CIENCIAS FORMALES Y FILOSOFÍA

Selección de trabajos presentados en lasVII Jornadas Rolando Chuaqui K.

EN ESTA MISMA COLECCIÓN:

1. Filosofía del Derecho, por varios autores, 1980.2. X Jornadas Chilenas de Derecho Público, por varios autores, 1980.3. Apreciación crítica de la teoría pura del derecho, por varios autores, 1982.4. Filosofía contemporánea, por varios autores, 1983.5. XV Jornadas Chilenas de Derecho Público, por varios autores, 1985.6. Desajustes entre norma y realidad, por varios autores, 1986.7. Historia de las mentalidades, por varios autores, 1986.8. 3 Estudios Políticos, por Abel González, Agustín Squella e Italo Paolinelli, 1987.9. Estudios Filosóficos, por varios autores, 1988.

10. Proyecto de Código Procesal Civil Modelo para Iberoamérica, 1989.11. Teoría y realidad del derecho, por José Llompart S., 1989.12. En el umbral del siglo XIX. ¿Nuevos Conceptos e Instituciones Jurídicas?, por varios autores,

1989.13. Estudio de Derecho Procesal, por Raúl Tavolari Olivero, 1990.14. XX Jornadas Chilenas de Derecho Público, (dos tomos), por varios autores, 1990.15. Estudios sobre derechos humanos, por Agustín Squella, 1991.16. La enseñanza de los derechos humanos, por varios autores, 1992.17. Medio siglo al servicio del derecho procesal, por Mario Casarino Viterbo, 1993.18. Filosofía del Exilio, por varios autores, 1993.19. Comentarios Procesales, por Raúl Tavolari Olivero, 1994.20. XXV Jornadas Chilenas de Derecho Público (tres tomos), por varios autores, 1995.21. Nietzsche más allá de su tiempo 1844..., por José Jara, Editor, 1998.22. XXX Jornadas Chilenas de Derecho Público (dos tomos), por varios autores, 2000.23. 90 años de la Escuela de Derecho de la Universidad de Valparaíso, por varios autores, 2002.24. ¿Qué queda de la teoría pura del Derecho?, por varios autores, 2005.25. Las dos caras de Jano y otros ensayos, por Lautaro Ríos Álvarez, 2005.26. Norberto Bobbio: Su pensamiento político y jurídico, por Agustín Squella, Editor, 2005.27. XXXV Jornadas Chilenas de Derecho Público, por varios autores, 2006.28. Filosofía y Política en Rawls, por varios autores, 2007

COLECCIÓNJORNADAS ACADÉMICAS

29

Esta colección difunde las versiones escritas de conferencias y los textosde ponencias y relaciones presentadas en jornadas y seminarios, con elfin de facilitar el acceso a ellas por parte de los especialistas en losrespectivos campos de estudio.

Andrés Bobenrieth MiserdaEditor

CIENCIAS FORMALES Y FILOSOFÍA

Selección de trabajos presentados en lasVII Jornadas Rolando Chuaqui K.

EDEVAL

2007

#

ANDRES BOBENRIETH MISERDAEDITOR

Inscrito en el Registro de la Propiedad Intelectual bajo el Nº................I.S.B.N. ..............

Impreso en los Talleres de EDEVALE-MAIL: edeval@uv.cl

Diseño Portada: Flavia Michell S.

Ciencias Formales y Filosofía; Selección de trabajos presentados en las VII JornadasRolando Chuaqui K. es una publicación conjunta entre el Instituto deFilosofía de la Facultad de Humanidades de la Universidad de Valparaísoy las Jornadas Rolando Chuaqui Kettlun, que son coorganizadas porlas siguientes universidades:

Pontificia Universidad Católica de Chile (Facultad de Matemáticas y Facultad de Filosofía),Universidad de Santiago de Chile,Universidad de Chile,Universidad de Valparaiso.

I N D I C E

Página

PRESENTACIÓN .................................................................................. 9Andrés Bobenrieth M.

SEMBLANZA ACADÉMICA DE ROLANDO CHUAQUI K. ....... 13Wilfredo Quezada y Renato Lewin

LOGIC AND ONTOLOGY ................................................................. 21Oswaldo Chateaubriand

REVISIONISMO Y COGNITIVISMO EN FILOSOFÍADE LAS MATEMÁTICAS .................................................................. 45

Wilfredo Quezada Pulido

LÓGICA, EMPIRISMO Y REALISMO EN EL PENSAMIENTODE QUINE ............................................................................................ 69

Rodolfo Gaeta

REALISMO CIENTÍFICO Y VUELO A LA REFERENCIA ......... 85Nélida Gentile

LOS DESAFÍOS DEL REALISMO ESTRUCTURAL ....................103

Susana Lucero

VAGUEDAD Y MEDIDA ...................................................................119

Luis Adrian Urtubey

7

LA NATURALEZA DE UNA ECUACIÓN BÁSICA .....................135

José Tomás Alvarado Marambio

OBJETOS POR OMISIÓN ..................................................................155

Hernán Miguel

LÍMITES DE LA ARGUMENTACIÓN EN SOBRE LA CERTEZA171Eduardo Fermandois

FILOGÉNESIS Y ESPECIES COMO GÉNEROS NATURALESEN KRIPKE ..........................................................................................193

Julio Torres Meléndez

ALGUNOS CONCEPTOS PARA LA ENSEÑANZA DELA LÓGICA ..........................................................................................211

Rodolfo Ertola y Adriana Galli

INFERENCIA HETEROGÉNEA, VISUALIZACIÓN,FLUJO DE INFORMACIÓN ..............................................................223

Horacio Faas

INDECIDIBILIDAD, INCOMPLETUD E INTEGRABILIDADDE ECUACIONES DIFERENCIALES ..............................................241

Enrique R. Reyes

8

PRESENTACIÓN

Las Jornadas Rolando Chuaqui Kettlun: Matemáticas y Filosofíase han venido realizando anualmente desde 1999. Se trata de unesfuerzo conjunto de varias universidades tradicionales chilenas porjuntar personas interesadas en una diversidad de temas y desde dis-tintas perspectivas disciplinarias, privilegiando por sobre todo lacalidad académica de los trabajos que se presenten. La idea centrales darle cabida a la gran variedad de temas académicos que preocu-paron a Rolando Chuaqui, de modo que se hace énfasis en lassiguientes áreas: a) epistemología, b) lógica matemática y filosófica,c) fundamentos de la matemática, de la teoría de la computación yde la inteligencia artificial, d) filosofía de la lógica y filosofía de lasciencias en general y en particular, e) inducción y probabilidad, f)historia de la ciencia.

La primera versión de las jornadas se realizó en la Universidadde Valparaíso con la coorganización de la Pontificia UniversidadCatólica de Chile y la Universidad de Santiago; las segundasjornadas fueron realizadas el año siguiente (2000) en la PontificiaUniversidad Católica de Chile; luego, las terceras jornadas en laUniversidad de Santiago (2001), las cuartas y quintas en la PontificiaUniversidad Católica de Chile (2002 y 2003); y al año siguiente laUniversidad de Chile se incorporó al grupo de universidadescoorganizadoras y realizó las jornadas del 2004.

Las Séptimas Jornadas Rolando Chuaqui K. se realizaron en laUniversidad de Valparaíso en Mayo del 2005, coorganizadas por: la

9

Pontificia Universidad Católica de Chile (con la participación detanto la Facultad de Matemáticas, como de la Facultad de Filosofía),la Universidad de Santiago de Chile (Departamento de Filosofía dela Facultad de Humanidades), la Universidad de Chile (Departamentode Filosofía de la Facultad de Filosofía y Humanidades), y la Uni-versidad de Valparaíso (Instituto de Filosofía de la Facultad deHumanidades). A Valparaíso y Viña del Mar llegó un conjunto dedestacados académicos provenientes de distintas partes de Argenti-na, Brasil y Chile. Nuestro invitado internacional fue el Prof. OswaldoChateubriand. Todos ellos hicieron que tuviéramos tres días de me-morable interacción académica y personal.

La calidad de los trabajos presentados en esas Jornadas nos llevóa considerar la posibilidad de no dejar todo ahí, sino que dar lugar auna publicación que recogiera varios de estos textos. Decidimos en-tonces hacer una edición conjunta entre el Instituto de Filosofía dela Universidad de Valparaíso y las Jornadas Rolando Chuaqui Kettlun,constituyéndose entonces el Comité Organizador de las Jornadas enel comité editorial de esta publicación. El primer paso fue solicitarlea muchos de los ponentes que enviaran sus trabajos para ser someti-dos a un proceso de selección y recibimos una respuesta muyfavorable de ellos (de hecho, varios privilegiaron esta convocatoriapor sobre otras posibilidades de publicación). Una vez llegados todoslos trabajos, en el comité, conformado por Wilfredo Quezada(USACH), Renato Lewin (PUCCH Matemáticas), Manuel Correia(PUCCH Filosofía), Alejandro Ramírez (U. de CH.) y AndrésBobenrieth (U. de V.), decidimos publicar los trece textos que tieneel lector en sus manos. Creemos que ellos en conjunto constituyenuna excelente muestra del trabajo que realizan en los países del surde América los académicos que están interesados en la interacciónentre matemática, lógica y filosofía. Obviamente hay muchos temasque se trabajan y que aquí no están presentes, pero creemos que ellector tendrá una adecuada muestra de una diversidad de tipos detrabajo, así como de distintos enfoques. Ahora bien, cada uno de losartículos constituye por sí mismo un aporte a las discusionescontemporáneas sobre cada uno de los temas tratados. De modo que

10

este libro busca cumplir un doble provecho: uno por el conjunto yotro por cada uno de los artículos. Todos los textos cuentan con unamplio resumen, de modo que remito a ellos al lector que quierahacerse una visión panorámica del contenido concreto de este libro.El orden de los artículos fue determinado siguiendo el criterio decierta proximidad temática entre los textos colindantes —en la medidade lo posible—, comenzando por el trabajo del invitado internacional(el cual es publicado en inglés a petición del autor, si bien hemoshecho una traducción del resumen).

Este libro constituye la primera publicación que está directamenterelacionada con la Jornadas Rolando Chuaqui K., por lo cual hemosconsiderado adecuado que dos de las personas que mejor lo cono-cieron en su trabajo académico, en filosofía y en matemáticas, y quefueron quienes generaron las Jornadas, escribieran una semblanzaacadémica del él. Con ese texto abrimos este volumen, si bien todoel libro constituye un homenaje a Rolando Chuaqui y especialmentea la huella que dejó en el trabajo académico en Suramérica. En todaslas jornadas que hemos realizado, en innumerables ocasiones antesde comenzar los ponentes hacen referencia a la persona y la influen-cia de Rolando Chuaqui, y a uno no deja de sorprenderlo comopersonas que vienen de lugares tan diversos en nuestros países al-canzaron a ser tocados por este hombre excepcional. De la actitudde Chuaqui hacia el trabajo de otros académicos, y especialmente delos que estaban comenzando, no sólo pueden aprender los jóvenes,sino particularmente aquellos que tienen asentadas carreras acadé-micas.

La idea de publicar este libro también estuvo basada en la con-fianza que en el Instituto de Filosofía de la Universidad de Valparaisogenera la Editorial EDEVAL, de la Facultad de Derecho de estaUniversidad. Dicha confianza se vio ampliamente ratificada con lamuy favorable acogida que hizo de este proyecto el anterior decanoProf. Antonio Pedrals G. y la decidida ejecución del mismo a que diolugar el actual decano Prof. Aldo Valle A. En la persona de VivianaDonoso D., quisiera agradecerle a todas las personas de EDEVAL quehicieron posible que este libro pasara de ser una realidad virtual auna material.

11

El respaldo de las autoridades del Instituto de Filosofía ha sidofundamental para llevar a cabo este proyecto, particularmente losprofesores Carlos Martel Ll. y Jaime Villegas T., así como la delanterior decano de la Facultad de Humanidades profesor CarlosVerdugo S. En los aspectos administrativos ha sido determinante elaporte de Marianela Sepúlveda R. El trabajo en este texto ha conta-do con el apoyo de la Dirección de Investigación de la Universidadde Valparaiso por medio de un proyecto Dipuv (47/05).

Parte fundamental de la labor editorial ha sido llevado a cabo pormi colega Marcelo Arancibia G. y por mi ayudante Rodrigo LópezO. Fue sólo gracias a la capacidad y la diligencia de ellos que fueposible que un montón de artículos de diversos formatos se hayaconvertido en un libro. También quiero agradecerle especialmenteal profesor Wilfredo Quezada P. por su permanente apoyo y preocu-pación para que esta publicación se hiciera realidad.

Quisiera terminar agradeciéndole a los autores de cada uno delos textos, además de por las razones obvias, por haber confiado eneste proyecto y por la diligencia con que han contestado todos mirequerimientos. Este libro es de ellos.

Andrés Bobenrieth M.

12

SEMBLANZA ACADÉMICA DE ROLANDO CHUAQUI K.

El sentido de esta presentación es explicar por qué la figura deRolando Chuaqui influyó y sigue influyendo de manera estable enacadémicos e intelectuales de tan diferentes orígenes y formaciones.Obviamente ello ayudará a explicar también por qué las Jornadasque llevan su nombre, así como esperamos lo sea la publicación queel lector tiene ahora en sus manos, se han convertido en un productoestable y duradero de ese influjo. Es entendible que dicha influencia,innegablemente extraña al medio nacional chileno, sea en parte elresultado natural de los muchos talentos intelectuales que adornabana Chuaqui, pero pensamos que aún más decisiva que ellos era lasingular personalidad que sirvió de suelo para que tales talentos fruc-tificaran. La personalidad de Chuaqui era a su vez compleja yprofunda como sencilla y directa. Esto significa que Chuaqui aunabaen su personalidad tendencias, si no contradictorias, al menos anta-gónicas. Sin embargo, es justo decir que su vida, en su dimensiónpersonal y académica, es tal vez el mejor ejemplo que conocemos decómo tales tendencias pueden resolverse fluidamente en una armó-nica unidad. Dado el contexto en que se inserta esta presentación,hablaremos aquí fundamentalmente de cómo se gestó en el planoacadémico aquella unidad y cómo se expresó tanto en su formación,sus investigaciones y su enseñanza.

En su formación académica vemos de inmediato dos tendenciasaparentemente opuestas: por una parte, eligió estudiar medicina enla

13

Universidad de Chile, una disciplina eminentemente práctica, ypor otra, casi inmediatamente se sintió interesado por cuestiones teó-ricas vinculadas a la disciplina, por ejemplo, acerca de losfundamentos lógicos y metodológicos de las ciencias médicas. Laforma que Chuaqui ideó para resolver esta dualidad (y superar depaso algunos aspectos particularmente complejos para él de lapráctica médica, p. e. la práctica quirúrgica) fue trasladarse a USA eingresar al Grupo de Lógica y Metodología de la Ciencia de laUniversidad de California-Berkeley, programa interdisciplinario delos departamentos de matemáticas y filosofía de dicha universidad.Al regresar a Chile, en vez de asociarse a una facultad de medicina ydespués de un breve paso por la Facultad de Ciencias de laUniversidad de Chile, se integra finalmente a la PontificiaUniversidad Católica de Chile donde iniciaría una intensa actividaden pro del desarrollo de las ciencias exactas, particularmente lamatemática, llegando con el tiempo a ser el primer Decano de laFacultad de Matemáticas, que él ayudó a crear. Sin embargo, estadecisión a favor de una disciplina muy alejada de la medicina nosignificó en la vida de Chuaqui un abandono definitivo de esta últimapues la formación adquirida le permitió seguir reflexionandoprofundamente sobre sus fundamentos y sus aplicaciones. Aún más,Chuaqui llegó a convencerse de que era fundamental tender puentesreflexivos permanentes entre las diferentes disciplinas científicas ysus respectivas prácticas. En una clase magistral dictada en 1992 enla Facultad de Humanidades de la Universidad de Santiago titulada«Disciplina e interdisciplina» él hizo perfectamente clara estaconvicción. Decía, "[e]s mi convencimiento que para hacer estudiosinterdisciplinarios serios hay que partir de una disciplina estudiada,también, muy seriamente. Creo que, en general, la manera normalde llegar a la interdisciplina es a través de la profundización de ladisciplina misma. Todo está unido con todo: al estudiar matemáticaprofundamente, por ejemplo, se llega a la filosofía, como yo, o a lahistoria, o aun al arte, como otros". Y él ejemplificaba esta conviccióncon su propio caso agregando adicionalmente "como muchos de uds.saben, yo estudié primero medicina. Con el título de médico, fuiadmitido al Programa de Lógi

14

ca y Metodología de las Ciencias, un programa interdisciplinarioentre matemática y filosofía de la Universidad de California enBerkeley. Así, sin tener estudios formales de las disciplinas delprograma mismo fui admitido a él (aunque solo condicionalmente alprincipio)". A continuación él se explayó acerca de dos ejemplos deactividad interdisciplinaria en los que estuvo intensamenteinvolucrado como matemático, médico y filósofo: en primer lugar,los fundamentos de la probabilidad y la estadística, y, en segundo,los fundamentos de la ciencia cognitiva y la inteligencia artificial.Casi al finalizar su clase magistral y especulando acerca de laconexión entre filosofía, ciencia y tecnología, él concluía diciendo"me parece que la separación entre investigación pura y aplicada esmuy nociva para el desarrollo. Hay un continuo [...], entre la inves-tigación más pura y las aplicaciones más concretas. Quebrar estecontinuo es artificial y creo que perjudicial. [....]. Aun más, yo creoque no debe haber separación entre filosofía y otras ciencias huma-nas, ciencia básica y tecnología". Esto sugiere que Chuaqui teníaclara conciencia de la necesidad de buscar síntesis productivas —deconectar todo con todo— a través de la reflexión profunda acerca delos fundamentos de cada ciencia. Esta fue la solución que él encon-tró para resolver los antagonismos que enfrentó en su propio caminointelectual y la que siguió luego aplicando consecuentemente.

En sus investigaciones, como ya se observa de acuerdo a lo dichoanteriormente, Chuaqui buscó la misma integración. Ello no sólo serefleja en las palabras citadas anteriormente sino directamente ensus áreas de intereses. Por una parte, investigó en áreas tan abstrac-tas como el análisis no standard, la teoría impredicativa de clases, ylos fundamentos de la probabilidad. Y sin embargo, vio en todasellas posibilidades de investigación aplicada. La forma que ideó paracapturar las relaciones entre lo más abstracto de su producción y suseventuales aplicaciones fue de nuevo original y penetrante. Dare-mos aquí un solo ejemplo relacionado con su obra más ambiciosapublicada dos años antes de su muerte y titulada Truth, Possibilityand Probability; New Logical Foundations of Probability andStatistical Inference. Este libro propone en lo general una interpre

15

tación novedosa de la probabilidad basada en los conceptos deposibilidad y verdad lógica, que explica tanto los usos epistémicoscomo los usos en teorías científicas de la probabilidad y captura lasintuiciones originales de los fundadores del cálculo de probabilida-des. En esta obra se encuentran variados ejemplos de aplicación,sobre todo relacionados con la teoría de la decisión en el ámbito dela medicina y el derecho. Sin embargo, junto con aplicaciones directasde su formalismo, Chuaqui brinda ejemplos informales de aplicación,que sugieren cómo dicho formalismo puede servir para zanjar cues-tiones prácticas fundamentales. El ejemplo que consideraremos aquídiscute la forma en que dos principios probabilísticos defendidosextensamente por Chuaqui, el Principio de Inferencia Directa (PID)y el de Inferencia Inversa (PII), subyacen en los modelos de diag-nóstico médico de una enfermedad. PID dice, formulado de la maneramás sencilla posible, que podemos inferir, a partir de la creencia deuna persona p en el tiempo t que la probabilidad aleatoria de unsuceso A es r, que el grado racional de la creencia de p en A (i.e. laprobabilidad epistémica de A) también es r. Por contraste a PID, quenos lleva a aceptar hipótesis propuestas, PII es un principio de infe-rencia que permite rechazar hipótesis. Formulado igualmente demanera simplificada, PII dice que, dado un dispositivo aleatorio (unconjunto de resultados posibles) que debemos explicar y un conjuntoalternativo de hipótesis epistémicamente posibles (un modelo en laterminología de Chuaqui) para ese propósito, rechazaremos una hi-pótesis K del último conjunto si hay un experimento discriminadorE para K que tiene un resultado a tal que la probabilidad de a es bajao algo peor en relación a K. Para entender completamente PII —un genuino aporte metodológico de Chuaqui— deberíamos tambiénespecificar las definiciones de algunas nociones involucradas en ladefinición anterior como son las de resultado peor, experimentodiscriminador y regla ideal de rechazo, entre otras. Ya que nopodemos hacer esto en esta breve presentación, nos limitaremos acontinuación a comentar su ejemplo y las consecuencias prácticasque de él se derivan.

16

Si admitimos que cada enfermedad tiene una causa que producediferentes racimos de síntomas entonces, según Chuaqui, la primeraimplica un dispositivo aleatorio que determina los racimos posiblesde síntomas que se presentan en diferentes personas. Así concebidas,las enfermedades se pueden interpretar como procesos estocásticosque evolucionan en el tiempo. A su vez, en una persona dada, loscambios evolutivos de la enfermedad se manifiestan como diferen-tes racimos de síntomas. Lo original de esta visión es lo quellamaríamos filosóficamente, su modalismo. Es decir, Chuaqui con-cibe la naturaleza de la conexión entre las diferentes alteracionescorporales producto de la evolución en el tiempo de la enfermedadcomo posibilística, en el sentido que las alteraciones en un ciertotiempo determinan las posibilidades de alteración en los tiempossucesivos (y sus probabilidades asociadas). Por otra parte, la relaciónentre las alteraciones y los síntomas también puede interpretarsemodalmente, es decir, ciertas alteraciones determinan un rango deracimos posibles de síntomas (con sus respectivas probabilidades) yno un racimo específico. De esto se desprende que Chuaqui aceptacierto realismo o primitivismo causal: él cree que existen procesoscausales reales (los que producen las alteraciones corporales) y portanto que existe cierto orden causal subyacente. Es este orden el quepermite determinar (y descartar) posibilidades sucesivas en el tiem-po y con ello asignar probabilidades. De ahí que su causalismo seaprobabilístico sólo en un sentido derivado (esto seguramente afecta-rá también la concepción general de indeterminismo que defendíaChuaqui pues, al menos, lo atenuará). A continuación Chuaqui con-sidera un modelo bayesiano de diagnóstico médico basado en el PIDy empleado en modelos computacionales. Luego de examinar dosvariantes de aplicación del modelo bayesiano, Chuaqui arriba a laconclusión que dicho modelo enfrenta dificultades de adecuaciónque llevarán a cometer serios errores de diagnóstico, siendo ladificultad más grave el hecho que el modelo asume que los síntomassólo pueden dar evidencia para una categoría de enfermedades perono para una enfermedad particular sufrida por un sujeto particularFrente a esto, Chuaqui recomienda utilizar su PII (aunque sinabandonar PID,

17

o sea sin abandonar la regla bayesiana) para hacer el diagnóstico.Es decir, en este caso, asumimos que existen hipótesis alternativaspara la explicación de los síntomas del paciente, donde cada hipótesisexige que el paciente tenga una enfermedad particular o una combi-nación de enfermedades. Por lo tanto, el paciente no es escogido apartir de un conjunto de pacientes, sino que es considerado indivi-dualmente. Ahora bien, al comparar, en un caso más realista, ambosmodelos se ve la plausibilidad del de Chuaqui. Si suponemos queexiste un solo síntoma S que se presenta en una enfermedad (Mi) yque ha sido observado (lo que llamaríamos en medicina, un síntomapatognomónico), entonces en el modelo bayesiano tenemos quePr(S/Mi )=0 para todo j≠i. Usando la regla bayesiana obtenemos

Pr ( S / Mi) Pr Mi Pr ( Mi / S) = ———————– = 1 Pr ( S / Mi ) Pr Mi

como se esperaría. Sin embargo, esto bloquea pensar en la enfer-medad desde un punto de vista evolutivo, es decir, no podemos aplicarde nuevo el modelo bayesiano pues él nos obliga a aceptar la enfer-medad dado que esta tiene probabilidad uno. Empero, cambios debidoa la observación de otros síntomas no previamente detectados, comoes obvio, aún siguen siendo lógicamente posibles, lo que podría con-secuentemente alterar el diagnóstico. El modelo de Chuaqui permitetal posibilidad. Aplicando PII al mismo caso (y desconsiderando losdetalles) obtenemos PrD [E=S] = 0 para todo j≠i.1 Inicialmente yaque todos los síntomas peores que S para Mj toman probabilidadcero, la probabilidad del rechazo de Mi es cero y por tanto debe seraceptada. Sin embargo, si suponemos que otros síntomas aparecen,aunque el rechazo de Mi sea muy improbable, se puede plantearfinalmente su rechazo. Pero, en este caso, esto significaría que cual

1. PrD(S) es la probabilidad del síntoma S en el paciente que tiene la enfer-medad M y, por lo tanto, es distinta de Pr(S/M), ya que no tenemosninguna distribución común de probabilidad para todas las enfermeda-des. PrD(S) corresponde al concepto de likelihood matemática de Fischer.

18

quier Mj debería permanecer rechazada. En tal caso el modelo deChuaqui permite considerar dos opciones: o que las alternativas con-sideradas no son exhaustivas o el rechazo ya sea de la nueva evidenciao (tal vez lo más sensato) del síntoma patognomónico. La posibilidadde considerar siempre estas alternativas le da obviamente al modelode Chuaqui una eficacia práctica y una plausibilidad de las cuales nopuede gozar el modelo bayesiano. Este ejemplo hace claro, por tanto,que ni siquiera en sus trabajos más abstractos Chuaqui se apartó delideal de la síntesis y de la conexión con los asuntos humanos másurgentes.

Finalmente, en su labor educativa, como pueden atestiguar todoslos que trabajamos cerca de Chuaqui, esta actitud de integración eraaún más palpable pues, como él indicaba explícitamente en el dis-curso citado al comienzo, la encarnaba en el aula al conectar lamatemática con la filosofía. Por ejemplo, sus investigaciones en fun-damentos de la matemática lo llevaron a la filosofía de la matemática,y de allí a la filosofía de la ciencia, y de ahí, a la filosofía en general.Esto lo convirtió en un insistente defensor y difusor del platonismomatemático contemporáneo. Además se interesó crecientemente porlas interpretaciones modelo-teoréticas de la estructura de las teoríascientíficas en la línea de Sneed, Balzer y Moulines, cuando la discu-sión sobre estas materias en las aulas filosóficas chilenas simplementeno existía. Desde una posición filosófica más general, consumió unaparte importante de sus esfuerzos teóricos intentando convencernos,en el aula y fuera de ella, que el escepticismo (en cualquiera de susformas) era inviable. El sostenía que la única manera de garantizarla objetividad o la intersubjetividad del conocimiento era no intentarninguna justificación de él. Cualquiera de estas justificaciones debíanfinalizar, a su juicio, en idealismos o cuasi-idealismos y por tanto seconvertirían en victimas potenciales de la voracidad del escéptico.Finalmente, como los que lo conocían intuían, esta última convicciónfilosófica estaba, al menos, sugerentemente conectada con sus con-vicciones religiosas, pues, como creyente comprometido, él se sentíapróximo a cierta forma de fideísmo de acuerdo a la cual toda necesi-dad de justificación de la verdad revelada pierde sentido. Ahora se

19

puede adivinar entonces cómo y con qué intensidad Chuaqui vivíael desideratum de la integración y la unidad de conocimientos.

Por otra parte, esta actitud de integración, entraba en armoniosoacuerdo con su actitud general ante la vida y las personas: su tole-rancia, su sencillez, su paciencia y sobre todo su generosidad eransin duda los más persuasivos y cálidos instrumentos de difusión desus profundas y muchas veces áridas convicciones intelectuales.Déjesenos decir que en esto la comparación con Carnap es casiinevitable y en nada exagerada. Como Carnap, la tolerancia y lagenerosidad atravesaban tanto su vida personal como su vida inte-lectual y le daban un sello propio a su relación con los demás, fuesencolegas, alumnos, o simples desconocidos animados por el simpledeseo de saber. Y como Popper recuerda de Carnap también, RolandoChuaqui vivía al igual que el segundo en una quieta pero absortadevoción a los problemas teóricos, de la cual sólo lo sacaba su inten-so deseo de escuchar críticas y observaciones.

Hay un célebre dictum atribuido al filósofo norteamericanoDonald Davidson que dice "es difícil incrementar la pasión sindisminuir la verdad". Sin embargo este dictum no puede ser verdaderoal menos de Chuaqui pues de la manera que él escogió vivir su propiodictum —que todo está conectado con todo—, la pasión fue unvehículo para la búsqueda la verdad y viceversa. Esperamos por elloque esta publicación y las venideras, atestigüen que Chuaqui estuvoentre nosotros para enseñarnos que ambas, la pasión y la verdad,forman el continuo elemental sobre el cual toda vida intelectualadquiere su grandeza y su último sentido.

Wilfredo Quezada

Renato Lewin

20

LOGIC AND ONTOLOGY

Oswaldo Chateaubriand

LOGIC AND ONTOLOGY

Oswaldo Chateaubriand

AbstractIn this paper I discuss the question whether, and in what sense,

logic can be considered an ontological theory. After drawing someconnections between Aristotle’s conception of logic, Frege’sdevelopment of logic, and the further development of modern logic,I conclude that the character of modern logic is fundamentallymetaphysical, in a sense that includes both ontology andepistemology. The ontological aspect of logic is related to Aristotle´sview concerning a first science that formulates the most generalprinciples of reality as such. I see Frege’s development of higherorder logic as a hierarchy of objects and concepts as a partialrealization of Aristotle’s idea. The epistemological aspect of logicis related to the theory of logical deduction, and to the developmentof the axiomatic method as a methodological method for theoreticalscience, which also goes back to Aristotle and was greatly extendedby the modern development of logic. As part of my discussion I alsoexamine critically Quine’s opposing view that logic does notformulate general laws about the structure of reality, but that it isbased on grammar and truth. I argue that in spite of his disclaimers,Quine’s conception of logic also depends on general metaphysicalconsiderations.

23

ResumenEn este texto me ocupo de la cuestión de sí la lógica puede consi-

derarse una teoría ontológica y en que sentido. Luego de estableceralgunas conexiones entre la concepción de la lógica de Aristóteles,el desarrollo de la lógica por Frege y el desarrollo posterior de lalógica moderna, concluyo que el carácter de la lógica moderna esfundamentalmente metafísica, en un sentido que incluye tantoontología como epistemología. El aspecto ontológico de la lógicaesta relacionado con la concepción de Aristóteles acerca de unaciencia primera que formule los principios más generales de larealidad en cuanto tal. Considero que el desarrollo de Frege de lalógica de orden superior como una jerarquía de objetos y conceptosconstituye una realización parcial de la idea de Aristóteles. Losaspectos epistemológicos de la lógica están relacionados con la teoríade la deducción lógica y con el desarrollo del método axiomáticocomo un método metodológico para la ciencia teórica, el cual tambiénse remonta a Aristóteles y que fue ampliamente extendido por eldesarrollo moderno de la lógica. Como parte de mi presentacióntambién examino críticamente la posición opuesta de Quine, quesostiene que la lógica no formula leyes generales de la estructura dela realidad sino que esta basada en la gramática y la verdad.Argumento que a pesar de sus alegaciones, la concepción de Quinede la lógica también depende de consideraciones metafísicasgenerales.

PRELIMINARY REMARKS

I was very honored to be invited as the main speaker for theSéptimas Jornadas Rolando Chuaqui Kettlun. I met Rolando in 1963when we were both students in the Group of Logic and Methodologyof Science at Berkeley. After he went back to Chile we did not meetagain until 1978, when I was back in Brazil and he invited me to theFourth Latin American Logic Symposium that he organized inSantiago. We met often thereafter at other Latin

24

American and Brazilian Logic symposia. His death in 1994 wasa great loss to all of us, his friends and colleagues, and to logic andfoundational studies in Latin America.

Rolando and I defended a Platonist view of mathematics, whichwas the subject of my talk «Platonism in Mathematics» at the FourthLatin American Logic Symposium —which was part of a longermanuscript that is only being published now (Chateaubriand2005a)— and the subject of a talk «Platonism as PhilosophicalFoundation of Mathematics» by Rolando at the Third BrazilianConference on Mathematical Logic the following year —publishedin the proceedings of the conference (Chuaqui 1980). In my talk atthe Jornadas I commented at some length Rolando’s excellent paper,but taking exception with his view that the paradoxes had shownthat any robust form of Platonism in logic and in mathematics had tobe abandoned. Such a form of Platonism is elaborated and defendedin my book Logical Forms (Chateaubriand 2001 and 2005), and Isummarized some of the ideas for logic as formulated in my book.The present text, extracted from the introduction (Chateaubriand2001: 13-41), gives an outline of my view of the connection betweenlogic and ontology.

1. LOGIC AS AN ONTOLOGICAL THEORY

Logic has always been centrally concerned with truth, and truthhas been traditionally conceived as an expression of what is real.The strict connection between truth and being was emphasized byPlato and by Aristotle. It was also Frege’s view of truth, though hegave it a new twist by postulating two objects, the True and the False,to which true statements and false statements refer. The connectionbetween logic and truth also goes back to Plato and Aristotle, butFrege stated it in a very specific and distinctive way: logic formulatesthe laws of truth.1

1. Frege opens his paper «Thoughts» with the following well-knownwords:"Just as ‘beautiful’ points the way for aesthetics and ‘good’ for ethics, so dowords like ‘true’ for logic. All sciences have truth as their goal; but of

25

If logic has as at least part of its task the investigation of laws oftruth, and if truth is an expression of reality, then an aim of logic isthe investigation of laws of being. The grounds of this ontologicalaspect of logic were explicitly laid down by Aristotle in theMetaphysics, where some of the basic laws of logic were held to beamong "the most certain principles of all things". The law of non-contradiction in particular, which is still considered to be the mostfundamental law of logic, was stated by Aristotle as "the most certain"of all such principles (cf. Metaphysics 1005b10-35). Evidently, theformulation of such principles depends on a categorization of reality,and the traditional categorization of reality that has been central tologic is the categorization in terms of objects and properties, orparticulars and forms, deriving from Plato. It is through thiscategorization, and the notion of application (or instantiation, orparticipation), that the principles of logic are formulated by Aristotleas ontological principles, whether directly or in terms of truth. Theprinciple of non-contradiction, for example, is formulated both asthe principle that the same property cannot apply and not apply (atthe same time, in the same respect) to the same subject, and as theprinciple that

logic is also concerned with it in a quite different way: logic has much thesame relation to truth as physics has to weight or heat. To discover truthsis the task of all sciences; it falls to logic to discern the laws of truth. Theword ‘law’ is used in two senses. When we speak of moral or civil lawswe mean prescriptions, which ought to be obeyed but with which actualoccurrences are not always in conformity. Laws of nature are generalfeatures what happens in nature, and occurrences in nature are always inaccordance with them. It is rather in this sense that I speak of laws oftruth. Here of course it is not a matter of what happens but of what is."(Frege [1918] 1984: 351).

This view of logic seems to have been developed by Frege independentlyof the specific treatment of truth in «On Sense and Reference» (Frege [1892]1984), where the truth values the True and the False are introduced. It ispresented in some detail in the introduction to the first volume ofGrundgesetze (Frege 1893) and in two manuscripts titled «Logic» (Frege([1879-1891] 1979 and Frege ([1897] 1979) in his Posthumous Writings(Frege 1979). In Grundgesetze (pp. xiv-xv) Frege comments in more detailon the two senses of ‘law’.

26

contradictory propositions cannot be true (Metaphysics 1005b18and 1011b13). Although the connection between these formulationsof the principle of non-contradiction is quite close, because anyproposition is supposed to attribute a property or relation to somesubject(s), they reflect two rather different analyses of logic, whichare the basis for the division of modern logic into propositional logicand predicate logic.

Propositional logic is generally considered to be a part of predicatelogic, but there is a fundamental difference between the two.Propositional logic can be seen as a very broad theory of truthrelations between propositions, quite independently of any analysisof the logical structure of propositions and of their linguisticexpression. As a general theory of truth relations between propositionsit is natural to say that propositional logic formulates laws of truth.The principle of non-contradiction in its second formulation can betaken as the fundamental principle of propositional logic.

Predicate logic has two distinct aspects. On the one hand it canbe seen as a general theory of properties and objects based on somespecific logical properties and operations. Its laws are laws of beingin a sense that is very close to Aristotle’s. The principle of non-contradiction in its first formulation is one of the fundamental lawsof predicate logic. In this sense predicate logic is not a theory oflogical truth, or of logical implication, but a theory of reality. Althoughone can say that the laws of predicate logic are truths of logic, itdoes not follow that predicate logic is a theory of logical truth in thesense of a classification of sentences or propositions.

The distinction between formulating laws of logic as laws of beingand characterizing logical truth and logical implication, brings outthe other aspect of predicate logic. This involves a concern withpropositional structure and its relation to reality. The connectionbetween predicate logic and propositional logic derives from theanalysis of the logical structure of propositions.

The modern theory of logical form is a theory of propositionalstructure in terms of the categories of objects and properties and ofspecifically logical properties and operations. Through thisstructuring

27

one can bring together the logical analysis of the general featuresof reality with the logical analysis of the truth relations betweenpropositions.

One of the most fundamental truth relations between propositionsis the relation of material implication, which is basically a relationof factual truth preservation. A proposition materially implies anotherif it is not the case that it is true and the other is not true. Logicalimplication is a stronger relation than material implication, becauseit derives from the logical character of the propositions, and notmerely from their truth-values. That is, logical implication is anexpression of logical necessity, rather than a factual relation betweenpropositions. But truth preservation is a necessary feature of anyimplication relation, and the usual analysis of logical implication(or logical consequence) in terms of interpretations is a way ofreducing logical implication to material implication plus a totalityof interpretations. But even if one accepts this analysis of logicalimplication, it depends on certain metaphysical assumptions.

An interpretation can either be conceived as a way in which theworld could be, or as an aspect of how the world is. In order for thereduction of logical implication to material implication to work, onemust either assume that reality could contain infinitely many objectsor that it does contain infinitely many objects, depending on whichapproach one takes. The second approach normally involves theassumption that reality contains infinitely many mathematical objects—as well as infinitely many properties (or sets), in fact. If this isindeed a feature of reality, it is presumably a necessary feature of it,and it can only be accounted for in those terms. It would be ratherodd to have the analysis of logical implication depend on whether ornot, as a matter of fact, there are infinitely many objects andproperties in the world.

It seems to me, therefore, that the combination of propositionaland predicate logic should be seen as an investigation of the generalstructure of reality, including possible and/or necessary features ofit, an account of propositional structure, an account of truth relationsbetween propositions, and an account of properties and operations

28

that are specifically logical properties and operations. This isessentially what I mean by logic as an ontological theory.

2. QUINE’S VIEW OF THE RELATION BETWEEN LOGIC AND

ONTOLOGY

A rather different approach to the question of the relation betweenlogic and ontology is due to Quine, who claims that if we know thata system of deduction is sound (i.e., is truth preserving) and complete(i.e., can deduce all logical consequences), then we can discard theappeal to ontology in favor of a syntactic notion of deducibility. Ifwe assume an ontological analysis we can justify a syntactic analysis,and therefore we can get rid of the ontological analysis. It is a caseof throwing away our ladder after we have climbed it.

Quine offers this argument in various places to show that ontologycan be eliminated from logic in favor of deducibility, or of proofprocedures.2 Of course, the soundness and completeness theoremshold for propositional and first-order logic, but completeness doesnot hold for other logics such as second-order logic. Well, so muchthe worse for second-order logic, says Quine —who does not likesecond-order logic anyway.3 But second-order logic cannot be soeasily discarded, because, among other things, it is an integral partof mathematical practice.4

2. See "Logic and the Reification of Universals" (Quine 1961: 116). Thesame theme is developed in Philosophy of Logic, (Quine 1970: 56-58).3. Quine’s objections to second-order logic are in Philosophy of Logic,(Quine 1970: 68-72). At the end (p. 72) he uses the fact that there is nocomplete proof procedure for set-theory and second-order logic as the reasonto place them outside the scope of logic. Broadening the totality ofinterpretations for second-order logic to interpretations of a certain kind,Henkin proved a completeness theorem for this logic. But by generatingcompactness —i.e., that if the sentence α is a logical consequence of a setof sentences Γ, possibly infinite, then α is a logical consequence of a finitesubset of Γ— this seems to falsify the notion of logical consequence ofsecond-order logic. Quine’s arguments against second-order logic arecritically discussed by Boolos in «On Second-order Logic» (Boolos 1975).4. There is a detailed examination of this question in Shapiro (1985)"Second-order Languages and Mathematical Practice".

29

What Quine suggests about second-order logic is that we shouldreplace it by a first-order counterpart such as some system of settheory. But, on the one hand, this does not settle the question ofmathematical practice, because that practice involves second-orderlogic in a way that is not simply reducible to first-order set theory.And, on the other hand, the claim that it is the existence of proofprocedures that characterizes logic begs the question; Quine doesnot deny the ontological character of second-order logic, butdisqualifies it as logic precisely because it cannot be reduced to purelysyntactic proof procedures.

It is essentially the restriction of logic to first-order logic,beginning in the twenties with Skolem and Hilbert5, and stronglydefended by Quine, that has encouraged the idea of proof as syntactic.The appeal to the completeness theorem then suggests this ratherformalistic approach of Quine’s to the question of ontology in logic.His argument depends on the idea, characteristic of linguisticconceptions, that what matters in logic are the classifications wemake. It suggests that any appeal to ontology, or to epistemology forthat matter, is basically irrelevant aside from generating a certainclassification of sentences. If we can show that this classificationcan be recovered by purely syntactic means, it follows that we canget rid of whatever ontological or epistemological assumptions weused to begin with.

What Quine does not do, but in my view should do for theargument to show the priority of proof over ontologicalconsiderations, even for first-order logic, is to discuss the notion ofproof, or deduction, aside from a purely formal characterization ofproof procedures. What makes this notion philosophically central tologic? It is quite remarkable that in Quine’s extensive work on logicwe find no attempt to discuss the notion of proof philosophically.

Quine’s elimination of ontology in favor of proof procedures ismore in the nature of a reduction to grammar than a reduction toproof in any significant sense, and his main view of logic is indeedin5. An interesting historical discussion of this question is in Moore (1988)

"The Emergence of First-order Logic".

30

terms of grammar and truth rather than proof. As he puts it inPhilosophy of Logic: "Logic is, in the jargon of mechanics, theresultant of two components: grammar and truth." (Quine 1970: 60)6

To the extent that Quine holds truth to be a central concern of logic,he agrees with Frege. But why should logic depend on (or resultfrom) grammar? Because the notion of logical truth, which is themain notion of logic for Quine, is held to be characterized by grammarand truth.

Let us interpret grammar as logical form —or logical grammar.(Quine’s formulation to which I referred above is supposed to be ageneralization of this.) A sentence is a logical truth if all sentenceswith the same logical form are true; or, alternatively, a sentence is alogical truth if all its substitution-instances are true. If this is notsome sort of cosmic coincidence, then there must be something aboutthe logical form that guarantees it. The standard idea is that it is theinterpretation of the logical symbols that guarantees it. In doinginterpretations that is the one thing that is kept fixed; one is notallowed to fiddle with the interpretation of the logical symbols. Thisalready suggests that the grammar is not so meaningless after all.Why not interpret those symbols in any way we want? Because theyare the logical symbols characteristic of logical form. But what dothey stand for? It would seem natural that they would stand for logicalnotions, or logical properties, or logical operations of some sort, butin practice they do not stand for anything. They are logical notions,in some sense, but their content seems to be to be translated awayinto other expressions of them.

In order to define logical truth substitutionally Quine assumes alanguage that is sufficiently strong to include the truths of first-orderarithmetic. His substitutional definitions of logical truth are thenjustified through the fact that any interpretation for first-order logiccan be reflected in such a language —which again depends on anappeal to the completeness theorem and to a form of the Löwenheim-Skolem theorem.

6. His grammatical characterization of logical truth is introduced in p. 58.

31

Quine’s grammatical characterization of logical truth is supposednot only to avoid an ontological interpretation of logic, but also toavoid any appeal to possibility, necessity, and meaning in connectionwith logic. The sense in which ontology, necessity, possibility, andmeaning are avoided by these grammatical definitions is notaltogether clear, however. In the case of interpretations we knowthat if we are dealing with actual interpretations rather than possibleinterpretations, we depend on there being enough things in reality togive us all the interpretations we need. Similarly, if we are dealingwith sentences which are actually true rather than possibly true, wealso depend on there being enough things in reality to disqualifyvarious sentences as logical truths —for example, a sentence thatasserts that there are at most n objects, for sufficiently large n. If weassume that reality contains the objects and structures of mathematics,then there is no problem, and something like this is generally assumed.Quine’s assumption that his language contains the truths of first-order arithmetic is a version of precisely that assumption.

And Quine must appeal to arithmetical truth in an ontologicalsense because the attempt to replace the ontological notion ofmathematical truth by a structural (syntactic) notion of mathematicaltruth characterized in terms of proof did not work. What are thebasic properties of truth? The laws of non-contradiction and ofexcluded middle. And what are their deductive counterparts for formalsystems? Consistency and completeness of the formal system.Consistency for a formal system means that contradictions are notprovable in that system; completeness for a formal system meansthat of a pair of contradictory sentences of the system at least one isprovable in it. Therefore, if we have a consistent and complete formalsystem, the notion of theorem of the system may be considered areasonable substitute for the notion of truth, at least in the sense thatit has two very fundamental features of truth. The problem is thatany formal system that includes a modicum of arithmetic —i.e.,that can represent the primitive recursive functions— is eitherinconsistent or incomplete; which is the content of Gödel’s firstincompleteness theorem7.

32

7. The philosophical (and mathematical) project of replacing the notionof

Quine claims that his assumption is very modest, but from anontological point of view he is assuming that reality has a rathercomplex infinite structure, which on any reasonable view should bea necessary feature of it. So, in effect, even for first-order logic, hisargument depends on assumptions which are naturally taken to beabout the necessary structure of reality rather than about grammarand about truth in the sense of a mere classification of sentences.

3. LOGICAL PROPERTIES, LOGICAL TRUTH, AND LOGICAL FORM

Logic is supposed to be universal in some sense, yet not anontological theory. It is actually suggested that this derives preciselyfrom the universality of logic. In terms of interpretations thesuggestion is that since logic must hold in every interpretation, andinterpretations come in all shapes and sizes, it cannot be aboutanything in particular. Another way of putting the thesis is to saythat logic has no existential commitments; that it does not imply orpresuppose the existence of anything.8

Everybody would agree, of course, that logic should not implythe existence of non-logical entities such as tables and chairs —something like this was one of the main problems with Russell’saxiom of infinity9. But the question is, or should be, whether logicsays something about the structure of reality, and in particularwhether there are specifically logical entities of some sort. In myview there are.

8. A very explicit formulation of this view is in Hale "Is PlatonismEpistemologically Bankrupt?" (Hale 1998: 92).

9. This axiom is part of the system of Principia Mathematica, and itsrejection as a logical axiom is entirely justified. The problem was notonly the assertion of existence of non-logical entities, but the assertionthat there are infinitely many such entities.

mathematical truth by the notion of theorem of a first-order formal systemwas an important aspect of Hilbert’s project for the foundations of mathe-matics. This project has characteristics that are similar to those of otherphilosophical projects that attempt to justify transcendental notions interms of a given that is subjectively clear —phenomenalism, forinstance— and was definitely refuted, at least in its original formulation,by Gödel’s theorems.

33

If we assume the kind of categorization of reality which Fregeused, and which still underlies standard logical practice, logic treatsof objects, properties (concepts) of objects, relations among objects,properties of properties of objects, relations among properties ofobjects and objects, etc. That is, one has a hierarchy of levelsbeginning with objects (level 0), continuing with properties andrelations of theseobjects (level 1), and so on, indefinitely. Are thereamong these entities some that have the character of universalitythat one would expect of logical entities?

Leaving aside the question as to whether there are logical objectsat level 0, suppose that we start at level 1.10 There seem to be onlytwo kinds of relations at this level that are universal in the requiredsense; namely, Identity and Diversity relations —I will capitalizelogical properties. There are actually infinitely many of these; forexample, there are pairwise Diversity relations for all arities (i.e.,number of arguments) greater or equal than 2.

But at the second level is where things begin to get reallyinteresting. As Frege saw it, the first-order quantifiers (quantifyingover level 0) appear at level 2 as properties of properties of level 0objects. Frege emphasized that existence is not a property of objectsbut of concepts —his terminology for properties. ‘There arephilosophers’ asserts something about the property of being aphilosopher —namely, that it does not have an empty extension—and not about the individuals who are philosophers.11 Therefore, theuse of quantification over level 0 objects «generates», in a mannerof speaking, a large number of logical properties of level 2.Subordination between level 1 properties, for example (Aristotle’s‘All A is B’); Exclusion (‘No A is B’); etc. And as Frege showed inGrundlagen (Frege 1884), the Cardinality relations between level 1properties —e.g., the level 1 property F applies to the same numberof level 010. The assumption that there are specifically logical objects at level 0 raises

some difficult questions that I will not discuss here.11. One can hold, however, that Existence is a property of objects, in which

case it would appear at level 1. It would also appear at all higher levelsas a property of properties distinguishable from the property expressedby existential quantification.

34

objects as the level 1 property G— also appear at level 2. Andthere are many, many more. In fact, there are infinitely many logicalproperties at all levels.

This view of logical properties also suggests an approach to logicaltruth that is independent of linguistic forms and that shows theconnection between the laws of logic and the logical truths. Is it alogical truth that every object is self-identical? Well, yes, in the sensethat it is a law of logic that for any object x, x = x. This can beunderstood as asserting Reflexivity —i.e., a certain level 2 propertyexpressed by the universal quantifier— of the level 1 Identity relation.The logical truth ‘∀x (x = x)’ is an expression of this feature ofIdentity and, therefore, an expression of the logical law.

But is it the case that specific sentences of the form ‘a = a’ arelogical truths? I would say that sentences of the form ‘a = a’ are notlogical truths, in the sense of being true in virtue of logical orgrammatical form, because logic does not guarantee that theexpression substituting ‘a’ has denotation, and, therefore, does notguarantee that a sentence of that form is true. If one holds, withFrege, that sentences containing expressions that do not denote areneither true nor false, then it is quite obvious that grammar is not asource of logical truth —because it is not a source of truth. Since infact this holds for any sentences containing non-logical expressions,be they names or predicates, the only guaranteed logical truths willbe sentences such as ‘∀x (x = x)’ consisting exclusively of logicalnotions. What accounts for their truth, however, are the logical notions(or properties), not grammar.

Sentences can only be considered to be logically true in somethinglike a grammatical sense relative to certain assumptions concerningthe nature of the logical expressions and the denotation of the non-logical expressions that they contain. This is what one does in theusual semantic characterization of logical truth by limiting the totalityof interpretations to those in which the logical symbols denote (orget translated as) the «right» things, and the non-logical symbolsalways denote something. What this suggests, however, is that it isthe ontological analysis, rather than the grammar, that accounts forlogical

35

truth. To assume that the non-logical «constants» must alwaysdenote is tantamount to declaring that one wants to deal with reality,not with grammar.12 Why not then formulate the law of identity bysaying that every object is (necessarily) self-identical rather thantalk about grammar?

In addition, by taking logical truth to be a feature of sentencesone is assuming that each sentence has a definite logical form. Butas far as ordinary sentences are concerned none of these assumptionsare justified. What one really does is to work with a language ofpure forms, the logical languages, conceived syntactically. It seemsmore natural to conceive of these languages as directly expressingthe logical properties than as expressing sentential forms. That is,the usual so-called logical grammars are really theories of logicalproperties, and the linguistic forms represent these properties. Thereal forms are the properties themselves.

The combination of grammar and truth only seems to workbecause one makes enough ad hoc assumptions to guarantee that thenotion of logical truth will come out right —i.e., in agreement withthe basic ontological content of the laws of logic. If truth is anexpression of reality, logical truth should also be an expression ofreality —it should express certain necessary features of reality. Theidea that logical truth has to do with logical form is natural enough,but the idea that logical form is a grammatical feature of sentences(or is syntactic) seems to me completely unnatural.

Take the sentence ‘Theaetetus is sitting', for instance. Its logicalform is represented by, say, ‘Fa’. In my view it is not the expression‘Fa’ that can be considered to be a logical form, but the logicalproperty Application (or Instantiation) of a certain type; this propertyis expressed linguistically by the juxtaposition of a property letter‘F’ to an object letter ‘a’. I agree that the expression ‘Fa’ represents

12. In Philosophy of Logic Quine (1970) does the same thing in a differentway by leaving names out of his logical grammar and by assuming thathe is only dealing with predicates for which that sort of failure cannotoccur. To each denotationless name then corresponds a predicate withan empty extension.

36

the logical form, but this is not a purely syntactic feature of it. Toanalyze the sentence ‘Theaetetus is sitting’ as having the logical form‘Fa’ is to analyze it as expressing the instantiation of a property byan object, with the specific association of the property ‘sitting’ to‘F’ and the object Theaetetus to ‘a’ —where ‘F’ and ‘a’ are thoughtof as non-logical constants. We may also say that we are analyzingthe form of the sentence ‘Theaetetus is sitting’ as corresponding to acertain type of state of affairs consisting of the instantiation of aproperty in an object.

States of affairs are quite independent of language, and thatIdentity is Reflexive can be considered to be a logical state of affairs;a matter of logical necessity one might say, or a logical law. But foreach object its self-identity is also a matter of logical necessity, thoughit is not a logical law that, say, Hesperus is self-identical. Theexistence of Hesperus is a contingent matter, and so is the existenceof the state of affairs of Hesperus’ self-identity, even though itinvolves a logically necessary feature of Hesperus.

4. LOGIC AS SCIENCE

As Frege said, the laws of logic are not merely laws of whathappens but of what is, in the sense that they express fundamentalfeatures of the structure of reality. The relation of the law of identityto the logical truth that Hesperus is self-identical seems to meanalogous to the relation of a law of physics to a specific consequenceof that law (a physical truth, say) concerning Hesperus. Just as it isnot the primary business of physics to classify sentences into physicaltruths and others, it is not the primary business of logic to classifysentences into logical truths and others. These classifications arederivative from the laws of these sciences. It is precisely because Itake the laws of logic to express fundamental features of reality thatI see logic as a science, or as a theory, rather than as a language.

As other sciences logic came to maturity by the application of theaxiomatic method developed initially by Aristotle. And it was withFrege’s first axiomatization in Begriffsschrift that logic was born as

37

a mature science. Not really by rejecting Aristotle’s logical projectbut by improving on it.13 The axiomatic method is an epistemologicalmethod, and Frege’s axiomatization of logic was just as much partof his epistemology of logic as Newton’s axiomatization of mechanicswas part of his epistemology of physics. Theory making is anepistemological affair. Frege did not base his theory of logic primarilyon an analysis of language but on ontological and epistemologicalconsiderations. Yet his idea of logic as formulating the laws of truthwas also meant to delimit the scope of logic vis-à-vis both ontologyand epistemology.

Frege’s second axiomatization in Grundgesetze was a rather directattempt to express the laws of logic as laws of truth, with the truth-values the True and the False playing a very central role. But giventhe peculiar character of these objects, they seem to be a merelyformal expedient. In his last publications on logic Frege no longerexplicitly appeals to truth-values as objects, although the conceptionof logic as formulating the laws of truth is still there and is expressedin much the same terms that he used in the introduction toGrundgesetze. In «Thoughts» Frege ([1918] 1984) argues ratherstrongly against a view of truth in terms of correspondence,maintaining that it is both obscure and question begging, andconcludes that truth is sui generis and undefinable. It pertains tologic to spell out the contents of this notion in the laws of truth. Itmust be assumed that for him this spelling out is an axiomatic spellingout akin to Newton’s axiomatic spelling out of the contents of thenotion of motion. We do not ask anymore what motion is, in a directdefinitional sense, but what its laws are. Similarly, I see Frege’ssuggestion in «Thoughts» as a suggestion that one should not askwhat truth is in a direct definitional sense, but what its laws are; andthat this is the task for logic. This is not a linguistic (or syntactic)view of logic, though, for truth for Frege is in reality, not in words orin thoughts.14

14. This is quite clear when Frege contrasts his conception of logic to thepsychologistic conception in the introduction to The Basic Laws (1893)(p. xvi).

13. To appreciate the continuity between Frege’s project and that of Aristotlesee Lear (1988) chapter 6.

38

The paradoxes discredited Frege’s system while keeping certainaspects of his formalism more or less above the fray. Eventuallythisformalism became somewhat independent of the philosophicaldispute and gave way to the notion of formal language. There is animportant ambiguity in this notion, however, for one must distinguishthe use of a special notation in formulating one’s theories about realityfrom the notion of formal language in the sense in which mathematicallogic is said to be a theory of formal languages. Frege’s conceptualnotation was an example of the former, though it also inspired thelatter. Frege’s system of notation is linguistic and has thecharacteristics and limitations of language generally. Formallanguages, on the other hand, are not languages at all but abstractmathematical structures, which can even be conceived as generalizedarithmetics15, that are correlated in various ways with othermathematical structures. From a Fregean point of view, they canalso be seen as complex higher order properties.16 The result ofmixing up these two altogether different things is that logic as atheory, in Frege’s sense, gets conceptualized as a formal language,which is both an abstract mathematical structure that can be correlatedwith other mathematical structures, and something linguistic. As alogical language it has some kind of definite content, yet it is not atheory of anything; it is rather like a schema that can be used in theformulation of theories.17 Logic as theory is then the theory of oneor another formal language, or of many of them.

This leads to a view of logic as an autonomous mathematicaldiscipline that studies formal systems. The philosophical content oflogic is not necessarily denied on this view, but it is conceptualizedin terms of philosophical implications of the mathematical theory tobe studied15. See Kleene (1952) §50.16. This was Frege’s point about Hilbert’s formal axiomatization of

geometry. In "The Foundations of Geometry" (Frege [1903] 1984: 374)he argues that what Hilbert’s axiom system defines is a second levelconcept.17. But Frege encouraged this sort of interpretation to some extent byreferring to certain formulas of his concept script as "empty schemata".See «On the Aim of "Conceptual Notation"» (Frege [1882] 1972: 97).

39

in the philosophy of logic. Although there is a certain amount oftruth in this view, I think that it puts the cart before the horse, for asI see it logic is philosophy studied and developed mathematically.Physics did not cease to be physics by being mathematized; similarly,logic did not cease to be metaphysics by being mathematized. Thesense in which mathematical logic is an autonomous mathematicaldiscipline seems to me exactly the same sense in which mathematicalphysics is an autonomous mathematical discipline. This is not todeny the importance of this mathematical development; on thecontrary, I consider it the most significant ontological andepistemological advance in modern times.

The view of logic as metaphysics (in a sense that includes bothontology and epistemology) is not unusual and has been a majorpoint of dispute throughout the century. Opponents of classical logicoften maintain that it should be rejected precisely because they seeit as a metaphysical (realistic) theory. Curiously enough, however,many defenders of classical logic chose to fight on the grounds thatit is not—a notable exception was Gödel, but he was definitely partof a small minority18.

18. Like Frege, Gödel was influenced by Leibniz, and he opens his paper"Russell’s Mathematical Logic" with the following words:

"Mathematical logic, which is nothing else but a precise and completeformulation of formal logic, has two quite different aspects. On the onehand, it is a section of Mathematics treating of classes, relations,combinations of symbols, etc., instead of numbers, functions, geometricfigures, etc. On the other hand, it is a science prior to all others, whichcontains the ideas and principles underlying all sciences. It was in thissecond sense that Mathematical Logic was conceived by Leibniz in hisCharacteristica universalis, of which it would have formed a centralpart." (Gödel [1944] 1964: 211)

40

REFERENCES

Boolos, G. (1975): "On Second-order Logic", The Journal ofPhilosophy, 72, pp. 509-527.

Chateaubriand, O. (2001): Logical Forms – Part I: Truth andDescription. Campinas: Unicamp.

Chateaubriand, O. (2005): Logical Forms – Part II: Logic, Language,and Knowledge. Campinas: Unicamp.

Chateaubriand, O. (2005a): "Platonism in Mathematics", Manuscri-to 28, pp. 201-230.

Chuaqui, R. (1980): "Platonism as Philosophical Foundation ofMathematics", in Arruda, A.; da Costa, N. C. A. y Sette,A. M. (eds.): Proceedings of the Third Brazilian LogicConference on Mathematical Logic. São Paulo: SociedadeBrasileira de Lógica, pp. 35-48.

Frege, G. (1879): Begriffsschrift: eine der Arithmetik nachgeformteFormelsprache des reinen Denkens. Hale: L. Nebert.Translated in van Heijenoort (1967: 5-82), and in Con-ceptual Notation (Frege 1972: 101-203).

Frege, G. ([1882] 1972) "On the Aim of Conceptual Notation", inConceptual Notation (Frege 1972: 90-100).

Frege, G. (1884): Die Grundlagen der Arithmetik. Eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl.Breslau: W. Koebner. English translation: TheFoundations of Aritmetic: A Logico-MathematicalEnquiry into the Concept of Number. Oxford: Blackwell,1950.

Frege, G. ([1892] 1984) "On Sense and Reference", in CollectedPapers (Frege 1984: 157-177).

Frege, G. (1893, 1903) Grundgesetze der Arithmetik, Begriffs-schriftlich abgeleitet I, II. Jena: H. Pohle. Translated andedited by M. Furth: The Basic Laws of Aritmetic:Exposition of the System. Berkeley and Los Angeles:University of California, 1964.

Frege, G. ([1903] 1984) "On the Foundations of Geometry". InCollected Papers (Frege 1984: 273-284).

41

Frege, G. ([1918] 1984) "Thoughts", in Collected Papers (Frege1984: 351-372).

Frege, G. (1972): Conceptual Notation and Related Articles.Translated and edited by T.W. Bynum. Oxford: ClarendonPress.

Frege, G. (1979): Posthumous Writings. Edited by H. Hermes et al.Oxford: Blackwell.

Frege, G. ([1879-1891] 1979) "Logic", in Posthumous Writings(Frege 1979: 1-8).

Frege, G. ([1897] 1979) "Logic", in Posthumous Writings (Frege1979: 126-151).

Frege, G. (1984): Collected Papers on Mathematics, Logic, andPhilosophy. Edited by B. McGuinness. Oxford: Blackwell.

Gödel, K. ([1944] 1964): "Russell’s Mathematical Logic", inBenacerraf, P. and Putnam, H. (eds.): Philosophy ofMathematics: Selected Readings. Englewood Cliffs, N.J.:Prentice-Hall, pp. 211-232.

Hale, B. (1998): "Is Platonism Epistemologically Bankrupt?", inSchirn, M. (ed.): Philosophy of Mathematics Today. NewYork, N.Y.: Oxford University Press, pp. 77-98.

Kleene, S.C. (1952): Introduction to Metamathematics. New Yorkand Toronto: Van Nostrand.

Lear, J. (1988): Aristotle: The Desire to Understand. Cambridge:Cambridge University Press.

Moore, G.H. (1988): "The Emergence of First-order Logic", inAspray, W. & Kitcher, P. (eds.): History and Philosophyof Modern Mathematics. Minneapolis: University ofMinnesota Press, pp. 95-135.

Quine, W.V. (1961): "Logic and the Reification of Universals", inQuine, W. V. From a Logical Point of View. Cambridge,Mass.: Harvard. pp. 102-129.

Quine, W.V. (1970): Philosophy of Logic. Englewood Cliffs, N.J.:Prentice-Hall.

42

Shapiro, S. (1985): "Second-order Languages and MathematicalPractice", The Journal of Symbolic Logic, 50, pp. 714-742.

Van Heijenoort, J. (ed.) (1967): From Frege to Gödel. Cambridge,Mass.: Harvard.

Whitehead, A.N. & Russell, B. (1910-1913): Principia MathematicaI, II, III. Cambridge: Cambridge University Press.

Oswaldo ChateaubriandPontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro - Brasil

oswaldo@rdc.puc-rio.br

43

REVISIONISMO Y COGNITIVISMO EN FILOSOFÍA DE LAS MATEMÁTICAS

Wilfredo Quezada Pulido

REVISIONISMO Y COGNITIVISMO EN FILOSOFÍA DE LAS MATEMÁTICAS

Wilfredo Quezada Pulido

ResumenEn este artículo discutiré las implicaciones metodológicas del

naturalismo de Maddy para la cognición matemáticas. Primero, de-lineo las tesis básicas del revisionismo naturalista interno de Maddy.Luego indicaré el que parece ser el mejor argumento de Maddy afavor de su revisionismo y en contra del holismo confirmacional deQuine: la aceptación del axioma de cardinales medibles (CM). Entercer lugar, precisaré algunas cuestiones sobre revisionismo a la luzde una discusión reciente sobre el tópico, y que sugieren la dificultadcentral de la posición de Maddy: su relativismo epistemológico. Acontinuación, argumento que Maddy no puede liberarse de esterelativismo simplemente porque no puede explicar cómo y porquées posible el cambio en matemáticas y discuto de qué manera estacrítica afecta los argumentos de otros autores así como los argumentosde Maddy a favor de CM. Finalmente, intentaré mostrar, usando lateoría de matemática corporeizada de G. Lakoff y Nuñez cómo sepuede formular una explicación cognitivo-naturalista a favor de con-juntos constructivos. Esta explicación puede dar una indicacióntambién de por qué la mayoría de los teóricos de conjuntos favorecenCM.

47

AbstractIn this paper I will discuss the methodological implications of

Maddy’s mathematical naturalism for mathematical cognition. First,I present the basic thesis advocated by Maddy and her best argumentfor internal revisionism (the acceptance of MC). Second, I examinethe methodological usefulness of holding the distinction externalrevisionism vs. internal revisionism. Third, I discuss theepistemological relativism affecting Maddy’s account and pointedby several authors. I then argue that Maddy cannot deal with thiscriticism simply because she is not concerned to explain how andwhy the change in mathematics is possible. To set out the scene, Idiscuss how this criticism undermines Maddy’s own naturalisticarguments in favor of MC as well as some arguments by other authors.Finally, I show by using Lakoff’s cognitive theory of embodiedmathematics how a cognitive naturalistic explanation for aconstructivist conception of sets can be provided, and thereby Iilluminate in cognitive terms why most set-theorists take side forMC.

INTRODUCCIÓN

Como muestran algunas publicaciones recientes, la discusión acer-ca del revisionismo en filosofía de las matemáticas ha emergido confuerza. P. Maddy en particular ha defendido un revisionismo internode la matemática y rechazado cualquier intento de reforma externade ella. Los orígenes de este revisionismo interno son normalmenteasociados a la concepción naturalista de Quine y a los argumentosantifilosóficos del segundo Wittgenstein. Ambos, como es sabido,rechazan apelar a cualquier filosofía primera para describir la reali-dad. Por otro lado, ya que la matemática es una parte fundamentalde la ciencia, el naturalismo estipula que la primera debe ser tanfalible y corregible como el resto de las disciplinas científicas. Sinembargo, Maddy sostiene que a pesar de su base naturalista, elrevisionismo interno es incompatible con el naturalismo de Quinedebido a que el holismo que caracteriza este último no cuadra biencon los métodos que los matemáticos realmente usan. Por ejemplo,el holismo requeriría que la metodología que rige la práctica de la

48

matemática (que rige cuestiones de aceptación y rechazo de hi-pótesis o teorías en ésta) tome en cuenta desarrollos en la aplicaciónde la matemática a la física. En particular, los matemáticos trabajandoen teoría de conjuntos con cardinales grandes o muy grandes e in-tentando resolver cuestiones relativas a las implicaciones de aceptarel axioma de constructibilidad (V=L) 1 o el axioma que afirma laexistencia de cardinales medibles (CM) 2 deberían tomar en cuentala aplicación de la matemática del continuo en la física cuántica, yaque en ésta rechazamos el supuesto de un continuo material. Pero,como cualquiera podría comprobar, los matemáticos que hacen teoríade conjuntos no muestran más interés en tales desarrollos quecualquier observador neutral. En contraste al holismo naturalista,Maddy favorece por tanto una concepción metodológica radical, que,aunque acepta el naturalismo, rechaza el holismo quineano y seconcentra sólo en la práctica matemática sin tomar en cuenta nadadel resto de la práctica científica. Es esta posición y sus implicacionespara la cognición matemática la que someteremos a investigacióncrítica aquí. De nuestra investigación esperamos que emerja laconvicción de que si bien el naturalismo es la vía correcta para tratarlas cuestiones fundamentales de la filosofía de la matemática, cuandoponemos el foco en la cognición matemática no necesitamos quedarpresos ni del holismo ni del revisionismo interno.1. Este axioma fue propuesto originalmente por Gödel en 1938. ‘V’ co-

rresponde al universo de los conjuntos y ‘L’ a la clase de todos losconjuntos construibles de acuerdo a una condición recursiva (másadelante damos más detalles técnicos). Este axioma implica por tantouna restricción sobre los conjuntos aceptables, pues conjuntos nodefinibles de acuerdo a dicha condición no resultarán aceptables en lateoría estándard de conjuntos. A cambio, V=L implica tanto la hipótesisdel continuo como el axioma de elección y permite por tanto respondermuchas cuestiones abiertas en la mencionada teoría. Sin embargo, comotendremos oportunidad de mostrarlo, este axioma genera máscontroversia que acuerdo entre los teóricos conjuntistas.

2. Un cardinal medible, en primera aproximación, es un cardinal más gran-de que un cardinal inaccesible con una medida no trivial K-completacon dos valores definida sobre todos los subconjuntos de K. Asi comolos cardinales inaccesibles implican V=L, los cardinales mediblesimplican, como probó Scott, su rechazo.

49

1. LA POSICIÓN DE MADDY: REVISIONISMO NATURALISTA

INTERNO (RNI)La discusión sobre revisionismo vs. antirevisionismo en mate-

máticas, ha sido enfatizada recientemente entre otros por Burgess yRosen (1997), Maddy (1997) y Shapiro (2000). En particular, P.Maddy, a cuyo trabajo brindaremos una atención preferente en esteartículo, ha replanteado la cuestión de la imposibilidad de unrevisionismo externo. La posición de Maddy se puede resumir en unconjunto de cinco tesis que especificaré a continuación con elpropósito de facilitar la discusión.

A. Rechazo al revisionismo externo:En este caso Maddy recomienda olvidarse de cualquier preten-

sión filosófica de introducir reformas en las teorías matemáticas,como aquellas propiciadas por Frege, Russell o Brouwer. SegúnMaddy,

"[...] si nuestra explicación de la matemática entra en conflicto conla práctica matemática exitosa, es la filosofía la que debe ser aban-donada [...] [L]a meta de la filosofía de la matemática es explicar lamatemática que se practica, no propiciar reforma." (Maddy 1997:161)

B. Aceptación del naturalismo quineano:Maddy argumenta extensamente a favor de introducir el

naturalismo epistemológico de Quine a la matemática. Esta última,según ella, es parte de una indagación de la realidad "falible y corre-gible pero no susceptible de ser sometida a ningún tribunalsupracientífico" (Quine 1986: 92).

C. Aceptación de un revisionismo metodológico interno:Según Maddy, ya que la ciencia natural misma, de acuerdo a las

enseñanzas epistemológicas de Quine, es una empresa autocríticaque desarrolla y debate sus propias normas metodológicas, es razo-nable que el filósofo naturalista pueda participar en esta tarea crítica.Sin embargo, dado su rechazo al revisionismo externo, según Maddy,la única opción abierta para dicho filósofo en tal caso es tomar pres

50

tado sus métodos no de la filosofía sino de la ciencia objeto de sucrítica o examen. En sus palabras,

"Los únicos métodos disponibles son los científicos; para el natura-lista, la evaluación y valoración de los métodos científicos debe tenerlugar dentro de la ciencia, usando aquellos mismos métodos."(Maddy 1997: 181)

D. Rechazo del holismo confirmacional del naturalismoquineano:

El holismo confirmacional del naturalismo quineano implica ine-vitablemente aceptar que la aplicabilidad de la matemática debeafectar centralmente la metodología de esta última. Por tanto, segúnMaddy,

"en esta visión, [...], la matemática va de la mano con la ciencia conla cual funciona: la confirmación empírica de la teoría como un todoconfirma la matemática envuelta en aquella teoría; la disconfirmaciónexpone la matemática, como el resto, a revisión." (Maddy 1997:102)

Pero, característicamente, Maddy rechaza esta implicación delprograma quineano sobre la base que la práctica científica concretano se ajusta a la explicación holista de la confirmación de Quine. Ensus palabras,

"[...] en la práctica, los científicos no ven el éxito empírico global deuna teoría como confirmando todas sus partes [...] Esto sugiere quehay algo errado con las premisas quineanas. Una forma de examinareste problema es sostener que el responsable [de estos errores] es elholismo y concluir que la noción holística de una teoría científicahomogénea, confirmada por la experiencia como una unidad, es unarepresentación demasiado simplificada de cómo la ciencia naturalde hecho se comporta." (Maddy 1997: 142 y s.)

E. Rechazo del argumento de indispensabilidad de QuineEl holismo confirmacional, según Quine, implica a su vez la acep-

tación de una ontología de entidades matemáticas, pues la aplicaciónexitosa de la matemática en una teoría empírica presupone dichasentidades y, como dijimos, la confirmación de esta última confirmala primera. Esta es una formulación (posible) del famoso argumentode

51

indispensabilidad de Quine. Sin embargo, para Maddy, por lasmismas razones que se debe rechazar el holismo confirmacional sedebe rechazar la indispensabilidad y su consiguiente platonismo,Como remarca Maddy, "[...] el problema de la defensa de la indis-pensabilidad [de Quine] es que choca con la práctica real de lamatemática" (Maddy 1997: 108)

A la conjunción del holismo confirmacional y la tesis de indis-pensabilidad las llamaré de aquí en adelante la concepción del holismonaturalista (HN) de Quine.

2. EL TEST CRÍTICO A FAVOR DE REVISONISMO NATURALISTA

INTERNO (RNI)Y CONTRA EL HOLISMO NATURALISTA (HN)En particular a Maddy le interesa mostrar que sus argumentos

contra HN se pueden aplicar directamente a la teoría de conjuntos,es decir, en relación a cuestiones fundacionales. Según Maddy, si lasaplicaciones a la ciencia empírica fueran, de acuerdo a HN, los árbi-tros de la ontología matemática entonces los matemáticos trabajandosobre cuestiones de independencia en teoría de conjuntos no podríantomar una decisión sin antes examinar los desarrollos en teoríacuántica. Ya que estos desarrollos estan en desacuerdo con la mate-mática del continuo, la metodología de la teoría de conjuntos deberíadepender de cómo "la cuestión de la aplicación literal de la matemá-tica del continuo es resuelta" (cf. Maddy 1997: 159). Esto significaque tales matemáticos deberían estar vitalmente interesados en lascuestiones de renormalización en teorías de campo cuántico, de gra-vedad cuántica y otras aplicaciones de la matemática del continuo.Pero como indica Maddy, los matemáticos trabajando en teoría deconjuntos no parecen atender a dichas cuestiones más que cualquierotro observador neutral.

El test crítico favorito de Maddy para mostrar lo anterior consisteen desafiar la opinión de Quine de acuerdo a la cual consideracionesemergiendo de HN, es decir, consideraciones que fluyen de laaplicabilidad de la matemática, apoyan el axioma de Gödel deconstructibilidad V=L. Este último, en opinión de Quine, "desactiva

52

los vuelos más gratuitos de la teoría superior de conjuntos eincidentalmente implica el axioma de elección y la hipótesis del con-tinuo" (Quine 1990: 95). Haciendo notar lo irónico de esta posición,que se opone a la opinión de la mayoría de los teóricos conjuntistasimplicados en la actual práctica matemática, Maddy se propone mos-trar que sólo RNI da sentido filosófico a dos tesis: (i) que en ZFC3

V=L debería ser rechazado, y (ii) que, en acuerdo con la práctica y lametodología internas de la teoría de conjuntos, debemos aceptar queexisten cardinales medibles (CM), es decir, cardinales muy grandesinaccesibles y que no son construibles. Lo que, adicionalmente, dasentido filosófico a la demostración de Scott de CM → V≠L (cf.Maddy 1997: 82ss. y 110ss.).

3. CRÍTICAS Y CONTRACRÍTICAS DEL REVISIONISMO NATURALISTA

INTERNO (RNI)En una serie de artículos sobre el tema, Barceló (2004) y Pinto

(2004) han discutido extensamente las implicaciones de RNI y portanto del antirevisionismo metafísico de Maddy. En Quezada (2005)he reevaluado a su vez las críticas de Barceló y Pinto, las que resu-miré brevemente aquí por el bien de mi argumento. En términosgenerales me parece que tanto Barceló como Pinto capturan por unlado aspectos valiosos relacionados con el problema planteado porMaddy pero, por otro, desatienden algunos aspectos importantes.

A. Críticas valiosas de BarcelóEn primer lugar, Barceló clarifica lo que debemos entender por

revisionismo interno y revisionismo externo. Según él, una filosofíade las matemáticas es internamente revisionista si busca establecer,transformar o rechazar criterios matemáticos de justificación y exis-tencia, a partir de otros criterios y medios matemáticos; y externa ometafísicamente revisionista si desde una posición externa a las ma-temáticas, sea filosófica o no-filosófica, busca hacer lo mismoconsiderando dichos criterios qua criterios de existencia y justifica

3. La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel más el axioma de elección(choice axiom).

53

ción real (sea como sea que definamos este último término y elárea de la realidad acotada por la posición particular).

En segundo lugar, Barceló se une a otros autores (por ejemplo,Dieterle 1999, Tennant 2002) al sostener que la defensa simultáneade un antirevisionismo metafísico o externo y de un revisionismointerno vuelven en conjunto la matemática y su prácticapeligrosamente autónomas de cualquier otra ciencia, lo que llevainevitablemente a abandonar la empresa total de la justificación dedicha disciplina. En particular, esta crítica implica que la respuestade Maddy al HN, aunque eficaz para la cuestión de la metodología,impide justificar la matemática y la vuelve una empresa tan acientíficacomo la astrología, es decir, nos lleva a situarnos en la misma posiciónde un naturalismo astrológico que no da cuenta de sus métodos ycriterios fuera de la astrología misma. Llamaré a esto el problemadel relativismo metodológico.

Finalmente, la crítica de Barceló muestra que, más allá de la cues-tión del revisionismo externo vs. interno, una filosofía de lasmatemáticas que enfatiza excesivamente las prácticas llevará inevi-tablemente a descuidar las cuestiones sustantivas de existencia yjustificación.

B. Un problema con las críticas de BarcelóEl problema fundamental, a mi juicio, en la argumentación de

Barceló es que ella sugiere que la salida al relativismo de Maddydebe ser el (eterno) retorno a un revisionismo metafísico o externo.En otras palabras, que admitir dicho revisionismo sea una condición(al menos necesaria) para superar el desafío del holismo naturalista.Esto, en mi opinión, desplaza el valor de la revisabilidad a una posi-ción que no le corresponde. La revisabilidad de la matemática y susposibles limitaciones siempre será la consecuencia de una posiciónepistémica general, sea el naturalismo de Quine, el naturalismometodológico de Maddy u otra posición. Es decir, «revisable» o «no-revisable» son categorías heurísticas, dentro de una metodología,garantizadas o no por una concepción filosófica general que toma encuenta las prácticas concretas. Y esto me lleva a la crítica de Pinto.

54

C. Críticas valiosas de PintoPinto, acertadamente a mi juicio, argumenta que si uno examina

la lógica y la historia de las prácticas concretas de la matemática noencuentra soporte alguno para sostener la distinción revisionismo (oantirevisionismo) externo / revisionismo (o antirevisionismo) interno,lo que la vuelve una construcción artificial. Esta artificialidad sedeja ver además cuando Barceló sugiere que aquel que, contra loque parecería, sostiene que las contribuciones de Frege, Hilbert yRussell no fueron revisiones externas sino internas, está cometiendouna petición de principio pues admitiría una visión histórica de ven-cedores, de acuerdo a la cual "los filosófos [¿?] serían presentadoscomo matemáticos cuando sus propuestas son exitosas, y comorevisionistas metafísicos cuando no lo son" (Barceló 2004: 152).Esta visión es posible pero dudo mucho que cualquier historiadorprofesional de las matemáticas la haría suya, pues significaría queningún matemático-filósofo (o matemático-matemático, si unoquiere) podría cometer errores qua matemático. De este modo, enesa historia vencedora se debería decir, por ejemplo, que la defensade Leibniz y otros que 1−1+1−1+1 ... = 1/2, o la insistencia de Cauchyde que no se podían ofrecer representaciones en términos de seriestrigonométricas de funciones arbitrarias, fueron errores metafísicos.No conozco ninguna historia de las matemáticas en que se afirmeseriamente ese tipo de cosas. Por otro lado, es evidente que se podríaconstruir una historia vencedora invertida en la que los vencedoresson los metafísicos y en la que los errores corresponden a losmatemáticos qua matemáticos. Todo esto suena tremendamentearbitrario y ayuda a inclinar la balanza a favor de Pinto.

D. Un problema de las críticas de PintoPor otro lado, señalar que no hay razones para defender la distin-

ción revisionismo externo vs. revisionismo interno no permiteimaginar todavía ninguna solución al problema del relativismometodológico que afecta a la posición de Maddy. Y de esta manera,podemos vernos devueltos a los problemas del HN quineano queimpulsaron a Maddy a hacer sus propias propuestas. De hecho, si nose invoca

55

una tesis adicional, quedamos igualmente comprometidos con elHN: dicho crudamente, la evidencia confirmando cotidianamenteteorías científicas o filosóficas junto con el resto de nuestra visióntotal del mundo (incluyendo en ella las actividades de contar o medir,señaladas por Pinto), puede ser considerada igualmente comoconfirmando enunciados o inferencias matemáticas. Sin embargo,es valioso que Pinto invoque efectivamente un principio que puedearrojar luces sobre el problema creado por la decisión de Maddy dedar autonomía radical a la práctica matemática, el así llamadoprincipio del equilibrio reflexivo de Goodman. En palabras deGoodman, "una regla es enmendada si proporciona una inferenciaque no estamos dispuestos a aceptar; una inferencia es rechazada siviola una regla que no estamos dispuestos a enmendar" (Goodman1965: 64). Este principio, a juicio de Pinto, permitiría explicar loscambios en las prácticas matemáticas en la medida que ellos soncontrolados por los criterios de evaluación normalmente aceptados—que corresponden a nuestra concepción general de las prácticas—y "tales criterios a su vez cambian como resultado de aquellas de susaplicaciones que entran en conflicto con las prácticas vigentes" (Pinto2004: 160). Esto entonces garantiza un equilibrio entre las prácticasmatemáticas mismas y nuestra concepción de ellas.

El problema, a mi juicio, con el principio de Goodman es que loscriterios que controlan los cambios en las prácticas pueden efectiva-mente ser el resultado de cómo conciben las prácticas los mismosmatemáticos: es su reflexión previa sobre las prácticas pasadas ypresentes la que sirve para revisar las inferencias hechas por losmatemáticos, o, al revés, son estas inferencias las que sirven paraenmendar las prácticas vigentes de aquellos. El test crítico de Maddya favor de RNI (es decir, aceptar o no V=L) satisface claramente estalectura del principio: la discusión sobre las consecuencias de laaceptación de la independencia de V=L indicaría que los matemáti-cos y no otros determinaran el equilibrio, al menos en ese caso.Aquellos de acuerdo con V=L preferirán un universo conjuntista aus-tero, que preserve el axioma de elección y la hipótesis del continuoy contenga sólo algunos cardinales grandes (por ejemplo, cardinales

56

regulares e inaccesibles). Otros (tal vez la mayoría) considerarána V=L una hipótesis que restringe de una manera inaceptable nuestroconcepto general, iterativo, de un conjunto. Según ellos, las conse-cuencias inferenciales más graves de dicho axioma serían, ademásde las severas restricciones internas sobre el universo conjuntista(por ejemplo el rechazo de CM, del cardinal de Mahlo, etc.), lasexternas: afectaría la anchura del buen orden de los reales, de losconjuntos medibles de acuerdo a una medida-no-Lebesgue, etc.4 Seacomo sea que se decida esta cuestión, aparentemente las únicas prác-ticas y las únicas reglas o criterios de evaluación que deben sercontrastadas en este caso son aquellas admitidas por la comunidadde los matemáticos.

4. CONTESTANDO INICIALMENTE LAS PREGUNTAS

METODOLÓGICAS BÁSICAS

Las consecuencias que hemos comentado anteriormente parecenmás bien limitadas en su alcance filosófico, sin embargo, resultanesperables pues, en mi opinión, responden a la naturaleza de las cues-tiones que Barceló, Pinto y, sin duda, Maddy han querido, en el fondo,contestar, es decir, cuestiones fundamentalmente de naturalezametodológica. La primera cuestión es ¿quién debe revisar la mate-mática? De acuerdo al análisis hecho anteriormente, la respuestarazonable parece ser que puede ser un matemático qua matemático,o qua filósofo, o qua psicólogo, o qua físico, etc. Pero esto significaque también puede ser un filósofo qua matemático, o un psicólogoqua matemático, o un físico qua matemático, etc. Insistir en defen-der un criterio histórico o lógico para especificar cuándo ocurre uncaso u otro, no parece una tarea alentadora para iluminar las cuestio-nes fundamentales relacionadas con revisionismo en matemática.

En segundo lugar, zanjada la cuestión sobre quién revisa la mate-mática, la cuestión natural a plantearse es cómo se revisa enmatemática y, con ella, la cuestión más profunda de cómo se verifica4. Como señala Maddy, los filósofos críticos de V=L, entre los cuales el

primero es el mismo Gödel (cf. Gödel 1946), son la mayoría (cf. Maddy1997: 84-85).

57

el cambio en ella. La sugerencia de Pinto –con la que simpatizo–es que una buena explicación inicial se encuentra si se apela alprincipio de Goodman. En otras palabras, el cambio ocurre cuandose rompe el equilibrio reflexivo entre las prácticas de los matemáti-cos y los criterios de evaluación, y la revisión consistirá entonces enproponer criterios externos o internos que capturen las nuevas prác-ticas y viceversa. Sin embargo, como vimos, a pesar de la eficacia deesta respuesta, ella resulta filosóficamente impotente también pararesponder a las cuestiones no-metodológicas que suscita el HN deQuine y el RNI radical de Maddy.

5. UNA CLAVE PARA CONTESTAR LA PREGUNTA FILOSÓFICA

BÁSICA: ¿QUÉ HACE POSIBLE LA REVISIÓN EN MATEMÁTICAS?Creo que lo que hace falta para avanzar en la dirección de contes-

tar estas preguntas es enfrentar una cuestión epistemológica, o siquiere epistemológico-trascendental, previa, la cuestión de qué haceposible revisar en matemáticas. El mejor trasfondo para dicha res-puesta a mi juicio lo sigue ofreciendo en buena parte el naturalismodefendido por Quine (y probablemente una interpretación naturali-zada afín de Wittgenstein, como sugiere Maddy). Sin embargo, larespuesta al gran problema de dicho naturalismo, el HN, sólo puederesidir en tomarse en serio los fundamentos naturalistas de nuestrared de creencias, entendidos como fundamentos biológicos-evoluti-vos de nuestra cognición global. Esto significa asumir que elconocimiento matemático esta íntimamente conectado con dichosfundamentos, lo que lo vuelve a su vez una extensión de nuestrasactividades cognitivo-corporeizadas. Una visión como ésta ha sidodefendida rigurosamente por Lakoff y sus colaboradores (cf. Lakoffy Nuñez 2002, Lakoff y Johnson 1999). Ellos sugieren que los obje-tos matemáticos son conceptos corporeizados, esto es, ideas que seencuentran últimamente ancladas en la experiencia humana y que seconectan entre sí mediante mecanismos conceptuales humanos. Ta-les mecanismos fundamentalmente descansan en el uso de lo queellos llaman metáforas conceptuales (conceptual metaphors) y

58

mezclas conceptuales (conceptual blendings).5 En términos muysimplificados, los mecanismos aludidos se pueden visualizar comoespecificando relaciones (aplicaciones funcionales o mappings) en-tre dominios diferentes (normalmente llamados dominio fuente odominio meta)6.

Dadas las limitaciones de espacio, no es éste el lugar para expli-car tales mecanismos y cómo operan en las prácticas matemáticasconcretas. Sin embargo, al menos un ejemplo puede dar una idea decómo aplicar la teoría de Lakoff a nuestra discusión. Para ello, vol-vamos al problema de Maddy sobre las razones para aceptar V=L oCM. Ya que evidentemente el primer axioma presupone el conceptode conjunto construible y el segundo es una de las tantas posibilida-des de especificar un conjunto no-construible, parece más adecuadover inicialmente, desde un punto de vista matemático-cognitivo ge-neral, el dilema de Maddy como una decisión entre ambos conceptos.

Para hacerse una idea básica de lo que sea un conjunto construiblees fundamental ofrecer una idea de la jerarquía acumulativa de con-juntos a partir de la cual, como sugirieron von Neumann y Zermelo,se puede obtener el universo conjuntista (V). En dicha jerarquía, Vse concibe como el resultado de un proceso recursivo que, partiendodel conjunto vacío, genera los conjuntos a partir de otros ya obtenidosanteriormente mediante la aplicación de las operaciones de conjuntopotencia (℘) y gran unión (U). Cada escalón de la jerarquía se pue-de ver como la indexación mediante un ordinal α. Esto se puedevisualizar de la siguiente clásica manera.

V(0) = ∅(α + 1) = ℘ V(α) (para cualquier ordinal α)

6. Ejemplos simples son Estados son localizaciones y Categorías soncontenedores. La primera metáfora mapea desde el dominio fuente ES-PACIO al dominio meta ESTADO, la segunda desde el dominio fuenteCONTENEDORES al dominio meta CATEGORÍAS (véase Lakoff y Núñez 2002:39-49). Para cuestiones más generales véase Lakoff y Johnson (1999).

5. Para una introducción a metáforas conceptuales y mezclas conceptua-les véase Lakkof y Núñez (2002), pp. 39-45 y pp. 48-49,respectivamente.

59

V(λ) = sup{V (β): β < λ} = Uβ<λ V (β) (para cualquier ordinallímite λ)

La gran unión de todos los escalones, que podemos representarcomo Uα∈Ω V(α), es entonces la jerarquía acumulativa.7 V=L enton-ces significa identificar esta unión con la clase de los conjuntosconstruibles, es decir, significa admitir que los conjuntos que se pue-den obtener mediante la jerarquía acumulativa solo pueden pertenecera dicha clase. Esto sugiere que la jerarquía misma no resulta sufi-ciente para caracterizar la noción de conjunto arbitrario y que paraello se debe agregar una restricción. Sin esta restricción podríamosaceptar una concepción de la jerarquía, y por tanto del universo deconjuntos, más liberal o en cualquier caso caracterizar los conjuntosde acuerdo a otra restricción.

Debemos a continuación clarificar en qué consiste un conjuntoconstruible. Para ello, me concentraré aquí en la versión más semán-tica ofrecida por Gödel (véase Gödel 1938 y 1939). En términosmuy simplificados, Gödel determina lo que es un conjunto construiblemediante un modelo M donde todo conjunto es obtenible mediantela jerarquía ramificada de los tipos de Russell extendida a órdenestransfinitos y con la restricción de que la colección de lossubconjuntos del orden α, a partir de la cual se genera el conjuntopotencia, sea definible por fórmulas de primer orden que no impliquenimpredicatividad (cf. Gödel 1938: 211). Ya que la alusión a la teoríade los tipos de Russell no es fundamental en una definición contem-poránea de la jerarquía acumulativa podemos desatenderla (véaseDevlin 1979: cap. V). Por otro lado, la restricción a procedimientosno-impredicativos, aunque parece sugerir que M no permite en

7. Uno podría visualizar la jerarquía como un cono invertido cuyo eje esdado por la serie de los ordinales y que puede modificarse tanto enaltura como en anchura dependiendo de la aceptación de determinadosaxiomas que exceden a ZF (o cualquier otra axiomatización clásica).Por ejemplo, la aceptación del axioma de constructibilidad o la hipótesisdel continuo determinarán la anchura, la aceptación de axiomas de car-dinales grandes o supergrandes determinarán la altura. Desde luego,opciones en cada lado tendrán consecuencias en el otro lado.

60

particular definiciones impredicativas de conjuntos8, tiene comopropósito general sugerir que los conjuntos aceptables en él debencaracterizarse constructivamente, es decir mediante una definiciónexplícita. Pero, como señala Mosterín, la única forma de obteneruna caracterización constructiva adecuada de conjunto (arbitrario)en la jerarquía acumulativa transfinita es que sepamos definir lanoción de conjunto de las partes de un conjunto infinito. Y esto noslleva necesariamente a la segunda línea de la caracterización de lajerarquía dada arriba, es decir, a la aplicación de la operación deconjunto potencia. Como remarca Mosterín,

"[...] qué sea el conjunto de las partes de un conjunto infinito dadoes algo de lo que no tenemos una intuición suficientemente clara.No sabemos como construir todas las partes de un conjunto infinito¿No sería posible sustituir esa segunda línea por otra que nos permi-tiera pasar de un conjunto dado, no al conjunto de todas sus partes,sino sólo al conjunto de aquellas de sus partes que sepamos cómodefinir o construir?" (Mosterín 1989: 227).

Y en efecto esto es lo que propone Gödel directa (Gödel 1939) oindirectamente (Gödel 1940). En términos simples, dado un conjuntoinfinito A y un subconjunto x de él podemos decir que x es unsubconjunto definible de A si y sólo si existe una fórmula ϕ(x) dellenguaje de primer orden de la teoría de conjuntos con la restricciónfundamental que existan las suficientes constantes o parámetros paracada elemento de A (o de M dado el ordinal α respectivo). De mane-ra que x es un subconjunto definible en A si y sólo si {x ∈ A: ϕ(x)}.Podemos entonces llamar Df(A) al conjunto de todos los subconjuntosde A definibles en A y reemplazar consecuentemente por este símbo-lo la operación de conjunto potencia en la segunda línea mencionada9.Si además reemplazamos V (es decir, «construible») por L en todaslas líneas, obtenemos la siguiente caracterización general de losconjuntos construibles y por ende de la jerarquía acumulativa.

8. Una definición impredicativa de un conjunto es aquella que alude a unatotalidad de los conjuntos a la cual pertenece también el conjunto definido.

9. Obviamente, aunque Df(A) ⊆ ℘A, no se sostiene la conversa.

61

L(0) = ∅(α + 1) = Df L(α) (para cualquier ordinal α)L(λ) = sup{L(β): β < λ} = Uβ<λ L(β) (para cualquier ordinal límite

λ)

Simplificando aun más y relativizando la caracterización al mo-delo M de Gödel (1939) podemos decir que x es construible en unajerarquía ordinal si y sólo si existe un número ordinal α tal quex ∈ Mα. De todo lo anterior resulta suficientemente claro que la ca-racterización de un conjunto construible descansa en una operaciónde definibilidad que permite asignar a cada subconjunto de unconjunto de la jerarquía una fórmula dentro de un lenguaje de primerorden, no importando de qué ordinal se trate, e incluyendo por tantoal conjunto de los subconjuntos.

La anterior caracterización resulta en principio suficiente paralos propósitos de formular una base cognitivista mínima de losconjuntos construibles. En primer lugar, ya que la concepciónrecursiva de los conjuntos de von Neumann es extensional ypresupone intuitivamente la inclusión de objetos (del tipo que sea)podemos con Lakoff y Núñez aplicar, entre otras, las metáforasconceptuales: conjuntos son contenedores10 y conjuntos son objetosconstruidos11 . Además dado que muchos cardinales grandes, porejemplo, algunos cardinales inaccesibles, son conjuntos construiblestambién, debemos admitir que en la jerarquía acumulativa se aplicalo que Lakoff y Núñez llaman la metáfora básica de infinitud (MBI)12.Sin embargo, ya que los10. Véase Lakoff y Núñez 2002: pp. 31 y ss. respecto a Esquemas de con-

tenedor y pp. 140-1 sobre esta metáfora y su relación con la operaciónde conjunto potencia.

11. Para esta metáfora véase Lakoff y Núñez 2002: pp. 140-146. Ambasmetáforas son lo que Lakoff y Núñez llaman metáforas de anclaje(grounding metaphors), que proporcionan ideas directamente funda-das en experiencia sensible.

12. MBI es una metáfora conceptual inconsciente que permite que proce-sos que transcurren indefinidamente sean conceptualizados comoteniendo un fin y un resultado último; esto permite a su vez que talesprocesos sean concebidos como cosas u objetos infinitos, lo que está ala base de nuestra noción de infinito actual. Véase Lakoff y Núñez2002: cap. 8.

62

conjuntos construibles imponen límites a la colección desubconjuntos del orden α, MBI debe poner restricciones a los proce-sos indefinidos, es decir, no cualquier iteración puede originar unconjunto construible.13 La cuestión crucial entonces es caracterizardicha restricción. La clave se debe encontrar, total o al menos par-cialmente, en la caracterización de la noción de subconjunto (o parte)de un conjunto infinito. Como hemos visto ésta es una nocióndependiente-de-lenguaje (language-dependent), en particular,dependiente de un lenguaje de primer orden. Bajo esta concepción,yo sugiero por tanto que podemos aislar claras metáforas conceptualesde este tipo para la noción de subconjunto de Gödel. La primera esque subconjuntos son conjuntos de fórmulas y la segunda es quetodo conjunto es especificable mediante una fórmula en un lenguaje(véase Gödel 1939: 215 y s.). La operación de subconjunto (o deconjunto potencia de un conjunto construible) es por tanto una ope-ración lingüística que consiste en dar un nombre a cada ordinal apartir del cual se forma el conjunto de los subconjuntos (los cualestambién deberán contar de nombres).

De modo que, de acuerdo a nuestra explicación anterior sobre ladefinibilidad de ordinales de Gödel, somos llevados a pensar que enla generación de la jerarquía acumulativa todo matemáticoconstructivista tendrá que admitir que especificar el conjunto de laspartes de un conjunto es asignar un nombre (mediante una fórmula)a dicho conjunto en una serie ordinal. En otras palabras, el mappingque conecta subconjuntos (en el dominio meta) con nombres deordinales (en el dominio fuente) es una relación de bautismo. Portanto, en términos de metáforas conceptuales parece razonable su-gerir algo como lo siguiente como un buen candidato para capturardicho proceso: Determinar los subconjuntos de un conjunto dado esbautizar un conjunto en un cierto orden.

Reunimos aquí las metáforas en las que, en nuestra opinión, des-cansa, al menos parcialmente, la concepción de los conjuntosconstruibles desde un punto de vista cognitivo-corporeizado.

13. Esto restringirá también la clausura generativa de las operaciones deconjunto potencia y unión; véase Lakoff y Núñez 2002: 176.

63

1) Metáforas de anclaje: conjuntos son contenedores conjuntos son objetos construidos

2) Mezcla conceptual: metáfora básica de infinitud (con restricción)

Restricción de MBI

3) Metáforas de subconjunto: subconjuntos son conjuntos defórmulas / Todo conjunto es especificable mediante una fór-mula en un lenguaje formal

4) Metáfora de conjunto potencia: determinar los subconjuntosde un conjunto dado es bautizar el conjunto de lossubconjuntos en una serie ordinal.

Desde luego, nada de lo anterior sugiere un camino directo paracaracterizar conjuntos no-construibles y no es esto algo que me hayapropuesto tratar en este artículo. Sin embargo, obviamente lo ante-rior sí permite sugerir al menos que dicha caracterización no podríacumplir con la restricción de MBI señalada anteriormente. Y el aflo-jamiento de MBI en esa dirección tal vez permitiría indicar unahipótesis explicativa productiva acerca de porqué normalmente al-gunos cardinales muy grandes (cardinales medibles, fuertes, deWoodin, supercompactos, etc.) parecen no poder ser discriminadoso ser discernibles, dentro de una estructura (L,∈).14 Estaindiscernibilidad podría perfectamente entenderse como unaconsecuencia de admitir que no todos los ordinales respectivosnecesitan ser identificados mediante un nombre en un lenguaje formaldado, es decir bautizados

14. Esta sugerencia se basa en el descubrimiento de los números reales0# (zero sharps) por Silver, los que muestran que una diferencia impor-tante entre V y L parece residir en la indiscernibilidad de los cardinalesincontables en L. La existencia de cardinales medibles y otros cardina-les más grandes presupone la existencia de sharps (véase Maddy 1997:cap. 5).

64

en él.15 Si esta hipótesis tiene algún sustento entonces, proporcionaun indicio para entender qué es lo que los matemáticos trabajandocon conjuntos no-construibles —la mayoría, como indica Maddy yme indican mis amigos matemáticos— conceptualizan cuando prue-ban teoremas o propiedades acerca de tales conjuntos.

El trabajo de Lakoff, como hemos visto, permite justamente darsentido cognitivo-corporeizado al dilema planteado por Maddy. Másallá de la corrección matemática o cognitiva de la explicación pro-puesta, lo importante para mí era mostrar que es enteramente posi-ble ofrecer una salida alternativa al problema del HN sin presuponerRNI, ni una forma radical de revisionismo externo ni mucho menosalguna forma de platonismo. Dicha salida muestra, adicionalmente,lo que hace posible el cambio en matemática sin desapegarse de lasprácticas: las conceptualizaciones nuevas o diferentes de los mate-máticos (sus mecanismos metafóricos internos) pueden licenciar mo-dificaciones de sus prácticas sin considerar las prácticas en otrasdisciplinas científicas o filosóficas. Sin embargo, el fundamento bio-lógico (que provee la base corporeizada común) otorga la necesariacontinuidad con las conceptualizaciones que soportan la práctica enesas disciplinas diferentes. Esto garantiza el naturalismo y deja abier-tas las revisiones a elementos externos. De este modo, lo que haceposible y valiosa la revisión en matemática permanece tan cerca delfilósofo como del matemático pues es lo mismo que hace posible lacognición general que sostiene las vidas de ambos.

15. Gödel mismo en Gödel (1946) ha sugerido su propia explicación acer-ca de cómo V podría discrepar de L. Según Gödel la noción dedefinibilidad de los ordinales en las cuales se basa su caracterizaciónde los conjuntos construibles es una formulación adecuada y absolutade la propiedad "estar formados según una ley" y en cambio la no-definibilidad (y la no-constructibilidad) reflejaría la propiedad "estarformados por una elección aleatoria de elementos" (Gödel 1946: 349).Aunque pienso que no es imposible hacer compatible mi explicacióncognitivo-corporeizada de los conjuntos construibles con la de Gödel,no entraré en esta materia aquí.

65

REFERENCIAS

Barceló, Axel (2004): "Revisionismo en filosofía de las matemáti-cas", Signos Filosóficos, vol. VI, No 12, pp. 149-154.

Burgess, John P. y Rosen, Gideon (1997): A Subject with no Object:Strategies for Nominalistic Interpretation of Mathe-matics. Oxford: Oxford University Press

Devlin, Keith (1979): Fundamentals of Contemporary Set Theory.New York: Springer Verlag.

Dieterle, Jill (1999): "Mathematical, Astrological, and TheologicalNaturalism", Philosophia Matemática (3), vol. 7, pp. 129-135.

Goodman, Nelson (1965): Fact, Fiction and Forecast. New York:The Bobbs-Merrill Company.

Gödel, Kurt (1938): "La consistencia del axioma de elección y de lahipótesis generalizada del continuo", en Gödel 1989:pp. 210-212.

Gödel, Kurt (1939): "Prueba de consistencia de la hipótesis genera-lizada del continuo", en Gödel 1989: pp. 215-221.

Gödel, Kurt (1940): "La consistencia del axioma de elección y de lahipótesis generalizada del continuo con los axiomas de lateoría de conjuntos", en Gödel 1989: pp. 231-310.

Gödel, Kurt (1946): "Observaciones presentadas ante la conferenciadel bicentenario de Princeton sobre problemas de las ma-temáticas", en Gödel 1989: pp. 346-350.

Gödel, Kurt (1989): Obras Completas (traducción y comentarios deJ. Mosterín). Madrid: Alianza Editorial.

Kitcher, Philip (1984): The Nature of Mathematical Knowledge.Oxford: Oxford University Press.

Lakoff, George y Johnson, Mark (1999): Philosophy in the Flesh:The Embodied Mind and its Challenge to WesternThought. New York: Basic Books.

Lakoff, George y Nuñez, Rafael (2002): Where Mathematics ComeFrom: How the Embodied Mind Brings Mathematics IntoBeing. New York: Basic Books.

66

Maddy, Penélope (1997): Naturalism in Mathematics. New York:Oxford University Press.

Mosterín, Jesús (1989): "Introducción a: «La consistencia del axio-ma de elección y de la hipótesis generalizada del continuocon los axiomas de la teoría de conjuntos»", en Gödel1989: pp. 222-230.

Pinto, Sílvio (2004): "Revisionismo, anti-revisionismo y filosofíade las matemáticas", Signos Filosóficos, vol. VI, No 12,pp. 155-162.

Quine, W. (1986): Teorías y Cosas. México D.F. :UNAM (ed. eninglés: 1981).

Quine, W. (1990): Pursuit of Truth. Cambridge, Mass.: HarvardUniversity Press.

Quezada, Wilfredo (2005): "¿Quién revisa, cómo se revisa y quéhace posible revisar la matemática?", Signos Filosóficos,vol. VII, No 13, pp. 107-114.

Shapiro, Stewart (2002): "Modeling and normativity: How muchrevisionism can we tolerate?", Agora, 20, pp. 159-173.

Tennant, Neil (2000): "What is Naturalism in Mathematics, Really?",Philosophia Mathematica (3), vol. 8, pp. 316-338.

Wilfredo Quezada PulidoUniversidad de Santiago de Chile

wquezada@lauca.usach.cl

67

LÓGICA, EMPIRISMO Y REALISMO ENEL PENSAMIENTO DE QUINE

Rodolfo Gaeta

LÓGICA, EMPIRISMO Y REALISMO ENEL PENSAMIENTO DE QUINE

Rodolfo Gaeta

ResumenConforme a la interpretación más corriente, Quine se rebeló en

contra de las tesis fundamentales del empirismo lógico. En oposicióna esta convicción trataré de proporcionar argumentos para mostrarque las principales ideas de Quine, aun cuando parezcan alejarse delas doctrinas del positivismo lógico, coinciden bastante naturalmentecon la dirección que llevaba aquel programa.

AbstractAccording to the usual interpretation, Quine rebelled against the

fundamental thesis of Logical Empiricism. In opposition to this view,I will offer arguments to show that the Quine´s main ideas, even asthey seem to move away of Logical Positivism, agree quite naturallywith direction of that program.

IAunque no caben mayores dudas de que la filosofía de Quine

guarda una estrecha relación con los aportes de los empiristas lógi-cos, la naturaleza de esa relación se ha prestado a diferentesinterpretaciones. El más célebre de los ensayos de Quine, «Dos dog

71

mas del empirismo», anuncia desde su propio título las diferenciasque lo separaban de la doctrina elaborada en los tiempos del Círculode Viena. El impacto que causaron los agudos análisis de Quine dela pretensión de encontrar enunciados que se contrastan individual-mente con la experiencia y de la distinción entre enunciados analíticosy sintéticos hacen que a medio siglo de aquella publicación sus tesissigan siendo consideradas como la promulgación del fracaso de lasaspiraciones del empirismo lógico. Alex Orenstein, por ejemplo, in-cluye entre los aspectos destacables de Quine su papel comorepresentante del naturalismo y su argumentación en contra de laposibilidad de todo conocimiento a priori (cf. Orenstein 1998). Comoconsecuencia de las críticas de Quine, quedarían descalificados tan-to los intentos de fundar las creencias empíricas a partir deconsideraciones sobre los contenidos de la propia conciencia comola distinción entre ciencias formales y ciencias fácticas, dos compo-nentes importantes del pensamiento de Carnap. Pero otros autoreshan preferido subrayar las afinidades entre el pensamiento de Quiney la posición adoptada por los empiristas contemporáneos. SandraLaugier sostiene que Quine —a pesar de sus propias declaraciones—emprendió muy tempranamente una reelaboración del programacarnapiano (cf. Laugier 1997). De acuerdo con Laugier, en «Truthby convention» (Quine 1965d) Quine inició una tarea que se mantuvodentro del marco fijado por Carnap, aunque sus conclusiones fueronopuestas. Mientras que Carnap había sugerido que todos los enun-ciados, aun los que parecían puramente empíricos, pueden serentendidos como resultado de una convención, Quine invirtió el plan-teo y concluyó que todos los enunciados, incluidas las verdadeslógicas, podrían considerarse empíricos. A juicio de Laugier, estaactitud constituye una crítica interna más que un rechazo de laconcepción de Carnap.

Acorde con la sugerencia de que las ideas de Quine conservanproximidad con la posición de los positivistas, trataré de proporcionarelementos para mostrar que sus tesis fundamentales, aun cuandoparezcan contrastar con las doctrinas del positivismo lógico, coinci-den bastante naturalmente con la dirección que llevaba aquelprograma.

72

IIComencemos con el naturalismo. En la medida en que conlleva

un absoluto apego a los resultados de la investigación científica, elnaturalismo —la idea de que el conocimiento sea caracterizado con-forme a la información que nos brindan sobre él las propias teoríascientíficas— colma las más pretenciosas expectativas de construiruna filosofía científica. Quizá, el principal motivo que impidió a losempiristas lógicos encarar esta vía directamente fue el temor de caeren una argumentación circular. De alguna manera, se hallaban com-prometidos en la tarea de fundar filosóficamente el conocimientocientífico y es comprensible que consideraran reprochable apoyarseen los resultados brindados, precisamente, por aquello que estaba endiscusión. Un motivo adicional, aunque no totalmente ajeno al quese acaba de mencionar, es el hecho de que las hipótesis teóricas de laciencia se encuentran muy alejadas de la experiencia, parecen de-masiado inestables como para buscar en ellas alguna fundamentacióndel conocimiento todo. Pero Quine cuenta con argumentos para su-perar esas dificultades. En primer lugar —señala—, no existe unconocimiento que nos inspire más confianza que la ciencia. La críti-ca del conocimiento científico sólo puede llevarse a cabo desde suinterior; porque es, de todos modos, el único recurso efectivamentedisponible. La práctica nos enseña que no hay ninguna razón paraconsiderar extraño este procedimiento, porque estamos acostumbra-dos a ajustar desde adentro nuestro sistema de creencias. Quinereactualiza la metáfora de Neurath sobre la necesidad de reparar elbarco mientras navegamos. En segundo término, a juicio de Quine,no hay por qué enfatizar la desconfianza en las hipótesis teóricaspues todas nuestras creencias, aun las que se refieren a datos sensi-bles, son hipotéticas. El naturalismo de Quine se alinea, entonces,con el empirismo y con la especial valoración de la ciencia caracte-rísticos de los empiristas lógicos. Podríamos decir que los llevóresueltamente hasta sus últimas consecuencias.

IIIEl naturalismo de Quine se encuentra vinculado, por otra parte, a

su actitud realista. Su realismo científico marcha a la par con la posi

73

ción que adopta con respecto a las entidades del sentido común.Pero hay que entender la compatibilidad del empirismo, elnaturalismo y el realismo como una consecuencia de la redefiniciónde los términos dentro de la concepción quineana. De acuerdo consu definición del realismo, decir que la mesa que está frente a míexiste es simplemente decir que tengo la evidencia empírica adecuaday suficiente para creer que es así. También la noción de evidencia esreformulada, o mejor dicho, recupera su sentido original. Porqueponer en duda sistemáticamente —como a veces han hecho losfilósofos— la validez de la información que brindan los sentidoscuando se discute el derecho de afirmar, en general, la existencia deobjetos físicos, es apartarse ilegítimamente del uso originario delconcepto de evidencia. Restablecidos los significados originales,empirismo y realismo se confunden en una sola posición. En «Scopeand Language of Science» sostiene Quine:

"No podemos cuestionar significativamente la realidad del mundoexterno, o negar que hay evidencia de objetos externos en el testi-monio de nuestros sentidos, porque hacerlo es simplemente disociarlos términos «realidad» y «evidencia» de las propias aplicacionesque originalmente más hicieron para conferir a esos términos toda lainteligibilidad que pudieran poseer para nosotros." (Quine 1965b:216)

Junto con la identificación del empirismo y el realismo encontra-mos, casi de paso, la aseveración de que carece de sentido plantearproblemas cuya solución implique trascender los límites de la expe-riencia. Aquí reaparece, bajo ropas más inocentes, el tan mentadocriterio empirista del significado. Por supuesto, Quine no quiere ad-herir a ninguna de las problemáticas formulaciones de ese principio;y tampoco puede hacerlo, conforme a su negativa a aceptar el con-cepto de significado. Pero de hecho, aunque no figure en ningunaparte elaborado, algún sucedáneo implícito del principio empiristadel significado sigue operando. Así, Quine se propone eliminar lasconnotaciones metafísicas del realismo. Y al hacerlo adelanta unamisma solución para dos problemas similares pero diferenciados.Uno es la cuestión de la realidad de los objetos físicos comunes; elotro, la realidad de las entidades teóricas. En cuanto a loscompromisos

74

ontológicos, ambas clases de cosas viajan en el mismo barco, elbarco de Neurath; y así como las razones empíricas llevan a afirmarla existencia real de los objetos físicos que de modo naturalpostulamos para organizar nuestra experiencia del mundo, laevidencia empírica también conduce a suscribir la realidad de lasentidades postuladas por las teorías científicas vigentes.

IVLa doble manifestación del realismo, el compromiso de Quine

con los objetos físicos del trato cotidiano y con las entidades teóricas,obliga a observar desde un punto de vista diferente la tesis de lasubdeterminación de las teorías científicas. Los antirrealistas cientí-ficos se han apoyado en ella para mostrar que el éxito empírico deuna teoría científica no garantiza en absoluto la existencia de lasentidades por ellas postuladas. Pero Quine desautoriza esta conclu-sión porque no sólo las teorías científicas permanecenindeterminadas: todos los enunciados están sometidos a la mismasituación, aun los más próximos a la experiencia. Tal como lo veQuine, sería arbitrario aceptar la existencia de los objetos físicoscomunes y negarla en el caso de las entidades teóricas, y seríainapropiado, por los motivos ya expuestos, decir que podemosprescindir de la existencia de los cuerpos observables. Enconsecuencia, la subdeterminación no favorece el antirrealismocientífico como tampoco la falibilidad de los juicios del sentidocomún beneficia la posición de quien niegue la existencia de losobjetos físicos corrientes. Inquirir por un modo de existencia de lascosas más allá de cuanto permitan responder las experienciassensibles equivale a internarse en una cuestión metafísica. AunqueQuine lo diga de otro modo, esta manera de excluir los problemasmetafísicos evoca, sin mucha dificultad, la distinción carnapiana entrecuestiones internas y cuestiones externas.

VPodría parecer que el holismo, la llamada tesis de Duhem-Quine,

se aparta considerablemente del objetivo empirista de encontrar enun-ciados directamente verificables. Pero en el seno del Círculo de Vienase abrió tempranamente el debate sobre esa posibilidad. No fue

75

Neurath el único que apreció las dificultades que se oponían a lapretensión de identificar tales enunciados. Después de ensayar laplausibilidad de construir el mundo a partir de una basefenomenalista, Carnap optó por el fisicalismo, un claroreconocimiento de que aun los enunciados más básicos entre los quecomponen la ciencia revisten el carácter de hipótesis. Y hasta elmismo Schlick tuvo la precaución de decir que los enunciadosprotocolarios, los que constituyen la base de las contrastacionescientíficas, van más allá de expresar la experiencia inmediata. Y silos enunciados protocolarios tienen el carácter de hipótesis, no seenfrentan individualmente con la experiencia y dejan abierta laposibilidad de que sean rechazarlos cuando otras creencias integrantesdel sistema lo aconsejen.

VIA medida que Carnap fue desarrollando sus análisis, llegó a pre-

sentar una versión considerablemente liberalizada del empirismo.En su biografía intelectual (Carnap 1963) señala que la adopción deun punto de partida fenomenalista para el Aufbau (Carnap[1928]1967) no respondía a un compromiso ontológico fundamentalobligatorio por cuestiones de principio sino a una elección frente aotras alternativas posibles. Sostener que los datos sensibles son lasentidades que propiamente constituyen el mundo real equivale aaventurarse en terreno metafísico, pronunciarse sobre una cuestiónexterna. Para Quine, en tanto, los datos sensibles son posits, comolas mesas y las moléculas. Cada una de estas clases de entidadespuede ser fundamental, pero solo en un sentido determinado:

"Los datos sensibles son evidencialmente fundamentales: todo serhumano se halla obligado con sus sentidos en cuanto a cada indiciode los cuerpos. Las partículas físicas son naturalmente fundamenta-les de esta manera: las leyes de comportamiento de esas partículasproporcionan, hasta donde sabemos, la formulación más simple deuna teoría general de los acontecimientos. Los cuerpos del sentidocomún, finalmente, son conceptualmente fundamentales: es por re-ferencia a ellos como se adquieren las propias nociones de realidady evidencia y como tienden a forjarse y expresarse en palabras losconceptos que tienen que ver con partículas y aun con datos sensi-bles." (Quine 1965b: 239)

76

En vista de estas opiniones, estamos autorizados a pensar queQuine no hubiera tenido razones para objetar la legitimidad inicialdel propósito que motivó la elección del fenomenalismo como basede la construcción lógica del mundo. La decisión estaba justificadasi lo que se quería explorar era hasta dónde nos permite llegar, sinsalirse de sus límites, el tipo de evidencia que brindan los datossensibles. Podemos conjeturar que el obstáculo capaz de malograrel objetivo de Carnap residía en la imposibilidad de reducir losconceptos y el lenguaje fisicalistas a un inimaginable discurso quereflejara adecuadamente un mundo de los puros datos sensibles. Eneste respecto, los conceptos y la lengua fisicalistas resultanirreductibles, como llegó a comprender el propio Carnap. El Aufbaufue el experimento que puso de manifiesto esa situación.

Pero tampoco el lenguaje fisicalista es suficiente por sí solo paradar cuenta del mundo. Se requieren todos los recursos conceptualesy lingüísticos que la ciencia puede aportar. Nada menos. Y nada más.El empirismo, tal como Quine lo sustenta obliga a comprometersecon lo que la ciencia dice que hay, con lo que la ciencia necesitapostular para organizar adecuadamente nuestra experiencia. Y nomás, porque entre los criterios de la adecuada organización de laexperiencia se encuentran la simplicidad y la economía. Ello explicala resistencia de Quine a aceptar entidades tales como los significa-dos. Podemos prescindir de ellos porque no son necesarios para darcuenta del mundo. No sucede lo mismo con otras entidades abstrac-tas: la postulación de clases queda justificada por el papelfundamental que cumplen en las matemáticas, y estas últimas resultanobviamente imprescindibles para la ciencia. A despecho de sudeclarada inclinación por los paisajes desérticos, finalmente, laontología de Quine es lo suficientemente hospitalaria como paraalbergar los datos sensibles, los cuerpos físicos, las entidadespostuladas por las teorías científicas y también los remotos entesmatemáticos que pueblan el cielo platónico. Si quedan dudas sobreel derecho de que después de tantas concesiones Quine sigapresentándose como un empirista, su respuesta será, nuevamente,que es la experiencia sensible —y no la clarividencia, por ejemplo—la que regula en última instancia nuestras creencias. No es unempirismo radical, por supuesto, pero el

77

empirismo radical, afirma Quine, ha cedido definitivamente pasoal empirismo relativo cuando se advirtió que es necesario abandonar"la vieja esperanza de traducir el discurso en términos de cuerpos aldiscurso de las sensaciones" (Quine 1990:138). Pero ése es, exacta-mente, el paso que dio Carnap cuando abandonó el camino delAufbau.

VIIQuedan pendientes algunas cuestiones con respecto a las cuales

la posición de Quine y la doctrina de los empiristas lógicos parecenmás difíciles de conciliar. Los miembros del Círculo de Viena adop-taron la tradición logicista de Frege y Russell y consideraron que lasverdades de las matemáticas podían resolverse sobre la base delconcepto de analiticidad. De este modo, se eludía la tesis kantianade que las verdades matemáticas fueran proposiciones sintéticas apriori sin admitir la posibilidad de que alguna situación empíricallegara a refutarlas. Quine procuró mostrar que todos los intentos decaracterizar la analiticidad resultaban fallidos. Por otra parte, sucreencia de que el cuerpo completo de nuestras creencias se contrastacomo un todo con la experiencia, de tal modo que podemos hacerajustes donde nos resulte más conveniente, lo llevó a afirmar que lasmatemáticas, e incluso los principios lógicos, pueden abandonarsellegado el caso, como sucedió con la propuesta de dejar de lado elprincipio del tercero excluido para acomodar la teoría de la mecánicacuántica. Laugier no vacila en juzgar, sin embargo, que estasdeclaraciones de Quine eran hipócritas (Laugier 1997: 553). Másallá de la profundidad de las convicciones que tenía cuando hizoesas afirmaciones, es cierto que Quine revisó más tarde sus opinionesacerca del tema (cf. Quine 1995a: cap. 5). Uno de los motivos deeste cambio fue la teoría que elaboró sobre cómo se aprende ellenguaje. En consonancia con la función crucial que siempre otorgóa la información originada en los sentidos, su explicación delaprendizaje lingüístico reconoce la existencia de una clase especialde oraciones que se caracterizan por su vinculación directa con laexperiencia sensorial en cuanto constituyen respuestas a unaestimulación presente y les reserva el nombre de «oraciones deobservación». La incorporación de este concepto en la doctrina deQuine manifiesta su disposición a matizar el holismo

78

y reinstalar de algún modo la clásica distinción entre enunciadostéoricos y observacionales. Y por cierto, a través de esta vía se pue-den recuperar, en alguna medida, conceptos semánticos que anteshabía descartado: las oraciones de observación cuentan con un sig-nificado estimulativo y así puede definirse también una clase desinonimia, la que se predica de las oraciones de observación a lasque les corresponde un mismo significado estimulativo. Y así tam-bién se abre una puerta para permitir el ingreso de un conceptorestringido de analiticidad. Aunque mantiene algunas reservas y niegaque haya una separación tan marcada entre las oraciones analíticas ylas sintéticas como la que pretendía establecer Carnap, comenta apropósito de esta nueva perspectiva:

"Quizá esta versión de la analiticidad tenga éxito en trazar una toscalínea entre oraciones tales como «Ningún soltero es casado» o «So-mos primos de nuestros primos», de las que comúnmente se diceque son analíticas, y oraciones que no lo son. En todo caso, parece-ría que todos hemos aprendido «soltero» de manera uniforme,aprendiendo que nuestros mayores están dispuestos a asentir frentea ese término precisamente en las mismas circunstancias en las queasentirán a «hombre no casado»." (Quine 1990: 80).

Tal vez sería forzar demasiado las cosas concluir que lo impor-tante es que Quine haya admitido, por fin, que algunas oracionesson verdaderas en virtud de su significado, pero, sin duda alguna, esun reconocimiento significativo.

VIIIA pesar del carácter restringido de la noción de analiticidad que

Quine se manifiesta dispuesto a aceptar, su positura respecto de lanaturaleza de las verdades lógicas y matemáticas ha sufrido una no-table transformación. En Pursuit of Truth (Quine 1992) explica cómoactúan realmente los científicos cuando el incumplimiento de unapredicción afecta la estabilidad de una teoría. Sostiene que guiadospor principios como el de mínima mutilación proceden a explorarlas posibles correcciones en el sistema, pero entre estas potencialesmodificaciones no contemplan el abandono de las leyes lógicas, por-que ellas no agregan nada a lo que se pueda deducir del conjunto de

79

las hipótesis extralógicas (cf. Quine 1992: 14). Esta declaraciónme resulta extraña porque no alcanzo a entender que funcióncumplirían las verdades lógicas si no son capaces de modificar elconjunto de consecuencias de las hipótesis teóricas. Pero, en lo queconcierne al presente trabajo, podemos dejar de lado esta inquietudporque lo que nos interesa es que Quine ha dejado atrás una de susmás profundas diferencias con la tradición de los empiristas lógicos.

Una situación no menos sorprendente es la actitud de Quine conrespecto a las proposiciones matemáticas. Gibson le había hechonotar que había una contradicción entre las afirmaciones sostenidasen Pursuit the Truth y las formuladas en From Stimulus to Science(Quine 1995a). Mientras en el primero asevera que las matemáticastienen contenido empírico, en el último lo niega. (cf. Gibson 1995:p. 95). Quine reafirma entonces la segunda posibilidad: ningún con-junto de verdades matemáticas implica juicios sintéticos deobservación.

En síntesis, las verdades de la lógica y la matemática, pese a loque Quine había sostenido en la época en la que sometió a crítica lastesis del empirismo lógico no derivan su verdad de la evidencia em-pírica. Gozan de una posición diferenciada de la que les correspondea las teorías de la ciencia fáctica.

IXLas publicaciones más recientes de Quine contienen otras indi-

caciones de que había modificado considerablemente algunas de susconvicciones anteriores. Tal es el caso de la subdeterminación de lasteorías científicas con respecto a la evidencia empírica. En Pursuitof Truth señala que frente a dos teorías incompatibles que compar-ten su evidencia empírica es posible considerarlas no como dos teoríasdiferentes sino como dos formulaciones distintas de una misma teo-ría. Ello equivale a trivializar los efectos de la subdeterminación ysostener, a fin de cuentas, que el contenido relevante de las teoríascientíficas se reduce a su aspecto empírico. Creo que los viejosempiristas no podrían pedir más. Aquí puede apreciarse la particularversión del realismo sustentado por Quine. Porque si sólo los aspec-tos empíricos de una teoría científica resultan pertinentes y lo demás

80

se convierte meramente en cuestiones relativas a la manera deformularla, ya no parece que haya quedado nada parecido a lo quehabitualmente se entiende por realismo. Lo que resta, en todo caso,es puro empirismo. Y vale la pena recordar que Moritz Schlicktambién defendió en su momento la tesis de que el positivismo es laforma más acabada del realismo.

REFERENCIAS

Basu, P.(1996): "Theory-Ladenness of Observation and Evidence",Journal of Indian Council of Philosophical Research, 13(3), pp. 87-102.

Bhat, P.R. y Sahu, Gopal (1998): "Quine on observation Sentences",Indian Philosophical Quarterly, 25 (3), pp. 403-418.

Carnap, Rudolf ([1928]1967): Der logische Aufbau der Welt.Traucción al inglés: The Logical Structure of the World,Berkeley: University of California Press.

Carnap, Rudolf (1963): "Intellectual Autobiography", en SchilppP. A. (ed.): The Philosophy of Rudolf Carnap, La Salle,Illinois: Open Court.

Gibson, Roger (1995): "Quine on Naturalizing of Epistemology", enLeonardi, P. y Santambrogio, M. (eds.): On Quine: NewEssays. Cambridge: Cambridge University Press, pp. 89-103.

Hintikka, Jaakko (1997): "Three Dogms of Quine’s Empiricism",Revue Internationale de Philosophie, 4 (202), pp. 457-477.

Laugier, Sandra (1997): "De Quine à Carnap: L’empirisme Logiqueaujourd’hui", Revue Internationale de Philosophie, 51,n. 202, pp. 541-555.

Lewis, Harry y Holdcroft, David (1997): "Quine on the Thresholdof evidence", Revue Internationale de Philosophie, 51,n. 202, pp. 521-539.

81

Orestein, Alex (1998): "Quine, Willard Van Orman", en Craig, E. (ed.):Routledge Encyclopedia of Philosophy. London:Routledge, Versión CD-Rom.

Quine, Willard Van (1953): From a Logic Point of View. Cambridge,MA.: Harvard University Press.

Quine, Willard Van (1960): Word and Object. Cambridge, MA andLondon: MIT Press.

Quine, Willard Van (1965a): The Ways of Paradox. New York:Random House.

Quine, Willard Van (1965b): "The Scope and Language of Science",en Quine, W. V. 1965a, pp. 215-232.

Quine, Willard Van (1965c): "Posits and Reality", en Quine, W.V.1965a, pp. 233-241.

Quine, Willard Van (1965d): "Truth by Convention", en Quine, W.V.1965a, pp. 77-106.

Quine, Willard Van (1968): "Ontological Relativity", The Journalof Philosophy, vol. LXV, Nº 7, pp. 185-212.

Quine, Willard Van (1969): "Naturalized Epistemology", en Quine,W. V.: Ontological Relativity and Other Essays. NewYork / London: Columbia University Press.

Quine, Willard Van (1987): "El soporte sensorial de la ciencia", enAcero, J. y Calvo, T. (eds.): Symposium Quine: Granada:Editorial Universidad de Granada, pp. 11-22.

Quine, Willard Van (1992): Pursuit of Truth. Cambridge, MA /London: Harvard University Press.

Quine, Willard Van (1993): "In Praise of Observation Sentences",The Journal of Philosophy, vol. XC, n. 3, pp. 110-112.

Quine, Willard Van (1995a): From Stimulus to Science. Cambridge,MA / London: Harvard University Press.

Quine, Willard Van (1995b): "Reactions", en Leonardi, P. ySantambrogio, M. (eds.): On Quine: New Essays.Cambridge: Cambridge University Press, pp. 347-361.

Quine, Willard Van (1990): The Roots of Reference. La Salle, Illinois:Open Court Publishing.

82

Hahn, Lewis y Schilpp, Paul (eds.) (1987): The Philosophy of W.V.Quine. La Salle, Illinois: Open Court.

Rodolfo GaetaUniversidad de Buenos Aires -Argentina

Universidad Nacional de Luján - Argentinargaeta@filo.uba.ar

83

REALISMO CIENTÍFICO Y VUELO ALA REFERENCIA

Nélida Gentile

REALISMO CIENTÍFICO Y VUELO ALA REFERENCIA

Nélida Gentile

ResumenEn «The pessimistic induction, the flight to reference and the

metaphysical zoo», Bishop desarrolla una versión directa del argu-mento de la inducción pesimista que, en su opinión, resulta inmunea los ataques realistas e, indirectamente, refuerza la posiciónantirrealista. En el presente trabajo se evalúa el alcance del punto devista sustentado por Bishop y se ofrecen razones para mostrar que sibien la versión directa de la inducción pesimista parece reforzar laposición antirrealista, las consecuencias que se siguen de tal formu-lación resultan decididamente problemáticas.

AbstractIn «The pessimistic induction, the flight to reference and the

metaphysical zoo», Bishop develops a direct version of pessimisticinduction argument that, according to himself, comes about immuneto the attacks of realists and, indirectly, reinforces the antirrealismposition. In this paper Bishop´s view position is evaluated and reasonsare offered in order to show that although the direct version seems toreinforce antirrealism, the consequences that follow from thatformulation are absolutly problematic.

87

El debate contemporáneo realismo-antirrealismo ha dado lugar auna variada gama de argumentos en pro y contra de cada una deestas posiciones. Pero la más fuerte defensa del realismo científicoha sido apoyada en el llamado «argumento del no milagro» (Maxwell[1890]1962; Smart 1968; Putnam 1975; Boyd 1984; Kitcher 1993).En líneas generales, las diferentes versiones de este argumento sos-tienen la creencia de que el éxito de la ciencia muestra que nuestrasmejores teorías son aproximadamente verdaderas. La contraofensi-va antirrealista, por su parte, toma como pivote el denominado«argumento de la inducción pesimista» (Poincaré [1902]1968;Laudan 1981,1984a). En opinión de Laudan, la historia de la cienciaexhibe una amplia lista de teorías del pasado que han mostrado unalto éxito explicativo y predictivo y que, finalmente, fueron consi-deradas falsas. Por lo tanto, no hay razones para pensar que nuestrasmejores teorías actuales son verdaderas o aproximadamente verda-deras. En el marco de este debate, Michael Bishop desarrolla unminucioso análisis orientado a ubicar la discusión realismo-antirrealismo fuera del ámbito de la filosofía del lenguaje. Másespecíficamente, en «The Flight to reference, or how not to makeprogress in the philosophy of science» (1998), un artículo publicadoconjuntamente con Stephen Stich, y posteriormente en «Thepessimistic induction, the flight to reference and the metaphysicalzoo» (2003), Bishop manifiesta que tanto los realistas como losantirrealistas han apelado siempre a lo que denomina la estrategiadel «vuelo a la referencia» (flight-to-reference), esto es, que los ar-gumentos han estado siempre ligados a las nociones de verdad yreferencia. Como fundamento de esta afirmación cita las propiaspalabras que Laudan expresa en Science and Values (Laudam 1984a)cuando sostiene que muchas teorías que fueron exitosas contienentérminos que ahora creemos que carecían de referencia; y recuerdaque Kitcher —en su réplica a Laudan— trata de mostrar que muchosde los términos de teorías exitosas y obsoletas en algunas ocasionesrefieren (cf. Bishop 2003: 163). En contra de la estrategia del vueloa la referencia, Bishop desarrolla una versión directa del argumentode la inducción pesimista que, en su opinión,

88

resulta inmune a los ataques realistas e, indirectamente, refuerzala posición antirrealista.

El objetivo del presente trabajo es evaluar el alcance de punto devista sustentado por Bishop. En el primer apartado se caracteriza ladenominada estrategia del vuelo a la referencia. En el segundo, sepresenta la propuesta de Bishop, esto es, la reformulación directadel argumento de la inducción pesimista. En la tercera y últimasección se ofrecen razones que, según creemos, debilitan la fuerzade la posición de Bishop: se considera que si bien la versión directade la inducción pesimista parece reforzar la posición antirrealista,las consecuencias que se siguen de tal formulación resultandecididamente problemáticas.

1. LA ESTRATEGIA DEL VUELO A LA REFERENCIA

En «The Flight to Reference, or How Not to Make Progress inthe Philosophy of Science», Michael Bishop y Stephen Stich carac-terizan una forma de argumentación, ampliamente utilizada —segúnsu opinión— para resolver problemas filosóficos, a la que denominan"estrategia del vuelo a la referencia" (Bishop y Stich 1998: 34). Entérminos generales —sostienen— quienes apelan a este argumentosiguen la siguiente secuencia de pasos: i) Ofrecen una explicaciónsustantiva de la relación de referencia, ii) afirman que una expre-sión particular refiere (o no refiere), y iii) extraen a partir de aquíconclusiones que van más allá de la referencia, por ejemplo, sobre laverdad y la ontología. Bishop y Stich consideran como teoríassustantivas aquellas versiones que conciben la referencia como unaclase de relación compleja entre los términos y las entidades o clasesde entidades en el mundo1. Pero sus críticas no están dirigidas con-tra una u otra teoría de la referencia sino a lo que perciben como unilegítimo pasaje de las premisas a la conclusión y que bautizan, pre-cisamente, como un vuelo a la referencia. En efecto, a su juicio,cualquier conclusión adecuada, debería afirmar algo sobre la refe

1. Bajo esta categoría agrupan tanto las teorías causales de la referenciade Putnam y Kripke, como las teorías de las descripciones de Russell,Searle y Lewis (cf. Bishop y Stich 1998: 34n).

89

rencia, pero en lugar de ello, alude a cuestiones que nada tienenque ver con la referencia sino, más bien, con la verdad y la ontología.La inferencia presupone, pues, algún principio respecto de la relaciónentre referencia y verdad que no está de ninguna manera justificado.Si el principio es constitutivo de la referencia misma, entonces, lateoría sustantiva en cuestión debería mostrar que la relación de refe-rencia satisface el principio; y si no es constitutivo de la referencia,entonces, se deberían dar razones de por qué la relación de referen-cia lo satisface. Luego, en la medida en que este principio carece defundamentación, toda tentativa de resolver problemas en la filosofíade la ciencia apelando a la estrategia del vuelo a la referencia fraca-sa.

Bishop y Stich ilustran su posición a través de lo que considerancomo un sofisticado intento, por parte de Kitcher, de usar la estrate-gia del vuelo a la referencia en defensa del realismo científico.Describen entonces, en primer lugar, la propuesta de Kitcher paraevadir el argumento de Laudan de la inducción pesimista. En TheAdvancement of Science (1993), Kitcher diferencia entre la referen-cia de expresiones tipo (type) y la referencia de expresiones caso(token). Cada proferencia particular de una expresión constituye uncaso, una instanciación del tipo. Pero diferentes casos del mismotipo pueden estar asociados con distintos modos de referencia, queKitcher agrupa, a su vez, en tres clases. El modo descriptivo dereferencia corresponde a la situación en que un hablante refiere aalgo que satisface una descripción particular, de manera que elreferente es aquello que satisface la descripción. El modo bautismales aquél en el cual la referencia se fija por ostensión. Por último, elmodo conformista, reúne todas aquellas instancias en que el hablantealude al uso que ha sido transmitido, por medio de una cadena causal,desde que el término fue introducido, ya sea ostensivamente o pormedio de una descripción.

En la medida en que la referencia de un término tipo puede fijarsede distintos modos, en algunas ocasiones de uso el término puedereferir exitosamente y en otras, en cambio, carecer de referencia.Así, afirma Kitcher, cuando Prietsley usó «aire desflogistizado» con

90

la intención de referir a «la sustancia obtenida cuando el flogistoes eliminado del aire», el modo de fijar la referencia de la expresióntipo es a través de una descripción. Luego, la descripción es falsa,dado que no hay ninguna sustancia emitida en la combustión y, porende, la expresión tipo carece de referencia. Pero, cuando Priestleyusó la expresión «aire desflogistizado» con la intención de referir ala sustancia que él y los ratones respiraban —conocida comooxígeno— (cf. Kitcher 1993: 100), la manera de fijar la referenciacorresponde al modo bautismal y, en esta ocurrencia, la expresióntipo refiere exitosamente. La conclusión que Kitcher extrae de éstey otros ejemplos es que un término tipo puede referir exitosamenteaun cuando la ciencia contemporánea lo considere obsoleto, demanera que muchas de las teorías que fueron exitosas peroconsideradas falsas refieren a cosas que realmente existen y muchasde sus afirmaciones son verdaderas. De este modo, Kitcher enfrentael más fuerte de los dardos antirrealistas, a saber, el argumento de lainducción pesimista.

Pero, de acuerdo con Bishop y Stich, del hecho de que un términorefiera no se sigue que el referente exista y, por ende, tampoco quemuchas de las afirmaciones de teorías obsoletas sean verdaderas. Enotras palabras, la objeción subraya el ilegítimo pasaje de las premisasa la conclusión, pues ello presupone un principio que, según los au-tores, debería tener la siguiente forma (cf. Bishop y Stich 1998: 44):

Una proferencia de la forma ‘‘Fa” es verdadera sii (Ex) (estainstanciación de ‘‘a” refiere a x y x satisface esta instanciación de‘‘F—”)

Esto es, la estrategia del vuelo a la referencia exige un principioque conecte la referencia con la existencia, principio que, por otraparte, no conciben como una verdad analítica. Luego —sostienen—es natural pedir una justificación y ello es, precisamente, lo que lateoría de Kitcher —o cualquier otra teoría sustantiva de la referen-cia— no ofrece.

91

2. INDUCCIÓN PESIMISTA SIN VUELO A LA REFERENCIA

En términos generales, tal como afirma Bishop, los realistas sos-tienen que i) la mayoría de las entidades postuladas por nuestrasmejores teorías científicas existen, y que ii) la mayoría de las afir-maciones centrales de nuestras mejores teorías científicas sonverdaderas o aproximadamente verdaderas. A su turno, losantirrealistas se apoyan en el argumento de la inducción pesimista yconcluyen que i) y ii) son falsas. Bishop considera, asimismo, que elantirrealista tiene una salida para enfrentar las estrategias que, comola de Kitcher, intentan refutar la tesis de la inducción pesimista. Todolo que el antirrealista necesita es reformular el argumento de tal modoque resulte inmune a las críticas realistas. Con este propósito, Bishopdesarrolla una «versión directa de la inducción pesimista» que suponediferenciar dos sentidos de la noción de referencia: una nociónontológica de referencia (referencia-o), y una concepción sustantivade la referencia (referencia-s). La noción de referencia-o estáimplicada por un principio deflacionario:

(O) ‘‘T” refiere sii T (o los T) existe(n)

La concepción de la referencia-s, en cambio, supone que un tér-mino ‘‘T” refiere exactamente si ‘‘T” se halla en una relación dereferencia sustantiva con algo. Esto es:

(S) ‘‘T” refiere exitosamente sii (Ex) (‘‘T” Ref x)

La teoría de la referencia-s da cuenta de la relación sustantiva(Ref) que hay entre una expresión y lo que ella denota: hay algo conrespecto a lo cual la expresión se halla en una relación de referenciaapropiada. Las teorías de la referencia-s generalmente definen lasnociones de referencia de tal modo que no todas las instancias desustitución de (O) resultan verdaderas. La razón reside en el hechode que las teorías de la referencia-s, a diferencia de lo que ocurre enel caso de la noción deflacionaria de referencia, tienen una función

92

interpretativa: una expresión token en algunas ocasiones de usopuede referir y en otras ocasiones no. Así, es posible que en el sentidodeflacionario una expresión no tenga referencia, pero que refiera encambio en un sentido sustantivo (cf. Bishop 2003: 163). Por ejemplo,la situación descripta por Kitcher acerca de que en algunas ocasio-nes de uso la expresión «aire deflogistizado» refiere a la sustanciaremovida del aire mientras que en otras ocasiones refiere a oxígenoilustra, precisamente, la modalidad de referencia-s. De ahí que laestrategia de Kitcher permita, en principio, evadir el alcance de lainducción pesimista, dado que el propio argumento de Laudan estáformulado en términos de referencia-s: hay una lista de teorías delpasado que fueron exitosas y, sin embargo, sus términos no refieren.

La diferencia entre la referencia-o y la referencia-s refleja—según lo manifiesta el propio Bishop en una breve nota final— ladistinción que Kripke establece entre «referencia semántica» y «re-ferencia del hablante», o la correspondiente de Grice entre «referenciaconvencional» y «referencia del hablante». Esta alusión, por cierto,arroja algunos elementos para clarificar la cuestión. De acuerdo conKripke, el referente semántico de una expresión está determinadopor las convenciones del lenguaje y ciertos hechos acerca del mun-do. Si un hablante tiene un término en su idiolecto, entonces, ciertasconvenciones (dados diversos hechos acerca del mundo) determi-nan el referente de su idiolecto. El referente del hablante, en cambio,es aquél objeto acerca del cual el hablante desea hablar, en una oca-sión dada, y del cual él cree que satisface las condiciones para ser elreferente semántico de la expresión. De todos modos, no es del todoclaro que la distinción formulada por Bishop recoja exactamente lasideas expresadas por Kripke.

Pero el aspecto que interesa subrayar, a los fines que nos ocupan,es que, de acuerdo con Bishop, tanto los defensores del realismocomo sus oponentes, los antirrealistas, han apelado siempre a la no-ción de referencia-s y, de este modo, han extraído conclusiones acercade la existencia de las entidades postuladas por las teorías (referen-cia-o) a partir de premisas que sólo hablan de la referencia sustantiva.

93

94

Su propuesta, entonces, consiste en ofrecer una reformulacióndel argumento de la inducción pesimista que no hace uso de la nociónsustantiva de la referencia.

En efecto, de acuerdo con Bishop, el pesimista directo puede cons-truir, como lo hace Laudan, una lista de teorías del pasado que hayansido exitosas y mostrar que las entidades postuladas no existen (Cf.Bishop 2003:166). En otros términos, la diferencia entre el pesimistaindirecto y el pesimista directo reside en el hecho de que lo impor-tante no es si los términos teóricos refieren sino si las entidadespostuladas existen. Bishop es consciente de que preguntar si lasentidades postuladas existen es equivalente a preguntar si los términostienen referencia-o; pero lo esencial —a su juicio— es que elargumento directo no emplea ninguna noción de referencia-s. Unavez elaborada la lista, aun bajo el supuesto de que las entidadespostuladas por nuestras teorías actuales existen —tesis central delrealismo— el realista se verá obligado a concluir que las afirmacionesteóricas no son verdaderas ni aproximadamente verdaderas. En efecto,con la lista de teorías en mano ha de hacerse la siguiente pregunta:¿Nuestras teorías dejan un lugar en el mundo, por ejemplo, para«aire deflogistizado»? La respuesta, naturalmente, es no. La razónde ello reside en el hecho de que a la luz de las teorías actuales ybajo importantes testeos empíricos, los químicos han demostradoque el flogisto no existe. El realista seguramente podría argüir quealgunas veces Priestley usó «aire deflogistizado» para referirse aloxígeno, esto es, que «aire deflogistizado» refiere-s a oxígeno. Peroello, de acuerdo con Bishop, es muy diferente que afirmar que elaire deflogistizado existe. Decir, como lo hacen los realistas, que lasentidades postuladas por las teorías científicas exitosas del pasado ydel presente existen (incluyendo aquellas teorías que los científicosactuales han desacreditando sobre la base de argumentos empíricos)equivale, en opinión de Bishop, a creer en el zoo metafísico. A me-nos que los realistas crean en el zoo metafísico, no pueden sino aceptareste paso de la inducción pesimista directa: las entidades postuladaspor las mejores teorías científicas no existen. Luego, sus afirmacio-nes no pueden ser verdaderas ni aproximadamente verdaderas.

Así, aun bajo la suposición optimista de que nuestras teorías ac-tuales son verdaderas, el pesimista inductivo ha encontrado suficienteevidencia para pensar que el realista está equivocado, porque talsuposición compone una reducción al absurdo. Luego, sobre la basede esta evidencia, por inducción enumerativa debería suponer quenuestras teorías actuales postulan entidades no existentes y hacenafirmaciones sobre el mundo que no son verdaderas ni aproximada-mente verdaderas. Según Bishop, la mejor manera de entender elproyecto antirrealista es considerando el argumento de la inducciónpesimista como un sub-argumento dentro de un dilema: Si el realis-mo es falso, entonces, el antirrealismo es verdadero. Si el realismoes verdadero, entonces, el antirrealismo es verdadero (por aplica-ción de la inducción pesimista directa). El realismo es falso overdadero. Luego, en cualquier caso el antirrealismo es verdadero(cf. Bishop 2003: 168).

El próximo paso en la propuesta de Bishop es mostrar que la tesisde la inducción pesimista directa queda a salvo de cualquier refuta-ción que se apoye en una teoría sustantiva de la referencia.Sinteticemos, pues, su argumentación. La cuestión reside en sabersi, de acuerdo con la teoría de la referencia de los realistas, expresio-nes como «aire deflogistizado» realmente refieren. Hay, entonces,dos alternativas:

1. Si no refieren, entonces la teoría de la referencia del realista noprotege a éste de la inducción pesimista señalada por Laudan. Si lostérminos de teorías obsoletas no refieren, entonces, sus afirmacionesno pueden ser ni verdaderas ni aproximadamente verdaderas. Lue-go, la teoría de la referencia del realista no apoya el realismo.

2. Si refieren, entonces puede preguntarse si el realista aplica elesquema (O) a tales expresiones que refieren exitosamente. Y nue-vamente aquí se abren dos posibilidades:

2.1. Si no lo aplica, entonces, la teoría de la referencia del realistano apoya el realismo.

2.2. Si lo aplica, entonces el realista cae en el zoo metafísico:debe admitir no sólo que las expresiones de teorías exitosas yobsoletas refieren, sino que las entidades postuladas realmenteexisten.

95

Si el realista no acepta el zoo metafísico y se detiene en 2.1., estoes, no aplica el esquema (O), entonces pareciera que el realista afir-ma que mientras las entidades postuladas por aquellas teorías noexisten, los términos en cambio refieren-s a cosas reales como eloxígeno, y así las afirmaciones centrales de aquellas teorías puedenser verdaderas o aproximadamente verdaderas. Pero, de acuerdo conBishop, esta manera de proceder es ilegítima, ya que si el realistaarguye que «aire deflogistizado» refiere-s a oxígeno, y ello significaque está ontológicamente comprometido con la existencia del airedesflogistizado, entonces no está autorizado a hacer tal tipo de jui-cios, pues desde la perspectiva del pesimista directo los científicoshan encontrado suficiente evidencia para pensar que las entidadespostuladas por nuestras mejores teorías actuales no existen. Y si bienel procedimiento del pesimista directo puede estar equivocado, elrealista no puede derribarlo sólo con las armas de una teoría sustantivade la referencia, con una teoría del lenguaje. Si el realista replicaraque «aire deflogistizado» y «oxígeno» co-refieren de manerasustantiva (co-refieren-s), se le recordará que está formulando afir-maciones sobre las propiedades de las expresiones lingüísticas quenada tienen que ver con la existencia de las entidades postuladas.Así, la formulación directa de la inducción pesimista resulta, en opi-nión de Bishop, inmune a todos los intentos que intentan revocarlaapelando a una teoría sustantiva de la referencia.

3. UN ANTIRREALISMO CONFLICTIVO

3.1. El retorno a la referenciaBishop apoya su posición, como hemos señalado, en la distinción

entre referencia-s y referencia-o: si se formula el argumento de lainducción pesimista sin apelar a la noción de referencia, entonces, elantirrealista resulta ileso frente a los embates del realista. Pero cabepreguntarse, pues, si la versión directa de la inducción pesimistalogra, efectivamente, eliminar el uso de la noción de referencia yevitar así el vuelo a la referencia. Hemos visto que, según Bishop, lareferencia-o, a diferencia de la referencia-s, hace hincapié en el hecho

96

de si las entidades postuladas por nuestras mejores teorías existen,no si sus términos refieren; y ello queda expresado en un principiodeflacionario que afirma que ‘‘T” refiere si y sólo si T (o los T)existe(n). Ahora bien, ¿cuál es el significado preciso de este princi-pio deflacionario? En el sentido deflacionario decir que ‘‘T” refiereequivale a decir —según Bishop— que existe exactamente aquelloa lo que T refiere, y no otra cosa. Pero ese algo que existe tendráentonces que cumplir con algunas propiedades que forman parte delsignificado de ‘‘T”, esto es, para saber si T existe debemos conocerpreviamente al menos aquellas propiedades que son condición nece-saria y suficiente para poder aplicar adecuadamente el término ‘‘T”a T. Y como conocer esas propiedades no es más que conocer lareferencia, la formulación directa de la inducción pesimista cae ensu propia trampa: de manera subrepticia ha elevado su vuelo sobrela referencia. Si así, la diferencia entre la referencia-s y la referencia-o no parece ser tan significativa como Bishop cree.

Podría replicarse que para conocer si una entidad existe (o noexiste) no es necesario conocer el conjunto de propiedades necesa-rias y suficientes recogidas en la definición del término usado parareferir a la entidad. Sin embargo, según creemos, en el nivel delconocimiento científico, al menos, no hay otra posibilidad. Ilustremosla situación a través de un ejemplo. Decir, por caso, «aquí hay oro»implica conocer que ciertos aspectos de la realidad indican que hayoro y no otra cosa. Supongamos, además, que la sustancia frente anosotros es amarilla, es maleable y se disuelve en agua regia. Lapregunta es, pues, si basta con estas propiedades. Naturalmente, cadauna de ellas es una condición necesaria pero de ningún modo sufi-ciente para que una sustancia sea oro. Ser amarillo y maleable son,obviamente, aspectos compartidos por más de una entidad, y lo mis-mo ocurre con respecto a la circunstancia de disolverse en agua regia,ya que ello también es propio del platino. Pareciera, entonces, queen nuestro ejemplo del oro no es posible desconocer que se trata deuna sustancia cuyo número atómico en la tabla periódica es 79, si esque el término «oro» ha de aplicarse unívocamente. Pero poseer pesoatómico 79 constituye no sólo una condición necesaria sino,

97

además, una condición suficiente. De manera que, al menos en elcampo del conocimiento brindado por la ciencia, sólo es factibleafirmar si una entidad particular existe (o no existe) si contamos conalguna descripción que sea condición necesaria y suficiente. Luego,como ya hemos señalado, afirmar que un término refiere no es másque afirmar que el referente existe.

3. 2. Referencia ontológica y semántica intensionalAun si, en favor de la discusión, admitimos la relevancia de la

distinción entre ambos tipos de referencia y la crítica de Bishop deque tanto realistas como antirrealistas han pretendido resolver pro-blemas filosóficos apelando a una noción sustantiva de la referencia—noción que sólo tiene que ver con cuestiones de lenguaje—, detodos modos la posición de Bishop se torna controvertida. Algunosaños atrás, Bishop suscribió, en contra de Kuhn y Feyerabend, elpunto de vista de que siempre es posible formular una definiciónincompleta de los términos que componen una teoría, de tal maneraque queda garantizada la posibilidad de contar con un lenguaje teó-ricamente neutral compartido por los teóricos en competencia (cf.Bishop 1991). En otras palabras, Bishop apoyó la idea de una se-mántica intensional sensible al contexto según la cual en algunoscasos un término puede expresar el concepto completo, mientras queen otros contextos podría expresar un concepto incompleto: en ciertasocasiones de uso un término puede expresar el concepto completo,esto es, incluir en el definiens del concepto sólo aquellas descripcio-nes que son condición necesaria y suficiente para su aplicación, peroello no impide, sin embargo, que en otras ocasiones el mismo términopueda expresar un concepto incompleto, es decir, que incorpore enel definiens descripciones tales que, ninguna de ellas, mencione pro-piedades que dependan unívocamente de una teoría. Así, la definiciónincompleta de un término ‘‘T” se fija por la conjunción de las ora-ciones que constituyen un subconjunto propio de todas las oracionesde la teoría que contienen ‘‘T”, subconjunto que excluye aquellasdescripciones que son condición necesaria y suficiente.

Retomemos, para ilustrar su punto de vista, nuestro simplificadoejemplo del oro. Conforme con la caracterización de definición in

98

completa ofrecida más arriba, la definición de «oro» no puedeincluir en su definiens la oración «x es una sustancia química denúmero atómico 79», pues en la medida en que tal descripciónconstituye una condición necesaria y suficiente, estaríamosofreciendo el concepto completo. De manera que una definiciónincompleta podría formularse como sigue: «El oro es definido comoel único x, tal que x es amarillo, y x es maleable, y x se disuelve enagua regia ....»2.

Ahora bien, si aceptamos que hay una diferencia entre la referen-cia-s y la referencia-o, podemos a su vez establecer una vinculaciónentre ambos tipos de referencia y las definiciones de los términosque aluden a ellas. Hemos visto que un término refiere-o si y sólo siel referente existe, y afirmar que el referente existe no es más, anuestro juicio, que afirmar que la entidad en cuestión satisface laspropiedades necesarias y suficientes que nos permiten aplicarunívocamente el término en una situación particular. Si así, lareferencia-o sólo puede quedar capturada a través de la definicióncompleta del término en cuestión. Por otra parte, como ya señala-mos, la relación de referencia-s supone que una expresión token enalgunas ocasiones puede referir y en otras no. Pero ello sólo es posi-ble, a nuestro entender, si la expresión no recoge el conjunto depropiedades que son condición necesaria y suficiente para su aplica-ción, lo cual equivale a decir que el token alude sólo a su conceptoincompleto.

Pero ahora, entonces, Bishop queda enredado en los hilos delpropio ovillo que critica. La idea central desarrollada en 1998 y en2003 ha sido que tanto realistas como antirrealistas falaciosamentehan intentado resolver problemas filosóficos apelando a una nociónsustantiva de la referencia que sólo atañe a propiedades dellenguaje. Sin embargo, conforme con nuestra argumentación, en1991, él mismo ha usado —para decirlo con sus propias palabras—una teoría sustantiva de la referencia para resolver cuestiones de

2. Bishop propone una explicación del significado y la referencia de lostérminos que hace uso de la teoría de las descripciones definidas (cf.Bishop 1991: 349).

99

filosofía de la ciencia, a saber, enfrentar las indeseables conse-cuencias generadas a partir de la tesis de la inconmensurabilidad.

En resumidas cuentas, entonces, la estrategia de Bishop para evi-tar el vuelo a la referencia presenta dificultades que otorgan a suposición un sesgo controvertido. Conforme con nuestro análisis po-demos formular, pues, el siguiente dilema: si Bishop no hace uso dela referencia-s (por argumento directo de la inducción pesimista),entonces cae en el vuelo a la referencia. Si hace uso de la referencia-s (por adopción de una semántica intensional sensible al contexto),entonces, cae en el vuelo a referencia. Hace uso de la referencia-s ono lo hace. De modo que, en cualquier caso, Bishop cae en laestrategia del vuelo a la referencia.

REFERENCIAS

Bishop, Michael (1991): "Why the Semantic IncommensurabilityThesis is Self-Defeating", Philosophical Studies, 63, 3,pp. 343-355.

Bishop, Michael (2003): "The pessimistic induction, the flight toreference and the metaphysical zoo", International Studiesin the Philosophy of Science, vol. 17, nº 2, pp. 161-178.

Bishop, Michael. y Stich, Stephen (1998): "The Flight to Reference,or How Not to Make Progress in the Philosophy ofScience", Philosophy of Science, 65, pp. 33-49.

Boyd, Richard (1984): "The Current Status of Scientific Realism",en Leplin, J. (ed.): Scientific Realism. Berkeley: Universityof California Press, pp. 41-48.

Grice, Herbert (1969): "Utterer’s meaning and intentions",Philosophical Review, 78, pp. 147–177.

Kitcher, Philip (1978): "Theories, theorists and theoretical change",Philosophical Review, 87, pp. 519-547.

100

Kitcher, Philip (1993): The Advancement of Science. New York:Oxford University Press.

Kripke, Saul (1977): "Speaker’s reference and semantic reference",en French, P. A.; Uehling, T. E. y Wettstein H. K (eds.):Contemporary Perspectives in the Philosophy ofLanguage: Minneapolis: University of Minnesota Press,pp. 255–276.

Kukla, André (1998): Studies in Scientific Realism. New York: OxfordUniversity Press.

Laudan, Larry (1981): "A Confutation of Convergent Realism",Philosophy of Science, 48, 19-49.

Laudan, Larry (1984a): Science and Values. Berkeley: University ofCalifornia Press.

Laudan, Larry (1984b): "Realism without the real", Philosophy ofScience, 51, pp. 156-162.

Maxwell, James Clerk ([1890]1962): "On Physical Lines of Force",en Maxwell, J. C.:The Scientific Papers of James ClerkMaxwell, vol. 1. New York: Dover, pp. 451-513.

Poincairé, Henri ([1902]1968): La Science et L´ Hypothèse. Paris:Flammarion.

Psillos, Stathis (1999): Scientific Realism: How Science Tracks theTruth. London: Routledge.

Putnam, Hilary (1975): "The meaning of ‘meaning’", en Putnam,H.: Mind, Language and Reality: Philosophical Papers,Volume 2. Cambridge: Cambridge University Press,pp. 215–271.

Smart, John J.C. (1968): Between Science and Philosophy. New York:Random House.

Nélida GentileUniversidad de Buenos Aires - Argentina

nelgen@filo.uba.ar

101

LOS DESAFÍOS DEL REALISMOESTRUCTURAL

Susana Lucero

LOS DESAFÍOS DEL REALISMOESTRUCTURAL

Susana Lucero

ResumenEl presente artículo es una evaluación crítica del realismo estruc-

tural (RE) en la concepción de John Worrall; desarrolla losargumentos que podría construir el realista estructural para hacerfrente a los desafíos de los antirrealistas representados en este casopor las críticas de Laudan. La tesis central del RE establece que haycontinuidad o acumulación en el cambio científico, pero que talcontinuidad es respecto a la forma o estructura la cual queda reflejadaen las ecuaciones matemáticas de la teoría. Entre sus ventajas seadvierte el hecho de que no postula la referencia de los términoscentrales ni suscribe la tesis de la verosimilitud, ya que reemplaza elconcepto de teorías verdaderas por el más liberal de teorías exitosas.La versión de John Worrall debe resolver, no obstante, algunasimportantes dificultades: explicar con más precisión la continuidada través de los episodios de revoluciones científicas y clarificar elprincipio de correspondencia aplicado al nivel matemático, es decirqué se entiende exactamente por la idea de continuidad aproximadade la estructura.

AbstractThe present article is a critical evaluation of John Worrall’s

105

conception of structural realism (SR). It develops some argumentsa structural realist would build in order to face the antirealists’challenges such as those posed by Laudan. The main thesis of SRclaims that there is continuity or accumulation in scientific changebut the continuity is one of the form or structure which is reflectedin the mathematical equations of the theory. Among its advantages,we have the fact that it doesn’t postulate any reference to the centraltheoretic terms nor assumes it the thesis of verisimilitude, since itreplaces the concept of true theories by the more liberal notion ofsuccessful theories. John Worrall’s approach needs to solve importantdifficulties like how continuity works in the episodes of scientificrevolutions. It must also clarify the correspondence principle whenit is applied at the mathematical level, in other words: what exactlyis meant by the idea of approximate continuity of structure.

IEn las últimas décadas, algunos participantes del ya célebre de-

bate entre realistas y antirrealistas han elaborado concepciones delrealismo científico de variada fuerza y modalidad. Una versión atrac-tiva dentro de este grupo es la propuesta de John Worrall conocidacomo realismo estructural (Worrall 1997). Esta posición surge alcalor de las críticas formuladas por los antirrealistas en torno al cam-bio científico y sus aspectos ontológicos y semánticos.

El realismo estructural de Worrall intenta superar dos movimien-tos en tensión: el pragmatismo con sus variantes (instrumentalismoy empirismo constructivo) y el realismo conjetural de Popper, puescada uno exhibe ventajas y debilidades. El propósito de Worrall eselaborar un realismo más robusto que el de Popper, ya que laconcepción popperiana se le presenta demasiado débil, debido a suescepticismo respecto de la posibilidad de que lleguemos a conocerla verdad o aproximación a la verdad de las teorías. Worrall busca,en efecto, una versión de realismo que no se halle peligrosamentecercana a ninguna variante del anti realismo. Para ello consideraseriamente dos argumentos que corren en direcciones opuestas: lametainducción pesimista (MIP) y el argumento del no milagro(ANM). El primero, apoyado en la evidencia que ofrece la historiade la ciencia, advierte

106

que en la marcha del conocimiento científico, las teorías antiguashan sido reemplazadas por otras nuevas y mejores, a su turno lasnuevas teorías fueron abandonadas por otras mejores y asísucesivamente. De modo que tenemos buenas razones para creer quelas teorías exitosas actuales también se van a revelar falsas y seránsustituidas por otras; en definitiva, no podemos afirmar que lasmejores teorías de nuestro tiempo sean verdaderas oaproximadamente verdaderas. Varios antirrealistas han hecho pie enMIP para construir críticas demoledoras contra sus adversariosfilosóficos, en particular Larry Laudan (cf. Laudan 1997).

El ANM es en cambio el locus preferido de los realistas científi-cos. Brevemente este argumento sostiene que sería un verdaderomilagro, una coincidencia cósmica, que las teorías que exhiben tan-tos éxitos empíricos y tecnológicos estuvieran edificadas sobreprincipios falsos; pero como no aceptamos los milagros, es racionalcreer que el éxito se debe a que esas teorías describen correctamentelos hechos; tenemos entonces buenas razones para pensar que lasteorías exitosas de nuestro tiempo son al menos aproximadamenteverdaderas, y que las entidades no observables que ellas postulan(electrones, campos electromagnéticos) existen.

Worrall llama la atención sobre una característica del realismo,su dependencia de la tesis de que el cambio científico es acumulativo,esto es, que gran parte del contenido observacional y teórico de unateoría predecesora T se conserva en la nueva teoría T’; además, lateoría triunfante estaría en condiciones de explicar por qué su prede-cesora tuvo el éxito que tuvo.

A pesar del desafío que implica el argumento MIP para el realis-mo científico, Worrall está convencido de que puede ofrecer unarespuesta satisfactoria que recoja «lo mejor de los dos mundos», esdecir que acepte por un lado el núcleo del argumento del no milagroy por otro, que dé cuenta del cambio teórico producido tal como lorevela la historia de la ciencia. Esta respuesta es el realismo estruc-tural, cuya tesis central afirma que lo que se conserva en el pasajede una teoría anterior a una nueva no son solamente las consecuen-cias empíricas verdaderas sino algo del nivel de lo no empírico,aunque

107

no el contenido teórico sino la forma o estructura, expresada enlas ecuaciones matemáticas. Su ejemplo preferido es el cambio desdela teoría ondulatoria de la luz desarrollada por Fresnel, la cual postulaque la luz se desplaza en un medio sólido elástico —el éter—, a lateoría de Maxwell que afirma que la luz se debe a la propagación deondas en un campo electromagnético, pero las formas del desplaza-miento ondulatorio obedecen a las mismas leyes matemáticas.

En este trabajo se exploran los recursos con que cuenta el realis-mo estructural para hacer frente a las críticas de algunos antirrealistasinspiradas en el argumento MIP, en particular las de Larry Laudan.

IIEn su artículo «A Confutation of convergent realism», Laudan

(1997) elabora argumentos críticos de penetrante agudeza en contrade algunas tesis básicas del realismo científico; estas críticas resul-tan válidas inclusive con respecto a una versión más moderada delrealismo denominado «realismo modificado» o simplemente «rea-lismo epistemológico». Esta posición puede resumirse así: «Tenemosbuenas razones para sostener que las teorías actuales empíricamenteexitosas de las ciencias maduras son aproximada o esencialmenteverdaderas». Las objeciones de Laudan a esta tesis, basadas en ge-neral en el argumento MIP, hacen blanco en diversos aspectos, asaber: (1) el carácter referencial de los términos centrales que con-curren en las teorías de la ciencia madura, (2) la noción por demásproblemática de aproximación a la verdad atribuida a las leyes yprincipios, (3) la idea de ciencia madura o ciencia exitosa y por últi-mo (4) el carácter convergente de las teorías sucesivas acerca de unmismo dominio de fenómenos. De acuerdo con Worrall las críticasde Laudan están bien fundadas aunque no afectan la propuesta delrealismo estructural. Hay que tener en cuenta que una presuposicióndel realismo científico, como se dijo, es que existe alguna forma decontinuidad en el cambio, no solamente en lo que respecta a las con-secuencias empíricas verdaderas sino también en la parte noobservacional de una teoría T que presumiblemente se conserva ensu sucesora T’. Debe aclarase además que la clase de realismoepistemológico que está en danza y que ha sido defendido a su vez

108

por autores realistas como R. Boyd, H. Putnam, Newton-Smith yA. Shimony, pretende que las tesis del realismo epistemológico esténabiertas al test de la experiencia, es decir que puedan ser confronta-das con la práctica científica pasada y presente.

En virtud de este rasgo de naturalización, Laudan procede a refu-tar las tesis, veamos en detalle los argumentos. La primera objecióndemuestra que la afirmación que conecta el éxito de una teoría conel hecho de que sus términos centrales refieran es históricamentefalsa. Llamemos a esta crítica, la crítica referencialista. Laudanmenciona contraejemplos históricos que operan en la siguiente dobledirección:

A) Numerosas teorías cuyos términos presuntamente refieren(desde el punto de vista del realista) no fueron exitosas en su mo-mento, por ejemplo las teorías químicas del átomo en el siglo XVIII,la teoría de Prout acerca de que el peso atómico de los elementosquímicos es un compuesto de átomos de hidrógeno en el siglo XIX,la teoría de la deriva continental de Wegener antes de 1960, carecieronde éxito y algunas debieron enfrentar importantes refutaciones. Estacircunstancia se explica además porque aun cuando las entidadesaludidas existieran, la teoría podría atribuirles propiedades o rela-ciones que no les corresponden. La teoría de Dalton produjo muchasafirmaciones falsas acerca de los átomos y lo mismo ocurrió con laprimera versión de la teoría de Bohr sobre el electrón.

B) Numerosas teorías cuyos términos centrales hoy se sabe queno refieren fueron enormemente exitosas en su época, entre ellas lateoría óptica de Fresnel que postuló la existencia del éter lumínico yrealizó asombrosas predicciones, la teoría del flogisto, del fluidoeléctrico, etc.

En conclusión, la conexión entre referencia y éxito científico es"extremadamente tenue" (Laudan 1997: 114).

La segunda objeción señala que, dejando de lado la referencia delos términos teóricos, muchos realistas científicos suscriben la tesisde la existencia de una conexión entre verosimilitud y éxito empírico,de modo que se comprometen con la afirmación de que si una teoríaes aproximadamente verdadera entonces es explicativamente exitosa.En este caso, el realista está obligado a ofrecer argumentos indepen

109

dientes a favor de esta conexión. Pero de atenernos al análisishistórico de Laudan, la relación entre verosimilitud y éxito empíricoes tan errónea como la anterior. En primer lugar los realistas no hanpodido articular todavía una noción coherente de aproximación a laverdad y, por otra parte, el intento de aplicarla ha originado másproblemas de los que se intentaban resolver. Pero aun suponiendoque la noción estuviera claramente definida, restaría probar que laaproximación a la verdad de una teoría implica su éxito explicativoy predictivo, tal conclusión es sin embargo un non sequitur. En efecto,un realista epistemológico que aceptara una teoría comoaproximadamente verdadera (aunque sea a partir de una idea intuitivade verosimilitud) debe aceptar a la vez que al menos algunos términosbásicos de su teoría genuinamente refieren, pues cómo podría creerque las hipótesis de la teoría genética son aproximadamenteverdaderas y negar que existan genes; o creer que la teoría atómicade la materia se aproxima a la verdad si en el mundo no hay entidadessimilares a los átomos, si no hubiera partículas subatómicasseguramente el realista no podría decir que la teoría cuántica esaproximadamente verdadera. En síntesis, el carácter referencial delos términos centrales de las teorías presentes no puede ser ignoradopor alguien que defiende alguna versión de la tesis de la aproximacióna la verdad o verosimilitud. Pero como ya fue demostrado por lacrítica referencialista, la referencia no garantiza el éxito ni el éxitola referencia. Ahora bien, la referencia es una condición necesariade la aproximación a la verdad, de modo que esta última tesis queda,a su turno, desvinculada del éxito científico. Nuevamente la apelacióna la historia de la ciencia es decisiva en este argumento, Laudanpresenta una larga lista de teorías químicas y físicas exitosas en sutiempo de las cuales hoy sabemos que no refieren ni se les podríaatribuir verosimilitud. Y curiosamente, la historia de la cienciamuestra que varias teorías del pasado cumplen las siguientes doscondiciones: sus términos genuinamente refieren y gozaron de éxitoempírico en su época pero los científicos hoy se resistirían a admitirque son aproximadamente verdaderas; por ejemplo, las teorías delátomo de los años 20 de acuerdo con las cuales el núcleo atómico esestructuralmente homogéneo.

110

La tercera objeción de Laudan es acerca de contar con un criteriopreciso de madurez científica, a fin de que las críticas formuladas nosean evitadas con estratagemas ad hoc. Laudan especifica cuál es elcriterio que va a adoptar para seleccionar contraejemplos históricosdel realismo epistemológico:

"asumiré que una teoría es exitosa en la medida en que se ha desem-peñado bien, esto es en la medida en que ha funcionado en unavariedad de contextos explicativos, ha conducido a prediccionesconfirmadas y posee un amplio espectro explicativo." (Laudan 1997:111-112)

La última objeción de Laudan apunta hacia el fenómeno de laconvergencia (acumulación o correspondencia) que muchos realis-tas científicos invocan para dar cuenta del desarrollo progresivo delas teorías de las ciencias maduras. Brevemente este principio esta-blece que las nuevas teorías retienen porciones apropiadas de lasteorías anteriores, más precisamente una teoría exitosa T2 conservalas leyes y los mecanismos teóricos propuestos por su predecesoraT1 como casos límite. En este sentido T2 se halla en una relación decorrespondencia con T1 , o dicho de otra manera, T1 es un caso límitede T2. La noción de «caso límite» podría todavía ser precisada unpoco más. En su versión más estricta se formularía así: una teoría T1

es un caso límite de la teoría exitosa que la reemplaza T2 sólo si secumplen las siguientes dos condiciones: (1) todas las entidades pos-tuladas por T1 ocurren en la ontología de T2 , y (2) todas las leyes deT1 pueden derivarse de T2, dadas las condiciones limitantes apropia-das. Realistas científicos como Hillary Putnam afirman que estaestrategia es la que los científicos intentan aplicar y la que ha condu-cido a importantes descubrimientos. Por supuesto existen versionesmás debilitadas de la convergencia dependiendo de qué porcionesde la vieja teoría exitosa se postula que son retenidas en la nueva yen qué grado. En el caso de Popper se retienen las consecuenciasobservacionales verdaderas; para Boyd, Mc Mullin y Putnam sonlas leyes y los mecanismos teóricos los que se conservan, para Boydy Putnam también la referencia de los términos teóricos.

Laudan rechaza la tesis de la convergencia sobre la base de la

111

información que suministra la literatura histórica de la ciencia.Salvo algunas excepciones provenientes de la mecánica, el principiode correspondencia casi nunca se cumple. La teoría ondulatoria dela luz por ejemplo fue aceptada aunque no preservaba los principiosteóricos de la anterior teoría corpuscular. Del mismo modo, la teoríade Darwin tampoco retenía muchos de los mecanismos de la teoríaevolucionista de Lamarck. Por otra parte el principio de correspon-dencia no puede funcionar como una guía heurística, porque al tratarde conservar las leyes y mecanismos de las teorías precedentes, selimitaría la creatividad de los científicos. La única estrategia de al-cance general que Laudan estaría dispuesto a sugerir a los científicoses la que dice: "acepte una teoría empíricamente exitosa sin tener encuenta el hecho de que contenga las leyes teóricas y los mecanismosde su predecesora" (Laudan 1997: 126-127). En resumen, el fenó-meno de la convergencia que el realista invoca es tanto históricamentefalso como normativamente inapropiado.

IIIEn su propósito de articular una concepción convincente del rea-

lismo científico, Worrall había descartado tanto el pragmatismo comoel realismo conjetural de Popper. Ambos conciben el cambio cientí-fico en un sentido de acrecentamiento acumulativo en el nivelempírico y no acumulativo o discontinuo en el nivel teórico. Laprincipal dificultad del pragmatismo, en su versión instrumentalista,es que no puede ofrecer una explicación del éxito empírico de laciencia, debido a que otorga a los principios teóricos el rol de merosesquemas codificadores del conocimiento empírico. En cuanto alrealismo científico de Popper, a pesar de que concibe las leyes básicascomo descripciones de un mundo independiente de la mente; desdeun punto de vista estrictamente epistemológico, resulta indistinguibledel anti-realismo, dada su convicción de que no podemos sabercuándo nuestras teorías son verdaderas o aproximadamenteverdaderas, ni tenemos indicios de haber triunfado en la interminablebúsqueda de la verdad. Además el realismo científico de inclinaciónpopperiana no hace ninguna concesión al argumento MIP, en tantoque Worrall está dispuesto a admitir la razonabilidad del argumentoasí como su

112

fundamentación histórica. En cambio, encuentra en la viejafilosofía de Henry Poincaré y P. Duhem la fuente del tipo de posiciónque desea defender.

En La ciencia y la hipótesis, Poincaré había anticipado el núcleodel argumento MIP bajo el nombre de la «bancarrota de la ciencia»,pero a la vez había contrarrestado el escepticismo que se deriva detoda bancarrota proponiendo una concepción no instrumentalista —en contra de lo que comúnmente se le atribuye (cf. Poincaré 1945)—.Sobre la base de esta propuesta original, John Worrall tomó a sucargo el desarrollo del programa del realismo estructural cuyo nú-cleo duro afirma la tesis de la continuidad de cambio teórico en elnivel de las ecuaciones matemáticas y no de la interpretación con-ceptual. En efecto, la preservación de la estructura puede iracompañada de un cambio en la ontología postulada por la teoríasucesora e inclusive de los principios y mecanismos teóricos. El pro-grama suscribe el principio de correspondencia a nivel formal en elsiguiente sentido: las ecuaciones matemáticas de la antigua teoríare-emergen como casos límite en las ecuaciones matemáticas de lanueva; hay entonces una continuidad aproximada de la estructura.Worrall declara que esta concepción recoge «lo mejor de los dosmundos»: las intuiciones subyacentes en el argumento del no milagroy los resultados de la historia de la ciencia.

El caso paradigmático analizado por Worrall es el cambio de lateoría ondulatoria de la luz de Fresnel en el siglo XIX por la teoríaelectromagnética de Maxwell. Respecto de la teoría de Fresnel, nose puede afirmar que sea verdadera o aproximadamente verdadera,pues sus términos centrales no refieren, y los mecanismos teóricospostulados no son retenidos en la teoría sucesora ni constituyen ca-sos límite. Sin embargo, la óptica de Fresnel pertenece sin duda algunaa la ciencia madura como bien lo reconoce Laudan, "si ella [la teoríade Fresnel] no cuenta como un éxito empírico, entonces nada lo hace"(Laudan 1997: 115).

Fresnel, en efecto, se equivocó al describir la naturaleza de la luzcomo el resultado de perturbaciones periódicas que se transmiten enun medio elástico sólido, el éter, pero su teoría tuvo un éxito empíricoasombroso porque capturó correctamente las relaciones de los fenó

113

menos ópticos expresadas en las ecuaciones matemáticas. Estasmismas ecuaciones reaparecen en la teoría de Maxwell aunque aho-ra la luz consiste en vibraciones que se propagan en un campoelectromagnético. Con ello se comprueba la continuidad formal o deestructura lo cual constituye un ingrediente formidable a favor delrealismo estructural en su lucha contra las consecuenciasdevastadoras del argumento MIP. No obstante, la pertinenecia delejemplo elegido por Worrall —en el cual las ecuaciones matemáticasse conservan intactas a través del pasaje de una teoría exitosa a otra—es dudosa, pues el caso de las teorías ópticas no es representativo delcambio teórico en general. Worrall aclara al respecto que,

"el patrón corriente del cambio científico es aquel en el cual lasecuaciones antiguas reaparecen como casos límite en la nueva teo-ría, es decir las viejas y las nuevas ecuaciones son estrictamenteinconsistentes, pero las nuevas tienden hacia las viejas como unacantidad tiende hacia un límite." (Worrall 1997: 160)

Nuestro objetivo en esta sección es examinar si las cuatro obje-ciones de Laudan mencionadas en la sección II son lo suficientementeintensas como para refutar las tesis del realismo estructural.

En primer lugar, el realismo estructural no es una teoríareferencialista, no asume que podemos conocer la naturaleza de lasentidades referidas por los términos teóricos de las ciencias madu-ras. En este punto Worrall se apoya en Poincaré. En efecto, en Laciencia y la hipótesis, el matemático francés afirmaba que la natura-leza nos va a ocultar para siempre la esencia de los objetos reales,pero aún así podemos llegar a conocer las relaciones reales entre losobjetos —sean los que fueren— expresadas a través de las ecuacionesmatemáticas de la teoría,

"[…] esas ecuaciones expresan relaciones, y si las ecuaciones per-manecen verdaderas, es que esas relaciones conservan su realidad.Ellas nos enseñan, ahora como antes, que hay cierta relación entreun algo y otro algo, solamente que a ese algo lo llamábamos antesmovimiento y ahora lo llamamos corriente eléctrica." (Poincaré1945: 153 y s.)

También para Worrall es erróneo creer que las teorías científicas

114

develan la naturaleza de los objetos que pueblan el universo, lasteorías exitosas deberían más bien tomar sus términos fundamentalescomo primitivos sin asumir compromisos ontológicos con sus pre-suntos referentes. Esto es lo que corresponde en el caso de la accióna distancia en la teoría de Newton o de los estados cuánticos en lamecánica cuántica. La exigencia de conocer la naturaleza de lasentidades y la necesidad de apostar a su existencia tienen su origenen expectativas metafísicas que corresponden a una tradición depensamiento profundamente arraigada en nosotros.

En segundo lugar, el realismo estructural no se compromete conla idea de verosimilitud porque, como ya se demostró, esta tesis estáligada a la referencia de los términos teóricos. Por otra parte, cuandose ha dejado de lado la interpretación teórico-conceptual de los me-canismos y procesos que postula la teoría, el problema de la verdado de la aproximación a la verdad simplemente no surge.

En tercer lugar, Worrall ha brindado un criterio razonablementepreciso e independiente de madurez que obtiene a partir del argu-mento del no milagro; dicho criterio, en efecto, se aplica solamentea las teorías que han tenido éxito empírico genuino. En un espírituclaramente lakatosiano, Worrall define «ciencia madura» comoaquélla cuyas teorías han logrado formular predicciones de hechoscompletamente nuevos, corroborados posteriormente por laexperiencia.

Es de notar que el éxito predictivo no es equivalente a las conse-cuencias observacionales verdaderas ni a la adecuación empírica,tiene un sobrevalor que radica en la auténtica novedad de ciertostipos de hechos que la teoría ha logrado anticipar. Son ejemplos deéxito predictivo genuino la predicción del planeta Neptuno por lateoría de Newton y la aparición de un punto luminoso en el centro dela sombra proyectada por un disco opaco predicha por la teoría deFresnel. En este sentido, el criterio de Worrall es más riguroso que elpropuesto por Laudan; con él se pretenden evitar maniobras ad hocen aquellos casos en que la tesis realista resulte refutada porcontraejemplos históricos, alegando por ejemplo que los casosrefutadores no pertenecen estrictamente a la ciencia madura.

Con respecto a las tres primeras objeciones, hemos hallado queel realismo estructural se encuentra bien pertrechado para responder

115

las críticas del anti-realista. Pero el cuarto desafío o tesis de laconvergencia no corre la misma suerte. Recordemos que esta tesisincorpora el principio de correspondencia para las ecuaciones mate-máticas requiriendo que las ecuaciones de la vieja teoría re-emerjancomo casos límite en las ecuaciones de la nueva. Se pretende ade-más que el principio funcione como una herramienta heurística paradesarrollar teorías nuevas. Desde nuestro punto de vista esta pro-puesta es deficiente, recuérdese que el caso de las teorías de la luz,en las cuales las ecuaciones de la teoría abandonada se conservanintactas en la teoría que la sustituye, no es representativo del cambioen general; Worrall habla de una «conservación aproximada de laestructura» para referirse a la mayoría de los cambios formales pro-ducidos entre teorías sucesivas, pero lo cierto es que no ofrece unanálisis esclarecedor de en qué exactamente consiste que lasecuaciones de una teoría se «aproximen» a las de otra; se limita aejemplificar el punto con una referencia a las teorías de Newton yEinstein: "Innegablemente las ecuaciones de Einstein se aproximana las de Newton en ciertos casos límite especiales. En este sentidohay continuidad aproximada de la estructura […]" (Worrall 1997:160, las cursivas son nuestras).

Ciertamente algunos conceptos clave del realismo estructural re-claman ser mejor elucidados si van a desempeñar el rol que sepretende que cumplan, la noción de aproximación estructural es to-davía demasiado imprecisa; a menos que Worrall elabore unadefinición más clara de lo que entiende por «continuidad aproximadade la estructura», el concepto resulta tan problemático como el deaproximación a la verdad. Parafraseando al propio Worrall, estamosen una situación tal que uno no puede continuar avanzando alegre-mente y dejar el término como primitivo.

Por último, y fuera de las cuatro críticas anti-realistas de Laudan,parece necesario que el realismo estructural —sea en la versión pre-liminar de Poincaré o en la más elaborada formulación de Worrall—,ofrezca una explicación apropiada sobre qué lugar ocupan en estaconcepción las revoluciones científicas y cómo deben ser entendi-das. En los escritos de Worrall es posible deslindar dos tipos decambio

116

científico: un cambio por extensión con modificaciones, esen-cialmente continuo y un cambio teórico radical o revolucionario querecuerda al de Kuhn. El segundo entraña que el reemplazo de unateoría T1 en su momento exitosa por otra teoría T2 que la superaimplica un cambio de los principios teóricos, de los procesos ymecanismos postulados por la teoría anterior junto con el abandonode la ontología popularizada por T1 . Pero al mismo tiempo hayconservación acumulativa de las consecuencias empíricas verdaderasy además continuidad de la estructura matemática, sea completa oaproximada. Los factores de continuidad empírica y super-empíricamencionados parecieran indicar que el cambio revolucionarioconcebido por los proponentes del realismo estructural no es de cortekuhniano, de modo que no sería potencialmente generador deinconmensurabilidad. Dado el papel fundamental que tiene en estaposición la idea de que el cambio teórico es en algún sentido,esencialmente acumulativo, creemos que el caso de las revolucionescientíficas merece un tratamiento especial, en particular porqueWorrall suscribe la idea de que los cambios revolucionarios hanocurrido efectivamente en la historia de la ciencia.

En el balance general de la concepción de Worrall, concluimosque varios de los desafíos planteados por los anti-realistas puedenser respondidos de manera satisfactoria, otros en cambio quedan a laespera de ulteriores fundamentaciones, pero puesto que la propuestadel realismo estructural es programática, en consonancia con el es-píritu lakatosiano deberíamos ser tolerantes y esperar a que nuevosaportes y articulaciones consoliden el programa como una alternati-va viable de realismo científico. De todos modos, vale tener presentela agudísima sugerencia de Laudan en el sentido de que los desafíosque un realista científico debe afrontar suponen poder distinguir conclaridad entre lo que deseamos fervientemente creer y el hecho de sitenemos buenas razones para creerlo.

117

REFERENCIAS

Ladyman, James (1998): "What is Structural Realism?", Studies inHistory and Philosophy of Science, vol. 29, n. 3, pp. 409-424.

Laudan, Larry (1997): "A Confutation of Convergent Realism", enPapineau, D. (ed.): The Philosophy of Science. New York:Oxford University Press, pp. 107-138.

Poincaré, Henri (1945): La Ciencia y la hipótesis. Buenos Aires:Espasa Calpe.

Psillos, Stathis (1999): Scientific Realism: How Science Tracks Truth.London: Routledge.

Saunders, Simon (2003): "Structural Realism, Again", Synthese 136,pp. 127-133.

Worrall, John (1997): "Structural Realism: The Best of BothWorlds?", en Papineau, D. (ed.): The Philosophy ofScience. New York: Oxford University Press, pp. 134-165.

Susana LuceroUniversidad de Buenos Aires – Argentina

lususa@arnet.com.ar

118

VAGUEDAD Y MEDIDA

Luis Adrian Urtubey

VAGUEDAD Y MEDIDA

Luis Adrian Urtubey

ResumenEn este trabajo procuraré mostrar que los argumentos en contra

de establecer una relación entre vaguedad y medida se basan en unaconsideración inadecuada de los grados de verdad asociados a losenunciados con términos vagos en las teorías numéricas. Sostendréque esta línea de ataque no es del todo efectiva, puesto que los gra-dos de verdad no sirven por sí solos para sustentar una semántica eneste ámbito y por ello, para justificar la inferencia lógica. Una líneaalternativa de investigación y más promisoria, es la sugerida porquienes, reconociendo las dificultades de una perspectiva gradualista,destacan el rol que tiene la noción de información para relacionarvaguedad y medida.

AbstractI try to show here that most of the arguments against the apparent

relationship between vagueness and measure are based on amisguided consideration of the degrees of truth usually associatedwith the statements in the so-called numerical theories of vagueness.I will argue that this kind of criticism would hardly suceded becausethe degrees of truth by themselves cannot manage to support thesemantics and thereby justifying logical inference in this setting. An

121

alternative more promissory approach has been taken for thosewho by criticising the numerical theories have focused nonethelesson the role played by the notion of information as an intermediarybetween vagueness and measure.

1. PRESENTACIÓN

Una de las tantas objeciones dirigidas contra la semántica lógicaclásica, señala su ineficacia para tratar con los predicados vagos ylos problemas asociados con ellos, tales como la conocida paradojadel sorites. Una forma en que suele presentarse este argumento poneen cuestión, por ejemplo, una regla de inferencia básica como elmodus ponens. Represéntese por Pn el enunciado «una persona conn cabellos en su cabeza es calvo». Luego dada la verdad de laspremisas:

P0 , P0 ⊃ P1 , P1 ⊃ P2 ,....., P99999 ⊃ P100000

y por la validez del modus ponens, se sigue por reiteradas aplica-ciones de esta regla la conclusión P100000, lo cual es obviamente falso.

Para superar esta dificultad, las teorías de la vaguedad basadasen la aplicación de la teoría de conjuntos difusos o borrosos (fuzzysets), han favorecido la introducción de un continuo de grados deverdad basados en los grados de pertenencia de los elementos de unconjunto difuso, dando lugar a las que se denominan teoríasgradualistas de la vaguead.

Tye, Sainsbury y Keefe, entre otros, han planteado objecionescontra este tipo de teorías numéricas, desde diferentes perspectivas,señalando su incapacidad para dar cuenta del fenómeno estudiado(cf. Tye 1994, Sainsbury 1997 y Keefe 1998). Williamson (1994),en particular, había ya centrado sus críticas en la dificultad que lasteorías gradualistas encuentran frente a la vaguedad de orden superior(cf. Williamson 1994: cap. 4).

En la dirección opuesta, diversos autores han tratado de funda-mentar la forma de proceder de las teorías gradualistas, relacionando—como parece natural— la asignación numérica a los enunciadosde un lenguaje con cierto tipo de medida, definida dentro del estándarde la teoría representacional clásica de la medición. Estos intentosse basan en diferentes formas de plantear la relación entre las nociones

122

de vaguedad y medida. Los detractores de las teorías numéricas,por su parte, han argumentado de diferentes maneras contra laviabilidad de esta propuesta.

En este trabajo procuraré mostrar que los argumentos en contrade establecer una relación entre vaguedad y medida se basan enconsiderar en forma aislada los grados de verdad asociados a losenunciados con términos vagos en las teorías numéricas. Sostendréque tal cuestionamiento no es válido, puesto que los mencionadosgrados de verdad no sirven por sí solos para sustentar una semánticaen este ámbito y por ello, para justificar la inferencia lógica. Unalínea alternativa de investigación más promisoria, es la sugerida porquienes, reconociendo las dificultades, destacan el rol que tiene lanoción de información en el vínculo que resulta útil establecer entrevaguedad y medida. Finalmente, vincularé una articulación de estaspropuestas con una forma de ficcionalismo matemático.

2. LOS ARGUMENTOS DE KEEFE

Keefe reúne en forma sintética diversos argumentos contra estetipo de teorías de la vaguedad, en las que los valores de verdad co-rresponden a grados de verdad, típicamente representados por elintervalo [0,1] (cf. Keefe 1998). Keefe evalúa el éxito de estas teo-rías para «capturar el fenómeno de la vaguedad», trazando unaanalogía con la medición de diversas magnitudes físicas, con núme-ros reales. Sus críticas abarcan tres puntos en particular: 1) las teoríasgradualistas de la vaguedad están socavadas por el fracaso del prin-cipio relativo a la medida, por el cual resulta necesario que la relaciónasociada tenga la propiedad de ser conectada, es decir, ∀x, y o bienx ≤P y o y ≤P x, 2) la causa de la confusión que parece originar lateoría gradualista, se hallaría en no haber distinguido diferentes sen-tidos de la expresión «darse en grados», y finalmente 3) la semánticade las conectivas implica que debería haber una única asignaciónnumérica correcta para las sentencias, lo cual no resulta plausible.

El argumento central de Keefe para 1) y 2) se puede resumir comosigue. Tomemos el predicado vago «alto»: los números asignados enun intento por capturar la vaguead de «alto» no hacen más

123

que servir como otra medida de estatura. En general, en cuantoes posible asignar números que respetan ciertas verdades, porejemplo, sobre relaciones comparativas, esto no es más que unamedida de un atributo relacionado con, o que subyace al predicadovago. Keefe observa que "en muchos casos paradigmáticos de unpredicado vago F hay un atributo medible correspondienterelacionado con F de modo tal que el estatus del valor de verdad deFx está determinado por la cantidad en x de este atributo" (Keefe1998: 575). Por ejemplo, el estatus del valor de verdad de «a es alto»está determinado por, o superviene sobre, la estatura de a. Lo mismosucede con «a está caliente» y la temperatura de a. No obstante,aunque la medida de la cantidad subyacente puede determinar laaplicabilidad del predicado vago, no se sigue que esta medida serefleja en valores de verdad no clásicos. Keefe sugiere que hay unsentido en que puede decirse que F se da en grados —llamémoslodarse en gradosm— siempre que hay una medida del atributo F–dad,y en la cual las cosas tienen distintos gradosm de F–dad por tenermás o menos de este atributo. Pero el hecho de que muchos predicadosvagos se dan en gradosm no es suficiente para el teórico gradualista,quien necesita que haya implicaciones para valores de verdad o gradosde verdad, de modo que si F se da en grados, las predicaciones de Fpueden ser verdaderas en grados intermedios. Darse en gradosm noes el sentido de «darse en grados» requerido por el teórico gradualista.

Algunos teóricos gradualistas parecen confundir efectivamenteestos dos sentidos que se deberían mantener separados. Como suce-de en el siguiente argumento que Keefe atribuye a Forbes (ver Forbes1983):

Considérese un par de personas a y b tal que:1. a es más alto que b. Podemos inferir,2. a es alto en un grado mayor que b,

luego3. a satisface el predicado «es alto» en

mayor grado que b, de donde4. «a es alto» tiene mayor valor de verdad

que «b es alto».

124

Este argumento es erróneo. Estando en juego el sentido de «gradom»,con el sentido de «grado», 2 se sigue de 1, pero 3 y 4 no se siguen de2. Mientras que con el sentido de «grados de verdad», 4 se sigue de2, pero 2 no sigue de 1.

3. UNA RÉPLICA

En un artículo reciente, Nicholas Smith intenta mostrar que estastesis de Keefe son falsas (cf. Smith 2003). Para Smith no se siguedel argumento de Keefe que la teoría gradualista está confundida.La forma correcta en que se relacionan los dos sentidos de «grado»antes señalados, es otra. Primero hay objetos que tienen alturas.Luego, están las alturas que estos objetos tienen, que son tambiénobjetos. Entonces tenemos dos conjuntos: un conjunto O de perso-nas, montañas, etc. y un conjunto H de alturas, que consta de unarelación de orden ≤ . Hay un mapeo h de O a H, que asigna a cadaobjeto su altura. Hay también un tercer conjunto de objetos R denúmeros reales. Hay diferentes mapeos del conjunto de alturas alconjunto de números reales; cada uno de estos puede entendersecomo dando un nombre a cada altura: h(Luis) = x . Un mapeo f delconjunto de alturas al conjunto de los reales asigna a x el número 6;intuitivamente f(h(Luis)) es la altura de Luis en pies. Otro mapeom: H → R asigna a x el número 1.8; m(h(Luis)) es la altura de Luisen metros. Hay relaciones familiares entre estas funciones como:c(x) = 30f(x).

Para interpretar «alto» decimos que hay un subconjunto distin-guido T de H tal que para todo objeto x de O, x es alto si h(x) ∈ T. Laidea es que x es alto sólo en caso que x tenga una altura «suficiente».En «suficiente» está implícito que para todo x e y de H, si x ≤ y yx ∈ T, entonces y ∈ T. Esto da inmediatamente una importante rela-ción entre «alto» y «más alto que»: para cualquier x e y de O, si y esmás alto que x y x es alto, entonces y es alto.

Sin embargo, como señala Smith, este modelo ignora la vaguedadde «alto». Deberá haber dos objetos adyacentes de los cuales uno esalto y el otro no, aunque sus alturas se hallen muy próximas, resul-tando que «a es alto» es verdadero simpliciter y «b es alto» es falso

125

simpliciter (cf. Smith 2003: 286). En respuesta a este problemalos partidarios de la lógica difusa proponen reemplazar el subconjuntoclásico T de H con un subconjunto difuso F, y modificar el requisitoque T sea cerrado hacia arriba con la exigencia de que para todo x ey de H, si x ≤ y entonces el grado de pertenencia de x en F es menoro igual que el grado de pertenencia de y en F. Ahora «a es alto» seráverdadero cualquiera sea el grado con que h(a) está en F, y se da asíla importante relación entre «alto» y «más alto que»: para cualquierx e y de O, si y es más alto que x, entonces el grado de verdad de «yes alto» es al menos el grado de verdad de «x es alto». Ahora estándados los recursos para acomodar la vaguedad de «alto». Si a y b enO están muy próximos respecto de la altura, entonces puede ser ahorael caso que «a es alto» y «b es alto» estén muy cerca respecto de laverdad. Y no existe un compromiso con la idea de que si a es másalto que b, entonces «a es alto» es más verdadero que «b es alto».

Smith introduce una definición de vaguedad basada en este he-cho: «P» es vago si y sólo si satisface la siguiente condición:

Proximidad: si a y b son muy similares en aspectos P–relevantes,entonces «Pa» y «Pb» son muy similares respecto a la verdad.

En términos de la presente discusión, dos objetos son muy seme-jantes en aspectos P–relevantes si poseen cantidades muy similaresde Q, siendo Q la cantidad mensurable que subyace a la posesión dela propiedad seleccionada por «P».

4. VAGUEDAD Y CONJUNTOS DIFUSOS: ALGUNOS PROBLEMAS.Planteadas desde la perspectiva de quienes han contribuido de

manera importante al desarrollo de la lógica difusa, Settimo Terminihace algunas interesantes observaciones sobre las limitaciones de lateoría de conjuntos difusos para representar la vaguedad (cf. Termini2002). Aunque planteadas de un lado diferente y con distintos pro-pósitos, estas observaciones coinciden con las objeciones bastanteradicales que hace tiempo formulara Sainsbury contra la posibilidadde cualquier teoría matemática de la vaguedad.

126

Reconocer la vaguedad, dice Termini, es admitir que en el cursode la comunicación (frecuentemente en el lenguaje ordinario perorecientemente también en lenguaje de la ciencia) podemos encontrarpalabras que no están exactamente definidas, predicados para loscuales hay individuos para los que no es posible determinar si seaplica o no dicho predicado (cf. Termini 2002: 346). En este marco,la idea a primera vista novedosa de la teoría de conjuntos difusos, esgeneralizar las funciones características clásicas permitiendo que ellastomen también valores diferentes de 0 y 1. Por otro lado, lo extrava-gante de esta idea es que la teoría de conjuntos difusos intenta fundaren un nivel más general la noción de pertenencia, pero haciendo usode nociones (función, número real, etc.) que necesitan teorías clási-cas nítidas para su definición, y puede por ello, reducirsecompletamente a nociones tradicionales. Parecería extraño que estaformalización se pueda ver como el explicatum para una nociónmucho más innovadora y general.

Asimismo, sostiene Termini, el tener individuos con diferentesgrados parciales de pertenencia, no agota el trabajo de la vaguedad.El rol que esta tiene no se puede reducir al de asignar grados depertenencia definidos: la vaguedad señala el hecho de que en algunascircunstancias no es fácil y no es algo mecánico decidir la pertenen-cia (cf. Termini 2002: 347). Se puede proporcionar informaciónadicional, y al hacer esto la vaguedad juega el rol muy importante ycentral de «gran traductor» entre diferentes contextos. Hay una granpotencialidad en el alcance de la vaguedad, que tiene un rol crucialpara cambiar contextos (con la dificultad de transformar todo estoen evaluaciones numéricas útiles).

¿Qué modeliza entonces la teoría de conjuntos difusos? ParaTermini se trata del modo en que algunas representaciones difierende algunos modelos ideales. Los conjuntos difusos son uno de losmodos más eficientes de modelizar la siguiente idea intuitiva: tene-mos idealizaciones (conjuntos nítidos) y podemos también medir ladistancia de algunos datos primarios (proporcionados por la natura-leza misma o por nuestras aproximaciones en el caso de situacionesmuy complejas) respecto de estas idealizaciones. Los conjuntos di

127

fusos se pueden ver entonces en relación con un tipo de medida.Las medidas difusas proporcionan indicaciones en este sentido decuánto se aleja un conjunto difuso de una función característicaclásica; las medidas de especificidad, en cambio, de cuanto se acercaun conjunto difuso a un conjunto nítido.

5. MEDICIÓN Y MODELOS DE USO DEL PREDICADO

Desde el mismo ámbito, Trillas y Alsina exponen una interpreta-ción que intenta vincular la noción de «conjunto difuso» con la nociónde información a través del concepto de medida (cf. Trillas y Alsina1999). Desde este punto de vista, los valores de las funciones depertenencia son «medidas» de los enunciados atómicos o elementa-les hechas con los rótulos lingüísticos de un fuzzy set. Los predicadosvagos pueden ser captados sólo a través del uso sobre el universo dediscurso correspondiente, lo que puede lograrse mediante la genera-lización del concepto de medida difusa. Como antes vimos, paramedir una característica k exhibida por los elementos de Snecesitamos en primer lugar conocer una relación comparativa talcomo «x muestra la característica k menos que y», para todo x, y enS. Asumiendo que la relación así definida en S es un preorden (i.e.,reflexiva y transitiva) se puede entonces definir una funciónm: S → [0,1] como una ≤k–medida, siempre que:

1. m(x0) = 0 si x0 ∈ S es minimal para ≤k2. m(x1) = 1 si x1 ∈ S es maximal para ≤k3. Si x ≤k y, entonces m(x) ≤ m(y)

Sea P un predicado, nombre propio de una propiedad, un sustan-tivo o un rótulo lingüístico, cuyo uso primario en un universo dediscurso X es conocido. Decimos que el uso de P en X es R–mediblesi hay un subconjunto no vacío S de R equipado con un preorden ≤ ,una función φ: X → S y una ≤–medida sobre S tal que:

• φ(x) ≤ φ(y) sii «x es menos P que y» para x,y en X

128

• El grado en que x es P : = m(φ(x)) para cadax en X.

La función φ corresponde a una característica numérica de cómose usa P en X y, por supuesto, la función μP : X → [0,1] : = m(φ(x))para cada x en X, puede definirse como la Función de Compatibilidadde P en X y por consiguiente, como la Función de Pertenencia delconjunto difuso rotulado P. Esta función se puede interpretar comoreflejando el uso de P en X; es decir como un modelo matemáticodel uso de P en X.

Concentrándose en el caso de los conjuntos difusos, se puededefinir ahora a partir de un conjunto X, un «fragmento de informa-ción pura», como una función ƒ: X → [0,1]. Cada vez que tengasentido considerar a ƒ como un conjunto difuso μP , entonces ƒ seconsidera como un fragmento de información sobre el uso del con-cepto P en X. Esto significa que todos los enunciados «x es P» tienensu valor de verdad correspondiente μP ∈ [0,1]. Cuando ƒ es tal queƒ ∈ [0,1]X con algunos valores difusos ƒ(x) ∈ (0,1) se interpreta elfragmento ƒ como información imprecisa. En fin, se interpreta en-tonces un elemento de información como un conjunto difuso sobreX y tales elementos de información se refieren al uso de conceptoscuya aplicación a los elementos de X tiene algún grado definido. Lafunción de pertenencia μP es vista entonces como expresando lamedida en que cada objeto es P.

6. VAGUEDAD Y PRECISIÓN

El otro argumento contra las teorías gradualistas, que tambiénrecoge Keefee, hace hincapié en la falta de precisión que deberíajustamente caracterizar a la vaguedad y que quedaría desvirtuada alintroducir asignaciones numéricas de cualquier tipo. La fuerza delargumento ha sido aceptada y algunas respuestas implican ciertoreconocimiento sobre las limitaciones del enfoque. No obstante, pue-de sostenerse en este caso, que este tipo de argumentos tambiénencierran alguna confusión. Una idea en este sentido, expuesta porCook, destaca que se puede manejar un grado de precisión matemá

129

tica en la semántica sin atribuirla al lenguaje natural que se estáestudiando, haciendo uso de una forma de entender la lógica comosimple modelización y no como descripción de la realidad (cf. Cook2002). No se debe buscar entonces la vaguedad en la semánticamisma, sino en la descripción de la conexión entre la formalizacióny el discurso informal. De lo cual a su vez resulta una interpretacióndiferente de los medios o «artefactos» de que se vale la semántica,como puede ser el caso de los llamados fuzzy sets.

Cook señala una importante diferencia entre proporcionar unmodelo y dar una descripción (cf. Cook 2002: 236). Algunas partesdel modelo se supone que representan (aunque de una manera sim-plificada) aspectos reales del fenómeno modelizado. Otras, noobstante no se supone tengan que ver con algo real. De este modo,algunas partes del modelo lógico, incluyendo objetos y relacionesmuy involucradas en la semántica, pueden hallarse allí sólo con elpropósito de facilitar la tarea matemática o simplificar nuestro manejodel modelo. Cook da como ejemplo para ilustrar este punto la re-construcción conjuntista de los números naturales, vista como unmodelo de los naturales. En la construcción que representa losnaturales como ordinales de von Neumann, por ejemplo, el hecho deque no hay ningún ordinal de von Neumann entre {∅} y {∅, {∅}}representa efectivamente el hecho de que no hay número naturalentre 1 y 2. Por otro lado, el hecho de que {∅} tiene un elementomenos que {∅, {∅}} no refleja ninguna relación significativa entre1 y 2. Cada aspecto del modelo que se supone que corresponde aalgún aspecto real del fenómeno que se modeliza, Cook siguiendo aShapiro, lo denomina representador, y aquellos que no se suponeque se correspondan con algo, los denomina artefactos. En el ejemplose puede notar que no sólo los objetos del modelo son representadoreso artefactos, sino que además pueden serlo las propiedades de losobjetos y las relaciones entre ellos.

Las objeciones como las de Sainsbury y Tye según Cook se evi-tan distinguiendo cuidadosamente entre representadores y artefactos(cf. Cook 2002: 243). La idea es considerar las partes problemáticasde la presentación gradualista, o sea la asignación de números reales

130

particulares a las oraciones, como meros artefactos. Solamente losrepresentadores se supone que reflejan algo que ocurre en el lengua-je natural vago. Como hace notar Cook, en Williamson se señala que"el teórico gradualista puede y debería considerar la asignación degrados de verdad numéricos a las sentencias del lenguaje naturalcomo una cuestión vaga" (Cook 2002: 237, cf. Williamson 1994:131). Por esto, continua, no puede considerarse la asignación degrados de verdad directamente como un desconocimiento de lavaguedad de orden superior. Con todo, dado que la intención deWilliamson es argumentar contra las teorías numéricas, no se sigueallí la línea de este argumento.

7. CONSIDERACIONES FINALES

Para concluir, hay que observar que parece más difícil encontrarla forma de justificar el modo en que las teorías gradualistas puedenescapar a un argumento colateral respecto al carácter multidi-mensional de los predicados vagos. En la línea del análisis queseguimos aquí, esto tiene que ver con que lo medido no son los ele-mentos de un conjunto S, sino alguna característica de estoselementos. Por ejemplo, si S consta de cubos, se puede medir lassuperficies, los volúmenes o el peso. El problema entonces con lospredicados vagos sigue siendo que se pueda aislar una propiedad Pcuyo uso en X se está considerando. Pero el carácter multidimensionalimpediría separar una propiedad única para el predicado, dada lacontribución que diversas dimensiones, definidas también en formavaga, hacen a su evaluación y que parecen ser parte de la vaguedaddel término. Keefe señala que debería haber una cuestión efectivarespecto a que, por ejemplo, una persona sea agradable en un gradomayor que otra (cf. Keefe 1998: 570). Pero esto es muy difícil, por-que, como se dijo, la misma vaguedad del término implica unamultiplicidad de dimensiones que confluyen en su aplicación y nopueden separarse con precisión.

La respuesta sin embargo, es observar que la objeción se apoyaen el punto en que no hay manera de superar la discontinuidad entreel modelo y la realidad modelizada. El punto de contacto entre am

131

bos. La vaguedad, debemos reconocer, permanece en el lenguajenatural y en ningún momento podrá ser parte del modelo lógico-matemático. La vaguedad se da en la descripción de la conexiónentre la formalización y el discurso informal, como hemosargumentado antes con las justificaciones brindadas en 3-5. Laintroducción de la medida debería ubicarse entonces en este punto yes aquí donde tiene sentido ver a las medidas difusas comoproporcionando algún tipo de información que guíe la adecuacióndel modelo.

Podría decirse que esta solución adscribe a una especie deficcionalismo parcial o semi-ficcionalismo, por llamarlo de algúnmodo. En general, el ficcionalismo matemático, como es sabido,sostiene que las aseveraciones en la matemáticas no deben «tomarseen serio», por así decir, sino que se presentan con el espíritu de «hacercreer» y, a la vez, la proposición comunicada es verdadera sólo encaso de que se satisfagan las condiciones de adecuación de estaficción. Las condiciones de adecuación no requieren por supuestoque el mundo contenga objetos matemáticos. Se pueden distinguiruna variedad de formas del ficcionalismo matemático, aunque todasestablecen en última instancia esta diferencia sobre el contenido li-teral y de ficción de las afirmaciones (cf. Yablo 2001). Un eco deesta distinción puede percibirse en la separación entre elementosrepresentadores y artefactos en el modelo matemático. La falta devinculo con la realidad y su inclusión en el modelo a fin de facilitarla tarea o simplificarla, que motiva la presencia de estos elementos,recuerda bastante al ficcionalismo instrumentalista. En este caso larazón para actuar «como si» afirmásemos o creyéramos algo, es quesirve a algún propósito más amplio. Al hacerlo, se simplifica la teoríao se acortan las demostraciones. No obstante, vimos que a otrosaspectos del modelo sí se les asigna una connotación real. En estesentido, si bien esta salida se acerca a una posición ficcionalista, noquedaría totalmente comprometida con ella.

132

REFERENCIAS

Cook, Roy (2002): "Vagueness and mathematical precision", Mind,vol. 111, pp. 225-248.

Forbes, Graeme (1983): "Thisness and vagueness", Synthese, 54,pp. 235-259.

Keefe, Rosanna (1998): "Vagueness by numbers", Mind, vol. 107,427, pp. 565-580.

Sainsbury, R. M. (1997): "Concepts without boundaries", en Kefee,R. y Smith, P. (eds.): Vagueness: A Reader. Cambridge,Mass.: MIT Press, pp. 251-264.

Smith, Nicholas (2003): "Vagueness by numbers? No worries", Mind,vol. 112, pp. 283-290.

Termini, Settimo (2002): "On some vagaries of vagueness andinformation", Annals of Mathematics and ArtificialIntelligence, vol. 35, 1-4, pp. 343-355.

Trillas, Enric y Alsina, Claudi (1999): "A reflextion on what is amembership function", Mathware and Soft Computing,vol. 6, 2-3, pp. 201-215.

Tye, Michael (1994): "Vagueness: wellcome to quicksand", SoutherJournal of Philosophy, 33 (Supp.), pp. 2-22.

Williamson, Tim (1994): Vagueness. London: Roudledge.Yablo, Stephen (2001): "Go Figure: A path through fictionalism",

Midwest Studies in Philosophy, vol. XXV, pp. 72-102.

Luis Adrian UrtubeyUniversidad Nacional de Córdoba - Argentina

urtubey@ffyh.unc.edu.ar

133

LA NATURALEZA DE UNA ECUACIÓN BÁSICA

José Tomás Alvarado Marambio

LA NATURALEZA DE UNA ECUACIÓN BÁSICA

José Tomás Alvarado Marambio

ResumenUna «ecuación básica» es un bicondicional cuantificado en el

que se establece que los estados de cosas de un cierto dominio sedan si y sólo si —dadas ciertas condiciones necesarias y suficientespara la operación óptima de las capacidades epistémicas— un ciertosujeto juzga que el estado de cosas en cuestión se da. Las ecuacionesbásicas generan el problema sobre el orden de determinación entrelos lados izquierdo y derecho del bicondicional. Crispin Wright hapropuesto algunos rasgos generales mediante los que el problemadel orden de determinación de una ecuación básica puede ser adju-dicado. Aquí se discute uno de estos requerimientos sobre el caráctera priori de las ecuaciones básicas «proyectivistas».

AbstractA «basic equation» is a quantified biconditional where it is stated

that the states of affairs of a certain domain obtain if and only if—given certain conditions necessary and sufficient for the optimaloperation of the epistemic capabilities— a certain subject judgesthat the state of affairs in question obtains. Basic equations raise theissue of the order of determination between the left and the right-

137

hand sides of the biconditional. Crispin Wright has proposed somegeneral traits by which the problem of the order of determination ofa basic equation can be adjudicated. Here it is discussed one of theserequirements about the a priori character of the «projectivist» basicequations.

IExisten muchos dominios de entidades en los que los hechos de

que se trata se encuentran vinculados o parecen estar vinculados aciertas respuestas cognitivas por parte de sujetos cognoscentes. Paraestos dominios de hechos o estados de cosas pareciera ser válida unaecuación o bicondicional de esta forma:

(1) ∀p (p ↔ ∃S (C → (S juzga que p)))

En la fórmula (1) el estado de cosas p (se entiende que elcuantificador está rigiendo sobre las proposiciones que enuncian losestados de cosas del dominio en cuestión) obtiene si y sólo si, dadasciertas condiciones C el sujeto S juzga que p es el caso. Este tipo debicondicionales han sido denominados «ecuaciones básicas» porCrispin Wright1. La cuestión que surge sobre una ecuación básicacomo (1) es el orden de dependencia que debe ser postulado entrelos lados derecho e izquierdo del bicondicional. En el célebre diálogoplatónico Eutifrón, Sócrates y Eutifrón están de acuerdo en que existeuna ecuación básica semejante en su forma a (1) bajo la que caentodos los hechos «piadosos», de este tenor:

(2) ∀x ((x es piadoso) ↔ (x es amado por losdioses))2

El debate, sin embargo, tiene que ver con cuál de los lados de la1. Cf. Wright 1992: 108-139; Wright 1993: 63-84 (especialmente 77-82);

Wright estaba desarrollando sugerencias de M. Johnston (1993).2. En la ecuación (2) se han omitido las condiciones C pues se supone

que no habría o que no podría haber circunstancias en las que pudieseser impedido el «buen juicio» de los dioses sobre cuál debe ser el objetode su amor. Nótese que se cuantifica en (2) sobre acciones, objetos oestados de cosas, tomados de una manera completamente neutral des-de el punto de vista ontológico. Son estas acciones, objetos u estadosde cosas los que serán calificados de «piadosos». Los hechos del do-

138

ecuación (2) debería considerarse como «prioritario» respecto alotro, esto es, si es que los actos son piadosos porque son amados delos dioses o más bien son amados de los dioses porque son piado-sos3. Problemas de una estructura semejante se presentan en muchasotras áreas. Por ejemplo, muchos filósofos han sostenido que loscolores son propiedades «secundarias» que provienen de cierta pro-yección subjetiva de algún sujeto cognoscente dotado de órganossensibles. No es que las cosas se encuentren real y objetivamente«coloreadas», para la concepción de estos filósofos. Es nuestra sen-sación la que nos las presenta «coloreadas» ante nuestra percepción.Pareciera, entonces, que hay colores, esto es, hay hechos sobre elestar de los objetos físicos dotados de coloración siempre en co-nexión con sujetos dotados de órganos sensoriales adecuados en buenfuncionamiento y en circunstancias epistémicas apropiadas para quesus juicios sobre la coloración sean «óptimos». También sucede algosemejante, o parece suceder algo semejante, con las valoracioneséticas. Muchos han pensado que estas valoraciones sólo pueden apa-recer ante sujetos de ciertas capacidades de reacción emotiva, dotadosde cierto carácter moral, ciertos hábitos constituidos para querer yrechazar ciertas cosas. Los hechos morales se dan sólo en conexióncon las respuestas judicativas que pudieran prestarles tales sujetos.Cosas muy parecidas también podrían ser indicadas respecto de lasvaloraciones estéticas o si se quiere, para el carácter «gracioso» deun relato o de una situación. En todos estos casos parecen existirecuaciones básicas que conectan los hechos en cuestión conrespuestas judicativas adecuadas que ciertos sujetos darían en

minio en cuestión están constituidos por las valoraciones —positivas onegativas— sobre la «piedad» de las entidades sobre las que se ha cuan-tificado. Nótese también que los hechos del dominio en cuestión nosólo deben considerarse como constituidos por las acciones, objetos yestados de cosas «piadosos» sino también por las acciones, objetos yestados de cosas «impíos» (o no-píos, si se quiere). Así, se sigue de (2)otra ecuación básica de este tenor para los hechos impíos:∀x ((x no es piadoso) ↔ (x no es amado por los dioses))Es razonable también pensar que se sigue:∀x ((x es impío) ↔ (x es aborrecido por los dioses)).

3. Cf. Platón, Eutifrón, 10d – 11b.

139

circunstancias contrafácticas. Esto no significa, sin embargo, quede entrada no pueda atribuirse ningún tipo de objetividad a talesdominios de estados de cosas, por ejemplo a los hechos morales, alos hechos estéticos, a los hechos sobre la coloración de los objetosfísicos. La cuestión que resta por considerar es cuál es el orden dedependencia en las ecuaciones básicas respectivas para cada uno deesos dominios. El punto, por ejemplo, en relación con los hechosmorales es si las acciones laudables o reprobables existen porquehay sujetos dotados de cierto carácter moral o si es que existenrespuestas judicativas de alabanza o reproche de ciertos sujetos dotados de un carácter moral porque las acciones poseen ciertasdeterminaciones intrínsecas.

Es en este tipo de campos de estados de cosas en los que existenmotivos para pensar que nuestra subjetividad, nuestras reaccionesemotivas o nuestros «gustos» se encuentran inextricablementeimbricados con la constitución ontológica de ese dominio, en el queel llamado «contraste del Eutifrón» parece resultar de especial im-portancia precisamente para determinar el tipo de objetividad quecabe atribuir a ese dominio. Antes de pasar a la consideración de losmodos en que podría ser resuelto el problema del orden de determi-nación para una ecuación básica, será conveniente señalar un par decasos más de aplicación del contraste del Eutifrón para dominios noconsiderados con frecuencia por la literatura con anterioridad. Uncaso de especial importancia está constituido por el debate entrerealistas y anti-realistas. Frecuentemente la discusión se haconcentrado en la validez del principio de cognoscibilidad según elcual todo estado de cosas es cognoscible:

(3) ∀p (p → ◊Kp)

Se suele representar la posición realista como sosteniendo quehabrían estados de cosas incognoscibles (esto es, negando laproposición (3)) y al anti-realista como simplemente defendiendoeste principio4. La cuestión es que aún cuando este principio fuese

4. Véase al respecto Tennant 1997. Todo el debate realismo / anti-realismose presenta como un debate sobre el principio de cognoscibilidad.

140

—algo respecto de lo que hay fuertes motivos de duda5— seguiríaen pie la cuestión de saber cuál sería el orden de determinación entrelos términos de la ecuación que resultaría. Esto es, aún si todo lo queexiste es cognoscible resta la cuestión de determinar si todo lo queexiste, existe porque se encuentra conectado con el estado epistémicode algún cognoscente o bien lo que es cognoscible, es cognoscibleporque el estado de cosas objeto del estado mental de conocimientoexiste de manera objetiva e independiente. Las usuales diferenciasque separan a realistas y anti-realistas se repetirían ahora en el ordende determinación de una ecuación básica.

Otra área en la que también hay preguntas sobre el orden de de-terminación de ecuaciones básicas (o de una ecuación básica, si sequiere) es la concepción constructivista de las matemáticas. De ma-nera característica un constructivista o intuicionista va a sostenerque toda entidad matemática debe ser el objeto de un acto de «cons-trucción», comoquiera que vaya a ser comprendida la naturaleza detal construcción. Valdría, por lo tanto, una ecuación básica de esteestilo:

(4) ∀p (p ↔ ∃S (C → (S construye una prueba de p))

5. El principal motivo de duda es la existencia de cierta forma de reduc-ción de la tesis (3) a una tesis mucho más fuerte según la cual todoestado de cosas está siendo conocido actualmente. Este razonamientoha sido denominado por algunos como la «paradoja de lacognoscibilidad». Considérese, en efecto, que si vale que ∀p (p → ◊Kp),entonces el principio sentado vale para el caso particular en el que elestado de cosas que resulta cognoscible es p & ¬Kp. Resulta entoncesque (p & ¬Kp) → ◊K(p & ¬Kp) , pero parece obvio que no es «cog-noscible» un estado de cosas p y al mismo tiempo que no se conoce quep. En el mundo posible para el que se haría verdadera la apódosisdeberían ser verdaderos Kp y K¬Kp, lo que parece incoherente. Como(p & ¬Kp) → ◊K(p & ¬Kp) es equivalente a (p & ¬Kp) V ◊K(p &¬Kp)y el segundo término de esta disyunción es sabidamente falso por inco-herente, el valor de verdad de toda la disyunción es equivalente al valorde verdad de su primer término ¬(p & ¬Kp) que, en lógica clásica, esexactamente equivalente a (p → Kp) (cf. Williamson 2000: 270-301).

141

En la proposición (4) ‘p’ está por proposiciones matemáticas queenuncian propiedades de entidades matemáticas. ‘S’ está por sujetosracionales. Aquí, si se quiere, se pueden idealizar las condiciones enque se efectúa la construcción de la prueba de p. Las condiciones Cestarían haciendo ese trabajo. Esto no tiene relevancia para lo queaquí se discute. El punto es que aún si el intuicionista tuviese razónal sostener que una ecuación básica de la forma indicada en (4) esválida para los enunciados matemáticos restaría por dilucidar el pro-blema de cuál es el orden de determinación entre los lados derecho eizquierdo de tal bicondicional. Podría suceder que los enunciadosmatemáticos (y las entidades matemáticas de que hablan esos enun-ciados matemáticos) fuesen verdaderos porque han sido objeto deun acto de construcción o bien podría suceder que esos enunciadosmatemáticos fuesen objeto de un acto de construcción, actual o po-sible, porque son verdaderos.

En todos los casos se presentan dos concepciones alternativas.De acuerdo a la concepción llamada «detectivista» —que tambiénserá denominada aquí «objetivista»— son las respuestas judicativasdel lado derecho del bicondicional las que deben tomarse como de-pendientes del lado izquierdo. Por otro lado, de acuerdo a la concep-ción llamada «eutifronista» —que también será denominada aquí«proyectivista»— los estados de cosas del lado izquierdo delbicondicional son dependientes de las respuestas judicativas que apa-recen en el lado derecho.

II¿Qué caracteres generales podrían ser descritos para decidir la

cuestión del orden de determinación de una ecuación básica? Estapregunta general no obsta, por supuesto, a la consideración detalladade los criterios que puedan ser pertinentes para resolver la cuestiónen el caso de una ecuación básica particular. Esta discusiónparticularizada debe resultar de todos modos indispensable.El problema que aquí se plantea es, sin embargo, de tipoperfectamente general. Existen dos indicaciones de Crispin Wrightque van a ser objeto de discusión. Wright sostiene que es unacondición necesaria para que una ecuación básica sea interpretada

142

de manera proyectivista que: (i) esa ecuación sea necesaria, y (ii)que esa ecuación sea verdadera a priori y como resultado de un aná-lisis conceptual6. Por los mismos motivos, son condiciones suficientespara que una ecuación básica sea interpretada de manera objetivistaque: (i) ésta sea contingente, o (ii) que no sea verdadera a prioricomo resultado de un mero análisis conceptual. Señala Wright:

"La verdad, si es que es verdad, de que las extensiones de los con-ceptos de color se encuentran determinadas por la respuesta humanaidealizada —la opinión óptima— debe ser accesible por reflexiónanalítica pura sobre esos conceptos y, luego, debe encontrarse dis-ponible como conocimiento a priori. Impuse, por lo tanto, una condición de aprioridad. En general, vaa ser suficiente para clasificar una clase de juicios en el ladodetectivista del contraste del Eutifrón si, cuando sostienen ecuacionesbásicas […] ninguna de esas ecuaciones básicas puede ser conocidacomo verdadera a priori. De manera semejante, se puede sugerirque va a ser una condición necesaria para la corrección del punto devista eutifrónico que las ecuaciones básicas apropiadas, especificadasde manera sustancial, puedan ser conocidas como verdaderas apriori." (Wright 1992: 116-117).

Wright presenta aquí estas indicaciones en relación con los con-ceptos de color, pero sus observaciones tienen la pretensión de serde valor general. Supóngase que una ecuación básica fuese contin-gente, esto es, que fuese el caso que ciertos hechos de un dominiodeterminado estuviesen conectados por un bicondicional con ciertaclase de respuestas judicativas, pero que esta conexión sea sólo con

6. Éstas no son, por supuesto, las únicas cuestiones que deben ser consi-deradas en relación con la naturaleza de una ecuación básica. Ni si-quiera son éstas todas las cuestiones de interés que ha desarrolladoCrispin Wright en su discusión. Algunos otros aspectos que requierenuna consideración detenida tienen que ver con la necesidad de que lascondiciones estipuladas para el carácter óptimo de la respuesta judicativaque se menciona en el lado derecho no sean triviales (cf. Wright 1992:112 y 120-124) o con el modo de evitar una «falacia condicional» (cf.Wright 1992: 117-120). Estas cuestiones no serán discutidas aquí.

143

tingente. Considérese, por ejemplo, el caso de los hechos sobrela coloración de los objetos físicos. Sea la siguiente ecuación básica:

(5) ∀x ((x posee color) ↔ ∃S (C → S juzga que x posee color))

Se supone que las condiciones C determinan —de una manerano-trivial— cuando va a haber un juicio «óptimo» sobre el color dex por parte del sujeto S. Si es que la ecuación básica fuese solamentecontingente, entonces hay mundos posibles en los que es falsa, pues,parte de aquello en que consiste decir que la proposición (5) es con-tingente es que:

(6) ◊¬∀x ((x posee color) ↔ ∃S (C → S juzga que x posee co-lor))

Sea este mundo posible w1, entonces en w1 vale que:

(7) ∃x ((x posee color) & ¬∃S (C → S juzga que x posee color))7

Esto es, en w1 la coloración de un objeto no se encuentra conec-tada con las respuestas judicativas de un sujeto S en las condicionesepistémicas óptimas. No es posible sostener, entonces, que los he-chos en cuestión se encuentran «constituidos» por una contribucióncognitiva de parte de nuestra subjetividad8. El hecho de estar algocoloreado no es, de manera intrínseca, algo proyectado por nuestrascapacidades perceptivas si es que pueden darse hechos sobre el estarcosas coloreadas aunque no exista ningún tipo de respuesta judicativa.Una ecuación básica que haya de ser interpretada de maneraproyectivista debe ser necesaria. De otro modo, no se puede sinosuponer que las capacidades cognitivas de los sujetos7. Desrrollando un poco más la hipótesis, sucede en w que:

∃x ((x posee color) & ∀S (C & ¬S juzga que x posee un color))8. La necesidad de la identidad vale respecto de objetos, pero también

respecto de universales o propiedades. Si la propiedad de poseer uncolor posee como componente ontológico una contribución de nues-tras respuestas judicativas en algún mundo posible, entonces ha deposeer esa misma contribución en todos los mundos posibles. Aquí,como se ha postulado que la conexión con cierta clase de respuestasjudicativas es contingente, entonces no puede sostenerse que los he-chos sobre colores sean una forma de «proyección» nuestra.

144

cognoscentes son —por razones contingentes— suficientes para«detectar» correctamente los hechos constituidos de manera objeti-va.

Hay aquí variados problemas sobre cómo debe ser formulada unaecuación básica necesaria, si es que la ecuación ha de mantener sureferencia a las condiciones epistémicas ideales para el juicio óptimoen el mundo actual. Esto no es una cuestión en la que se pueda entraraquí. Las ecuaciones básicas proyectivistas deben poder decir quepara todos los mundos posibles vale que se dará un hecho p (deldominio en cuestión, sea D) si y sólo si, si se diesen las condicionesepistémicas ideales ‘C’ determinadas de acuerdo a lo que soncondiciones ideales en el mundo actual, entonces un sujeto dotadode las mismas facultades cognitivas que un sujeto en el mundo actualjuzgaría que p es el caso. El punto es que las condiciones estableci-das por una ecuación básica deben poder valer para todos los mundosposibles. Wright ve que este carácter necesario se deriva del hechode que la validez de la ecuación básica debería poder ser justificadacomo una forma de conocimiento a priori derivada del análisis con-ceptual «puro» de las nociones implicadas para la formulación delos hechos del dominio en cuestión. Dos observaciones serán conve-nientes antes de entrar a la discusión de este requerimiento. En primerlugar, es obvio que la justificación a priori no ha de convertir a laecuación básica de que se trate en un juicio contingente a priori9.Buena parte de la motivación para exigir el carácter a priori de unaecuación básica es asegurar su necesidad. En segundo lugar, el ca-rácter a priori del juicio ha de provenir del hecho de que se trata de

9. Un juicio contingente a priori es el que surge, por ejemplo, si es que se«rotula» con un nombre propio a quien quiera que satisfaga cierta des-cripción. Si se define a «Perico Los Palotes» como aquel que inventóla rueda, entonces el juicio «Perico Los Palotes inventó la rueda» seráa priori, aunque no necesario pues quien quiera que haya inventado larueda en el mundo actual (y que ha sido bautizado como «Perico LosPalotes») podría no haber inventado la rueda (cf. Kripke 1980: 54-60).Otro tipo de juicio contingente a priori podría ser «yo existo». Quienprofiere esta proposición ha de existir para proferirla, pero no es nece-sario que el proferente exista.

145

una justificación proveniente de mero análisis conceptual. Algunoshan sostenido, por ejemplo, que todo enunciado necesario ha de po-seer algún tipo de componente a priori en su justificación, aunqueesta justificación esté inficionada de fuentes a posteriori. Estos com-ponentes a priori no es necesario que sean provenientes de análisisconceptuales10.

La motivación que se encuentra detrás del requerimiento deaprioridad, o que parece encontrarse detrás del requerimiento, esque si los hechos a los que hace referencia la ecuación básicaproyectivista de verdad son dependientes de nuestra contribucióncognitiva o mental, entonces el que sean dependientes de nosotrosha de poder ser algo transparente a nuestra propia reflexión sobre elcontenido de los conceptos que empleamos. La validez de una ecua-ción básica proyectivista debería poder seguirse de las definicionesde las nociones empleadas, tal como puede parecernos evidente trasuna breve consideración que un «oculista» es un «médico de losojos». La idea es que las misma nociones de, por ejemplo, «color»,«bondad moral» o «belleza» tendrían inscritos en sí mismos laremisión a nuestros juicios que constituyen los hechos sobrecoloración, los hechos morales y los hechos estéticos. El contenidode estos juicios es algo que debería estar siempre accesible a nosotrosmediante la reflexión sobre esos contenidos.

IIISe quisiera aquí presentar un par de dificultades sistemáticas para

la propuesta de Wright sobre las ecuaciones básicas proyectivistas.No tienen que tomarse estas dificultades como refutaciones definiti

10. Véase al respecto Hale 1997: 487-514, especialmente 504-509. Porejemplo, se va a sostener que el agua está necesariamente compuestade H2O, porque de hecho está compuesta de moléculas de H2O. El co-nocimiento de que el agua está compuesta de moléculas de H2O es aposteriori, por supuesto, pero la conclusión modal no se sigue sinoasumiendo una premisa adicional de este tenor: si un tipo de sustanciaposee una composición química X, entonces esa sustancia posee esacomposición química X de manera necesaria. Esta última premisa ten-dría justificación a priori.

146

vas de la conexión planteada entre ecuaciones proyectivistas yanálisis conceptual a priori, sino como cuestiones sistemáticas quetodo defensor de una concepción proyectivista en alguna de esasáreas debería considerar. Los problemas que se van a plantear tienenque ver con: (a) la propuesta de Wright no parece estar enconcordancia con las concepciones ya ortodoxas sobre la semánticade términos de clases naturales o si se quiere, no parece funcionarbien con tales concepciones, y (b) esta propuesta parece generar omotivar una argumentación a priori inmediata para el carácter noproyectivista de las ecuaciones básicas en áreas como la ética, laestética o los colores. Este argumento parece demasiado fuerte ymás que tomarse como una razón para concepciones objetivistas enesos dominios, debe tomarse como un llamado de cautela sobre laconcepción de Wright que hace posible tal razonamiento.

A. Un análisis conceptual ha de ser capaz de señalar qué nocio-nes son necesarias y suficientes para determinar que algo cae bajotal analysandum. Esta determinación ha de ser a priori y ha de resul-tar de tal justificación un juicio necesario del tipo:

(8) [] ∀x (Fx ↔ (H1x & H2x & …& Hnx))

Aquí F es el analysandum y la batería de conceptos H1, H2, …, Hn

son el analysans. Se supone que un juicio analítico es aquel que esverdadero sólo en virtud del significado de los términos que inter-vienen en ese juicio. Es el significado del término F el que imponepor sí mismo la batería de predicados H1, H2, …, Hn como indicaciónde su contenido. Pues bien, el modelo ortodoxo Kripke-Putnam sobreel significado de términos de clases naturales postula que elsignificado de tales términos «no está en la cabeza» (cf. Kripke 1980:115-144 y Putnam 1975: 215-271). ¿Qué otra cosa puede ser el«contenido» de un concepto sino su «significado»? El contenidoentonces parece «no estar en la cabeza» y, por lo tanto, un «análisis»que tuviese la forma de (8) conducido por mera reflexión a priori nosería realmente una dilucidación del contenido de un concepto. Noes necesario entrar aquí a repetir las conocidas argumentaciones parasostener esta conclusión. Un concepto como gato tiene comosignificado la naturaleza real de las entidades a las que —de hecho—hacemos

147

referencia mediante tal término y no el tipo de nociones quesubjetivamente puedan haberle sido atribuidas a los gatos de acuerdoa nuestras creencias. Así, por ejemplo, nosotros creemos que losgatos son animales mamíferos tal como lo puede ser un perro o unavaca. Los egipcios creían que los gatos eran seres dotados de ciertocarácter sobrenatural, eran una clase de entidad «divina». Existe unaenorme diferencia entre las creencias que poseemos nosotros sobrelos gatos y las creencias que poseían los egipcios, sin embargo estono se toma como un motivo para dejar de pensar que los egipcioshablaban de «gatos» tal como nosotros hablamos de «gatos».Supóngase que el significado de lo que nosotros hemos traducidocomo «gato» en los escritos que han sobrevivido de los egipciosestuviese constituido no por la remisión indexical a un tipo de entidad,sino al conjunto de notas que los egipcios le atribuían a los gatoscomo esenciales. En este caso, no tendríamos derecho a traducir susexpresiones para «gato» como hablando de gatos, pues ellos habríanestado hablando de una entidad de carácter divino, con aparienciade lo que nosotros llamamos gato, pero no habrían estado hablandode gatos que son mamíferos y sin ningún carácter divino. Los egipcios—por lo que sabemos— estaban equivocados en pensar que talesentidades existían. Las expresiones que hemos traducido por «gato»en realidad no tendrían referente en egipcio. Sucede, sin embargo,que consideramos perfectamente aceptable traducir las expresionesegipcias como hablando de la misma clase de entidad a la que noso-tros hacemos referencia mediante el término «gato». De la mismamanera, supongamos que nuestras creencias presentes sobre los gatosfuesen altamente equivocadas en respectos fundamentales. Supon-gamos que el rasgo más determinante y explicativo de la pertenenciade un individuo a una especie fuese la existencia de un patrón muypreciso en un campo magnético generado en torno al cerebelo de unmamífero. Supongamos que llegamos a enterarnos de esto en el sigloXXV. ¿Es que iríamos a pensar entonces que los «gatos» realmenteno existen, pues los gatos son animales cuyo rasgo definitorio —para un hablante del siglo XXI— es la posesión de cierto cuerpo deinformación genético y se habría llegado (en el siglo XXV) a laconclusión que ése no es el rasgo determinante de una especie demamíferos?

148

Lo que en realidad pensaríamos en una situación así es que losgatos poseen una naturaleza diferente de la que le atribuíamos y noque los gatos no existen.

El significado de un término como «gato», entonces, está consti-tuido por aquello en que consiste esencialmente ser un gato, aunqueesta esencia o naturaleza de un gato sea desconocida o mal conocidapor los hablantes que hacen referencia a los gatos. Pues bien, lacuestión que surge aquí en relación con una ecuación básica es, ¿nosucede algo parecido con la semántica de términos como «color»,«bondad moral» o «belleza»? Si sucede algo semejante, no existeningún motivo para pensar que la validez de las ecuaciones básicasque rigen sobre los hechos sobre colores, evaluaciones morales oevaluaciones estéticas pueda aparecer por mera reflexión a priorisobre el contenido de esos conceptos. Pues el contenido de talesconceptos —su «significado»— viene dado por las naturalezas rea-les de los colores, la bondad moral o la belleza con independenciade lo que sea creído sobre tal naturaleza por los hablantes. La reflexióna priori o análisis conceptual que efectúen los hablantes a lo máspermitirá precisar el contenido de sus creencias sobre cuál es esaesencia o naturaleza (si es que los hablantes poseen alguna), pero noes razonable pensar que va a permitir determinar por algún mecanis-mo mágico las esencias reales del color, la bondad o la belleza.

Ahora bien, se podría argumentar que la semántica de los con-ceptos cuya extensión queda fijada por una ecuación básicaproyectivista precisamente no es el tipo de semántica de un términode clase natural. Así, por ejemplo, se piensa que la esencia o natura-leza del agua es estar compuesta de moléculas de H2O y que estacomposición química es causalmente explicativa de todas las pro-piedades del agua que nosotros utilizamos ordinariamente comocriterio para decidir si algo es o no agua. Existen, por lo tanto, ciertaspropiedades o atributos del concepto «agua» que yaceninmediatamente en la superficie, propiedades inmediatamentereconocibles para la percepción sensible ordinaria (e.gr. su carácterincoloro, inodoro e insípido). Nosotros podemos estar equivocadosen nuestras creencias sobre cual es la naturaleza que explica los rasgoso «criterios» inmediatamente perceptibles mediante los queordinariamente reco

149

nocemos el agua, pero pareciera que no podemos estarequivocados en nuestras creencias sobre cuáles son los «criterios»mediante los que reconocemos ordinariamente el agua con nuestrapercepción sensible. Esto es, la esencia o naturaleza del agua esaquello que se postula para explicar porqué el agua presenta laapariencia de ser incolora, inodora e insípida y, además, porqué elagua cumple las funciones que cumple en los metabolismos de losseres vivos. Desde un principio, sin embargo, la tarea explicativa esdar cuenta de porqué esta sustancia es incolora, inodora e insípida ycumple ciertas funciones en el metabolismo. No parece que existaespacio para decir que el agua es otra cosa que esta sustancia que esreconocida de tal o cual manera, es decir, que no parece existir espaciopara sostener que el agua no es realmente incolora, inodora einsípida11.

La maniobra, por lo tanto, consistiría en sostener que la semánticade los términos regidos por una ecuación básica proyectivista nodebe ser como la de un término de clase natural como «agua» sinocomo la de los términos que denotan propiedades inmediatamente

11. Wright sugiere que existe una conexión a priori entre estos rasgos ocriterios mediante los que se reconoce una clase natural y la clase natu-ral. La clase natural es —a priori— aquello que posee una naturalezatal que explica estas «apariencias» o criterios (cf. Wright 1992: 129-131). Creo que esta idea puede ser resistida mediante una argumentaciónanáloga a aquella desplegada por Kripke contra la idea de un racimode descripciones como «fijando la referencia» de un nombre propio(cf. Kripke 1980: 64-93), aunque no es posible entrar aquí en tal líneade argumentación. La posición defendida por Wright aquí está en co-nexión con la teoría defendida por varios filósofos de que incluso en elcaso de términos que denotan clases naturales como «agua» es posibledistinguir un componente que un sujeto racional puede conocer mediantesimple inspección del contenido de sus propios estados intencionales.Este elemento ha sido denominado «intensión primaria» por D. Chalmers(cf. Chalmers 1996: 83-128) y como «extensión-A» por F. Jackson (cf.Jackson 1998: 47-48). No es posible aquí entrar a considerar las deli-cadas cuestiones a que da lugar esta concepción. Una extensa exposicióny evaluación crítica puede consultarse en el volumen Szabó Gendler yHawthorne (eds.) 2002, en particular los trabajos ahí incluidos de GeorgeBealer, David Chalmers, Stephen Yablo y el mismo Crispin Wright.

150

observables como «incoloro», «inodoro» o «insípido» y que sirvende criterio para reconocer una instancia de cierta clase natural. Lasituación sería análoga a aquella descrita por Kripke para losconceptos de estados mentales (cf. Kripke 1980: 144-155). No hayen ellos una distancia que deba ser cubierta entre la apariencia antela percepción (o el juicio, fundado o no en la percepción) y ciertarealidad responsable por tal apariencia, pues el concepto denota pre-cisamente la apariencia. No es posible que un dolor, por ejemplo,pueda ser sentido sin que exista realmente dolor, pues un dolor esesencialmente una apariencia subjetiva de dolor. En cambio, esposible que una sensación de calor sea errada porque el calor esesencialmente energía cinética molecular promedio y ciertos serespodrían tener la sensación que para nosotros resulta subjetivamentecomo de frío cuando hay una alta energía cinética molecularpromedio. Si es que hay ecuaciones básicas proyectivistas rigiendolas nociones de color, bondad o belleza, entonces, el color, la bondady la belleza serían sencillamente lo que aparece ante el juicio comotal y nada más. El sujeto que juzga en primera persona es la únicaautoridad para decidir si hay o no un hecho de color, un hecho moralo un hecho estético, de la misma manera como sólo es el sujeto enprimera persona el que puede ser autoridad de si posee o no un dolor.

B. Ahora bien, todo esta línea de consideraciones suscita múlti-ples preguntas. Sea que, en efecto, los conceptos de —por ejemplo—color, bondad y belleza son simples «apariencias» tales que los he-chos sobre coloración, bondad y belleza son constituidos por el juiciode los sujetos racionales. Wright pretende que, por tal razón, esoshechos quedan regidos por sendas ecuaciones básicas proyectivistasy que la validez de tales ecuaciones se va a justificar simplementepor la reflexión a priori sobre el contenido de las nociones de color,bondad y belleza. Pero, ¿es esto razonable? ¿Se va a decidir la cues-tión sobre el realismo moral o el realismo estético mediante merareflexión a priori justificando una ecuación básica? Esto suena es-pecialmente extraño cuando hay filósofos que están argumentandosobre la existencia de propiedades reales, independientes de nuestracontribución judicativa, constitutiva de tales dominios de hechos.¿Es que se va a decretar que todos ellos están equivocadossimplemente por una justificación a priori de una ecuación básica?Nuestros des

151

acuerdos sobre ética o estética no son del tipo que pueda serresuelto mediante los procedimientos que permiten decidir que unoculista es un médico de los ojos. Al menos, no parece ser así. Undefensor de una concepción realista sobre ética o sobre estética, nose va a sentir inclinado a aceptar una ecuación básica proyectivistasimplemente por el hecho de que tal ecuación despliega a priori elsignificado de los conceptos de bondad o belleza. El defensor delrealismo ético va a esperar una explicación detenida de por qué loshechos en los que él ve afincarse la objetividad de los juicios moralesen realidad no existen. ¿Esto también se va a mostrar mediantereflexión a priori? No parece que sea posible. Todos estos desacuerdospara los que tendría relevancia la cuestión sobre el orden dedeterminación de una ecuación básica requieren cierta dilucidaciónprevia sobre, por ejemplo, qué tipo de propiedades físicas están detrásde la explicación de nuestras percepciones de color o, en el caso dela bondad moral, en qué es lo que consiste la naturaleza o esencia deun ser humano y qué tipo de plenitud se puede esperar de un ente deesta naturaleza, etc. No se quiere decir aquí que no existancomponentes a priori en tal dilucidación, pero parece obvio que nose trata de cuestiones que puedan ser resueltas de manera satisfactoriasin ningún tipo de conocimientos a posteriori sobre cómo estáconstituido el mundo y sobre cómo estamos constituidos nosotroscomo seres humanos.

Una muestra de lo dudoso que resulta la propuesta de Wrightsobre cómo debe ser decidido el carácter proyectivista u objetivistade una ecuación básica es considerar cómo es que fácilmente supropuesta puede ponerse en servicio de un argumento muy simplepara la conclusión de que las ecuaciones básicas asociadas con he-chos morales, estéticos o sobre el color no pueden ser proyectivistas.Se trataría de un argumento a priori para, por ejemplo, el realismomoral que, naturalmente, va a aparecer demasiado pretencioso paraun defensor del anti-realismo moral. La cuestión es que en la mismamedida en que este argumento parezca poco convincente, resultarápoco convincente el esquema de Wright. En efecto, si es que Wrightestá en lo cierto que las ecuaciones básicas —si fuesen proyec-tivistas— deberían poder ser justificadas por mero análisis concep

152

tual a priori, entonces para decidir si los conceptos de color, bon-dad moral o belleza son o no regidos por ecuaciones básicasproyectivistas se requiere que, previamente, se dilucide si es queexiste una base de hechos y propiedades objetivos y ontológicamenteindependientes en los que se afinquen los juicios por los que atribui-mos color, bondad o belleza a las cosas. Esta dilucidación no puedehacerse meramente a priori. Pero entonces las ecuaciones básicas detales dominios no pueden ser justificadas a priori. Luego, talesecuaciones básicas no son proyectivistas. Esta línea de argumenta-ción puede tomarse como mostrando efectivamente que los colores,la bondad y la belleza son habitantes de pleno derecho de los estadosde cosas del mundo o bien como mostrando que el requerimiento deWright sobre cómo debe ser justificada una ecuación básicaproyectivista es demasiado exigente. No creo, sin embargo, que nin-gún anti-realista sobre hechos morales, estéticos o sobre los hechoscromáticos vaya a ser persuadido por tal argumentación. Esto debeconducir, como es obvio, a la conclusión de que los requerimientosimpuestos por Wright requieren reforma12.

REFERENCIAS

Chalmers, David (1996): La mente consciente. En busca de una teoríafundamental. Barcelona: Gedisa.

Hale, Bob (1997): "Modality", en Hale, B. & Wright, C. (eds.): ACompanion to the Philosophy of Language. Oxford:Blackwell, pp. 487-514.

Jackson, Frank (1998): From Metaphysics to Ethics. A Defence ofConceptual Análisis. Oxford: Clarendon Press.

153

12. Agradezco los comentarios y sugerencias recibidos por los asistentes alas Séptimas Jornadas Rolando Chuaqui K., Universidad de Valparaíso,mayo de 2005.

Johnston, Mark (1993): "Objectivity Refigured: Pragmatism WithoutVerificationism", en Haldane, J. & Wright, C. (eds.):Reality, Representation and Projection. Oxford: OxfordUniversity Press, pp. 85-130.

Kripke, Saul (1980): Naming and Necessity. Oxford: Blackwell.

Putnam, Hilary (1975): "The Meaning of ‘Meaning’", en Mind,Language and Reality. Cambridge: Cambridge UniversityPress, pp. 215-271.

Szabó Gendler, T. & Hawthorne, J. (eds.) (2002): Conceivability andPossibility. Oxford: Clarendon Press.

Tennant, Neil (1997): The Taming of the True. Oxford: ClarendonPress.

Williamson, Timothy (2000): Knowledge and its Limits. Oxford:Oxford University Press.

Wright, Crispin (1992): Truth and Objectivity. Cambridge, Mass.:Harvard University Press.

Wright, Crispin (1993): "Realism: The Contemporary Debate —W(h)ither Now?", en Haldane, J. & Wright, C. (eds.):Reality, Representation and Projection. Oxford: OxfordUniversity Press, pp. 63-84.

José Tomás Alvarado MarambioPontificia Universidad Católica de Valparaíso - Chile

jose.alvarado.m@ucv.cl

154

OBJETOS POR OMISIÓN

Hernán Miguel

OBJETOS POR OMISIÓN

Hernán Miguel1

ResumenUn tema inevitable en torno a la causación es el de las causas por

omisión. Queremos poder decir que cierta omisión fue causa de cier-tos efectos, pero algunas de sus características podrían llevarnos arechazarlas como eventos, (cf. Lewis 1986). Aun cuando éste seanuestro foco de atención, en este trabajo solamente nos concentrare-mos en la noción de agujero que es un tipo en particular de objetopor omisión. Analizamos cuáles podrían ser las condiciones físicasnecesarias para que cierta región del espacio pueda identificarse comoun agujero. Estas condiciones no conforman un criterio suficienteya que encontraremos casos que lo cumplen y sin embargo, loshablantes deciden no aplicarles el término «agujero». Esto se debepresumiblemtne a razones pragmáticas cuyo análisis excede el mar-co de este trabajo. Se persigue entonces un criterio de necesidad talque si algo no cumple, no puede ser llamado «agujero».

157

1. El presente trabajo se enmarca en el Proyecto "Causalidad,determinismo y libre albedrío" financiado por la Agencia Nacional dePromoción Científica y Tecnológica del que el autor es el InvestigadorResponsable. El autor agradece los acertados comentarios de los árbitrosanónimos sobre una versión anterior.

AbstractCausation by omission is an unavoidable topic when we focus on

causation. We would like to say that certain omission was a cause ofcertain effects, although some features of omissions could finallyrule them out as events (cf. David Lewis 1986). Although causationby omission is the topic that we are mainly concerned with, in thispaper we concentrate solely on holes, as a particular object byomission. We analyze the physical features certain space region haveto have to be identified as a hole. These conditions do not build up asufficient criteria since it easy to find cases that match the conditionsand the speakers chose not to refer to them as a «hole». This ispresumably debt to pragmatic reasons, which analysis falls beyondthe scope of this paper. We pursue then, a necessary conditions criteriaso that any region that doesn’t fit them, could not be named a «hole».

1. AGUJEROS

Tomemos la noción de agujero y tratemos de encontrar las carac-terísticas por las cuales decidimos que el término «agujero» se aplicaa algunos casos y a otros no. En esta tarea evitaremos resolver elasunto mediante un sinónimo, como por ejemplo que los agujerosson perforaciones en cierto material.2

Para que exista un agujero es necesario que exista otra entidadque es la que está agujereada. No hay posibilidad lógica de tener ununiverso que contenga como único elemento un agujero. Es decirque los agujeros no son entidades independientes sino que precisande otras para su existencia. En una posición extrema podríamos sos-tener que el agujero no es una entidad sino una propiedad que tienela entidad genuina que está agujereada. Pero sigamos con el intentode tipificar los agujeros como entidades.

Un agujero se extiende en cierta región del espacio y ocurre du-rante un período. Podemos ubicar los agujeros tanto en el espacio

2. Este argumento es sostenido por uno de los personajes (Bargle) deldiálogo que presentan Lewis y Lewis (cf. Lewis y Lewis 1970).

158

como en el tiempo, como en el siguiente caso: desde que le cayóuna colilla encendida durante la fiesta de fin de milenio, la alfombratiene un agujero cerca del borde.

Es de esperar que el día en que la alfombra se destruya total oparcialmente el agujero cerca del borde dejará de existir.

Vemos que el agujero tiene una existencia ligada de alguna ma-nera a la alfombra (cf. Lewis y Lewis 1970)3. Por ejemplo, antes dela caída de la colilla encendida el agujero no existía y luego de queremendaron la alfombra, tampoco. Pero, el lapso en que existe elagujero tiene que estar incluido en el de existencia de la alfombra ysu localización tiene que ser un subconjunto del espacio que ocupala alfombra. Lo interesante de esta inclusión es que está planteadadesde una descripción peculiar, ya que en la región espacial en queidentificamos el agujero, en rigor de verdad, no hay alfombra. Estadescripción está sostenida por un recorte que hacemos de la zonaque ocupa la alfombra en la que decidimos que la alfombra ocupatoda la región incluida dentro de su perímetro, y no que ocupasolamente la zona en que la tela de la alfombra está presente. Esdecir que no estamos asignando a la alfombra la región del espacioque sus fibras ocupan, sino una región más amplia, del mismo modoen que se asig

159

3. Lewis y Lewis en el diálogo sostienen que algo es un agujero en virtudde la manera en que contrasta el material dentro de él con el que lorodea ("A hole is a hole nos just by virtue of its own shape but also byvirtue of the way it contrasts with the matter inside it and around it."Lewis y Lewis 1970: p. 210). Casati y Varzi retoman esta idea de quelos agujeros necesitan un anfitrión material. Un agujero siempre es unagujero en algo. Un agujero requiere de un anfitrión y esos anfitrionesson materiales. Los agujeros son entidades dependientes: existen envirtud del arreglo de la materia (cf. Casati y Varzi 1994). Estasconsideraciones pueden llevar a sustentar una estrategia en la que seintente dar cuenta de los agujeros en términos de las características delmaterial que los rodea. Estrategia de la que estos autores señalarán suslímites. Finalmente sugieren no perder de vista las dos estrategias, lade identificar los ajugeros con regiones del espacio, y la de relativa alas características de los anfitriones: "If we care spatial entities, thenwe must keep one eye on the doughnut and the other on the hole."(Casati y Varzi 1999, p. 20).

na a una multitud de manifestantes la ocupación de cierta zona dela ciudad. Cuando decimos que los manifestantes ocuparon la plaza,no queremos decir que entre un manifestante y otro no habíaintersticios o baldosas de la plaza sin que un manifestante estuvieraparado en ella. Del mismo modo decimos que una alfombra de 2 mpor 2 m cubre cuatro metros cuadrados, a pesar de que entre susfibras podría haber intersticios no ocupados por el material de laalfombra, pero estos intersticios no son agujeros de la alfombra.

Es interesante resaltar que esos intersticios entre las fibras de laalfombra no son entendidos habitualmente como agujeros. Si fueraasí, podríamos reclamar al fabricante de alfombras por vendernosuna alfombra colmada de agujeros... De hecho también podríamosquejarnos a nuestro proveedor de cualquier tipo de materiales comoladrillos, vidrios, e incluso las mismas fibras de la alfombra ya quetodos ellos presentan espacios vacíos según nuestras mejores teoríassobre los constituyentes últimos de los objetos con masa. Pero justa-mente no son estos espacios vacíos rodeados de partículas que nosparecen agujeros. La noción de agujero está más asociada a esoslugares en donde se ‘esperaría’ una continuidad del material y no lahay. El agujero de la alfombra se identifica por que falta un poco dealfombra, y no porque las fibras, debido al tejido, naturalmente seubican a cierta distancia.

Sin embargo, a poco de avanzar en la dirección de que los aguje-ros son identificados a partir de la ausencia del material que se espe-raba que estuviera allí, reconocemos que hay agujeros que no obe-decen a esta tipificación. Por ejemplo, una alfombra en la que eldiseño mismo involucra una serie de agujeros formando alguna figura.Aquí no dudamos que la alfombra tiene agujeros aun cuando nofueron ocasionados por la quemadura de una colilla sino por la maneraen la que fue diseñada y construida. Así, los agujeros son la omisiónde material en cierta región, ya sea por un accidente o por un actodeliberado para que así quede constituido.

Por ahora hemos llegado a que un agujero parece ser la omisiónde material en cierta región espaciotemporal. Pero de vuelta, no essuficiente con esta tipificación ya que es necesaria la entidad aguje-

160

reada. El agujero parece ser la ausencia de material en cierta región,pero tal región debe estar rodeada por ese material4.

Pero ahora corremos el riesgo de que el espacio interno de unglobo, una pelota, una copa, o una jarra, por ejemplo, sean entendi-dos como agujeros. Necesitamos agregar algo más.

El espacio interno de una pelota inflada no debería identificarsecomo un agujero por más de que es una región del espacio que noestá ocupada por el material de que está hecha la pelota y sí estárodeado de tal material. Necesitamos que el agujero sea una ausen-cia de material en un cuerpo que divida dos regiones, y que tal au-sencia de material permita la conexión de esas dos regiones. De estamanera el espacio interior de la pelota no es un agujero ya que no«conecta» dos regiones del espacio. En cambio el orificio por dondese infla la pelota, sí.

Digamos entonces que el agujero es una región en la que no haycierto material del cual está rodeada, y que ese material que rodea laregión divide el espacio en dos regiones, y el agujero conecta esasdos regiones.

Por ejemplo, la alfombra divide dos regiones del espacio: encimade la alfombra, y debajo de la alfombra. Si en la alfombra hay o seproduce un agujero, esas dos regiones estarán conectadas a través deese agujero.

Pero se podría argumentar en contra de esta característica de«conectar» regiones: las regiones encima de la alfombra y debajo dela alfombra ya estaban conectadas previamente a la aparición delagujero ya que los puntos de esas dos regiones podrían conectarsepor fuera del borde de la alfombra. Entonces agreguemos algo querescate los agujeros de esta crítica. Recordemos cómo enhebramosuna aguja. Intentamos pasar el hilo por el ojo de la aguja y luegotiramos del hilo hacia un costado de la aguja para ver si quedó dealguna manera confinado a pasar por el agujero de la aguja. Si elhilo se desplaza hacia un costado no hemos tenido éxito en enhebrarla aguja ya que el hilo rodea o pasa por fuera del material de laaguja, pero si no logramos desplazarlo, entonces hemos cumplido lamisión.4. Como se ha señalado al principio de la nota anterior.

161

Pues bien, esto es que cuando está enhebrado, el hilo conecta lasregiones a un lado y a otro de la aguja, y todo intento de desplazar elhilo se encuentra restringido a desplazamientos a través del agujeroy no transversales a él. Intentemos formalizar esta característica.

Tomemos dos puntos pertenecientes a sendas regiones separadaspor cierto material. Estos pueden ser conectados por infinitas cur-vas. Tomaremos solamente curvas abiertas y planas5 que conectanestas dos regiones y tengan intersección nula con el material. Deentre estas curvas hay un tipo de ellas (las que no pasan por el agu-jero sino por afuera de la alfombra) que pueden desplazarse median-te traslaciones en direcciones en las que jamás encontrarán el mate-rial en cuestión, es decir que para ellas, existen direcciones para lascuales toda traslación aplicada a la curva en esa dirección nos dacomo resultado que el conjunto de puntos ocupado por la curva luegode la traslación tiene intersección nula con el espacio de puntos ocu-pados por el material6. Otras de las curvas que conectan aquellospuntos (las que pasan por el agujero) tienen la característica de quepara todas las direcciones en las que se les aplique una traslación, lacurva tendrá una intersección no nula con el material en cuestión(más estrictamente, el espacio de puntos ocupado por la curva luegode alguna traslación tendrá intersección no nula con el espacio depuntos ocupados por el material). Podemos distinguir estas dos cla-ses de curvas de la siguiente manera: diremos que las curvas de laprimera clase no están concatenadas con el material, mientras quelas segundas, sí lo están. La noción de concatenación entonces des-cansa sobre las de traslación y de intersección no nula.

Hemos logrado llegar a distinguir distintas curvas que unen pun-tos de dos zonas del espacio mediante la característica de estar o no

5. Contenidas en un plano. Esta restricción es para evitar curvas anuda-das y otras que pudieran complicar la aplicación del criterio.

6. Tomamos para esta operación un espacio euclideo o que en la regiónen cuestión pueda aproximarse por un espacio euclídeo. Esta restricciónimpide que consideremos traslaciones en un espacio curvo de modoque la curva pueda "volver" a intersecar el material en un mismo puntoluego de una traslación.

162

concatenadas con cierto material, y esa característica no dependeen absoluto de nuestros recortes para la descripción. También sabe-mos que las curvas concatenadas con el material son todas las quepasan por el agujero de manera que podrían ahora servirnos de guíapara lograr una mejor definición de agujero.

Tomemos la familia de infinitas curvas concatenadas con el ma-terial. Si la alfombra tiene más de un agujero debemos identificarcada uno de ellos por separado y por tanto debemos distinguir detodas las curvas concatenadas cuáles están asociadas a un agujero yno a otro7. Para diferenciar un agujero de otro entonces tendremosen cuenta un estilo de conexidad en el espacio ocupado por las cur-vas concatenadas. Si dos curvas concatenadas son conexas en el sen-tido que veremos, es decir que hay una manera de unir una con otrapor una poligonal, entonces pertenecen al mismo agujero. El sentidode conexidad al que nos referimos debe tener en cuenta que el aguje-ro se produce en una superficie8, esto es, si estamos en el

7. Nótese que no existe la amenaza del argumento planteado por Casati yVarzi según el cual no hay dos agujeros sino dos partes de un mismoagujero, o simplemente todos los agujeros en un objeto son solo uno(cf. Casati y Varzi 2004).

8. Técnicamente se produce en un hiperplano de dimensión n-1 del espa-cio de n dimensiones. Véase para esta nomenclatura Hocking y Young,1966, p. 201. En general todo hiperplano es la traslación (incluso nula)de un espacio vectorial. Por ejemplo un hiperplano de dimensión 1 enel plano resulta ser una recta, y un hiperplano de dimensión 2 en elespacio de tres dimensiones, es un plano. Existen referencias a losagujeros en la bibliografía técnica en topología. Sin embargo hay dosaspectos por los cuales no se ha seguido ese tipo de análisis en estetrabajo. Por un lado los tratamientos técnicos no suelen tipificar losagujeros como una determinada región del espacio sino en referencia aalguna homología o colección de curvas que lo rodean, con lo cual unavez sabido cuál es el agujero, se distinguen los ciclos asociados a él.Para este tipo de tratamiento véase por ejemplo Hwa y Teplitz 1966,cap. 2: Homolgy. El segundo motivo para no seguir este tipo de análisises que intentamos encontrar características que puedan ser identifica-das por los hablantes calificados del idioma, aun no siendo calificadostécnicamente como topólogos, al referirse a los agujeros. De este modoun análisis técnico nos apartaría del objetivo de qué puede estar enjuego

163

caso de la alfombra, el agujero se extiende en una zona planahorizontal paralela al piso a la altura de las fibras de la alfombra, yentonces la poligonal debe estar incluida en ese plano horizontal yno intersectar material. Finalmente todas las curvas que forman unconjunto conexo en este sentido, son curvas que pasan por un mismoagujero. Así cada agujero queda identificado por un conjunto de cur-vas conexas y no con el resto.

Si quisiéramos identificar el perímetro del agujero9, podemos to-mar el haz de curvas que pasan justo por el borde del agujero, esdecir aquellas que atraviesan el agujero con intersección nula con elmaterial, pero que en caso de desplazarse un diferencial en ciertadirección, su intersección será no nula con el espacio ocupado por elmaterial.

Analicemos otro ejemplo, esta vez el caso de un agujero en algono tan concreto como la alfombra. Un navegante parte del puertopara cruzar el océano. Se mantiene comunicado con el puerto me-diante su radio. Desde la antena del barco las ondas se propagan demanera de llegar al puerto. Algunas de las ondas, las ondas terres-tres, se propagan a través del mar y la tierra de manera que llegan al

9. Aquí no identificamos al agujero con su perímetro tal como uno de lospersonajes del diálogo lo hace en Lewis y Lewis (cf. Lewis y Lewis1970).

al momento de que los hablantes identifiquen regiones como agujeros. Agra-dezco al Profesor Orellana sus comentarios resaltando este punto durantela exposición de este trabajo en las Jornadas. Un tercer motivo para nosumergirnos en tales tecnicismos es por último su fracaso en rescatarlas distinciones que se intentan establecer aquí. En referencia a laestrategia topológica que intenta reducir los agujeros en términos delas características de su anfitrión (estrategia topológica adjetivista),Casati y Varzi (1999) p. 19-20 sostienen que no cumple su objetivosatisfactoriamente: "[T]he adjetivalist needs a lot of adjectives tocharacterize the various types of hole configurations, and there is noguarantee that all types can be distinguished by reference to topologicalproperties of the objects." A cambio sugieren una estrategia que com-bine las características topológicas basadas en características de losobjetos con consideraciones sobre sus complementos.

164

puerto por la trayectoria más corta. Otras de las ondas, las espa-ciales, se propagan hacia la ionosfera y luego de reflejarse utilizandoesa parte de la atmósfera como un espejo, llegan a la antena delpuerto. Pero el puerto nunca recibe ambos tipos de ondas ya quecuando el barco está muy cerca, las ondas espaciales que utilizaríanla ionosfera como espejo inciden tan perpendicularmente a laionosfera que en vez de reflejarse se escapan al espacio. Lo mismoocurre para las ondas que el barco recibe del puerto. Entonces, enlas cercanías del puerto, las ondas que mantienen comunicado albarco son las ondas terrestres. En cambio, cuando el barco está lejoslas ondas terrestres que llegan a puerto han perdido su intensidad yya no son útiles. En ese caso, las ondas espaciales pueden usar laionosfera de espejo ya que inciden con ángulos menos perpendicu-lares y efectivamente son bien reflejadas. Pero hay una zona inter-media en la que las ondas terrestres han perdido intensidad y lasespaciales todavía no se reflejan suficientemente. Esa zona es unazona de silencio radial, una franja de incomunicación, un agujero enla accesibilidad radial. Estrictamente es un hueco, pero podríamostomar una lonja de altura igual a la que está la antena y espesor delorden del que ocasiona el movimiento oscilatorio del barco (rolido).Llamemos a esa zona «el sector Z». Supongamos ahora que el puertoestá dando un alerta meteorológico por radio para que los barcostomen recaudos. Pues bien, si nuestro barco ha entrado en el sectorZ, podremos decir que no se tomaron precauciones dado que entróen esa zona10. Más tarde el barco comienza a recibir las ondas espa-ciales y al enterarse de las noticias, la tripulación toma los recaudospertinentes. Podremos decir ahora que se tomaron recaudos graciasa que el barco salió del sector Z. Como vemos, a la entrada y a lasalida de esa zona de omisión de comunicaciones les podemos asig-nar roles causales en nuestros relatos. Estas omisiones rodeadas porzonas en las que se instancia alguna propiedad que en la omisiónjustamente no está presente, cuentan como agujeros que pueden

10. Esta afirmación da lugar a causación entre omisiones: "no se tomaronprecauciones debido a que no se escuchó el alerta".

165

jugar un rol causal en la descripción de los acontecimientos.También los límites de tales omisiones, es decir la zona en la que laomisión deja lugar a la ocurrencia, o la zona en que la ocurrenciadeja lugar a la omisión, cuentan como eventos (ingresar en el sectorZ, o salir del sector Z) que pueden jugar algún rol causal en lasdescripciones.

2. AGUJEROS VS. HUECOS: REFINANDO LAS CARACTERÍSTICAS

Los agujeros son diferentes de los huecos11. Sostendremos que lacaracterística esencial de los agujeros que permitirá distinguirlos delos huecos será la de poder conectar las dos zonas del espacio que elmaterial divide. Los huecos no cumplen con esta característica. Loshuecos también son una falta de material en donde se esperaba quelo hubiera. Por ejemplo son huecos las cavernas en las montañas, lashendiduras en la madera, la ratonera en el zócalo, etc.

Los espacios del queso gruyere en donde no hay queso sonhuecos en donde se esperaba que hubiera queso pero no lo hay (aun-que justamente en el gruyere se espera que haya estos huecos). Sinembargo al cortar el queso en lonjas esos huecos dan lugar a lostípicos agujeros en la lonja de queso, y quizás esta relación es con-sistente con que en el lenguaje natural los llamemos agujeros y nohuecos.

Dijimos que el interior de una pelota inflada no es un agujeropero el orificio por donde se infla, sí. Ahora podemos decir que elinterior de la pelota es un hueco, y por donde se infla es un agujero.Pero de inmediato surge una dificultad. Si queremos aplicar el mismométodo que utilizamos con el agujero de la alfombra para identificarel orificio de inflado de la pelota encontramos que todas las curvasabiertas que pasan por el agujero tienen intersección no nula con elmaterial de que está hecha la pelota. Por ejemplo una recta que pasepor el medio del agujero y perpendicular a la superficie que rodea alagujero, tocará en las antípodas del agujero. Esto es, toda recta quepase por el agujero de inflado, tocará la pelota en algún punto de susuper

11. Confundir estos dos tipos de cosas dificulta el diálogo citado en Lewisy Lewis, cosa que también ocurre en parte del diálogo presentado enCasati y Varzi, aunque más tarde se intentan distinguir (cf. Lewis yLewis 1970, Casati y Varzi 1994).

166

ficie. Así, toda curva abierta que conecte el interior de la pelotacon el exterior, tendrá intersección no nula. El resultado será que nohay orificio sino solo un hueco dentro de la pelota. Para subsanaresto debemos hacer un recorte restringiéndonos a la zona cercana alagujero. Esto es que no tomaremos la pelota toda en su conjuntopara decidir si el orificio de inflado es un agujero o no de acuerdo anuestra caracterización en virtud de las curvas concatenadas. Toma-remos por ejemplo el hemisferio de la pelota que contiene al orificiode inflado. Con este recorte podremos aplicar el criterio sin problemaspara poder decidir si es o no un agujero y que el resultado coincidacon nuestra intuición de que efectivamente es un agujero el lugarpor donde se infla la pelota.

Del mismo modo podremos decir que la pelota está pinchada sipresenta un agujero, además del de inflado, en su superficie.

Notemos que hemos tenido que restringirnos a una porción desuperficie para poder aplicar el criterio de las curvas concatenadas.Las preguntas que surgen de inmediato son ¿cuál es la medida deesta restricción? ¿Hay alguna característica no subjetiva que permi-ta decidir esta medida?

Para responder tomemos la estrategia de llevar a un extremo larestricción. Por ejemplo tomemos una porción tan pequeña como sedesee de material de la pelota que todavía incluye al orificio de in-flado. Dado que cualquier porción de superficie de la pelota quecontenga al orificio de inflado cumplirá con el criterio de que allíhay efectivamente un agujero según las características que pide elcriterio, entonces el recorte no es subjetivo. La medida es tan pequeñacomo se quiera (siempre que no sea menor al agujero, cuestión queno introduce subjetividad) y tan grande como se quiera en tanto nodesaparezca el agujero por haberse cerrado la superficie (en las antí-podas) y así impedir la aplicación del criterio.

Es más, esta restricción no subjetiva permite distinguir, de paso,los casos en los que los agujeros conectan dos regiones del espacioninguna de las cuales constituye un hueco, de los casos en los quelos agujeros son en efecto la entrada a un hueco. Si, en el caso de lapelota tomamos una porción de su superficie que contenga al agujeroy luego vamos tomando porciones más extensas, llegará un momen

167

to, al tomar la totalidad de la superficie de la pelota, en que laaplicación del criterio muestra que no hay agujero. Allí se puedeconcluir entonces que la pelota contiene un hueco y que el agujeroanteriormente identificado es la entrada a tal hueco.

Si la restricción se toma de manera de hacer mínima la porciónde superficie que contiene al supuesto agujero, nos encontramos conun anillo o un aro del material del que está hecha la pelota. Y nuestraintuición es que los anillos y los aros tienen un agujero en su centroo interior. Por lo tanto la restricción que nos lleva al extremo detomar la mínima extensión de superficie para aplicar el criterio nocontradice los resultados de nuestra intuición.

En resumen, la restricción para la aplicación del criterio no con-tiene elementos subjetivos y permite la aplicación del criterio paradetectar la presencia de agujeros.

3. AGUJEROS Y HUECOS: ¿ENTIDADES, PROPIEDADES ORELACIONES?La única cuestión que ha quedado imposible de remover es que

para la existencia de un agujero, se necesita la existencia de otracosa más: aquello que tiene tal agujero. Los agujeros pueden tratarsecomo entidades en tanto pueden ubicarse espaciotemporalmente, perosu existencia está ligada a la de otro objeto12. En virtud de esta de-pendencia quizás fuera más acertado pensar que los agujeros sonpropiedades de los objetos que los poseen. Por ejemplo tal pelotatiene la propiedad de estar agujereada en dos puntos de su superfi-cie. Pero parece absurdo decir que los agujeros son propiedades delos objetos en el sentido de que ocurren allí donde el material delobjeto no está presente13. Si la pelota es roja, lo es en toda la exten

12. Como se menciona en nota 3 respecto a la dependencia que tiene todoagujero de la existencia de otro material que parece ser su portador. Entérminos de Casati y Varzi (1994) los agujeros necesitan un anfitriónmaterial.

13. También esta advertencia se encuentra en Casati y Varzi (1994) en elsentido de que los agujeros están en donde el anfitrión no está. Véasetambién este pasaje en Lewis y Lewis (1999) p. 184.

168

sión en donde está la superficie de la pelota. Pero si la pelota estápinchada y por tanto tiene un agujero, justamente lo tiene en el lugaren donde no hay pelota (y debería haberlo). Estas consideracioneshacen que sea al menos dudoso que los agujeros puedan tomarsellanamente como una propiedad y dan lugar a continuar con el inten-to de tratarlos como entidades, aunque no independientes de ciertomarco respecto del cual adquieren existencia.

Finalmente queda la posibilidad de tomar a los agujeros comouna relación entre la zona del espacio y un objeto. Esto es entre lazona del espacio en la que no hay alfombra y la alfombra misma.Esta relación tiene una dificultad enorme para su análisis. Por unlado los argumentos de la relación no son del mismo tipo, no es unaalfombra más grande que otra sino una zona del espacio que está enrelación de ser agujero de la alfombra. Por otra parte habría que versi el aspecto de propiedad no está dado solamente por la dependenciaontológica en que los agujeros están respecto de sus huéspedes. Lanoción de agujero como relación no puede descartarse rápidamentepero tampoco puede asumirse como exenta de problemas.

Aquí hemos querido establecer el criterio físico que podrían to-marse como condición necesaria para que luego, en la esferapragmática los hablantes decidan referirse a algo como un agujero.No parece haber contraejemplos, esto es, no parece haber agujerosen el sentido corriente y como los hablantes los detectan, que nocumplan con el criterio sugerido.

La fuerza de la vertiente pragmática muestra sin embargo que elcriterio no es suficiente ya que son muchas las situaciones en las quese cumple tal criterio y los hablantes deciden que sería absurdo ha-blar de agujeros en esos casos.Queda pendiente entonces un análisis de esta segunda vertiente, lapragmática, mientras que la vertiente proveniente de las caracterís-ticas físicas parece haber quedado resuelta.

REFERENCIAS

Casati, Roberto y Varzi, Achille (1994): Holes and OtherSuperficialities. Cambridge: MIT Press. Bradford Books.

169

Casati, Roberto y Varzi, Achille (1999): Parts and Places: TheStructures of Spatial Representation MIT Press.

Casati, Roberto y Varzi, Achille (2004): "Counting the Holes",Australasian Journal of Philosophy, 82, pp. 23-27.

Hocking, John G. y Young, Gail S. (1966): Topología. Exposiciónsistemática de los resultados más importantes en elmomento actual. Barcelona: Reverté.

Hwa, Rudolph C. y Teplitz, Vigdor L. (1966): Homology andFeynman Integrals. New York: W. A. Benjamin, Inc.

Lewis, David (1986): "Events", en Lewis, D. Philosophical Papers,vol. II, Oxford: Oxford University Press, pp. 241-269.

Lewis, David (1999) Papers in Metaphysics and EpistemologyCambridge University Press.

Lewis, David y Lewis, Stephanie (1970): "Holes", AustralasianJournal of Philosophy, 48, pp. 206-12.

Lewis, David y Lewis, Stephanie (1970): "Casati and Varzi on holes"en David Lewis (1999) Papers in Metaphysics andEpistemology pp 183-186.

Hernán MiguelUniversidad de Buenos Aires - Argentina

Universidad Nacional de General Sarmiento - Argentinaherny@mail.retina.ar

170

LÍMITES DE LA ARGUMENTACIÓN ENSOBRE LA CERTEZA

Eduardo Fermandois

LÍMITES DE LA ARGUMENTACIÓN ENSOBRE LA CERTEZA

Eduardo Fermandois

En el fundamento de la creencia bien fundamentadase encuentra la creencia sin fundamentos.

Todo hombre razonable se comporta así.(Wittgenstein, Sobre la certeza, § 253 y § 254)

ResumenA partir de algunos pasajes en Sobre la certeza de Wittgenstein

(entre otros, los parágrafos 92, 94, 105ss, 162, 262 y 608-612), abor-do aquí el tema de los límites de la argumentación. Uso esta fórmulapara referirme a la situación en que desemboca un diálogo entremiembros de culturas muy diferentes, una vez que se agotan las po-sibilidades de seguir argumentando, por no existir acuerdo en relación

173

a premisas fundamentales. Wittgenstein ofrece un comentario con-ceptual a este tipo de impasse intercultural, cuando escribe que"[c]ualquier prueba, cualquier confirmación y refutación de una hi-pótesis ya tiene lugar en el seno de un sistema" (SC § 105). Ofrezcouna interpretación de pasajes como éste, para luego examinar la re-lación entre el tema de los límites de la argumentación y el delrelativismo cultural. Entre las preguntas que respondo figuran éstas:¿Se puede decir que culturas muy diferentes entre sí poseen concep-tos diferentes de justificación? ¿Cuáles son exactamente lasestrategias que nos quedan, una vez que se nos acaban las razones?¿Qué parecidos y diferencias existen entre esas estrategias y la argu-mentación?

AbstractDeparting from some paragraphs of On Certainty (esp. 92, 94,

105 ff, 162, 262, 608-612), I deal with the topic of the limits of theargumentation. By this I mean the situation obtained in a dialoguebetween members of very different cultures when, due to an ultimatedisagreement regarding some fundamental premises, the possibilityof keep arguing is exhausted. Wittgenstein offers us the followingconceptual remark to this kind of intercultural impasse: "Every proof,every confirmation or refutation of a given hypothesis, obtains withinthe framework of a certain system." (OC § 105). First, I provide aninterpretation of paragraphs of this kind, and then I proceed to exa-mine the relation between the limits of the argumentation and culturalrelativism. I deal with the following questions: Is it plausible to saythat very different cultures have different concepts of justification?Which exactly are the strategies at hand when reasons exhaust? Whichare the similarities and differences between these strategies andargumentation?

1. INTRODUCCIÓN: PREGUNTAS A PARTIR DE CITAS1

Quiero presentar mis preguntas comentando dos citas tomadas1. Desarrollo en esta ponencia un tema que había dejado planteado al

final de Fermandois 2003. En ese artículo abordé, entre otros tópicos,el

174

de la comprensión intercultural, en el que ahora no entraré mayormente,pese a su estrecha relación con la cuestión de los límites de la argumen-tación.

2. He cambiado levemente la traducción de la última oración, acercándolamás al original. Prades y Raga traducen: "El sistema no es el punto departida, sino el elemento vital de los argumentos." (Wittgenstein 1988b:§ 105).

de Sobre la certeza (cf. Wittgenstein 1988b). En el parágrafo 105,refiriéndose a la idea de argumentación, Wittgenstein escribe lo si-guiente:

"Cualquier prueba, cualquier confirmación y refutación de una hi-pótesis, ya tiene lugar en el seno de un sistema. Y tal sistema no esun punto de partida más o menos arbitrario y dudoso de nuestrosargumentos, sino que pertenece a la esencia de lo que denominamosuna argumentación. El sistema no es tanto el punto de partida, comomás bien el elemento vital de los argumentos." (Wittgenstein 1988b:§ 105)2.

Llama aquí la atención que el sistema del cual se habla sea carac-terizado como el elemento vital de los argumentos. La alusiónmetafórica suscita de inmediato la pregunta ¿qué entiendeWittgenstein exactamente por «sistema»? En efecto, si el pasaje nocontuviera la metáfora del elemento vital, la noción de sistematampoco conllevaría mayor dificultad interpretativa; simplementeentenderíamos por «sistema» un conjunto de enunciados o creencias,ordenado de alguna manera coherente —o algo similar—. Decimosque el elemento vital de los seres humanos es el aire, y que el agua esel de los peces. ¿En qué sentido la relación entre argumentos y sistemapuede ser considerada análoga a la que los seres humanos guardamoscon el aire y los peces con el agua? ¿En qué consiste el contrasteentre «punto de partida» y «elemento vital»? ¿Y qué está en juego eneste contraste?

Mi segunda cita, tomada del parágrafo 92, dice así:"[…] «¿Puede tener alguien una razón convincente para creer que laTierra existe desde hace poco, desde el día en que él nació?» —Suponiendo que se le hubiera dicho siempre que era de ese modo—

175

¿tendría alguna buena razón para dudarlo? Los hombres han creídoque podían hacer que lloviera; ¿por qué no podría darse el caso de unrey que se hubiera educado en la creencia de que el mundo habíacomenzado con él? Y si este rey y Moore se encontraran y discutie-ran, ¿podría Moore demostrar que su creencia era la correcta? Noafirmo que Moore no pudiera convertir al rey a su punto de vista,pero se trataría de una conversión muy peculiar: el rey se vería condu-cido a considerar el mundo de otra manera." (Wittgenstein 1988b: § 92)

No se habla aquí de ser convencido por razones o argumentos,porque ante diferencias culturales profundas, las razones, como de-cimos, se nos agotan pronto. Me interesa esta frase: «las razonespronto se nos agotan». Corresponde de hecho a una retórica muypropia de nuestro autor quien se ha valido de ella, más o menosdirectamente, en diversos contextos: refiriéndose a la aclaración fi-losófica (cf. Wittgenstein 1988a: § 1), al aprendizaje de un lenguajenatural (cf. Wittgenstein 1988a: § 208) y al seguimiento de reglas engeneral (cf. Wittgenstein 1988a: § 217). Es indudable también queel tópico del fin o agotamiento de las razones se halla latente entodos los ejemplos de diferencias culturales contenidos en Sobre lacerteza. En dicha frase se detecta, por lo demás, la relación entre eltema de las diferencias culturales y el del escepticismo, porque, almenos desde la perspectiva de Wittgenstein, en la discusión con elescéptico la justificación también llega, y legítimamente, a un fin olímite (cf. Wittgenstein 1988b: § 204). Pero, ¿qué significaexactamente, con respecto al fenómeno de la diversidad cultural,que se nos acaben pronto las razones? ¿Qué implica sostener que nopodemos seguir argumentando, que la práctica de pedir y dar razonesconoce límites? Una pregunta emparentada: ¿se puede afirmar queculturas muy diferentes entre sí poseen incluso conceptos diferentesde justificación?

En mi segunda cita encontramos además una pista de respuesta auna de las preguntas suscitada por la primera. La frase «el rey severía conducido a considerar el mundo de otra manera» evoca níti-damente una noción clave en estas notas tardías de Wittgenstein: lanoción de «imagen del mundo» (Weltbild). ¿No será que podemosinterpretar la metáfora del sistema como elemento vital de los argu

176

mentos a la luz de la noción de imagen del mundo? Ahora bien,esta noción es capaz de sembrar por sí sola la sospecha de unrelativismo. Un argumento sólo sería válido al interior de unadeterminada imagen del mundo y no, si opera en otra diferente; ningúnargumento podría entonces aspirar a ser universalmente válido, esdecir, con independencia de una determinada imagen del mundo.Considero fuera de toda cuestión que Wittgenstein no fue unrelativista con respecto a la noción de verdad.3 Pero frente a conceptoscomo los de justificación, argumentación o racionalidad, la sospechade una postura relativista dista de ser fácil de disipar. Ahora bien,dado que no estoy interesado, como fin en sí mismo, en lo queWittgenstein «realmente» pensó —menos en el caso de un texto taninacabado como Sobre la certeza, un texto que ni siquiera es unálbum— la pregunta de si Wittgenstein fue un relativista con respectoa la justificación no puede sino tener el sentido de esta otra:¿encontramos en sus observaciones buenas razones para serlo o noserlo?

2. ‘‘LAS RAZONES PRONTO SE NOS AGOTAN”Premunido de suficientes preguntas, quiero comenzar abordando

el impasse argumentativo al que aluden locuciones como «las razo-nes se nos acaban pronto» o «llegados a este punto, ya no podemosseguir argumentando». Voy a sostener que estas locuciones admitenvarias lecturas, las que, a su vez, implican diversos modos concretosde reaccionar frente al impasse. Sin embargo, me quiero referir an-tes a aquel filósofo que simplemente se empeña en negar lo que talesformulaciones intentan aprehender.

‘‘No se nos agotan las razones —nos dirá este imaginado obje-tor—, lo que ocurre es que hay culturas cuyos miembros viven afe-rrados a ciertas creencias falsas y que, en tal medida, se revelancomo culturas menos racionales que la nuestra. Que nuestrosinterlocutores de otras culturas no acepten nuestros argumentos, no

177

3. Wittgenstein 1988a: § 136s puede dar pie, y lo ha dado, para atribuir aWittgenstein algún tipo de deflacionismo respecto de la noción de ver-dad, pero en ningún caso una postura relativista.

justifica en absoluto el empleo de expresiones como «el fin de laargumentación», que sugieren una limitación esencial en esta prácti-ca que nos distingue en tanto seres humanos —no, si es que hemosrevisado debidamente nuestros argumentos—. Porque si lo hemoshecho, entonces el problema no está en nuestros argumentos, nimucho menos en nuestra idea de argumentación, sino que en nues-tros interlocutores: en su obstinación, su dogmatismo, su irraciona-lidad.”

Una debilidad estructural en esta postura, que podríamos llamarde «antirelativista» o «absolutista», es que no permite distinguir entreinterlocutores que, proviniendo de una cultura muy diferente a lanuestra, son además muy diferentes entre sí. En toda cultura el oyentede turno puede ser un falto de curiosidad, un inflexible oderechamente un fanático; y en esos casos es correcto localizar elproblema en el oyente y no en el argumento. Fácilmente, sin embargo,podemos imaginarnos también a una persona que, sin responder aninguna de esas características, pero habiendo sido socializada deun modo muy diferente al nuestro, simplemente tenga inmensasdificultades para abandonar creencias que a nosotros nos parecenevidentemente falsas4. Es más, tendríamos que preguntarnosasimismo: ¿por qué siquiera habría de abandonar esa persona suscreencias más fundamentales? En la segunda cita, Wittgensteinpregunta si el rey tendría alguna buena razón para dudar que el mundohaya comenzado a existir el día de su propio nacimiento. La preguntaes retórica; la respuesta es que el rey no tendría razones para poneren duda dicha creencia. No, por cierto, antes del encuentro en queWittgenstein se lo imagina conversando con Moore (quien, desdeluego, está lejos de pensar que el nacimiento del rey y el comienzodel mundo se hallen cercanos temporalmente). Pero incluso despuésde aquella conversación,4. Una «fenomenología de la experiencia argumental», como la propuesta

y desarrollada por Carlos Pereda, permite distinguir diversos casos: elaferrado a sus convicciones, pero en principio abierto a ponerlas enentredicho, el obcecado, el fanático. Los gestos, el tono, el silencio enque se adivina una reflexión, la mirada que lleva curiosidad, etc. sonindicios que funcionan a diario (cf. Pereda 1994).

178

¿por qué habría el rey de desechar tan fácilmente una creenciaasí de fundamental? ¡Una simple conversación con un extranjerocontra una larga y venerable tradición, un modo de haber visto lascosas durante toda una vida! Hasta parecería injustificado entonces,que el rey, después de escuchar un par de argumentos de Moore,adoptara la creencia de que el mundo comenzó a existir no sólo unpoco, sino muchísimo antes que él mismo. Son imaginables muchoscasos similares. En todos ellos, las razones, efectivamente, se nosagotan pronto. Esta expresión capta entonces una situación que esreal —y si pensamos en los conflictos interculturales de nuestrosdías, podríamos hasta decir que la situación no puede ser más real—. Quien niega que la argumentación tenga sus límites, demuestra unaactitud cerrada y dogmática. Es ser cerrado y dogmático tratar miem-bros de otra cultura como si todos fueran o tendieran a ser cerradosy dogmáticos.

Ahora bien, la formulación «las razones pronto se nos agotan» yotras emparentadas admiten tres lecturas diferentes: una lecturarelativista, una lectura etnocentrista y la que llamaré una «doble lec-tura».

1. La lectura relativista. Como no podemos darle razones al otro,debemos abstenernos de todo enjuiciamiento o evaluación. La danzade la lluvia constituye una práctica menos racional que la meteoro-logía, pero tal juicio sólo es válido para nosotros, no para ellos. Esoes todo lo que se puede decir, y cualquier atisbo de evaluación críticaserá muestra de incomprensión, intolerancia, imperialismo, etc. Fren-te a esta primera interpretación, dos comentarios. En primer lugar,que no encontraremos en Sobre la certeza citas que vayan en esadirección. Wittgenstein pone gran énfasis en la diversidad cultural,pero nunca pone entre paréntesis sus propias convicciones, a menudocríticas5. Aquí importa tener en cuenta lo siguiente: si bien elrelativismo comienza con la constatación enfática de la diversidad,tal constatación no conduce necesariamente al relativismo. Y ensegundo lugar, que la lectura relativista implica mirar las cosas desdeun punto de5. Cf., por ejemplo, Wittgenstein 1988b: § 609s. Hay también comentarios

en ese sentido en Wittgenstein 1996.

179

vista que no puede ser el nuestro, lo cual queda reflejado en lacláusula: «pero sólo para nosotros, no para ellos». En efecto, estacláusula sólo se puede pronunciar desde una perspectiva que no esla nuestra, porque desde nuestra perspectiva las danzan no causanlluvias —y punto—. En tal sentido, y al margen de otros descargosque se pueda hacer contra el relativismo (autorefutación,arbitrariedad), es preciso destacar que el relativista y el absolutista,más allá de sus evidentes diferencias, convergen en un punto, no tanevidente, pero absolutamente crucial: el infructuoso intento de pensary hablar desde una meta-perspectiva6. Desde nuestra perspectiva —la única que tenemos, pero que la tenemos—, el asunto con la lluviano nos puede dar intelectualmente lo mismo. Con respecto al origencausal o la predicción de fenómenos climáticos, no somos ni podemosser imparciales.

2. La lectura etnocentrista (Rorty). Como no podemos darlerazones al otro, pero como pensamos sinceramente que, cuando setrata de predecir el tiempo7, la danza de la lluvia es una prácticamenos efectiva que nuestra meteorología, nos vemos obligados arecurrir a métodos ya no propiamente argumentativos: la propagan-da persuasiva, la apelación a los afectos mediante el impacto deimágenes televisivas, novelas sentimentales, etc. Estos últimos ejem-plos están tomados de Richard Rorty, el autor que más ha escrito ennuestros días en favor de esta segunda lectura, dejando en claro, porlo general, que el etnocentrista (como él lo entiende) no es unrelativista, dado que, a diferencia de éste, no aparenta falsas neutra-lidades. En un pasaje de su artículo «Solidarity or Objectivity?»leemos:

6. Esta crítica conecta directamente con las anotaciones de Wittgenstein,pues como señala Putnam: "[…] the whole burden of On Certainty isthat we have no other place to stand but within our own language game."(Putnam 1992: 172).

7. Wittgenstein y Winch subrayan los malentendidos que pueden surgir altomar un juego de lenguaje expresivo por uno cognoscitivo. En elartículo mencionado en la nota 1 sostengo, sin embargo, que es a Taylora quien debemos las mejores observaciones sobre este tema (cf.Wittgenstein 1996; Winch 1994 y Taylor 1982).

180

"Comportarse etnocéntricamente significa: dividir el género humanoentre aquellos frente a los cuales uno debe justificar sus conviccio-nes, y el res-to. El primer grupo —el ethnos— abarca a aquellosseres humanos con cuyas opiniones concordamos lo suficiente comopara hacer posible una conversación fructífera". (Rorty 1985: 15)8

El etnocentrismo a la Rorty me merece reparos, tanto a nivelteórico como práctico. En cuanto a lo primero, Rorty (y esto valetambién para el relativista) opera con una concepción demasiadopobre y esquemática de argumentación, donde se tiende a reducir«argumento» a «argumento deductivo». Sólo podemos conversarargumentadamente con aquellos seres humanos con los que tenemosopiniones básicas en común —es lo que se infiere de la cita—. Peroesto implica que la deducción a partir de premisas compartidas es elúnico modo de argumentación, afirmación altamente cuestionable9.Pero además, no deja de ser interesante que pese a las obviasdiferencias teóricas entre el etnocentrista rortyano (que niega todaobjetividad) y el absolutista (que cree ser su único dueño), sus modosconcretos de reaccionar frente al impasse argumentativo sean fun

8. La traducción es mía.

9. El concepto pobre o estrecho de argumentación manejado Rorty quedatambién en evidencia en la siguiente cita:

"No podemos justificar nuestras opiniones (sobre física, ética osobre lo que sea) ante cualquier persona, sino que sólo ante aquellosque tienen ideas que se ajustan adecuadamente a las nuestras […]No es que vivamos en otro mundo que el de los nazis o los indígenasdel Amazonas, pero aunque no es imposible una conversión a o desus respectivas posturas, ésta no ocurrirá a través de inferencias apartir de premisas que nos sean comunes a ellos y nosotros desdeun comienzo" (Rorty 1985: 15).

La alternativa es aquí: argumentación deductiva versus conversión; pero,¿dónde queda la argumentación no deductiva en sus diferentes tipos?Otro aspecto problemático del modo en que Rorty enfoca el tema de laargumentación, a saber, su comparación metafórica entre argumentos yherramientas, no le permite decir que el problema, en algunos casos,efectivamente está en el oyente (el oyente cerrado, tozudo o dogmático)y no en el argumento. Según Rorty, el argumento que no convence eslisa y llanamente un mal argumento, una mala herramienta.

181

damentalmente los mismos: cese del diálogo argumentativo, si esque lo hubo alguna vez, y aplicación de métodos menos «simpáticos»,para decirlo en jerga rortyana, desde el bombardeo de la propagandahasta otros bombardeos. En lo práctico entonces, el absolutista y elrortyano no están nada lejos: ambos enfrentan culturas lejanas comosi fueran entidades homogéneas, ambos conllevan un problemáticopaternalismo. Si, por lo tanto, uno es pragmatista y cree que las dife-rencias teóricas importantes son sólo aquellas que hacen de algunamanera una diferencia práctica10, entonces las diferencias entre Rortyy el absolutista comienzan a perder importancia.

3. La doble lectura. Según una tercera interpretación, expresio-nes como «se nos acaban pronto las razones» poseen dos sentidosque hemos de distinguir con claridad: un sentido débil y un sentidofuerte. En un sentido débil, el agotamiento de las razones significahaber alcanzado las premisas más básicas de una argumentacióndeductiva sin que ellas generen acuerdo. Dicho de otro modo, ya noresulta posible deducir ciertas creencias a partir de la verdad decreencias más fundamentales, dado que éstas ni son compartidas nipueden ser deducidas, a su vez, a partir de otras aún más fundamen-tales. En consecuencia, el fin de la argumentación es en este caso elfin de un cierto tipo específico de argumentación: la argumentacióndeductiva, aquella que funciona mostrando que una determinadacreencia (la conclusión) se sigue con necesidad de otras creencias(las premisas), de ser éstas verdaderas. Ahora bien, que se nos aca-ben las razones, en este sentido débil de la expresión, en absolutoelimina la posibilidad de argumentaciones no deductivas, como porejemplo los argumentos por analogía o la inferencia a la mejor ex-plicación y, en general, todo tipo de razonamiento que demuestrauna conclusión no como verdadera, sino sólo como plausible. En unsentido fuerte, en cambio, el fin de las razones implica la inviabilidadde cualquier forma de argumentación, y no sólo de la deductiva.Ningún tipo de argumento tiene chance alguna de lograr un resultadoen10. Estoy castellanizando la famosa expresión de James. La cita completa

dice: "There can be no differences anywhere that doesn’t make adifference elsewhere […]" (James 1978: 30).

182

casos de diferencias culturales profundas, la idea misma de unaconversación argumentativa comienza aquí a perder su razón de ser.

Por dos motivos que por ahora me limitaré a dejar apuntados, lalectura doble, la única que matiza la expresión «límites de la argu-mentación», poniendo en juego la distinción entre formas deductivasy no deductivas de argumentación, me parece definitivamente máspromisoria que las dos anteriores. Primero, porque es la única queplantea la necesidad de preguntarse por formas de argumentaciónno-deductiva una vez que se nos agotan las razones articuladasdeductivamente, y porque, como esbozaré más adelante, esas for-mas de argumentación son posibles. Segundo, porque es la únicaque, manteniendo vigente la posibilidad de una conversación quelas otras interpretaciones tienden a finalizar demasiado pronto, creaun espacio para la idea del respeto a una cultura diferente, sin porello caer en los vicios del relativismo.

Se nos agotan pronto las razones, decimos, pero ¿qué quiere de-cir aquí el adverbio temporal? De nuevo, me parece entrever dossignificados posibles: a) pronto me doy cuenta que, no pudiendo yaargumentar en absoluto, lo mejor es sustituir el juego de lenguajeargumentativo por uno diferente: propaganda, manipulación de afec-tos, etc.; b) pronto me doy cuenta de que el otro es muy diferente amí, por lo que un simple argumento deductivo lo dejará imperturba-ble. De lo que vengo diciendo se sigue que hay más verdad en estaúltima lectura del «pronto» que en la primera.

3. IMÁGENES DEL MUNDO (WELTBILDER)Es importante contar con una noción como «imagen del mundo»

(Weltbild)11. Los aborígenes de Australia, los indígenas del Amazo

11. Frente a la pregunta de por qué Wittgenstein acuñó un nuevo término yno prefirió continuar empleando, y elaborando, la noción de «formasde vida», no existe una respuesta fácil. Acaso un motivo diga relacióncon que ya había empleado también el singular de esta última noción(«forma de vida»), mientras que ahora quiere decididamente enfatizarla dimensión de la pluralidad. Wittgenstein no habla nunca de la imagen(universal, humana) del mundo. El uso de «forma de vida» —así, en

183

nas, los musulmanes o los asiáticos, tienen —eso decimos— unaimagen del mundo muy diferente a la nuestra. Importa que lo poda-mos decir, porque es una forma —yo diría que la primera— derespetar y tomar realmente en serio a otras culturas. Tomarlas enserio es reconocer su diversidad, y éste es precisamente el principalpropósito que motiva la creación y el uso de conceptos como los de«imágenes del mundo», «Weltanschauungen», «formas de vida», etc.Si no dispusiéramos de estos conceptos, no podríamos reconocerrealmente la alteridad, y por lo mismo estaríamos asimilando, aunquefuese más implícita que explícitamente, otras culturas a la nuestra.Ahora bien, tan importante como disponer de una noción que sirva aese propósito, es entender que su uso no nos comprometeautomáticamente con una posición relativista.

Un aspecto muy interesante relacionado directamente con la no-ción que comentamos, es el planteo de un tipo de holismo que, segúnme parece, se distingue de otros holismos discutidos en la filosofíaanalítica contemporánea. Son varios los indicios textuales que hacenpensar en tal planteo. En el parágrafo 141 leemos:

"Cuando empezamos a creer algo, lo que creemos no es una únicaproposición, sino todo un sistema de proposiciones. (Se hace la luzpoco a poco sobre el conjunto.)" (Wittgenstein 1988b: § 141).

La primera frase podría ser perfectamente de Quine, Davidson uotros «holistas analíticos». En cambio, el «poco a poco» de la fraseentre paréntesis parece apuntar a un holismo distinto. Hay más indi-cios: en el § 94 se habla de «trasfondo» y cabe recordar también eltérmino «entorno» (Umgebung), empleado por Wittgenstein en otros

singular— se refiere sobre todo a modos instintivos de actuar y reaccionarque se presentan en toda la especie humana, y en parte también enespecies inferiores; es el «modo de actuar humano común», del quehabla nuestro autor (Wittgenstein 1988a: § 206). El hecho de que ésteusara tanto «Lebensform» como «Lebensformen»" ha generado undebate entre los intérpretes: mientras que autores culturalistas (comoHunter 1986) enfatizan el uso del término en plural, autores naturalistas(como Haller 1984) privilegian el singular. En mi opinión, la alternativaes falsa porque ambas interpretaciones, ambos usos del término, apun-tan a algo correcto y no se excluyen realmente.

184

textos12. En un autor que elegía con lupa cada una de sus palabras,nada de esto puede ser casual, como tampoco lo es el hecho de quecaracterice metafóricamente la idea de sistema como «elemento vi-tal». Con todos estos términos y metáforas Wittgenstein quiereapuntar a una atmósfera o ambiente social, es decir, a un modo distintode organizar la vida, que en cuanto modo no es susceptible de fijaren una lista de creencias o enunciados. Así, tampoco puede ser casualel término mismo «imagen», en vez de «teoría» o «creencias» acercadel mundo. El holismo del cual habla Wittgenstein —sin usar, claro,esa palabra— no concierne simplemente a las relaciones que se pue-den dar entre estructuras proposicionales (creencias, enunciados).Un enunciado como «Sólo el brujo de la tribu tiene poderes especia-les» no expresa simplemente una creencia particular, un punto departida equivocado, sino un modo de ver ciertas relaciones sociales.Este modo se verifica, por ejemplo, en un cierto tono en que se hablacon el brujo o de él, en una manera de mirarlo o esquivar su mirada,de saludarlo y atender a sus palabras, etc. Más que ser, entonces, laexpresión de una creencia que nos parece falsa, la frase apunta a uncomplejo entramado de prácticas y tradiciones con cualidades espe-cíficas, a un «trasfondo» o «entorno», como diría Wittgenstein. Porlo mismo, sólo alguien que se ha compenetrado, que se ha empapadocon ese modo distinto de ver el mundo podrá, primero, comprenderrealmente la cultura de la que se trate, para poder luego, eventual-mente, criticarla en aspectos específicos.

Siguiendo esta línea de razonamiento, otra de las ideas queWittgen-stein vincula con la noción de «imágenes del mundo» es lade que hasta se puede hablar, en cierto sentido, de conceptosdiferentes de justificación al interior de imágenes del mundodiferentes. Es así como interpreto el parágrafo 608, donde leemos:

"¿Es incorrecto que guíe mi conducta por las proposiciones del físi-co? ¿He de decir que no tengo ninguna buena razón para ello? ¿Noes precisamente eso lo que denominamos una «buena razón»?"(Wittgenstein 1988b: § 608)

12. Por ejemplo: "Las palabras ‘jugar un juego’ sólo tienen sentido en unadeterminado entorno." (Wittgenstein 1987: § 346)

185

Las diferencias con respecto a seres humanos que poseen otraimagen del mundo no sólo conciernen premisas no compartidas, sinotambién modos diferentes de argumentar, relacionados con el tono,las personas y hasta los lugares y momentos que son consideradosindicados para hacerlo. De ahí también la importancia de dirigir laspreguntas apropiadas al miembro de otra cultura y de formularlas enel orden, el lugar y el tiempo justos. (Supongo que los políticos yempresarios que trabajan a nivel internacional podrían dar muchosejemplos, avalando lo anterior.) Todos somos producto de una deter-minada socialización que abarca no sólo contenidos, sino tambiénmodos de aprendizaje, pautas respecto de lo que es relevante y loque no, de lo que requiere justificación y lo que no, de lo que cuentacomo una buena evidencia y lo que no, etc. Concebir las diferenciasculturales como meras diferencias de opinión, por más elementalesque éstas sean, no es plantear el problema de la diversidad cultural aun nivel suficientemente profundo.

Ahora bien, nada de lo anterior debe identificarse sin más con elrelativismo de la justificación. A la pregunta de si culturas muy dife-rentes entre sí poseen incluso conceptos diferentes de justificación,la respuesta ha de ser, en mi opinión: en cierto sentido sí, en ciertosentido no. Ya he dicho en qué sentido la pluralidad de conceptos dejustificación parece una realidad. Pero existe también un núcleo co-mún: todo intento justificatorio es un intento de afirmar algoverdadero. Y en esta referencia a la verdad, el concepto de justifica-ción es, me parece, uno solo. Es el que nos permite criticar ciertascreencias o prácticas de otras culturas no sólo como falsas o inco-rrectas, sino también como injustificadas o menos justificadas. Unacosa es tener razones, otra cosa es tener buenas razones. Los con-ceptos de razón, justificación o argumentación son conceptos queposeen dos caras, una relativa y otra no relativa. Lo crucial es enten-der que ninguna de estas dos caras es más importante que la otra13.

Por último, Wittgenstein nos recuerda en Sobre la certeza el ca-rácter heredado de las imágenes del mundo. Nadie ha llegado a

13. He desarrollado este punto en Fermandois 2001.

186

tener su primera imagen del mundo (en muchos casos también laúltima) en virtud de justificaciones o argumentos. Por de pronto, acada cual le toca la imagen del mundo que le toca. Se trata del "tras-fondo que me viene dado y sobre el que distingo entre lo verdaderoy lo falso" (Wittgenstein 1988b: § 94). Es éste otro aspecto o dimen-sión de los límites de la argumentación: no elegimos una imagen delmundo luego de considerar, por así decir neutralmente, todas o almenos una cantidad representativa de alternativas —como cuandouno se compra su primer auto—. Que una imagen del mundo no seaobjeto de una elección, es obviamente válido para los niños, peroquizá lo sea en cierta medida también de los adultos. Sospecho queen una descripción cuidadosa de conversiones adultas, ya sean reli-giosas o de otro tipo, hablar de «elección» nunca resultará del todoadecuado para dar con lo que realmente ahí sucede.

4. ENTRE LA ARGUMENTACIÓN DEDUCTIVA Y EL PATERNALISMO

Retomo aquí la tesis de la sección 2: la de que tras agotarse nues-tras posibilidades de argumentar deductivamente (por no compartirpremisas a partir de las cuales hacerlo), no tenemos por qué pasarinmediatamente a la propaganda paternalista. Existe un espacio in-termedio de formas de argumentación no deductiva. Si el planteogeneral de esta ponencia está bien encaminado, uno de sus benefi-cios teóricos será el de hacernos ver que estamos aquí frente a unfértil e importante campo de investigación. Se trata de analizar, des-cribir y sistematizar estrategias no deductivas de argumentación queresulten relevantes en el diálogo intercultural. En lo que sigue mereferiré a sólo una de esas estrategias y sólo a modo de esbozo nosistemático. Otras que quisiera al menos dejar nombradas son la ar-gumentación analógica y lo que se ha llamado «redescripción»14.También habría que pensar en formas legítimas, es decir, nopaternalistas, de apelación a los afectos y, más en general, en la

14. Respecto de esta última habría que, claro está, dar razones para consi-derarla una forma de argumentación. Pero creo que esas razones efec-tivamente existen.

187

distinción entre usos argumentativos y no argumentativos de lapersuasión. Pero todo esto va más lejos.

Veíamos que una imagen del mundo no se elige, como se elige elprimer auto, sino que simplemente la heredamos, por una cuestiónde educación y tradición. Es aquí precisamente donde se abre la po-sibilidad de lo que con Hubert Schleichert podemos llamar«argumentación subversiva» (Schleichert 1999 passim). La idea defondo es matizar y complementar la educación que nuestrointerlocutor recibió durante su infancia o adolescencia. Esto se lograofreciéndole información más precisa y completa sobre la imagendel mundo que ha heredado, sobre sus aspectos problemáticos y/omenos conocidos, sus rarezas, etc.; y presentando modos alternativosde enfocar los mismos temas. La pregunta que en todo esto dejamoscaer constantemente, aunque sin formularla, es la siguiente: «Sihubieses sabido todo esto que te cuento ahora, ¿habrías visto entonceslas cosas como de hecho las ves?»

Ahora bien, es crucial entender que no se trata aquí de refutar anadie, ni tampoco de hacer como si se lo hubiese refutado. Aquelloque se ha llegado a tener como la visión correcta sin necesidad deargumentos, no puede ser refutado mediante argumentos. Lo que síse puede es generar curiosidad y vacilación, se puede abrir sospe-chas y echar a andar una reflexión autónoma. Pero esto nada tieneque ver con refutaciones conclusivas. El tenor de este tipo de críticaintercultural no es entonces: «Lo que tú crees es falso, injustificado»,sino: «Te intento mostrar lo que crees». Sólo nos atenemos aquí areferir hechos reales, sobre todo aquellos que puedan resultar incó-modos a nuestro interlocutor; pero dejamos, y esto es crucial, que élmismo saque sus consecuencias.

La característica de esta estrategia subversiva es entonces sucarácter no conclusivo, lo propio, a su vez, de toda argumentaciónno deductiva. No por ello, sin embargo, se debe pensar que este pro-ceder no haya de ser eficaz a largo plazo. Pero también esto es crucial:a largo plazo. No es una característica casual o accidental de laargumentación intercultural que los posibles cambios se den muylentamente. Por lo demás, esta lentitud se ajusta bien al hecho deque una imagen del mundo no pueda ser refutada de una vez. Lo que

188

más bien ocurre es que una imagen del mundo devenga obsoleta,que con el tiempo se llegue a ignorarla y olvidarla, en virtud de unproceso paulatino, complejo y que no siempre está en nuestrasmanos.

5. LO QUE PODEMOS APRENDER DE WITTGENSTEIN

¿Y dónde queda en todo esto Wittgenstein? Voy a responderbrevemente esta pregunta en forma de cuatro tesis que puedentomarse también como un apretado resumen de la ponencia.

1. Wittgenstein no fue un relativista con respecto a la justifica-ción, porque reconoció claramente la legitimidad de criticar creenciasy prácticas de otras culturas. (Con todo, hay algunas citas que esdifícil no interpretar como expresiones de relativismo: por ejemplo,Wittgenstein 1988b: § 95).

2. Tampoco hizo suyo un etnocentrismo a la Rorty, pese a algunasafirmaciones que podrían leerse en esa clave. En Sobre la certezaleemos lo siguiente:

"Si alguien nos preguntara «Pero, ¿es tal cosa verdad?», podríamosresponderle «Sí»; y si exigiera que se le dieran razones podríamosdecirle «No puedo darte ninguna razón; pero si aprendes más cosas,compartirás mi opinión»." (Wittgenstein 1988b: § 206).

Esta referencia a un aprendizaje podría sonar a paternalismoetnocentrista. Pero hay un aspecto que no se puede pasar por alto:Wittgenstein, a diferencia de Rorty, no niega nunca que frases comoésas puedan ser leídas también al revés, es decir, que seamos noso-tros (occidentales liberales, demócratas, etc.) los que tengamos queaprender de otras culturas, incluidas las así —y mal— llamadas «cul-turas primitivas».

Por otro lado, la referencia al uso de slogans (Schlagworte,Wittgen-stein 1988b: § 610) o al hecho de que en conflictos cultura-les se trata a los otros como «locos» o «herejes» (Wittgenstein 1988b:§ 611), no deben ser mal interpretadas. Creo que Putnam está en locorrecto al plantear que en esos pasajes Wittgenstein adopta un tonocrítico, distanciándose precisamente del uso de un lenguaje agresivo(cf. Putnam 1992: 173).

189

3. Con todo, las evidencias textuales no son siempre claras o in-equívocas, lo cual demuestra que Wittgenstein no alcanzó a pensarmás acabadamente sobre estos temas. Resulta al respecto sintomáti-co que haya lanzado dos conceptos absolutamente centrales para lacuestión intercultural, sin decir nada sobre ellos: persuasión y con-versión. En la investigación que es preciso emprender en torno aestos conceptos, creo que no podremos aprender mucho delWittgenstein de Sobre la certeza.

4. Comentando una determinada diferencia radical de opinión,Wittgenstein escribe: "Nos sentiríamos muy alejados intelectualmentede quien dijera tal cosa." (Wittgenstein 1988b: § 108) «Alejadosintelectualmente» —en esta expresión se escucha una actitud de res-peto por el otro—. En tal sentido, lo que sí podemos aprender deWittgenstein es que el tema de la diversidad cultural es ante todo untema delicado y que el respeto que nos merecen otras culturas, auncuando no estemos de acuerdo con ellas, está relacionado de algunamanera con la idea misma de argumentación. Vimos al comienzoque toda argumentación opera al interior de un sistema que es suelemento vital. Esto lo interpretamos luego, entendiendo por «siste-ma» una imagen del mundo. Que otros seres humanos posean nosólo creencias y teorías diferentes a las nuestras, sino una imagendel mundo distinta, parece, de alguna manera, exigirnos antes quenada eso: respeto.

REFERENCIAS

Fermandois, Eduardo (2001): "Verdad y justificación: la intrínsecarelación y la imborrable diferencia entre dos conceptos",en Ideas y Valores. Revista Colombiana de Filosofía, vol.17, pp. 55-78.

Fermandois, Eduardo (2003): "Wittgenstein: entre relativismo ypragmatismo", en Cabanchic, S.; Penelas, F. y Tozzí, V.(eds.): El giro pragmático en la filosofía. Barcelona:Gedisa 2003, pp. 75-92.

Haller, Rudolf (1984): "Lebensform oder Lebensformen?", en GrazerPhilosophische Studien, vol. 21, pp. 55-63.

190

Hunter, J. F. M. (1986): "«Forms of Life» in Wittgenstein’sPhilosophical Investigations", en Shanker, S. (ed.): LudwigWittgenstein. Critical Assessments, vol. II. London /Sydney, pp. 106-124.

James, William (1978): Pragmatism. A New Name for Some OldWays of Thinking and The Meaning of Truth. A Sequel toPragmatism. Cambridge, Mass. / London: HarwardUniversity Press.

Pereda, Carlos (1994): Vertigos argumentales. Una ética de la dis-puta. Barcelona: Anthropos.

Putnam, Hilary (1992): "Wittgenstein on Reference and Relativism",en Putnam, H.: Renewing Philosophy. Cambridge, Mass.:Harward University Press, pp. 158-179.

Rorty, Richard (1985): "Solidarity or Objectivity?", en Rajchman, J.y West, C. (eds.): Post-Analytic Philosophy. New York:Columbia University Press 1985, pp. 3-19.

Schleichert, Hubert (1999): Wie man mit Fundamentalisten diskutiert,ohne den Verstand zu verlieren. München: C.H. Beck.

Taylor, Charles (1982): "Rationality", en Hollis, M. y Lukes, S. (eds.):Rationality and Relativism. Cambridge, Mass.: MIT Press,pp. 87-105.

Winch, Peter (1994): Comprender una sociedad primitiva. Barcelo-na: Paidós.

Wittgenstein, Ludwig (1987): Observaciones sobre los fundamen-tos de la matemática. Madrid: Alianza Universidad.

Wittgenstein, Ludwig (1988a): Investigaciones Filosóficas. Méxi-co, D. F. / Barcelona: Instituto de Investigaciones Filosó-ficas, UNAM / Editorial Crítica.

Wittgenstein, Ludwig (1988b): Sobre la certeza. Barcelona: Gedisa.Wittgenstein, Ludwig (1996): Observaciones a La rama dorada de

Frazer. Madrid: Tecnos.

Eduardo FermandoisPontificia Universidad Católica de Chile

efermanm@uc.cl

191

FILOGÉNESIS Y ESPECIES COMOGÉNEROS NATURALES EN KRIPKE

Julio Torres Meléndez

FILOGÉNESIS Y ESPECIES COMOGÉNEROS NATURALES EN KRIPKE

Julio Torres Meléndez

ResumenSe presenta aquí un examen crítico de una reciente evaluación

del concepto de especies como géneros naturales en Kripke. Setrata de aquella que surge en el contexto de la interpretaciónesencialista del cladismo o sistemática filogenética hecha porLaPorte. En oposición a los argumentos de LaPorte se sostieneque Kripke no está comprometido con un concepto no históricode esencia para las especies. Para mostrarlo se propone derivar lamisma tesis de LaPorte respecto de las especies, a partir de unatesis metafísica de Kripke en relación con la identidad de objetoscualitativamente idénticos.

195

AbstractThis article introduces a critical examination of a recent

assessment of Kripke’s notion of species as natural kinds. It is aboutthat one arising in the context of essentialist interpretation of cladismor phylogenetic systematics given by La Porte. Opposing LaPorte’sarguments, it is claimed that Kripke is not committed to a non-historical species essence notion. In order to prove it we propose toderive the same thesis on species stated by LaPorte from Kripke’smetaphysical thesis on the identity of qualitatively identical objects.

1. INTRODUCCIÓN

Se discute aquí una reciente interpretación de la tesis de SaulKripke acerca de las especies biológicas. Se trata de la interpreta-ción que hace Joseph LaPorte en el contexto de una defensa de laconcepción esencialista de las especies que es construida a partir deuna interpretación esencialista de un actual paradigma de taxonomíabiológica: el cladismo o sistemática filogénetica (Cf. LaPorte 2004).LaPorte desarrolla su concepción esencialista de los géneros natu-rales en oposición a aquella concepción que es propuestaindependientemente por Kripke y Hilary Putnam. Los argumentosesencialistas fueron desarrollados modernamente por estos filósofosa partir de la tradición que W. V. Quine, en sus críticas a la modali-dad, llamara esencialismo aristotélico. Entendiendo por ello unesencialismo que atribuye propiedades necesarias a las cosas y no essólo una forma de hablar acerca de cosas (cf. Quine 1977). La tesisesencialista sostiene entonces básicamente que podemos distinguiren las cosas propiedades esenciales y accidentales. Del agua, porejemplo, podemos afirmar que sus propiedades organolépticas sonaccidentales o contingentes; pero su estructura molecular le perte-nece esencial o necesariamente, pues si la pensamos como distintalo que tendríamos allí no sería agua sino cualquier otra sustancia,incluso si sus propiedades causales conocidas fueran las mismas quelas que encontramos en el agua. En la formulación de Kripke, unapropiedad es necesaria si es verdadera de un objeto en todo mundo

196

posible o en toda situación que pueda ser estipulada para eseobjeto. El agua en este sentido sería una clase o género natural puespodemos proyectar que todo aquello que es agua tiene esa y no otraestructura interna en cualquier mundo posible. Pero también habríangéneros naturales en el mundo biológico, estos son para-digmáticamente las especies y también, en un sentido amplio, lostaxa o agrupaciones naturales de distinto nivel. Ahora bien, ¿quépropiedades le pertenecen necesariamente, por ejemplo, a una espe-cie animal, a un tigre, por ejemplo? Hoy en día estaríamosinicialmente inclinados quizás a responder que la propiedad que hacede un tigre un tigre es ADN de tigre. Pero esta respuesta no puedeser correcta. Una pregunta simétrica a la pregunta acerca de naturalezadel agua, sería aquí: ¿podría tener o haber tenido un tigre un ADNdistinto del ADN de tigre? Y la respuesta ahora no puede ser eviden-temente negativa como en el caso del agua, las especies evolucionan.Lo que la teoría científica parece confirmar respecto de términoscomo ‘oro’ y ‘calor’ parece refutarlo respecto de las especies. Elexamen de la sustitución del concepto tipológico de especie,construido sobre la base de relaciones de similaridad morfológica,por el concepto de biológico de especie muestra los problemas a losque se puede ver enfrentada una respuesta como la que se atribuyeaquí, tanto a Kripke como a Putnam, respecto de la esencia de lasespecies.

2. EL CONCEPTO TIPOLÓGICO Y EL CONCEPTO BIOLÓGICO DE

ESPECIE

De acuerdo a la concepción esencialista tradicional pre-darwinianapodemos definir esencialmente a una especie natural en términos deaquellas cualidades que son propias de un conjunto de individuos yque los distinguen de otros. Esta parece ser la aproximación naturaly espontánea mediante la cual los seres humanos han clasificado lasespecies. Si las especies fueron creadas independientemente enton-ces cada especie debe poseer una morfología única que la diferenciade las otras. Y estas propiedades son las que deben ser identificadaspor el taxónomo. Una versión avanzada de este concepto surge cuandose agregan a estos indicadores morfológicos criterios de cruzamien

197

to reproductivo como lo hicieron Linneo y otros taxónomos no-evolucionistas. Los organismos que pueden cruzarse entre sí peroque no pueden hacerlo con otros, forman ciertamente una agrupa-ción natural que debe ser reconocida como tal. Estos deberían sertambién los criterios usados por los pueblos aborígenes para identi-ficar las especies en su entorno. Es conocido que las distinciones dela tradición de los pueblos aborígenes en un determinado entornocoinciden en un muy alto porcentaje con las distinciones que puedehacer en nuestros días un taxónomo cuando trabaja sobre ese mismoentorno. La incorporación de criterios reproductivos integra el fenó-meno de la vida al criterio de clasificación morfológico y al conceptode especie que surge de allí. Sin embargo, queda implícito que lasdiferencias morfológicas son la causa del aislamiento reproductivode las poblaciones que son reconocidas como clases naturales. Conello se muestra que las especies son entendidas como entidades tipoy que los organismos ejemplifican ese tipo en la medida en que poseenlos rasgos morfológicos esenciales del tipo. Este concepto tipológicoo esencialista de especie entra en crisis luego de la aceptación delparadigma evolutivo que finalmente termina imponiéndose conDarwin. Desde el paradigma evolucionista se reconoce ciertamenteque existe una correlación entre las diferencias morfológicas y elaislamiento reproductivo. Pero ahora el aislamiento reproductivotoma un lugar central y el orden causal se invierte: la diferenciamorfológica es causada por el aislamiento reproductivo y no a lainversa. Como insiste Ernst Mayr: "El grado de diferenciamorfológica exhibido por una población natural es un subproductode la discontinuidad genética resultante del aislamiento en lareproducción" (Mayr 1968: 46).

Pero el concepto morfológico es refutado en el mismo trabajo decampo del taxónomo pues existen diferencias morfológicas impor-tantes entre individuos y poblaciones de la misma especie. De acuerdoa la moderna teoría de la evolución la variación individual al interiorde las especies es no sólo una realidad sino también una fuente de laque se nutre el cambio evolutivo. Y, por otra parte, existen poblacio-nes que tienen rasgos morfológicos semejantes a pesar de constituirespecies distintas. Estas son las llamadas sibling species o especiesgemelas. Es decir, son poblaciones que presentan ausencia de dife

198

rencias morfológicas y que, sin embargo, constituyen especiesdistintas pues hay en ellas aislamiento reproductivo y diversidadgenética. De ahí el surgimiento del llamado concepto biológico deespecie de Theodosius Dobzhansky y del mismo Mayr. Este concep-to está basado en la capacidad real o potencial de reproducción entrelos miembros de una población animal. El aislamiento reproductivoque implica el concepto biológico de especie no es aquel de la este-rilidad dado que existen poblaciones no estériles entre sí que, sinembargo, no se cruzan. Los mecanismos de aislamiento reproductivoson aquí distintos a los de la barrera de la esterilidad. Este tipo defenómenos destruye también la pretensión ingenua de que podría-mos tener criterios puramente genéticos para individualizar especies.Dicha pretensión no parece ser más que una versión genotípica delconcepto morfológico de especie: los rasgos esenciales por los quepertenece un organismo a un tipo no radican en el fenotipo o morfo-logía externa sino en su genotipo o configuración genética. Esto quedarefutado dado que pueden existir diferencias genéticas y morfológicasimportantes sin haber especiación (polimorfismo), como puede existirespeciación sin diversidad morfológica (especies gemelas) (véaseMayr 1968: 29-179 y Futuyma 1998: 447-479).

Dado este contexto científico LaPorte rechaza las pretensionesde formular un concepto de especie sólo sobre la base de los rasgosde la estructura externa o interna de los organismos. No hay posibi-lidad aquí de construir sobre esta base empírica un concepto científicode especie biológica. La alternativa inicial sería entonces el conceptobiológico de especie pero, como hemos visto, este concepto no per-mite construir una definición esencial de especie. El conceptobiológico de especie abandona ciertamente los presupuestosesencialistas del concepto tipológico. Los mecanismos de aislamientoreproductivo son claramente contingentes y con ello los procesos deespeciación también lo deben ser. Pues si las especies surgen unasde otras como lo predice la teoría evolutiva, y esto se debebásicamente al aislamiento reproductivo que finalmente impone unahistoria genética divergente entonces evidentemente la evolución esun fenómeno contingente. Pero ¿qué ocurre entonces con lasrelativamente recientes propuestas esencialistas que tienen entre susejemplos paradigmáticos

199

de géneros naturales a las especies biológicas? ¿Es posible en-contrar respaldo en la teoría empírica para la construcción de unconcepto esencialista de especie como lo pretenden Kripke y Putnam?De acuerdo a LaPorte si modificamos nuestra concepción acerca dela esencia en las especies es posible encontrar un respaldo empíricopara las tesis de Kripke y Putnam. Como veremos LaPorte obtieneesta concepción de una interpretación esencialista de la sistemáticafilogenética.

3. UNA INTERPRETACIÓN ESENCIALISTA DEL CLADISMO OSISTEMÁTICA FILOGENÉTICA.El paradigma de una nueva concepción para la clasificación bio-

lógica en términos de relaciones genealógicas fue establecido por elentomólogo alemán Willi Hennig, quien formuló los conceptos y lametodología de la sistemática filogenética, hoy conocida como aná-lisis cladístico o simplemente cladismo —en consideración de laestructura ramificada y jerarquizada de las representacionesgenealógicas—, o cladogramas, mediante las cuales se pretende dis-cernir las distintas categorías que hay en la diversidad de la vida.

De acuerdo a la sistemática filogenética los conceptos y catego-rías para el análisis taxonómico deben surgir inicialmente delconocimiento que alcancemos de las relaciones entre los elementosque son epistemológicamente primarios para el taxónomo. De acuer-do a Hennig, aquello con que nos encontramos en el mundo vivocomo materia primaria para la conceptualización no son losorganismos o individuos sino los estados de un organismo. Es decir,aquello que es primario es la experiencia que tenemos de unorganismo tal como se nos aparece en un determinado momento o"tal como se observa durante un lapso infinitamente pequeño de suvida" (Hennig 1968: 8). Este será el elemento constitutivo de toda lasistemática biológica y es lo que Hennig denomina el semaforonte oportador de caracteres. Considérese, por ejemplo, cómo es quellegamos a determinar que los distintos estados de un proceso demetamorfosis son estados de un solo ciclo individual. En los casosno familiares esto no es evidente y se necesita un gran esfuerzo deinvestigación empírica para

200

determinar que los distintos estados metamórficos que presentan unasorprendente diversidad morfológica son estados de un mismo indi-viduo. De acuerdo a Hennig, no existe ningún indicio morfológicoque permita por sí mismo determinar que distintos semaforontes sonestados metamórficos de un mismo individuo. Es por ello que lasrelaciones de semejanza no cumplen ninguna función científica aquí.Esencialmente lo mismo ocurre respecto del desarrollo de organis-mos que no están sometidos a metamorfosis, aquí la variabilidadmorfológica puede no tener el dramatismo que tiene en el caso ante-rior pero a veces es necesaria una investigación empírica sistemáticapara determinar que dos estados de un individuo en dos momentosde su desarrollo ontogenético son justamente dos estados de un indi-viduo y no dos ejemplares de dos especies distintas. Si la unidadepistemológica de la sistemática filogenética son los estados de in-dividuos o semaforontes, la unidad metafísica la constituye losindividuos y sus relaciones de parentesco que Hennig llama«relaciones tocogenéticas» y que corresponden a las relacionesreproductivas entre los individuos. El conjunto de todas las relacionestocogenéticas define a una especie, de ahí que las nuevas especiessurjan cuando aparece una barrera en las relaciones reproductivas.Aquí, como en el caso del metamorfismo, la morfología común orelación de semejanza tampoco constituye un indicio que por símismo permita establecer relaciones tocogenéticas.

Las relaciones que se establecen entre las especies son las rela-ciones filogenéticas y la sistemática tiene como objetivo descubrirestas relaciones para establecer clases o géneros naturales. Hennigtoma una posición explícitamente realista, asume que las categoríasde la sistemática existen por sí mismas independientemente de lateoría, aunque desde el punto de vista epistemológico nunca podre-mos tener certeza acerca de si las categorías que muestran los árbolesfilogenéticos representan la estructura real de estas relaciones. Estose debe básicamente a la diversidad y complejidad de la vida y a queel tiempo en que ocurren las relaciones filogenéticas es enorme encomparación con el tiempo en que ocurren las relacionesontogenéticas y tocogenéticas. En principio, podríamos tenerpercepción de estas

201

últimas relaciones, algo que está excluido respecto de lasrelaciones filogenéticas. El criterio básico para establecer un géneronatural y no una construcción meramente teórica es que lasagrupaciones biológicas o taxa que se establezcan reflejenestrictamente el principio genealógico. Si una especie es unacomunidad reproductiva, el único criterio de individuación del quese dispone para determinar que dos individuos pertenecen a especiesdiferentes es la existencia de procesos bifurcantes, es decir, deprocesos que produzcan la separación de una comunidad reproductivaen dos comunidades descendientes aisladas reproductivamente entresí. No hay criterios morfológicos de identificación. Una comunidadreproductiva puede en el tiempo haber sufrido cambios importantesproducto del proceso evolutivo pero ello no la convierte en una nuevaespecie. Así como los distintos estados metamórficos de un cicloindividual son estados de una y la misma cosa, de igual manerapodríamos referirnos a los estados de transformación en el tiempode una y la misma especie. De ahí que sostenga Hennig que:

"La duración temporal de una especie está determinada por dos pro-cesos de bifurcación de especies: el primero es aquel al cual debe suexistencia como comunidad reproductiva independiente, y el segun-do, es aquel que la divide en dos o más comunidades reproductivasnuevas." (Hennig 1968: 87)

LaPorte ve en este proyecto de la sistemática filogenética, con-sistente en rechazar los criterios morfológicos para construir lasclasificaciones biológicas sólo sobre la base de criterios genealógicos,la base correcta para apoyar una nueva forma de esencialismo res-pecto de las especies. Desde el punto de vista de la interpretaciónesencialista que hace LaPorte de la sistemática filogenética, un or-ganismo no pertenece esencial o necesariamente a su especie, perola especie a la que de hecho pertenece sí pertenece necesariamente acualquier taxón superior que esté relacionado genealógicamente conella. Por ejemplo, un individuo cualquiera de tigre pertenece sólocontigentemente a la especie Panthera tigris pero no por ello estaespecie carece de una esencia. La esencia queda determinada por sulinaje: "Panthera tigris =df. el linaje que desciende de la po

202

blación P y que termina en especiación o en extinción" (LaPorte2004: 61). La esencia es histórica, radica en el linaje o historia bio-lógica de los taxa. La clasificación tradicional no cladista en la queparecen estar pensando tanto Kripke como Putnam, según LaPorte,se funda básicamente en el criterio de los cruzamientos reproductivosentre individuos y en las taxonomías tradicionales que incluyen cri-terios morfológicos para distinguir los taxa. Sin embargo, tanto elaislamiento reproductivo como las adaptaciones que explicarían lasdiferencias morfológicas se deben a causas contingentes. En cambiolos taxa inferiores pertenecen esencialmente a los taxa superiorescorrespondientes. Un individuo de tigre no pertenece bajo esta in-terpretación esencialmente a la especie de los tigres aunque estaespecie sí pertenece esencialmente a la clase de los mamíferos. Dadoque los eventos de especiación son contingentes, hay mundos posiblesen donde un individuo de tigre no pertenece a la especie a la que dehecho pertenece. Pero si un ejemplar pertenece a la especie Pantheratigris, por ejemplo, entonces no existe ningún mundo posible en don-de este individuo tenga un linaje distinto al que posee Panthera tigris:

"No hay un mundo en el cual todo aquello que pertenezca a Pantheratigris no pertenezca a este linaje, y no hay un mundo en el cual todoaquello que no pertenezca a Panthera tigris pertenezca a este linaje.Ciertamente, algunos miembros de Panthera tigris no son miembrosde Panthera tigris en todo mundo posible en el cual existen estosmiembros, no pertenecen al linaje pertinente en todo mundo posibleen el cual existen. No obstante, estos miembros pertenecen al linajepertinente exactamente en aquellos mundos en los cuales les ocurreser miembros de Panthera tigris." (LaPorte 2004: 61-62)

El linaje, agrega LaPorte, es la esencia de una especie. Y para eltigre es parte de su linaje ser mamífero. Panthera tigris perteneceesencialmente a la clase de los mamíferos. De este modo quedadefinida una esencia histórica para las especies en oposición a unasupuestamente errónea concepción no histórica tanto de Kripke comode Putnam. LaPorte insiste, como se ha visto, que estos filósofosapoyan una concepción no histórica de la esencia que es inconsis-tente con lo que sabemos empíricamente acerca de ellas. Unaafirmación semejante se encuentra en Ereshefsky y Matthen 2005:16. En lo

203

que sigue argumentaré, sin embargo, que esta interpretación nopuede ser correcta en el caso de Kripke y que puede mostrarse, ini-cialmente, que éste concordaría con la afirmación según la cual lasespecies tienen esencias históricas en el sentido de ‘esencia’ quesurge de una interpretación esencialista de la sistemática filogenética.

4. KRIPKE Y LA ESENCIA HISTÓRICA DE LAS ESPECIES.Como se ha adelantado, LaPorte sostiene que Kripke tiene una

errónea concepción de la naturaleza la esencia de los taxa que hasido motivada por concepciones equivocadas acerca de la maneracomo los biólogos construyen las agrupaciones biológicas. De acuer-do a LaPorte:

"[...] la explicación popularizada por Kripke y Putnam está un pocodesinformada biológicamente y esto la hace vulnerable a rechazosanticipados. [...] Kripke y Putnam erróneamente suponen que la es-tructura cromosómica ( [...] Putnam 1975: 240) o alguna "estructurainterna" (Kripke 1980: 120-121) es lo que une los miembros de untipo biológico, una especie, por ejemplo, en un tipo común. Engeneral, como ya he enfatizado, los biólogos no delimitan las especiesy los otros taxa sobre la base de propiedades intrínsecas tales comoestas. Los biólogos generalmente ubican los organismos dentro delos taxa sobre la base de ancestros compartidos." (LaPorte 2004:64)

En oposición a lo que aquí sostiene LaPorte, se mostrará quepara Kripke pertenecer a una clase natural biológica no es tener unaesencia que podamos descubrir en el individuo prescindiendo de suhistoria biológica. Hay señales que muestran que el criterio, porejemplo, de cruzamiento reproductivo es, para Kripke, un criteriocontingente que sólo sirve de indicio para determinar si dos individuossemejantes pertenecen a la misma clase natural. Algo similar a comolas cualidades de color y maleabilidad pueden ser indicios para laidentificación de un elemento como siendo oro, por ejemplo. Aunquees claro que estas evidencias no son criterios inequívocos en la medidaque el oro podría tener estas propiedades sólo contingentemente,aun así Kripke no negaría que estas propiedades nos conducenusualmente al oro. Lo mismo respecto de las clases biológicas.Usualmente identifica

204

mos una especie por medio de las cualidades superficiales a ellaasociadas, aunque podemos concebir, por ejemplo, que un tigre ca-rezca de las cualidades mediante las cuales usualmente identificamosa un tigre. ¿Cuál es la propiedad que hace a un individuo de tigrepertenecer a la especie de los tigres? ¿Cuál es la esencia de un tigresegún Kripke? LaPorte supondría aquí que la respuesta de Kripkesería proponer algo que está en el individuo de tigre y que lo hacepertenecer necesariamente a su especie. Como se ha adelantado,estaríamos inclinados a responder que es el código genético el quecumpliría esta función. Pero, como se ha mostrado, la informacióngenética no reúne las condiciones exigidas por el esencialismo. Elesencialista entonces necesita identificar un criterio apropiado parala definición de ‘tigre’ en términos de propiedades esenciales o ne-cesarias. La acusación de LaPorte implica que Kripke no identificaríaun criterio adecuado y pretendería que la esencia puede ser definidarespecto de una especie independientemente de su historia biológica.Pero no hay evidencia que muestre que Kripke estuviera inclinado aseguir esta ruta. Es cierto, como lo señala LaPorte en la cita anterior,que Kripke se refiere a la estructura interna del tigre como un crite-rio para determinar si un animal con un aspecto superficial semejanteal tigre es o no un tigre. Si un animal que parece ser un tigre tieneuna estructura interna de un reptil ciertamente no puede ser un tigre.Y esto es verdadero, dice Kripke, del concepto de tigre antes de quese haya investigado su biología, pues aunque no conozcamos la es-tructura interna de los tigres suponemos que los tigres forman unaespecie o clase natural (Kripke 1980: 121). Esta es una condiciónnecesaria que debe cumplir un tigre para ser un tigre. Pero, ¿es unacondición suficiente? Si así fuera LaPorte estaría correctamenteencaminado en su crítica. En lo que sigue presentaré un argumentopara sostener que la estructura interna no puede ser una condiciónsuficiente para Kripke y que, por tanto, la acusación de LaPorte notendría fundamento.

Cuando Kripke, en Naming and Necessity, examina el caso deltigre como un género natural sus ejemplos de propiedades necesa-rias para un tigre son propiedades tales como ser mamífero, ser felino

205

o ser animal. Aunque no profundiza en su examen de los términosde especies, y esto es una desventaja para decidir de manera directaesta disputa, es posible inferir cuál sería su punto de vista al respectoen el contexto de la discusión propuesta por LaPorte. Es así comoquisiera argumentar indirectamente, tratando de derivar la mismatesis de LaPorte acerca de la esencia de las especies biológicas apartir de dos tesis que son explícitas en Kripke. La primera de ellases una tesis acerca del significado de los términos de géneros natu-rales. La llamaré tesis de la conexión histórica. La segunda, es unatesis metafísica acerca de la naturaleza posible de objetoscualitativamente idénticos. La llamaré tesis de la contrapartecualitativamente idéntica.

De acuerdo a la primera tesis sólo la conexión histórica entre unamuestra de una especie animal y el término general que la nombra escapaz de fijar su referencia y, por tanto, dentro de esta concepción,dar el significado del término general. El concepto de especie noexpresa una propiedad o un conjunto de ellas, aunque la ciencia puededescubrir empíricamente propiedades necesarias de las especiesanimales (Cf. Kripke 1980: 128). De acuerdo a la segunda tesis, eslógicamente posible para alguien estar, dada la evidencia disponiblepara esa persona, en una situación epistémica cualitativamente idén-tica a aquella que causaría una instancia de una verdad necesaria aposteriori, apareciendo en esta situación como contingente esa ver-dad a posteriori. Por ejemplo, podríamos concebir que alguien podríahaber percibido las mismas propiedades que originalmente se sabíaque poseía el oro bajo el supuesto que en esta situación el oro fueraun compuesto y no un elemento. Esta, afirma Kripke, no sería unasituación en donde el oro no fuera un elemento, sino una situaciónen donde un compuesto pudo haber tenido las mismas cualidadesque el elemento oro bajo la evidencia empírica disponible acerca deloro para esa persona (Kripke 1980: 142).

Ahora bien, bajo estos mismos supuestos, es lógicamente posibleencontrar, dada la evidencia disponible, un animal que no sea untigre (que no pertenezca a la especie Panthera tigris) pero que seacualitativamente idéntico a los tigres tanto en sus rasgos externos

206

como en su constitución biológica interna. Esta identidadcualitativa podría ciertamente incluir diferencias, como las que hayentre las subespecies o razas, que carecen de valor clasificatorio parael taxónomo que busca distinguir entre distintos taxa. ¿Es una con-fusión pretender que pudieran haber dos animales con idénticaestructura externa e interna que no pertenecieran a la misma especie?Recordemos que la identidad cualitativa de la que habla Kripke esrelativa a la evidencia empírica disponible y no implica, por tanto,identidad entre objetos. De ahí que podríamos concebir un mundoposible en donde exista ese animal que comparte la estructura externae interna del tigre que conocemos y no sea un tigre. La preguntaentonces es cómo en principio podríamos llegar a determinarnosotros, bajo la hipótesis de que tenemos otra evidencia empírica,que este animal no es de la especie tigre. Pues si lo que supiéramoshasta ahora acerca de los tigres estuviera relegado sólo a sus rasgossuperficiales paradigmáticos y al conocimiento de su estructurainterna no tendríamos criterios para distinguir. ¿Qué haría ladiferencia? La haría, ciertamente, el origen de ese animal, su historiabiológica, el linaje al que pertenece. Y aquí convergemosnaturalmente a la sistemática filogenética y a la propuesta de LaPortesegún la cual la esencia de una especie queda definida por el linajedel que desciende. La esencia de la especie no radica aquí en elindividuo sino en su historia biológica. Esta historia es la que lepertenece esencialmente y es la que hace de él ese tipo de animal.Aunque un individuo que pertenece a un género natural podría nohaber pertenecido a ese género es imposible que hubiera tenido unorigen biológico distinto del que efectivamente tiene si pertenece dehecho a este género natural.

¿Si encontráramos, en un lejano planeta, animales que productode improbables convergencias evolutivas sumaran tal cantidad deanalogías para tener identidad cualitativa, tanto interna como exter-na, con nuestros tigres, los incluiríamos como parte de nuestrasespecies de tigres? Evidentemente no, pues descubriríamos prontoque todos sus rasgos comunes con nuestros tigres serían justamenteanalogías que no permitirían emparentarlos con ellos. Serían comolas alas de los insectos, de los murciégalos y de las aves que a pesar

207

de ser rasgos adaptativos análogos no son en un sentido técnicohomólogos. Es decir, no son rasgos que nos remitan a un ancestrocomún pues surgieron independientemente y, por tanto, a pesar delas similitudes de las estructuras no ingresamos por estos rasgos ni alos insectos alados, ni a los murciélagos ni a las aves en un grupocomún.

De acuerdo a la tesis de la conexión histórica es claro que elsignificado de la palabra ‘tigre’ para la contraparte cualitativamenteidéntica no es el mismo que para el del tigre originalmente reconoci-do como tal. Aunque usemos la palabra ‘tigre’ para referirnos a lacontraparte cualitativamente idéntica esta contraparte no tiene nin-guna conexión histórica con nuestras muestras de tigre, ambas estánasociadas a distintas historias biológicas. Habría que admitir, si se-guimos a Kripke, que los significados de ambas palabras son distintos.Y con esto que LaPorte no puede estar en lo correcto cuando atribu-ye a Kripke una concepción a-histórica de la esencia. En este casolos significados de las palabras están dependiendo de la naturalezade las distintas historias biológicas aunque no sepamos nada de esahistoria.

REFERENCIAS

Dupré, John, (1981): "Natural Kinds and Biological Taxa", ThePhilosophical Review, XC, N° 1 (January), pp. 66-90.

Ereshefsky, Marc, (2001): The Poverty of the Linnaean Hierarchy:A Philosophical Study of Biological Taxonomy.Cambridge: Cambridge University Press.

Ereshefsky, Marc y Matthen, Mohan (2005): "Taxonomy,Polymorphism, and History: An Introduction to PopulationStructure Theory", Philosophy of Science 72 January, pp.1-21.

Futuyma, Douglas (1998): Evolutionary Biology. Cambridge (Mass.).Sunderland.

Hennig, Willi (1968): Elementos para una sistemática filogenética.Buenos Aires: Eudeba.

208

Kripke, Saul (1980): Naming and Necessity. Oxford: Blackwell.Laporte, Joseph (2004): Natural Kinds and Conceptual Change.

Cambridge: Cambridge University Press.Mayr, Ernst (1968): Especies animales y evolución. Santiago de

Chile / Barcelona: Universidad de Chile y Ariel.Mayr, Ernst (1985): "Darwin and the Definition of Phylogeny",

Systematic Zoology, Vol. 34, N° 1 (Mar., 1985), pp. 97-99.

Okasha, Samir, (2002), "Darwinian Metaphysics: Species and TheQuestion of Essentialism", Synthese 131: 191-213.

Putnam, Hilary (1975): "The meaning of ‘meaning’", en Mind,Language and Reality. Philosophical Papers. Vol. 2.Cambridge: Cambridge University Press, pp. 215-271.

Putnam, Hilary (1997): La herencia del pragmatismo. Barcelona:Paidós.

Quine, Willard V. O. (1977): "Three Grades of Modal Involvement",en Quine, W. V. O.: Ways of Paradox and other Essays.Cambridge (Mass.): Harvard University Press, pp. 158-184.

Julio Torres MeléndezUniversidad de Concepción - Chile

jutorres@udec.cl

209

ALGUNOS CONCEPTOS PARA LAENSEÑANZA DE LA LÓGICA

Rodolfo Ertola y Adriana Galli

ALGUNOS CONCEPTOS PARA LAENSEÑANZA DE LA LÓGICA

Rodolfo Ertola y Adriana Galli

ResumenEn esta presentación divulgamos algunos conceptos que pueden

ser útiles para una mejor enseñanza básica de la Lógica. Se trata delos conceptos de extensión conservadora, univocidad y conectivonuevo. En primer lugar desarrollamos una lógica sencilla, la lógicade las letras proposicionales, es decir, una lógica sin conectivos.Luego presentamos la lógica de la conjunción, que resulta ser unaextensión conservadora de la lógica anterior. Demostramos que enesta lógica el conectivo conjunción es unívoco y nuevo.

AbstractIn this paper we develop some concepts that may be useful for a

better introduction to Logic. It is the case of the concepts ofconservative extension, univocity and new connective. We firstlydevelop a very simple logic, the logic of propositional letters, thatis, a logic without connectives. Afterwards, we develop the logic ofconjunction, which is a conservative extension of the previous logic.We show that in this logic the conjunction connective is univocousand new.

213

1. INTRODUCCIÓN

Este es un artículo de divulgación de ciertos conceptos que pue-den ser útiles en la enseñanza básica de la Lógica. Se trata, desde ya,de conceptos conocidos por los lógicos pero que no suelen apareceren cursos elementales, a saber, el de extensión conservadora, elconcepto de univocidad y el concepto de conectivo nuevo. Los dosprimeros conceptos mencionados han aparecido en discusiones so-bre filosofía de la lógica (véase Belnap 1962). Estos conceptostambién son útiles, por ejemplo, cuando interesan las lógicas no-clásicas, e.g. han sido especialmente útiles en trabajos recientes comoel de Caicedo y Cignoli (véase Caicedo y Cignoli 2001).

Con el fin de poder ver fácilmente la aplicación de los conceptosmencionados, consideramos dos lógicas muy sencillas: la Lógica delas Letras Proposicionales y la Lógica de la Conjunción.

Para aquellos interesados en aspectos históricos, indicamos bre-vemente aquí que el concepto de extensión conservadora se remontaal lógico polaco-norteamericano Emil Post y el concepto deunivocidad ya aparece en el artículo de Belnap (1962). El conceptode conectivo nuevo es muy sencillo y lo más prudente parece seratribuirlo al folklore lógico. La Lógica de las Letras Proposicionalespuede encontrarse brevemente en Bostock (cf. Bostock 1997: 7).También aparece en Hacking como «lenguaje pre-lógico», donde seindica como precursor a Wittgenstein (cf. Hacking 1979).

Para definir a los conectivos no usaremos axiomas sino reglas.Usaremos las expresiones «Com», «Cor», «Def», «Dem», «Not»,

«Pro», «pt», «sii» y «Teo» como abreviaturas, respectivamente, de«comentario», «corolario», «definición», «demostración», «nota-ción», «proposición», «para todo», «si y sólo si» y «teorema».Además, usamos el símbolo «∇» y la expresión «QED» para indicar,respectivamente, el fin de una definición o notación y el fin de unademostración. Cuando una demostración es fácil o trivial la omitire-mos escribiendo «QED» al final de la linea.

Se aconseja a los lectores realizar las demostraciones omitidasen este texto.

214

2. LÓGICAS

Comenzamos dejando en claro algunas nociones básicas. Unconectivo es simplemente un símbolo (lo cual no definimos). Usare-mos la letra K para hacer referencia a un conjunto de conectivos.Usaremos también un conjunto infinito enumerable de letrasproposicionales p1, p2,…pn,…, las cuales también son simplementesímbolos, diferentes de los conectivos. El concepto de fórmula tam-bién será el habitual en lógica, a saber, toda letra proposicional esuna fórmula; si ϕ1, ϕ2,…, ϕn son fórmulas y k es un conectivo,entonces kϕ1ϕ2…ϕn también es una fórmula; nada más es una fórmula.Usaremos la noción de regla sin definir. Las reglas habituales de lossistemas de deducción natural son buenos ejemplos.

Def 1 Una lógica es un par (K, R(K)), donde K es un conjuntode conectivos y R(K) es un conjunto de reglas definidascon fórmulas que sólo usan los conectivos de K. Usare-mos la letra L con o sin subíndices para hacer referenciaa una lógica. Usaremos la notación F(L) para referirnosal conjunto de fórmulas que se pueden formar con losconectivos de L. Usaremos las letras griegas minúscu-las ϕ, ψ y χ para referirnos a fórmulas cualesquiera ylas letras griegas mayúsculas Γ y Δ para conjuntos defórmulas.

∇

Def 2 Sean L1 = (K1, R(K1 )) y L2 = (K2, R(K2 )) lógicas. Se diceque L2 es una extensión de L1 sii

(i) K1 ⊆ K2 ;(ii) R(K1) ⊆ R(K2).

∇

Def 3 Sea L = (K, R(K)) una lógica y k un conectivo (nonecesariamente perteneciente a K) con un conjunto dereglas R({k}) (en adelante sólo anotaremos R(k).Designaremos con Lk a la lógica que tiene el conjunto

215

de conectivos K ∪ {k} y las reglas R(K) ∪ R(k).∇

Def 4 Sea L una lógica y sea Γ ∪ {ϕ} ⊆ F(L). Se dice que ϕes derivable de Γ en la lógica L (notación: Γ⎥⎯ L ϕ )sii existe una sucesión ψ1, ψ2, … , ψn de fórmulas,ψi ∈ F(L) tal que ψn = ϕ y tal que para todo i, 1≤ i ≤ n,o bien ψi ∈ Γ o bien ψi viene de fórmulas anteriores dela sucesión por alguna regla de L.

∇

Not 1 ⎥⎯ L es la relación binaria en P(F(L)) × F(L) tal que(Γ, ϕ ) ∈⎥⎯ L sii Γ⎥⎯ L ϕ, donde P designa la forma-ción del conjunto de partes de un conjunto.

∇

Pro 1 ⎥⎯ L es «reflexiva», esto es, si ϕ ∈ Γ , entonces Γ⎥⎯ L ϕ.QED

Pro 2 ⎥⎯ L es «transitiva», esto es, si Γ⎥⎯ L ϕ y Δ , ϕ⎥⎯ L ψ,entonces Γ, Δ ⎥⎯ L ψ.

QED

Def 5 Sea L una lógica y sean ϕ, ψ ∈ F(L). Se dice que ϕ y ψson mutuamente derivables en L (notación:ϕ ⎯⎢ L⎥⎯ ψ ) sii {ϕ}⎥⎯ L ψ y {ψ}⎥⎯ L ϕ.

∇

Not 2 Sea L una lógica. Se designa con ⎯⎢L⎥⎯ a la relaciónen F(L) × F(L) dada por (ϕ, ψ )∈ ⎯⎢L⎥⎯sii ϕ ⎯⎢L⎥⎯ ψ.

∇

Pro 3 La relación ⎯⎢L⎥⎯ es de equivalencia (esto es, es re-flexiva, simétrica y transitiva).

QED

Def 6 Sea L = (K, R(K)) una lógica y k ∈ K con aridad n. Sedice que k es congruencial en L sii pt ϕi ,ψi ∈ F(L) (1

216

≤ i ≤ n) ocurre que si pt i, 1 ≤ i ≤ n, ϕi ⎯⎢L⎥⎯ ψi, entonceskϕ1 … ϕn ⎯⎢L⎥⎯ kψ1 … ψn.

∇

Not 3 La fórmula [ ψ /ϕ ] χ resulta de χ reemplazando unaocurrencia de ϕ en χ por ψ. En el caso que no hayaninguna ocurrencia de ϕ en χ la operación también estádefinida y resulta que [ ψ /ϕ ] χ = χ.

∇

Def 7 Sea L una lógica. Se dice que L tiene substitución deequivalentes sii pt ϕ, ψ, χ ∈ F(L), si ϕ ⎯⎢L⎥⎯ ψ, en-tonces [ ψ / ϕ ] χ ⎯⎢L⎥⎯ χ.

∇

Pro 4 Una lógica L = (K,R(K)) tiene substitución de equiva-lentes sii pt k ∈ K, k es congruencial en L.

QED

Def 8 Sea L = (K,R(K)) una lógica y k ∈ K con aridad n. Sedice que k es unívoco en L sii pt k´ ∉ L con aridad dek´ = aridad de k y reglas R(k´) análogas a las de k,k´p1 … pn⎯⎢Lk´⎥⎯ kp1 … pn.

∇

Def 9 Sea L una lógica y k un conectivo con aridad n y reglasR(k). Se dice que k es nuevo respecto de L sii no existeϕ ∈ F(L) tal que ϕ ⎯⎢Lk⎥⎯ kp1 … pn.

∇

Def 10 Sean L1 y L2 lógicas. Se dice que L2 es una extensiónconservadora de L1 sii

(i) L2 es una extensión de L1 ; (ii) pt Γ ∪ {ϕ} ⊆ F(L1), si Γ⎥⎯ L2 ϕ, entonces Γ⎥⎯ L1 ϕ.

∇

217

3. LA LÓGICA DE LAS LETRAS PROPOSICIONALES

En esta sección consideramos la lógica PR, que no tiene ningúnconectivo ni ninguna regla. Nos interesa poder decidir, dadoΓ ∪ {ϕ} ⊆ F(PR), si Γ⎥⎯ PR ϕ.

Es fácil ver que

Teo 1 Γ⎥⎯ PR ϕ sii ϕ ∈ Γ.QED

Como la relación ϕ ∈ Γ es decidible si Γ es finito, entonces sepuede decidir fácilmente si Γ⎥⎯ PR ϕ usando el Teo 1.

4. LA LÓGICA DE LA CONJUNCIÓN

Podemos agregar conectivos a la lógica PR. En esta sección lohacemos para la conjunción considerando la situación en detalle.

Def 11 La lógica CJ tiene como único conectivo al símbolo ∧con aridad 2, llamado conjunción. Usaremos la nota-ción ϕ ∧ ψ en lugar de ∧ϕψ . Las reglas de CJ son laregla de Introducción de la Conjunción (I∧) dada porϕ, ψ /ϕ ∧ ψ y las reglas de Eliminación de la Conjun-ción (E∧) dadas por ϕ ∧ ψ /ϕ y ϕ ∧ ψ /ψ, donde elsímbolo / indica que la fórmula a su derecha se sigue dela(s) fórmula(s) a su izquierda.

∇

Com 1 Las reglas que acabamos de dar expresan que la fórmulaϕ ∧ ψ es la más débil de las fórmulas de las cuales sesiguen tanto ϕ como ψ.

Pro 5 CJ es una extensión de PR.QED

Sea Γ ∪ {ϕ} ⊆ F(PR). Se tiene el siguiente

Cor 1 Si Γ⎥⎯ PR ϕ, entonces Γ⎥⎯ CJ ϕ.QED

218

Pro 6 Sean ϕ, ψ, χ ∈ F(CJ). Entonces, a) (Asociatividad) ϕ ∧ (ψ ∧ χ) ⎯⎢CJ⎥⎯ (ϕ ∧ ψ)∧ χ ; b) (Conmutatividad) ϕ ∧ ψ ⎯⎢CJ⎥⎯ ψ ∧ ϕ ; c) (Idempotencia) ϕ ∧ ϕ ⎯⎢CJ⎥⎯ ϕ .

QED

Pro 7 El conectivo ∧ es congruencial en CJ.QED

Cor 2 CJ tiene substitución de equivalentes.QED

Pro 8 El conectivo ∧ es unívoco en CJ.Dem Usando E∧ se obtienen ϕ y ψ a partir de ϕ ∧ ψ. Luego

se usa I∧’ para obtener ϕ ∧’ ψ. La derivación recíprocaes análoga.

QED

A continuación usamos la notaciones LP(ϕ ) y LP(Γ ) para losconjuntos de letras proposicionales de ϕ y Γ, respectivamente. Te-nemos el siguiente

Teo 2 Γ⎥⎯ CJ ϕ sii LP ( ϕ ) ⊆ LP ( Γ ).Dem (⇒) Sea ψ1 ψ2… ψn una derivación de ϕ a partir de Γ.

Veamos por inducción que toda ψi satisface algunode los siguientes casos: 1) ψi ∈ Γ ; 2) hay una ψj , j < ital que ψj = ψi ∧ χ o bien ψj = χ ∧ ψi ; 3) hayψj ,ψk, j, k < i tal que ψi = ψj ∧ ψk. En el caso 1)vemos inmediatamente que LP( ψi ) ⊆ LP( Γ ). En elcaso 2), obtenemos por la hipótesis inductiva queLP( ψj ) ⊆ LP( Γ ). Pero LP( ψi ) ⊆ LP( ψj ). En elcaso 3), se sigue por hipótesis inductiva queLP( ψj ) ⊆ LP( Γ ) y que LP( ψk ) ⊆ LP( Γ ). Enton-ces se sigue que LP( ψi ) ⊆ LP( Γ ). En particular, sesigue que LP( ψn ) ⊆ LP( Γ ).

219

(⇐) Sean p1, …, pn las finitas letras proposicionales deϕ. Entonces hay ψ1, ψ2, … , ψn ∈ Γ tales quepi ∈ LP( ψi ). Podemos construir la derivaciónψ1 ψ2 … ψn … p1 p2 …pn … ϕ, donde obtenemos laspi a partir de las ψi usando las reglas de eliminaciónel número de veces que corresponda. Finalmenteobtenemos ϕ a partir de las pi usando la regla deintroducción el número de veces que corresponda.

QED

Como la condición LP( ϕ ) ⊆ LP( Γ ) es decidible si Γ es finito,podemos fácilmente decidir si Γ⎥⎯ CJ ϕ usando el teorema previo.

Com 2 Tener en cuenta la expresión «para todo» implícita enLP(ϕ ) ⊆ LP(Γ ). Por lo tanto, en el Teo 2 se presenta lasiguiente situación familiar en lógica: la existencia deuna derivación es equivalente a una condición univer-salmente cuantificada.

Def 12 Dados un Γ y una ϕ, en el caso que LP(ϕ ) NO ⊆ LP(Γ ),llamaremos contraletra de ϕ respecto de Γ a cualquierletra proposicional p ∈ ϕ tal que p ∉ LP(Γ ) y diremosque «hay una contraletra de ϕ respecto de Γ ». En elcaso que LP(ϕ ) ⊆ LP(Γ ), diremos que «no hay unacontraletra de ϕ respecto de Γ ».

∇

Cor 3 Si LP(ϕ ) NO ⊆ LP(Γ ), entonces Γ NO⎥⎯ CJ ϕ.QED

Cor 4 Dado un Γ y una ϕ, o bien hay una contraletra de ϕrespecto de Γ o bien hay una derivación de ϕ a partir deΓ.

QED

220

Com 3 Los corolarios previos considerados conjuntamente di-cen que dados un Γ y una ϕ, se cumple exactamenteuna de las dos siguientes condiciones: a) Γ⎥⎯ CJ ϕ ; b)hay una contraletra de ϕ respecto de Γ . Esta afirmaciónrefleja una situación habitual en Matemática: la bús-queda de una demostración o de un contraejemplo.

A partir del teorema 2 podemos deducir que ∧ es nuevo respectode PR y que CJ es una extensión conservadora de PR. Tal como sedemuestra a continuación.

Pro 9 (Conectivo nuevo) No hay ninguna ϕ ∈ F(PR) tal quep1 ∧ p2 ⎯⎢CJ⎥⎯ ϕ.

Dem Supongamos que hay una ϕ ∈ F(PR) tal quep1 ∧ p2 ⎯⎢CJ⎥⎯ ϕ . Entonces ϕ debe ser una letraproposicional. Podemos considerar tres casos: 1) ϕ esp1; 2) ϕ es p2; 3) ϕ no es ni p1 ni p2. En el caso 1) resultaque p1 NO⎥⎯ CJ p1 ∧ p2 usando el Cor 3 porquep2 ∉ LP(ϕ ) y por lo tanto una contradicción; en el caso2) resulta análogamente una contradicción y en el caso3) resulta análogamente que ϕ NO⎥⎯ CJ p1 ∧ p2 porquep1 ∉ LP(ϕ).

QED

Sea Γ ∪ {ϕ} ⊆ F(PR). Entonces tenemos lo recíproco del Cor 1:

Pro 10 (Conservatividad) Si Γ⎥⎯ CJ ϕ, entonces Γ⎥⎯ PR ϕ.Dem Supongamos que Γ⎥⎯ CJ ϕ. Entonces, como Γ ∪ {ϕ} ⊆

F(PR), LP(Γ) = Γ y LP(ϕ) = ϕ . Entonces, usando elTeo 2 se sigue que ϕ ∈ Γ. Luego, usando el Teo 1, sesigue que Γ⎥⎯ PR ϕ.

QED

221

5. COMENTARIO FINAL

Lo que hemos hecho con la conjunción se puede haceranálogamente con la disyunción, el condicional y la negación. Porsupuesto, ello depende siempre de las reglas que les damos a losrespectivos conectivos, esto es, si, por ejemplo, omitimos la reglahabitual de eliminación de la disyunción, entonces la lógica resultanteserá una extensión conservadora pero no habrá univocidad y si, porel contrario, agregamos alguna regla adicional a las tradicionalesreglas de introducción y eliminación de la disyunción, entonces elconectivo resultante será unívoco, pero la lógica podrá no ser unaextensión conservadora. Finalmente agregamos que la negación noes unívoca en la lógica minimal de Johansson, pero sí lo es en lalógica intuicionista, ambos hechos fáciles de demostrar (suponemosa estas lógicas conocidas por el lector).

REFERENCIAS

Belnap, Nuel (1962): "Tonk, Plonk and Plink", Analysis, vol. 22, n.6, pp. 130-134.

Bostock, David (1997): Intermediate Logic. Oxford: Clarendon Press.Caicedo, Xavier y Cignoli, Roberto (2001): "An Algebraic Approach

to Intuitionistic Connectives", The Journal of SymbolicLogic, vol. 66, n. 4, pp. 409-419.

Hacking, Ian (1979): "What is Logic?", The Journal of Philosophy,vol. LXXVI, n. 6, pp. 285-319.

Rodolfo ErtolaUniversidad Nacional de la Plata - Argentina

rudolf@huma.fahce.unlp.edu.ar

Adriana GalliUniversidad Nacional de la Plata - Argentina

adriana@mate.unlp.edu.ar

222

INFERENCIA HETEROGÉNEA,VISUALIZACIÓN, FLUJO DE INFORMACIÓN

Horacio Faas

INFERENCIA HETEROGÉNEA,VISUALIZACIÓN, FLUJO DE INFORMACIÓN

Horacio FaasResumen

La existencia de programas de computación que producen y con-trolan inferencias entre una representación lingüística y otradiagramática revela cómo en las representaciones diagramáticas juegaun rol fundamental la visualización, aceptada en matemáticas en ge-neral como ayuda para las demostraciones, pero no como integrantegenuino de ellas. La visualización en matemáticas, sin embargo, seha venido rescatando en las últimas décadas. Como cualquier de-ducción lógica, la inferencia heterogénea pretende validez lógica; sise estableciera, podrían explicarse algunas desviaciones lógicas ocu-rridas en conjeturas matemáticas en las que se ha apelado a intuicionesequivocadas.

Puede conjeturarse que la validez lógica se apoya en el flujo querecorre la información. Empleamos aquí una noción de consecuen-cia lógica como extracción de información y la aplicamos a lainferencia heterogénea para referirnos a algunos de los así llamadosmonstruos matemáticos, a la comparación de diferentes sistemas derepresentación para considerar sus potencialidades y a las posiblesinfluencias de estos nuevos enfoques en posiciones vinculadas conescuelas tradicionales de filosofía de la matemática.

225

AbstractThe existence of softwares which produce and control inferences

between linguistic and diagrammatic representations reveals theimportance of visualization in the latter ones. Visualization has longbeen accepted in mathematics as an additional assistance in proofs,but not as a legitimate part of them. Nevertheless, it has become tobe redeemed during the last decades. Heterogeneous inference claimslogical validity, just as any logical inference; should it be established,some logical deflections in mathematical conjectures in whichintuition is involved may be explained.

It is claimed that logical validity is supported by information flow.We understand here logical consequence as information extraction,and we apply this notion to heterogeneous reasoning in order to studysome of the so-called mathematical monsters. We also employ it inthe comparison of different representation systems so as to evaluatetheir potential. Finally, we consider the influence of these newperspectives in some of the traditional positions in philosophy ofmathematics.

La validez de las inferencias ha constituido el tema principal de lalógica desde hace ya mucho tiempo, y la aparición de nuevos siste-mas intenta adecuarse a ello. La inferencia heterogénea pretende esavalidez y, de lograrlo, podría explicar algunas desviaciones lógicasocurridas en conjeturas matemáticas en las que se ha apelado aintuiciones equivocadas. Como se sabe, la inferencia heterogéneavincula lógicamente sistemas de representación distintos y existenprogramas de computación como Hyperproof, que producen y con-trolan inferencias entre una representación diagramática y otralingüística. Por otra parte, en las representaciones diagramáticas juegaun rol fundamental la visualización, aceptada en matemáticas en ge-neral como ayuda para las demostraciones, pero no como integrantegenuino de ellas. Sin embargo, la visualización en matemáticas seha venido rescatando desde la década de los ’80 en el siglo XXapoyada por tres vertientes algo asimétricas en sus resultados: porun lado, el

226

manejo de imágenes por computadora, con logros quizás noalcanzables sin ellas, por otro lado, la cuestión del papel de las imá-genes en ciencias cognitivas y en neurociencias, y finalmente larigorización de la inferencia diagramática, con avances más modes-tos. Se podría conjeturar que en todos esos casos hay una inferenciajustificada cuando se explicita información de algún modo preexis-tente, es decir, la validez lógica se apoya en el flujo que recorre lainformación. En este trabajo se muestra el uso de la noción de con-secuencia lógica como extracción de información, esto es, explicitarinformación implícita, y se la aplica a la inferencia heterogénea parareferirse a los precitados problemas matemáticos (algunos de los asíllamados monstruos matemáticos), a la comparación de diferentessistemas de representación para considerar sus potencialidades y alas posibles influencias de estos nuevos enfoques en posiciones vin-culadas con escuelas tradicionales de filosofía de la matemática.

La inferencia heterogénea se realiza entre sistemas de represen-tación distintos, por ejemplo, entre un sistema lingüístico y un sistemadiagramático, y se ha desarrollado de manera concreta con el pro-grama Hyperproof de Barwise y Etchemendy (véase Barwise yEtchemendy 1994). A continuación se muestra un ejemplo de de-mostración1 en Hyperproof en el cual se ha pedido que se satisfagandos objetivos (goals): el primero, que se identifique cuál es el objetoque lleva por nombre a, y el segundo, si una cierta oración del len-guaje de primer orden que dice que hay al menos dos tetraedrosgrandes es una consecuencia lógica de los datos del problema2. Unode los datos es todo lo que uno ve en la imagen de la pantalla, estoes, tres cubos, dos tetraedros y dos dodecaedros —todos ellos detama1. Este ejemplo ha sido tomado de la pagina web de CSLI (http://www-

csli.stanford.edu/hp/, visitado el 22/11/06).

2. El programa cuenta con un lenguaje interpretado acerca de un mundotridimensional con figuras geométricas ubicadas en una grilla; hay sím-bolos de predicado: Tet (Tetraedro), Cube (Cubo), Dodec (Dodecaedro),Large (Grande),etc.; símbolos de relación: Larger (MásGrande), LeftOf(Izquierda De),etc. y nombres y variables de objetos (a, b, c,… y u, v,w,… respectivamente).

227

ño visible— y un tetraedro en la columna de más a la derechacuyo tamaño es desconocido (lo cual se indica mediante un cilindroque tiene dibujado un triángulo en la superficie). Los sucesivos pasosde la prueba se indican en los renglones correspondientes medianteuna oración de la lógica de primer orden (representación lingüística),o mediante un icono que es un pequeño rombo con cuatro puntos(representación diagramática) y que se refiere a la imagen de arribacuando está destacado (en la primera figura, el rombo destacado esel del primer renglón y se refiere a la imagen de datos inicialesdescripta). Las oraciones que operan como datos dicen que el objetob es un dodecaedro, que tal objeto b está a la izquierda del objeto a(desde nuestra ubicación), y que el objeto a es grande.

228

Uno intentaría solucionar este problema de la manera siguiente:ya que b es un dodecaedro, ha de ser uno de los dos que hay en lasexta columna, lo cual plantea dos casos como posibles y en ambosel objeto a, que está a la derecha de b, ha de ser el tetraedro detamaño desconocido. Ya que a es grande, hay por lo menos dostetraedros grandes.

La solución en Hyperproof se corresponde con lo que acabamosde decir, mientras que si hubiéramos traducido todo a lenguaje deprimer orden y hubiéramos logrado una demostración puramente enese lenguaje, habríamos producido una solución de un centenar derenglones. He aquí cómo se produciría la demostración enHyperproof:

Se comienza presentando los dos casos posibles, que correspon-den a las asignaciones adecuadas de a y de b. El objeto b puede ser eldodecaedro que está adelante y el objeto a, el tetraedro a su derecha:

229

O el objeto b puede ser el doecaedro de atrás:

Hay que mostrar ahora que estos dos casos son exhaustivos conrespecto a la información dada en la primera oración:

230

De esto podemos concluir que el objeto a es sin duda el tetraedrode la derecha, con lo cual se satisface el primer objetivo:

Y por consiguiente, ya que se nos ha dicho que a es grande,podemos aplicar (Apply) esta información al diagrama:

231

Esto permite observar que hay dos tetraedros grandes, lo quesatisface el segundo objetivo:

No hay duda de que una demostración de esos objetivos con sólológica de primer orden habría sido mucho más larga, como ya sedijo, si es que se tiene la suerte de encontrarla.

En el artículo que constituye el fundamento matemático de lainferencia heterogénea, Barwise y Etchemendy establecen el tipo deálgebra que subyace a la teoría de la inferencia como extracción deinformación (un álgebra de Heyting), y muestran cómo se elaboraun diagrama de flujo de información para un ejemplo concreto, me-diante recorridos entre nodos del diagrama que llevan como rótulolos trozos de información (infons) que corresponden a cada nodo(cf. Barwise y Etchemendy 1990: 33-78). Un infon puede ser básicoo compuesto. El diagrama de flujo lleva en cada uno de sus nodosuna etiqueta en la que figuran los infons explícitos que lecorresponden.

232

Como el proceso va extrayendo información implícita, en cadanodo están todos los infons de los nodos precedentes en su corres-pondiente rama, más algún o algunos nodos adicionales según elcaso. Todo el proceso está regido por cinco principios:

Datos (Given): Aceptar alguna información como dada. Esta in-formación corresponde a la información presente en los supuestosiniciales de un trozo de razonamiento. Refirámonos a este paso comoel «caso abierto» inicial.

Suponer (Assume): Dado un caso abierto d, suponer algo extracreando un subcaso abierto de d. Un ejemplo de este principio essuponer el antecedente de un condicional con el propósito de de-mostrar el consecuente. Este principio también se usa repetidamenteen la construcción de un modelo que muestre que algo no se sigue dela información dada.

Subsumir (Subsume): Desestimar algún caso abierto si ha sidosubsumido por otros casos abiertos. Una instancia importante de esteprincipio surge si toda la información del caso es agotada por sussubcasos. Otro ejemplo surge si la información presente es incohe-rente (y por consiguiente subsumida por cualquier caso abierto).

Confluir (Merge): Tomar la información común a ciertos casosabiertos, y llamarla un nuevo caso abierto. Este principio se aplicaríatípicamente cuando uno ha subdividido un caso abierto en subcasosque lo agotan y establecido un resultado deseado en cada uno deellos.

Reconocer como posible (Recognize as Possible): Dado algúncaso abierto, reconocerlo como representando una posibilidadgenuina si la información presente se da en alguna situación. El usotípico de esta forma de razonamiento se da cuando uno acepta uncontraejemplo como muestra de que un resultado no se sigue de lainformación dada. También se usa cuando uno construye un modelopara mostrar que una información es coherente.

La conjetura desafiante que se propone es la siguiente:"Proponemos tentativamente la tesis de que todo razonamiento de-ductivo válido puede justificarse por una combinación de estos cincoprincipios. Hay dos manera de leer esta tesis, una débil y otra fuerte.

233

La lectura débil dice que el resultado final de de todo trozo válidode razonamiento deductivo puede justificarse por estos principios.Hay un sentido en el que esto es obviamente verdadero, ya que losprincipios son semánticos y no sintácticos. Pero esta lectura no esinteresante. Queremos plantear la tesis en un sentido mucho másfuerte, ya que nos referimos no sólo a la inferencia deductiva, sinotambién a la clase de inferencia que involucra la construcción demodelos. Y pretendemos aplicarla paso a paso, no sólo al resultadofinal. No vemos aún un modo de dar un argumento convincente paraesta tesis, de manera que por ahora permanece como una conjetura(claim) empírica. Aun si la tesis resultare falsa, nos parece que unateoría de la inferencia sustentada en un enfoque de información seapoyará en algún conjunto similar de tales principios." (Barwise yEtchemendy 1990: 61)

Como se advierte, hay un paralelo notable entre estos principiosy algunas de las reglas de deducción natural: Datos corresponde alas premisas; Suponer, a la introducción de supuestos; Subsumir, ala apertura de supuestos para aplicar la regla de eliminación de ladisyunción; Confluir, al reconocimiento de la misma conclusión encada una de las subdemostraciones abiertas en el Subsumir, y a suubicación como independiente ya de ellas. En realidad, se hanprivilegiado las reglas de deducción natural que requierensubdemostraciones. La novedad, sin embargo, radica en que todosestos principios, como se ha dicho, se aplican a cualquier tipo derepresentación, y su utilización en el programa Hyperproof, porejemplo, permite inferencia heterogénea entre diagramas y oracionesde la lógica de primer orden. En general, la teoría de la inferenciabasada en flujos de información permite independizarse de la formaen que está representada la información, y de tal manera combinardiversas formas.

Para el ejemplo que hemos propuesto recién, algunos de los infonspresentes en los datos son que hay tres tetraedros (uno de ellos detamaño desconocido), dos dodecaedros y tres cubos, así como lasposiciones relativas de esos objetos entre ellos; todos estos infonsson dados por el diagrama. Pero también hay infons dados por lasoraciones: que un dodecaedro se llama b y está a la izquierda de a, yque a es grande.

234

El álgebra que se aplicaría a nuestro ejemplo de Hyperproof de-bería contener todos los predicados de dicho programa dentro delconjunto R de relaciones del álgebra y una función que vaya desdeobjetos a posiciones en el tablero; un infon básico tendría el siguien-te aspecto: < R, a→ ; i >, donde R∈R , a→ es una secuencia deargumentos de la función que corresponde a la aridad de R, ei ∈ {0,1} para indicar con el cero que no se da la relación, y con eluno, que sí. Resulta obvio que en el razonamiento diagramático lavisualización ocupa un papel central.

Barwise y Etchemendy cuentan acerca de lo que los llevó a crearHyperproof que ya habían notado que al emplear el programa Turing’sWorld, los estudiantes elegían la forma de representacióndiagramática, con diagramas de flujo, en lugar de la forma de ins-trucciones con letras (que podría llamarse sentencial) que indicanestado inicial, información existente, acción, y estado final.3 Opinoque quienes hayan trabajado con máquinas de Turing coincidiráncon esa apreciación. Los rulos en los programas son absolutamenteevidentes en la representación diagramática. A su vez, esos rulosindican recursión, lo que invita a usar una inducción en unademostración. Pero, además, en varios problemas de los ejerciciosde Tarski´s World, los razonamientos parecen proceder de lo visuala lo sentencial y viceversa.4

Cuando se trabaja en Hyperproof, la propuesta de una demostra-ción por casos no depende exclusivamente de una disyunciónexplícita, a diferencia de las demostraciones en sistemas de deducciónnatural, sino de enunciados a veces atómicos, a veces negados, aveces cuantificados. Me parece que estas consideraciones muestranque la 3 Turing’s World es un programa en el cual es posible representar máqui-nas de Turing. Cuenta con una cinta, instrucciones (moverse a la derecha oa la izquierda, escribir o leer), y diagramas de representación de estados dela máquina. 4 Tarski’s World es un programa de apoyo para la enseñanza del lenguajesimbólico de la lógica de primer orden. En él pueden representarse mundostridimensionales que contienen objetos geométricos de distinto tamaño yforma, y puede evaluarse la verdad de sentencias respecto de tales mundos.

235

inferencia realizada es heterogénea. Además, en la resolución deproblemas es muy conveniente apelar a un razonamiento heterogé-neo, ya que en muchos casos frente a un problema complejo han deintervenir diversas disciplinas con sus peculiaridades.

En general, hay tres heterogeneidades en la resolución de proble-mas: de representación, de procedimientos racionales, y de objetivos.Todo esto se ha podido ver en el ejemplo que puse de Hyperproof: laheterogeneidad de la representación por diagramas y oraciones; lade procedimientos, ya que a las reglas de deducción natural se agre-gan las que vinculan ambos sistemas de representación, y la deobjetivos, ya que no se trata solamente de buscar la demostración deuna única fórmula, como tradicionalmente se hacía en lógica.

Como se ha dicho, en la inferencia heterogénea juega un papelfundamental la visualización, pero las prevenciones con respecto asu utilización no dejan de estar justificadas. Por ejemplo, la utilizaciónde círculos de Euler para representar cuatro conjuntos de modo talque las intersecciones de ellos tomados de a tres no sean vacías,lleva a la conclusión equivocada de que la intersección de los cuatroha de ser no vacía, lo cual es falso, como se sabe por el teorema deHelly. Es decir, si se asume que

A∩B∩C ≠ ∅B∩C∩D ≠ ∅C∩D∩A ≠ ∅

y se representa esta situación mediante círculos de Euler, uno visualizaque la intersección de los cuatro no es vacía: A∩B∩C∩D ≠ ∅.

236

Lo que aquí ha ocurrido es que la información dada por laspremisas no autoriza que se explicite la información de la conclusiónequivocada. En términos de la semántica de situaciones uno diríaque la conclusión no es una extensión de la situación en que seexpresan las premisas,5 y en términos del flujo de información unodiría que el nodo correspondiente a la conclusión no está justificadopor los infons presentes en los nodos precedentes. El error de laconclusión se origina en que los círculos utilizados son figurasconvexas, y no se había dicho para nada que A, B, C y D fueranconjuntos convexos; la5. Un completo desarrollo de la semántica situacional puede encontrarse

en Barwise y Perry 1983.

237

Esto se representa como sigue:

Pero es muy fácil mostrar mediante un ejemplo que eso no esgeneral. Tomemos

A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3, 5}, C = {3, 4, 5, 6}, y D = {4, 5, 6},entonces

A∩B∩C = {3} ≠ ∅B∩C∩D = {5} ≠ ∅C∩D∩A = {4} ≠ ∅, peroA∩B∩C∩D = ∅

representación estaba equivocada porque agregaba información.El rigor con que actualmente se enfocan algunos sistemasdiagramáticos los hace confiables, y en tal caso la visualización puedejugar un papel en el que se evitan los posibles errores.

Indicábamos anteriormente que hay tres motivos principales paraque se considere importante regresar a alguna forma de visualiza-ción: por un lado, el manejo de imágenes por computadora, con logrosquizás no alcanzables sin ellas, por otro lado la cuestión del papel delas imágenes en ciencias cognitivas y en neurociencias, y finalmentela rigorización de la inferencia diagramática, con avances más mo-destos. Lo que acabamos de tratar apunta a la tercera razón queseñalábamos como justificativo del rescate de la visualización. Conrespecto a la primera, puede señalarse que el manejo de imágenespor computadora ha mostrado que ciertas cuestiones no podrían es-tablecerse por otros medios (por ejemplo, la inclusión de conjuntosde Julia en el de Mandelbröt); y por lo que concierne a la segunda,cada vez se avanza más en el estudio del papel de las imágenes en laconstrucción del conocimiento en las ciencias cognitivas.

Como se sabe, la intuición ha sido severamente cuestionada comogeneradora de errores en matemáticas. En referencia a ella y a supapel en las matemáticas, y ante la contundencia del ataque por par-te de Hahn en su famoso artículo en su contra (cf. Hahn 1994), ReubenHersh escribe:

"Sin embargo, si uno no está haciendo matemáticas, sino observan-do cómo lo hace otra gente y tratando de entender lo que hace, sehace inevitable reconocer la intervención de la intuición.

Sostengo que:

1) Todos los puntos de vista filosóficos estándar descansan en algu-na noción de intuición.

2) Ninguno de ellos explica la naturaleza de la intuición que postula.

3) La consideración de la intuición como realmente experimentadalleva a una noción difícil y compleja, pero no inexplicable.

4) Un análisis realista de la intuición matemática debería ser un ob-jetivo central de la filosofía de la matemática." (Hersh 1997: 62)

238

La referencia a puntos de vista filosóficos estándar indicados enel punto 1 apunta a constructivismo, platonismo y formalismo. Comose sabe, en el segundo caso se requiere alguna manera de aprehenderentidades matemáticas subsistentes (¿una forma de intuición?); enel tercer caso, resulta difícil justificar cómo fue tan exitoso elcrecimiento de las matemáticas antes del nacimiento del programade Hilbert, es decir, se habían alcanzado verdades matemáticas conmétodos incorrectos (¿la intuición, otra vez?). Con respecto al pri-mer caso, su nombre más común —intuicionismo— huelga cualquiercomentario.

Como mostró Hilbert, los Elementos de Euclides tenían de-fectos formales, ya que faltaban algunos postulados. Uno podríapreguntarse por qué no se equivocó con los teoremas; y una respues-ta posible es que sus intuiciones eran correctas, en el sentido de quela información que se extraía estaba ya implícita en las premisas.Por el contrario, en el caso de los «monstruos matemáticos» se pro-ducen nuevos infons ausentes —aun implícitamente— en los pasosprecedentes del flujo de información; me estoy refiriendo a los co-nocidos casos de las curvas de Weierstrass y de Peano (cf. Faas 2005:13-14). Con ellos ocurriría algo similar a lo que hemos mostrado enteoría de conjuntos y su representación con círculos de Euler. Laconclusión no se hace explícita a través de la información implícitaen las premisas.

Pienso que el razonamiento heterogéneo está presente en la tareacotidiana de los matemáticos —y de otra gente también— y que elloes inevitable, de modo que es muy conveniente fortalecer su trata-miento riguroso. Me parece que la tarea de los lógicos puede cambiaren el futuro inmediato, de acuerdo con lo propuesto por Barwise yEtchemendy:

"El dominio propio de la lógica es el estudio de las formas válidasde extracción de información, sin que importe de qué manera estárepresentada esa información. Tradicionalmente, los lógicos se hanfocalizado en una porción estrecha, aunque importante, de ese do-minio. En el futuro la lógica debe ocuparse decididamente de cómousa la gente una multitud de representaciones de manera rigurosa.Ello nos forzará a extender y enriquecer las nociones tradicionalesde

239

sintaxis, semántica, consecuencia y demostración lógicas, de formatal que se admitan estas nuevas formas de representación. En talproceso, lo que parecía una exitosa historia acabada en los análisisfilosófico y matemático se rediseñará en excitantes nuevas mane-ras." (Barwise y Etchemendy 1996: 20)

REFERENCIAS

Barwise, Jon y Etchemendy, John (1990): «Information, Infons, andInference», en Cooper, R.; Mukai, K. y Perry, J. (eds.):Situation Theory and its Appplications, vol. I, 22. Stanford:CSLI Publications, pp. 33-78.

Barwise, Jon y Etchemendy, John (1994): Hyperproof. Stanford:CSLI Publications.

Barwise, Jon y Etchemendy, John (1996): «Computers, Visualizationand the Nature of Reasoning», en www-csli.stanford.edu/hp/CVandNR.pdf, visitado el 22/11/06.

Barwise, Jon y Perry, John (1983): Situations and attitudes.Cambridge: MIT Press.

Faas, Horacio (2005): «Implicación visual y heterogénea», en Faas,H. y Urtubey, L. (eds.): Temas de Razonamiento Aproxi-mado e Inferencia Heterogénea. Córdoba: CIFFyH,Universidad Nacional de Córdoba, pp 11-23.

Hahn, Hans (1994): «La crisis de la intuición», en Newman, J. (ed.):SIGMA - El Mundo de las matemáticas. Barcelona:Grijalbo.

Hersh, Reuben (1997): What is Mathematics, Really? New York:Oxford University Press.

Horacio FaasUniversidad Nacional de Córdoba - Argentina

horaciofaas@gmail.com

240

INDECIBILIDAD, INCOMPLETITUD EINTEGRABILIDAD DE ECUACIONES

DIFERENCIALES

Enrique G. Reyes

INDECIBILIDAD, INCOMPLETITUD EINTEGRABILIDAD DE ECUACIONES

DIFERENCIALES1

Enrique G. Reyes

ResumenEn la ultima década del siglo XX, N.C.A. da Costa y

F.A. Doria estudiaron indecibilidad e incompletitud enmatemáticas y física teórica. Su trabajo está basado en unresultado clásico de D. Richardson sobre sentenciasindecidibles en análisis y también en la teoría de predicadosde Suppes introducida por P. Suppes y desarrollada porNewton da Costa y Rolando Chuaqui. En este artículorevisamos la teoría de integrabilidad de ecuacionesdiferenciales parciales, presentamos algunos aspectos de lateoría de da Costa y Doria y bosquejamos su aplicación alproblema de integrabilidad.

AbstractDuring the last decade of the 20th century N.C.A. da Costa

y F.A. Doria studied undecidability and incompleteness inmathematics and theoretical physics. Their work is based on a1. Artículo escrito con el apoyo del Fondo Nacional de Desarrollo Científico y

Tecnológico (FONDECYT) Proyecto # 1040255.

243

classical result of D. Richardson about undecidable sentencesin analysis and also on the theory of Suppes predicatesintroduced by P. Suppes and developed by Newton da Costa yRolando Chuaqui. In this article we review the integrabilitytheory of partial differential equations, we present someaspects of the da Costa and Doria’s theory and we sketch itsapplication to the problem of integrability.

I. IntroducciónEcuaciones en derivadas parciales (EDPs) aparecieron

en el siglo XVIII como herramientas esenciales para elestudio analítico de modelos físicos. Posteriormente,demostraron ser fundamentales para la matemática misma.Podemos mencionar, por ejemplo, que U. Pinkall e I. Sterling[16] han demostrado la existencia de un número infinito detoros con curvatura media constante por medio de un estudiocuidadoso de la ecuación de sinh–Gordon

uxx + utt + 2 sinh 2u = 0

y sus “simetrías generalizadas”, una noción queconsideraremos en la tercera sección de este artículo. (Laimportancia de este trabajo radica en el hecho que encontrarsuperficies compactas de curvatura media constante es unproblema difícil: aproximadamente durante cincuenta años secreyó que la única superficie con esta propiedad era la esfera,ver [16] para referencias sobre este tema).

Recíprocamente, otras áreas de la matemática hanjugado papeles importantes en el desarrollo de la teoría deecuaciones diferenciales. Por supuesto, pensamosinmediatamente en análisis funcional y topología, yciertamente estas disciplinas han transformado el modo deestudiar y pensar sobre EDPs [1, 3], pero éstas no son lasúnicas posibilidades: Es posible estudiar ecuacionesdiferenciales por medios geométricos, y como pretendemosmostrar en este artículo, la teoría de números y la lógicamatemática son relevantes también.

244

Para apreciar mejor las siguientes secciones esapropiado detenerse un poco en la influencia de la geometríaen la evolución de la teoría de EDPs. Los trabajos clásicos eneste tema son las contribuciones de Sophus Lie sobre la teoríade simetrías [14], el teorema de Emmy Noether sobresimetrías de las ecuaciones de Euler-Lagrange y leyes deconservación [14], y la investigaciones en geometríadiferencial llevadas a cabo durante el siglo XIX: incluso hoyse pueden encontrar tesoros ocultos en el impresionante“Leçons sur le théorie genérale des surfaces et lesapplications géométriques du calcul infinitesimal” de GastonDarboux [7] y en los “apuntes”sobre ecuaciones en derivadasparciales de primer y segundo orden de Edouard Goursat [11,12].

Durante la primera mitad del siglo XX una parte de estosestudios evolucionaron en la teoría moderna de sistemasdiferenciales exteriores en las manos de maestros como ElieCartan. Dos artículos representativos de esta área son [13],donde R. Hermann resume los trabajos de Cartan, y [9],donde R. Gardner y N. Kamran estudian geométricamenteecuaciones hiperbólicas de segundo orden. Otra parte delesfuerzo hecho durante el siglo XIX, la parte másdirectamente relacionada con el trabajo de S. Lie, setransformó en una teoría sobre la “geometría formal”de lasecuaciones diferenciales, una teoría madura, profunda y deamplia aplicabilidad. Es en este contexto que preguntasfundamentales tales como ¿Qué es una ecuación diferencial?¿Qué es una ley de conservación? ¿Qué es una soluciónlocal? pueden ser rigurosamente contestadas. En las palabrasde uno de los principales especialistas contemporáneos enesta área (P.J. Olver, Bulletin AMS 37 (2000), 369-371):

The key results and ideas, many of which can be traced back to Lie’soriginal work, include explicit, algorithmic determination of thesymmetry group of any system of differential equations, integrationof systems of ordinary differential equations by quadratures,determination of explicit solutions to nonlinear partial differential

245

classification of differential invariants, invariant differentialequations and variational problems, classification of integrablesystems, Hamiltonian structures for both ordinary differentialequations and evolution equations, linearization of nonlineardifferential equations, equivalence of submanifolds and differentialequations, contact transformations, boundary value problems,bifurcation theory, symmetry-preserving numerical methods anddifference equations, etc., etc. Specific physical applicationsinclude fluid mechanics, magnetohy-drodynamics, elasticity,general relativity, shock waves, solitons, image processing, controltheory, and any aspect of physics and engineering where nonlineardifferential equations play a significant role.

El estudio de integrabilidad de ecuaciones diferencialesen derivadas parciales pertenece a esta segunda área. Suorigen está en el descubrimiento de ecuaciones en derivadasparciales que se comportan como sistemas hamiltonianoscompletamente integrablescon un número finito de grados delibertad [14, 15], en el desarrollo de métodos experimentalespara resolver ecuaciones nolineales, principalmente a partirdel siglo XIX [7, 11, 11, 14, 15], y en la teoría de pares deLax, que, grosso modo, identifica ciertas ecuaciones condeformaciones isoespectrales de operadores diferenciales[15]. Veremos algunos ejemplos de experimentos en lasiguiente sección. Por ahora, simplemente digamos que existeuna definición satisfactoria de integrabilidad para ecuacionesen derivadas parciales no-lineales íntimamente relacionadacon la noción de simetrías [14], y por supuesto es fundamen-tal saber cuán robusta esta noción es. ¿Quizás es posibleesperar que se pueda determinar algorítmicamente si unaecuación dada es integrable o no? Es en este punto que esnecesario recordar el profundo resultado de K. Gödel sobreincompletitud e indecibilidad y preguntarse si acaso tienealguna relevancia para la matemática de todos los días o si, apesar de su profundidad, es de interés sólo a especialistas enlos fundamentos de la matemática.

Newton da Costa y Francisco Doria han probado que ésteno es el caso [4, 5]: ¡Cada propiedad no trivial escrita en el

246

lenguaje del análisis clásico se puede transformar en unteorema de indecibilidad e incompletitud! En las siguientessecciones revisaremos la teoría de integrabilidad deecuaciones diferenciales parciales tratando de obviar losaspectos más técnicos del tema, y bosquejaremos laaplicación de los teoremas de da Costa y Doria en estecontexto. El artículo finaliza con algunos comentariospreliminares sobre el posible significado de los resultadosdiscutidos aquí

II. ¿Qué es integrabilidad?Comencemos con dos ejemplos clásicos de ecuaciones

diferenciales [3, 7, 12, 15]: la ecuación del calor

y la ecuación de sine-Gordon

(1)

Ambas ecuaciones son especiales no sólo por sucontenido físico, sino también porque es posible estudiar sussoluciones en gran detalle. La ecuación del calor es lineal yecuaciones lineales han sido consideradas a lo largo de tressiglos [1, 3]. La ecuación de sine-Gordon no es lineal, peropuede ser estudiada usando un método analítico descubiertoalrededor de 1960, el método de la difusión/difusión inversa.Además, la ecuación de sine-Gordon posee un contenidogeométrico: sus soluciones determinan superficies decurvatura Gaussiana igual a -1 [7]. Esta propiedad permitióencontrar un método para descubrir soluciones nuevaspartiendo de soluciones ya conocidas:

Ejemplo 1 (Transformación de Bäcklund para la ecuación

247

de sine-Gordon). Consideremos el sistema de ecuaciones

(2)

(3)

Este sistema es integrable si 0 (u; v es una solución a laecuación sine-Gordon y, en este caso, es simple ver que !(u;v) es una nueva solución a la misma ecuación. Por ejemplo, sicomenzamos con

(obviamente una solución!) entonces las ecuaciones (2) y (3)implican

que, como el lector puede comprobar, es también solución dela ecuación de sine-Gordon. Así hemos reducido el encontrarsoluciones a (1), una ecuación no-lineal de segundo orden, aencontar soluciones de un sistema de ecuaciones de primerorden, algo si no sencillo, al menos teóricamente conocido,puesto que corresponde a resolver sistemas de ecuacionesdiferenciales ordinarias [3].

Inmediatamente nos preguntamos si existen otrasecuaciones no–lineales que pueden estudiarse por medio detransformaciones tales como (2), (3). La respuesta esafirmativa:

Ejemplo 2 (La transformación de Cole y Hopf para laecuación de Burger). Consideremos la ecuación

(4)

introducida por Burger en su estudio de turbulencia (ver [2]para la referencia exacta). Definamos la transformación

248

No es difícil comprobar que la función Q así definidasatisface la ecuación del calor

si Q es una solución a la ecuación de Burger. Tenemosentonces un método de solución para la ecuación (4) concondición inicial que resumimos en eldiagrama siguiente:

invierta transf.

aplique transf.

Ecuaciones para las cuales es posible encontrartransformaciones que las reduzcan a ecuaciones lineales sellaman ecuaciones linealizables. En vista de la existencia deestas ecuaciones, es natural preguntarse ahora si existe unateoría que permita encontrar estas transformaciones y/oclasificar ecuaciones linealizables. Se ha llegadopaulatinamente a la convicción que la idea básica detrás deestos ejemplos es la noción de simetría [2, 14]. Paraintroducir esta idea veamos un nuevo ejemplo:

Ejemplo 3 (La ecuación de Korteweg-de Vries (KdV)).

I was observing the motion of a boat which was rapidly drawnalong a narrow channel by a pair of horses, when the boat suddenlystopped - not so the mass of water in the channel which

249

it had put in motion; it accumulated round the prow of the vesselin a state of violent agitation, then suddenly leaving it behind,rolled forward with great velocity, assuming the form of a largesolitary elevation, a rounded, smooth and well defined heap ofwater, which continued its course along the channel apparentlywithout change of form or diminution of speed. I followed it onhorseback, and overtook it still rolling on at a rate of some eight ornine miles an hour, preserving its original figure some thirty feetlong and a foot to a foot and a half in height. Its height graduallydiminished, and after a chase of one or two miles I lost it in thewindings of the channel. Such, in the month of August 1834 wasmy first chance inter- view with that singular and beautifulphenomenon...

Así describe John Scott Russell su encuentro con laonda que hoy llamamos solitón, durante un paseo a caballopor la orilla del Union Canal en Edinburgh (J. Scott Russell,Report on Waves, Fourteenth meeting of the BritishAssociation for the Advancement of Science, 1844). En 1895los científicos D.J. Korteweg and G. de Vries encontraron unaecuación diferencial que podía describir el fenómenoobservado por Russell. La ecuación es

(5)

y el solitón que Russell persiguió es la función

donde c; d son constantes. Esta ecuación posee una serie decaracterísticas (algebraicas, analíticas, geométricas) que la hanconvertido en una de las ecuaciones más conocidas e importantesde la física matemática [14, 15]. No podemos mencionar todassus propiedades aquí Sin embargo, sí es importante señalar que,si bien no es linearizable, posee una transformación formalmenteanáloga a la transformación de Bäcklund presentada en el primerejemplo, y además (algo que explicaremos en algún detalle enl a

250

sección siguiente) posee un número infinito de simetríasgeneralizadas, esto es, existe un número infinito de manerasde obtener soluciones nuevas de KdV partiendo de unasolución dada [2, 14]. Un ejemplo elemental de esta situaciónes el siguiente: si u = f(x;t) es una solución de la ecuación (5)entonces, para cualquier valor de ,

también lo es.

Un problema fundamental es precisamente reconocerecuaciones con propiedades tales como: existencia detransformaciones de Bäcklund, existencia de linealizaciones,existencia de un número infinito de simetrías generalizadas.Diremos por ahora que una ecuación que posea estaspropiedades (o al menos algunas de ellas) es integrable y,como ya hemos mencionado anteriormente, se ha llegado acomprender que la propiedad más básica de las nombradas esla existencia de simetrías. A continuación discutimossimetrías generalizadas para explicar con mayor cuidado quéentendemos por integrabilidad.

III. Simetrías generalizadas

Sea E = Rp x R q el espacio de variables independientes ydependientes que aparecen en una ecuación diferencial dada.Lo primero que debemos hacer es —siguiendo Sophus Lie—dotar ecuaciones diferenciales con un contenido geométrico:

Sea Nk el numero de derivadas parciales de orden k deuna función suave Definimos

Asi J k E es un espacio euclídeo de dimensión p+q +N1 +··· + Nk cuyas coordenadas representan todas las derivadasparciales de funciones f hasta orden k. Este espacio se llamael espacio de jets de orden k de E [14].

251

252

Ahora identificamos un sistema de ecuacionesdiferenciales parciales de orden k

(6)

con una sub-variedad de J k E , en forma análoga a cómouna ecuación algebraica ( x2 + y2 + z2 = 1, por ejemplo) seidentifica con una sub-variedad del espacio euclídeo R 3. Estaidentificación es la base de la geometría de ecuacionesdiferenciales. Una solución de la ecuación (6) es una función

donde , del espacio de variablesindependientes al espacio E tal que su prolongación definida por

está contenida en la sub-variedad . Un momento dereflexión basta para convencerse que esta definición capturaperfectamente la idea intuitiva que f es una solución de (6) siella y sus derivadas satisfacen (6) idénticamente.

Definición 1. Una simetría clásica del sistema = 0 es uncampo vectorial

sobre E cuyo flujo transforma soluciones de ensoluciones de .

Como explicamos en la primera sección simetrías sonfundamentales para el estudio y la aplicación de las ecuacionesdiferenciales. Lamentablemente, esta definición de simetrías no

253

es útil porque requiere conocimiento de las soluciones delsistema de ecuaciones en que se está interesado! Una de lasbrillantes observaciones de Sophus Lie fue que es posiblereemplazar Definición 1 por un criterio infinitesimal:

El campo vectorial X induce un campo vectorial prk XsobreJk E como sigue:

(7)

donde las funciones se obtienen inductivamente pormedio de

(8)

y las derivadas totales Di son las derivaciones formales(9)

Entonces, se puede demostrar que (asumiendo algunashipótesis técnicas, ver [14]) X es una simetría de ¢a = 0 si prk

X es tangente a la sub-variedad S¢ (esto es, si prk X (¢a ) = 0en soluciones a ¢a = 0 ).

Ahora generalizaremos el criterio infinitesimal queacabamos de establecer siguiendo a Emmy Noether: en vezde campos vectoriales sobre E consideramos operadores de laforma

y decimos que Y es una simetría generalizada de ¢a = 0 sipara cada solución f(xi ) = (xi, u (xi )) del sistema de

254

satisface el sistema ¢a = 0 a primer orden en .

Ejemplo 4. Consideremos nuevamente la ecuación deKorteweg– de Vries en la forma

y definamos el operador

Entonces, se puede probar fácilmente que si G es una simetríageneralizada de la ecuación KdV, ¡R(G) también lo es! Así,obtenemos una familia infinita de simetrías Yn = Gn@=@udonde

Ahora, si una ecuación posee un numero infinito desimetrías generalizadas, entonces también, por lo general [8,15, 14, 17, 18]

1. posee transformaciones de Bäcklund2. puede resolverse mediante difusión/difusión inversa3. tiene un número infinito de leyes de conservación4. pueden ser interpretadas como sistemas bi-

hamiltonianos5. aparece en geometría diferencial.

Así, decimos simplemente que una ecuación (o sistemade ecuaciones) es integrable si posee un número infinito desimetrías generalizadas.

¿Será posible clasificar todas las ecuaciones integrable?¿Existe un algoritmo para decidir si una ecuación arbitraria esintegrable o no? Por ejemplo, en la lista siguiente

255

IV. Indecibilidad e incompletitud

Gracias al trabajo de Kurt Gödel, sabemos que preguntarpor la existencia de algoritmos —como lo hacemos en lasección anterior— es algo delicado. Pretendemos argumentarque tal algoritmo no existe, y que la teoría de integrabilidadde ecuaciones diferenciales es esencialmente incompleta. Talresultado se sigue de una profunda aplicación de lógica a lamatemática clásica desarrollada por Newton da Costa yFrancisco Doria en los 1990’s. Sin entrar en mayores detalles,su resultado es:

Teorema 1. Sea P cualquier propiedad no-trivial escrita enel lenguaje de análisis. Existe una expresión » para un objetoen el lenguaje de análisis tal que ni

256

La abreviatura ZFC indica la teoría de conjuntos deZermelo-Frenkel más el axioma de elección. Para ser másrigurosos debemos definir algunos conceptos: Primero,recordemos que una función real es llamada elemental si seconstruye en base a polinomios, senos, cosenos,exponenciales en base e , coeficientes racionales y el número

. Denotamos por el álgebra de expresionespolinomiales en un número finito de variables sobre losenteros Z , e identificamos con el conjunto deexpresiones para polinomios diofánticos en ZFC. De lamisma forma, denotamos por F el conjunto de expresionespara funciones reales elementales en una sola variable. Elteorema de da Costa y Doria ahora se puede escribir así

Teorema 2. Supongamos que añadimos la función a ,y que cerramos bajo esta nueva expresión para obtenerel conjunto extendido de expresiones p F¤q. Entonces:

1. Podemos construir algorítmicamente una familiaenumerable de expresiones para funciones realeskm(x) > 0 tales que no hay un algoritmo que decida sikm(x) = 0.

2. Si M es un modelo de ZFC que contiene el modeloestándar de la aritmética, existe una expresión parauna función real k(x) tal que

La primera parte del teorema nos da la indecibilidad; lasegunda parte la incompletitud. La demostración de esteprofundo resultado está basada en el teorema clásico de Gödel,por supuesto, en la indecibilidad del Problema 10 de Hilbert(No existe un algoritmo que decida si una ecuación diofánticaes soluble en los enteros, ver [6]) y en la construcción de unfunctor que traduce ecuaciones diofánticas en funciones reales[19]. Así, es la indecibilidad de la teoría de ecuacionesdiofánticas la que implica la existencia de problemas

257

teorema anterior es el hecho que la igualdad es indecidible.Más precisamente:

Corolario 1. Sea f una función real arbitraria. Existe unaexpresión en el lenguaje de ZFC tal que

Ahora aplicaremos estas ideas al estudio de integrabilidad.Nuestro primer resultado es:

Teorema 3. Asumamos que la ecuación de evolución

ut = F (x, t, u, ux , . . .)

satisface que la derivada parcial es una función suavedeu y un número finito de sus derivadas con respecto a x (esdecir, ut = F es una ecuación no-lineal en u, como la KdV).Entonces,existe un operador tal que no es posibledecidir algorítmicamente si es una simetría generalizada deut = F o no.

Demostración. Primero que nada debemos re-escribir unpoco lo que significa ser una simetría generalizada en el casode ecuaciones de evolución. Si la ecuación de evolución queestamos estudiando es ut = F , “empujamos”los operadores(9) a la variedad determinada por la ecuación ut= F y obtenemos

donde por simplicidad hemos puestoTambién definimos

(10)

Entonces, no es difícil ver que probar que un operador como el

258

que aparece en el enunciado del teorema es una simetríageneralizada se reduce a verificar que la ecuación

se satisface identicamente. Ahora definimos

Se ve fácilmente que Dt(G) = km(t) , donde G es por supuestoel coeficiente de Y, mientras que

Puesto que la ecuación DtG = F* G debe satisfacerseidénticamente, la única posibilidad es que ambos lados deesta ecuación se anulen. Pero esto significa que km(t) debeanularse para todo t, y esto es indecidible.

Un resultado más general, pero menos explíciito, puedeobtenerse fácilmente del trabajo de da Costa y Doria sobresistemas dinámicos. En [5] ellos prueban:

Proposición 1. Sea P cualquier predicado no-trivial en ZFC.Existe una expresión para un campo vectorial V sobre enZFC tal que si M es un modelo de ZFC que contiene elmodelo estándar de la aritmética,

pero

y

259

Entonces es inmediato ver que la descripción geométrica desimetrías nos permite establecer el siguiente corolario:

Corolario 2. Sea ut = F(x, t, u, ux, . . . ) una ecuación deevolución y M como en la proposición anterior. Existe unaexpresión para un campo vectorial V sobre tal que

También podemos probar incompletitud de la teoría deintegrabilidad. Usando las mismas notaciones que en elcorolario anterior tenemos:

Teorema 4. Existe una expresión tal que

Demostración. (Sketch) Vamos a usar el Corolario 1. Aunqueestá escrito para funciones reales solamente, podemosextenderlo a funciones reales de un número arbitrario (finito)de variables. Ahora codificamos los lados derechos de lasecuaciones que aparecen al final de la tercera sección.Definiendo una variable para cada derivada (como en laprueba del Teorema 3) podemos considerar cada una de esasecuaciones como expresiones del tipo ut = f , donde f es unafunción de algún Rn a R. Ahora ponemos » = f(x1; : : : ; xn)+ k(x1) , donde k es la función definida en parte 2 delTeorema 2. Entonces, por construcción, tenemos

260

y por lo tanto

pero ZFC 0 » = f y ZFC 0 : (» = f) . Ahora, ZFC 0“la ecuación ut = » es integrable y homogénea”, puesto quesi no fuera así, entonces tendríamos que ZFC ‘ » = f paraalgún f de los considerados arriba, lo que es unacontradicción. También podemos concluir que ZFC 0 : \ “laecuación u =» es integrable y homogénea”, puesto que si no fuera asítendríamos que ZFC ‘ : “la ecuación ut = » es integrable” o :“la ecuación ut = » es homogénea”, y cualquiera de estasalternativas significa que ZFC ‘ : (» = f) para algún f comoarriba, lo que es una contradicción.

Terminamos este trabajo con algunos comentariospreliminares sobre el posible interés de los resultadospresentados aquí. Primero, y lo más obvio, la investigación deN. da Costa y F. Doria es importante porque muestra que losfenómenos de indecibilidad e incompletitud aparecen en “lavida diaria” y no en los arrabales de la práctica matemática.(Se podría argüir que la hipótesis del continuo ya muestra quela incompletitud aparece en matemática clásica, pero sepodría contestar que la teoría de conjuntos en sí no es deimportancia central para una mayoría de matemáticos). Elteorema de da Costa y Doria nos dice que indecibilidad eincompletitud aparecen en todas partes, incluyendo la teoríade sistemas dinámicos, mecánica hamiltoniana y como hemosvisto aquí, la venerable teoría de ecuaciones diferenciales.

Sobre las consecuencias filosóficas del trabajo de daCosta y Doria no podemos hacer mejor que citar a estosautores [4]:

What can we make out of all this? We cautiously suggest that thetrouble may lie not in some essential inner weakness or flaw ofmathematical reasoning, but in a too narrow, too limited concept offormal system and of mathematical proof. [...] The authors

261

algorithmicity and formal system, but they feel that if there are somany quite common-place things that should somehow be provableor decidable within a sensible mathematical structure, and which,however, turn out to be algorithmically undecidable or unprovable,then one cannot blame the whole of mathematics for that. [...] Theproblem lies in our current ideas about formalized mathematics.They are too weak.

Tercero, sobre el significado de este trabajo para lateoría de integrabilidad. Mientras pone cota a la idea dealgorítmicamente determinar todas las ecuaciones integrables,no nos impide, por supuesto, tratar de caracterizar estasecuaciones. Lo que tenemos en mente es una práctica que haprobado ser muy fructífera en el desarrollo de la matemática,y que quizás se puede explicar mejor usando un casoparticular: en geometría los grupos de cohomología son losdepositarios de información sobre la topología de lasvariedades diferenciables. Así, por ejemplo, los grupos decohomología pueden medir (en forma invariante bajo ciertaequivalencia natural) cuánto falla una variedad en sersimplemente conexa. Un problema diferente es el cálculo deestos grupos. Presumiblemente los resultados de da Costa yDoria nos dirían que existen limitaciones para realizar estecálculo algorítmicamente. La conjetura que podemos hacer esque la integrabilidad de ecuaciones diferenciales está tambiénmedida por invariantes. En cierto sentido esto corresponderíaa desarrollar una teoría de cohomología que midiera laintegrabilidad de ecuaciones diferenciales! Tal teoría noexiste aún, pero es muy interesante señalar que ya se handado pasos en esta dirección y que, por ejemplo, existe uninvariante que mide si una ecuación dada es“formalmente”integrable (este tipo de integrabilidad esmucho más débil que el considerado aquí, y es generalmenteasumido antes de comenzar el estudio geométrico de EDPs[10]).

Si tal desarrollo es posible, entonces los aspectos deincompletitud e indecibilidad inherentes a la práctica matemática

262

incompleta (en un sentido intuitivo, no formal) sino más bienque nuestras capacidades para calcular algorítmicamente susinvariantes son limitadas. De algún modo, esta distinción nosparece satisfactoria.

REFERENCIAS

Brezis, H. and Browder, F. (1998): “Partial differentialecuations in the 20th century.en Advances inMathematics 135 p.p. 76–144.

Cantwell, B.J. (2002): “Introduction to symmetry analysis”(Cambridge Texts in Applied Mathematics) Cambridge:Cambridge University Press.

Courant R. y Hilbert, D. (1966):“Methods of MathematicalPhysics”, New York: Interscience Publishers.

da Costa, N.C.A. y Doria, F.A. (1991): “Undecidability andincompleteness in classical mechanics”, InternationalJournal of Theoretical Physics vol. 30, 1991, p.p.1041–1073.

da Costa, N.C.A. y Doria, F.A. (1994): “Suppes predicatesand theconstruction of unsolvable problems in theaxiomatized sciences. en Humphreys, P., PatrickSuppes: Scientific Philosopher, Vol. 2,(Amsterdam:Kluwer Academic Publishers), p.p. 151–193.

Davis, M., Matijashevich, Y. y Robinson, J. (1976): “Hilbert’stenth problem. Diophantine equations: Positive aspectsof a negative solution.en Proceedings of Symposia inPure Mathematics Volume 28, p.p. 323–378.

G. Darboux, G. (1896): Leçons sur le théorie générale dessurfaces et les applications géométriques du calculinfinitesimal. Paris: Gauthier–Villars.

Foursov, M. V., Olver, P. J. y Reyes, E.G. (2001): “On formalintegrability of evolution equations and local geometryof surfaces”, Diff. Geom. Appl. vol. 15 Nº 2, 2001, p.p.183–199.

Gardner, R. B. y Kamran, N. (1993): “Characteristics and thegeometry of hyperbolic equations in the plane”, J.Differential Equations vol. 104, 1993, p.p. 60–116.

Goldschmidt, H. (1967): “Integrability criteria for systems ofnon-linear partial differential equations”, Journal ofDifferential Geometry vol. 1, 1967, p.p. 269–307.

Goursat, E. (1891): Leçons sur l’integration des équationsaux derivées partielles du premier ordre. Paris: A.Hermann.

Goursat, E. (1896): Leçons sur l’integration des équationsauxdérivées partielles du second ordre. Paris: A. Hermann.

Hermann, R. (1965): “E. Cartan’s geomeric theory of partialdifferential equations”, Advances in Mathematicsvol. 1, 1965, p.p. 265–317.

Olver, P. J. (1993): Applications of Lie Groups to DifferentialEquations (Second Edition. New York: Springer-Verlag.

Palais, R. (1997): “The symmetries of solitons”, Bull. Amer.Math. Soc. (N.S.) vol. 34 no. 4, 1997, p.p. 339–403.

Pinkall, U. y Sterling, I. (1989): “On the classification ofconstant mean curvature tori”, Annals of Math. vol.130, 1989, p.p. 407–451.

Reyes, E.G. (1998): “Pseudo-spherical surfaces andintegrability of evolution equations”, J. DifferentialEquations vol. 147 Nº 1, 1998, p.p. 195–230.

Erratum: J. Differential Equations vol. 153 Nº 1, 1999, p.p.223–224.

Reyes, E.G. (2000): “Some geometric aspects of integrabilityof differential equations in two independent variables”,Acta Appl. Math. vol.64 Nº 2/3, 2000, 7p.p. 5–109.

Richardson, D. (1968): “Some undecidable problemsinvolving elementary functions of a real variable”, TheJournal of Symbolic Logic vol. 33, 1968, p.p. 514–520.

Sanders, J. A. y Wang, J. P.(1998): “On the integrability ofhomogeneous scalar evolution equations”, J.Differential Equations vol. 147, 1998, p.p. 410–434.

Enrique ReyesUniversidad de Santiago de Chile

Departmento de Matemáticas y Ciencia de la Computación,ereyes@lauca.usach.cl; ereyes@fermat.usach.cl

263

SE TERMINÓla impresión de este libroen los talleres gráficos de

E D E V A LAvda. Errázuriz, nº 2120,

en l a c iudad deValparaíso (Chile),

el 30 de abrildel añodos mil

siete