NOTA DEL AUTOR:

Las pginas que tenis a continuacin son el fruto de varias horas de trabajo, de hacer resmenes e intentar entender las explicaciones y clculos (muchas veces incorrectos) del libro. Es un material prctico y no terico que intenta ayudar a aquellos, que como yo, estn apasionados por el mundo de las Matemticas y por ello cursan esta licenciatura. No pretende ser la panacea de la asignatura o el principal material de consulta pero s una herramienta a utilizar en casos de necesidad. Como veis, el uso de mi material es gratuito. As pues agradecera que siempre lo continuara siendo. Si no fuera as, rogara que me lo comunicarais a la direccin de correo electrnico indicada ms abajo. Los datos han sido extrados del libro de texto o de varios ejercicios anexos, aunque algunas veces han sido modificados para facilitar la comprensin. Agradecera que cualquier error me fuera comunicado para su posterior correccin, a la direccin de correo joanpitarque@yahoo.es . Espero os sea de gran utilidad, tanto para aprender como para aprobar la asignatura.

Un saludo y un abrazo

Joan Pitarque (Curso 2001-2002)

EXPERIMENTO UNIFACTORIAL COMPLETAMENTE ALEATORIZADOLos siguientes datos se refieren a un experimento destinado a medir los efectos de la conductividad de cuatro tipos diferentes de revestimientos de los tubos de TV REVESTIMIENTO I II III IV 56 64 45 42 55 61 46 39 62 50 45 45 59 55 39 43 60 56 43 41 a) b) c) d) e) f) Mostrar el cuadro del Anlisis de la Varianza Contrastar la hiptesis de que los efectos de los tratamientos son todos nulos Usar el test de la t de Student para contrastar diferencias entre las medias de los tratamientos Usar el test HSD de Tuckey para contrastar diferencias entre las medias de los tratamientos Usar el estadstico S de Scheff para contrastar las hiptesis H 0 : = 0 donde son los contrastes estimables siguientes 1 = 1 2 ; 2 = 31 2 3 4 Contrastar la hiptesis de que cada uno de los contrastes dados por la siguiente tabla es nulo 1 2 3 4 C1 +1 0 0 -1 C2 0 +1 -1 0 C3 +1 -1 -1 +1

Solucin comentada: a) Para construir la tabla ANOVA son necesarios los siguientes clculos: Nmero de tratamientos t = 4 Numero de observaciones en cada tratamiento ri = 5 Nmero total de observaciones N = 20 Totales Ti 292 286 218 210 Ti = 1006

I II III IV Fuente Tratamiento Error TOTAL St = Sei 2

56 64 45 42

55 61 46 392

62 50 45 45

59 55 39 42

60 56 43 41 G=

Parmetro C = G / N = 1006 / 20 = 50601.8

y

2 ij

= 51940 Suma de cuadrados (MC) G de l t 1 = 3 N t = 16 N 1 = 19 EMC (Esperanza de la media de cuadrados) M t = S t / t 1 = 378.3

T / r C = 51736.8 50601.8 = 1135 = y T / r = 51940 51736.8 = 203.2 S + S = y C = 1338.22 i 2 ij i 2 i t e 2 ij

M e = s 2 = S e / N t = 12.7

b) La hiptesis H 0 : 1 = ... = j de que los efectos de los tratamientos son nulos, es decir, no hay diferencias entre los tratamientos, se contrasta con el estadstico F (t 1, N t ) = M t / s 2 F (3,16) = 378.33 / 12.7 = 29.79

La hiptesis se rechaza si F > F , donde es el nivel de significacin. En nuestro caso F (3,16) 0.05 = 3.24 < F F (3,16) 0.01 = 5.29 < F por lo que rechazamos la hiptesis H 0 y admitimos que los efectos de los tratamientos NO son nulos. c) Hallaremos la diferencia mnima significativa (LSD) LSD = t N t , 2 s 2 / r = t16,0.05 212.7 / 5 = 2.120 212.7 / 5 = 4.78 teniendo en cuenta que la regin crtica siempre est formada por las dos colas de las distribucin por lo que se debe tomar t16, 0.025 . Si hallamos ahora las medias de los tratamientos y1 = 292 / 5 = 58.4 y 2 = 57.2 y 3 , y 4 , pues y1 , y 2 + LSD < y 3 , y 4 En la prctica es ms til hacer un cuadro de diferencias en valor absoluto y1 y 2 y 3 y 4 y1 ----- 1.2 14.8 16.4 y 2 y 3 y 4 ------------------------13.6 --------15.2 1.6 ----y 3 = 43.6 y 4 = 42

de donde se deduce que los efectos de los tratamientos y1 , y 2 son diferentes a los de los tratamientos

lo que permite agrupar las medias {y1 , y 2 } , {y 3 , y 4 } d) El procedimiento es similar al de la t de Student, pero en este caso la LSD se denomina HSD (y desaparece el 2 de dentro de la raz)0 05 HSD = q N t s 2 / r = q 4,.16 12.7 / 5 = 4.05 12.7 / 5 = 6.05 t,

donde q tN t se obtiene de las tablas de studentized range. , Este test es ms conservador que el de la t de Student aunque en este caso obtenemos los mismos resultados. Utilizando la tabla anterior se obtienen los grupos {y1 , y 2 } , {y 3 , y 4 } e) Se trata de un test que se utiliza para contrastar varios tratamientos a la vez. Para ello se utiliza un estimador = c1 1 + ... + c t t de una funcin estimable = c1 1 + ... + c t t Dado que los efectos de los tratamientos son desconocidos, se toman sus estimadores (las medias). En nuestro caso obtenemos 1 = 158.4 157.2 = 1.2 = 358.4 157.2 143.6 142 = 32.4 El resultado de Scheff afirma que hay una probabilidad (1 ) de que para todas las funciones estimables se verifique S + S donde S = (t 1) F (t 1, N t ) = 3F0.05 (3,16) = 3.12 1 = 2 =

As pues obtenemos para el primer contraste 1.2 3.122.25 1.2 + 3.122.25 5.82 8.22 por lo que la hiptesis de que H 0 : = 0 deber aceptarse pues el intervalo encontrado contiene al cero.

c s c s

2 2 i

/ r = 212.7 / 5 = 2.25 / r = 1212.7 / 5 = 5.52

2 2 i

32.4 3.125.52 32.4 + 3.125.52 15.18 49.62 por lo que la hiptesis de que H 0 : = 0 deber rechazarse pues el intervalo encontrado no contiene al cero. f) Se utilizan para comparar a la vez varios contrastes. Los contrastes ortogonales tienen la forma z i = (c1T1 + .. + c n Tn ) / que en nuestro caso tomando las medias como los efectos de los tratamientos, obtenemos2 z1 = (1292 + 0286 + 0218 1210 ) / 25 = 25.93 z1 = 672.4 2 z 2 = (0292 + 1286 + 1218 + 0210 ) / 25 = 21.50 z1 = 462.4 2 z 3 = (1292 1286 1218 + 1210 ) / 45 = 0.44 z1 = 0.2 2 2 y verifican S t = z1 + ... + z n = 1135 (donde S t es la suma de cuadrados de los tratamientos).

Para el segundo contraste

c

2 i r

con

c

i

=0

As, el estadstico z 2 / s 2 sigue una distribucin F de Snedecor con 1 y N t grados de libertad, y la hiptesis H 0 : = 0 deber aceptarse si el estadstico es inferior a F1, N t con un nivel de confianza En nuestro caso, 2 z1 / s 2 = 672.4 / 12.7 = 52.9 > F1,16 = 4.492 z 2 / s 2 = 462.4 / 12.7 = 36.41 > F1,16 = 4.49 2 z3

Se rechaza la hiptesis Se rechaza la hiptesis Se acepta la hiptesis

/ s = 0.2 / 12.7 = 0.016 < F1,16 = 4.49

2

EXPERIMENTO UNIFACTORIAL DE BLOQUES COMPLETOS ALEATORIZADOSLos siguientes datos se refieren a un experimento realizado sobre un tipo de gasolina aplicando cinco tratamientos (A, B, C, D, E) para medir su octanaje. Para ello hemos cogido cuatro barriles y hemos realizado cada uno de los tratamientos con la gasolina del barril obteniendo A B C D E a) b) c) d) e) f) Barril 1 91.7 91.7 92.4 91.8 93.1 Barril 2 91.2 91.9 91.2 92.2 92.9 Barril 3 90.9 90.9 91.6 92.0 92.4 Barril 4 90.6 90.9 91.0 91.4 92.4

Mostrar el cuadro del Anlisis de la Varianza Contrastar la hiptesis de que los efectos de los tratamientos son todos nulos Contrastar la hiptesis de igualdad efectos de los bidones Usar el test de la t de Student para contrastar diferencias entre las medias de los tratamientos Usar el test HSD de Tuckey para contrastar diferencias entre las medias de los tratamientos Usar el estadstico S de Scheff para contrastar la hiptesis H 0 : = 0 donde es el contraste estimable siguiente = 1 + 2 4 5

Solucin comentada: a) Para construir la tabla ANOVA son necesarios los siguientes clculos: Nmero de tratamientos t = 5 Numero de bloques b=4 Nmero total de observaciones N = 20 Totales B1 A B C D E Bi Fuente Tratamientos Bloques Error TOTAL St = Sb 91.7 91.7 92.4 91.8 93.1 B2 91.2 91.9 91.2 92.2 92.9 B3 90.9 90.9 91.6 92.0 92.4 B4 90.6 90.9 91.0 91.4 92.4 G= Ti 364.4 365.4 366.2 367.4 370.8i

460.7 459.4 457.8 456.3

Parmetro C = G 2 / N = 168214.482

T

= 1834.2

y

2 ij

= 168223.96 Suma de cuadrados (MC) G de l t 1 = 4b 1 = 3

T =B

i

2

/ b C = 168220.59 168214.482 = 6.108 / t C = 168216.676 168214.482 = 2.194

EMC (Esperanza de la media de cuadrados) M t = S t / t 1 = 1.527 M b = S b / b 1 = 0.731

2 j

Se =

y

2 ij

S t S b C = 1.176

(t 1)(b 1) = 12 N 1 = 19

M e = s 2 = S e / 12 = 0.098

St + Sb + Se =

y

2 ij

C = 9.478

b) La hiptesis H 0 : 1 = ... = j de que los efectos de los tratamientos son nulos, es decir, no hay diferencias entre los tratamientos, se contrasta con el estadstico F (4,12) = 1.527 / 0.098 = 15.58 F (t 1, (t 1)(b 1)) = M t / s 2 La hiptesis se rechaza si F > F , donde es el nivel de significacin.

En nuestro caso

F (4,12) 0.05 = 3.26 < F F (4,12) 0.01 = 5.41 < F

por lo que rechazamos la hiptesis H 0 y admitimos que los efectos de los tratamientos NO son nulos. c) En este caso se debe realizar de nuevo la tabla ANOVA pero tomando como tratamientos a los bidones y como bloques a las gasolinas. As se obtiene Suma de cuadrados (MC) St = St G de l t 1 = 3b 1 = 4

Fuente Tratamientos Bloques Error TOTALi 2

T / b C = 168216.676 168214.482 = 2.194 = B / t C = 168220.59 168214.482 = 6.108 S = y S S C = 1.176 S + S + S = y C = 9.4782 j e 2 ij t b t b e 2 ij

EMC (Esperanza de la media de cuadrados) M t = S t / t 1 = 0.731 M b = S b / b 1 = 1.527

(t 1)(b 1) = 12 N 1 = 19

M e = s 2 = S e / 12 = 0.098

por lo que la hiptesis H 0 : 1 = ... = j de que los efectos de los tratamientos son nulos, es decir, no hay diferencias entre los bidones, se contrasta con el estadstico F (3,12) = 0.731 / 0.098 = 7.45 F (t 1, (t 1)(b 1)) = M t / s 2 La hiptesis se rechaza si F > F , donde es el nivel de significacin. En nuestro caso F (3,12) 0.05 = 3.49 < F F (4,12) 0.01 = 5.45 < F por lo que rechazamos la hiptesis H 0 y admitimos que los efectos de los tratamientos NO son nulos. d) Los test de LSD, HSD de Tuckey o de Scheff estan pensados para diseos completamente aleatorizados y no por bloques. En nuestro caso, al obtener un rechazo de la hiptesis de igualdad de tratamientos. Una posibilidad consistira en contrastar la hiptesis de igualdad de los bloques (tomando los bloques como tratamientos y los tratamientos como bloques) y en caso de obtener igualdad de los bloques, tomar una nueva muestra mediante un diseo completamente aleatorizado (ya que los bloques no influiran por ser similares). Pero este tampoco es nuestro caso ya que los efectos de los bidones tampoco son los mismos. En el libro, este razonamiento no aparece y se propone, al igual que en el modelo completamente aleatorizado, hacer un cuadro de diferencias en valor absoluto, partiendo de las medias de los tratamientos y1 = 364.4 / 4 = 91.1 y 2 = 91.35 y 3 = 91.55 y 4 = 91.85 y 5 = 92.7y1 -----

y1

y 2 0.25 -------------

y 3 0.45 0.2 -------------

y 4 0.75 0.5 0.3 ---------

y 5 1.6 1.35 1.15 0.85 -----

y 2 y 3 y 4

-------------

y 5 ----- ----Hallemos la diferencia mnima significativa (LSD)

LSD = t (t 1)(b 1), 2 s 2 / b = t12, 0.05 20.098 / 4 = 2.179 20.098 / 4 = 0.482 teniendo en cuenta que la regin crtica siempre est formada por las dos colas de las distribucin por lo que se debe tomar t16, 0.025 .

As se pueden agrupar los tratamientos {y1 , y 2 , y 3 } , {y 2 , y 3 } , {y 3 , y 4 } e)

El procedimiento es similar al de la t de Student, pero en este caso la LSD se denomina HSD (y desaparece el 2 de dentro de la raiz)0 05 HSD = q t(t 1)(b 1) s 2 / b = q 5,.12 0.098 / 4 = 4.51 0.0245 = 0.706 ,

donde q t(t 1)(b 1) se obtiene de las tablas de studentized range. , Este test es ms conservador que el de la t de Student, aunque, en este caso, utilizando la tabla anterior, se obtienen los mismos grupos. Se trata de un test que se utiliza para contrastar varios tratamientos a la vez. Para ello se utiliza un estimador = c1 1 + ... + c t t de una funcin estimable = c1 1 + ... + c t t Dado que los efectos de los tratamientos son desconocidos, se toman sus estimadores (las medias). En nuestro caso obtenemos = 191.1 + 191.35 191.85 192.7 = 2.1 El resultado de Scheff afirma que hay una probabilidad (1 ) de que para todas las funciones estimables se verifique S + S donde S = (t 1) F (t 1, (t 1)(b 1)) = 4 F0.05 (4,12) = 3.61 = As pues obtenemos f)

c

2 2 i s

/ b = 40.098 / 4 = 0.31

2.1 3.610.31 2.1 + 3.610.31 3.22 0.98 por lo que la hiptesis de que H 0 : = 0 deber rechazarse pues el intervalo encontrado NO contiene al cero.

EXPERIMENTO BIFACTORIAL CON INTERACCIONLa cantidad vendida de un artculo la podemos clasificar atendiendo al tipo de tienda en la que se vende y a la regin en que est situada. Supongamos que tenemos cuatro tipos de tiendas (4 niveles de A) situadas en tres regiones diferentes (3 niveles de B). Se quiere contrastar la igualdad de efectos al nivel del 10%, es decir las tres hiptesis i = 0, i = 1,2,3,4 , j = 0, j = 1,2,3 , () ij = 0, i, j . Las cantidades vendidas se recogen en el siguiente cuadro 1 59 61 61 59 60 63 55 57 63 67 65 60 66 64 61 68 2 61 64 67 62 69 64 62 69 66 71 68 68 62 69 68 71 3 71 70 68 74 66 72 67 72 75 69 76 68 69 70 69 77

1

2

3

4

a) b) c) d)

Mostrar el cuadro del Anlisis de la Varianza Contrastar la hiptesis de que los efectos de las tiendas son todos nulos Contrastar la hiptesis de que los efectos de las regiones son todos nulos Contrastar la hiptesis de que los efectos de las interacciones son todos nulos

Solucin comentada: a) Para construir la tabla ANOVA son necesarios los siguientes clculos: Nmero de niveles del concepto A a=4 Nmero de niveles del concepto B b=3 Nmero de observaciones en cada combinacin de niveles de A y de B, es decir, nmero de observaciones por celda n=4 Nmero total de observaciones N = abn = 48 Totales: Se suman las observaciones de cada celda Tij , por ejemplo, T11 = 59 + 61 + 61 + 59 = 240 y se obtiene la siguiente tabla R1 T1 T2 T3 T4 T j 240 235 255 259 989 R2 254 264 273 270 R3 283 277 288 285 G= Ti 777 776 816 814i

1061 1133

Parmetro C = G 2 / N = 211072.69

T

= 3183

y

2 ijk

= 212245

Fuente A B Interaccin Error TOTAL SA =B

Suma de cuadrados (MC)

G de la 1 = 3

T / bn C = 211196.42 C = 123.73 S = T / an C = 211720.68 C = 648 S = T / n C S S = 45.33 S = y T / n = 355.25 S + S + S + S = y C = 1172.312 i 2 j AB 2 ij A B e 2 ijk 2 ij A B AB e 2 ij

EMC (Esperanza de la media de cuadrados) M A = S a / a 1 = 41.24 M B = S B / b 1 = 324 M AB = S AB / 6 = 7.56

b 1 = 2 (a 1)(b 1) = 6 ab(n 1) = 36 N 1 = 47

M e = s 2 = S e / 36 = 9.87

b) La hiptesis H 0 : 1 = ... = i de que los efectos de los tratamientos son nulos en el nivel A, es decir, no hay diferencias entre los tratamientos, se contrasta con el estadstico F = M A / s 2 = 41.24 / 9.87 = 4.18 La hiptesis se rechaza si F > F (a 1, ab(n 1)) , donde es el nivel de significacin. En nuestro caso F (3,36) 0.10 = 2.24 < F por lo que rechazamos la hiptesis H 0 y admitimos que los efectos de los tratamientos en el nivel A, NO son nulos. c) La hiptesis H 0 : 1 = ... = j de que los efectos de los tratamientos son nulos en el nivel B, es decir, no hay diferencias entre los tratamientos, se contrasta con el estadstico F = M B / s 2 = 324 / 9.87 = 32.83 La hiptesis se rechaza si F > F (b 1, ab(n 1)) , donde es el nivel de significacin. En nuestro caso F (2,36) 0.10 = 2.43 < F por lo que rechazamos la hiptesis H 0 y admitimos que los efectos de los tratamientos en el nivel B, NO son nulos. d) Finalmente la hiptesis H 0 : () i = 0 de que los efectos de los tratamientos en las interacciones son nulos, se contrasta con el estadstico F = M AB / s 2 = 7.56 / 9.87 = 0.77 La hiptesis se rechaza si F > F ((a 1)(b 1), ab(n 1)) , donde es el nivel de significacin. En nuestro caso F (6,36) 0.10 = 1.95 > F por lo que aceptamos la hiptesis H 0 y admitimos que los efectos de los tratamientos en las interacciones son nulos, es decir, no existe interaccin entre las regiones y las tiendas.

EXPERIMENTO ANIDADO O JERARQUIZADO BIETPICOUn ingeniero quiere estudiar las deformaciones longitudinales de los tubos de vidrio fabricados por cinco mquinas diferentes. Cada mquina tiene cuatro compartimentos en los cuales se fabrican los tubos y decide tomar cuatro muestras de cada compartimento. Observando que los compartimentos de la mquina A no pueden desmontarse para ponerlos en la B, ni los de la B en la C, llegamos a la conclusin de que mquinas y compartimentos no constituyen un experimento factorial ya que cada mquina tiene sus propios compartimentos. As pues consideraremos los compartimentos anidados dentro de las mquinas. Compartimento 1 A 6 2 0 8 13 3 9 8 1 10 0 6 7 4 7 9 B 10 9 7 12 2 1 1 10 4 1 7 9 0 3 4 1 Mquina C 0 0 5 5 10 11 6 7 8 5 0 7 7 2 5 4 D 11 0 6 4 5 10 8 3 1 8 9 4 0 8 6 5 E 1 4 7 9 6 7 0 3 3 0 2 2 3 7 4 0

2

3

4

a) Mostrar el cuadro del Anlisis de la Varianza b) Contrastar la hiptesis de que los efectos de las mquinas en las deformaciones son todos nulos c) Contrastar la hiptesis de que los efectos de los compartimentos en las deformaciones son todos nulos Solucin comentada: a) Para construir la tabla ANOVA son necesarios los siguientes clculos: Nmero de niveles principales (mquinas) Nmero de niveles secundarios (compartimentos) contenidos en cada nivel principal Nmero de observaciones por nivel y mquina Nmero total de observaciones N = bns = 80 Totales: Se suman las observaciones de cada celda Tij , por ejemplo, T11 = 59 + 61 + 61 + 59 = 240 y se obtiene la siguiente tabla 1 2 3 4 Ti A 16 33 17 27 932

b=5 s=4 n=4

B 38 14 21 8 81

C 10 34 20 18 82

D 21 26 22 19 88

E 21 16 7 14 58 G=

Parmetro C = G 2 / N = 2020.05

Ti = 402

T = 16 + 38 2 yijk = 29902 ij 2

+ ... + 14 2 = 9392

EXPERIMENTO TRIFACTORIAL COMPLETOEn un experimento se da de comer caroteno a un grupo de cabras durante periodos consecutivos de dos das utilizando dos mtodos para medir la digeribilidad del caroteno. La tabla de datos que se muestra corresponde a los resultados para cuatro cabras C1 , C 2 , C 3 , C 4 durante cinco periodos. En cada celda el primer nmero corresponde a la digeribilidad medida por el mtodo 1, y el segundo nmero, la medida por el mtodo 2. Las combinaciones cabras-peridodos pueden considerarse como 4x5=20 parcelas completas. Cada parcela completa se divide en dos subparcelas (una en la que se aplica el mtodo 1 y otra en la que se aplica el mtodo 2). I 75.1;75.2 65.4;62.7 61.9;60.1 69.4;70.1 II 69.0;63.5 63.3;61.2 57.7;59.6 60.7;57.0 III 74.3;80.7 59.4;65.3 74.4;75.8 57.0;54.5 IV 51.2;46.7 62.9;62.1 62.9;55.3 56.6;49.5 V 72.6;71.0 63.8;63.1 54.3;58.3 64.3;63.3

C1 C2 C3 C4

Los efectos principales (o sea no relacionados con las interacciones) debidos a los factores: cabras (C) y periodos (P) se contrastaran frente al cuadrado medio para la interaccin cabras-periodos. La interaccin mtodos-cabras-periodos se utilizar para contrastar los efectos de los mtodos, la interaccin mtodos-cabras y la interaccin mtodos-periodos. a) b) c) d) e) f) g) Mostrar el cuadro del Anlisis de la Varianza Contrastar la hiptesis de que los efectos de los mtodos son nulos Contrastar la hiptesis de que los efectos de las cabras son nulos Contrastar la hiptesis de que los efectos de los periodos son nulos Contrastar la hiptesis de que los efectos de la interaccin cabras-periodos son nulos Contrastar la hiptesis de que los efectos de la interaccin mtodos-cabras son nulos Contrastar la hiptesis de que los efectos de la interaccin mtodos -periodos son nulos

Solucin comentada: a) Para construir la tabla ANOVA son necesarios los siguientes clculos: Nmero de niveles del factor A (mtodos) a = 2 Nmero de niveles del factor B (cabras) b=4 Nmero de niveles del factor C (periodos) c = 5 Nmero de observaciones por celda n =1 Nmero total de observaciones N = abcn = 40 Totales: I II III IV C1 C2 C3 C4 T1k ; T2k 75.1;75.2 65.4;62.7 61.9;60.1 69.4;70.1 271.8;268.1 69.0;63.5 63.3;61.2 57.7;59.6 60.7;57.0 250.7;241.3 74.3;80.7 59.4;65.3 74.4;75.8 57.0;54.5 265.1;276.3 51.2;46.7 62.9;62.1 62.9;55.3 56.6;49.5 233.6;213.6

V 72.6;71.0 63.8;63.1 54.3;58.3 64.3;63.3 255.0;255.7

T1 j ; T2 j 342.2;337.1 314.8;314.4 311.2;309.1 308.0;294.4 G = 2531.2

Suma de totales del factor 1 (mtodos) T1 = 342.2 + 314.8 + 311.2 + 308.0 = 1276.2; T2 = 1255 Suma de totales del factor 2 (cabras) T1 = 75.1 + 75.2 + 69 + 63.5 + ... + 72.6 + 71 = 679.3 T2 = 629.2; T3 = 620.3; T4 = 602.4 Suma de totales del factor 3 (periodos) T1 = 150.3 + ... + 139.5 = 539.9 T2 = 492; T3 = 541.4; T4 = 447.2; T5 = 255.7 Parmetro C = G 2 / N = 160174.336

y

2 ijk

= 162499.72

EXPERIMENTO TRIFACTORIAL SPLIT-SPLOTSe realiz un experimento para investigar los efectos de diferentes variedades de cultivo de avena y de abonos (nitrgeno). En este experimento se tomaron tres bloques de tres parcelas cada uno, y en cada una de las parcelas de cada bloque se sembr una de las tres variedades de avena seleccionadas para el experimento. Cada parcela fue dividida en cuatro subparcelas en cada una de las cuales se asign aleatoriamente un nivel del factor nitrgeno. Estos cuatro niveles eran: Sin abono, 0.01, 0.02 y 0.03 toneladas por acre. Los tratamientos principales eran las variedades de avena y los subtratamientos eran los niveles de nitrgeno. Los datos estn recogidos en la siguiente tabla. Bloque I Variedad A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 N1 111 117 105 74 64 70 64 70 96 N2 130 120 140 93 103 95 91 108 133 N3 157 161 118 81 132 104 97 126 121 N4 174 141 190 122 152 117 103 149 144

II

III

a) b) c) d) e)

Mostrar el cuadro del Anlisis de la Varianza Contrastar la hiptesis de que las tres variedades de avena son iguales Contrastar la hiptesis de que los bloques son iguales Contrastar la hiptesis de que los niveles del factor nitrgeno son homogneos Contrastar la hiptesis de que existe interaccin variedades de avena- abono

Solucin comentada: a) Para construir la tabla ANOVA son necesarios los siguientes clculos: Nmero de bloques b=3 Nmero de variedades v=3 Nmero de niveles del factor B s=4 Nmero total de observaciones N = bvs = 36 Totales: Bloque I Variedad A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 Tk N1 111 117 105 74 64 70 64 70 96 771 N2 130 120 140 93 103 95 91 108 133 1013 N3 157 161 118 81 132 104 97 126 121 1097 N4 174 141 190 122 152 117 103 149 144 1292

Tij 572 539 553 370 451 356 355 453 494 G = 4173

Ti

1664

II

1207

III

1302

Totales en cada bloque Ti (ver tabla anterior) Totales en cada bloque-variedad Tij (ver tabla anterior) Totales en cada nivel del factor B Tk (ver tabla anterior) Totales en cada variedad-nivel del factor B T jk T11 = 111 + 74 + 64 , Suma total G = 4173

EXPERIMENTO TRIFACTORIAL CON CUADRADOS LATINOSSe efecta un experimento para medir la incidencia de tres factores (estator, rotor, calidad del revestimiento) en el voltaje producido por un alternador de corriente en un equipo elctrico. Para llevar a cabo el experimento se ha seleccionado aleatoriamente un cuadrado latino y se han obtenido los siguientes voltajes: Rotores 230 240 250 260 270 145 310 (C) 309 (D) 312 (B) 316 (A) 314 (E) 150 312 (B) 310 (C) 303 (E) 306 (D) 308 (A) Estator 155 320 (A) 324 (B) 325 (C) 318 (E) 323 (D) 160 306 (D) 300 (E) 307 (A) 304 (C) 309 (B) 165 300 (E) 305 (A) 302 (D) 294 (B) 303 (C)

Se trata de determinar qu factores estn ms relacionados con un mejor rendimiento del alternador, es decir, mayor voltaje. Calclese: a) Mostrar el cuadro del Anlisis de la Varianza b) Contrastar la hiptesis de que los efectos de los tres factores no son nulos (son significativos) c) Determnense intervalos de confianza del 95% para los efectos de los estators. Solucin comentada: a) Para construir la tabla ANOVA son necesarios los siguientes clculos: Nmero de niveles de cada factor p=5 Nmero total de observaciones Totales: 145 310 (C) 309 (D) 312 (B) 316 (A) 314 (E) 1561 150 312 (B) 310 (C) 303 (E) 306 (D) 308 (A) 1539

N = p 2 = 25

Estator Rotores 230 240 250 260 270 Tc 155 320 (A) 324 (B) 325 (C) 318 (E) 323 (D) 1610 160 306 (D) 300 (E) 307 (A) 304 (C) 309 (B) 1526 165 300 (E) 305 (A) 302 (D) 294 (B) 303 (C) 1504

Tf1548 1548 1549 1538 1557 G = 7740

Totales de la calidad del revestimiento A B 1556 1551 Tn C = G 2 / N = 2396304

C 1552

D 1546

E 1535

Fuente

y

2 ijk

= 2397840 Suma de cuadrados (MC) Sf = Sc G de lp 1 = 4 p 1 = 4 p 1 = 4( p 1)( p 2) = 12 N 1 = 24

Filas (Rotores) Columnas (Estators) Nmeros (Calidad) Error TOTAL

T / p C = 2396340.4 C = 36.4 = T / p C = 2397606.8 C = 1302.8 S = T / p = 2396356.4 C = 52.42 f 2 c n 2 n

EMC (Esperanza de la media de cuadrados) M f = S f / 4 = 9.1 M c = S c / 4 = 325.7 M n = S n / 4 = 13.1 M e = S e / 12 = 12.03

S e = S T S f S c S n = 144.4ST =

2 y ijk

C = 1536.4

EXPERIMENTO CUATRIFACTORIAL CON CUADRADOS GRECO-LATINOSMediante un experimento se pretende determinar el efecto de las siguientes variables en el grado de acidez de una solucin cida: - cido ntrico decolorado (1, 2, 3, 4, 5) - volumen de cido (1, 2, 3, 4, 5) - tamao de las barras de silicio (A, B, C, D, E) - tiempo de elaboracin de la solucin cida ( , , , , ) Como un indicador de la concentracin de cido se tom nota de la prdida de peso en cada barra de silicio y se recogieron los datos en la siguiente tabla.: Volumen 1 2 3 4 5 1 65 (A) 84 (B) 105 (C) 119 (D) 97 (E) 2 82 (B) 109 (C) 129 (D) 72 (E) 59 (A) Color 3 108 (C) 73 (D) 89 (E) 76 (A) 94 (B) 4 101 (D) 97 (E) 89 (A) 117 (B) 78 (C) 5 126 (E) 83 (A) 52 (B) 84 (C) 106 (D)

a) Mostrar el cuadro del Anlisis de la Varianza b) Contrastar la hiptesis de que los efectos de los tres factores son nulos Solucin comentada: a) Para construir la tabla ANOVA son necesarios los siguientes clculos: Nmero de niveles de cada factor p=5 Nmero total de observaciones Totales:

N = p 2 = 25

Color Volumen 230 240 250 260 270 Tc 145 65 (A) 84 (B) 105 (C) 119 (D) 97 (E) 470 150 82 (B) 109 (C) 129 (D) 72 (E) 59 (A) 451 155 108 (C) 73 (D) 89 (E) 76 (A) 94 (B) 440 160 101 (D) 97 (E) 89 (A) 117 (B) 78 (C) 482 165 126 (E) 83 (A) 52 (B) 84 (C) 106 (D) 451

Tf482 446 464 468 434 G = 2294

Totales del tamao de las barras A Tn1 372 Totales del tiempo de elaboracin Tn 2 340 C = G 2 / N = 210497.44

B 429

C 484

D 528

E 481

417

466

537

534

y

2 ijk

= 220378

HIPTESIS NECESARIAS PARA EL DISEO DE EXPERIMENTOSEXPERIMENTOS DE ANALIDIS DE VARIANZA a) Normalidad de la variable en estudio b) Las eij son variables con distribucin normal incorreladas de media cero (hiptesis de normalidad) y varianza comn 2 (homocedasticidad) c) Los tratamientos son independientes. EXPERIMENTOS DE ANALISIS DE COVARIANZA a) Se selecciona una muestra de tamao n de cada una de las subpoblaciones b) Cada una de las poblaciones sigue una distribucin normal c) Las medias poblacionales dentro de cada grupo, siguen una linea recta d) La pendiente de las rectas es la misma para cada grupo.

Fuente Filas (Volumen) Columnas (Color) Nmeros (Tamao) Nmeros (Tiempo) Error TOTAL Sf =c

Suma de cuadrados (MC)

G de lp 1 = 4 p 1 = 4 p 1 = 4 p 1 = 4( p 1)( p 3) = 8 N 1 = 24

T / p C = 210783.2 C = 285.76 S = T / p C = 210725.2 C = 227.76 S = T / p = 213365.2 C = 2867.76 S = T / p = 216034 C = 5536.562 f 2 c n1 2 n1 n1 2 n1

EMC (Esperanza de la media de cuadrados) M f = S f / 4 = 71.44 M c = S c / 4 = 56.94 M n1 = S n1 / 4 = 716.94 M n 2 = S n 2 / 4 = 1384.14 M e = S e / 8 = 120.34

S e = S T S f S c S n1 S n 2 = 962.72ST =

y

2 ijk

C = 9880.56

b) La hiptesis H 0 : i = 0 de que los efectos de los volmenes son nulos, se contrasta con el estadstico F = M f / M e = 71.44 / 120.34 = 0.59 La hiptesis se rechaza si F > F (4,8) 0.05 = 3.84 , donde = 0.05 es el nivel de significacin. En nuestro caso aceptamos la hiptesis H 0 y admitimos que no hay efectos de los volmenes. La hiptesis H 0 : i = 0 de que los efectos de los colores son nulos, se contrasta con el estadstico F = M c / M e = 56.94 / 120.34 = 0.47 La hiptesis se rechaza si F > F (4,8) 0.05 = 3.84 , donde = 0.05 es el nivel de significacin. En nuestro caso aceptamos la hiptesis H 0 y admitimos que no hay efectos de los colores. La hiptesis H 0 : i = 0 de que los efectos del tamao son nulos, se contrasta con el estadstico F = M n1 / M e = 716.94 / 120.34 = 5.96 La hiptesis se rechaza si F > F (4,8) 0.05 = 3.84 , donde = 0.05 es el nivel de significacin. En nuestro caso rechazamos la hiptesis H 0 y admitimos que hay efectos debidos al tamao. La hiptesis H 0 : i = 0 de que los efectos del tiempo son nulos, se contrasta con el estadstico F = M n 2 / M e = 1384.14 / 120.34 = 11.50 La hiptesis se rechaza si F > F (4,8) 0.05 = 3.84 , donde = 0.05 es el nivel de significacin. En nuestro caso rechazamos la hiptesis H 0 y admitimos que hay efectos debidos al tiempo.

b) La hiptesis H 0 : i = 0 de que los efectos de los rotores son nulos, se contrasta con el estadstico F = M f / M e = 9.1 / 12.03 = 0.76 La hiptesis se rechaza si F > F (4,12) 0.05 = 3.26 , donde = 0.05 es el nivel de significacin. En nuestro caso aceptamos la hiptesis H 0 y admitimos que no hay efectos de los rotores. La hiptesis H 0 : i = 0 de que los efectos de los estatores son nulos, se contrasta con el estadstico F = M c / M e = 325.7 / 12.03 = 27.07 La hiptesis se rechaza si F > F (4,12) 0.05 = 3.26 , donde = 0.05 es el nivel de significacin. En nuestro caso rechazamos la hiptesis H 0 y admitimos que el estator mes un factor altamente significativo. La hiptesis H 0 : i = 0 de que los efectos de la calidad del revestimiento son nulos, se contrasta con el estadstico F = M n / M e = 13.1 / 12.03 = 1.09 La hiptesis se rechaza si F > F (4,12) 0.05 = 3.26 , donde = 0.05 es el nivel de significacin. En nuestro caso aceptamos la hiptesis H 0 y admitimos que no hay efectos por el revestimiento. c) PENDIENTE

Fuente Bloques Variedades Error en el plot (bloque + variedad) Factor B Variedad + Factor Error TOTAL

Parmetro C = G 2 / N = 483720.252 yijk = 517237

Suma de cuadrados (MC)

G de lb 1 = 2 v 1 = 2 (b 1)(v 1) = 4 ( s 1) = 3 ( s 1)(v 1) = 6 v(b 1)( s 1) = 18

S e = S T S B SV S S S B (V ) SV ( S ) = 3237.332 yijk C = 33516.75

Ti2 / vs C = 9692.17 SV = T2j / bs C = 1108.67 2 S B (V ) = Tij / s C S B SV = 2499.16 2 S S = Tk / bv C = 15533.42 SV ( S ) = T2jk / b C S B S S = 1446SB =

EMC (Esperanza de la media de cuadrados) M B = S B / 2 = 4846.08 M V = S V / 2 = 554.33

M B (V ) = S B (V ) / 4 = 624.79M S = S S / 3 = 5177.81

M V ( S ) = SV ( S ) / 6 = 241s 2 = S e / 18 = 179.85

N 1 = 35

b) La hiptesis H 0 : i = 0 de que los efectos de las variedades son nulos, es decir, que las tres variedades de avena son iguales, se contrasta con el estadstico F = M V / M B (V ) = 554.33 / 624.79 = 0.89 La hiptesis se rechaza si F < F (2,4) 0.05 = 6.94 , donde = 0.05 es el nivel de significacin. En nuestro caso aceptamos la hiptesis H 0 y admitimos que no hay diferencias entre las variedades. c) La hiptesis H 0 : bi = 0 de que los bloques son iguales se contrasta con el estadstico

F = M B / s 2 = 4846.08 / 179.85 = 26.94 La hiptesis se rechaza si F > F (2,18)0.05 = 3.55 , donde = 0.05 es el nivel de significacin. En nuestro caso rechazamos la hiptesis H 0 y admitimos que hay diferencias entre los bloques. d) La hiptesis H 0 : i = 0 de que los niveles del factor nitrgeno son iguales se contrasta con el estadstico F = M S / s 2 = 5177.81 / 179.85 = 18.82 La hiptesis se rechaza si F > F (2,18)0.05 = 3.55 , donde = 0.05 es el nivel de significacin. En nuestro caso rechazamos la hiptesis H 0 y admitimos que hay diferencias entre los niveles de nitrgeno. e) La hiptesis H 0 : ( ) i = 0 de que los efectos de las interacciones avena-abono son nulos, se contrasta con el estadstico

F = M V ( S ) / s 2 = 241 / 179.85 = 1.34La hiptesis se rechaza si F < F (6,18)0.05 = 2.66 , donde = 0.05 es el nivel de significacin. En nuestro caso aceptamos la hiptesis H 0 y admitimos que no hay interacciones avena-abono.

Fuente Mtodos (A) Cabras (B) Periodos (C) Interaccin (AB) Interaccin (AC) Interaccin (BC) Interaccin (ABC) Error TOTAL SA =B

Suma de cuadrados (MC)

G de la 1 = 1 b 1 = 3 c 1 = 4 ( a 1)(b 1) = 3

T / bcn C = 160185.572 C = 11.236 S = T / acn C = 160499.898 C = 325.562 / abn C = 160934.0375 C = 759.7015 S = T S = T / cn S S C =2 i 2 j C 2 k AB 2 ij A B

EMC (Esperanza de la media de cuadrados) M A = S A / 1 = 11.236 M B = S B / 3 = 108.52 M C = S C / 4 = 189.93 M AB = S AB / 3 = 3.44 M AC = S AC / 4 = 16.82 M BC = S BC / 12 = 91.01 M ABC = S ABC / 12 = 4.94

S AC = S BC =

= 161012.535 C S A S C = 67.2615 = 162351.68 C S B S C = 1092.0805 S ABC = S AB S AC S BC C = 59.2245 S e = 0 (ya que slo hay una observacin por celda)

T

= 160521.452 C S A S B = 10.3182 ik

/ bn S A S C C = / an S B S C C =2 ijk

( a 1)(c 1) = 4

T

2 jk

(b 1)(c 1) = 12

T

/ n S A S B SC

( a 1)(b 1)(c 1) = 12

y

2 ijk

C = 2325.384

N 1 = 39

b) La hiptesis H 0 : a i = 0 de que los efectos de los mtodos son nulos, es decir, no hay diferencias entre los mtodos para medir la digeribilidad del caroteno, se contrasta segn el planteamiento, con el estadstico F = M A / M ABC = 11.236 / 4.94 = 2.27 La hiptesis se rechaza si F > F (1,12) 0.05 = 4.75 , donde = 0.05 es el nivel de significacin. En nuestro caso aceptamos la hiptesis H 0 y admitimos que no hay efectos de los mtodos. c) La hiptesis H 0 : bi = 0 de que los efectos de las cabras son nulos, es decir, no hay diferencias entre las cabras para medir la digeribilidad del caroteno, se contrasta segn el planteamiento, con el estadstico F = M B / M BC = 108.52 / 91.01 = 1.19

La hiptesis se rechaza si F > F (3,12) 0.05 = 3.49 , donde = 0.05 es el nivel de significacin. En nuestro caso aceptamos la hiptesis H 0 y admitimos que no hay efectos de las cabras. d) La hiptesis H 0 : c i = 0 de que los efectos de los periodos son nulos, es decir, no hay diferencias entre los periodos para medir la digeribilidad del caroteno, se contrasta segn el planteamiento, con el estadstico F = M C / M BC = 189.93 / 91.01 = 2.09 La hiptesis se rechaza si F > F (4,12) 0.05 = 3.26 , donde = 0.05 es el nivel de significacin. En nuestro caso aceptamos la hiptesis H 0 y admitimos que no hay efectos de los periodos. e) La hiptesis H 0 : (bc ) i = 0 de que los efectos de las interacciones cabras-periodos son nulos, se contrasta segn el planteamiento, con el estadstico F = M BC / M ABC = 91.01 / 4.94 = 18.82

La hiptesis se rechaza si F > F (12,12) 0.05 = 2.69 , donde = 0.05 es el nivel de significacin. En nuestro caso rechazamos la hiptesis H 0 y admitimos que hay efectos de la interaccin cabrasperiodos. f) La hiptesis H 0 : (ab) i = 0 de que los efectos de las interacciones mtodos-cabras son nulos, se contrasta segn el planteamiento, con el estadstico F = M AB / M ABC = 3.44 / 4.94 = 0.7

La hiptesis se rechaza si F > F (3,12) 0.05 = 3.49 , donde = 0.05 es el nivel de significacin. En nuestro caso aceptamos la hiptesis H 0 y admitimos que no hay efectos de la interaccin mtodoscabras. g) La hiptesis H 0 : (ac ) i = 0 de que los efectos de las interacciones mtodos-periodos son nulos, se contrasta segn el planteamiento, con el estadstico F = M AC / M ABC = 16.82 / 4.94 = 3.40 La hiptesis se rechaza si F > F (4,12) 0.05 = 3.26 , donde = 0.05 es el nivel de significacin. En nuestro caso rechazamos la hiptesis H 0 y admitimos que hay efectos de la interaccin mtodosperiodos.

Fuente Mquinas Compartimentos de las mquinas Error TOTAL SB =

Suma de cuadrados (MC)

G de lb 1 = 4

T

2 i

/ ns C = 2065.125 C = 45.075

EMC (Esperanza de la media de cuadrados) M B = S B / b 1 = 11.27

S S ( B) =

= 282.875 Se =

Tij2 / n C S B = 2348 C S B =y y2 ijk 2 ijk

b( s 1) = 15 sb(n 1) = 60 N 1 = 79

M S ( B ) = S S ( B ) / b( s 1) = 18.86 M e = s 2 = S e / 60 = 10.7

T

2 ij

/ n = 642

C = 969.95

2 b) La hiptesis H 0 : 2 = 0 de que los efectos de las mquinas en las deformaciones son nulos, es decir, no hay diferencias entre las mquinas, se contrasta con el estadstico F = M B / s 2 = 11.27 / 10.7 = 1.05

La hiptesis se rechaza si F > F (b 1, sb(n 1)) , donde es el nivel de significacin. En nuestro caso F (4,60) 0.05 = 2.36 > F por lo que aceptamos la hiptesis H 0 y admitimos que no hay efectos de las mquinas en las deformaciones de los tubos. c) La hiptesis H 0 : 12 = 0 de que los efectos de los compartimentos en las deformaciones son nulos, es decir, no hay diferencias entre los compartimentos de las mquinas, se contrasta con el estadstico F = M S ( B ) / s 2 = 18.86 / 10.7 = 1.76

La hiptesis se rechaza si F > F (b( s 1), sb(n 1)) , donde es el nivel de significacin. En nuestro caso F (15,60) 0.05 = 1.60 < F por lo que rechazamos la hiptesis H 0 y admitimos que hay efectos de los compartimentos de las mquinas en las deformaciones de los tubos.

TABLAS

Critical Values of the F Distribution (" = .05)

df within 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 80 100 120 4

1 6.61 5.99 5.59 5.32 5.12 4.96 4.84 4.75 4.67 4.60 4.54 4.49 4.45 4.41 4.38 4.35 4.32 4.30 4.28 4.26 4.24 4.23 4.21 4.20 4.18 4.17 4.08 4.00 3.96 3.94 3.92 3.84

2 5.79 5.14 4.74 4.46 4.26 4.10 3.98 3.89 3.81 3.74 3.68 3.63 3.59 3.55 3.52 3.49 3.47 3.44 3.42 3.40 3.39 3.37 3.35 3.34 3.33 3.32 3.23 3.15 3.11 3.09 3.07 3.00

3 5.41 4.76 4.35 4.07 3.86 3.71 3.59 3.49 3.41 3.34 3.29 3.24 3.20 3.16 3.13 3.10 3.07 3.05 3.03 3.01 2.99 2.98 2.96 2.95 2.93 2.92 2.84 2.76 2.72 2.70 2.68 2.61

4 5.19 4.53 4.12 3.84 3.63 3.48 3.36 3.26 3.18 3.11 3.06 3.01 2.96 2.93 2.90 2.87 2.84 2.82 2.80 2.78 2.76 2.74 2.73 2.71 2.70 2.69 2.61 2.53 2.49 2.46 2.45 2.37

5 5.05 4.39 3.97 3.69 3.48 3.33 3.20 3.11 3.03 2.96 2.90 2.85 2.81 2.77 2.74 2.71 2.68 2.66 2.64 2.62 2.60 2.59 2.57 2.56 2.55 2.53 2.45 2.37 2.33 2.31 2.29 2.22

df between 6 4.95 4.28 3.87 3.58 3.37 3.22 3.09 3.00 2.92 2.85 2.79 2.74 2.70 2.66 2.63 2.60 2.57 2.55 2.53 2.51 2.49 2.47 2.46 2.45 2.43 2.42 2.34 2.25 2.21 2.19 2.18 2.10

7 4.88 4.21 3.79 3.50 3.29 3.14 3.01 2.91 2.83 2.76 2.71 2.66 2.61 2.58 2.54 2.51 2.49 2.46 2.44 2.42 2.40 2.39 2.37 2.36 2.35 2.33 2.25 2.17 2.13 2.10 2.09 2.01

8 4.82 4.15 3.73 3.44 3.23 3.07 2.95 2.85 2.77 2.70 2.64 2.59 2.55 2.51 2.48 2.45 2.42 2.40 2.37 2.36 2.34 2.32 2.31 2.29 2.28 2.27 2.18 2.10 2.06 2.03 2.02 1.94

12 4.68 4.00 3.57 3.28 3.07 2.91 2.79 2.69 2.60 2.53 2.48 2.42 2.38 2.34 2.31 2.28 2.25 2.23 2.20 2.18 2.16 2.15 2.13 2.12 2.10 2.09 2.00 1.92 1.88 1.85 1.83 1.75

24 4.53 3.84 3.41 3.12 2.90 2.74 2.61 2.51 2.42 2.35 2.29 2.24 2.19 2.15 2.11 2.08 2.05 2.03 2.01 1.98 1.96 1.95 1.93 1.91 1.90 1.89 1.79 1.70 1.65 1.63 1.61 1.52

4 4.37 3.67 3.23 2.93 2.71 2.54 2.41 2.30 2.21 2.13 2.07 2.01 1.96 1.92 1.88 1.84 1.81 1.78 1.76 1.73 1.71 1.69 1.67 1.66 1.64 1.62 1.51 1.39 1.33 1.28 1.26 1.00

Critical Values of the F Distribution (" = .01)

df within 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 80 100 120 4

1 16.26 13.75 12.25 11.26 10.56 10.04 9.65 9.33 9.07 8.86 8.68 8.53 8.40 8.29 8.18 8.10 8.02 7.95 7.88 7.82 7.77 7.72 7.68 7.64 7.60 7.56 7.31 7.08 6.96 6.90 6.85 6.64

2 13.27 10.92 9.55 8.65 8.02 7.56 7.21 6.93 6.70 6.51 6.36 6.23 6.11 6.01 5.93 5.85 5.78 5.72 5.66 5.61 5.57 5.53 5.49 5.45 5.42 5.39 5.18 4.98 4.88 4.82 4.79 4.61

3 12.06 9.78 8.45 7.59 6.99 6.55 6.22 5.95 5.74 5.56 5.42 5.29 5.18 5.09 5.01 4.94 4.87 4.82 4.76 4.72 4.68 4.64 4.60 4.57 4.54 4.51 4.31 4.13 4.04 3.98 3.95 3.78

4 11.39 9.15 7.85 7.01 6.42 5.99 5.67 5.41 5.21 5.04 4.89 4.77 4.67 4.58 4.50 4.43 4.37 4.31 4.26 4.22 4.18 4.14 4.11 4.07 4.04 4.02 3.83 3.65 3.56 3.51 3.48 3.32

df between 5 6 7 10.97 10.67 10.46 8.75 8.47 8.26 7.46 7.19 6.99 6.63 6.37 6.18 6.06 5.80 5.61 5.64 5.39 5.20 5.32 5.07 4.89 5.06 4.82 4.64 4.86 4.62 4.44 4.69 4.46 4.28 4.56 4.32 4.14 4.44 4.20 4.03 4.34 4.10 3.93 4.25 4.01 3.84 4.17 3.94 3.77 4.10 3.87 3.70 4.04 3.81 3.64 3.99 3.76 3.59 3.94 3.71 3.54 3.90 3.67 3.50 3.85 3.63 3.46 3.82 3.59 3.42 3.78 3.56 3.39 3.75 3.53 3.36 3.73 3.50 3.33 3.70 3.47 3.30 3.51 3.29 3.12 3.34 3.12 2.95 3.26 3.04 2.87 3.21 2.99 2.82 3.17 2.96 2.79 3.02 2.80 2.64

8 10.29 8.10 6.84 6.03 5.47 5.06 4.74 4.50 4.30 4.14 4.00 3.89 3.79 3.71 3.63 3.56 3.51 3.45 3.41 3.36 3.32 3.29 3.26 3.23 3.20 3.17 2.99 2.82 2.74 2.69 2.66 2.51

12 9.89 7.72 6.47 5.67 5.11 4.71 4.40 4.16 3.96 3.80 3.67 3.55 3.46 3.37 3.30 3.23 3.17 3.12 3.07 3.03 2.99 2.96 2.93 2.90 2.87 2.84 2.66 2.50 2.42 2.37 2.34 2.19

24 9.47 7.31 6.07 5.28 4.73 4.33 4.02 3.78 3.59 3.43 3.29 3.18 3.08 3.00 2.92 2.86 2.80 2.75 2.70 2.66 2.62 2.58 2.55 2.52 2.49 2.47 2.29 2.12 2.03 1.98 1.95 1.79

4 9.02 6.88 5.65 4.86 4.31 3.91 3.60 3.36 3.17 3.01 2.87 2.75 2.65 2.57 2.49 2.42 2.36 2.31 2.26 2.21 2.17 2.13 2.10 2.07 2.04 2.01 1.81 1.60 1.50 1.43 1.38 1.00

Critical Values of the t Distribution

df 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 80 100 120 4

0.2 (0.1) 1.476 1.440 1.415 1.397 1.383 1.372 1.363 1.356 1.350 1.345 1.341 1.337 1.333 1.330 1.328 1.325 1.323 1.321 1.319 1.318 1.316 1.315 1.314 1.313 1.311 1.310 1.303 1.299 1.296 1.292 1.290 1.289 1.282

2-tailed testing / (1-tailed testing) 0.1 0.02 0.05 0.01 (0.025) (0.005) (0.05) (0.01) 2.015 2.571 3.365 4.032 1.943 2.447 3.143 3.707 1.895 2.365 2.998 3.499 1.860 2.306 2.896 3.355 1.833 2.262 2.821 3.250 1.812 2.228 2.764 3.169 1.796 2.201 2.718 3.106 1.782 2.179 2.681 3.055 1.771 2.160 2.650 3.012 1.761 2.145 2.624 2.977 1.753 2.131 2.602 2.947 1.746 2.120 2.583 2.921 1.740 2.110 2.567 2.898 1.734 2.101 2.552 2.878 1.729 2.093 2.539 2.861 1.725 2.086 2.528 2.845 1.721 2.080 2.518 2.831 1.717 2.074 2.508 2.819 1.714 2.069 2.500 2.807 1.711 2.064 2.492 2.797 1.708 2.060 2.485 2.787 1.706 2.056 2.479 2.779 1.703 2.052 2.473 2.771 1.701 2.048 2.467 2.763 1.699 2.045 2.462 2.756 1.697 2.042 2.457 2.750 1.684 2.021 2.423 2.704 1.676 2.009 2.403 2.678 1.671 2.000 2.390 2.660 1.664 1.990 2.374 2.639 1.660 1.984 2.364 2.626 1.658 1.980 2.358 2.617 1.645 1.960 2.327 2.576

0.001 (0.0005) 6.869 5.959 5.408 5.041 4.781 4.587 4.437 4.318 4.221 4.140 4.073 4.015 3.965 3.922 3.883 3.850 3.819 3.792 3.768 3.745 3.725 3.707 3.690 3.674 3.659 3.646 3.551 3.496 3.460 3.416 3.390 3.373 3.291

Critical Values of the Studentized Range Statistic1dfWG 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 24 30 40 60 120 4 " .05 .01 .05 .01 .05 .01 .05 .01 .05 .01 .05 .01 .05 .01 .05 .01 .05 .01 .05 .01 .05 .01 .05 .01 .05 .01 .05 .01 .05 .01 .05 .01 .05 .01 .05 .01 .05 .01 .05 .01 .05 .01 .05 .01 2 3.64 5.70 3.46 5.24 3.34 4.95 3.26 4.75 3.20 4.60 3.15 4.48 3.11 4.39 3.08 4.32 3.06 4.26 3.03 4.21 3.01 4.17 3.00 4.13 2.98 4.10 2.97 4.07 2.96 4.05 2.95 4.02 2.92 3.96 2.89 3.89 2.86 3.82 2.83 3.76 2.80 3.70 2.77 3.64 3 4.60 6.98 4.34 6.33 4.16 5.92 4.04 5.64 3.95 5.43 3.88 5.27 3.82 5.15 3.77 5.05 3.73 4.96 3.70 4.89 3.67 4.84 3.65 4.79 3.63 4.74 3.61 4.70 3.59 4.67 3.58 4.64 3.53 4.55 3.49 4.45 3.44 4.37 3.40 4.28 3.36 4.20 3.31 4.12 4 5.22 7.80 4.90 7.03 4.68 6.54 4.53 6.20 4.41 5.96 4.33 5.77 4.26 5.62 4.20 5.50 4.15 5.40 4.11 5.32 4.08 5.25 4.05 5.19 4.02 5.14 4.00 5.09 3.98 5.05 3.96 5.02 3.90 4.91 3.85 4.80 3.79 4.70 3.74 4.59 3.68 4.50 3.63 4.40 Number of Groups 5 6 7 5.67 6.03 6.33 8.42 8.91 9.32 5.30 5.63 5.90 7.56 7.97 8.32 5.06 5.36 5.61 7.01 7.37 7.68 4.89 5.17 5.40 6.62 6.96 7.24 4.76 5.02 5.24 6.35 6.66 6.91 4.65 4.91 5.12 6.14 6.43 6.67 4.57 4.82 5.03 5.97 6.25 6.48 4.51 4.75 4.95 5.84 6.10 6.32 4.45 4.69 4.88 5.73 5.98 6.19 4.41 4.64 4.83 5.63 5.88 6.08 4.37 4.59 4.78 5.56 5.80 5.99 4.33 4.56 4.74 5.49 5.72 5.92 4.30 4.52 4.70 5.43 5.66 5.85 4.28 4.49 4.67 5.38 5.60 5.79 4.25 4.47 4.65 5.33 5.55 5.73 4.23 4.45 4.62 5.29 5.51 5.69 4.17 4.37 4.54 5.17 5.37 5.54 4.10 4.30 4.46 5.05 5.24 5.40 4.04 4.23 4.39 4.93 5.11 5.26 3.98 4.16 4.31 4.82 4.99 5.13 3.92 4.10 4.24 4.71 4.87 5.01 3.86 4.03 4.17 4.60 4.76 4.88 8 6.58 9.67 6.12 8.61 5.82 7.94 5.60 7.47 5.43 7.13 5.30 6.87 5.20 6.67 5.12 6.51 5.05 6.37 4.99 6.26 4.94 6.16 4.90 6.08 4.86 6.01 4.82 5.94 4.79 5.89 4.77 5.84 4.68 5.69 4.60 5.54 4.52 5.39 4.44 5.25 4.36 5.12 4.29 4.99 9 6.80 9.97 6.32 8.87 6.00 8.17 5.77 7.68 5.59 7.33 5.46 7.05 5.35 6.84 5.27 6.67 5.19 6.53 5.13 6.41 5.08 6.31 5.03 6.22 4.99 6.15 4.96 6.08 4.92 6.02 4.90 5.97 4.81 5.81 4.72 5.65 4.63 5.50 4.55 5.36 4.47 5.21 4.39 5.08 10 6.99 10.24 6.49 9.10 6.16 8.37 5.92 7.86 5.74 7.49 5.60 7.21 5.49 6.99 5.39 6.81 5.32 6.67 5.25 6.54 5.20 6.44 5.15 6.35 5.11 6.27 5.07 6.20 5.04 6.14 5.01 6.09 4.92 5.92 4.82 5.76 4.73 5.60 4.65 5.45 4.56 5.30 4.47 5.16

1

This table is abridged from Table 29 in E.S. Pearson and H.O. Hartley (Eds.), Biometrika tables for statisticians (3rd ed., Vol 1), Cambridge University Press, 1970.

Critical Values of the Dunnett Test2

n 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 24 30 40 60

" .05 .01 .05 .01 .05 .01 .05 .01 .05 .01 .05 .01 .05 .01 .05 .01 .05 .01 .05 .01 .05 .01 .05 .01 .05 .01 .05 .0l .05 .01 .05 .01 .05 .0l .05 .0l .05 .01 .05 .01

2 2.57 4.03 2.45 3.71 2.36 3.50 2.31 3.36 2.26 3.25 2.23 3.17 2.20 3.11 2.18 3.05 2.16 3.01 2.14 2.98 2.13 2.95 2.12 2.92 2.11 2.90 2.10 2.88 2.09 2.86 2.09 2.85 2.06 2.80 2.04 2.75 2.02 2.70 2.00 2.66

3 3.03 4.63 2.86 4.21 2.75 3.95 2.67 3.77 2.61 3.63 2.57 3.53 2.53 3.45 2.50 3.39 2.48 3.33 2.46 3.29 2.44 3.25 2.42 3.22 2.41 3.19 2.40 3.17 2.39 3.15 2.38 3.13 2.35 3.07 2.32 3.01 2.29 2.95 2.27 2.90

Number of Groups, Including Control Group 4 5 6 7 8 3.29 3.48 3.62 3.73 3.82 4.98 5.22 5.41 5.56 5.69 3.10 3.26 3.39 3.49 3.57 4.51 4.71 4.87 5.00 5.10 2.97 3.12 3.24 3.33 3.41 4.21 4.39 4.53 4.64 4.74 2.88 3.02 3.13 3.22 3.29 4.00 4.17 4.29 4.40 4.48 2.81 2.95 3.05 3.14 3.20 3.85 4.01 4.12 4.22 4.30 2.76 2.89 2.99 3.07 3.14 3.74 3.88 3.99 4.08 4.16 2.72 2.84 2.94 3.02 3.08 3.65 3.79 3.89 3.98 4.05 2.68 2.81 2.90 2.98 3.04 3.58 3.71 3.81 3.89 3.96 2.65 2.78 2.87 2.94 3.00 3.52 3.65 3.74 3.82 3.89 2.63 2.75 2.84 2.91 2.97 3.47 3.59 3.69 3.76 3.83 2.61 2.73 2.82 2.89 2.95 3.43 3.55 3.64 3.71 3.78 2.59 2.71 2.80 2.87 2.92 3.39 3.51 3.60 3.67 3.73 2.58 2.69 2.78 2.85 2.90 3.36 3.47 3.56 3.63 3.69 2.56 2.68 2.76 2.83 2.89 3.33 3.44 3.53 3.60 3.66 2.55 2.66 2.75 2.81 2.87 3.31 3.42 3.50 3.57 3.63 2.54 2.65 2.73 2.80 2.86 3.29 3.40 3.48 3.55 3.60 2.51 2.61 2.70 2.76 2.81 3.22 3.32 3.40 3.47 3.52 2.47 2.58 2.66 2.72 2.77 3.15 3.25 3.33 3.39 3.44 2.44 2.54 2.62 2.68 2.73 3.09 3.19 3.26 3.32 3.37 2.41 2.51 2.58 2.64 2.69 3.03 3.12 3.19 3.25 3.29

9 3.90 5.80 3.64 5.20 3.47 4.82 3.35 4.56 3.26 4.37 3.19 4.22 3.14 4.11 3.09 4.02 3.06 3.94 3.02 3.88 3.00 3.83 2.97 3.78 2.95 3.74 2.94 3.71 2.92 3.68 2.90 3.65 2.86 3.57 2.82 3.49 2.77 3.41 2.73 3.33

10 3.97 5.89 3.71 5.28 3.53 4.89 3.41 4.62 3.32 4.43 3.24 4.28 3.19 4.16 3.14 4.07 3.10 3.99 3.07 3.93 3.04 3.88 3.02 3.83 3.00 3.79 2.98 3.75 2.96 3.72 2.95 3.69 2.90 3.61 2.86 3.52 2.81 3.44 2.77 3.37

2

This table is abridged from C.W. Dunnett, New tables for multiple comparisons with a control, Biometrics, 1964, 482-491.