 2.7 -0.54274 2.8 -0.32556 2.9 -0.11057 3 0.10162 3.1 0.3104 3.2 0.51515 3.3 0.71527 3.4 0.91015 3.5 1.09916 3.6 1.28171 3.7 1.45718 3.8 1.62496 3.9 1.78444 4 1.93501 4.1 2.07605 4.2 2.20696 4.3 2.32713 4.4 2.43593 4.5 2.53277 4.6 2.61703 4.7 2.6881 4.8 2.74537 4.9 2.78823 5 2.81606
t (s) x (m)
0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3 x (m)
t (s)
? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???
0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3 x (m)
t (s)
t (s) x (m)
0 -5.00159 1 -3.97778 2 -2.07301 3 0.10162 4 1.93501 5 2.81606
0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3 x (m)
t (s)
B0 = -5.00159
B1 = 0.37963
B2 = 0.74603
B3 = -0.10185
𝑥 = 𝐵0 + 𝐵1 𝑡 + 𝐵2
𝑡2 + 𝐵3 𝑡3
𝑥 𝑡 = −5,00159 + 0,37963 𝑡 + 0,74603
𝑡2 − 0,10185 𝑡3
0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3 x (m)
t (s)
𝑥 = 𝐵0 + 𝐵1 𝑡 + 𝐵2
𝑡2 + 𝐵3 𝑡3
𝑥 𝑡 = −5,00159 + 0,37963 𝑡 + 0,74603
𝑡2 − 0,10185 𝑡3
𝑥 𝑡 = 1 = −5,00159 + 0,37963 + 0,74603
− 0,10185 = −3,97778
𝑦 = 𝐵0 + 𝐵1 𝑥 + 𝐵2
𝑥2 + 𝐵3 𝑥3
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
10000 x (m)
t (s)
0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3 x (m)
t (s)
t (s) x (m)
0 -5.00159 1 -3.97778 2 -2.07301 3 0.10162 4 1.93501 5 2.81606
0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3 x (m)
t (s)
𝑦 = 𝐵0 + 𝐵1 𝑥 + 𝐵2
𝑥2 + 𝐵3 𝑥3
Velocidad
12
12médv
ttxx
tx
−−
=∆∆
=
Física I – IQ – Curso – Prof. G.F. Goya
t (s) x (m)
0 0 1 10 2 20 3 30 4 40 5 50
x x
x x
x
Velocidad
12
12médv
ttxx
tx
−−
=∆∆
=
Física I – IQ – Curso – Prof. G.F. Goya
t (s) x (m)
0 0 1 10 2 20 3 30 4 40 5 50
x x
x x
x
𝑣𝑚𝑚𝑚 = 10 − 01 − 0
𝑚𝑠 = 10 𝑚/𝑠 𝑣𝑚𝑚𝑚 =
50 − 205 − 2
𝑚𝑠 = 10 𝑚/𝑠
𝑣𝑚𝑚𝑚 = 40 − 30
4 − 3𝑚𝑠 = 10 𝑚/𝑠
∆t
∆x
0 1 2 3 4 50
5
10
15
20
25
t (s)
x (m)
12
12médv
ttxx
tx
−−
=∆∆
=
Física I – IQ – Curso – Prof. G.F. Goya
t (s) x (m)
0 0 1 1 2 4 3 9 4 16 5 25
1 m 0 m 4 m 9 m 16 m 25 m
0 1 2 3 4 50
5
10
15
20
25
t (s)
x (m)
Velocidad 12
12médv
ttxx
tx
−−
=∆∆
=
Física I – IQ – Curso – Prof. G.F. Goya
t (s) x (m)
0 0 1 1 2 4 3 9 4 16 5 25
𝑣𝑚𝑚𝑚 = 1 − 01 − 0
𝑚𝑠 = 1 𝑚/𝑠 𝑣𝑚𝑚𝑚 =
9 − 13 − 1
𝑚𝑠 = 4 𝑚/𝑠
𝑣𝑚𝑚𝑚 = 25 − 16
5 − 4𝑚𝑠 = 9 𝑚/𝑠
0 1 2 3 4 50
5
10
15
20
25
t (s)
x (m)
Velocidad
12
12médv
ttxx
tx
−−
=∆∆
=
∆x
∆t
)(ou tan tan12
12 βα=−−
=∆∆
ttxx
tx
α β
∆x
∆t
tan𝛼 < 𝑡𝑡𝑡𝑡 ‼! Es evidente que
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Aceleração Média e Aceleração Instantânea
12
12méd
vvvttt
a−−
=∆∆
= tta lim
t ∆∆
=→∆
v)(0
Velocidad Instantánea dt
dxtxt lim
t=
∆∆
=→∆ 0
)(v
ZGZ BCN
x∆Km 0 Km 320
v = ?
v(t) tiene infinitos valores! Es una función de t Es teórica
Física I – IQ – Curso – Prof. G.F. Goya
Límite
12
12médv
ttxx
tx
−−
=∆∆
=
dttdr
ttrt lim
t
)()()(v0
=∆
∆=
→∆
Física I – IQ – Curso – Prof. G.F. Goya
Aceleración Constante (Movimento Uniformemente Acelerado)
�⃗� = 𝑐𝑡𝑐 Que quede claro:
Física I – IQ – Curso – Prof. G.F. Goya
Aceleración Constante (Movimento Uniformemente Acelerado)
constantevvv
01
01méd =
−−
=∆∆
=ttt
a
Podemos elegir t0 = 0, v1 = v e t1 = t (cualquiera), entonces
tta 0
médvvv −
=∆∆
= at+= 0vv
En el mismo intervalo t - t0 = t - 0 = t, El desplazamiento es
tx ∆=∆ médv
Física I – IQ – Curso – Prof. G.F. Goya
Aceleración Constante (Movimento Uniformemente Acelerado)
Demostraremos que ( )vv21v 0méd +=
0 1 2 3 4 50123456789
10
t (s)
v (m/s)
V=8
V0=4
vméd 2vvv
2vvv 0
00
méd+
=+−
=
62
4842
48vméd =+
=+−
=
Sabemos (hemos definido) que t∆= méd vx
Física I – IQ – Curso – Prof. G.F. Goya
tttx )vv(21vv 0médméd +==∆=∆
at+= 0vv
Entonces:
Recordando que
Tenemos tattx )vv(
21)vv(
21
000 ++=+=∆
200 2
1v tatxx +=−
O bien 200 2
1v tatxx ++=
Física I – IQ – Curso – Prof. G.F. Goya
txx 0
0méd )vv(21v −
=+= at+= 0vv
20
20
0
0 vv2vvvv
)(2−=∆⇒
−=
+− xa
axx
xa∆+= 2vv 20
2
Física I – IQ – Curso – Prof. G.F. Goya
xa∆+= 2vv 20
2
http://ngsir.netfirms.com/englishhtm/Kinematics.htm
at+= 0vv
200 2
1v tatxx ++=
Aceleración Constante (Movimento Uniformemente Acelerado)
En 1 dimensión tenemos:
Física I – IQ – Curso – Prof. G.F. Goya
1 Dimensión
Dos trenes separados 75km se aproximan uno al otro por vías paralelas moviéndose a 15 km/h un pájaro vuela de un tren a otro en el espacio que los separa hasta que se cruzan ¿Cual es la distancia total recorrida por el pájaro, s, si este vuela a 20km/h?
75 km
vt1 vt2
vp
1 Dimensión
Un coche lleva una velocidad de 90 km/h (25m/s) en una zona escolar. Un coche de policía que está parado, arranca cuando el infractor le adelanta y acelera a 5 m/s2. a. Cuanto tiempo tarda el policía en alcanzar el vehículo? b. Que velocidad lleva el coche de policía cuando le alcanza? c. Que velocidad lleva el coche de policía cuando se encuentra a 25m por detrás del carro infractor?
0 5 100
100
200
V (m
/s)
t (s)
Vv Vp
xa∆+= 2vv(t) 20
2
Física I – IQ - G.F. Goya
http://ngsir.netfirms.com/englishhtm/Kinematics.htm
at+= 0vv(t)
200 2
1v)( tatxtx ++=
Clase anterior. Vimos que:
• Aceleración Constante
(Movimento Uniformemente Acelerado)
𝑡 = cte; �⃗� ≠ �⃗�(𝑡)
En 1 dimensión tenemos: En 3 dimensiones tenemos:
𝑟 𝑡 = 𝑟0 + v0 𝑡 +12�⃗�𝑡2
v 𝑡 = v0 + �⃗� 𝑡
v2 𝑡 = v02 + 2�⃗� ∆𝑥
La grafica de la figura muestra la magnitud (módulo) de la aceleración de una partícula en función del tiempo. La partícula se mueve horizontalmente hacia la derecha. Sabiendo que cuando t=1 s la partícula tiene posición x = 3 y velocidad v = -4.5 m/s calcule:
a) La posición de la partícula cuando su velocidad es nula. b) Su velocidad cuando t = 3 s y su posición cuando t = 5 s.
Roberto, que está en reposo respecto del suelo, lanza una pelota hacia adelante y hacia arriba formando un ángulo q0 con la horizontal e imprimiéndole una velocidad inicial 𝑣0. Él intenta alcanzar el balón acelerando con una aceleración �⃗� constante durante un intervalo de tiempo ∆𝑡1, y luego continúa corriendo a una velocidad constante durante un intervalo de tiempo ∆𝑡2. Finalmente logra coger la pelota exactamente a la misma altura que lanzó la pelota.
¿Cuál fue la aceleración de Roberto?
Un río fluye hacia el este con velocidad de c=3 m/s. Un bote se dirige hacia el este (aguas abajo) con velocidad relativa al agua de v=4 m/s.
• Calcular la velocidad del bote respecto de tierra cuando el bote se dirige hacia el este (río abajo) y cuando se dirige hacia el oeste (río arriba).
• Calcular el tiempo que tarda el bote en desplazarse d=100
m hasta el punto P y regresar de nuevo al punto de partida O.
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/relativo/relativo.htm
O
O’
C v
𝑣𝑝𝑝 = 𝑣𝑝𝑝′ + v 𝑣𝑝𝑝 = 𝑐 + v
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/relativo/relativo.htm
Cuando el bote navega aguas abajo la velocidad del bote respecto de tierra es c+v, es decir de 7 m/s. Cuando el bote navega en sentido contrario a la corriente la velocidad del bote respecto de tierra es c-v, es decir de -1 m/s.
•El tiempo que tarda el barquero en hacer el viaje de ida es t1=d/(v+c) •El tiempo que tarda en hacer el viaje de vuelta es t2=d/(v-c) El tiempo total es Con los datos del problema t = 800/7 = 114.3 s.