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CINEMÁTICA
Capítulo 5
CONCEPTOS FUNDAMENTCONCEPTOS FUNDAMENTCONCEPTOS FUNDAMENTCONCEPTOS FUNDAMENTCONCEPTOS FUNDAMENTALESALESALESALESALES
Móvil.- Es el cuerpo que realiza el movimiento.
Trayectoria.- Línea recta o cur-
va que describe un móvil.
Desplazamiento.- Es aquel
vect or que une el punt o de
part ida con el punto de llega-
da (d r r r= = −∆ 2 1) su módulo
toma el nombre de distancia.
Espacio Recorrido.- Longitud
o medida de la trayectoria.
Intervalo de Tiempo.- Tiempo
empleado en realizarse un acon-
tecimiento. (∆t = tf – t
o)
Instante.- Se define así como un intervalo de t iempo pequeño, tan pe-
queño que t iende a cero. (∆t) = (tf – t
o) → 0
Cinemática es una parte de la mecánica que se encarga de estudiar
única y exclusivamente el movimiento de los cuerpos sin considerar
las causas que lo originan. Cabe mencionar que la palabra “Cinema”
significa movimiento.
Jorge Mendoza Dueñas98
MOVIMIENTOMOVIMIENTOMOVIMIENTOMOVIMIENTOMOVIMIENTO
Es aquél fenómeno físico que consiste en el cam-
bio de posición que realiza un cuerpo (móvil) en
cada instante con respecto a un sistema de refe-
rencia, el cual se considera fijo. Se afirma también
que un cuerpo está en movimiento con respecto a
un sistema de coordenadas rectangulares elegido
como fijo, cuando sus coordenadas varían a medi-
da que transcurre el t iempo.
Magnitud vectorial cuyo módulo indica cual es el
espacio recorrido por un móvil en cada unidad de
tiempo. Físicamente, el módulo o valor de la velo-
cidad indica la rapidez con la cual se mueve un cuer-
po. Se representa por “v”.
MEDIDAS DEL MOVIMIENTOMEDIDAS DEL MOVIMIENTOMEDIDAS DEL MOVIMIENTOMEDIDAS DEL MOVIMIENTOMEDIDAS DEL MOVIMIENTO
VELOCIDAD (v )
Unidad de velocidad en el S.I.
ACELERACIÓN (a )
Es una magnitud vectorial cuyo módulo mide el
cambio de la velocidad por cada unidad de tiempo.
Físicamente el módulo de la aceleración mide la
rapidez con la cual varía la velocidad. Se represen-
ta por “a”.
metro
segundom s/b g
Unidad de la aceleración en el S.I.
metro
segundom s
2
2/d i
CLASIFICACIÓN DEL MOVIMIENTOCLASIFICACIÓN DEL MOVIMIENTOCLASIFICACIÓN DEL MOVIMIENTOCLASIFICACIÓN DEL MOVIMIENTOCLASIFICACIÓN DEL MOVIMIENTO
1.- POR SU TRAYECTORIA
A) Rectilíneo.- Cuando la trayectoria es una
línea recta.
IMPORTANTE
− La aceleración aparece cuando varía la velo-
cidad.
− El sentido del vector aceleración no necesa-
riamente coincide con el sentido del movi-
miento del cuerpo.
B) Curvilíneo.- Cuando la trayectoria es una lí-
nea curva. Entre las más conocidas tenemos:
2.- POR SU RAPIDEZ
A) Uniforme.- Cuando el módulo de la veloci-
dad permanece constante.
B) Variado.- Cuando el módulo de la velocidad
varía con respecto al t iempo.
El sentido del vector velocidad indica siempre el sentido del movimiento.
Circular.- Cuandola trayectoria es unacircunferencia.
Parabólico.- Cuando la tra-yectoria es una parábola.
Elíptico.- Cuando la tra-yectoria es una elipse.
Cinemática 99
Un cuerpo posee movimiento rectilíneo uniforme
cuando cumple las siguientes condiciones:
A) La trayectoria que recorre es una línea recta.
B) La velocidad (v ) es constante.
Ilustración
MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (M.R.U.)MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (M.R.U.)MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (M.R.U.)MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (M.R.U.)MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (M.R.U.)
FÓRMULA QUE RIGE EL M.R.U.FÓRMULA QUE RIGE EL M.R.U.FÓRMULA QUE RIGE EL M.R.U.FÓRMULA QUE RIGE EL M.R.U.FÓRMULA QUE RIGE EL M.R.U.
OBSERVACIÓN
En esta clase de movimiento, el móvil recorre
espacios iguales en t iempos iguales.
OBJETIVO
vd
t=
EXPERIENCIA: MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME
MATERIAL A EMPLEARSE
− Un tubo transparente de 1,50 m de longitud,
aproximadamente.
− Un corcho o tapón que permita tapar el extre-
mo libre del tubo.
− 4 cronómetros.
− Una cinta métrica.
NÚMERO DE ALUMNOS: Cuatro
PROCEDIMIENTO:
1.- Graduar el tubo de 30 en 30 cm como mues-
tra la figura.
2.- Llenar el tubo con agua coloreada hasta el
borde.
3.- Tapar el tubo con el corcho o tapón, de ma-
nera que dent ro del tubo quede at rapado
una burbuja (t ratar en lo posible que dicha
burbuja sea lo más pequeña que se pueda).
4.- Colocar el tubo en la posición mostrada, con
la burbuja abajo.
5.- Al subir la burbuja, tomar el t iempo que de-
mora ésta en recorrer:
0 – 30 cm : 1er alumno
0 – 60 cm : 2do alumno
0 – 90 cm : 3er alumno
0 – 120 cm : 4to alumno
Demostrar que el valor de la velocidad de una
burbuja es constante, ahora, como quiera que la
trayectoria es una línea recta el movimiento de
dicha burbuja será M.R.U.
Jorge Mendoza Dueñas100
6.- Repetir los pasos 4 y 5 (tres veces más) y anotarlas en la tabla.
PROCESO ADICIONAL
En un papel milimetrado hacer el gráfico d vs t
PREGUNTAS
1.- ¿Es constante la velocidad de la burbuja?
2.- ¿Cuánto vale su velocidad?
3.- ¿Qué figura se origina en el gráfico d vs t?
4.- ¿Cuánto vale la pendiente de la recta (en el
gráfico)?
5.- ¿El movimiento de la burbuja es M.R.U.?
d (m)1era vez 2da vez 3era vez 4ta vez
Tiempo
Promedio
Tiempo (s)
0 - 0,30
0 - 0,60
0 - 0,90
0 - 1,20
vd
tm s= ( / )
Cinemática 101
Reloj de arenaReloj de arenaReloj de arenaReloj de arenaReloj de arena
En realidad, existen muchos instrumentos que sirven para medir
el tiempo; antiguamente uno de los aparatos usados para dicho
efecto era el “reloj de arena”.
Para iniciar el conteo del tiempo, se voltea el aparato del tal modo
que la arena quede depositado en la zona superior, de este modo
los granos caerán lentamente hacia la base hasta que al final todo
el material queda depositado en la zona inferior.
El tiempo que demora la arena en caer totalmente siempre será
el mismo.
Gol de tirGol de tirGol de tirGol de tirGol de tiro libreo libreo libreo libreo libre
¿Podría un jugador hacer un gol de de tiro libre?
Para que un jugador realice esta jugada espectacular, tendría que practicar muchas veces; y
tener en cuenta la distancia pelota-arco, la fuerza y dirección del viento, la presión atmosférica,
entre otros parámetros.
Si el jugador fuese un robot que pudiese medir y calcular todos los parámetros antes mencionados,
es seguro que su procesador interno, calcularía la fuerza, velocidad y ángulo de inclinación que
debería darle al balón para que éste ingrese al arco contrario por muy eficiente que sea su arquero.
En realidad el jugador es una persona y lo más que puede hacer es practicar constantemente
en su campo de fútbol (local).
Sin embargo ayudaría bastante en nuestro medio crear dicho “Robot” que pueda cuantificar
todos los parámetros y calcular la fuerza, velocidad y ángulo de inclinación desde un punto
preferido para diferentes horas y días para que así el jugador con dichos datos y su inteligencia
pueda tener mayores herramientas para lograr su objetivo: el gol.
Ciencia y Tecnología 101
Jorge Mendoza Dueñas102
Móvil,Móvil,Móvil,Móvil,Móvil, tra tra tra tra trayyyyyectoria y desplazamientoectoria y desplazamientoectoria y desplazamientoectoria y desplazamientoectoria y desplazamiento
VVVVVelocidad constanteelocidad constanteelocidad constanteelocidad constanteelocidad constante
Conseguir que un móvil ten-
ga velocidad constante en
las pistas de una ciudad es
casi imposible, debido al uso
contínuo del acelerador y el
freno.
Sin embargo no es difícil ob-
tener una velocidad constan-
te, ello se puede conseguir
en una autopista de tráfico
rápido y mejor aún si el tra-
mo es una línea recta.
TTTTTransmisión del moransmisión del moransmisión del moransmisión del moransmisión del movimiento cirvimiento cirvimiento cirvimiento cirvimiento circularcularcularcularcular
Se muestran dos móviles: el
muchacho y el automóvil, los
cuales parten del mismo pun-
to (A) con la intención de lle-
gar al punto (B).
Ambos eligen trayectorias di-
ferentes, el muchacho elige
el camino peatonal y el auto-
móvil el de la pista; no obs-
tante, el desplazamiento será
el mismo para ambos.
Las fajas y engranajes se
utilizan en los árboles ó
equipos para transmitir el
movimiento circular, con los
engranajes se evitan que
una pieza resbale respecto
a la otra.
Ciencia y Tecnología102
Cinemática 103
− 10
6m s/
20
6m s/
12
5m s/
− 8
5m s/
4
5m s/
TESTTESTTESTTESTTEST
1.- Un móvil que va con M.R.U. inicia su movimiento
en x = 12 m y luego de 8 s está en x = 28 m. Hallar su
velocidad.
a) 2 m/s d) 6 m/s
b) 8 m/s e) 7 m/s
c) 4 m/s
2.- Señalar verdadero o falso respecto al M.R.U.
I.- La velocidad es tangente y contraria al movimiento.
II.- La aceleración es igual a cero.
III.- El radio de curvatura de la recta de movimiento
es considerado infinitamente grande.
a) VVV d) FFF
b) FVV e) VVF
c) FVF
3.- Para el movimiento de la partícula en M.R.U. en la fi-
gura podemos decir que su velocidad media es:
a) d) −4 m/s
b) e) 4 m/s
c)
4.- Para el movimiento de la partícula en M.R.U. en la fi-
gura, podemos decir que su velocidad media es:
a) –5 m/s d)
b) +5 m/s e) N.A.
c)
5.- Los móviles “A” y “B”
parten de las posi-
ciones mostradas
simultáneamente
con vA = 4 m/s y
vB = 3 m/s. ¿Qué
podemos opinar?
Vx
tm = ∆
∆
Vx
tm = ∆
∆
a) “A” llega primero a “P”.
b) “B” llega primero a “P”.
c) Ambos llegan simultáneamente a “P”.
d) Falta precisar información para decidir que res-
ponder.
e) Ninguno llega.
6.- Se muestran la velocidad de
dos móviles en M.R.U., al cabo
de 5 s estarán separados:
a) 10 m d) 25 m
b) 15 m e) 30 m
c) 20 m
7.- Señalamos las velocidades de 4 móviles en M.R.U., al
cabo de 10 s, que alternativa se cumple si salen del
mismo punto.
a) A dista de B 40 m d) C dista de D 40 m
b) C dista de D 55 m e) A dista de B 25 m
c) A dista de B 30 m
8.- La figura muestra dos móviles
en M.R.U. que parten del mis-
mo punto. Al cabo de 6 s ¿qué
distancia los separa?
a) 78 m d) 18 m
b) 48 m e) N.A.
c) 30 m
9.- Marque la proposición correcta.
a) En el M.R.U. el vector velocidad cam b ia
contínuamente.
b) En el M.R.U. la t rayectoria no siempre es una lí-
nea recta.
c) En el M.R.U. la aceleración siempre es cero.
d) El espacio es una magnitud vectorial.
e) Todas las anteriores son falsas.
10.- Marque la proposición correc-
ta según el siguiente esquema.
a) El móvil t iene velocidad
constante.
b) La velocidad del móvil aumenta.
c) El cuerpo se detendrá en el plano inclinado.
d) La velocidad del móvil disminuye.
e) Todas son falsas.
Jorge Mendoza Dueñas104
1.- Cuantas horas dura un viaje hasta una ciudad sureña
ubicado a 540 km, si el bus marcha a razón de 45 km/h?
Solución:
PROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELTOSTOSTOSTOSTOS
A problemas de aplicación
2.- Un cazador se encuentra a 170 m de un “Blanco” y
efectúa un disparo saliendo la bala con 85 m/s (velo-
cidad constante), ¿después de que t iempo hará im-
pacto la bala?
Solución:
t horas=12
d vt t= ⇒ =540 45
3.- Dos autos se mueven en sentidos contrarios con ve-
locidades constantes. ¿Después de que t iempo se en-
cuentran si inicialmente estaban separados 2 000 m?
(velocídad de los autos 40 m/s y 60 m/s).
Solución:
d vt t= ⇒ =170 85
t s=2
❏ De la figura:
e v t tA A= =40
e v t tB B= =60
4.- Dos autos se mueven en el mismo sentido con veloci-
dades constantes de 40 m/s y 60 m/s. ¿Después de que
tiempo uno de ellos alcanza al otro? ver figura.
Solución:
2000 = +e eA B
2000 40 60 2000 100= + ⇒ =t t t
t s=20
❏ De la figura:
e v t tA A= =60
e v t tB B= =40
e eA B= +200
60 40 200 20 200t t t= + ⇒ =
t s=10
OBSERVACIÓN
Tiempo de Encuentro:
e : espacio de separación
inicial
te
v vE
A B
=+
NOTA
Antes de realizar cualquier operación es necesario
homogenizar el sistema de unidades, si fuese necesario.
Cinemática 105
5.- Un móvil “A” que se desplaza con una velocidad de
30 m/s, se encuentra detrás de un móvil “B” a una dis-
tancia de 50 m, sabiendo que los móviles se mueven
en la misma dirección y sent ido, y que la velocidad
de “B” es de 20 m/s. ¿Calcular después de qué t iem-
po, “A” estará 50 m delante de “B”?
Solución:
OBSERVACIÓN
Tiempo de Alcance:
e : espacio de separación inicialt
e
v vAL
A B
=− v vA B>
❏ De la figura:
e v t tA A= =30
e v t tB B= =20
e eA B= + +50 50
30 50 20 50 10 100t t t= + + ⇒ =
t s=10
1.- Un barco navega rumbo al Norte recorriendo 540 m.
Luego va hacia el Este recorriendo 720 m. Determinar
el espacio y distancia que recorrió el barco (en m).
Solución:
B problemas complementarios
2.- Tres móviles pasan simultáneamente por los puntos A,
B, C con velocidades de 10, 15 y 13 m/s. Si la distancia
entre A y B es 8 m, y entre B y C es de 32 m. Luego de
qué tiempo la distancia entre los móviles serán iguales,
si en ese instante guardan el mismo ordenamiento.
Solución:
❏ Espacio = ?
e OA AB= +
e = +540 720
❏ Distancia = ?
d OB=
d = +540 7202 2
b g b g
d m=900
8 32 23 1+ + = +e e x
40 23 1+ = +v t v t x
40 13 10 2+ = +t t x
40 3 2+ =t x ............ (1)
e e x2 1 8= + −
v t v t x2 1 8= + −
15 10 8t t x= + −
5 8t x= − ............ (2)
t s= 24
7
3.- Un muchacho para bajar por una escalera empleó 30 s.
¿Cuánto demoraría en subir la misma escalera si lo hace
con el triple de velocidad?
Solución:
❏ De (1) y (2):
❏ Cuando el
muchacho baja
❏ De la figura:
❏ También:
❏ De (1) y (2):
❏ Cuando el
muchacho sube
L v= 30b g ..... (1)
L v t= 3 b g ..... (2)
t s=10
e m=1 260
Cuando el muchacho baja
Cuando el muchacho sube
Jorge Mendoza Dueñas106
t h= 2
4.- Una persona sale todos los días de su casa a la misma
hora y llega a su trabajo a las 9:00 a.m. Un día se trasla-
da al doble de la velocidad acostumbrada y llega a su
trabajo a las 8:00 a.m. ¿A que hora sale siempre de su
casa?
Solución:
5.- Dos móviles A y B situados en un mismo punto a
200 m de un árbol, parten simultáneamente en la
m isma d irección. ¿Después de que t iempo ambos
móviles equidistan del árbol? (vA = 4 m/s y v
B = 6 m/s).
Solución:
❏ De la fig (1):
❏ De la fig (2):
Rpta: Sale de su casa a las 7:00 a.m.
d vt= ..... (α)
d v t= −2 1b g .... (β)
❏ De (α) y (β):
vt v t= −2 1b g
fig (1)
6.- Un tren de pasajeros viaja a razón de 36 km/h, al in-
gresar a un túnel de 200 m de longitud demora 50 s
en salir de él ¿Cuál es la longitud del tren?
Solución:
De la figura:
d d xB A= +2
v t v t xB A= +2
t x=
6 4 2 2 2t t x t x= + ⇒ =
............ (1)
d xA + =200
4 200t x+ =
❏ (1) en (2):
❏
❏
............ (2)
4 200t t+ =
t s= 40
La distancia que recorre el tren es el mismo que reco-
rre el punto A.
7.- De Lima a Huacho hay aproximadamente 160 km; de
Lima a Barranca hay 200 km, un auto va de Lima con
velocidad constante saliendo a las 8 a.m. y llega a Ba-
rranca al medio día. ¿A qué hora habrá pasado por
Huacho?
Solución:
d vt=
200 10 50+ =L b g
L m= 300
8.- Un auto debe llegar a su dest ino a las 7:00 p.m., si
viaja a 60 km/h llegará una hora antes, pero si viaja a
40 km/h llegará una hora después. Si en ambos ca-
sos la hora de part ida es la misma, encontrar dicha
hora de part ida.
❏ Lima a Barranca:
❏ Lima a Huacho:
Dato: velocidad constante = 50 km/h
Rpta: Pasó por Huacho a las 11.2 a.m. ó 11h 12m a.m.
d vt=
200 4 50= ⇒ =v v km hb g /
d vT=
160 50 3 2= ⇒ =T T h,
fig (2)