cinemática

CINEMÁTICA I /MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL

CINEMÁTICA I1. CONCEPTO

Es una parte de la Mecánica, que tiene por finalidad describir matemáticamente todos los tipos posibles de movimiento mecánico sin relacionarlo con las causas que determinan cada tipo concreto de movimiento. La cinemática estudia las propiedades geométricas del movimiento, independientemente de las fuerzas aplicadas y de la masa de la partícula.

2. MOVIMIENTO En general es una propiedad fundamental de la materia asociada a ella y que se manifiesta a través de cambios, transformaciones y desarrollo. Los cuerpos macroscópicos poseen internamente múltiples movimientos moleculares tales como: Movimiento Térmico, Movimiento Biológico, Movimiento Electrónico, etc. Externamente los cuerpos macroscópicos con el tiempo experimentan transformaciones, cambios en cantidad y calidad, esta realidad objetiva es precisamente la materia en movimiento. El movimiento mecánico es el movimiento más simple de la materia, es decir el cambio de posición. El movimiento mecánico es el cambio de posición respecto de un sistema de referencia. De otro modo, el movimiento mecánico es relativo.

3. MOVIMIENTO MECÁNICOEs aquel cambio de posición que realiza o experimenta un cuerpo con respecto a un sistema de referencia. La visual del observador se considera en el origen de coordenadas y que la tierra no se mueve.

4. SISTEMA DE REFERENCIA Es aquel lugar del espacio en donde en forma real o imaginaría se sitúa un observador para analizar un fenómeno.Sobre un cuerpo en el espacio se fija rigurosamente un sistema coordenado (cartesiano, cilíndrico, polar, etc.), lugar en el cual se instala un reloj (sistema horario) y se ubica un observador en forma real o imaginaria, quien estudiará el fenómeno (movimiento mecánico) en el espacio y en el tiempo. A este conjunto se le denomina sistema de referencia.

5.

ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO MECÁNICO

5.1) Móvil.- Es el cuerpo o partícula que realiza un movimiento mecánico o que puede moverse.

FÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com Página 1

X (m)

Y (m)

0

r Trayectoria

Fig. 01. MOVIMIENTO MECÁNICO Fig. 02. DESPLAZAMIENTO

Y (m)

0

1r

2r

X (m)


5.2) Trayectoria.- Es la línea recta o curva que describe el móvil al desplazarse. si la trayectoria es curvilínea, el recorrido es mayor que la distancia. En cambio si la trayectoria es rectilínea, entonces el recorrido es igual a la distancia.

5.3) Vector Posición .- Es aquel vector utilizado por el observador con el fin de ubicar en el espació y en el tiempo, al móvil. Este vector se traza desde la visual del observador (origen de coordenadas) al móvil en un cierto instante.

5.4) Recorrido (e).- Es la medida de la longitud de la trayectoria entre dos puntos considerados. Es una magnitud física escalar.

5.5) Desplazamiento .- Es una magnitud física vectorial, que sirve para expresar el cambio de posición efectivo entre dos puntos efectuado por un móvil. De la figura 02, adición de vectores:

despejando el desplazamiento:

El desplazamiento se define como el cambio de posición:

5.6) Distancia (d).- Es el módulo del vector desplazamiento. Es la medida del segmento que une el punto inicial con el punto final del movimiento.

5.7) Tiempo: Es una forma real de existencia de la materia, que se encuentra asociada a su movimiento y espacio ocupado. El Tiempo en Mecánica sirve para medir la duración de un fenómeno físico y su ubicación respectiva. El Tiempo para un evento físico definido previamente se puede clasificar en:- Intervalo de Tiempo (t).- Denominado también tiempo transcurrido, es aquel que sirve para medir la duración de un evento físico.- Instante de Tiempo (t0).- Es aquel intervalo de tiempo pequeñísimo que nos permitirá ubicar la tendencia de ocurrencia de un fenómeno físico y su ubicación principalmente en el espacio.

6. MEDIDAS DEL MOVIMIENTOEl movimiento mecánico se puede expresar en función a la rapidez de cambio de posición en el tiempo, a través de la velocidad y la aceleración, y también en función a la naturaleza de las transformaciones y considerando la masa del cuerpo el movimiento se mide en base al concepto de ENERGÍA y cantidad de movimiento, que estudiaremos más adelante.

7. VELOCIDADEs una magnitud física vectorial que nos expresa el cambio de la posición en un intervalo de tiempo.

8. VELOCIDAD MEDIA (Vm)Es aquella magnitud física vectorial que expresa la rapidez de cambio de posición de un móvil, evaluada en un intervalo de tiempo. La velocidad media Vm es colineal y del mismo sentido que el desplazamiento, es decir la velocidad media tiene la misma dirección del desplazamiento.La velocidad media se evalúa entre dos puntos de la trayectoria. Matemáticamente se expresa así:


Fig. 03 VELOCIDAD MEDIA

Y (m)

0

1r

2r mV

X (m)


La velocidad media es independiente de la trayectoria.

Para un movimiento unidimensional en el eje X se expresa así:

9. VELOCIDAD INSTANTÁNEA (V)Es aquella magnitud física que expresa la rapidez probable de cambio de posición que tiende a poseer o posee un móvil en un instante de tiempo. Matemáticamente la velocidad instantánea viene a ser el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.Se define como:

Con el uso del cálculo diferencial, la velocidad instantánea se expresa así:

Se lee derivada de la posición respecto del tiempo.

Para un movimiento unidimensional en el eje X.

, se lee derivada de la posición en el eje X respecto del tiempo. Donde X es un

polinomio cuya variable es el tiempo.

Unidades de la velocidad: cm/s; m/s; km/h

La velocidad instantánea se representa mediante un vector tangente a la curva.

EJEMPLO 01: La posición de un partícula en el eje X se define mediante la ley: , donde t se mide en segundos y X en metros. Determine la velocidad de

la partícula en el instante t = 5 segundos.

ResoluciónLa velocidad se define como la derivada de la posición respecto del tiempo:

Cálculo de la rapidez para t = 5 sV = 5 + 60 + 150 = 215 m/s


t (s)

V

Tangente

X (t)

t 0

V = Tg

Fig. 04. VELOCIDAD INSTANTÁNEA

X (m)


Cálculo de la velocidad para t = 5 sV = 215 i (m/s)

EJEMPLO 02: La posición de un partícula en el eje X se define mediante la ley: , donde t se mide en segundos y X en metros. Determine la velocidad de la

partícula en el instante t = 4 segundos.

ResoluciónLa velocidad se define como la derivada de la posición respecto del tiempo:

Cálculo de la rapidez para t = 4 s

La velocidad media para t = 4 sV = -458 i (m/s)

10. POSICIÓN DE UNA PARTÍCULALa posición final de una partícula, es igual a la posición inicial más el desplazamiento. El desplazamiento se define como el producto de la velocidad por el intervalo de tiempo.

El desplazamiento que experimenta un punto material es igual al producto de la velocidad por el intervalo de tiempo.

11. VELOCIDAD RELATIVAEs la velocidad del cuerpo A respecto de un observador ubicado en el cuerpo B que también se mueve. La velocidad de A respecto de B, se define como la diferencia de las velocidades.

La velocidad relativa de A respecto de B, es el vector diferencia entre la velocidad de A (minuendo) y la velocidad de B (sustraendo).

12. PRINCIPIO DE RELATIVIDAD DE GALILEO:La velocidad de absoluta del móvil A, es igual a la velocidad del móvil B más la velocidad relativa de A respecto de B.


d

Fig. 05. VELOCIDAD RELATIVA

VB VA

Móvil BMóvil A


13. ACELERACIÓN RELATIVAEs la aceleración del cuerpo A respecto de un observador ubicado en el cuerpo B que también se mueve con aceleración constante. La aceleración de A respecto de B, se define como la diferencia de las aceleraciones.

La aceleración relativa de A respecto de B, es el vector diferencia entre la aceleración de A (minuendo) y la aceleración de B (sustraendo).

14. TEOREMA PLUS UNO.La distancia de separación entre dos móviles que se mueven sobre una recta, tomara un valor extremo (máximo o mínimo relativo) cuando sus velocidades se igualen.

DEMOSTRACIÓNSean y las leyes del movimiento de los móviles que se mueven

sobre el eje “x”. La distancia de separación entre estos será: Esta distancia tomará un valor máximo o mínimo cuando su derivada respecto del tiempo, sea

cero: entonces

finalmente podemos decir que:

15. TEOREMA PLUS DOS.La velocidad relativa entre dos móviles que se mueven sobre una misma recta tomará un valor extremo (máximo o mínimo relativo) cuando sus aceleraciones se igualen.

DEMOSTRACIÓNSean y la velocidad de dos móviles que se mueven sobre el eje “x”.

La velocidad relativa entre estos será: Esta velocidad relativa tomará un valor máximo o mínimo cuando su derivada respecto del

tiempo, sea nula: entonces

finalmente podemos decir que:


d

Fig. 05. ACELERACIÓN RELATIVA

aB aA

Móvil BMóvil A


16. EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS (Nivel Básico)

Tema: MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL

1. Un cuerpo tiene la siguiente ley del movimiento: (t) , donde t se mide en segundos y X se mide en metros. Determine la distancia que recorre entre los instantes t = 2 s y t = 5 s.

2. La posición de un partícula en el eje X se define mediante la ley: , donde t se mide en segundos y X en metros. Determine la velocidad de la partícula en el instante t = 5 segundos.

3. Se conoce la ley del movimiento de una partícula que se mueve en el eje “x”.

, donde “t” se mide en segundos y “x” en metros.

a) Determine la velocidad en el instante t = 1 s.b) Determine la velocidad en el instante t = 5 s.c) ¿En qué instante la velocidad es nula?











, donde “t” se mide en segundos y “x” en metros. Determine la velocidad

media entre los instantes t = 1 s y t = 5 s.8. Se conoce la ley del movimiento de una partícula que se mueve en el eje “x”.


media entre los instantes t = 2 s y t = 5 s9. Se conoce la ley del movimiento de una partícula que se mueve en el eje “x”.


media entre los instantes t = 3 s y t = 9 s





media entre los instantes t = 3 s y t = 8 s.



a) Determine la aceleración en el instante t = 1 s.b) Determine la aceleración en el instante t = 5 s.c) ¿En qué instante la aceleración es nula?









a) Determine la velocidad en el instante t = 4 s.b) Determine la velocidad en el instante t = 8 s.c) Determine la aceleración media entre los instantes t = 4 s y t = 8 s.













, donde “t” se mide en segundos y “x” en metros. ¿En qué instante la

velocidad es nula?

PROBLEMAS PROPUESTOS (NIVEL INTERMEDIO)

19. Una partícula que se mueve sobre el eje “x” tiene la aceleración variable según la ley:

donde “t” se mide en segundos y la aceleración en m.s-2. Para la rapidez es

y para la rapidez es . Determinar la rapidez para


donde “t” se mide en segundos y la aceleración en m.s-2. Inicia su movimiento

, desde el reposo, en . Determinar la posición en el instante .

21. Una partícula se mueve en el eje X con velocidad: m/s. Si el móvil inicia su

movimiento en , determinar la posición en el instante .

22. Una partícula se mueve en el eje X con velocidad: m/s. Determinar la longitud

del recorrido en el intervalo .

23. Una partícula se mueve en el eje X con velocidad: m/s. Determinar el

desplazamiento en el intervalo .


, donde “t” se mide en segundos y “a” en m.s-2. Si en el instante t = 3 s, la

velocidad es nula; y en el instante t = 1,0 s, su posición es x = 3 m, determine la ley del movimiento.

25. Una partícula se mueve en el eje X con velocidad: m/s. Si e móvil inicia su

movimiento en , determinar 1) el recorrido que experimenta en los primeros 2 segundos.2) el desplazamiento que experimenta en los primeros 4 segundos.

26. Si la ley de movimiento de una partícula que se mueve sobre el eje “x” es:

Determinar la longitud del recorrido en el intervalo


, donde “t” se mide en segundos y “a” en m.s-2. Si en el instante t = 2 s, la

velocidad es +42 i (m/s); y en el instante t = 1,0 s, su posición es x = 15 m, determine la ley del movimiento.

28. Una partícula se mueve sobre el eje “X”, cuya velocidad en función de la posición es: (m/s). Determine la aceleración en función de la posición.



29. El movimiento de una partícula viene definido por la relación , donde “x” se expresa en metros y “t” en segundos. Determine:1) la posición de la partícula en el instante en que la aceleración sea nula.2) la velocidad de la partícula en el instante en que la aceleración sea nula.

30. Una partícula se mueve en el eje “x”, desde , con la siguiente ley de movimiento:

donde X se expresa en metros “t” en segundos. Determine en qué intervalos de

tiempo el movimiento es acelerado y en qué intervalos es desacelerado.

31. Sean: y las leyes de movimiento de dos móviles (1) y (2) que

partiendo del origen de coordenadas se mueven en el eje X.

a) ¿Después de cuántos segundos se encuentran juntos por segunda vez?b) ¿En qué posición se encuentran cada uno de los móviles cuando se detienen instantáneamente?c) Determine la distancia de máximo alejamiento entre los móviles.

32. Un móvil se mueve a lo largo del eje “x” d acuerdo a la ley: donde se mide

en m/s y “t” en segundos. Sabiendo que cuando la posición es a) Encontrar el valor de “x” cuando b) Determine la aceleración cuando

33. Una partícula se mueve en el eje X con velocidad: donde se mide en m/s y “t”

en segundos. Determinar:

a) La aceleración cuando m/s.

b) El desplazamiento en el intervalo de a c) El recorrido en el intervalo de a

34. Si “x” e “y” se miden en metros y “t” en segundos, entonces determinar las fórmulas dimensionales de las expresiones:

I. II. III. IV. V.

35. Si “v” se mede en m/s, “a” se miden en m/s2 y “t” en segundos, entonces determinar las fórmulas dimensionales de las expresiones:

I. II. III. IV. V. VII.



PROBLEMAS PROPUESTOS (NIVEL INTERMEDIO)

1. Una partícula de mueve rectilíneamente sobre el eje “X”, donde la aceleración instantánea está dada por donde “x” se

mide en metros y en . Si el móvil parte del reposo en la posición , determinar la velocidad cuando pasa por .

2. La grafica muestra la ley de movimiento de los móviles A y B que se mueven rectilíneamente sobre el eje “x”. Determinar la máxima distancia de separación entre A y B, además en que instante ocurre esto.

3. La grafica mostrada describe el movimiento de dos móviles A y B que se mueven son el eje “x”. Si los dos móviles parten desde un mismo punto en , hallar la ventaja que le sacó el móvil A al móvil B hasta el instante en que sus aceleraciones se hacen iguales. En la figura las curvas son cuartos de circunferencias.

4. La grafica muestra la manera como varía la velocidad de un móvil, que se mueve rectilíneamente en función del tiempo transcurrido. Determinar el desplazamiento que experimenta el móvil hasta el instante en su aceleración es numéricamente igual al tiempo transcurrido. El la figura la curva es un cuarto de circunferencia.

5. La figura muestra la grafica de un móvil A que parte del origen de coordenadas en el instante , y sigue la trayectoria rectilínea en el eje “x”. Si después de 5 segundos, otro móvil B comienza a moverse con M.R.U sobre el eje “x”, determinar con qué velocidad mínima debe desplazarse para alcanzar al móvil B.

6. Las leyes del movimiento de dos partículas A y B están

dadas por: y donde

“x” se mide en metros y “t” en segundos. Determinar el mínimo valor que toma la distancia de separación entre los móviles A y B.

7. Las leyes del movimiento de dos partículas A y B que se mueven en el eje “x” están dadas por:

y donde “x” se mide en metros y “t” en segundos.

Determinar el instante en que, por primera vez, la velocidad relativa entre A y B toma su máximo


O

t (s)

Para el problema 2

-3

3

(B)

X (m)

126 9

(A)

+6

+3

O

t (s)

Para el problema 3

(B)

V (m/s)

2

2

(A)

O

t (s)

Para el problema 4

V (m/s)

2

2


valor.

8. Las leyes del movimiento de dos partículas A y B

están dadas por: y

donde “x” se mide en metros y “t” en segundos. Determinar el mínimo valor que toma la velocidad relativa entre los móviles A y B.

9. La aceleración de una partícula se define mediante la relación en (m/s2) y “t” en segundos. Si para

la velocidad es (m/s), y para

la velocidad es y la posición es en

metros. Determinar:a) La constante k.b) La velocidad y posición en cualquier instante de tiempo.c) El instante de tiempo en el cual la velocidad es nula.

10. El punto material se desplaza con velocidad: en (m/s). Si para la

posición es (m). Calcular:

a) la posición en el instante en que la velocidad es nula.b) el valor de la velocidad cuando la aceleración es nula.

11. Una partícula tiene un movimiento rectilíneo con aceleración: en (m/s2) y t

en segundos. Si para la velocidad es (m/s) y la posición es en metros.

Determinar:

a) el valor de la constante k, si para la velocidad es (m/s)

b) la velocidad cuando c) el desplazamiento en los primeros 4 segundos.d) ¿En qué instante pasa por ?

12. Un punto material se desplaza en el eje x con velocidad: . Si para

segundos la posición es metros. Calcular:a) la aceleración y la velocidad en cualquier instante.c) el tiempo que demora en recorrer los primeros 60 metros.

13. Un punto material se desplaza en el eje x con aceleración en (m/s2) y t en

segundos donde . Si para la velocidad es (m/s) y la posición es

en metros. Determinar la posición del punto material en función de la velocidad “v”.

14. Un punto material se desplaza en el eje x con aceleración en (m/s2), si el

móvil parte de metros y la velocidad inicial es (m/s). Determina la posición de


(A)

t (s)

Para el problema 5 X (m)

10

105O (B)


la partícula y el valor del desplazamiento cuando se detiene.

15. El movimiento de una partícula esta expresado por la siguiente ley: , ,

donde x, y, z se expresan en metros “t” en segundos. Calcular;a) el instante para el cual la velocidad es mínimab) el valor de la velocidad mínimac) el valor de la aceleración normal y tangencial para

d) el radio de curvatura para

BIBLIOGRAFÍA VIRTUAL Y FUENTES DE INFORMACIÓN:http://grups.es/didactika/yahoo.com http://grups.es/albert_einstein_koch/yahoo.com www.didactika.com Blog: DIDACTIKA.COM


http://www.didactika.com/

http://grups.es/albert_einstein_koch/yahoo.com

http://grups.es/didactika/yahoo.com


M.R.U. (MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME)

1. CONCEPTO. El móvil describe una trayectoria rectilínea, avanzando distancias iguales en intervalos de tiempos iguales. El cuerpo se mueve con velocidad constante (módulo y dirección). El movimiento rectilíneo uniforme, es el movimiento más simple de la materia.

2. VELOCIDAD CONSTANTELa particula se mueve con velocidad constante en módulo y direccion. Es decir la trayectoria es rectilinea siempre.

3. CARACTERÍSTICAS DE LA VELOCIDAD EN EL M.R.U.La velocidad instantánea es constante. La velocidad media es constante. La velocidad instantánea es igual a la velocidad media.La velocidad es una cantidad física vectorial, es decir tiene módulo y dirección.La rapidez es el módulo de la velocidad.

Cálculo de la rapidez:

Cálculo de la distancia:

Cálculo del tiempo transcurrido:

Unidades: d : metros ; t : segundos ; V : m/s

4. ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO (M.R.U.)La posición final de la partícula es igual a la adición de la posición inicial más el desplazamiento.

El signo positivo o negativo representan la dirección de la cantidad vectorial. De otro modo, se reemplaza en la ecuación en signo de cada cantidad física vectorial.

: Posición final : Posición inicial : Velocidad t: tiempo transcurrido

5. EQUIVALENCIAUn kilómetro equivale a mil metros. Una hora equivale a 3 600 segundos. Una hora equivale a 60 minutos. Un minuto equivale a 60 segundos. La rapidez 36 km/h equivale a 10 m/s.

6. SONIDO Y ECOEl eco es un fenómeno acústico. El sonido en una onda mecánica. El sonido necesita para propagarse un medio diferente al vacío. En el aire se propaga con una rapidez promedio de 340 m/s. El eco se produce cuando el observador percibe el mismo sonido por segunda vez debido al rebote de la onda sonora en algún obstáculo (montaña, cerro, pared, muro, etc.).La rapidez del sonido en el aire seco a 0 ºC es de unos 330 m/s. La presencia de vapor de agua en el aire incrementa ligeramente dicha rapidez. Un aumento de la temperatura del aire también aumenta la rapidez del sonido. La rapidez del sonido en aire aumenta en 0,6 m/s por cada grado centígrado. La rapidez del sonido en un material dado no depende de la densidad material, sino



de su elasticidad. El acero en un material elástico. Los átomos de un material elástico están relativamente juntos. El sonido se propaga unas quince veces más a prisa en el acero que en el aire, y unas cuatro veces más a prisa en agua que en el aire.La ecuación muestra la variación de la rapidez del sonido en el aire debido al cambio de la temperatura en grados Celsius.

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Un auto que tiene M.R.U., se mueve en dirección a una montaña con rapidez constante de 20 m/s, en cierto instante el chofer toca la bocina y escucha el eco luego de 4 segundos. Si la rapidez del sonido en el aire es 340 m/s, ¿A qué distancia de la montaña se encontrará el auto cuando el chofer escucha el eco?

2. Un auto que tiene M.R.U., se mueve alejándose de una montaña con rapidez constante de 20 m/s, en cierto instante de la montaña el chofer toca la bocina y escucha el eco luego de 4 segundos. Si la rapidez del sonido en el aire es 340 m/s, ¿A qué distancia de la montaña tocó la bocina?

3. Una persona ubicada entre dos montañas, en cierto instante emite un grito y percibe el primer eco a los 3,0 segundos y a los 3,6 segundos correspondiente a la otra montaña. Sabiendo que la rapidez del sonido en el aire es 340 m/s, determinar la distancia entre las montañas.

4. Dos relojes electrónicos están separados 1 020 metros, cuando dan la hora, uno de ellos se adelanta 2,0 segundos. ¿A qué distancia del reloj adelantado una persona oirá a los dos relojes dar la hora al mismo instante?

5. Un hombre dispara una bala en dirección horizontal con rapidez 170 m/s, contra un blanco y escucha el impacto luego de 3 segundos. Si la rapidez del sonido en el aire es 340 m/s, ¿A qué distancia del hombre se encuentra el blanco?

6. Dos personas A y B están separadas una distancia X. En cierto instante la persona A dispara una bala horizontalmente con rapidez de 170 m/s, en dirección del blanco que se encuentra junto a la persona B. Sabiendo que B escucha el disparo y 3,0 segundos después percibe el impacto con el blanco. Si la rapidez del sonido en el aire es 340 m/s, determine el valor de X en metros.

7. Se tiene dos velas (1) y (2) de tamaños iguales, los cuales tienen una duración T1 = 4 horas y T2 = 3 horas emitiendo energía luminosa. Si las velas empiezan e emitir luz simultáneamente, ¿después de cuanto tiempo en tamaño de uno e de ellos es el doble que el otro?


L

Para el problema 07

(1) (2)

d d d

H

Para el problema 08


8. Dos velas cuyas alturas H, en el momento inicial eran iguales, se encuentran a una distancia “d” una de otra, la distancia entre cada una de las velas y la pared mas próxima es también “d”. ¿Con qué rapidez se mueven las sombras de las velas por las paredes, si una vela se consume durante un tiempo T1 y la otra durante T2?



M.R.U.V.(MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO)

1. CONCEPTO. Es aquel movimiento donde el móvil describe una línea recta y además en intervalos de tiempo iguales los cambios de velocidad son iguales y las distancias recorridas son diferentes. Tiene aceleración constante. Los cambios de velocidad son iguales en tiempos iguales. La trayectoria o camino de la partícula es una línea recta. El móvil recorre distancias diferentes en tiempos iguales.

2. ACELERACIÓN LINEAL O TANGENCIAL.La aceleración lineal mide la rapidez de cambio de la velocidad en módulo. En el M.R.U.V. la aceleración lineal es constante, es decir no cambia la dirección ni el módulo de la aceleración.

La aceleración es igual a la derivada de la velocidad respecto del tiempo.

La aceleración es igual a la segunda derivada de la posición respecto del tiempo.

La velocidad final de la partícula, es igual a la velocidad inicial mas el producto de la aceleración por el intervalo de tiempo:

Pero en el M.R.U.V la aceleración es constante:

Unidad de la aceleración en el S.I.: m/s² o m.s-2

…. (1) …. (2) …. (3)

3. VELOCIDAD MEDIA EN EL M.R.U.V.Dado que la velocidad varía linealmente, la velocidad media es igual a la semisuma de las velocidades inicial y final en cierto intervalo de tiempo.


V0

VF

t0

t (s)

VELOCIDAD MEDIA

VMEDIA

V (m/s)


La velocidad media, es una velocidad constante en intervalo de tiempo “t” donde el móvil recorre una distancia “d”, cumpliéndose la siguiente ecuación:

…. (4) …. (5)

Reemplazando (3) en (5):

Obtenemos: … (6)

De (2): … (7) De (5): …. (8)

Multiplicado miembro a miembro (7) y (8):

Despejando tenemos que: …. (9)

De (3): … (10)Reemplazando (10) en (5)

Obtenemos:

4. SIGNOS DE LA ACELERACIÓNSi la velocidad aumenta en módulo decimos que el movimiento es acelerado, en cambio si la velocidad disminuye en módulo decimos que el movimiento es desacelerado.

V0 : velocidad inicial VF : velocidad final(+) : Movimiento acelerado (-) : Movimiento desacelerado


Cuando aumenta la velocidad Cuando disminuye la velocidadAcelera

1)

2)

3)

4)

5)

Desacelera

1)

2)

3)

4)

5)


En el movimiento acelerado la aceleración y la velocidad tienen la misma dirección. En cambio si el movimiento es desacelerado la aceleración tiene dirección opuesta (sentido opuesto) a la velocidad.

5. NÚMEROS DE GALILEO GALILEI.Analicemos el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, cuando tiene velocidad inicial diferente de cero.

Para. t = n

Para. t = n-1

Restando:

Obtenemos que:

CASO PARTICULARSi la partícula inicia su movimiento desde el reposo, con M.R.U.V., entonces el móvil recorre en cada segundo distancias directamente proporcionales a números los impares.Cuando

Donde el valor de K es la mitad del valor de la

aceleración.

6. DESPLAZAMIENTO EN EL ENÉSIMO SEGUNDOAnalicemos el caso, cuando el cuerpo acelera. El enésimo segundo está comprendido entre los instantes t = n-1 y t = n. Entonces la distancia que recorre en el enésimo segundo se determina restando, las distancias que recorre el móvil en los primeros n segundos y en los (n-1) segundos.

Para. t = n:

Para. t = n-1:

Restando:

Obtenemos que:


3K 5K

a

K

V0 = 0

t = 0 t = 2 st = 1 s t = 3 s


CASOS PARTICULARES

a) Cuando el cuerpo acelera desde el reposo , se cumple que:

b) Cuando el cuerpo desacelera:

* Si dn es positivo el cuerpo se aleja del punto de lanzamiento.* Si dn es negativo el cuerpo se aleja del punto de lanzamiento en la dirección opuesta.* Si dn es cero el cuerpo regresa al punto inicial.

7. POSICIÓN DE LA PARTÍCULA EN EL EJE XAnalizamos el movimiento de la partícula con aceleración constante, sobre el eje X, respecto de un sistema de referencia.Cambio de posición: … (1)

La posición final: … (2)

Para el M.R.U.V.: … (3)

Reemplazando (3) en (2) tenemos

:

8. MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON ACELERACIÓN VARIABLESi el móvil tiene movimiento con aceleración que varía linealmente, entonces definimos una nueva medida del movimiento, denominada CELERIDAD (c), que mide la rapidez de cambio de aceleración en módulo.

Despejando tenemos que, la aceleración final es:

La velocidad final es:

La posición final en el eje X es:

En la gráfica la razón tangente nos da el valor de la celeridad:

Ahora podemos generalizar el movimiento rectilíneo:


t (s)

a (m/s2)

t

ACELERACIÓN vs. TIEMPO

a0

af

0


Donde, Z es la última medida del movimiento de módulo constante.



PROBLEMAS PROPUESTOS DE M.R.U.V

1. Un móvil que parte del reposo se mueve en línea recta y desarrolla una velocidad cuya grafica es mostrada en la figura. Calcular el que instante t de tiempo el móvil vuelve al punto de partida.

2. Se muestra la variación de la velocidad de un móvil. Determine el módulo del desplazamiento en los 10 primeros segundos.

3. En el instante t = 0, dos partículas parten de un mismo punto y se mueven en línea recta en la misma dirección y sentido. Una de ellas se mueve con velocidad constante y la otra con aceleración constante. La figura muestra las graficas de ambas velocidades. La distancia d, en metros, que recorren y en tiempo empleado “t” en segundos que tardan hasta que vuelven a encontrarse, respectivamente son:

4. Un patrullero está estacionado al lado de una carretera rectilínea, frente a él pasa una mujer en un auto deportivo a 100 m/s. Después de varios intentos de poner en marcha su motocicleta, el Oficial arranca 2 segundos después con M.R.U.V con aceleración de modulo 10 m/s2 y su rapidez máxima es 120 m/s. ¿después de cuántos segundos, desde que sale el oficial, alcanza al auto?


VX (m/s)

t (s) 0 512 15 18

10

- 4

Para el problema 2

06

8

10

V (m/s)

t(s)

Para el problema 01

Para el problema 05

t (s)0 5

12 15 18

10

- 4

VX (m/s)

120

100

00

V (m/s)

t(s)

Para el problema 04

OFICIAL

AUTO

2

1

2

0

3 6

t(s)

V (m/s)

Para el problema 03


5. Se muestra la variación de la velocidad de un móvil. Determine el modulo del desplazamiento en los 18 primeros segundos.

6. La gráfica indica el comportamiento de la aceleración de un auto que se mueve a lo largo del eje x, en función al tiempo. Si en t = 0 se encuentra en – 20 î (m) con una velocidad 3 î (m/s) ¿Cuál será la posición (en m) del auto cuando t = 8 s?

7. Un automóvil que parte del reposo se mueve con M.R.U.V. con aceleración de módulo constate de 1 m/s2, en dirección a una montaña. Al partir el chofer toca la bocina y cuando ha recorrido 32 metros escucha el eco. Determinar la distancia de separación inicial entre el auto y la montaña. Rapidez del sonido en el aire 340 m/s.

8. Con una velocidad de 10 i m/s el chofer de un automóvil observa el semáforo cuando cambia la luz de Verde a Rojo, reacciona después de 0,2 segundo y aplica los frenos generando una desaceleración de –20 i m/s2. ¿Qué distancia recorrió el auto hasta detenerse desde el momento que el chofer observo la luz roja?

9. Un automóvil se mueve con velocidad de 30 i m/s, cuando cambia la luz de Verde a Roja de un semáforo ubicado a 150 m de él. Si el tiempo de reacción del conductor es 0,5 segundo y el auto desacelera con -5 i m/s2 tan pronto el conductor aplica los frenos. ¿A qué distancia del semáforo se detiene?

10. Un móvil que tiene M.R.U.V. se mueve en el eje X, pasa por el punto A con velocidad 40 i (m/s), pero 50 segundos después su velocidad es 60 i (m/s). Sabiendo que el móvil parte del reposo en el punto P, ¿qué distancia recorre desde el punto de partida hasta el punto A?

11. Un cuerpo parte del reposo con M.R.U.V., si al transcurrir “t” segundos posee una rapidez “V” y luego de recorrer 15 m en 3 s su rapidez es “4V”. Determinar “t”.

12. Un móvil parte del reposo con M.R.U.V, y avanza 54 m en los 6 primeros segundos. ¿Cuántos metros avanza en los 4 segundos siguientes?

13. Un auto parte del reposo desde el punto P con M.R.U.V. y recorre entre los puntos A y B de su trayectoria la distancia de 1 km durante 10 segundos, si al pasar por el punto B su rapidez es el triple de la que tuvo en el punto A. Determine la distancia que recorre entre el punto de partida y el punto A.

14. Un automóvil que tiene M.R.U.V, se mueve en el eje X con aceleración 2 i (m/s2), después de 5 segundos de pasar por un punto “P” posee una velocidad 20 i (m/s). ¿Qué velocidad tenía el auto cuando le faltaban 9 m para llegar al punto P?

15. Un ciclista que tiene M.R.U.V. inicia su movimiento con velocidad 2 i (m/s), después de 2 segundos recorre 12 m. ¿Qué distancia recorre el ciclista en el tercer segundo?


a (m/s2)

t (s)

3

-3

0 4 6 8

Para el problema 06

2


16. Un ómnibus se encuentra detenido y hacia el corre un pasajero con una rapidez constante de 4 m/s. En el instante que se encuentra a 8 m del ómnibus, éste parte y se mueve con aceleración constante cuyo valor es 2 m/s2. Determinar al cabo de qué tiempo la distancia de separación entre el pasajero y el ómnibus es mínima.



CAÍDA LIBRE VERTICAL1. CONCEPTO. Es aquel tipo de movimiento rectilíneo uniformemente variado (M.R.U.V.)

cuya trayectoria es una línea recta vertical y que se debe a la presencia del campo de gravedad. La única fuerza que actúa sobre el cuerpo es su propio peso, ya que no considera la resistencia del aire. Este tipo de movimiento se obtiene, cuando un cuerpo es lanzado hacia arriba, hacia abajo, o simplemente es soltado. En las ecuaciones cinemáticas no se considera la masa ni la fuerza resultante. La cinemática en general estudia as propiedades geométricas del movimiento.

2. CONSIDERACIONES DEL MOVIMIENTO DE CAÍDA LIBRE* No se considera la resistencia del aire.* La altura máxima alcanzada es suficientemente pequeña como parar despreciar la variación de la aceleración de la gravedad.* La velocidad máxima alcanzada por el cuerpo es suficientemente pequeña para despreciar la resistencia del aire.* La altura alcanzada es suficientemente pequeña para considerar un campo gravitatorio homogéneo y uniforme.

* El valor o módulo de la aceleración de la gravedad es:

La aceleración es igual a la derivada de la velocidad respecto del tiempo:

La aceleración es igual a la segunda derivada de la posición respecto del tiempo:

La velocidad final de la partícula, es igual a la velocidad inicial mas el producto de la aceleración por el intervalo de tiempo:

Pero la aceleración de la gravedad es constante:

La altura es el desplazamiento de la partícula en el eje “Y” o eje vertical y se define como el producto de la velocidad media por el intervalo de tiempo:

El desplazamiento vertical o altura se define como el producto de la velocidad media por el

tiempo transcurrido:

3. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE CAÍDA LIBRE VERTICALAnalíticamente el movimiento de caída libre es un caso es especial del M.R.U.V., donde la



distancia se reemplaza por la altura y la aceleración lineal por la aceleración de la gravedad.

4. TIEMPO DE VUELOConsideremos un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba. Cuando el cuerpo alcanza la altura máxima su velocidad es nula.De la ecuación:

reemplazando los datos:

Despejando:

Tempo de subida:

Tiempo de vuelo:

5. ALTURA MÁXIMA (H)Un cuerpo que es lanzado verticalmente hacia arriba alcanza su altura máxima cuando su velocidad final en el punto más alto es igual a cero.Aplicando la ecuación:

Reemplazando los datos:

6. CAMBIO DE LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDADLa intensidad de la gravedad no es el mismo para todos los lugares de la Tierra, depende de la altura sobre el nivel del Mar y de la latitud. El movimiento de caída libre plantea la misma aceleración para todos los cuerpos cualquiera que sea su masa, a esta aceleración se le llama aceleración de la gravedad normal, cuyo valor es

45° de latitud es:

* En los polos: g = 9,83 m/s² (Máxima)* En el Ecuador: g = 9,78 m/s² (Mínima)

7. CAMPO GRAVITACIONALNo sólo la Tierra atrae a los cuerpos, también el Sol, la Luna y todo astro. Se entiende por “gravedad” a la región de espacio que rodea a un astro gracias al cual atrae a los cuerpos. Todos los planetas (Tierra) y satélites (Luna) generan a su alrededor un campo de gravedad.

8. INTENSIDAD DEL CAMPO GRAVITATORIOLa aceleración de la gravedad “g” depende de la masa y el radio terrestre. Es decir la aceleración de la gravedad depende de la forma que tiene el cuerpo creador del campo gravitatorio.


VF = 0

TIEMPO DE VUELO Y ALTURA MÁXIMA

g

V0

T H


Donde:

G: Constante de gravitación universal. G = 6,67.10-11 N.m2.kg-2

MT = masa de la tierra = 5,9.1024 kgRT = radio de la tierra = 6 400 km

9. NÚMEROS DE GALILEOSi abandonamos un cuerpo de cierta altura, entonces la altura que recorre en cada segundo es directamente proporcional a los números impares.

Primer segundo 1K = 5 m

Segundo segundo 3K = 15 m

Tercer segundo 5K = 25 mCuarto segundo 7K = 35 mQuinto segundo 9K = 45 mSexto segundo 11K = 55 mSétimo segundo 13K = 65 mOctavo segundo 15K =75 m

Para. t = n

Para. t = n-1

Restando:

Obtenemos que:

CASO PARTICULARCuando

Donde el valor de K es la mitad del valor de la aceleración.

= 5

Considerando: g = 10 m/s2.En el primer segundo recorre 5 metros.En el segundo segundo recorre 15 metros.En el tercer segundo recorre 25 metros.


3K

5K

K

V0 = 0 t = 0 s

t = 1 s

t = 2 s

t = 3 s

g


En el cuarto segundo recorre 35 metros.En el quito segundo recorre 45 metros.En el enésimo segundo recorre 5(2n-1) metros.

10. CUANDO EL CUERPO ASCIENDE (DESACELERA)Analicemos el movimiento de subida respecto de un sistema de referencia.Ecuaciones:1) 2) 3)

4) 5) 6)

11. CUANDO EL CUERPO DESCIENDE (ACELERA)Analicemos el movimiento de bajada respecto de un sistema de referencia.Ecuaciones:1) 2) 3)

4) 5) 6)

12. LA ALTURA ES DESPLAZAMIENTO VERTICALSi lanzamos un cuerpo verticalmente hacia arriba respecto de un sistema de referencia. Ahora analizamos el movimiento de cuerpo en caída libre en forma vectorial, es decir considerando los signos. Entonces la altura tendrá signos positivo o negativo: (1) Si la altura tiene signo positivo significa que el cuerpo se encuentra sobre el nivel de referencia, subiendo o bajando.(2) Si la altura tiene signo negativo significa que el cuerpo se encuentra debajo de la línea de referencia descendiendo.(3) Si la altura es cero significa que el cuerpo ha regresado o está pasando en ese instante por el nivel de referencia (N.R.).

13. DISTANCIA QUE RECORRE EN EL ENÉSIMO SEGUNDOAnalicemos el caso, cuando el cuerpo es lanzado verticalmente hacia abajo. El enésimo segundo está comprendido entre los instantes t = n-1 y t = n. Entonces la distancia que recorre en el enésimo segundo se determina restando las distancias que recorre el móvil en los primeros n segundos y en los (n-1) segundos.

Para. t = n

Para. t = n-1


C

A

+h1

-h3

N.R. B

g

DESPLAZAMIENTO VERTICAL

h2 = 0


Restando:

Obtenemos que:

CASOS PARTICULARES

a) Cuando el cuerpo es abandonado, soltado

o dejado caer , se cumple que:

b) Cuando el cuerpo es lanzado verticalmente hacia ARRIBA, el cuerpo inicia su movimiento en contra del campo de gravedad, es decir desacelera.

* Si hn es positivo el cuerpo se desplaza verticalmente hacia arriba.

* Si hn es negativo el cuerpo se desplaza verticalmente hacia abajo.

* Si hn es cero el cuerpo regresa al punto inicial.


t = n

t = n-1

t = 0

h1

h2

hn

V0

g


PROBLEMAS PROPUESTOS DE CAÍDA LIBRE

1. Un cuerpo es lanzado con velocidad 60 j (m/s). ¿A qué distancia del nivel de lanzamiento se encuentra el cuerpo después de 4 segundos?. (g = 10 m/s2)

2. De lo alto de una Torre, un cuerpo es lanzado con velocidad 20 j (m/s). ¿A qué distancia del nivel de lanzamiento se encuentra el cuerpo después de 8 segundos?. (g = 10 m/s2)

3. Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba desde la azotea de un edificio, si luego de 6 s su rapidez se duplica, determinar la velocidad de lanzamiento. (g = 10 m/s2)

4. Un globo aerostático sube con velocidad 10 j (m/s) y cuando se encuentra a una altura de 75 m respecto del suelo desde el globo se deja caer una piedra. ¿Qué tiempo demora la piedra en llegar al suelo? (g = 10 m/s2)

5. Un cuerpo se suelta desde 80 m de altura respecto del piso. ¿Qué velocidad tendrá 35 m antes de impactar con el piso?. (g = 10 m/s2)

6. Desde el piso se lanza verticalmente hacia arriba un proyectil y cuando le falta 2 segundos para alcanzar la altura máxima se encuentra a 60 m del piso. ¿Cuál fue la velocidad de lanzamiento?. (g = 10 m/s2)

7. Un globo aerostático sube con velocidad constante V j (m/s), si el piloto suelta una piedra, ¿qué separación existirá entre el globo y la piedra luego de 3 segundos?. (g = 10 m/s2)

8. Un globo se encuentra subiendo con velocidad de 5 j (m/s) y en el instante que se encuentra a 360 m del piso, desde el globo se deja caer una piedra. ¿Qué tiempo tarda la piedra en llegar a la superficie terrestre?. (g = 10 m/s2)

9. Coquito suelta un objeto y observa que durante el penúltimo segundo de su movimiento recorrió 25 m. ¿Con qué velocidad impacto en el piso?. (g = 10 m/s2)

10. Desde una altura de 20 m respecto de la superficie de un lago, se suelta una esfera pequeña, el cual tarda 2,8 s en llegar hasta el fondo. Si cuando ingresa al agua mantiene su velocidad constante, determinar la profundidad del lago. (g = 10 m/s2)

11. Desde 5 m de altura sobre el nivel de un lago, se suelta una esfera pequeña. ¿Hasta qué profundidad máxima llegará la esfera?, si la desaceleración que experimenta dentro del agua es

(m/s2). (g = 10 m/s2)

12. Una partícula es lanzada hacia arriba con rapidez V0. Determinar la altura máxima que alcanza dicha partícula (m) si después de 2 segundos retorna a su posición inicial. (g = 10 m/s2)

13. Desde la azotea de un edificio de 20 m de altura, una pelota A es lanzada verticalmente hacia arriba con rapidez de 15 m/s. Al mismo instante se lanza una pelota B verticalmente hacia abajo con igual rapidez. ¿Cuál es el intervalo de tiempo entre las llegadas de las pelotas al nivel del piso? (g = 10 m/s2)

14. Una persona se encuentra en un globo aerostático en reposo, desde una altura H suelta una piedra y después de 8,75 segundos escucha el impacto con el piso, Despreciando la resistencia del aire y considerando la rapidez del sonido en el aire 300 m/s, determinar la rapidez de la piedra (en



m/s) en el instante de chocar con el piso. (g = 10 m/s2)

15. Un cuerpo de lanza desde la superficie terrestre verticalmente hacia arriba con rapidez 40 m/s. Un segundo después se lanza otro, desde el mismo punto de manera que cuando de crucen ambos tienen la misma rapidez. Determina la altura máxima (en m) que alcanza el segundo cuerpo. (g = 10 m/s2)

16. Un globo aerostático se encuentra a 50 m del suelo subiendo en forma vertical con una rapidez constante de 5 m/s. Una piedra en lanzada desde el globo hacia arriba con rapidez de 10 m/s con respecto del globo. Determine la velocidad de la piedra instante antes de chocar con el suelo.

17. Un automóvil se mueve con velocidad constante (m/s). ¿Con que velocidad se debe lanzar una piedra desde el automóvil, para que después de recorrer 80 m la piedra regrese al punto de lanzamiento?

18. Se lanzan simultáneamente dos partículas P y Q desde la superficie de la tierra, con velocidades

iniciales de y ¿Después de que tiempo de haber sido

lanzados la velocidad del punto medio del segmento imaginario que los unes es nula?

19. Una esfera pequeña se abandona en el extremo A del tubo AB. El radio de la circunferencia es R = 10 m. Si no hay rozamiento, determine el intervalo de tiempo que invierte en recorre el tramo AB. (g = 10 m/s2)

R

R

g

A

B


cinemática

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