:Facilitador:Facilitador. Prof Martha Moreno. Prof Martha Moreno

Universidad Nacional ExperimentalUniversidad Nacional Experimental““Francisco de Miranda”Francisco de Miranda”

Área de Ciencias de la SaludÁrea de Ciencias de la SaludDepartamento de Física y MatemáticaDepartamento de Física y Matemática

U.C: Matemática I- IIU.C: Matemática I- II

Siendo uno de los conceptos más importante en matemáticas. La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto (solo si este límite existe). Pero vayamos por partes.

La derivada se define como:

A continuación se derivará una función por definición, es importante tener en cuenta conocimientos básicos del cálculo tales como:

Productos notables al cuadrado , factorización por factor común y propiedad distributiva

La función a derivar será . Luego deaplicar el teorema obtenemos:

Se puede observar en la ecuación dos términos elevados a la potencia (2) dos, aplicando producto notable se obtiene…

Luego aplicamos la propiedad distributiva y simplificamos un poco…

Para eliminar el denominador factorizamos por factor común obteniendo…

Al aplicar límite se obtiene como resultado final lo siguiente:

FUNCIÓN DERIVADA OBSERVACIÓN

C (constante) 0 “C” es un Nº real (+ ó -)

x 1

n=Nº Real (+)

n=Nº Real (-)

“C” es un Nº real (+ ó -)

F(x) y G(x) son funciones

F(x) y G(x) son funciones

F(x) y G(x) son funciones

=Función exponencial

es la variable a derivar

es constante

FUNCIÓN DERIVADA OBSERVACIÓN

Todas son funciones

Trigonométricas

Ahora que conocemos los principales teoremas de diferenciación, a continuación se demostrarán varios ejemplos…

Ejemplo 1.

Ejemplo 2.`

Ejemplo 3.

Ejemplo 4.

Sumamente sencillo… Para desarrollar una excelente técnica de diferenciación es necesario practicar una gran variedad de ejercicios con más dificultad que estos ejemplos explicados anteriormente…

     Existen funciones compuestas que al derivar es necesario aplicar un metodo especial, este es conocido como “Regla de la Cadena”. Si tenemos una función continua y esta es diferenciable en entonces la función compuesta …………… es diferente; es decir,

Ejemplo 1. nótese que la función externa ( ) se multiplica por la …………….función interna ( ) luego de haber sido derivadas las (2) dos

Luego de derivar y multiplicar solo ordenamos un poco la ecuación …………….aplicando la propiedad distributiva obteniendo el resultado final.

…………….A continuación se demostrará otro ejemplo un poco mas complejo

Función externa Función interna

Ejemplo 2.

Nótese que es una función compuesta por (3) tres, es decir, aplicando “regla de la cadena” se multiplicarán las funciones internas luego de haber sido derivadas, pero vayamos por partes.

Separamos las funciones internas a derivar, observe como estas se multiplican por la mas interna sucesivamente. Al derivar obtenemos lo siguiente…

Ya derivadas las funciones solo queda multiplicar y ordenar un poco la función obteniendo el resultado final…

Se dice que una función está definida explícitamente cuando se da de la forma = ( )y F x , esto es cuando se da ” ” y despejada en términos de “ ”x , En cambio, si en

una ecuación, como por ejemplo, 2 = yx cos3y, existe una función tal que = ( )y F x , se dice que ” ” y es una función que está definida implícitamente por la ecuación. Una ecuación en x e y puede definir a más de una función implícita.

En muchas ocasiones no se puede resolver explícitamente una función dada en forma implícita. Sin embargo es posible hallar la derivada de una función expresada implícitamente, sin necesidad de transformarla en su equivalente explícita.

• Se supone = ( )y F x• Se diferencia ambos miembros de la igualdad con respecto a la variable independiente aplicando la operación• Se despeja , o sea, despejar

A continuación se demostrará por medio de un ejemplo la diferenciación de funciones implícitas

Ejemplo 1.

Observando la función nos damos cuenta que está implícita ¿cierto?. Antes de comenzar a derivar despejemos de la siguiente manera…

Ahora nos enfocaremos a derivar toda la función término a término…

Nótese que todos los términos se derivarán pero detalle mas adelante que al derivar se dejará expresada de la forma …

Para encontrar (despejar ) es necesario factorizar por factor común…

Ya encontrada es recomendable dejarla explícita, como pueden observar, existe

todavía del lado derecho del (=) igual. Al sustituir nos queda finalmente…

Número crítico de la función contínua en un intérvalo “i” que contiene a “C”. Si ……es diferenciable en el intérvalo “i” excepto quizás en “C”, puede denotar lo siguiente:

• Si cambia de negativo a positivo en “C”, es un mínimo relativo.• Si cambia de positivo a negativo en “C”, es un máximo relativo.• Si no cambia de signo, entonces no es ni mínimo ni máximo relativo.

Números Críticos: Si un número (c) está en el dominio de una función se conoce como un número crítico (valor crítico) de si:

a) y b)

Criterio de la primera derivada : Para calcular de extremos relativos (valores máximos o mínimos).

Criterio de la primera derivada : Para calcular o definir intervalos de crecimiento . o decrecimiento:

Teorema de la monotonía “intervalos de crecimiento y decrecimiento”:

• Se calcula la derivada de la función dada.• Se hallan los números críticos• Se toman estos puntos como extremos de los sub intervalos contenidos en el dominio de la función.• En los sub intervalos hallados se estudió el signo de la derivada, si esta es positiva se obtiene un intervalo de crecimiento, si esta es negativa es decreciente.

Sea una función derivable en un intervalo abierto (a , b)

• Si para todo en (a ,b), entonces “i” es creciente en (a ,b)

• Si para todo en (a ,b), entonces es decreciente en (a , b)

• Si para todo en “i”, la gráfica de es lineal

A continuación se demostrará un ejemplo de aplicación de la derivada

Ejemplo 1. Determinar de la función lo siguiente:

• Números Críticos• Puntos Críticos

Para comenzar nuevamente procedemos a derivar la función dada…

Nótese que es una ecuación de grado (2) dos, luego nos dedicamos a conseguir los (2) dos valores que hacen (0) cero la ecuación.

Números Críticos:

A través de la ecuación resolvente obtendremos los valores que hacen (0) a …

En sustituiremos en “ “ el valor que acompaña a la variable de grado (2)

dos, en “ “ el valor que acompaña a la variable de grado (1) uno y en “ “ el valor del término independiente.

, luego de sustituir procedemos a resolver…

;

                                  ; , finalmente obteniendo los números críticos “ “ y “ “

Punto Crítico N° 1:

...

Punto Crítico N° 2:

Finalmente obtuvimos nuestros dos puntos críticos….

, …

Ahora por medio de otros ejemplos profundizaremos un poco mas sobre la aplicación de la derivada…

es decir en función de . Ahora prosigamos a conseguir los puntos críticos…

Puntos Críticos: Para encontrar los puntos críticos, utilizamos los números críticos. Estos serán sustituidos cada uno en obteniendo dos resultados. Un punto crítico se denota por la forma donde es el número crítico a sustituir y será el resultado de

Ejemplo 2. Determinar de la función lo siguiente:

• Números Críticos• Puntos Críticos• Monotonía• Gráfica• Punto máx. y min.• Punto de Inflexión• Concavidad

Para comenzar nuevamente procedemos a derivar la función dada…

Observando a se nota que es una ecuación de grado (2) dos, luego nos dedicamos a conseguir los (2) dos valores que hacen (0) cero la ecuación.

Números Críticos: Aplicamos factor común, luego factorizamos obteniendo…

… Como pueden observar, los números que al sustituirlos en hacen la ecuación igual a (0) cero son “-1” y “2”…

Dichos números ( y ) serán nuestros números críticos, ahora prosigamos a encontrar los puntos críticos

Punto Crítico N° 1:… Véase que sabiendo que es un número crítico lo sustituimos en y resolvemos … Nuestro punto crítico N° 1 será

Punto Crítico N° 2: Se realiza el mismo procedimiento pero con el otro número crítico ( )… … Nuestro punto crítico N° 2 será

Monotonía:

Puntos Críticos: Aplicando el mismo procedimiento realizado en el ejemplo 1. obtendremos nuestros dos puntos críticos

-1 .0 1 2

Monotonía =

Observe que los números críticos definen la monotonía de la función…

Ahora nos dedicamos a encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento…

Como pueden observar el resultado es > 0, es decir, la función crecerá hasta alcanzar “-1”

Como pueden observar el resultado es < 0, es decir, la función decrecerá hasta alcanzar “2”

Ahora prosigamos a encontrar el ultimo intervalo…

Como pueden observar el resultado es > 0, es decir, la función crecerá a partir de “2” hasta el

Punto de Inflexión: Para encontrar este punto es necesario encontrar la (2) segunda derivada de , es decir, . Encontramos el valor que hace (0) cero a , este valor será “a”. Luego de haber encontrado dicho valor sustituimos al mismo en , obteniendo otro valor el cual será “b”. El punto de inflexión se expresa de la forma

Observe que el único número que hace (0) cero a la ecuación es

Ahora prosigamos a sustituir en

Nuestro punto de inflexión es

Ahora nos dedicamos a graficar en el plano la gráfica de la función, máximos, mínimos, punto de inflexión y denotar las concavidades…

Cóncava hacia ↓

Cóncava hacia ↑

Pto. Máximo

Pto. Mínimo

Ejemplo 3. Determinar de la función lo siguiente:

• Números Críticos • Puntos Críticos• Monotonía• Gráfica• Punto máx. y min.• Punto de Inflexión• Concavidad

Ya conseguidos los números y puntos críticos de dicha función en el ejemplo 1…

Continuaremos buscando lo restante…

.0 1 2 3 4

Monotonía =

Monotonía:

continuemos a buscar los intervalos de crecimiento y decrecimiento

Como pueden observar el resultado es > 0, es decir, la función crecerá hasta alcanzar “0”

Como pueden observar el resultado es < 0, es decir, la función decrecerá hasta alcanzar “4”

Como pueden observar el resultado es > 0, es decir, la función crecerá hasta el “ ”

Punto de inflexión: Como se explicó en el ejemplo 2., es necesario para encontrar el punto de inflexión obtener la segunda derivada ( )…

Al igual se explicó que el punto de inflexión se expresa de la forma , donde será el valor que hace (0) cero a y será , es decir, la función original en función de

Luego de haber conseguido como “2” nos dedicamos a encontrar

Finalmente nuestro punto de inflexión es

Ahora nuevamente nos dedicamos a graficar en el plano la gráfica de la función, máximos, mínimos, punto de inflexión y denotar las concavidades…

Cóncava hacia ↓

Cóncava hacia ↑

Pto. Máximo

Pto. Mínimo