CF-20 90

Residuo. EI residuo en un node sefiala el error cometi­

do allf; en un nodo 0, de vecinos cercanos eguidistan­

tes, 1, 2, 3 Y 4, aguel se define con:

R 0 == cD 1 + cD 2 + cD 3 + cD 4 - 4cD o·

Procedimiento. EI siguiente:

Inicializar, como en el metodo iterativo, y cal9ular el

residuo en cada nodo.

Relajar el nodo de mayor valor absoluto; para ello:

.. Anular su residuo, al sumarle: ~ Ro == - Ro'

• Cambiar su potencial, con: ~cDo == Ro /4.

" Cambiar residuos vecinos, con: ~Ri == ~cDo == Ro /4.

Repetir el paso anterior.

. Parar, cuando el residuo es cero en todos los nodos de

la malla de calculo, 0 casi cero.

Los pasos y calculos del procedimiento se adaptan, '

con vecinos no equidistantes, a la ecuaci6n respectiva.

--- --

CF-20 9[

Problclll(l. Hallar <D dentro de un prisma cuadrado; tres

de las caras tienen potencial cero, en la cuarta es 100.

Solucioll. Por diferencias finitas. Se traza una cuadri­

cula para determinar 9 nodos y 9 ecuaciones: 100

I

} 2 3

,

4 5 , 6 0- - + -- .. o

789 -- - ---- .. _- --- -- " ­

u

Las ecuaciones de nodo se resuelven simultaneamen­/

te; algunas son, por ejemplo:

Nodo 1: 4<P) - <P 2 - <P 4 == 100.

CE-20 92

Por iteraciol1cs. Con igual cuadrfcula:

v = 100

v =o v =0

I

~ /

43,8 53,2 43,8 43,0 52,8 . 43,0 42,6 52,5 42,6 42,8 52,6 42,8 42,8 52,6 42,8

18,8 25·0, 18,8 18,6 24,8 18,6 18,6 24,8 18,6 18,7 25,0 18,7 18,7 25,0 18,7

6,2 9,4 6,2 7,0 9,7 7,0 7,1 9,8 7,1 7,1 9,8 7,1 7,1 9,8 7,1

-

v =0

Final. <DI == 42,8; <D2 == 52,6; <D3 == 42,8; <D4 == 18 , 7~

<Ds == 25,O~ <D6 == 18,7; <D7 == 7,1; <Dg == 9,8 y <Dg == 7,1.

CE-20 93

Por rclajacion. Con igual cuadrfcula:

v = 100 /

/j\

-, ,

-3 ,2 43,8 -0 ,2 53,2 -3 ,2 43 ,8 0,0 43,0 -1 ,0 52,7 0,0 43,0

-0 ,5 42,9 I ,8 -0 ,5 42,9 -0, ) 0,2 -0 , I

0,1 v =o 0,0 v = 0

)8,8 0,2 J 8,8 0,6

25,0 -0,2-0,2 0,6

-0,2 -0 ,3 0, ) -0,2

-0 , ) -0 ,1 -0 ,2 -0 ,2

3,4 9,4 3,4 6,2 0,2

6,2 -0,2 7,0

0,6 7,0 0,6 9,8 0,2

0,67,1 1,4­ 7,1 0,2 0,2

-0,1 0,0

-0,2

v=o

Los residuos se corrigen, para facilitar los caJculos,

con cantidades divisibles por 4.

, ,)-t(1\-21

-' : 1 ~ '1 r :\ l :\ S I.

lllterdependencia. Cada campo es fuente del otro si

varian con el tielnpo, y las ecuaciones de Maxwell son

simultaneas; ella complica su soluci6n y conduce a

ecuaciones de onda, de Helmoltz y de la telefonia.

Problema. Un capacitor de placas superconductoras,

paralelas, rectangulares, de lados a y I, separadas d,

donde 1» a » d, tiene un material de parametros E Y

)..1, Y esta conectado a una fuente de voltaje distribuida

entre los bordes largos de uno de los lados de las ar­

maduras, que produce entre los bordes opuestos el

voltaje: V = Vo COSCDt. GCual es "Ia capacitancia"?

Paso I. Coordenadas. Cartesianas; origen, en un verti­

ce, el eje X es perpendicular a las placas y el Y para­

lela a los lados largos de estas.

Region. Definida por: 0 < x < d, 0 < y < I, -a < z< O.

<)5CE-21

(~onsidrracionps. En la region enunciada:

a/ay == 0 ~ simetria aproximada.

p == 0, J == 0; dielectrico .

. D == EE Y B == J.lH; segun enunciado.

E == ix Ex (x, z, t); conjetura, segun caso electrostatico.

H == iy Hx (x, z, t); conjetura, segun caso estacionario.

'_l' ll acion es. De las de Maxwell resultan, en Ia region:

8E 8I-l 8H_x==Oy y ==Oy y ==0. 8x ay ax

. 8E x :::: _~ 8Hy Y 8H y :::: -I': 8E x •

8z at 8z at

Paso II. Ecuaciones de onda. En la region:

Fasor. Una funcion, R(z,t), que depende de la posicion

y el tiempo en fonna senoidal, se puede expresar faso­

CE-21 I)()

rialmente, usando la exponencial imaginaria, can:

R(z, t) = Re{ R(z )eiw ! } .

ejrot == coscot + j sen CDt.

Derivadas de fasor. Los fasores de las derivadas, can

respecto a la posicion 0 el tiempo, de una funcion,

R(z,t), que varia senoidalmente en el tiempo, son:

Fa{anR(z, t)} == (. co)n R(z) Fa{anR(z, t)} . d n R(z). dz llat n J - Y 8z n

Paso III. Condiciones de frontera.

• En: z = 0, °< y < I; Yo = - lExdX.

En: z == 0, 0 < y < I; Hy == O.

Soluci6n. E y H. Si ~ es la constante de fase, 11 la im­

pedancia caracteristica de onda en el dielectrico, c la

rapidez de la luz Y A la longitud de la onda, entonces:

E . -i x

Yo coswt cos13z y H = -iy Yo sen wt sen 13z. d ~d '

CE-21

C.' arga. Carga en las arnladuras:

Q = fa dA=~!Yosen(Ra)cos(wt).1 x= d d0 I--'

\ /olfaje. Entre las annaduras es:

v ( I ., l) Vo cos((I) t) cos(pl.).

~ ~ C: ~lJ a citancia~". Las ideas circuitales sobre los para­

Inetros R, L Y C pierden sentido en alta frecuencia,

pues los dispositivos se vuelven elementos de para­

rnetros distribuidos. Al extrapolar la definicion elec­

trostatica y evaluar el voltaje en la alimentacion, don-

de / , - -():

Q(t) EIC d == ==-tan(~a).

V(-a, t) f3d

expresion que depende de la frecuencia.

C.:apa citancia apl·oximada. La capacitancia calculada

tiene a la estacionaria, Ce:

CE-21 n

Si: pa« 1 0 A» 2na, Cd ~ E:l = Ceo

~ Cuasiestacionarios. Si la longitud media de un sistema

es mucho menor que la de onda de la oscilaci6n debi­

da al movimiento de sus cargas, aquel es cuasiestacio­

nario, se pueden suponer pequefias las rapideces de

sus cargas COIn paradas con 1a de 1a ·luz e ignorar 1a co­

rriente de desplazamiento. Los campos resultantes son

similares a los de fuentes que no varian en el tiempo,

y el sistema se comporta, aproximadamente, como

estacionario; estas soluciones son de pri.mer orden,

puesto que s610 satisfacen las ecuaciones de Maxwell

a la frecuencia cero.

:irc ui tos. Usados en muchas apiicaciones de la inge­

11 ieria; pueden estar formados por tuberfas que trans­

portan fluidos, por conductores que llevan corriente

electrica 0 por nucleos ferrolnagneticos que conducen

el flujo Inagnetico. Las magnitudes fisicas del circuito

se calculan con ecuaciones de circuitos y de nodos,

basadas en leyes de la fisica; estas se silnplifican al

suponerlos esqueletales, pues las dimensiones de la

secci6n recta son despreciables con respecto a la lon­

gitud. Los componentes topol6gicos relevantes son:

Nodo; punto donde dos 0 mas ramas concurren .

. Rama; tramo donde hay, por 10 menos, un elemento.

Circuito; camino cerrado, formado por varias ramas.

Red; fonnada por varios circuitos.

Tc r ia de circuitos cicctricos. Poderosa herramienta

99

CE-22 100

de analisis, es una aproxinlacion cuasiestacionaria de

la teoria electromagnetica; intrinsecamente simple,

usa una matematica faci] de lnanipular. La simplicidad

de la teoria reside en suponer que un circuito esta

formado por elementos, cuyas conductas individuales

y mutuas se expresan en funci6n de voltajes y co­

rrientes en sus terminales; ella elimina los detalles

geometricos de los elementos circuitales y del sistema,

salvo la fonna simple en que se interconecten aque­

11os.

Hipotesis de la teoria. Las siguientes:

La diferencia de potencial y el voltaje entre dos pun­

tos son iguales.

Resistencias, capacitancias e inductancias son propias

de los dispositivos e independientes de la frecuencia.

La corriente electrica libre es uniforme en una rama.

Las relaciones entre voltaje, carga, flujo magnetico y

(, E-22 10 1

corriente, en los terminales de los elenlentos, son:

" V ( t) = RI(t), V ( t) = Q( t) y A(t) = LI (t) . C

Las leyes de Kirchoff electricas en nodos y circuitos,

si N es el numero de ralnas que llegan al nodo y M el

de ramas del circuito, son:

j:=:N i:=:M

"'. IIj == 0 y I Vi == O. i=l i=l

La potencia que ingresa a un circuito por N nodos,

donde cDi e Ii , en el nodo i, son el potencial con res­

pecto a tierra y la corriente que entra, es:

i=N )D J (() ::( e1 - e~P == ~ <D .I. ('~ 1 I'

i:=: 1 k· 1/ r r .

Las hip6tesis anteriores son exactas en un sistema es­

tacionario; aproximadas, en uno cuasiestacionario;

falsas, cuando la frecuencia es muy alta.

102 CE-22 ,

~ I rr

Voltaje. El voltaje entre los puntos 1 y 2, en condiciones no

estacionarias, evaluado a 10 largo de una curva arbitraria, es:

V12 ==-!Ee ds ==<l>1-<l>2+ :t JAme dS .

por tanto, el voltaje y la diferencia de potencial entre

esos puntos no coinciden y aquel depende de la tra­

yectoria; en tal caso, el voltaje no es una magnitud fi­

sica. El concepto de voltaje usado en la teoria de cir­

cuitos electricos es una extrapolacion del empleado en

sistemas estacionarios; extension val ida solo si la tra­

yectoria esta contenida en una region donde el campo

es cuasiestacionario y se desprecian derivadas tenlpo­

rales como la que aparece en la expresion anterior.

FEM. Un ingenio que convierte energias, como: meca­

nica, termica 0 quimica, en electrica, es una fuente de