cilindros
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RESISTENCIA DE MATERIALES PLAN CConferencia # 6
Tema IV: Cilindros de paredes gruesas.Titulo: Tensiones en cilindros de paredes gruesas. Tensiones y desplazamientos en cilindros de paredes gruesas sometidas a presión interior y exterior.
INTRODUCCION
Hablar sobre las bóvedas, su condición de resistencia y primero para considerarla de
paredes delgadas 201≥Di
S .
¿Cuándo se aplica la teoría membranal?¿Que estado tensional surge en las bóvedas?¿Cómo se calculan las placas?
Hasta el momento se han estudiados dos cálculos de diferentes elementos como barras, vigas, etc., sin embargo hay elementos tales como los tubos de las calderas, turbinas de vapor y de gas, los ajustes prensados, etc., que son necesarios calcularlo por parte del ingeniero y sobre los cuales no conocemos todavía como hacerlo. Con esta conferencia podemos adquirir los conocimientos para resolver estos problemas.
OBJETIVOS
Con la conferencia perseguimos como objetivos fundamentales los de familiarizar a los alumnos con las características de los cilindros de paredes gruesas y definir fórmulas par determinar tensiones y desplazamientos que posibiliten la evaluación de la resistencia y rigidez.
GENERALIDADES
En este capitulo analizaremos los tubos o cilindros de paredes gruesas.Se consideran tubos de paredes gruesas cuando la relación espesor de la pared, diámetro
interior del tubo es 201≥Di
S sino se cumple esta relación el tubo se considera de
paredes delgadas(bóvedas) lo que analizaremos en el próximo capitulo.El calculo de cilindros de paredes gruesas, se realiza considerando que sobre el actúan presiones externas e internas uniformemente distribuidas, las cuales no producen deformaciones a flexión.El calculo de cilindros de paredes gruesas se aplica en la proyección y construcción de las uniones por interferencia y en los elementos específicos como cañones, tubos sometidos a grandes presiones etc.Este caso de las uniones por interferencia se encuentran muy a menudo en los cálculos de ingeniería y es necesario que ustedes presten atención especial a esto ya que si no se logra la interferencia o el apriete necesario: por ejemplo si es para trasmitir un torque y la unión no esta garantizada pues no se trasmite el torque necesario, etc. y esto puede traer problemas en el funcionamiento.
ECUACIONES FUNDAMENTALES PARA EL CASO DE UN CUERPO SIMETRICO CON RESPECTO A UN EJE.
Consideremos un cuerpo homogéneo de forma cilíndrica, solicitado de tal manera que la carga exterior esa simétrica respecto al eje de simetría del cuerpo y no varia a lo largo del cilindro.Producto de la carga externa el cilindro se deforma, produciendo un desplazamiento en cada punto de este. Partiendo de las condiciones de simetría, estos desplazamientos tendrán lugar en las direcciones radiales, desplazándose los puntos radialmente y a lo largo de las generatrices.Designamos por u el desplazamiento radial de un punto cualquiera.
Este desplazamiento es función del radio y no varía a lo largo del cilindro.El desplazamiento longitudinal, consideramos que surge solamente por el alargamiento o el acortamiento del cilindro. Si estos desplazamientos existen serán tales que las secciones transversales permanecen planas.Para determinar el desplazamiento radial analizamos el segmento diferencial (dr)AB = dr antes y después de aplicada la carga externa.El punto A recibe el desplazamiento u y el punto B el desplazamiento U + du.La longitud del elemento deformado será dr + du, ya que el punto B se desplazo(deformo) respecto al punto A un valor du.
El desplazamiento unitario del elemento será:
1. drdu
llEr =∆= ------ Desplazamiento unitario radial.
Pasemos ahora a calcular el desplazamiento circunferencial(tangencial) unitario.
La longitud de la circunferencia antes de aplicarse la carga es 2π r.Después de aplicada el radio será (r + u) y la longitud será entonces fig. --------- 2π (r + u), por lo tanto la deformación
unitaria de la circunferencia o tangencial será:
( )[ ] rπ2rπ2u+rπ2=Et
2. Et = u/rDespués de calculados los desplazamientos veamos como se determinan las tensiones que surgen. Para ello del cilindro separamos un anillo unitario. Este anillo lo cortamos con dos planos que forman un ángulo dϕ entre si, saquemos un elemento diferencial por dos cortes transversales.
En el plano ABCD pág. 204(sección longitudinal). Por las condiciones de simetría.Apareciendo solo tensiones llamadas tensiones circuferenciales.
En las secciones CDEF(sección transversal) las tensiones tangenciales también son iguales a cero, las tensiones zσ (tensión longitudinal) surge cuando el cilindro esta sometido a cargas longitudinales, estas tensiones se consideran constante tanto a lo largo del eje de simetría como a lo largo del radio del cilindro.Por lo antes expuesto podemos concluir que los planos ABCD y DEFC son planos principales y por lo tanto el plano ADEG(perpendicular a los anteriores), también será un plano principal. Las tensiones que surgen en este plano la designaremos por rσ(tensión radial) la cual variará al pasar del radio r al radio r + dr en rr dσσ + .Proyectando las fuerzas que actúan en el elemento en la dirección radial se obtiene la siguiente ecuación de equilibrio. (y despreciando los diferenciales de orden sup.)
( ) tr rdrd σσ −−∗ ..........(1)
Se considera que no existen tensiones tangenciales.
Según la ley generalizada de Hooke las tensiones rσ , tσ y zσ están relacionadas con los alargamientos Er y Et de la siguiente forma:
( )[ ] EEr ztr σσµσ +−= ..........(2)
( )[ ] EEr zrr σσµσ +−=o las tensiones en función de las deformaciones:
( ) zr lrudrdulE σµµµµσ ∗−++∗−= 2 ...........(3)
( ) zt ldrdurulE σµµµµσ ∗−++∗−= 2
Introduciendo (3) en (1):
0222 =−∗+ rdrdurldrud µ
La que puede ser escrita de la siguiente manera:
[ ] 0=+ rudrdudrd
o sea:( )[ ] 0=−∗ rudrdrldrd ..........(4)
De esta ecuación se obtiene la expresión de u y después se calculan las tensiones por la 3.La solución de la ecuación es:
rCrCU 21 += C1 y C2 constante de integración que se determinan de las condiciones de borde.
DETERMINACION DE LAS TENSIONES Y DESPLAZAMIENTO:
Supongamos un cilindro de radio interior a y radio exterior b, carga con una presión interna Pa y una externa Pb.
Analizaremos el caso en que 0=zσ . El problema de la determinación de las tensiones y E se conoce como problema de Lamé, según la ecuación 4 el desplazamiento radial será:
rCrCU 21 +=
siendo C1 y C2 constante de integración. Esta función se introduce en la expresión 3 y el valor de las constante C1 y C2 se determina de las condiciones de borde o sea:cuando r = a Par −=σ r = b Pbr −=σ
Una vez calculados los valores de C 1 y C2 se obtiene:
E
r
ab
PP
r
ba
Er
ab
bPaPEu zbaba µσµµ −
−−
∗⋅++∗
−−
∗−=22
22
22
22 11 ......(6)
222
22
22
22
ab
PP
r
ba
ab
bPaP babar −
−⋅−
−−
=σ ......(7)
222
22
22
22
ab
PP
r
ba
ab
bPaP babar −
−⋅+
−−
=σ
Estas son las ecuaciones del problema de Lamé.
En el caso de un cilindro cerrado aparece la tensión zσ manteniéndose constante los valores de rσ y tσ , en este caso actuara una fuerza igual a:
22 bPaPN ba ππ −=
La tensión zσ será:
( ) 22
22
22ab
bPaPab
N baz −
−=−= πσ ....... (8)
La presencia de la tensión influye solo sobre la magnitud del desplazamiento radial u.
En caso de que el cilindro este solicitado por presiones longitudinales y aparezca dicha zσ , el valor del desplazamiento u será:
22
22
22
22 121ab
PP
r
ba
Er
ab
bPaPEu baba
−−
∗⋅++∗
−−
∗−= µµ
En caso de que la fuerza axial no exista.
22
22
22
22 11
ab
PP
r
ba
Er
ab
bPaPEu baba
−−
∗⋅++∗
−−
∗−= µµ
Casos Particulares:a) Cilindro solicitado solamente por una presión interior.- ¿Cómo determinamos las expresiones?
En este caso 0=∗= ba yPPP y tendremos que:
)1( 2
2
22
2
rb
abPa
r −∗−=σ
)1( 2
2
22
2
rb
abPa
t −∗−=σ
Para la superficie interior(r = a) tendremos que:
( )22
22
ababPt −
+∗=σ (r = a)
Para (r = b)
( )22
22ab
Pat −=σ
(decirle a los estudiantes que en el Gilda hay un error en r = b dice: ( )22
22ab
Pb−
esta mal.)
Para las tensiones radiales.Pr −=σ 0=rσ
(r = a) (r = b)De ahí que en la sección transversal la distribución de las tensiones sea:
Como se ve la tensión circunferencial es de tracción y la radial de compresión.Según la teoría de las tensiones tangenciales máximas (cuando la fuerza axial ó sea
0=tσ ) se obtiene que:
( )Pab
abPeq −−
−+∗=−=
22
22
31 σσσ min
max
σσσσ
:
:
3
1
[ ]σσ ≤−
=22
22
ab
bPeq Condición de resistencia.
Como se observa las tensiones rσ y tσ dependen del espesor del cilindro.La tensión radial rσ en la superficie interior es – P y en el exterior 0 independientemente del espesor del cilindro. En el caso de un cilindro de paredes delgadas las tensiones circunferenciales se distribuyen casi uniformemente dentro del espesor y las radiales son muy pequeñas en comparación con las circunferenciales en la misma proporción que el espesor V es pequeño en comparación con el radio.Si aumentamos el espesor del cilindro manteniendo la misma presión interior, la tensión máxima disminuye pero no limitadamente.Analicemos el caso en que b >> a o sea cuando el cilindro tiene un espesor infinitamente grande, entonces l expresión de las tensiones rσ y tσ tomara la forma siguiente:
( )22 raPr ∗−=σ
( )22 raPt ∗=σ
Esto demuestra que un cilindro de pared infinitamente gruesa la tensión radial será igual a la tensión circunferencial rσ = tσ y en el caso que no exista tensión longitudinal
zσ todos los puntos tienen el estado tensional de distorsión pura.
Si tenemos un cilindro con una relación de b/a > 4 podía considerarse como un cilindro de paredes de espesor infinitamente grande.En estos casos la forma del contorno no afecta los cálculos, si todos los puntos del contorno exterior están a una distancia mayor de 4a del eje de la perforación interior, la forma del contorno exterior pueden ser arbitrarias.La tensión equivalente según la tercera teoría de resistencia será:
P2=σ eq cuando b ≥ a.
Por ejemplo, si el limite de elasticidad de un material es de 26000cm
Kg si la pared
tiene un espesor infinitamente grande las deformaciones serán elásticas para presiones
que no superen el valor de 23000cm
Kg .
Cilindro solicitado a una presión exterior.¿Como serán las tensiones. ? ¿Cómo serán las presiones que actúan. ?Pa = 0 Pb = P
)1()( 2
2
22
2
ra
abPb
r −∗−−=σ
)1()(- 2
2
22
2
ra
abPb
t +=σ
Evaluando para los dos radios a y b:
0)( == arrσ )-
2(-)( 22
2
abPbart ==σ
Pbrr −== )(σ )bab(P-)( 2222 abrt −+∗==σ
Por lo que dos gráficos de tensiones para presión exterior serán:
La tensión equivalente máxima tiene lugar en la superficie interior del cilindro. En el caso que no exista carga axial.
)-
2(0- 22
2
31 abbP
eq∗−−== σσσ
22
2
-2
abbP
eq∗=σ
Concluyendo, podemos plantear que los puntos peligrosos para los dos casos estudiados corresponden a los puntos de las superficies interiores, por lo tanto grietas se iniciaran en esta superficie, e irán avanzando hacia el exterior.Los elementos sometidos a grandes presiones deben controlarse periódicamente por método de ultrasonido, rayos x, por medio de ensayos no destructivos, etc.
Ejemplo:
Un cilindro de acero con diámetro interior de 20 cm y exterior de 40 cm se somete a una presión interna 2510400 mNP ⋅= . Determine si el cilindro resiste esa presión para [ ] 25101500 mN⋅=σ .Primer paso:Determine si el cilindro es de paredes gruesas:
201≥Die ( ) 10220-40 ==e201212010 ≥= es de pared gruesa.
Segundo paso:Determinar los valores de rσ y tσ para los radios interior y exterior.
mcmr 1.010 == r = 0,1m ( )( art =σ )
25r mN10400=σ 22
22 )(ab
abPt −
+=σ
Pr −=σ 22
22
10-20)1020(400 +=tσ
ar = 25106,666
mN
t ⋅=σ
Para r = 0,2m )( brt =σ
0=rσ 22
22ab
Pat −=σ
r = b 25106,266
mN
t ⋅=σ
Tercer paso:Aplicar el criterio de resistencia.
[ ]σσσσ ≤−= 31eq tσσ =1
)400(666 −−=eqσ (r = a)
25101067
mN
eq ⋅=σ rσσ =3
(r = a)
[ ]σσ ≤eq se cumple, el cilindro resiste.
CONCLUCIONES
En esta conferencia hemos conocido que siempre que estemos en presencia de cilindros de paredes gruesas sometidos a presión interior o exterior surgirán en los distintos puntos de cualquier sección transversal esfuerzos radiales(r) y transversales( tσ ) (si consideramos que no hay fuerzas axiales) de lo contrario tendríamos además esfuerzos longitudinales. Los puntos mas peligrosos son los correspondientes a la superficie interior por lo que al producirse cualquier fallo, este siempre avanzara del interior al exterior(esto se ve en el gráfico de distribución de las tensiones).Si tenemos un cilindro sometido a presión interior en el cual el radio exterior es mucho mayor al radio interior b>>a podemos asociarlo con el caso de una placa sometida a ajuste forzado, similarmente si estamos en presencia de un cilindro sometido a presión exterior en el cual el radio interior a = 0 podemos asociarlo con el caso de un eje sometido a ajuste forzado.Deben tener presente siempre, que aplicarle el criterio de resistencia a los cilindros hay que determinar la [ ]σσ ≤eq y para el de rigidez determinar el desplazamiento radial u.
Preguntas de Comprobación.1. ¿Qué tipo de desplazamiento se origina al someter a presión interior y/o exterior los
cilindros de paredes gruesas?2. ¿Que tensiones se originan en un cilindro de paredes gruesas sometido a presión
interior y/o exterior?3. ¿Cuáles son los puntos mas peligrosos en los cilindros sometidos a presión interior
y/o exterior?4. ¿Cómo se aplican los criterios de resistencia y rigidez en cilindros sometidos a
presión interior o exterior?
BIBLIOGRAFIA Gilda Fernández pág. 201. 216 Feodosev tomo II pág. 21. 32. estudiar con detenimiento estas paginas del texto pues
aparece claramente explicado y además los esquemas y gráficos están bien claros. En este tema es muy importante entender bien la teoría, la solución de problemas no
es complicado pues se limita a la sustitución de valores en fórmulas.
Motivación:
Si tenemos un cilindro el cual hay que someterlo a una presión interior de P = 15000 atm, pero para que resista esta presión seria necesario un, material con una tensión
permisible aproximadamente [ ] 251030000
mN∗≥σ y este material no existe en la
realidad. ¿Que creen ustedes que debe hacerse?. ¿Aumentara grandemente el espesor? o ¿construirlo compuesto de dos materiales diferentes?Les dejamos estas interrogantes para responderlas en la próxima conferencia.
