Capítulo2

CORRELACIONES DE LA TRANSFERENCIA DE CALOR CONVECTIVA.

La transferencia convectiva de calor fue tratada desde un punto de vista analítico en el capitulo 3. Mientras que el enfoque analítico es muy importante, puede no ofrecer una solución practica a cada problema. Hay muchas situaciones para las cuales ningún modelo matemático ha sido aplicado exitosamente. Aun en esos casos para los cuales una solución analítica es posible, es necesario verificar los resultados por experimentos. En este capitulo, presentaremos algunas de las correlaciones más útiles de datos experimentales de transferencia de calor disponibles. La mayoría de las correlaciones están en la forma indicada por el análisis dimensional.

Las secciones que siguen incluyen discusiones y correlaciones para convección natural, convección forzada para flujo interno, y convección forzada para flujo externo, respectivamente. En cada caso, aquellas relaciones analíticas las cuales estén disponibles, son presentadas junto con la relación empírica más satisfactoria para una geometría particular y condiciones de flujo.

4.1.- Convección natural.

El mecanismo de transferencia de energía por convección natural incluye el movimiento de un fluido pasando una frontera sólida lo cual es el resultado de una diferencia de densidades resultante del intercambio de energía. Debido a esto, es completamente natural que los coeficientes de transferencia de calor y sus ecuaciones correlacionantes variaran con la geometría de un sistema dado.

Placas Verticales. El sistema de convección natural mas adecuado para tratamiento analítico es el de un fluido adyacente a una pared vertical.

La nomenclatura estándar para una consideración bidimensional de convección natural adyacente a una superficie plana vertical es indicada en la figura 4.1. La dirección x es comúnmente tomada a lo largo de la pared, con y medida normal a la superficie plana.

198

Figura 4.1.- Sistema de coordenadas para el análisis de la convección natural adyacente a una pared vertical calentada.

Schimidit and Beckman midieron la temperatura y velocidad del aire a diferentes localizaciones cerca de una placa vertical y encontraron una variación significante en ambas cantidades a lo largo de la dirección paralela a la placa. La variación de velocidad y temperatura para una placa vertical 12.5 cm de altura son mostrados en las figuras 4.2 y 4.3 para las condiciones Ts =65 C y = 15 C.

Los dos casos limitantes para paredes planas verticales son aquellos con temperatura de superficie constante y con flujo de calor en la pared constante. El primero de esos casos ha sido resuelto por Ostrach y el último por Sparrow y Gregg.

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Figura 4.2.- Distribución de velocidad en la cercanía de un plato vertical calentado en aire.

Figura 4.3.- Distribución de temperatura en la cercanía de un plato vertical calentado en aire.

Ostrach, empleando una transformación de similaridad con las ecuaciones gobernantes de conservación de masa, movimiento y energía, en una capa límite de convección libre, obtuvo una expresión para el número de Nusselt local de la forma:

(4.1)

El coeficiente f(Pr) varia con el número de Prandtl, con valores dados en la tabla 4.1.

Tabla 4.1.- Valores del coeficiente f(Pr) para usarse en la ecuación (4.1)

Usualmente encontramos el número de Nusselt promedio, NuL, más valioso que Nux. Usando un procedimiento de integración, como fue discutido antes, una expresión para NuL pared ser determinada usando la ecuación (4.1). El coeficiente de transferencia de calor promedio para una superficie vertical de altura L, es relacionado al valor local de acuerdo a:

200

Insertando la ecuación (4.1), entonces:

En la forma adimensional se obtiene:

(4.2)

Los resultados de Sparrow y Gregg para el caso de flujo de calor en la pared constante, compara dentro del 5% a los resultados de Ostrach para valores similares de Pr. Las ecuaciones (4.1) y (4.2) junto con los coeficientes de la tabla 4.1, pueden ser usados, con exactitud razonable, para evaluar cualquier superficie plana vertical, independientemente de las condiciones de la pared, dado que el flujo de capa limite es laminar.

Las propiedades del flujo, siendo la temperatura dependiente, tendrán algún efecto sobre los resultados calculados. Es importante por eso que las propiedades involucradas en las ecuaciones (4.1) y (4.2) sean evaluadas a la temperatura de película:

Así como con convección forzada, el flujo turbulento también ocurrirá en capas limite de convección libre. Cuando la turbulencia esta presente, un enfoque analítico es muy difícil, y debemos confiar en correlaciones de datos experimentales.

La transición desde flujo laminar a turbulento, en capas límite de convección natural, adyacentes a placas planas verticales, ha sido determinada para ocurrir a, o cerca de:

(4.3)

Donde el subíndice t, indica transición. El producto GrPr es con frecuencia llamado Ra, el número de Rayleigh.

Churchill y Chu han correlacionado una gran cantidad de datos experimentales para convección natural adyacente a placas verticales sobre 13 órdenes de magnitud de Ra. Ellos proponen una ecuación simple para NuL que aplica a todos los fluidos.

201

(4.4)

Churchill y Chu muestran que esta ecuación proporciona resultados adecuados para flujos laminar y turbulento. Alguna mejora fue encontrada para el rango laminar (Ra < 10 9) usando la ecuación siguiente:

(4.5)

Cilindros Verticales.

Para el caso de cilindros con sus ejes verticales, las expresiones presentadas para superficies planas pueden ser usadas si los efectos de curvatura no son grandes. El criterio para esto es expresado en la ecuación (4.6); específicamente, un cilindro vertical puede ser evaluado usando correlaciones para paredes planas verticales cuando:

(4.6)

Físicamente, esto representa el limite cuando el grosor de la capa limite es pequeño relativo al diámetro del cilindro D.

Placas horizontales.

Las correlaciones sugeridas por Mc Adams son bien aceptadas para esta geometría. Una distinción se hace considerando si el fluido es caliente o frío, relativo a la superficie adyacente, y si la superficie es hacia arriba o hacia abajo. Es claro que la flotación inducida será muy diferente para una superficie caliente hacia arriba que hacia abajo. Las correlaciones de Mc Adams son, para una superficie caliente cara hacia arriba o una superficie fría hacia abajo:

(4.7)

(4.8)

y para una superficie caliente cara hacia abajo o superficie fría cara hacia arriba:

202

(4.9)

En cada una de estas ecuaciones correlacionantes la temperatura de película, Tf, debe ser usada para la evaluación de las propiedades de fluido. La escala de longitud, L, es la relación de área superficial a perímetro de la placa.

Para una superficie plana inclinada a un ángulo con la vertical, las ecuaciones (4.4) y (4.5) pueden ser usadas, con modificación, para valores de hasta 60 grados. Churchill y Chu sugieren reemplazar g por gcos en la ecuación (4.5) cuando el flujo de la capa limite es laminar. Con flujo turbulento, la ecuación (4.4) puede ser usada sin modificación.

Cilindros horizontales.

Con cilindros de longitud suficiente tal que los efectos finales son insignificantes, dos correlaciones son recomendadas. Churchill y Chu sugieren la siguiente correlación:

(4.10)

sobre el rango del numero de Rayleigh de Una ecuación mas simple ha sido sugerida por Morgan en términos de coeficientes variables:

(4.11)

donde los valores de c y n están especificados como funciones de RaD en la tabla 4.2

Tabla 4.2.- Valores de las constantes C y n en la ecuación (4.11).

Esferas. La correlación sugerida por Yuge es recomendada para el caso con Pr = 1 y 1<RaD <105.

203

(4.12)

Podemos notar que para la esfera, conforme Ra se aproxima a cero, la transferencia de calor desde la superficie a los alrededores es por conducción. Este problema puede ser resuelto para producir un valor limitante para Un igual a dos. Este resultado es obviamente compatible con la ecuación (4.12). (1, 3)

Estructuras Rectangulares. En la figura 4.4 se muestra la configuración y nomenclatura pertinente a estructuras rectangulares. Estos casos han sido mucho mas importantes en años recientes debido a su aplicación en colectores solares. Claramente, la transferencia de calor será afectada por el ángulo de inclinación, , por la relación de aspecto H/L y por los parámetros dimensionales usuales Pr y RaL.

Figura 4.4.- La estructura rectangular.

En cada una de las correlaciones que siguen, la temperatura de la de la superficie mas caliente de las dos superficies es designada como T1 y la superficie mas fría es la temperatura T2. Las propiedades del fluido son evaluadas a la temperatura de película T f = (T1 + T2)/2. El flujo de calor convectivo es expresado como:

(4.13)

Caso 1. Estructuras Horizontales, = 0

Con la superficie del fondo calentada al número de Rayleigh crítico ha sido determinada por varios investigadores que existe. Para casos donde:

204

Las condiciones dentro de una estructura son térmicamente inestables y la convección natural ocurrirá. Una correlación para este caso ha sido propuesta pro Dropkin en la forma:

(4.14)

Para el rango 3x10 5 <RaL <7x10 9

Cuando = 180 o, esto es, la superficie superior es calentada, o cuando RaL <1700, la transferencia de calor es por conducción, y así, NuL = 1.

Caso 2. Estructuras Verticales, = 90º.

Para las relaciones de aspecto menores a 10, Catton sugiere el uso de las siguientes correlaciones:

(4.15)

Cuando:

y ademas:

(4.26)

Para valores mayores de H/L, las correlaciones de MacGregor y Emery son recomendadas. Estas son:

(4.17)

Y

205

(4.18)

Para:

Caso 3. Estructuras Verticales Inclinadas, 0 < <90º.

Numerosas configuraciones han tratado con esta configuración. Las correlaciones para este caso, cuando la relación de aspecto H/L es grande y mayor que 12, son las siguientes:

(4.19)

Cuando H/L >12, 0<<70º. Al aplicar esta ecuación, cualquier término entre paréntesis con un valor negativo debe ser igualado a cero. La ecuación (4.19) fue sugerida por Holland y col. Con estructuras casi verticales Ayyaswany y Catton sugirió la relación:

(4.20)

Para todas las relaciones de aspecto, y 70 o < < 90º. El valor de = 70º es llamado el ángulo critico de inclinación para estructuras verticales con H/L > 12. Para relaciones de aspecto menores, el ángulo crítico de inclinación es también más pequeño.

Ejemplo 4.1.- Determine la temperatura superficial de un tanque cilíndrico midiendo 0.75 m de diámetro y 1.2 m de altura. El tanque contiene un transformador inmerso en un baño de aceite que produce una temperatura superficial uniforme. Toda la perdida de calor desde la superficie puede ser considerada debido a la convección natural al aire circundante a 295 K. La velocidad de disipación de calor desde el transformador es constante a 1.5 kW.

Las áreas superficiales son:

La transferencia de calor total es la suma de las contribuciones de las tres superficies. Esto puede ser escrito como:

206

Donde los subíndices t, b y s significan tope, fondo y lado, respectivamente y aplican a las superficies en cuestión. Reescribiendo esta expresión en términos de Un, tenemos:

Una complicación se presenta al resolver esta ecuación ya que la cantidad desconocida es la temperatura de superficie. El procedimiento a usar será prueba y error donde, inicialmente, se supone un valor de la temperatura superficial para la evaluación de propiedades y entonces resolver para T. Este nuevo valor para la temperatura superficial será entonces usado y el procedimiento continuara hasta que la temperatura resultante concuerda con el valor usado para encontrar las propiedades del fluido.

Para comenzar, suponemos que T superficie = 385 K. Las propiedades serán evaluadas a Tf = 340 K. Para aire a 340 K, = 1.955 x 10 -5 m2/s, k = 0.0293 W/(m K), =

2.8 x 10 -5 m2/s, Pr = 0.699, y

Para la superficie vertical:

De acuerdo a la ecuación (4.6) el efecto de la curvatura puede ser despreciado si:

En el presente caso, D/L = 0.75/1.2 =0.625, así, la superficie vertical será tratada usando la ecuación para una pared plana.

Los valores deben ahora ser determinados para Nut, Nub y Nus. Las ecuaciones (4.8), (4.9) y (4.4) serán empleadas. Los tres valores para Nu son determinados como sigue:

207

La solución para T es ahora:

Usando esto como el nuevo estimado para Tsuperficie, tenemos una temperatura de película, Tf

=338 K. Las propiedades del aire a esta temperatura son:

Los nuevos valores para Nu son:

El valor revisado para Ts es ahora:

208

El resultado es obviamente muy cercano y el resultado deseado para la temperatura de superficie es:

T = 381 K

4.2- Convección forzada para flujo interno.

Indudablemente el proceso de transferencia convectiva de calor mas importante desde un punto de vista industrial es el calentamiento o enfriamiento de un fluido que circula dentro de un conducto cerrado. La transferencia de momentum asociada con este tipo de flujo fue estudiada en el capitulo 3. Muchos de los conceptos y terminología de este capitulo serán usados en esta sección sin mas discusión.

La transferencia de energía asociada con la convección forzada dentro de conductos cerrados será considerada separadamente para flujo turbulento y laminar. El número crítico de Reynolds es 2300.

Flujo laminar.- La primera solución analítica para convección forzada en flujo laminar dentro de tubos fue formulada por Graetz en 1885. La suposición básica para las soluciones de Graetz es como sigue:

1.- El perfil de velocidad es parabólico y completamente desarrollado antes que cualquier intercambio de energía entre la pared del tubo y el fluido ocurre.

2.- Todas las propiedades del fluido son constantes.

3.- La temperatura superficial del tubo es constante a un valor Ts, durante la transferencia de energía.

Considerando el sistema como el mostrado en la figura 4.5, podemos escribir el perfil de velocidad como:

o, recordando que , podemos escribir:

(4.21)

209

Figura 4.5.- Condiciones de frontera y flujo para la solución de Graetz.

La forma aplicable de la ecuación de energía escrita en coordenadas cilíndricas, suponiendo

simetría radial, y despreciando (conducción axial) en comparación a la variación:

(4.22)

Sustituyendo ecuación (4.21) en la ecuación (4.22) resulta:

(4.23)

la cual es la ecuación a ser resuelta con las siguientes condiciones de frontera:

T = Tc a x = 0, para T = Ts a x > 0, r = R.

a x > 0, r = 0.

La solución de la ecuación (4.23) toma la forma:

(4.24)

Los términos cn, f(r/R), y n son todos coeficientes para ser evaluados usando condiciones de frontera apropiadas.

El argumento de la exponencial exclusive de n, esto es, , puede ser reescrito

como:

210

Recordando que vmax = 2vprom, podemos escribir:

(4.21)

La forma aplicable de la ecuación de energía escrita en coordenadas cilíndricas, suponiendo simetría radial y despreciando la conducción axial, en comparación a la variación radial en la temperatura es:

(4.22)

Sustituyendo la ecuación (4.21) para vx en la ecuación (4.22) da:

(4.23)

Esta es la ecuación a resolver, sujeta a las siguientes condiciones de frontera:

La solución para la ecuación (4.23) toma la forma:

(4.24)

Los términos cn, f(r/R), y n son todos coeficientes para ser evaluados usando condiciones de frontera apropiadas.

Los argumentos de la exponencial exclusiva de n, esto es,

, pueden ser reescritos como:

211

O, en términos de parámetros sin dimensiones:

El Producto de Re y Pr es con frecuencia referido como el número de Peclet. Otro parámetro encontrado en convección forzada laminar es el número de Graetz, Gz definido como:

Las soluciones detalladas de la ecuación (4.24) son encontradas en la literatura y Knudsen y Katz las resumieron bastante bien. La figura 4.6 presenta estos resultados de la solución de Graetz gráficamente para dos condiciones de frontera diferentes en la pared, siendo estas: 1.- una temperatura de pared constante y 2.- flujo de calor constante en la pared.

Figura 4.6.- Variación en el número local de Nusselt para el flujo laminar en tubos.

Los datos experimentales para flujo laminar en tubos han sido correlacionados por Seider y Tate por la expresión:

(4.25)

212

La relación de Seider y Tate es también mostrada en la figura 4.6 junto con los resultados de Graetz. Esos resultados no pueden ser comparados directamente ya que los resultados de Graetz producen valores locales de hx y la ecuación de Seider y Tate da valores promedio del coeficiente de transferencia de calor. La última parte de la ecuación (4.25), la relación de la viscosidad del fluido a la temperatura global media aritmética a aquella a la temperatura de la pared, toma en cuenta el efecto significante que la viscosidad variable del fluido tiene sobre la velocidad de transferencia de calor. Todas las propiedades restantes sin considerar son evaluadas a la temperatura global del fluido (1,2, 3, 4).

Flujo turbulento.- Cuando se considera el intercambio de energía entre la superficie de un conducto y un fluido en flujo turbulento, debemos usar correlaciones de datos experimentales como lo sugiere el análisis dimensional. Las tres ecuaciones mas usadas de esta naturaleza y las restricciones sobre su uso son como sigue:

Dittus y Boelter proponen la siguiente ecuación del tipo sugerido antes por el análisis dimensional, ecuación (3.109):

(4.26)

Donde:

1.- n = 0.4, si el fluido es calentado y n = 0.3 si el fluido es enfriado.2.- Todas las propiedades del fluido son evaluadas a la temperatura global media aritmética.3.- Los valores de ReD deben ser mayores a 100004.- Pr esta en el rango 0.7 < Pr<100.5.- L/D > 60

Colburn propuso una ecuación usando el número de Stanton St, en lugar de NuD

como esta relacionado en la ecuación (3.110). Su ecuación es:

(4.27)

Donde:

1.- ReD y Pr son evaluados a la temperatura de película, y St es evaluado a la temperatura global.

2.- ReD, Pr y L/D deben tener valores dentro de los siguientes límites:

ReD > 10000, 0.7 < Pr < 160 y L/D > 60.

Para tomar en cuenta fluidos con números de Prandtl elevados, tales como aceites, Seider y Tate proponen la ecuación.

213

(4.28)

Donde:

1.- Todas las propiedades del fluido, excepto w son evaluadas a la temperatura global.

2.- ReD > 100003.- 0.7 < Pr < 170004.- L/D > 60

De las tres ecuaciones presentadas, las primeras dos son usadas mas frecuentemente para aquellos fluidos cuyos números de Prandtl están dentro del rango especificado. La ecuación de Dittus-Boelter es más simple de usar que la ecuación de Colburn debido a la evaluación de las propiedades del fluido a la temperatura global.

Los siguientes ejemplos ilustran el uso de algunas de las expresiones presentadas en esta sección.

Ejemplo 4.2.- Un fluido hidráulico (MIL–M–5606), en flujo completamente desarrollado, fluye a través de un tubo de cobre de diámetro 2.5 cm y 0.61 m de largo, con una velocidad promedio de 0.05 m/s. El aceite entra a 295 K. Vapor condensa sobre la superficie exterior del tubo con un coeficiente efectivo de transferencia de calor de 11400 W/(m2 K.). Encuentre la velocidad de transferencia de calor del aceite.

Para evaluar las propiedades del aceite a ya sea la temperatura de película o la temperatura promedio global, necesitamos conocer la temperatura de salida del aceite, ecuación (3.176), que aplica en este caso.

(3.176)

Si la resistencia térmica de la pared del tubo de cobre es despreciable, la velocidad de transferencia de calor puede ser expresada como:

Para tener una indicación si el flujo es laminar o turbulento, suponemos una temperatura global del aceite de 300 K. El número de Reynolds a esta temperatura es:

214

y entonces el flujo es claramente laminar. El coeficiente de transferencia de calor sobre el lado del aceite puede entonces ser determinado usando la ecuación (4.25).

Inicialmente, la temperatura global del aceite y la temperatura de la pared serán supuestas para ser 300 K y 372 K respectivamente. Usando las propiedades de fluido a esas temperaturas, tenemos:

Sustituyendo en la ecuación (3.176), tenemos:

TL=372 -0.887(372 – 295) = 304 K

Con este valor de TL, la temperatura global promedio del aceite es:

El cual es suficientemente cercano a la suposición inicial tal que no se necesita iterar mas. Con una temperatura de salida de 304 K, la velocidad de transferencia de calor del aceite es:

215

Ejemplo 4.3.- Aire a 1 atmósfera y 290 K entra a un tubo de diámetro interno de 1.27 cm a una velocidad de 24 m/s. La temperatura de pared es mantenida a 372 K condensando vapor. Evaluar el coeficiente convectivo de transferencia de calor para esta situación si el tubo es 1.52 m de largo.

Como en el ejemplo previo, será necesario evaluar la temperatura del aire de salida por:

(3.176)

Para determinar el tipo de flujo primero evaluamos el número de Reynolds a la entrada del tubo.

El flujo es claramente turbulento y Re es suficientemente grande tal que las ecuaciones (4.26), (4.27) y (4.28) pueden ser usadas. La ecuación (4.27) será usada. Se supone una temperatura de salida de 360 K, la correspondiente temperatura global promedio es 325 K y Tf es 349 K. Ahora tenemos:

Sustituyendo en la ecuación (3.176), tenemos:

y el valor calculado de TL es:

TL = 372 – 0.129(372 – 290) = 361 K.

216

Este valor concuerda bastante con el valor de TL supuesto inicialmente, tal que no hay necesidad de efectuar mas cálculos. El coeficiente de transferencia de calor es ahora evaluado como:

Para flujo en pasos cortos, las correlaciones presentadas hasta ahora deben ser modificadas para tomar en cuenta los perfiles de temperatura y velocidad variables a lo largo del eje del flujo. Deissler ha analizado esta región para el caso de flujo turbulento. Las siguientes ecuaciones pueden ser usadas para modificar los coeficientes de transferencia de calor en pasos para los cuales L/D < 60.

Para 2 < L/D < 20:

(4.29)

y para 20 < L/D < 60

(4.30)

Ambas ecuaciones son aproximaciones relacionando los coeficientes apropiados hL en términos de , donde es el valor calculado para L/D > 60. (1, 2, 3, 4)

4.3.- Convección forzada para flujo externo.

Situaciones numerosas existen en la práctica en las cuales uno esta interesado en analizar o describir la transferencia de calor asociada con el flujo de un fluido pasando sobre la superficie exterior de un sólido. La esfera y cilindro son las formas de interés ingenieríl mayor, con transferencia de calor entre estas superficies y un fluido en flujo cruzado frecuentemente encontrados.

El lector recordara la naturaleza de del fenómeno de transferencia de momentum relativa al flujo externo. El análisis de tal flujo y de transferencia de calor en esas situaciones es complicado cuando el fenómeno de la separación de capa limite es encontrado. La separación ocurrirá en esos casos en los cuales existe un gradiente de presión adverso, tal condición existirá para la mayoría de de las situaciones de interés ingenieril.

217

Flujo paralelo a superficies planas.- Los resultados importantes son reportados aquí para referencia. Recordamos que, en este caso, los regimenes de flujo de capa limite son laminar para Rex < 2 x 105 y turbulento para 3 x 106 < Rex. Para el régimen laminar:

(3.140)

(3.141)

Con flujo turbulento en la capa limite, una aplicación de la analogía de Colburn:

(3.153)

Junto con la ecuación (2.145), se obtiene:

(4.31)

El número de Nusselt promedio puede ser calculado usando esta expresión para Nux. La expresión resultante es:

(4.32)

Las propiedades del fluido deben ser evaluadas a la temperatura de película al usar estas ecuaciones.

Cilindros en flujo cruzado.- Eckert y Soehngen evaluaron el número de Nusselt local en varias posiciones sobre superficie cilíndrica sobre la cual fluye una corriente de aire con un rango en número de Reynolds de 20 a 600. Sus resultados son mostrados en la figura 4.7. Un rango de numero de Reynolds mucho mayor fue investigado por Giedt cuyos resultados son mostrados en la figura 4.8.

218

Figura 4.7.- Números locales para flujo cruzado cerca del cilindro circular a números de Reynolds bajos.

Las figuras 4.7 y 4.8 muestran una variación ligera en el número de Nusselt cerca del punto de estancamiento. A números de Reynolds bajos, el coeficiente de película decrece casi continuamente desde el punto de estancamiento, la única desviación siendo una ligera elevación en la región de película separada del cilindro. A números de Reynolds altos, como se ilustra en la figura 4.7, el coeficiente de película alcanza un segundo máximo, el cual es mayor que el valor del punto de estancamiento. El segundo pico en el numero de Nusselt a numero de Reynolds elevado es debido al hecho que la capa limite sufre transición de flujo o laminar a turbulento. En las curvas del fondo de la figura 4.7, la capa limite laminar se separa del cilindro cerca de 80 grados del punto de estancamiento y no ocurre un gran cambio en el numero de Nusselt. El efecto del número de Reynolds elevado es doble. Primero, el punto de de separación se mueve pasando 90 grados conforme la capa límite llega a ser turbulenta, así, a menos del cilindro sea sumergido. Un segundo efecto es que el número de Nusselt alcanza un valor el cual es mayor que el valor del punto de estancamiento. El incremento es debido a la mayor conductancia de la capa limite turbulenta.

219

Figura 4.8.- Números locales de Nusselt para flujo cruzado cerca del cilindro circular a altos números de Reynolds.

Es completamente aparente de las figuras que el coeficiente convectivo de transferencia de calor varia en una manera compleja e irregular en el flujo externo alrededor de un cilindro. Es probable en la práctica, que un coeficiente promedio para el cilindro entero sea deseado. Mc Adams ha Graficadpo los datos de 13 investigaciones separadas para el flujo de aire normal a cilindros sencillos y encontró excelente concordancia cuando grafico NuD contra ReD. Su grafica es reproducida en la figura 4.9. Note que valores de NuD

son para Pr = 1. Para otros fluidos un factor de corrección debe ser empleado, por ejemplo:

Una corrección ampliamente usada para esos datos es de la forma:

(4.33)

220

Donde las constantes B y n son funciones de el número de Reynolds. Los valores de esas constantes son dados en la tabla 4.3. La temperatura de película es apropiada para la evaluación de propiedades físicas.

Figura 4.9.- Un contra Re para flujo normal en cilindros

Tabla 4.3.- Valores de B y n para usarse en la ecuación (4.33)

Churchil y Berenstein han recomendado una ecuación de corrección sencilla cubriendo condiciones para las cuales . Esta correlación es expresada como:

(4.34)

Esferas simples.- Coeficientes locales convectivos de transferencia de calor a varias posiciones relativas a continuar la corriente, a partir del punto de estancamiento, para un flujo pasando una esfera son graficados en la figura (4.10), siguiendo el trabajo de Cary.

221

Mc Adams ha graficado los datos de varios investigadores relacionando NuD contra ReD para aire fluyendo sobre esferas. Ver figura 4.11.

Figura 4.10.- Coeficientes de transferencia de calor locales para flujo pasando una esfera.

Una correlación reciente propuesta por Whitaker es recomendada para las siguientes condiciones:

Todas las propiedades son evaluadas a excepto para , el cual es el valor a la temperatura de superficie. La relación de Whitaker es:

(4.35)

Un caso importante es la caída de gotas líquidas, modeladas como esferas. La correlación de Rans y Marshall para este caso es:

(4.26)

222

Figura 4.11.- NuD contra ReD para flujos de aire pasando a través de esferas.

Bancos de tubos en flujo cruzado.- Cuando un número de tubos son colocados juntos en un banco, como podrían ser encontrados en un intercambiador de calor, el coeficiente efectivo de transferencia de calor es afectado por el arreglo y espaciamiento de los tubos, en adición de aquellos factores ya considerados para flujo pasando por un cilindro sencillo. Varios investigadores han hecho contribuciones significantes al análisis de esas configuraciones.

Ya que el flujo de fluidos a través y pasando un conjunto de tubos involucra una trayectoria de flujo irregular, algunos investigadores han escogido longitudes diferentes a D, el diámetro del tubo para usar en el calculo del numero de Reynolds. Uno de esos términos es el diámetro equivalente del conjunto de tubos Deq, definido como:

(4.37)

Donde SL es la distancia centro a centro entre tubos a lo largo de la dirección del flujo, ST es la distancia centro a centro entre tubos normales a la dirección del flujo y D es el diámetro externo del tubo.

Berglin, Colburn y Hull (1950) estudiaron el flujo de líquidos pasando conjuntos de tubos en la región de flujo laminar con 1 < Re < 1000. Sus resultados, graficados como

223

contra Re, para varias configuraciones, son presentados en la figura 4.12.

En esa figura todas las propiedades del fluido excepto w, son evaluadas a la temperatura global promedio.

Figura 4.12.- Intercambio de transferencia de calor convectiva entre líquidos con flujo laminar para tubos.

Para líquidos en flujo de transición a través de conjuntos de tubos, Bergelin, Brown y Doberstein (1952) extendieron el trabajo mencionado para cinco de los arreglos de tubos para incluir valores de Re hasta 10000. Sus resultados son presentados para transferencia de energía y el factor de fricción contra Re en la figura 4.13.

En adición al rango de números de Reynolds mayor, la figura 4.13 involucra Re calculados usando el diámetro del tubo D, como opuesto a la figura 20-12 en la cual D eq, definido por la ecuación (4.37), fue usado.

Temperatura equivalente a viento frío.- El lector esta indudablemente familiarizado con los reportes del tiempo donde, en adición a temperaturas del aire medidas, una indicación de cuan frío uno realmente siente es expresado como la temperatura equivalente de viento frío. Esta temperatura indica lo frío que el viento realmente lo hace sentir a uno; entre mas fuerte sopla el viento, mas frío se siente el viento por el cuerpo humano.

224

Figura 4.13.- Transferencia de energía y pérdida friccional para líquidos en flujo laminar y de transición en tubos.

La determinación de la temperatura equivalente de viento frío es un interesante ejemplo de los efectos combinados de transferencia convectiva de calor entre el cuerpo y el aire adyacente. Para una explicación completa del modelamiento usado en determinar esta cantidad, el lector es referido al artículo de Steadman, 1971. (1)

4.4.- Transferencia de convectiva de masa.

La transferencia de masa convectiva, , involucró el transporte de masa entre una superficie frontera y un fluido en movimiento o entre dos fluidos inmiscibles en movimiento separados por una interfase móvil.

En este capítulo, discutiremos la transferencia dentro de una fase simple donde la masa es intercambiada entre una superficie frontera y un fluido en movimiento, y el flujo esta relacionado a un coeficiente convectivo de transferencia de masa individual.

La ecuación de la velocidad para transferencia de masa convectiva, generalizada en una manera análoga a la ley de Newton del enfriamiento es:

225

Donde el flujo de masa, NA, es el flujo de masa molar de la especie A, medido relativo a coordenadas especiales fijas, es la diferencia de concentración entre concentración superficial de frontera y la concentración promedio de la especie que se difunde en la corriente de fluido en movimiento y kc es el coeficiente convectivo de transferencia de masa. Recordando la discusión del coeficiente convectivo de transferencia de calor, como fue definido por la ley de enfriamiento de Newton, debemos realizar la determinación del coeficiente convectivo de transferencia de masa, lo análogo, lo cual no es una empresa simple. Ambos, los coeficientes de transferencia de masa y calor, están relacionados a las propiedades del fluido, las características dinámicas del fluido que se mueve y la geometría del sistema especifico de interés.

A la luz de la cercana similaridad entre las ecuaciones de transferencia convectiva de masa y calor, usadas para definir esos dos coeficientes convectivos, podemos esperar que el tratamiento analítico del coeficiente de transferencia de calor pueda ser aplicado al análisis del coeficiente de transferencia de masa.

4.4.1.- Consideraciones fundamentales en la transferencia convectiva de masa.

Cuando la transferencia de masa involucra a un soluto disolviéndose en un fluido en movimiento, el coeficiente convectivo de transferencia de masa es definido por: NA = kc(CAs – CA) (4.38)

En esta ecuación, el flujo NA representa los moles de soluto A, abandonando la interfase por tiempo unitario y área interfacial unitaria. La composición del soluto en el fluido en la interfase, CA, es la composición del fluido si estuviera en equilibrio con el soluto sólido a la temperatura y presión del sistema. La cantidad CA representa la composición en algún punto dentro de la fase fluida. Por ejemplo, si una concentración de capa fronteriza es definida, CA puede ser elegido como la concentración del componente A, en el extremo de la capa límite y ser expresado como Cinfinito. Si el flujo estuviera en un conducto cerrado, la concentración CA seria la composición global o la composición de mezclado, o sea una composición promedio del flujo global.

La transferencia de masa a velocidad de estado estacionario, desde un sólido a la corriente gaseosa es descrita por una ecuación idéntica a la (4.38) con la composición del soluto en términos de la concentración en fase gaseosa.

Ejemplo 4.4.- El aire fluye sobre una placa sólida de dióxido de carbono congelado, hielo seco, con una superficie expuesta de 1 x 10-3 m2. El dióxido de carbono. El dióxido de carbono sublima en la corriente que fluye a 2 m/s a una velocidad de liberación total de 2.29 x 10-4 mol/seg. El aire se encuentra a 293 K y 1.013 x 105 Pa de presión. A esa temperatura, la difusividad del dióxido de carbono en el aire es 1.5 x 10-5 m2/s y la viscosidad cinemática del aire es 1.55 x 10-5 m2/s.

226

Determine el valor del coeficiente de transferencia de masa del CO2 sublimando hacia el aire que fluye a las condiciones de los experimentos.

Por la ecuación (4.38) NA = kc(CAs – CA), consecuentemente.

A 293 K y 1.013 x 105 Pa.

Si suponemos que = 0,

De nuestras discusiones anteriores tratando con un fluido circulando sobre una superficie. Podemos recordar que las partículas de fluido adyacentes inmediatamente a la frontera sólida son estacionarias, y una capa delgada de fluido próxima a la superficie estará en flujo laminar independientemente de la naturaleza de la corriente libre. La transferencia de masa proceso convectivo. Si el flujo del fluido es laminar, todo el transporte entre la superficie y el fluido que se mueve será por mecanismos moleculares. Si, por otra parte, el flujo es turbulento, la masa será transportada por los remolinos presentes dentro del núcleo turbulento de la corriente. Como en el caso de la transferencia de calor, velocidades de transferencia de calor mas elevadas, están asociadas con condiciones turbulentas. La distinción entre flujo laminar y turbulento, será una consideración importante en cualquier situación convectiva.

La capa limite hidrodinámica, juega un mayor papel en la transferencia de masa convectiva. Adicionalmente, definiremos y analizaremos la capa límite de concentración, la cual será vital para el análisis del proceso de transferencia de masa convectiva. Esta capa es similar, pero no necesariamente igual en grosor a la capa limite térmica.

Existen cuatro métodos para evaluar coeficientes convectivos de transferencia de masa, los cuales serán discutidos en este capitulo. Ellos son:

1.- Análisis dimensional acoplado con experimentos.2.- Análisis exacto de la capa limite laminar.3.- Análisis aproximado de la capa limite.4.- Analogías entre las transferencias de momentum, calor y masa.

227

Cada uno de estos métodos será considerado en las secciones que siguen.

4.4.2.- Parámetros importantes en la transferencia convectiva de masa.

Parámetros adimensionales son usados frecuentemente para correlacionar datos de transporte convectivo. En transferencia de momentum encontramos los números de Reynolds y de Euler. En la correlación de datos de transferencia de calor convectiva, los números de Nusselt y Prandtl fueron importantes. Algunos de los mismos parámetros, junto con algunas relaciones adimensionales definidas nuevas, serán usadas en la correlación de datos de transferencia de masa convectiva. En esta sección, consideraremos la interpretación física de tres relaciones.

La difusividad molecular de los tres fenómenos de transporte ha sido definida como:

Difusividad de momentum;

Difusividad térmica;

Difusividad de Masa: DAB

Como hemos notado antes, cada una de las dimensiones tiene las dimensiones de

, así, una relación de cualesquier dos de estos parámetros debe ser adimensional. La

relación de la difusividad molecular de momentum a la difusividad molecular de masa es designada el número de Schmidt.

(4.39)

El número de Schmidt juega un papel en transferencia convectiva de masa análogo a aquel del número de Prandtl en transferencia convectiva de calor. La relación de la difusividad térmica a la difusividad molecular de masa es designada como el número de Lewis:

(4.40)

El número de Lewis es encontrado cuando un proceso involucra la transferencia convectiva simultánea de masa y calor. Los números de Lewis y de Schmidt son vistos como combinación de propiedades de fluido, así, cada número puede ser tratado como una propiedad del sistema en difusión.

Considere la transferencia de masa del soluto A desde un sólido a un fluido circulando sobre la superficie del sólido. El perfil de concentración es ilustrado en la figura 4.14. Para tal caso, la transferencia de masa entre la superficie y el fluido puede ser escrito como:

228

(4.41)

Figura 4.14.- Perfiles de concentración y velocidad para fluidos en superficies sólidos.

Como la transferencia de masa en la superficie es por difusión molecular, la transferencia de masa puede también ser descrita como:

Cuando la concentración de frontera, CAs, es constante, esta ecuación se simplifica a:

(4.42)

Las ecuaciones (4.41) y (4.42) pueden ser igualadas, ya que definen el mismo flujo del componente A dejando la superficie y entrando al fluido. Esto da la relación:

= (4.42)

Esto puede ser rearreglado en la siguiente forma:

(4.43)

Multiplicando ambos lados de la ecuación (4.43) por una longitud característica L, obtenemos la siguiente expresión adimensional.

(4.44)

El lado derecho de la ecuación (4.44) es la relación del gradiente de concentración en la superficie a un gradiente de concentración de referencia o total. De acuerdo a esto, puede

229

ser considerado una relación de la resistencia al transporte molecular de masa a la resistencia al transporte de masa convectiva del fluido. Esta relación es llamada como el número de Sherwood, Sh. Ya que el desarrollo de la ecuación (4.44) es semejante al de la ecuación (3.106) para el número de Nusselt, encontrado en la transferencia convectiva de calor, la relación ha sido también referida como el número de Nusselt de transferencia de masa, NuAB.

Estos tres parámetros, Sc, Sh y Le serán encontrados en el análisis de la transferencia convectiva de masa en lo que sigue.

Ejemplo 4.5.- Determine el número de Schmidt para el metanol en el aire, a 298 K y 1.013 x 105 Pa en agua líquida a 298 K.

A 298 K, la difusividad del metanol en el aire puede ser evaluada usando valores reportados

La viscosidad cinemática del aire es:

Consecuentemente, el número de Schmidt del metanol en el aire es:

La difusividad en fase líquida del metanol a 298 K esta reportada en la literatura como 1.28x10-9 m2/s. Este valor puede ser usado para encontrar la difusividad en fase líquida a 298 K por:

230

Los valores de la viscosidad fueron obtenidos de la literatura técnica. El valor de la viscosidad cinemática del agua líquida a 298 K es 0.912x10-6 m2/s; así el número de Schmidt para el metanol en agua líquida es:

4.4.3 .- Análisis Dimensional de la Transferencia Convectiva de Masa.

El análisis adimensional predice los diversos parámetros adimensionales que son útiles para correlacionar datos experimentales. Existen dos procesos de transferencia de masa importantes los cuales consideraremos, transferencia de masa hacia una corriente fluyendo bajo convección forzada y transferencia de masa hacia una fase moviéndose bajo condiciones de convección natural.

Transferencia en una corriente fluyendo bajo convección forzada. Considere la transferencia de masa desde las paredes de un conducto circular a un fluido circulando a través del tubo. La transferencia es un resultado de la fuerza impulsora de concentración (CAs – CA). Las variables importantes, sus símbolos, y su representación dimensional son listadas aquí.

Las variables de arriba incluyen términos descriptivos del sistema de geometría, la velocidad del fluido, las propiedades del fluido, y la cantidad que es de primer interés, kc.

231

Por el método de Buckingham, de agrupar las variables, podemos determinar que habra tres grupos adimensionales, con DAB, y D, como las variables del núcleo. Los tres grupos a encontrar son:

Escribiendo 1 en forma dimensional:

Igualando los exponentes de las dimensiones fundamentales sobre ambos lados de la ecuación, tenemos,

L: 0 = 2ª - 3b + c + 1

t: 0 = -a -1M: 0 = b

La solución de estas ecuaciones para los tres exponentes incógnitas produce:

A = -1, b = 0, c = 1.

Así, el cuál es el número de Sherwood, Sh o su equivalente, el número de Nusselt

de transferencia de masa, NuAB. Los otros dos grupos , se determinan de la misma manera, obteniéndose:

El número de Schmidt. Dividiendo entre 3 obtenemos:

El número de Reynolds. El resultado del análisis dimensional de transferencia de masa por convección forzada en un conducto circular indica una correlación podría ser de la forma:

232

Sh = NuAB = f(Re, Sc)

Esto es análogo a la correlación de transferencia de calor.

Un = f(Re, Pr)

4.4.4.- Transferencia hacia una fase cuyo movimiento es debido a la convección natural.

Las corrientes de convección natural se desarrollarán si existe cualquier variación en densidad dentro de una fase líquida o gaseosa. Las variaciones de densidad pueden ser debidas a diferencias en temperatura o a diferencias de temperatura relativamente grandes.

En el caso de convección natural incluyendo transferencia de masa desde una placa plana vertical hacia un fluido adyacente, las variables serán diferentes de aquellas usadas en el análisis de convección forzada. Las variables importantes, sus símbolos, y representaciones adimensionales son listados abajo.

Por el teorema de Pi Buckinham, habrá tres grupos adimensionales. Con DAB, L y como el núcleo de variables, los tres grupos para ser formados son:

Resolviendo para los tres grupos , obtenemos:

El numero de Sherwood.

233

El reciproco del numero de Sherwood y

Multiplicando y obtenemos un parámetro el cual es análogo al número de Grashoff en transferencia de calor con convección natural.

=

El resultado del análisis dimensional de transferencia de masa con convección natural sugiere una correlación de la forma:

Sh = f(GrAB, Sc)

Tanto para convección natural como forzada, las relaciones han sido obtenidas por análisis dimensional, el cual sugiere que una correlación de datos experimentales puede estar en términos de esas variables en lugar del conjunto original. Así la reducción en variables ha ayudado a los investigadores quienes han sugerido correlaciones de esas formas a proporcionar muchas de las ecuaciones empíricas reportadas en el capitulo 30. (1, 2, 3, 4)

4.4.5.- Análisis exacto de la capa limite laminar de concentración.

Blassius desarrolló una solución exacta de la capa límite hidrodinámica para flujo laminar paralelo a la superficie plana. En una manera exactamente análoga, debemos extender la solución de Blassius para extender la transferencia convectiva de masa para la misma geometría y flujo laminar.

Las ecuaciones de capa límite consideradas en la transferencia de momentum estado estacionario, incluyeron las ecuaciones de continuidad incompresibles y bidimensionales.

y las ecuaciones de movimiento en la dirección x para presión y viscosidad constante,

234

Para la capa límite térmica, la ecuación describiendo la transferencia de energía, en un flujo estacionario, incompresible, bidimensional e isobárico, con difusividad térmica constante, es:

(4.45)

Una ecuación diferencial análoga aplica a la transferencia de masa dentro de una capa limite de concentración, si no ocurre producción de un componente que se difunde, y

si la segunda derivada de CA con respecto a x, es muy pequeña en magnitud

comparada con la segunda derivada de CA con respecto a y. Esta ecuación, escrita para flujo estacionario, incompresible y bidimensional con difusividad de masa constante es:

La capa límite de concentración es mostrada en la figura 4.15. Las siguientes son las condiciones de frontera para las tres capas limite.

Figura 4.15.- Capa límite de concentración para flujo laminar sobre un plato plano.

Momentum:

a y = 0 y a y =

O como la velocidad en la dirección x en la pared, vxs es cero,

en y = 0, y en y =

en y = 0, y en y =

235

en y = 0, y en y =

Las ecuaciones (3,42), (3.130) y (4.45) pueden ser escritas en términos de las siguientes relaciones adimensionales de concentración, temperatura y velocidad.

+ =

o bien, si definimos:

Con las condiciones de frontera V = 0 a y = 0 y V = 1 a y =

Y similarmente si

Con las condiciones de frontera en y = 0, y , en y =

Y si definimos:

Con las condiciones de frontera C = 0, a y = 0 y C = 1, a y =

236

La similaridad en las tres ecuaciones diferenciales, (3.43), (3.130) y (4.45) y las condiciones de frontera sugieren que soluciones similares deben ser obtenidas para los tres fenómenos de transferencia. En el capítulo 3 la solución de Blassius para la ecuación (3.42) fue modificada y exitosamente aplicada para explicar transferencia de calor convectiva cuando la relación de la difusividad térmica al momentum es . El mismo tipo de solución debe también describir la transferencia de masa convectiva cuando la relación de las difusividades de masa a momentum .

(4.46)

y

(4.47)

La solución de Blasius para la capa límite de momentum.

Sugiere una solución análoga para la capa límite de concentración:

(4.48)

La ecuación (4.48) puede ser re arreglada para obtener una expresión para el gradiente de concentración en la superficie:

(4.49)

Es importante recordar que la solución de Blasius para la ecuación (3.42) no involucro una velocidad en la dirección y en la superficie. De acuerdo con esto, la ecuación (4.49) involucra la importante suposición de que la velocidad a la cuál la masa entra o sale de la capa límite en la superficie es tan pequeña que no altera el perfil de velocidad predicho por la solución de Blasius.

Cuando la velocidad en la dirección y en la superficie, vy es esencialmente cero, el término de contribución global en la ecuación de Fick, para el flujo de masa en la dirección y es también cero. La transferencia de masa desde la superficie plana hacia la capa límite laminar es descrito por:

237

(4.50)

Sustituyendo la ecuación (4.49) en la ecuación (4.50) obtenemos:

o bien:

(4.51)

El flujo de masa del componente que se difunde fue definido en términos del coeficiente de transferencia de masa por:

(4.41)

Los lados derechos de las ecuaciones (4.51) y (4.41) pueden ser igualados para dar:

o bien:

(4.52)

La ecuación (4.52) es restringida a sistemas con numero de Schmidt, Sc, de uno, y bajas velocidades de transferencia de masa entre la placa plana y la capa límite.

Una representación gráfica de la solución para la ecuación de capa límite de concentración ecuación (4.45) por Hartnett y Eckert es ilustrada en la figura 4.16. Las curvas representando valores positivos y negativos de los parámetros de la superficie de

frontera son mostradas. Los valores positivos aplican cuando la transferencia de

masa desde la placa plana es hacia la capa límite y los valores negativos describen la transferencia de masa desde el fluido a la placa. Conforme estos parámetros de la superficie fronteriza se acercan a cero, la velocidad de transferencia de masa disminuye hasta que es considerada no tener efecto sobre el perfil de velocidad. La pendiente de la línea cero evaluada a y = 0, es 0.332, como lo predice la ecuación (4.48).

238

Figura 4.16.- Perfiles de concentración para la transferencia de masa en una capa límite frontera sobre un palto plano.

En la mayoría de las operaciones incluyendo transferencia de masa, los parámetros de superficie de frontera son despreciables, y la solución de baja transferencia de masa, tipo Blasius, es usada para definir la transferencia hacia la capa límite laminar. La vaporización de un material volátil hacia una corriente de gas fluyendo a baja presión es un caso en el cuál la suposición de poca transferencia de masa no puede ser hecha.

Para un fluido con un número de Schmidt diferente a la unidad, curvas similares a aquellas mostradas en la figura 4.16 pueden ser definidas. La similaridad en ecuaciones diferenciales y condiciones de frontera sugiere un tratamiento para transferencia convectiva de masa análogo a la solución de Pohlhausen para transferencia convectiva de calor. La capa límite de concentración es relacionada a la capa límite hidrodinámica por:

(4.53)

Donde es el grosor de la capa límite hidrodinámica y es el grosor de la capa

límite de concentración. Así el termino de Blasius, debe ser multiplicado por . Un

gráfico de la concentración adimensional contra para vy,s =0, es mostrado en la figura

4.17. La variación de la concentración dada en esta forma conduce a una expresión para el coeficiente convectivo de transferencia de masa similar a la ecuación (4.52). A y = 0, el gradiente de concentración es:

(4.54)

239

Figura 4.17.- Variación de concentración para flujo laminar sobre un planto plano.

El cuál cuando usado con la ecuación (4.50) dá:

(4.55)

El coeficiente de masa promedio, , el cuál aplica sobre una placa de ancho W y longitud L, puede ser obtenida por integración. Para una placa de esas dimensiones, la velocidad de transferencia de masa total WA puede ser evaluada por:

De acuerdo con esto:

(4.56)

240

El número de Sherwood local a una distancia x, aguas abajo, es relacionado al número promedio de Sherwood para la placa plana por la relación:

(4.57)

Las ecuaciones (4.55) y (4.56) han sido verificadas experimentalmente. Es interesante notar que este análisis enteramente diferente ha producido resultados de la misma forma predichos en secciones anteriores por análisis dimensional para transferencia de masa por convección forzada. Sh = f(Re, Sc) (4.58)

Reconsiderando los perfiles de concentración adimensionales de Harnett y Eckert presentados en la figura 4.16, podemos observar que la pendiente de cada curva, cuando es

evaluada a y = 0, decrece conforme el parámetro positivo de frontera superficial

se incrementa. Como la magnitud del coeficiente de transferencia está directamente relacionado a la pendiente por la relación:

La disminución en la pendiente indica que el sistema con valores más altos del parámetro de la superficie de frontera tendrán coeficientes de transferencia de masa menores.Cuando ambas masa y energía son transferidas a través de la capa límite laminar, el perfil adimensional en la figura 4.16 puede también representar los perfiles de temperatura adimensional si los números de Prandtl y de Schmidt para el sistema son ambos la unidad. En el párrafo previo, fue indicado que el coeficiente de transferencia de masa disminuye en magnitud conforme la masa es transferida hacia la capa límite desde la superficie. De acuerdo con esto, debemos esperar también que el coeficiente de transferencia de calor disminuya conforme la masa es transferida hacia la capa límite. Esto puede ser logrado forzando un fluido a través de una placa porosa hacia la capa límite o sublimando la placa. Los procesos simultáneos de transferencia de calor y masa, con frecuencia son referidos como enfriamiento y calentamiento de transpiración, respectivamente, fueron usados para ayudar a reducir los grandes efectos de calor durante la reentrada de misiles hacia la atmósfera de la tierra.

Ejemplo 4.6.- El coeficiente de transferencia de masa para una capa limite turbulenta formada sobre una placa plana ha sido correlacionado en términos de un número local de Sherwood por:

(4.59)

241

dónde x es la distancia aguas abajo del filo frontal de la placa plana. La transición desde el flujo laminar a turbulento ocurre a Rex = 2x105.

1.- Desarrolle una expresión para el coeficiente de transferencia de masa promedio para una placa plana de longitud L.

Por definición:

(4.60)

Donde Lt es la distancia medida desde el filo frontal hasta el punto de transición. Además, kc,lam es definido por la ecuación (4.55).

Y kc,turb es definido por la ecuación (4.59).

Sustituyendo esas dos ecuaciones en nuestra ecuación para el coeficiente de transferencia promedio, obtenemos:

Donde Lt es la distancia desde el filo frontal de la placa al punto de transición donde Re=2x105.

242

(4.61)

b).- Un contenedor de acetona fue derramado accidentalmente, cubriendo la superficie lisa superior del banco del laboratorio. El ventilador produce un flujo de aire paralelo con 6 m/s, a la superficie del banco con 1 m de ancho. El aire fue mantenido a 298 K y 1 atm. La presión de vapor de la acetona a 298 K es 3.066x104 Pa.

1.- Determine el coeficiente de transferencia de masa a 0.5 m aguas abajo del filo frontal del banco de laboratorio.

2.- Determine la cantidad de acetona evaporándose de un área superficial de un metro cuadrado cada segundo.

A 298 K la viscosidad cinemática del aire es 1.55x10-5 m2/s y la difusividad de masa de la acetona en aire es 0.9310-5 m2/s. Para este sistema:

El numero de Reynolds el punto a 0.5 m aguas abajo es calculado como:

Como el número de Reynolds es menor que el valor de transición, el flujo es aún en flujo laminar y el número de Sherwood local puede ser evaluado por la ecuación (4.55).

Para determinar la cantidad de acetona evaporando desde la longitud de 1 m., necesitamos evaluar el número de Reynolds para esta longitud.

243

Como esto es mayor que 2x105, reconocemos que hay un punto de transición donde la capa limite cambia de flujo laminar a turbulento. Este punto de transición puede ser evaluado en el numero de Reynolds de transición, Ret = 2x105.

Podemos evaluar el coeficiente promedio de transferencia de masa usando la ecuación (4.61) deducida en parte (a).

La concentración de acetona en el vapor inmediatamente arriba de la superficie líquida puede ser evaluada por:

La cantidad de acetona abandonando la superficie es:

244

4.4.6.-Análisis aproximado de la capa limite de concentración.

Cuando el flujo es distinto al laminar o la configuración es diferente que una placa plana, pocas soluciones exactas a la fecha existen para el transporte en una capa límite. El método aproximado desarrollado por Von Karman para describir la capa límite hidrodinámica para ser usada para analizar la capa límite de concentración.

Considere un volumen de control localizado en la capa límite de concentración como se ilustra en la figura 4.18. Este volumen, designado por las líneas punteadas, tiene un anchor de , una altura igual al grosor de la capa límite de concentración c, y una profundidad unidad.

Figura 4.18.- Volumen de controlen la capa límite de concentración.

Un balance de masa molar en estado estacionario sobre el volumen de control produce la relación.

Donde WA es velocidad molar de transferencia de masa del componente A. En cada superficie, la velocidad molar es expresada como:

Re-arreglando, dividiendo cada término por x, y evaluando los resultados en el límite conforme x se acerca a cero, obtenemos:

245

= +

o bien:

= (4.62)

La ecuación (4.62) es análoga a la ecuación (3.54) y (3.146). Con el objetivo de resolver la ecuación (4.62), los perfiles de velocidad y concentración deben ser conocidos; normalmente esos perfiles son desconocidos y deben ser supuestos. Algunas de las condiciones de frontera las cuales debes ser satisfechas por las condiciones de frontera supuestas son:

(1)(2)

(3)

(4)

El perfil de concentración supuesto debe satisfacer las condiciones correspondientes en términos de la concentración.

(1).- (4.63) (2).- (4.64)

(3).- (4.65)

(4).- (4.66)

Si reconsideramos el flujo laminar paralelo a la superficie plana, podemos usar la ecuación integral de Von–Karman (4.62) para obtener la solución aproximada. Los resultados pueden ser comparados a la solución exacta, ecuación (4.55), y así verificar que tan bien hemos supuesto los perfiles de velocidad y de concentración. Como nuestra primera aproximación, consideramos una expresión en serie de potencias para la variación de concentración con y:

La aplicación de las condiciones de frontera resultará en la siguiente expresión:

(4.67)

246

Si el perfil de velocidad es supuesto en la misma forma de series de potencias, entonces la expresión resultante es:

Al sustituir las ecuaciones (4.67) y (3.56) en las expresiones integrales (4.62) y resolviendo, obtenemos:

lo cuál es cercano a la solución exacta expresada en la ecuación (4.55).

Aunque este resultado no es la relación correcta, es suficientemente próxima a la solución exacta para indicar que el método integral puede ser usado con algún grado de confianza en otras situaciones en la cuál una solución exacta es desconocida. Lo adecuado de este método depende completamente de la habilidad para suponer buenos perfiles de velocidad y concentración.

La ecuación integral de Von–Karman (4.62) ha sido usada para obtener una solución aproximada para la capa límite turbulenta sobre una placa plana. Con el perfil de velocidad aproximado por:

y el perfil de concentración aproximado por:

y el número de Nusselt local para la capa turbulenta es:

(4.68)

4.4.7.- Analogías de transferencia de masa, energía y momentum.

En los análisis previos de transferencia de masa convectiva, hemos reconocido las similaridades en las ecuaciones diferenciales para la transferencia de masa, momentum y calor y en las condiciones de frontera donde los gradientes de transporte fueron expresados en términos de variables adimensionales. Estas similaridades han permitido predecir soluciones para los procesos de transferencia similares. En esta sección, consideraremos varias analogías entre fenómenos de transferencia los cuales han sido propuestos debido a las similaridades en sus mecanismos. Las analogías son útiles para entender el fenómeno

247

de transferencia y como un medio satisfactorio para predecir el comportamiento del sistema para el cuál datos cuantitativos limitados son disponibles.

Las similaridades entre el fenómeno de transferencia y concordantemente, la existencia de las analogías, requiere que las siguientes cinco condiciones existen dentro del sistema.

1.- No hay energía o masa producida dentro del sistema. Esto por supuesto, infiere que ninguna reacción homogénea ocurre.2.- No hay emisión o absorción de energía radiante.3.- No hay disipación viscosa.4.- El perfil de velocidad no es afectado por la transferencia de masa, así, existe únicamente una velocidad baja de transferencia de masa. 5.- Las propiedades físicas son constantes. Como puede haber cambios ligeros en las propiedades físicas debido a las variaciones en temperatura o concentración, esta condición puede ser aproximada usando concentración promedio y propiedades de temperatura promedio (1, 2, 3, 4).

Analogía de Reynolds.

El primer reconocimiento de el comportamiento análogo de transferencia de momentum y energía fue reportada por Reynolds. Aunque esta analogía es limitada en aplicación, ha servido como para el catalizador buscar mejores analogías y ha sido usada exitosamente en analizar el fenómeno de capa limite – compleja de aerodinámica.

Reynolds postuló que los mecanismos para transferencia de energía y momentum fueron idénticos. Hemos observado en nuestra discusión anterior sobre capas límites laminares que esto es verdad si el número de Prandtl, Pr, es la unidad. De nuestras consideraciones previas, en la sección 4.4.5, podemos extender la postulación de Reynolds para incluir el mecanismo para la transferencia de masa si el número de Schmidt, Sc, es también la unidad. Por ejemplo, si consideramos el flujo laminar sobre una placa plana donde Sc=1, los perfiles de concentración y velocidad dentro de la capa límite están relacionados por:

(4.69)

Recordando que en la frontera inmediata a la pared, donde y = 0, podemos expresar el flujo de masa en términos de la difusividad de masa o el coeficiente de transferencia de masa por:

(4.70)

248

Podemos combinar las ecuaciones (4.69) y (4.70) y aprovechar que cuando el

número de Schmidt iguala a la unidad para lograr una expresión que relacione el coeficiente de transferencia de masa al gradiente de velocidad en la superficie.

(4.71)

El coeficiente de fricción superficial fue relacionado en el capítulo 3 a este mismo gradiente de velocidad por:

(3.35)

Usando esta definición, podemos re arreglar la ecuación (4.71) para obtener la analogía de Reynolds de transferencia de masa para sistemas con un número de Schmidt igual a uno.

(4.72)

La ecuación (4.72) es análoga a la analogía de Reynolds para transferencia de energía para sistemas con un número de Prandtl de uno. Esta analogía puede ser expresada por:

(3.152)

La analogía de Reynolds, ecuación (4.72), fue obtenida usando la solución exacta para el flujo laminar sobre una placa plana, ecuación (4.69), la ecuación de flujo de masa escrita en la frontera inmediata a la placa resultando en la ecuación (4.71) y la ecuación que define al coeficiente de fricción superficial (3.35). Así, la analogía de Reynolds satisface la solución exacta, si y solo si el número de Schmidt iguala a la unidad y la resistencia al flujo es debida a la fricción superficial (el arrastre de forma no es incluido). Esto fue verificado experimentalmente por Von–Karman para un flujo turbulento completo (el núcleo turbulento completo) donde el número de Schmidt, así como el número de Prandtl iguala a la unidad.

Consideraciones de flujo turbulento.

En la mayoría de aplicaciones prácticas el flujo en la corriente principal es turbulento más que laminar. Aunque muchos investigadores han contribuido considerablemente en el entendimiento de flujo turbulento, a la fecha nadie ha tenido éxito

249

en predecir coeficientes de transferencia convectiva o factores de fricción por análisis directo. Esto no es demasiado sorprendente cuando recordamos de nuestro análisis previo acerca de flujo turbulento, el flujo en cualquier punto esta sujeto a fluctuaciones irregulares en dirección y velocidad. De acuerdo con esto, cualquier remolino de flujo sufre una serie de movimientos aleatorios, superimpuesto al flujo principal. Estos movimientos de remolino traen mezclado a través del núcleo turbulento. Este proceso es con frecuencia referido como la difusión de remolino. El valor de la difusividad de masa de remolino será mucho mayor que la difusividad molecular en el núcleo turbulento.

En un esfuerzo por caracterizar este tipo de movimiento, Prandtl propuso la hipótesis de longitud de mezcla, donde cualquier fluctuación en la velocidad es debida al movimiento en la dirección ¨y¨ de un remolina a través de una distancia igual a la longitud de mezcla L. El remolino de fluido, posee una velocidad promedio es desplazado en una corriente donde el fluido adyacente tiene una velocidad promedio

. La fluctuación de la velocidad es relacionada al gradiente de velocidad por:

(2.29)

El esfuerzo cortante total en un fluido fue definido por la expresión:

(2.21)

La sustitución de las ecuaciones (2.29) en (2.21).

(4.73)

(4.74)

Donde ´ es la difusividad de remolino de momentum. Es análoga a la difusividad de momentum molecular.

Podemos ahora analizar similarmente la transferencia de masa en flujo turbulento, ya que este mecanismo de transporte es también debido a la presencia de las fluctuaciones o remolinos. En la figura 4.19 la curva representa una porción del perfil de concentración turbulenta con flujo promedio en la dirección x. La velocidad instantánea de transferencia de componente A en la dirección y es:

(4.75)

250

Figura 4.19.- Porción del perfil de concentración turbulenta que muestra la longitud de mezcla de Prandtl.

Donde la fluctuación instantánea mas la promedio temporal en la concentración del componente A. Podemos de nuevo usar el concepto de la longitud de mezclado para definir la fluctuación de la concentración por la siguiente relación.

(4.76)

Insertando la ecuación (4.76) en la ecuación (4.75) obtenemos una expresión para la transferencia turbulenta de masa por el transporte de remolino. La transferencia de masa normal a la dirección del flujo es:

(4.77)

Donde es la difusividad de masa de remolino.

Por razonamiento similar, para transferencia convectiva de calor:

(3.164)

Donde es la difusividad térmica molecular y es la difusividad térmica de remolino.

251

La difusividad de remolino juega un papel importante en un número de procesos de transferencia de masa. Por ejemplo, existe transferencia de masa entre un fluido pasando encima de un sólido en reactores catalíticos heterogéneos, hornos, secadores, etc. Como un resultado de la difusividad de remolino, el transporte en el núcleo turbulento es rápido, reduciendo los gradientes de concentración. Conforme nos acercamos a la pared, la turbulencia es progresivamente amortiguada hasta que en la inmediata cercanía con la superficie sólida, esencialmente desaparece y el transporte es casi enteramente por difusión molecular. La mayoría de la resistencia a la transferencia ocurre en la capa límite cerca de la superficie donde el gradiente de la composición es mas pronunciado.

4.4.8.- Las analogías de Prandtl y Von–Karman.

La analogía de Prandtl para la transferencia de momentum y calor fue desarrollada cuando consideración fue dada al efecto de ambos el núcleo turbulento y la subcapa laminar. El mismo razonamiento con respecto a la transferencia de masa y momentum puede ser usada para desarrollar una analogía similar. Para la subcapa laminar, las difusividades de remolino de momentum y masa son despreciables y en la superficie, el esfuerzo cortante y el flujo de masa, NAys son constantes. La ecuación (4.74) puede ser integrada sobre el grosor de la subcapa para dar:

o bien:

(4.78)

La ecuación (4.77) puede también ser integrada sobre el grosor de la subcapa para dar:

o bien:

(4.79)

Eliminando de esas ecuaciones obtenemos:

(4.80)

252

La analogía de Reynolds, puede ser usada en el núcleo turbulento, desde y

= hasta y en las condiciones globales. El flujo de masa en el núcleo turbulento es:

(4.81)

Eliminando entre las ecuaciones (4.80) y (4.81), obtenemos:

(4.82)

Sustituyendo las siguientes definiciones:

en la ecuación (4.82), podemos simplificar la relación a:

, o en una forma un poco diferente:

(4.83)

Notar que la ecuación (4.83) se simplifica a la analogía de Reynolds con la restricción que Sc = 1. Recordar que la subcapa laminar fue definida por: , donde:

, entonces:

(4.84)

253

Sustituyendo en la ecuación (4.83), obtenemos una analogía transferencia de masa

convectiva similar a la analogía de Prandtl para transferencia convectiva de calor.

(4.85)

Rearreglando y multiplicando ambos lados de la ecuación (4.85) por donde L es la

longitud característica, obtenemos:

o bien:

(4.86)

Si el Número de Nusselt de transferencia de masa equivalente, NuAB fuera usado en lugar del número de Sherwood, la ecuación (4.86) sería análoga a la analogía de transferencia de energía y momentum de Prandtl, ecuación (3.172)

Von Karman extendió la analogía de Prandtl considerando la llamada capa de transición en adición a la subcapa laminar y al núcleo turbulento. Esto llevó al desarrollo de la analogía de Von Karman.

(3.173)

Para transferencia de momentum y energía. El análisis de Von Karman para transferencia de masa produce:

254

(4.87)

o bién:

(4.88)

La ecuación (4.88) es análoga a la ecuación (3.173).Los resultados de la mayoría de las analogías pueden ser puestos en una forma general, como se ilustra en las ecuaciones (4.85) y (4.88) en la cuál el denominador del lado derecho es un grupo complejo de términos los cuales sirven como una corrección de la analogía simple de Reynolds.

4.4.9.- Analogía de Chilton–Colburn.

Chilton y Colburn usaron datos experimentales, buscaron modificaciones a la analogía de Reynolds que no tuvieran las restricciones de que los números Pr y Sc deban ser igual a uno. Ellos definieron el factor j para la transferencia de masa.

Este factor es análogo a el factor j para transferencia de calor definido por la ecuación (3.154). Basado en los datos colectados en ambos regimenes de flujo laminar y turbulento, ellos encontraron

(4.89)

La analogía es válida para gases y líquidos dentro del rango de 0.6<Sc<2500. La ecuación (4.89) puede satisfacer la solución exacta para flujo laminar sobre la placa plana.

(4.90)

Si ambos lados de esta ecuación son divididos:

255

Esta ecuación se reduce a la analogía de Chilton–Colburn cuando sustituimos en la expresión de arriba la solución de Blasius para la capa límite laminar.

(4.91)

La analogía de Chilton–Colburn completa es:

(4.92)

La cual relaciona los tres tipos de transporte en una expresión. La ecuación (4.92) es exacta para las placas planas y es satisfactoria para sistemas de otras geometrías considerando que el arrastre de forma no esta presente.

Para los sistemas donde el arrastre de forma esta presente, se ha encontrado que ni JD ni JH iguala Cf/2, sin embargo, cuando el arrastre de forma esta presente, JH = JD o bien:

(4.93)

La ecuación relaciona transferencia convectiva de masa y calor. Permite la evaluación de un coeficiente de transferencia desconocido a través de la información obtenida de otro fenómeno de transferencia. Es válida para gases y líquidos dentro de los rangos 0.6<Sc< 2500 y 0.6<Pr< 100.

Como previamente fue afirmado, una de las cinco condiciones las cuales deben existir si las analogías son usadas requiere que las propiedades físicas del fluido sean constantes. Si hay únicamente variaciones ligeras en las propiedades debido a las variaciones en la temperatura de la película global, se puede minimizar esta condición restrictiva evaluando las propiedades físicas a la temperatura promedio de película.

La analogía de Chilton Colburn para transferencia de calor y masa ha sido observado que se cumple para muchas geometrías diferentes; por ejemplo flujo sobre una placa plana, flujo en un tubo circular y una región anular y flujo alrededor de cilindros. En los siguientes tres ejemplos, aplicaremos la analogía de Chilton–Colburn (1) para determinar un coeficiente de transferencia convectivo desconocido, (2) para predecir una ecuación correlacionando a la transferencia de masa, y (3) para derivar y usar la importante ecuación psicométrica de de bulbo húmedo.

256

Ejemplo 4.7.- Usando el enunciado presentado en el ejemplo 4.4 y el coeficiente de transferencia de masa determinado en el ejemplo uno, determine el valor de el coeficiente de transferencia h, para la corriente de aire.

En la solución del ejemplo 1, el coeficiente de transferencia de masa fue kc = 0.118 m/s y la difusividad de masa del dióxido de carbono en aire es 1.5x10-5 m2/s y la viscosidad cinemática del aire es 1.55x10-5 m2/s. De la ecuación (4.92) sabemos:

Las siguientes propiedades del aire a 293 K son:

Pr = 0.71

El número de Schmidt es:

Entonces, sustituyendo en la ecuación de h:

Ejemplo 4.8.- Dittus y Boelter propusieron la siguiente ecuación para correlacionar el coeficiente de transferencia de calor para flujo turbulento en un tubo:

257

¿Cuál debe ser la ecuación correspondiente para el coeficiente de transferencia de masa cuando la transferencia es para un fluido turbulento dentro del tubo?

De acuerdo a la relación de Chilton Colburn (4.93)

Sustituyendo esto en la ecuación de Dittus–Boelter obtenemos:

Esto se simplifica a:

Linton y Sherwood considerando la transferencia de masa en corrientes turbulentas fluyendo dentro de tubos, correlacionaros sus datos por:

para: 2000<Re<70000, 100<Sc< 2260

Ejemplo 4.9.- Aire seco a 1.013x105 Pa de presión fluye alrededor de un termómetro cuyo bulbo húmedo ha sido cubierto con un trapo húmedo. El termómetro clásico de bulbo húmedo indica una temperatura de estado estacionario ha sido alcanzada por una cantidad pequeña de agua líquida evaporando en un gran recipiente de mezcla vapor – gas no saturada. El termómetro lee 290 K. A esta temperatura, las siguientes propiedades fueron evaluadas:

258

PA, presión de vapor del agua 1.94x103 Pa. densidad del aire. 1.219 kg/m3

ts, calor latente de vaporización del agua. 2461 kJ/kgPr, número de Prandtl 0.71Sc número de Schmidt. 0.61Cp, calor específico del aire. 1.006 J/(kg K)

¿Cuál es la temperatura del aire?

La ecuación (4.38) define el flujo molar del agua evaporándose.

La energía requerida para evaporar esta agua es proporcionada por la transferencia convectiva de calor, así:

Donde Ts es el calor latente de vaporización del agua a la temperatura de superficie. Esta ecuación puede ser resuelta para la temperatura global.

Si sustituimos la ecuación (4.38) en esta ecuación, obtenemos:

El factor j de Chilton–Colburn nos da una relación para la relación kc/h.

Cuando esta expresión es sustituida en nuestra expresión para la temperatura global, obtenemos una expresión para la línea psicométrica de bulbo húmedo.

259

Las concentraciones son:

Sustituyendo los valores conocidos, obtenemos:

4.4.10.- Modelos para coeficientes convectivos de transferencia de masa.

Los coeficientes convectivos de transferencia de masa han sido usados en el diseño del equipo de transferencia de masa por muchos años. Sin embargo, en la mayoría de los casos, ellos han sido coeficientes empíricos que fueron determinados de investigaciones experimentales. Una explicación teórica de los coeficientes requiere un mejor entendimiento de los mecanismos de turbulencia, ya que ellos están relacionados directamente con las características dinámicas del fluido. Tanto la teoría de película como la teoría de penetración han sido ampliamente usadas.

La teoría de película esta basada en la presencia de una película ficticia de fluido en flujo laminar próximo a la frontera que ofrece la misma resistencia a la transferencia de masa como realmente existe el fluido completo. En otras palabras, toda la resistencia a la transferencia se supone que existe en una película ficticia en la cual el transporte es enteramente por difusión molecular. El grosor de la película, , se debe extender mas allá de la subcapa laminar para incluir una resistencia equivalente encontrada conforme la concentración cambia dentro de la capa de transición y el núcleo turbulento. Para difusión a través de una capa no difusiva o fluido estacionario, esta teoría predice el coeficiente de transferencia de masa como:

(4.94)

Para contradifusión molecular, el coeficiente de transferencia de masa fue expresado como:

260

(4.95)

In ambos casos, el coeficiente convectivo de transferencia de masa está relacionado directamente a la difusividad molecular de masa. Obviamente, el grosor de la capa ficticia, , nunca puede ser medido ya que no existe. Debido a esto y debido a lo inadecuado aparentemente para explicar físicamente la transferencia convectiva de masa, otras teorías y modelos han sido postuladas para describir este fenómeno.

La teoría de penetración fue propuesta originalmente por Higbie para explicar la transferencia de masa en la fase líquida durante la absorción de gases. Ha sido aplicada al flujo turbulento por Danckwertz y muchos otros investigadores cuando los componentes de la difusión penetran únicamente una distancia corta en la fase de interés debido a su desaparición rápida mediante reacción química o su relativamente corto tiempo de contacto.

Higbie considero masa para transferirse en la fase líquida por transporte molecular en estado no estacionario. Con este concepto, el flujo de masa en la interfase entre las fases líquida y gas fue expresado como:

(4.96)

Danckwerts aplicó este concepto de estado no estacionario a la absorción del componente A en una corriente de líquido turbulento. Su modelo supone que el movimiento del líquido esta trayendo constantemente remolinos de líquido fresco desde el interior hacia la superficie, donde desplazan los elementos de líquido que estaban sobre la superficie. Mientras se encuentra sobre la superficie, cada elemento de líquido esta expuesto a la segunda fase y la masa es transferida hacia el líquido como si fuera estancada e infinitamente profunda. Además la velocidad de transferencia es dependiente del tiempo de exposición. Muchas suposiciones diferentes pueden hacerse con respecto a la remoción en la superficie. Por ejemplo, cada elemento de la superficie puede tener el mismo tiempo de exposición antes de ser reemplazado; esto infiere que la transferencia de masa instantánea ocurrirá de acuerdo a la ecuación siguiente. El soluto total que penetra al remolino en un tiempo de exposición, texp, es:

y la velocidad promedio de transferencia durante la exposición es obtenida dividiendo esta ecuación por el tiempo de exposición:

261

(4.97)

Danckwerts modifico la suposición de periodo de exposición constante proponiendo un rango infinito de edades para los elementos en la superficie. Las funciones de edades superficiales fueron introducidas para predecir la probabilidad de un elemento de superficie siendo reemplazado por un remolino fresco. La velocidad de remoción superficial fue creída ser constante para un grado de turbulencia e igual al factor “s” de remoción superficial. La velocidad de transferencia de masa con remoción superficial azarosa es:

(4.98)

Los valores de s son actualmente obtenidos por investigaciones experimentales. El concepto de remoción superficial ha sido muy exitoso en la explicación y análisis de transferencia convectiva de masa, particularmente cuando el transporte de masa es acompañado por reacciones químicas en la fase líquida. Desarrollo considerable y verificación experimental son necesarios para definir este modelo claramente.Una discusión detallada de los coeficientes de transferencia de masa para los sistemas con reacción química no es abordada en este material. Se mostró que la transferencia de masa depende de la constante de velocidad de la reacción química. Debemos esperar una dependencia similar para el coeficiente convectivo de transferencia de masa.Toor y Marchello (1958) han indicado que el concepto de penetración de Dankwerts es válido únicamente cuando la remoción superficial es rápida relativamente, proporcionando así nuevos elementos sobre la superficie sobre una base continua. Para elementos viejos en la superficie, un gradiente de concentración en estado estacionario es establecido como se predice por la teoría de película; y de acuerdo a esto, la velocidad de transferencia de masa debe ser directamente proporcional a la difusividad molecular de masa. A números de Schmidt bajos, un gradiente de concentración estacionario es conseguido muy rápidamente en cualquier nuevo elemento superficial tal que al menos que la velocidad de remoción superficial es suficientemente elevada para remover una fracción mayor de los elementos superficiales antes de que ellos son penetrados, la mayoría de la superficie se comporta como elementos viejos. Conforme el número de Schmidt se incrementa, el tiempo necesario para fijar el gradiente estacionario se incrementa rápidamente y de acuerdo con esto, relativamente bajas velocidades de remoción superficial son suficientes para conservar la mayoría de los elementos de ser penetrados. Cuando las condiciones son tales que la superficie contiene tanto elementos viejos y nuevos, las características de transferencia son intermediarios entre los modelos de penetración y de película. Los coeficientes de transferencia convectivos de transferencia de masa serán proporcionales a una potencia de la difusión de masa molecular entre 0.5 y 1.0. Esas conclusiones han sido apoyadas por datos experimentales.

Tanto en los modelos de penetración y película, la transferencia de masa involucra una interfase entre dos fluidos que se mueven. Cuando una de las fases es un sólido, la velocidad del fluido paralela a la superficie en la interfase debe ser cero. De acuerdo con esto, debemos esperar la necesidad de un tercer modelo, el modelo de capa limite, para correlacionar los datos involucrando un sólido sublimando en un gas o un sólido

262

disolviéndose en un líquido. Para difusión a través de una capa limite laminar, el coeficiente promedio de transferencia de masa es:

Esto muestra que el coeficiente de transferencia de masa varia conforme ,

Lo cual es típico en los cálculos de capa limite (1, 2, 3, 4).

4.5.-Transferencia convectiva de masa entre fases.

En la sección 4.4, fue considerada la transferencia de masa convectiva dentro de una fase simple; en este caso, la masa es intercambiada entre una superficie frontera y un fluido en movimiento y el flux es relacionado a un coeficiente convectivo de transferencia de masa individual. Muchas operaciones de transferencia de masa, sin embargo, incluyen la transferencia de un material entre dos fases en contacto, donde el flux puede ser relacionado a un coeficiente convectivo de transferencia de masa global. Esas fases pueden ser una corriente de gas contactando una corriente liquida o dos corrientes liquidas si ellas son inmiscibles. En este capitulo, consideraremos el mecanismo de transferencia de masa en estado estacionario entre las fases y las interrelaciones entre los coeficientes convectivos individuales para cada fase y los coeficientes convectivos globales.

4.5.1.- El Equilibrio.

La transferencia de masa dentro de una fase, por los mecanismos de transporte molecular o convectivo, ha sido mostrada para ser directamente dependiente del gradiente de concentración responsable de la transferencia de masa. Cuando el equilibrio dentro del sistema es establecido, el gradiente de concentración y de hecho, la velocidad neta de difusión de la especie que se difunde, llega a ser cero. La transferencia entre las dos fases, también requiere un alejamiento del equilibrio, el cual podría existir entre la concentración promedio o global dentro de cada fase. Como la desviación del equilibrio proporciona la fuerza impulsora de la concentración dentro de una fase, es necesario considerar el equilibrio de interfase para describir la transferencia de masa entre las fases.Inicialmente, consideremos las características de equilibrio de un sistema particular y entonces generalicemos los resultados a otros sistemas. Considere un sistema de dos fases incluyendo un gas contactando un liquido; por ejemplo, la composición del sistema inicial incluye aire y amoniaco en la fase gaseosa y únicamente agua en la fase liquida. En un primer contacto, alguna cantidad de amoniaco será transferido hacia la fase acuosa en la cual es soluble y alguna cantidad de agua será vaporizada hacia la fase gaseosa. Si la mezcla liquido–gas es contenida dentro de un recipiente isobárico e isotérmico, un equilibrio dinámico entre las dos fases será establecido eventualmente. Una porción de las moléculas entrando a la fase líquida retorna a la fase gaseosa a una velocidad que depende de la concentración del amoniaco en la fase líquida y la presión de vapor ejercida por el

263

amoniaco en la solución acuosa. Similarmente, una porción del agua vaporizándose hacia la fase gaseosa se condensa hacia la solución. El equilibrio dinámico es indicado por una concentración constante de amoniaco en la fase líquida y una concentración constante o presión parcial del amoniaco en la fase gaseosa.

Las condiciones de equilibrio pueden ser alteradas agregando mas amoniaco al contenedor isobárico e isotérmico. Después de un periodo de tiempo, un nuevo equilibrio dinámico será establecido con una concentración diferente de amoniaco en el líquido y una presión parcial diferente de amoniaco en el gas. Obviamente, uno podría continuar agregando mas amoniaco al sistema y cada vez un nuevo equilibrio seria conseguido. La figura 4.20 ilustra una curva de equilibrio la cual muestra la relación entre la concentración del soluto en la fase liquida y la presión parcial del soluto en la fase gaseosa. Existen muchas formas graficas de datos de equilibrio debido a las diversas formas de expresar concentraciones en cada una de las fases.

Figura 4.20.- Curva de equilibrio de un soluto A entre un gas y un líquido con control de temperatura.

Las ecuaciones relacionando las concentraciones de equilibrio en las dos fases han sido desarrolladas y son presentadas en libros de termodinámica y físico – química. Para el caso del gas no ideal y fase líquida, las relaciones son complejas, generalmente. Sin embargo, en casos incluyendo gases ideales y fase líquida, algunas relaciones simples y útiles son conocidas. Por ejemplo cuando la fase liquida es ideal, la ley de Raoult se aplica.

donde pA es la presión parcial de equilibrio del componente A en la fase de vapor arriba de la fase líquida, xA es la fracción mol de A y PA es la presión de vapor del componente A puro en la temperatura de equilibrio. Cuando la fase gaseosa es ideal, la ley de Dalton es obedecida.

264

Donde yA es la fracción mol de A en la fase gaseosa y P es la presión total del sistema. Cuando ambas fases son ideales, las dos ecuaciones deben ser combinadas para obtener una relación entre las concentraciones xA y yA a temperatura y presión constante, la ley de equilibrio combinada de Raoult–Dalton establece:

Otra relación de equilibrio para fases liquidas y gases es la ley de Henry cuando se trata de soluciones diluidas. Esta ley es expresada por:

Donde H es la constante de la ley de Henry y cA es la composición de equilibrio de A en la fase liquida diluida.

Los siguientes conceptos básicos comunes a todos los sistemas involucrando la distribución de un componente entre dos fases son descriptivos de la transferencia de masa en la interfase.

1.- A presión y temperatura constantes, la regla de fases de Gibbs indica que un conjunto de relaciones de equilibrio existe el cual puede ser mostrado en la forma de una curva de distribución de equilibrio.2.- Cuando el sistema esta en equilibrio, no hay transferencia de masa neta entre las fases.3.- Cuando un sistema no está en equilibrio, los componentes o los componentes del sistema serán transportados de tal manera de causar la composición del sistema desplazar al equilibrio. Si suficiente tiempo es permitido, el sistema eventualmente alcanzará el equilibrio.

Los siguientes ejemplos ilustran la aplicación de las relaciones de equilibrio para determinar las composiciones de equilibrio.

Ejemplo 4.10.- Una corriente exhausta de una unidad de fabricación de un semiconductor contiene 3 moles % de acetona y 97 moles % de aire. Con el objetivo de eliminar cualquier posible contaminación ambiental, esta corriente acetona – aire es alimentada a una columna de transferencia de masa en la cuál la acetona será desorbida por una contracorriente de agua a 293 K. La torre será operada a una presión total de 1 atm. Si las relaciones de equilibrio combinadas de Roault y Dalton pueden ser usadas para determinar la distribución de acetona entre el aire y la fase acuosa. Determine:

a) La fracción mol de acetona dentro de la fase acuosa la cuál estaría en equilibrio con la mezcla gaseosa de acetona al 3 % mol.

b) La fracción mol de acetona en la fase gaseosa la cual estaría en equilibrio con 20 ppm de acetona en la fase gaseosa.

A 293 K, la presión de vapor de acetona es 5.64x104 Pa.

265

(a) Por la ley de Dalton–Roault, cuando yA=0.03,

o bien xA=0.0539 fracción mol de acetona.

(b) 20 ppm de acetona en solución =

Por la ley de Raoult–Dalton.

o bien, fracción mol de acetona.

Ejemplo 4.11.- La constante de la ley de Henry para oxigeno disuelto en agua es 4.06x109

Pa/(mol de O2 por mol total de solución) a 293 K. Determine la concentración de la solución de oxígeno en agua la cuál es expuesta al aire seco a 1 atm y 293 K.

La ley de Henry puede ser expresada en términos de la fracción mol por:

Donde H es 4.06x109 (Pa/(mol de O2/mol total de solución).

Se sabe que el aire seco contiene 21% mol de oxígeno. Por la ley de Dalton:

La fracción mol de equilibrio del líquido en la interfase es calculada por la ley de Henry.

266

Para un metro cúbico de solución muy diluida, los moles de agua en la solución serán aproximadamente:

Los moles totales en la solución son esencialmente los moles de agua ya que la concentración de oxígeno es muy baja. Por lo mismo, los moles de oxígeno en un metro cúbico de solución son:

La concentración de saturación es:

4.5.2.- Teoría de las dos resistencias.

Muchas operaciones de transferencia de masa involucran la transferencia de material entre dos fases en contacto. Por ejemplo en la absorción de gases, como se ilustra en la figura 4.21, un soluto es transferido desde la fase gaseosa hasta la fase líquida. La transferencia en la interfase consiste de tres pasos: 1) transferencia de masa desde las condiciones globales de una fase a la superficie interfacial, 2) la transferencia a través de la interfase, hacia la segunda fase y 3) la transferencia hacia las condiciones globales de la segunda fase.

Una teoría de dos resistencias, inicialmente sugerida por Whitman en 1923, es con frecuencia usada para explicar este proceso. La teoría tiene dos suposiciones principales: (1) la velocidad de transferencia de masa entre las dos fases es controlada por la velocidad de difusión a través de las fases en cada lado de la interfase, y (2) ninguna resistencia es ofrecida a la transferencia del componente que se difunde a través de la interfase. El gradiente de concentración como fuerza impulsora requerido para producir la transferencia de masa del componente A desde la fase gas hasta la fase líquida, como se ilustra en la figura 4.21 es gráficamente presentado en la figura 4.22 con un gradiente de presión parcial desde la composición del gas global PAG, a la composición interfacial del gas, PAi, y un gradiente de concentración desde, CAi, en la interfase, hacia la concentración líquida global, CAL. Sobre la base de la segunda suposición de Whitman, de no resistencia a la transferencia de masa en la superficie interfacial, pAi y CAi son concentraciones en equilibrio y están relacionadas por relaciones termodinámicas. La presión parcial interfacial pAi puede ser menor que, igual que o mayor que el valor de cAi, de acuerdo a las condiciones de equilibrio de la temperatura y presión del sistema.

267

Figura 4.21.- Absorción de una gas con un soluto A.

Figura 4.22.- Gradientes de concentración entre dos fases donde el soluto es transferido de la fase gas a la líquida.

Cuando la transferencia es desde la fase líquida como en la desorción del líquido mostrada en la figura 4.23, cAL será mayor que cAi y pAi será mayor que pAG. Los gradientes de concentración para este caso están representados gráficamente en la figura 4.24.

268

Figura 4.23.- Soluto A transferido de la fase líquida al gas.

Figura 4.24.- Gradientes de concentración entre dos fases cuando el soluto es transferido de la fase líquida al la fase gaseosa.

4.5.3.- Coeficientes de transferencia de masa individuales.

Limitamos nuestra discusión a la transferencia en estado estacionario del componente A desde la fase gaseosa hasta la fase líquida (para la transferencia en la

269

dirección opuesta, la fuerza impulsora de la concentración sería lo contrario, pAi–pAG, en lugar de pAG–pAi), podemos describir las velocidades de difusión en la dirección z por las ecuaciones:

(4.99) (4.100)

Donde kG es el coeficiente convectivo de transferencia de masa en la fase gas, en (moles de A transferidos)/(tiempo)(área interfacial)(unidades de concentración en el gas), y kL es el coeficiente convectivo de transferencia de masa en la fase líquida, en (moles de A transferidos )/(tiempo)(área interfacial)(unidades de concentración en el líquido).

La diferencia de presión parcial, pAG–pAi, es la fuerza impulsora necesaria para transferir el componente A desde las condiciones globales del gas hasta la interfase separando las dos fases. La diferencia de concentraciones, cAi–cAL, es la fuerza impulsora necesaria para continuar la transferencia de A hacia la fase líquida.

Bajo condiciones de estado estacionario, el flujo de masa en una fase debe igualar el flujo de masa en la segunda fase. Combinando las ecuaciones (4.99) y (4.100), obtenemos:

(4.101)

La relación de los dos coeficientes convectivos de transferencia de masa puede ser obtenida de la ecuación (4.101) por re arreglo, dando:

(4.102)

En la figura 4.25, la aplicación de la ecuación (4.102) para la evaluación de las composiciones interfaciales para un conjunto específico de composiciones globales como representado por el punto 0 es ilustrado. El punto 0 representa condiciones encontradas en una fase dentro de un intercambiador de masa. Las condiciones en otro plano podrían ser completamente diferentes.

En la tabla 4.4, los coeficientes individuales de transferencia de masa encontrados con mas frecuencia son listados y las interrelaciones entre ellos son resaltadas. Un subíndice cero sobre el coeficiente de transferencia de etc. masa para contradifusión equimolar es usado para designar transferencia de masa no neta hacia la fase, de acuerdo a la ecuación (4.95). Es importante darse cuenta que existen muchos otros coeficientes de transferencia de masa para otras situaciones de transferencia de masa específicas; por ejemplo cuando , esta tabla puede ser útil para explicar porque existen tantas unidades diferentes dadas para coeficientes individuales.

270

Figura 4.15.- Composición interfacial predicho por la teoría de las dos resistencias.

Tabla 4.4.- Coeficientes de transferencia individuales.Fase gas

Ecuaciones de velocidad Unidades de coeficientes.Difusión de A a través de B no difundiéndose.

Contradifusión equimolar.

Fase Gas

H = Humedad especifica.

Fase líquida.

271

Difusión de A a través de B que no se difunde.

Contradifusión equimolar.

4.5.4.- Coeficientes Globales de Transferencia de Masa.

Es muy difícil medir físicamente la presión parcial y la concentración en la interfase. Es por eso conveniente emplear coeficientes globales basados en una fuerza impulsora global entre las composiciones globales pAG y cAL. Obviamente, uno no puede expresar la fuerza impulsora global como pAG–cAL debido a la diferencia en unidades de concentración. En la figura 4.26 uno observa la composición global del líquido cAL, está en equilibrio con la presión parcial, . Esta es una presión parcial única a la presión y temperatura del sistema; es una buena medida de cAL como cAL en si misma, y tiene unidades consistentes con pAG. De acuerdo con esto, un coeficiente global de transferencia de masa KG el cual incluye la resistencia a la difusión en ambas fases en términos de la fuerza impulsora de la presión, es definida por:

(4.103)

Donde pAG es la composición global en la fase gas, es la presión parcial de A en equilibrio con la composición global en la fase líquida, cAL, y KG es el coeficiente global de transferencia de masa basado en la fuerza impulsora de la presión parcial. En moles de A transferidos por (tiempo)(área interfacial)(presión).

Similarmente, la composición global del gas pAG, está en equilibrio con la concentración . Esta es también una concentración única a la presión y temperatura del sistema. es una buena medida de pAG como pAG en si misma. Un coeficiente global de transferencia de masa KL, el cual incluye la resistencia a la difusión en ambas fases y está en términos de la fuerza impulsora de la concentración de la fase líquida, es definida por:

Donde es la concentración de A en equilibrio con pAG, cAL es la composición global en la fase líquida y KL es el coeficiente global de transferencia de masa basado en la fuerza

272

impulsora del líquido, en moles de A transferidos por (tiempo)(área interfacial)(moles de A/volumen)

Figura 4.26.- Fuerzas impulsoras de concentración par la teoría de las dos resistencias.

La figura 4.26 ilustra las fuerzas impulsoras asociadas con cada fase y las fuerzas globales impulsoras. La relación de las resistencias en una fase individual a la resistencia total puede ser determinada por (1):

y ademas,

Una relación entre esos coeficientes globales y los coeficientes de fases individuales pueden ser obtenida cuando la relación de equilibrio es lineal como expresada por:

Esta condición es siempre encontrada a bajas concentraciones, donde la ley de Henry se cumple; la constante de proporcionalidad es entonces la constante de la ley de Henry, h.

273

Utilizando la ecuación de la ley de Henry, podemos relacionar las concentraciones en las fases liquida y gas por:

Re arreglando la ecuación (4.103), obtenemos:

O en términos de m:

La sustitución de las ecuaciones (4.99) y (4.100) en la relación de arriba relaciona KG a los coeficientes de fase individuales por:

Una expresión similar para KL puede ser obtenida como sigue:

o bien:

Las ecuaciones anteriores estipulan que las magnitudes relativas de las resistencias de fases individuales dependen de la solubilidad del gas, como indicado por la magnitud de la constante de proporcionalidad. Para un sistema involucrando un gas soluble, tal como amonio en agua, m es muy pequeño. De la última ecuación, podemos concluir que la resistencia en la fase gas es esencialmente igual a la resistencia global en tal sistema. Cuando esto es verdadero, la mayor resistencia a la transferencia de masa permanece en la fase gas, y tal sistema se dice ser controlado por la fase gas.

Los sistemas involucrando gases de baja solubilidad, tales como dióxido de carbono en agua, tienen un valor grande de m tal que la ecuación en cuestión, estipula que la

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resistencia en la fase gas puede ser despreciada, y el coeficiente global KL es esencialmente igual al coeficiente individual en la fase en la fase líquida, kL. Este tipo de sistema es designado como controlado por la fase líquida. Lewis y Whiman en 1924 como la teoría de dos películas. Aunque originalmente propuesta en términos del modelo de película para transferencia de masa convectiva, es igualmente aplicable a los coeficientes de fase individuales, evaluados para cada una de las películas, o la teoría de la penetración. La suposición de resistencia interfacial despreciable, no ha sido verificada adecuadamente; de hecho, muchas investigaciones han mostrado que una resistencia existe si partículas de polvo u otras partículas extrañas son transportadas por el líquido. Sin embargo, la mayoría de los datos industriales han sido interpretados en términos de la teoría de dos resistencias. La aplicación de la teoría de dos resistencias para ambos absorción y deserción de un componente será ilustrado en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 4.12.- En un estudio experimental de la absorción de amonio por agua en una columna humedecida con agua, el coeficiente de transferencia de masa global KG, se sabe que es 2.74x10-9 Kg mol/(m2 s Pa).En un punto en la columna, la fase gas contenía 8 % de amonia y la concentración de la fase líquida fue 0.064 kg mol de amonia/m3 de solución. La torre opero a 293 K y 1.013x105 Pa. A esa temperatura, la constante de la ley de Henry es 1.358x103

Pa/Kgmol/m3). Si el 85 % de la resistencia total a la transferencia de masa se localiza en la fase gas, determine los coeficientes transferencia de masa individuales de película y las composiciones interfaciales.

Solución.- La resistencia total en ambas fases es:

Como la resistencia en la fase gas, , es 85 % de la resistencia total, podemos evaluar el coeficiente de fase gas individual por:

El coeficiente en la fase líquida, kL, es evaluado:

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En el punto indicado de la columna:

Al introducir la constante de la ley de Henry, encontramos la presión parcial , en equilibrio con la concentración líquida global.

El flujo de masa, expresado por la ecuación (4.103) es:

La composición interfacial puede ser determinada usando la ecuación (4.99).

Usando la ley de Henry.

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1284 Pa =

Ejemplo 4.13.- Una corriente de agua de deshecho es introducida en el tope de una torre de transferencia de masa donde fluye a contracorriente a una corriente de aire. En un punto en la torre, la corriente de agua de deshecho contiene 1x10-3 mol gr de A/m3, y el aire se encuentra esencialmente libre de A. En las condiciones de operación, dentro de la torre, los coeficientes de transferencia de película de transferencia de masa son kL=5x10-4 kg/mol/m2

s (kgmol/m3) y kG = 0.01kg mol/m2 s atm. Las concentraciones están en la región de la ley de Henry donde con H = 10 atm/(kgmol/m3).Determine:

a) El flujo de masa global de A.b) Los coeficientes globales de transferencia de masa, KL, KG.

En el plano especificado:

.Un dibujo de la presión parcial de A contra la concentración de A revela que es una operación de agotamiento.

Usando la siguiente ecuación:

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Las concentraciones de equilibrio son:

El flujo de A para esta operación de agotamiento es:

El coeficiente global de transferencia de masa KG, puede ser determinado en dos formas:

Si multiplicamos ambos lados de la ecuación anterior por la constante de la ley de Henry, H, y relacionamos los resultados a la ecuación en cuestión, obtenemos:

Bibliografia

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